รังสีเป็นตัวอย่างส่วนตรง จุดยอด C และจุดยอด D อยู่ติดกัน ด้าน BC และด้าน CD อยู่ติดกัน

บ้าน

ในระหว่างบทเรียน คุณจะคุ้นเคยกับแนวคิดเรื่องระนาบกับตัวเลขขั้นต่ำต่างๆ ที่มีอยู่ในเรขาคณิต และศึกษาคุณสมบัติของพวกมัน เรียนรู้ว่าเส้นตรง ส่วน รังสี มุม ฯลฯ คืออะไร ทั้งหมดรูปทรงเรขาคณิต

เราวาดบนกระดาษด้วยดินสอบนกระดานดำด้วยชอล์กหรือปากกามาร์กเกอร์ บ่อยครั้งในฤดูร้อนเราวาดรูปบนยางมะตอยด้วยชอล์กหรือก้อนกรวดสีขาว และทุกครั้งก่อนที่เราจะเริ่มวาดสิ่งที่เราวางแผนไว้ เราจะประเมินว่าเรามีพื้นที่เพียงพอหรือไม่ และเนื่องจากเราไม่ค่อยทราบขนาดที่แน่นอนของการวาดภาพในอนาคต เราจึงจำเป็นต้องใช้พื้นที่โดยมีระยะขอบเสมอ และควรมีระยะขอบมากเป็นพิเศษ โดยปกติแล้วเราไม่กลัวว่าพื้นที่ในการวาดจะหมดหากพื้นที่ที่จะวาดมีขนาดใหญ่กว่าภาพวาดหลายเท่า จึงมียางมะตอยในสนามเพียงพอที่จะสร้างสนามกระโดดได้ แผ่นสมุดบันทึกก็เพียงพอที่จะวาดส่วนที่ตัดกันสองส่วนตรงกลาง

ในทางคณิตศาสตร์ สนามที่เราพรรณนาทุกสิ่งคือระนาบ (รูปที่ 1)

ข้าว. 1. เครื่องบิน

เธอมีคุณสมบัติสองประการ:

1. คุณสามารถพรรณนาถึงร่างใด ๆ ที่เราได้พูดคุยไปแล้วหรือจะพูดถึงอีกครั้ง

2. เราจะไปไม่ถึงขอบ ขนาดของมันถือได้ว่าใหญ่กว่าขนาดของรูปภาพมาก

ความจริงที่ว่าเราไม่เคยไปถึงขอบของเครื่องบินสามารถเข้าใจได้ว่าเป็นการไม่มีขอบเลย เราไม่ต้องการขอบของมัน ดังนั้นเราจึงตกลงที่จะถือว่าไม่มีอยู่จริง (รูปที่ 2)

ข้าว. 2. เครื่องบินไม่มีที่สิ้นสุด

ในแง่นี้ ระนาบไม่มีที่สิ้นสุดในทุกทิศทาง เราคิดได้เป็นใบใหญ่

กระดาษ พื้นยางมะตอยเรียบขนาดใหญ่ หรือกระดานวาดภาพขนาดใหญ่

รูปทรงเรขาคณิตมีมากมายนับไม่ถ้วน และเป็นไปไม่ได้เลยที่จะศึกษารูปทรงเหล่านี้ทั้งหมด แต่เรขาคณิตนั้นทำงานเหมือนกับชุดก่อสร้างมาก มีชิ้นส่วนพื้นฐานหลายประเภทที่คุณสามารถสร้างทุกสิ่งทุกอย่างได้ ซึ่งก็คือสิ่งปลูกสร้างที่ซับซ้อนที่สุด

หลักการนี้สามารถเปรียบเทียบกับคำและตัวอักษรได้: เรารู้ตัวอักษรทั้งหมด แต่เราไม่รู้คำศัพท์ทั้งหมด เมื่อเราเจอคำที่ไม่คุ้นเคย เราก็สามารถอ่านได้เพราะเรารู้ว่าตัวอักษรนั้นเขียนอย่างไรและออกเสียงอย่างไร

ในทางคณิตศาสตร์ก็เหมือนกัน - มีรูปทรงเรขาคณิตพื้นฐานเพียงไม่กี่ตัวที่คุณและฉันจำเป็นต้องรู้ให้ดี พิจารณาส่วนต่างๆ (รูปที่ 3) ส่วนที่เป็นเส้นที่สั้นที่สุด

เชื่อมต่อสองจุด

เรามาต่อส่วนทั้งสองทิศทางกันจนถึงระยะอนันต์ เราก็จะมุ่งตรงต่อไปเช่นกัน

“ตรง” หมายความว่าอะไร? พิจารณาส่วนต่างๆ และ (รูปที่ 4)

ข้าว. 4. ส่วนและ

มาดำเนินการต่อทั้งสองทิศทาง เส้นบนเป็นเส้นตรง แต่เส้นล่างไม่ตรง (รูปที่ 5)

เรามาเพิ่มอีกจุดหนึ่งที่บรรทัดบนและล่าง (รูปที่ 6) ส่วนของเส้นบนระหว่างจุดและเป็นส่วนด้วย แต่ส่วนของเส้นล่างระหว่างจุดและส่วนนั้นไม่ใช่ เนื่องจากไม่ได้เชื่อมต่อจุดเหล่านี้ตามเส้นทางที่สั้นที่สุด

ข้าว. 6. ความต่อเนื่องของเส้นและ

เส้นตรงคือเส้นที่ต่อเนื่องกันอย่างไม่มีกำหนดในทั้งสองทิศทาง โดยส่วนใดๆ ซึ่งถูกจำกัดด้วยจุดสองจุดถือเป็นเซ็กเมนต์

เส้นตรงคือเส้นประเภทหนึ่ง และเช่นเดียวกับเส้นอื่นๆ เส้นตรงก็คือตัวเลข และสำหรับเส้นใดๆ จุดที่กำหนดอาจเป็นของเส้นที่กำหนดหรือไม่ (รูปที่ 7)

ข้าว. 7. คะแนนและเป็นