รูปทรงหลายเหลี่ยม ประเภทของรูปทรงหลายเหลี่ยมและคุณสมบัติ การวาดตัวเรขาคณิตที่ประกอบด้วย 6 หน้าเรียกว่า

3 4 6 12 8 บ้าน โอ 3 5 12 30 20 ชม. โอ ฉัน 4 3 8 12 6 บ้าน โอ 5 3 20 30 12 ชม. โอ

Hexahedron หรือลูกบาศก์

ชื่อของรูปทรงหลายเหลี่ยมแต่ละอันมาจากชื่อภาษากรีกสำหรับจำนวนหน้าและคำว่า "ใบหน้า"

• คุณสมบัติเชิงผสมผสาน ออยเลอร์ได้สูตรที่เชื่อมโยงจำนวนจุดยอด (B) หน้า (G) และขอบ (P) ของรูปทรงหลายเหลี่ยมนูนใดๆความสัมพันธ์ที่เรียบง่าย

• : B + G = P + 2

• อัตราส่วนของจำนวนจุดยอดของรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติต่อจำนวนขอบของด้านใดด้านหนึ่งนั้นเท่ากับอัตราส่วนของจำนวนหน้าของรูปทรงหลายเหลี่ยมเดียวกันต่อจำนวนขอบที่โผล่ออกมาจากจุดยอดด้านใดด้านหนึ่ง สำหรับจัตุรมุข อัตราส่วนนี้คือ 4:3 สำหรับหกเหลี่ยมและแปดหน้าคือ 2:1 และสำหรับสิบสองหน้าและไอโคซาเฮดรอนคือ 4:1 รูปทรงหลายเหลี่ยมปกติสามารถอธิบายแบบรวมกันได้ด้วยสัญลักษณ์ Schläfli (, พีถาม รูปทรงหลายเหลี่ยมปกติสามารถอธิบายแบบรวมกันได้ด้วยสัญลักษณ์ Schläfli (), ที่ไหน: พี- จำนวนด้านของแต่ละหน้า

- จำนวนขอบที่มาบรรจบกันที่แต่ละจุดยอด

สัญลักษณ์ชลาฟลีสำหรับรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติแสดงไว้ในตารางต่อไปนี้:		รูปทรงหลายเหลี่ยม	ยอดเขา	ซี่โครง	ขอบ
สัญลักษณ์ชเลฟลี		4	6	4	{3, 3}
จัตุรมุข		8	12	6	{4, 3}
ลูกบาศก์		6	12	8	{3, 4}
แปดด้าน		20	30	12	{5, 3}
สิบสองหน้า		12	30	20	{3, 5}

รูปทรงหลายเหลี่ยม

จากความสัมพันธ์เหล่านี้และสูตรของออยเลอร์ เราสามารถหานิพจน์ B, P และ G ได้ดังต่อไปนี้:คุณสมบัติทางเรขาคณิต

มุม

รูปทรงหลายเหลี่ยมปกติแต่ละอันสัมพันธ์กับมุมที่กำหนดคุณสมบัติของมัน มุมไดฮีดรัลระหว่างด้านที่อยู่ติดกันของรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติ (p, q) จะได้จากสูตร:

บางครั้งการใช้นิพจน์ในรูปของแทนเจนต์จะสะดวกกว่า:

โดยที่ค่า 4, 6, 6, 10 และ 10 สำหรับจัตุรมุข, ลูกบาศก์, แปดหน้า, สิบสองหน้าและไอโคซาเฮดรอนตามลำดับ

สัญลักษณ์ชลาฟลีสำหรับรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติแสดงไว้ในตารางต่อไปนี้:	ข้อบกพร่องเชิงมุมที่จุดยอดของรูปทรงหลายเหลี่ยมคือความแตกต่างระหว่าง 2π และผลรวมของมุมระหว่างขอบของแต่ละด้านที่จุดยอดนี้ ข้อบกพร่องที่จุดยอดใดๆ ของรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติ: θ		มุมไดฮีดรัล	มุมแบนระหว่างซี่โครงที่ปลายยอด	ข้อบกพร่องเชิงมุม (δ)		มุมตันที่จุดยอด (Ω)
สัญลักษณ์ชเลฟลี	มุมทึบต่อด้วยใบหน้า		70.53°	π			π
จัตุรมุข	60°	1	60°
ลูกบาศก์	90°	√2	109.47°
แปดด้าน	60°, 90°		116.57°
สิบสองหน้า	108°		138.19°

60°, 108°

รัศมี พื้นที่ และปริมาตร

• ทรงกลมที่มีศูนย์กลางสามทรงกลมที่เชื่อมโยงกับรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติแต่ละอัน:
• ทรงกลมที่จำกัดขอบเขตผ่านจุดยอดของรูปทรงหลายเหลี่ยม
• ทรงกลมมัธยฐานแตะขอบแต่ละอันตรงกลาง

ทรงกลมที่ถูกจารึกไว้แตะใบหน้าแต่ละหน้าตรงกลาง

รัศมีของทรงกลมที่มีขอบเขต () และทรงกลมที่มีขอบเขต () ถูกกำหนดโดยสูตร:

โดยที่ h คือค่าที่อธิบายไว้ข้างต้นเมื่อกำหนดมุมไดฮีดรัล (h = 4, 6, 6, 10 หรือ 10) อัตราส่วนของรัศมีที่จำกัดต่อรัศมีที่อยู่ภายในนั้นมีความสมมาตรด้วยความเคารพต่อ p และ q:

พื้นที่ผิว S ของรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติ (p, q) คำนวณจากพื้นที่ของ p-gon ปกติคูณด้วยจำนวนใบหน้า Г:

ปริมาตรของรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติจะคำนวณโดยปริมาตรคูณด้วยจำนวนหน้า ปิรามิดปกติโดยมีฐานเป็นรูป p-gon ปกติ และความสูงคือรัศมีของทรงกลมที่เขียนไว้ r:

ตารางด้านล่างประกอบด้วยรายการรัศมี พื้นที่ผิว และปริมาตรต่างๆ ของรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติ ค่าของความยาวขอบ a ในตารางเท่ากับ 2

รูปทรงหลายเหลี่ยม (ก = 2)	รัศมีของทรงกลมที่ถูกจารึกไว้ ( ร)	รัศมีของทรงกลมมัธยฐาน (ρ)	รัศมีของทรงกลมที่จำกัดขอบเขต ( ร)

ค่าคงที่ φ และ ξ ถูกกำหนดโดยนิพจน์

ในบรรดารูปทรงหลายเหลี่ยมปกติ ทั้งรูปทรงสิบสองหน้าและรูปทรงหลายเหลี่ยมเป็นตัวแทนของการประมาณทรงกลมได้ดีที่สุด ไอโคซาเฮดรอนมีจำนวนหน้ามากที่สุด มีมุมไดฮีดรัลที่ใหญ่ที่สุด และมีขนาดพอดีกับทรงกลมที่จารึกไว้มากที่สุด ในทางกลับกัน รูปทรงสิบสองหน้ามีข้อบกพร่องเชิงมุมที่เล็กที่สุด ซึ่งเป็นมุมตันที่ใหญ่ที่สุดที่จุดยอด และเต็มทรงกลมที่จำกัดขอบเขตของมันให้เต็มที่สุด

ตัวเรขาคณิตใดๆ ประกอบด้วยเปลือก เช่น พื้นผิวด้านนอก และวัสดุบางอย่างที่เติมเต็ม (รูปที่ 42) ตัวเรขาคณิตแต่ละตัวมีรูปร่างของตัวเอง ซึ่งแตกต่างกันไปตามองค์ประกอบ โครงสร้าง และขนาด

องค์ประกอบของรูปร่างของตัวเรขาคณิตคือรายการช่องต่างๆ ของพื้นผิวที่ประกอบกันเป็นส่วนประกอบ (ตารางที่ 4) ดังนั้นรูปร่างของสี่เหลี่ยมด้านขนานประกอบด้วยหกช่องพื้นผิว (ใบหน้า): สองในนั้นเป็นฐานของสี่เหลี่ยมด้านขนานและอีกสี่ช่องที่เหลือจะสร้างพื้นผิวที่หักนูนปิดแบบปิดเรียกว่าพื้นผิวด้านข้าง

รูปที่ 42 ตัวเรขาคณิต: 1 - เปลือก; 2 - ช่องของพื้นผิวที่สร้างเปลือกร่างกาย

โครงสร้างแบบฟอร์ม รูปทรงเรขาคณิต - ลักษณะของรูปร่างที่แสดงความสัมพันธ์และตำแหน่งของช่องพื้นผิวที่สัมพันธ์กัน (ดูรูปที่ 44)

ลักษณะเหล่านี้มีความสัมพันธ์กันและในระดับสูงสุดจะกำหนดรูปร่างของตัวเรขาคณิตและวัตถุอื่น ๆ

ขึ้นอยู่กับรูปร่างของมัน ตัวเรขาคณิตที่เรียบง่ายจะถูกแบ่งออกเป็นรูปทรงหลายเหลี่ยมและตัวของการหมุน

เครื่องบิน เป็นกรณีพิเศษของพื้นผิว

รูปทรงหลายเหลี่ยม - ตัวเรขาคณิตซึ่งเปลือกนั้นประกอบขึ้นจากช่องของเครื่องบิน (รูปที่ 43, a)

ใบหน้าเป็นส่วนของระนาบที่ประกอบเป็นพื้นผิว (เปลือก) ของรูปทรงหลายเหลี่ยม ขอบ - ส่วนตรงที่ใบหน้าตัดกัน จุดยอดคือปลายซี่โครง

ร่างกายแห่งการปฏิวัติ - ตัวเรขาคณิต (รูปที่ 43, b) เปลือกซึ่งเป็นพื้นผิวของการปฏิวัติ (เช่นลูกบอล) หรือประกอบด้วยส่วนของพื้นผิวของการปฏิวัติและหนึ่ง (สอง) ส่วนของระนาบ (เช่น a กรวย กระบอกสูบ ฯลฯ)

ข้าว. 43. รูปทรงหลายเหลี่ยม (a) และร่างของการปฏิวัติ (b): 1 - เปลือกของตัวเรขาคณิต;
2 - ช่องเครื่องบิน; 3 - ช่องของพื้นผิวการหมุน

4. องค์ประกอบของตัวเรขาคณิตที่เรียบง่าย

โครงสร้างของแบบฟอร์มส่งผลต่อรูปลักษณ์ของตัวเรขาคณิต ลองพิจารณาสิ่งนี้โดยใช้ตัวอย่างของทรงกระบอกตรงและเอียง (รูปที่ 44) ซึ่งช่องของฐานซึ่งอยู่ในตำแหน่งที่แตกต่างกันโดยสัมพันธ์กัน

ข้าว. 44. ความแตกต่างของโครงสร้างรูปทรงกระบอกสูบ

ข้าว. 45. การเปลี่ยนแปลงรูปร่างของกระบอกสูบ

ข้าว. 46. ​​ปิรามิดทรงสี่เหลี่ยมรูปทรงต่างๆ

เมื่อเปรียบเทียบรูปภาพของทรงกระบอกในรูปที่ 45 เราสามารถสรุปได้ว่าการเปลี่ยนตำแหน่งของฐานใดฐานหนึ่งทำให้เกิดการเปลี่ยนแปลงรูปร่างของตัวรูปทรงเรขาคณิต

การเปลี่ยนความสูง ความกว้าง ความยาว เส้นผ่านศูนย์กลางฐาน มุมเอียงของแกน และตำแหน่งของฐานที่สัมพันธ์กันส่งผลต่อรูปร่างของตัวเรขาคณิตอย่างมีนัยสำคัญ ตัวอย่างเช่น พิจารณาปิรามิดรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีรูปร่างต่างๆ (รูปที่ 46)

ข้าว. 47. ตัวเรขาคณิต

รูปทรงหลายเหลี่ยมไม่เพียงแต่ครองตำแหน่งที่โดดเด่นในเรขาคณิตเท่านั้น แต่ยังพบได้ในชีวิตประจำวันของทุกคนอีกด้วย ไม่ต้องพูดถึงของใช้ในครัวเรือนที่สร้างขึ้นเทียมในรูปแบบของรูปหลายเหลี่ยมต่างๆตั้งแต่กล่องไม้ขีดไปจนถึงองค์ประกอบทางสถาปัตยกรรมโดยธรรมชาติแล้วยังมีคริสตัลในรูปแบบของลูกบาศก์ (เกลือ) ปริซึม (คริสตัล) ปิรามิด (scheelite) แปดด้าน (เพชร) ) ฯลฯ .d.

แนวคิดของรูปทรงหลายเหลี่ยม ประเภทของรูปทรงหลายเหลี่ยมในเรขาคณิต

เรขาคณิตเป็นวิทยาศาสตร์ประกอบด้วยส่วน Stereometry ซึ่งศึกษาลักษณะและคุณสมบัติของวัตถุปริมาตร ซึ่งด้านข้างในพื้นที่สามมิตินั้นถูกสร้างขึ้นโดยระนาบ (ใบหน้า) ที่จำกัด เรียกว่า "รูปทรงหลายเหลี่ยม" รูปทรงหลายเหลี่ยมมีหลายประเภท ซึ่งแตกต่างกันไปตามจำนวนและรูปร่างของใบหน้า

อย่างไรก็ตาม รูปทรงหลายเหลี่ยมทั้งหมดมีคุณสมบัติทั่วไป:

1. ทั้งหมดมีองค์ประกอบที่สำคัญ 3 ประการ: ใบหน้า (พื้นผิวของรูปหลายเหลี่ยม), จุดยอด (มุมที่เกิดขึ้นที่ทางแยกของใบหน้า), ขอบ (ด้านข้างของรูปหรือส่วนที่เกิดขึ้นที่ทางแยกของใบหน้าทั้งสอง ).
2. ขอบแต่ละด้านของรูปหลายเหลี่ยมเชื่อมต่อสองหน้าเข้าด้วยกัน และมีเพียงสองหน้าเท่านั้นที่อยู่ติดกัน
3. ความนูนหมายความว่าร่างกายตั้งอยู่บนด้านเดียวของระนาบซึ่งมีใบหน้าด้านใดด้านหนึ่งอยู่ กฎนี้ใช้กับทุกด้านของรูปทรงหลายเหลี่ยม ในทางสามมิติ รูปทรงเรขาคณิตดังกล่าวเรียกว่ารูปทรงหลายเหลี่ยมนูน ข้อยกเว้นคือรูปทรงหลายเหลี่ยมรูปดาวซึ่งเป็นอนุพันธ์ของตัวเรขาคณิตรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติ

รูปทรงหลายเหลี่ยมสามารถแบ่งออกเป็น:

1. ประเภทของรูปทรงหลายเหลี่ยมนูนประกอบด้วยคลาสต่อไปนี้: ธรรมดาหรือคลาสสิก (ปริซึม, ปิรามิด, ขนานกัน), ปกติ (เรียกอีกอย่างว่าของแข็ง Platonic), กึ่งปกติ (ชื่ออื่นคือของแข็งอาร์คิมีดีน)
2. โพลีเฮดราไม่นูน (stellate)

ปริซึมและคุณสมบัติของมัน

Stereometry เป็นสาขาหนึ่งของเรขาคณิตศึกษาคุณสมบัติของตัวเลขสามมิติประเภทของรูปทรงหลายเหลี่ยม (ปริซึมในหมู่พวกเขา) ปริซึมคือตัวเรขาคณิตที่จำเป็นต้องมีด้านที่เหมือนกันทุกประการ 2 ด้าน (เรียกอีกอย่างว่าฐาน) ที่วางอยู่ในระนาบขนานกัน และมีด้านที่ n อยู่ในรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน ในทางกลับกัน ปริซึมก็มีหลายพันธุ์ รวมถึงรูปทรงหลายเหลี่ยมประเภทต่างๆ เช่น:

1. รูปสี่เหลี่ยมด้านขนานจะเกิดขึ้นหากฐานเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน ซึ่งเป็นรูปหลายเหลี่ยมที่มีมุมตรงข้ามกัน 2 คู่และมีด้านตรงข้ามกันที่เท่ากันทุกประการสองคู่
2. มีซี่โครงตั้งฉากกับฐาน
3. โดดเด่นด้วยการมีมุมอ้อม (นอกเหนือจาก 90) ระหว่างขอบและฐาน
4. ปริซึมปกติมีลักษณะเป็นฐานในรูปของหน้าด้านข้างที่เท่ากัน

คุณสมบัติพื้นฐานของปริซึม:

• ฐานที่สอดคล้องกัน
• ขอบทั้งหมดของปริซึมเท่ากันและขนานกัน
• ใบหน้าด้านข้างทั้งหมดมีรูปร่างเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน

พีระมิด

ปิรามิดคือรูปร่างทางเรขาคณิตที่ประกอบด้วยฐานหนึ่งฐานและหมายเลขที่ n ของใบหน้าสามเหลี่ยมที่เชื่อมต่อกันที่จุดหนึ่ง - ปลาย ควรสังเกตว่าหากใบหน้าด้านข้างของปิรามิดจำเป็นต้องแสดงด้วยรูปสามเหลี่ยม จากนั้นที่ฐานก็อาจมีรูปหลายเหลี่ยมรูปสามเหลี่ยม รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส รูปห้าเหลี่ยม และอื่นๆ ที่ไม่สิ้นสุด ในกรณีนี้ ชื่อของปิรามิดจะตรงกับรูปหลายเหลี่ยมที่ฐาน ตัวอย่างเช่น หากมีรูปสามเหลี่ยมที่ฐานของปิรามิด - นี่คือรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนเป็นต้น

ปิรามิดเป็นรูปทรงหลายเหลี่ยมรูปทรงกรวย ประเภทของรูปทรงหลายเหลี่ยมในกลุ่มนี้นอกเหนือจากที่ระบุไว้ข้างต้นยังรวมถึงตัวแทนดังต่อไปนี้:

1. มีรูปหลายเหลี่ยมปกติอยู่ที่ฐาน และความสูงของมันฉายไปที่ศูนย์กลางของวงกลมที่จารึกไว้ที่ฐานหรือล้อมไว้รอบๆ
2. ปิรามิดรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าเกิดขึ้นเมื่อขอบด้านใดด้านหนึ่งตัดกับฐานเป็นมุมฉาก ในกรณีนี้ ขอบนี้สามารถเรียกได้ว่าเป็นความสูงของปิรามิดก็ได้

คุณสมบัติของปิรามิด:

• หากขอบด้านข้างของพีระมิดเท่ากันทุกประการ (มีความสูงเท่ากัน) ขอบทั้งสองจะตัดกับฐานในมุมเดียวกัน และรอบฐาน คุณสามารถวาดวงกลมโดยให้จุดศูนย์กลางตรงกับเส้นโครงด้านบนของพีระมิด ปิรามิด
• หากรูปหลายเหลี่ยมปกติอยู่ที่ฐานของปิรามิด ขอบด้านข้างทั้งหมดจะเท่ากันทุกประการ และด้านต่างๆ จะเป็นสามเหลี่ยมหน้าจั่ว

รูปทรงหลายเหลี่ยมปกติ: ประเภทและคุณสมบัติของรูปทรงหลายเหลี่ยม

ใน Stereometry สถานที่พิเศษจะถูกครอบครองโดยตัวเรขาคณิตที่มีใบหน้าเท่ากันทุกประการที่จุดยอดซึ่งมีการเชื่อมต่อจำนวนขอบเท่ากัน วัตถุเหล่านี้เรียกว่าของแข็งพลาโตนิกหรือรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติ รูปทรงหลายเหลี่ยมมีห้าประเภทเท่านั้นที่มีคุณสมบัติเหล่านี้:

1. จัตุรมุข.
2. รูปทรงหกเหลี่ยม
3. แปดด้าน
4. สิบสองหน้า
5. ไอโคซาเฮดรอน.

รูปทรงหลายเหลี่ยมปกติเป็นชื่อของเพลโตปราชญ์ชาวกรีกโบราณ ซึ่งบรรยายถึงรูปทรงเรขาคณิตเหล่านี้ในงานของเขาและเชื่อมโยงพวกมันกับองค์ประกอบทางธรรมชาติ: ดิน น้ำ ไฟ อากาศ รูปที่ 5 ได้รับรางวัลความคล้ายคลึงกับโครงสร้างของจักรวาล ในความเห็นของเขา อะตอมขององค์ประกอบทางธรรมชาติมีรูปร่างเหมือนรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติ ด้วยคุณสมบัติที่น่าทึ่งที่สุด - ความสมมาตร ตัวเรขาคณิตเหล่านี้จึงเป็นที่สนใจอย่างมากไม่เพียง แต่สำหรับนักคณิตศาสตร์และนักปรัชญาโบราณเท่านั้น แต่ยังรวมถึงสถาปนิก ศิลปิน และช่างแกะสลักตลอดกาลด้วย การปรากฏตัวของรูปทรงหลายเหลี่ยมเพียง 5 ประเภทที่มีความสมมาตรสัมบูรณ์ถือเป็นการค้นพบขั้นพื้นฐานและยังเกี่ยวข้องกับหลักการอันศักดิ์สิทธิ์ด้วยซ้ำ

Hexahedron และคุณสมบัติของมัน

ในรูปหกเหลี่ยม ผู้สืบทอดของเพลโตสันนิษฐานว่ามีความคล้ายคลึงกับโครงสร้างของอะตอมของโลก แน่นอนว่าในปัจจุบันสมมติฐานนี้ได้รับการข้องแวะโดยสิ้นเชิง แต่อย่างไรก็ตามไม่ได้ป้องกันบุคคลในยุคปัจจุบันจากการดึงดูดจิตใจของบุคคลที่มีชื่อเสียงด้วยสุนทรียภาพของพวกเขา

ในเรขาคณิต รูปหกเหลี่ยมหรือที่เรียกว่าลูกบาศก์ ถือเป็นกรณีพิเศษของรูปทรงสี่เหลี่ยมด้านขนาน ซึ่งในทางกลับกันก็คือปริซึมประเภทหนึ่ง ดังนั้น คุณสมบัติของลูกบาศก์จึงสัมพันธ์กัน โดยมีข้อแตกต่างเพียงอย่างเดียวคือทุกด้านของลูกบาศก์เท่ากันทุกด้าน คุณสมบัติต่อไปนี้ตามมาจากนี้:

1. ขอบทั้งหมดของลูกบาศก์เท่ากันทุกประการและอยู่ในระนาบขนานโดยสัมพันธ์กัน
2. หน้าทั้งหมดเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่เท่ากันทุกประการ (มี 6 หน้าในลูกบาศก์) ซึ่งสามารถใช้เป็นฐานได้
3. มุมระหว่างชั้นทั้งหมดมีค่าเท่ากับ 90
4. จุดยอดแต่ละจุดมีจำนวนขอบเท่ากัน คือ 3
5. ลูกบาศก์มี 9 ซึ่งทั้งหมดตัดกันที่จุดตัดของเส้นทแยงมุมของรูปทรงหกเหลี่ยม เรียกว่าศูนย์กลางของสมมาตร

จัตุรมุข

จัตุรมุขคือจัตุรมุขที่มีหน้าเท่ากันเป็นรูปสามเหลี่ยม โดยแต่ละจุดยอดเป็นจุดเชื่อมต่อของหน้าทั้งสาม

คุณสมบัติของจัตุรมุขปกติ:

1. ใบหน้าของจัตุรมุขทุกหน้า - หมายความว่าใบหน้าของจัตุรมุขทุกหน้ามีความสอดคล้องกัน
2. เนื่องจากฐานแสดงด้วยรูปทรงเรขาคณิตปกตินั่นคือมีด้านเท่ากันจากนั้นใบหน้าของจัตุรมุขมาบรรจบกันที่มุมเดียวกันนั่นคือทุกมุมเท่ากัน
3. ผลรวมของมุมระนาบที่จุดยอดแต่ละจุดคือ 180 เนื่องจากทุกมุมเท่ากัน ดังนั้นมุมใดๆ ของจัตุรมุขปกติจึงเท่ากับ 60
4. จุดยอดแต่ละจุดจะถูกฉายไปยังจุดตัดของความสูงของด้านตรงข้าม (ออร์โธเซ็นเตอร์)

แปดหน้าและคุณสมบัติของมัน

เมื่ออธิบายประเภทของรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติ เราไม่สามารถพลาดที่จะสังเกตวัตถุเช่นทรงแปดหน้า ซึ่งสามารถแสดงได้ด้วยสายตาว่าเป็นปิรามิดทรงสี่เหลี่ยมจัตุรัสสองอันที่ติดกาวติดกันที่ฐาน

คุณสมบัติของรูปแปดด้าน:

1. ชื่อของตัวรูปทรงเรขาคณิตบ่งบอกถึงจำนวนใบหน้าของมัน ทรงแปดหน้าประกอบด้วยรูปสามเหลี่ยมด้านเท่าซึ่งเท่ากันทุกประการ 8 รูป โดยที่แต่ละจุดยอดซึ่งมีใบหน้าจำนวนเท่ากันมาบรรจบกัน คือ 4 รูป
2. เนื่องจากหน้าของทรงแปดหน้าเท่ากันทุกด้าน มุมเชื่อมต่อจึงเท่ากัน โดยแต่ละหน้ามีค่าเท่ากับ 60 และผลรวมของมุมระนาบของจุดยอดใดๆ จึงเป็น 240

สิบสองหน้า

ถ้าเราจินตนาการว่าใบหน้าทั้งหมดของรูปทรงเรขาคณิตเป็นรูปห้าเหลี่ยมปกติ เราก็จะได้รูปทรงสิบสองหน้า ซึ่งเป็นรูปหลายเหลี่ยม 12 รูป

คุณสมบัติของสิบสองหน้า:

1. ใบหน้าทั้งสามตัดกันที่แต่ละจุดยอด
2. หน้าทั้งหมดเท่ากันและมีความยาวขอบเท่ากัน และพื้นที่เท่ากัน
3. รูปทรงสิบสองหน้ามีแกน 15 แกนและระนาบสมมาตร และแกนใดแกนหนึ่งลากผ่านจุดยอดของใบหน้าและตรงกลางของขอบที่อยู่ตรงข้ามกัน

ไอโคซาฮีดรอน

สิ่งที่น่าสนใจไม่น้อยไปกว่ารูปทรงสิบสองหน้า รูปทรงไอโคซาฮีดรอนเป็นรูปทรงเรขาคณิตสามมิติที่มีใบหน้าเท่ากัน 20 หน้า ในบรรดาคุณสมบัติของ 20-hedron ปกติสามารถสังเกตได้ดังต่อไปนี้:

1. ใบหน้าของไอโคซาเฮดรอนทั้งหมดเป็นรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว
2. ใบหน้าทั้งห้ามาบรรจบกันที่แต่ละจุดยอดของรูปทรงหลายเหลี่ยม และผลรวมของมุมที่อยู่ติดกันของจุดยอดคือ 300
3. ไอโคซาฮีดรอนก็เหมือนกับรูปทรงสิบสองหน้าที่มีแกน 15 แกนและมีระนาบสมมาตรที่ลากผ่านจุดกึ่งกลางของใบหน้าที่อยู่ตรงข้ามกัน

รูปหลายเหลี่ยมกึ่งปกติ

นอกจากของแข็งพลาโตนิกแล้ว กลุ่มของโพลีเฮดรานูนยังรวมถึงของแข็งอาร์คิมีดีนด้วย ซึ่งถูกตัดทอนเป็นโพลีเฮดราปกติ ประเภทของรูปทรงหลายเหลี่ยมในกลุ่มนี้มีคุณสมบัติดังต่อไปนี้:

1. รูปร่างทางเรขาคณิตมีหน้าเท่ากันเป็นคู่หลายประเภท เช่น จัตุรมุขที่ถูกตัดทอนจะมี 8 หน้าเหมือนกับจัตุรมุขทั่วไป แต่ในกรณีของอาร์คิมีดีน หน้า 4 หน้าจะเป็นรูปสามเหลี่ยม และ 4 หน้าจะเป็นหกเหลี่ยม
2. มุมทุกมุมของจุดยอดหนึ่งเท่ากันทุกประการ

รูปทรงหลายเหลี่ยมดาว

ตัวแทนของตัวเรขาคณิตที่ไม่ใช่ปริมาตรคือรูปทรงหลายเหลี่ยมแบบ stellate ซึ่งใบหน้าตัดกัน พวกมันสามารถเกิดขึ้นได้จากการรวมร่างสามมิติปกติสองอันเข้าด้วยกันหรือเป็นผลมาจากการขยายใบหน้าของมัน

ดังนั้นรูปทรงหลายเหลี่ยมรูปดาวดังกล่าวจึงเป็นที่รู้จักในชื่อ: รูปแบบรูปดาวของรูปทรงแปดหน้า, รูปทรงสิบสองหน้า, รูปทรงหลายเหลี่ยม, ทรงลูกบาศก์, รูปทรงหลายเหลี่ยม

ทฤษฎีโพลีเฮดรา

ตัวเรขาคณิตเหลี่ยมเพชรพลอย

ตัวเรขาคณิตเหลี่ยมเพชรพลอยหรือรูปทรงหลายเหลี่ยมเป็นส่วนหนึ่งของช่องว่างที่ล้อมรอบด้วยกลุ่มของรูปหลายเหลี่ยมระนาบจำนวนจำกัดที่เชื่อมต่อกันในลักษณะที่แต่ละด้านของรูปหลายเหลี่ยมใดๆ เป็นด้านของรูปหลายเหลี่ยมเดี่ยวอีกรูปหนึ่ง (เรียกว่า ที่อยู่ติดกัน) และรอบๆ จุดยอดแต่ละจุดตรงนั้น คือหนึ่งรอบของรูปหลายเหลี่ยม การทำให้คำจำกัดความข้างต้นง่ายขึ้น เราได้คำจำกัดความของรูปทรงหลายเหลี่ยมซึ่งคุ้นเคยจากหนังสือเรียนของโรงเรียน

สัญลักษณ์ชลาฟลีสำหรับรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติแสดงไว้ในตารางต่อไปนี้:- ตัวเรขาคณิตล้อมรอบทุกด้านด้วยรูปหลายเหลี่ยมแบนที่เรียกว่าใบหน้า ด้านข้างของใบหน้าเรียกว่าขอบของรูปทรงหลายเหลี่ยม และปลายของขอบเรียกว่าจุดยอดของรูปทรงหลายเหลี่ยม

จากประวัติศาสตร์

คณิตศาสตร์กรีกซึ่งทฤษฎีรูปทรงหลายเหลี่ยมปรากฏขึ้นครั้งแรกได้รับการพัฒนาภายใต้อิทธิพลอันยิ่งใหญ่ของนักคิดชื่อดังอย่างเพลโต

เพลโต(427–347 ปีก่อนคริสตกาล) - นักปรัชญาชาวกรีกโบราณผู้ยิ่งใหญ่ผู้ก่อตั้ง Academy และผู้ก่อตั้งประเพณี Platonism ลักษณะสำคัญประการหนึ่งของการสอนของเขาคือการพิจารณาวัตถุในอุดมคติ - นามธรรม คณิตศาสตร์ซึ่งนำแนวคิดของเพลโตมาใช้ได้ศึกษาวัตถุในอุดมคติที่เป็นนามธรรมมาตั้งแต่สมัยยุคลิด อย่างไรก็ตาม ทั้งเพลโตเองและนักคณิตศาสตร์โบราณหลายคนต่างให้คำนี้ในอุดมคติ ไม่ใช่แค่ความหมายเชิงนามธรรมเท่านั้น แต่ยังรวมถึงความหมายที่ดีที่สุดด้วย ตามประเพณีที่มาจากนักคณิตศาสตร์โบราณ ในบรรดารูปทรงหลายเหลี่ยมทั้งหมด สิ่งที่ดีที่สุดคือผู้ที่มีรูปหลายเหลี่ยมปกติเป็นใบหน้า

รูปทรงหลายเหลี่ยมสามารถจำแนกได้ตามเกณฑ์หลายประการ: ตัวอย่างเช่นตามจำนวนใบหน้า, จัตุรมุข, เพนตาฮีดรอน ฯลฯ มีความโดดเด่น

มีรูปทรงหลายเหลี่ยมแบบปกติและกึ่งสม่ำเสมอ รูปทรงหลายเหลี่ยมปกติคือใบหน้าที่ทุกด้านเป็นรูปหลายเหลี่ยมเท่ากันและทุกมุมที่จุดยอดเท่ากัน หากใบหน้าของรูปทรงหลายเหลี่ยมนั้น หลากหลายรูปหลายเหลี่ยมปกติจากนั้นจะได้รูปทรงหลายเหลี่ยมซึ่งเรียกว่ากึ่งปกติ (กึ่งสม่ำเสมอเท่ากัน) รูปทรงหลายเหลี่ยมกึ่งสม่ำเสมอคือรูปทรงหลายเหลี่ยมนูนที่มีใบหน้าเป็นรูปหลายเหลี่ยมปกติ (อาจมีจำนวนด้านต่างกัน) และมุมหลายเหลี่ยมทุกมุมเท่ากัน

นอกจากรูปทรงหลายเหลี่ยมแบบปกติและกึ่งปกติแล้ว รูปทรงหลายเหลี่ยมแบบสเตลเลตแบบปกติที่เรียกว่ายังมีรูปทรงที่สวยงามอีกด้วย พวกมันได้มาจากรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติโดยความต่อเนื่องของใบหน้าหรือขอบในลักษณะเดียวกับรูปหลายเหลี่ยมที่เป็นรูปดาวปกติจะได้มาจากความต่อเนื่องของด้านข้างของรูปหลายเหลี่ยมปกติ

จากรูปทรงหลายเหลี่ยมหลายแบบเราเน้นสิ่งที่มีชื่อเสียงที่สุด: ปริซึมและปิรามิด (รูปที่ 1)

ปริซึมคือรูปทรงหลายเหลี่ยมที่มีด้านขนานกันสองด้านคือฐาน และด้านที่เหลือเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน

ปิระมิดคือรูปทรงหลายเหลี่ยมซึ่งมีหน้าเดียวซึ่งเป็นรูปหลายเหลี่ยมตามใจชอบเป็นฐาน และใบหน้าที่เหลือ (ด้านข้าง) เป็นรูปสามเหลี่ยมที่มีจุดยอดร่วมเรียกว่าด้านบนของปิรามิด

ในรูป 2 แสดงปริซึมและปิระมิดหลายอัน ปิระมิดที่มีฐานเป็นรูปสามเหลี่ยมเรียกว่าปิระมิดสามเหลี่ยม ดังนั้นเราจึงสามารถพูดคุยเกี่ยวกับสี่เหลี่ยมจตุรัสห้าเหลี่ยม ฯลฯ ปิรามิดมะเดื่อ 2, กและ 2 ข- ฐานของปิรามิดรูปสามเหลี่ยมสามารถเป็นหน้าใดก็ได้

ในรูป 2, วี 2, ชและ 2 งมีการระบุตัวอย่างของรูปทรงหลายเหลี่ยมบางประเภท โดยจุดยอดสามารถแบ่งออกเป็นสองชุดที่มีจำนวนคะแนนเท่ากัน จุดของแต่ละเซตคือจุดยอดของพีกอน และระนาบของพีกอนทั้งสองขนานกัน ถ้าพีกอน (ฐาน) สองตัวนี้เท่ากันทุกประการและถูกจัดเรียงจนจุดยอดของพีกอนตัวหนึ่งเชื่อมต่อกับจุดยอดของพีกอนอีกตัวหนึ่งด้วยส่วนตรงที่ขนานกัน รูปทรงหลายเหลี่ยมดังกล่าวจะเรียกว่าปริซึมพีกอนอล ตัวอย่างของปริซึมเชิงมุม p สองตัวคือปริซึมสามเหลี่ยม (p = 3) ในรูป 2, วีและปริซึมห้าเหลี่ยม (p = 5) ในรูป 2, ช- ถ้าฐานอยู่ในตำแหน่งที่จุดยอดของ p-gon หนึ่งเชื่อมต่อกับจุดยอดของ p-gon อีกอันหนึ่งด้วยเส้นหักซิกแซกที่ประกอบด้วยส่วนตรง 2p ดังในรูป 2, งดังนั้นรูปทรงหลายเหลี่ยมดังกล่าวจึงเรียกว่าแอนติปริซึมของ p-gonal

นอกจากสองฐานแล้ว ปริซึม p-gonal ยังมีหน้า p - สี่เหลี่ยมด้านขนาน ถ้ารูปสี่เหลี่ยมด้านขนานมีรูปร่างเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า ปริซึมจะเรียกว่าเส้นตรง ในปริซึมดังกล่าว ขอบของพื้นผิวด้านข้างจะตั้งฉากกับฐาน ปริซึมที่มีฐานไม่ขนานกันเรียกว่า ปริซึมตัดทอน

2. รูปทรงหลายเหลี่ยมปกติรูปทรงหลายเหลี่ยมนูนจะเรียกว่าปกติหากตรงตามเงื่อนไขสองประการต่อไปนี้:

ใบหน้าทั้งหมดเป็นรูปหลายเหลี่ยมปกติที่เท่ากันทุกประการ

จุดยอดแต่ละจุดมีจำนวนหน้าที่อยู่ติดกันเท่ากัน

ถ้าหน้าทั้งหมดของรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติเป็นรูปหลายเหลี่ยมปกติ ดังนั้นในรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติ มุมระนาบ รูปทรงหลายเหลี่ยม และ ไดฮีดรัล จะเท่ากัน

หากหน้าทั้งหมดเป็นรูป p-gon ปกติและ q อยู่ติดกับจุดยอดแต่ละจุด ดังนั้นรูปทรงหลายเหลี่ยมปกตินั้นจะแสดงแทน (p, q) ตัวเลขแรกในวงเล็บระบุจำนวนด้านที่แต่ละหน้ามี ตัวเลขที่สองระบุจำนวนหน้าที่อยู่ติดกับจุดยอดแต่ละด้าน สัญกรณ์นี้เสนอโดย L. Schläfli (1814-1895) นักคณิตศาสตร์ชาวสวิสผู้รับผิดชอบผลลัพธ์ที่สวยงามมากมายในเรขาคณิตและการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ มีรูปทรงหลายเหลี่ยมไม่นูนซึ่งมีใบหน้าตัดกันและเรียกว่า "รูปทรงหลายเหลี่ยมรูปดาวปกติ" ในเรขาคณิต ตามธรรมเนียมแล้ว รูปทรงหลายเหลี่ยมปกติหมายถึงรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติที่นูนออกมาโดยเฉพาะ

รูปทรงหลายเหลี่ยมปกติบางครั้งเรียกว่า Platonic solid เนื่องจากพวกมันครอบครองสถานที่สำคัญในภาพปรัชญาของโลกที่พัฒนาโดย Plato นักคิดผู้ยิ่งใหญ่ของกรีกโบราณ

รูปทรงหลายเหลี่ยมปกติมี 5 ประเภท: จัตุรมุข, ลูกบาศก์, แปดหน้า, สิบสองหน้า, ไอโคซาฮีดรอน

จัตุรมุขเป็นรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติซึ่งมีพื้นผิวประกอบด้วยสามเหลี่ยมปกติสี่อัน

HEXAHEDRON (CUBE) - รูปทรงหลายเหลี่ยมปกติซึ่งมีพื้นผิวประกอบด้วยรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนปกติหกรูป (สี่เหลี่ยม)

OCTAHEDRON เป็นรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติซึ่งมีพื้นผิวประกอบด้วยสามเหลี่ยมปกติแปดรูป

โดเดคาเฮดรอนเป็นรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติซึ่งมีพื้นผิวประกอบด้วยรูปห้าเหลี่ยมปกติจำนวน 12 รูป

ICOSAHEDRON เป็นรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติซึ่งมีพื้นผิวประกอบด้วยสามเหลี่ยมปกติจำนวน 20 รูป

ชื่อของรูปทรงหลายเหลี่ยมเหล่านี้มาจากกรีกโบราณ และระบุจำนวนใบหน้า:

"edra" - ขอบ;

"เตตร้า" - 4;

"เฮกซ่า" - 6;

"อ็อกต้า" - 8;

“ อิโคสะ” - 20;

"โดเดก้า" - 12.

ในรูป 3 แสดงรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติ

จากประวัติศาสตร์

เพลโตเชื่อว่าโลกถูกสร้างขึ้นจาก "ธาตุ" สี่ชนิด ได้แก่ ไฟ ดิน อากาศ และน้ำ และอะตอมของ "องค์ประกอบ" เหล่านี้มีรูปร่างเป็นรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติสี่รูปทรง จัตุรมุขเป็นรูปไฟเนื่องจากยอดของมันชี้ขึ้นด้านบนเหมือนเปลวไฟที่ลุกโชน icosahedron - เป็นน้ำที่มีความคล่องตัวมากที่สุด ลูกบาศก์เป็นรูปทรงที่มั่นคงที่สุด - โลกและทรงแปดหน้าคืออากาศ ในยุคของเรา ระบบนี้สามารถเปรียบเทียบได้กับสถานะทั้งสี่ของสสาร ได้แก่ ของแข็ง ของเหลว ก๊าซ และเปลวไฟ รูปทรงหลายเหลี่ยมที่ห้า รูปทรงสิบสองหน้า เป็นสัญลักษณ์ของโลกทั้งใบและถือว่ามีความสำคัญที่สุด นี่เป็นหนึ่งในความพยายามครั้งแรกที่จะแนะนำแนวคิดเรื่องการจัดระบบให้เป็นวิทยาศาสตร์

ชาวกรีกโบราณถือว่ารูปทรงสิบสองหน้าเป็นรูปร่างของจักรวาล พวกเขายังได้ศึกษาคุณสมบัติทางเรขาคณิตหลายประการของของแข็งพลาโตนิก ผลการวิจัยของพวกเขาสามารถพบได้ในหนังสือเล่มที่ 13 ของ Euclid's Elements

การศึกษาของแข็ง Platonic และตัวเลขที่เกี่ยวข้องยังคงดำเนินต่อไปจนถึงทุกวันนี้ แม้ว่าความงามและความสมมาตรเป็นแรงจูงใจหลักสำหรับการวิจัยสมัยใหม่ แต่ก็ยังมีความสำคัญทางวิทยาศาสตร์อยู่บ้าง โดยเฉพาะอย่างยิ่งในด้านผลึกศาสตร์ ผลึกของเกลือแกง โซเดียมไทโอแอนติโมไนด์ และโครเมียมสารส้มเกิดขึ้นในธรรมชาติในรูปของลูกบาศก์ จัตุรมุข และแปดด้านตามลำดับ ไม่พบ icosahedron และ dodecahedron ในรูปแบบผลึก แต่สามารถสังเกตได้ในรูปแบบของสิ่งมีชีวิตในทะเลด้วยกล้องจุลทรรศน์ที่เรียกว่า radiolarians

คุณสมบัติของรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติ- จุดยอดของรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติใดๆ อยู่บนทรงกลม (ซึ่งแทบจะไม่น่าแปลกใจเลยถ้าเราจำได้ว่าจุดยอดของรูปหลายเหลี่ยมปกติใดๆ อยู่บนวงกลม) นอกจากทรงกลมนี้เรียกว่า "ทรงกลมอธิบาย" แล้ว ยังมีทรงกลมที่สำคัญอีกสองทรงกลม หนึ่งในนั้นคือ "ทรงกลมมัธยฐาน" ผ่านจุดกึ่งกลางของขอบทั้งหมด และอีกอันคือ "ทรงกลมที่ถูกจารึกไว้" สัมผัสทุกใบหน้าที่อยู่ตรงกลาง ทรงกลมทั้งสามมีจุดศูนย์กลางร่วมซึ่งเรียกว่าศูนย์กลางของรูปทรงหลายเหลี่ยม

จำนวนรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติ- เป็นเรื่องปกติที่จะถามว่า นอกจากของแข็งพลาโตนิกแล้ว ยังมีรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติอื่นๆ อีกหรือไม่

ของแข็งพลาโตนิกเป็นอะนาล็อกสามมิติของรูปหลายเหลี่ยมปกติแบบแบน อย่างไรก็ตาม มีความแตกต่างที่สำคัญระหว่างกรณีสองมิติและสามมิติ: มีรูปหลายเหลี่ยมปกติที่แตกต่างกันมากมายนับไม่ถ้วน แต่มีรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติที่แตกต่างกันเพียงห้ารูป ข้อพิสูจน์ข้อเท็จจริงนี้เป็นที่รู้จักมานานกว่าสองพันปีแล้ว ด้วยการพิสูจน์นี้และการศึกษาของแข็งปกติทั้งห้า องค์ประกอบของยุคลิดจึงเสร็จสมบูรณ์

ตามข้อควรพิจารณาง่ายๆ ต่อไปนี้ คำตอบต้องเป็นค่าลบ ให้ (p, q) เป็นรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติตามต้องการ เนื่องจากหน้าของมันคือรูป p-gon ปกติ มุมภายในของพวกมันจึงเท่ากับ (180 - 360/p) หรือ 180 (1 - 2/p) องศา ดังที่แสดงให้เห็นได้ง่าย เนื่องจากรูปทรงหลายเหลี่ยม (p, q) มีลักษณะนูนออกมา ผลรวมของมุมภายในทั้งหมดตามแนวหน้าที่อยู่ติดกับจุดยอดใดๆ จะต้องน้อยกว่า 360 องศา แต่จุดยอดแต่ละจุดมีหน้า q อยู่ติดกัน ดังนั้นอสมการจึงต้องคงไว้

สัญลักษณ์อยู่ที่ไหน< означает "меньше чем". После несложных алгебраических преобразований полученное неравенство приводится к виду

ง่ายที่จะเห็นว่า p และ q ต้องมากกว่า 2 การแทนที่ p = 3 ลงใน (1) เราพบว่าค่าที่ถูกต้องสำหรับ q ในกรณีนี้คือ 3, 4 และ 5 เท่านั้น เช่น เราได้รูปทรงหลายเหลี่ยม (3, 3), (3, 4) และ (3, 5) สำหรับ p = 4 ค่าที่ถูกต้องเพียงค่าเดียวสำหรับ q คือ 3 นั่นคือ รูปทรงหลายเหลี่ยม (4, 3) ที่มี p = 5 ก็ตอบสนองความไม่เท่าเทียมกัน (1) เพียง q = 3 เท่านั้น เช่น รูปทรงหลายเหลี่ยม (5, 3) สำหรับ p > 5 ไม่มีค่า q ที่ถูกต้อง ดังนั้นจึงไม่มีรูปทรงหลายเหลี่ยมแบบปกติอื่นๆ ยกเว้นของแข็งพลาโตนิก

3. รูปทรงหลายเหลี่ยมแบบกึ่งปกติด้านบนเราดูรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติเช่น รูปทรงหลายเหลี่ยมนูนดังกล่าวซึ่งมีใบหน้าเป็นรูปหลายเหลี่ยมปกติเท่ากัน และที่แต่ละจุดยอดซึ่งมีจำนวนใบหน้าเท่ากัน หากตามคำจำกัดความนี้ เรายอมให้ใบหน้าของรูปทรงหลายเหลี่ยมสามารถเป็นรูปหลายเหลี่ยมปกติที่แตกต่างกันได้ เราก็จะได้รูปทรงหลายเหลี่ยมที่เรียกว่ากึ่งสม่ำเสมอ (equiangle semiregular)

รูปทรงหลายเหลี่ยมกึ่งสม่ำเสมอคือรูปทรงหลายเหลี่ยมนูนที่มีใบหน้าเป็นรูปหลายเหลี่ยมปกติ (อาจมีจำนวนด้านต่างกัน) และมุมหลายเหลี่ยมทุกมุมเท่ากัน

รูปทรงหลายเหลี่ยมกึ่งปกติประกอบด้วยปริซึม n-gonal ปกติ ซึ่งขอบทั้งหมดเท่ากัน ตัวอย่างเช่น ปริซึมห้าเหลี่ยมปกติในรูปที่ 4 กมีหน้าเป็นรูปห้าเหลี่ยมปกติ 2 รูป คือ ฐานของปริซึม และรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส 5 รูปเป็นพื้นผิวด้านข้างของปริซึม รูปทรงหลายเหลี่ยมกึ่งปกติยังรวมถึงสิ่งที่เรียกว่าแอนติปริซึมด้วย ในรูปที่ 4 ขเราเห็นแอนติปริซึมห้าเหลี่ยมที่ได้จากปริซึมห้าเหลี่ยมโดยการหมุนฐานหนึ่งเทียบกับอีกฐานหนึ่งเป็นมุม 36 จุดยอดแต่ละฐานของฐานบนและฐานล่างเชื่อมต่อกับจุดยอดที่ใกล้ที่สุดสองฐานของอีกฐานหนึ่ง

เอ บี ซี

นอกจากรูปทรงหลายเหลี่ยมกึ่งปกติที่ไม่มีที่สิ้นสุดทั้งสองชุดนี้แล้ว ยังมีรูปทรงหลายเหลี่ยมกึ่งปกติอีก 13 ชิ้นที่ถูกค้นพบและอธิบายครั้งแรกโดยอาร์คิมีดีส - เหล่านี้คือของแข็งอาร์คิมีดีน

สิ่งที่ง่ายที่สุดนั้นได้มาจากรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติโดยการดำเนินการ "การตัดทอน" ซึ่งประกอบด้วยการตัดมุมของรูปทรงหลายเหลี่ยมด้วยเครื่องบิน ถ้าเราตัดมุมของจัตุรมุขด้วยระนาบ ซึ่งแต่ละอันตัดหนึ่งในสามของขอบที่โผล่ออกมาจากจุดยอดหนึ่ง เราจะได้จัตุรมุขที่ถูกตัดทอนซึ่งมีแปดหน้า (รูปที่ 4, วี- ในจำนวนนี้มีสี่รูปเป็นรูปหกเหลี่ยมปกติและสี่รูปเป็นรูปสามเหลี่ยมปกติ ใบหน้าทั้งสามมาบรรจบกันที่แต่ละจุดยอดของรูปทรงหลายเหลี่ยมนี้

หากเราตัดจุดยอดของทรงแปดหน้าและไอโคซาฮีดรอนในลักษณะนี้ เราจะได้ทรงแปดหน้าแบบถูกตัดทอน (รูปที่ 5, a) และไอโคซาเฮดรอนแบบตัดปลาย (รูปที่ 5, b) ตามลำดับ โปรดทราบว่าพื้นผิวของลูกฟุตบอลนั้นมีรูปร่างเหมือนพื้นผิวของไอโคซาฮีดรอนที่ถูกตัดทอน จากลูกบาศก์และสิบสองหน้าคุณยังสามารถได้ลูกบาศก์ที่ถูกตัดทอน (รูปที่ 5, c) และรูปทรงสิบสองหน้าที่ถูกตัดทอน (รูปที่ 5, d)

ข ค ดี

เราตรวจสอบรูปทรงหลายเหลี่ยมกึ่งปกติ 4 ชิ้นจากทั้งหมด 13 ชิ้นที่อาร์คิมิดีสบรรยายไว้ สิ่งที่เหลืออยู่คือรูปทรงหลายเหลี่ยมประเภทที่ซับซ้อนกว่า

จากประวัติศาสตร์

สมมติฐานทางจักรวาลวิทยาของเคปเลอร์นั้นดั้งเดิมมาก ซึ่งเขาพยายามเชื่อมโยงคุณสมบัติบางอย่างของระบบสุริยะกับคุณสมบัติของรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติ เคปเลอร์เสนอว่าระยะห่างระหว่างดาวเคราะห์ทั้ง 6 ดวงในขณะนั้นนั้นแสดงออกมาเป็นขนาดของรูปทรงโพลีเฮดรานูนปกติ 5 ดวง (ของแข็งสงบ) ระหว่างทรงกลมท้องฟ้าแต่ละคู่ซึ่งตามสมมติฐานนี้ ดาวเคราะห์หมุนรอบ เคปเลอร์ได้จารึกหนึ่งในของแข็งพลาโตนิก มีการอธิบายรูปแปดหน้ารอบทรงกลมของดาวพุธ ซึ่งเป็นดาวเคราะห์ที่อยู่ใกล้ดวงอาทิตย์มากที่สุด ทรงแปดหน้านี้ถูกจารึกไว้ในทรงกลมของดาวศุกร์ ซึ่งเป็นบริเวณที่บรรยายถึงรูปทรงสามมิติ มีการอธิบายทรงกลมของโลกไว้รอบ ๆ รูปทรงหลายเหลี่ยม และมีการอธิบายรูปทรงสิบสองหน้ารอบทรงกลมนี้

ก้าวสำคัญในวิทยาศาสตร์ของรูปทรงหลายเหลี่ยมเกิดขึ้นในศตวรรษที่ 18 โดย Leonhard Euler (1707-1783) ผู้ซึ่ง "เชื่อในความสามัคคีในพีชคณิตโดยไม่ต้องพูดเกินจริง" ทฤษฎีบทของออยเลอร์เกี่ยวกับความสัมพันธ์ระหว่างจำนวนจุดยอด ขอบ และหน้าของรูปทรงหลายเหลี่ยมนูน ซึ่งเป็นข้อพิสูจน์ที่ออยเลอร์ตีพิมพ์ในปี 1758 ในรายงานการประชุมของสถาบันวิทยาศาสตร์แห่งเซนต์ปีเตอร์สเบิร์ก ได้นำลำดับทางคณิตศาสตร์มาสู่โลกแห่งรูปทรงหลายเหลี่ยมที่หลากหลายในที่สุด

จุดยอด + ใบหน้า - ขอบ = 2

องค์ประกอบของความสมมาตรของรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติ

ร่างกายปกติและกึ่งปกติบางส่วนพบในธรรมชาติในรูปของผลึก ส่วนอื่น ๆ - ในรูปของไวรัส จุลินทรีย์ธรรมดา

รูปทรงหลายเหลี่ยมดาว

รูปทรงหลายเหลี่ยมแบบสเตลเลทได้มาจากรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติโดยการขยายหน้าหรือขอบในลักษณะเดียวกับรูปหลายเหลี่ยมแบบสเตเลทที่ได้มาจากการขยายด้านข้างของรูปหลายเหลี่ยมปกติ

เจ. เคปเลอร์ (ค.ศ. 1571-1630) ค้นพบรูปทรงหลายเหลี่ยมแบบสเตเลทปกติสองอันแรก และอีกสองอันถูกสร้างขึ้นเกือบ 200 ปีต่อมาโดยนักคณิตศาสตร์และช่างเครื่องชาวฝรั่งเศส แอล. พอยน์ซอต (พ.ศ. 2320-2402) นั่นคือเหตุผลว่าทำไมรูปทรงโพลีเฮดราที่มีดาวฤกษ์ปกติจึงถูกเรียกว่าร่างกายของเคปเลอร์-พอยน์โซต์

ในงานของเขาเรื่อง "On polygons and polyhedra" (1810) Poinsot บรรยายถึงรูปทรงหลายเหลี่ยมแบบ stellate สี่รูปทรงปกติ แต่คำถามเกี่ยวกับการมีอยู่ของรูปทรงหลายเหลี่ยมอื่น ๆ ดังกล่าวยังคงเปิดอยู่ คำตอบได้รับในอีกหนึ่งปีต่อมาในปี พ.ศ. 2354 โดยนักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศส O. Cauchy (1789-1857) ในงานของเขา "การศึกษาเกี่ยวกับรูปทรงหลายเหลี่ยม" เขาได้พิสูจน์ว่าไม่มีรูปทรงหลายเหลี่ยมที่มีดวงดาวแบบปกติอื่นใด

ให้เราพิจารณาคำถามที่ว่ารูปทรงหลายเหลี่ยมปกติแบบใดที่สามารถนำมาใช้เพื่อให้ได้รูปทรงหลายเหลี่ยมรูปดาวแบบปกติได้ รูปทรงหลายเหลี่ยมรูปดาวปกติไม่สามารถหาได้จากจัตุรมุข ลูกบาศก์ หรือทรงแปดหน้า ลองใช้รูปทรงสิบสองหน้ากัน ความต่อเนื่องของขอบนำไปสู่การแทนที่แต่ละหน้าด้วยรูปห้าเหลี่ยมปกติที่มีดาว (รูปที่ 30, a) และผลที่ตามมาคือรูปทรงหลายเหลี่ยมเกิดขึ้นซึ่งเรียกว่ารูปทรงสิบสองเหลี่ยมที่มีดาวขนาดเล็ก (รูปที่ 30, b)

เมื่อขยายใบหน้าของรูปทรงสิบสองหน้าออกไป จะเกิดความเป็นไปได้สองประการ ประการแรก ถ้าเราพิจารณารูปห้าเหลี่ยมปกติ เราจะได้สิ่งที่เรียกว่าทรงสิบสองหน้าใหญ่ (รูปที่ 31) ประการที่สอง หากเราถือว่าห้าเหลี่ยมที่มีกลุ่มดาวเป็นใบหน้า เราก็จะได้รูปทรงสิบสองหน้าที่มีดาวขนาดใหญ่ (รูปที่ 32)

icosahedron มีรูปร่างเป็นรูปดาวดวงเดียว เมื่อขยายใบหน้าของไอโคซาเฮดรอนแบบปกติออกไป ก็จะได้ไอโคซาเฮดรอนขนาดใหญ่ (รูปที่ 33)

ดังนั้นจึงมีโพลีเฮดราที่มีดาวฤกษ์ปกติอยู่ 4 ประเภท

รูปทรงหลายเหลี่ยมรูปดาวมีการตกแต่งอย่างดีซึ่งช่วยให้สามารถนำมาใช้กันอย่างแพร่หลายในอุตสาหกรรมเครื่องประดับในการผลิตเครื่องประดับทุกชนิด

รูปทรงหลายเหลี่ยมแบบสเตเลทหลายรูปแบบได้รับการแนะนำโดยธรรมชาติ เกล็ดหิมะเป็นรูปทรงหลายเหลี่ยมรูปดาว (รูปที่ 34) ตั้งแต่สมัยโบราณผู้คนพยายามอธิบายเกล็ดหิมะทุกประเภทที่เป็นไปได้และรวบรวมแผนที่พิเศษ ปัจจุบันเรารู้จักเกล็ดหิมะหลายพันชนิดแล้ว

ข้อมูลที่เกี่ยวข้อง.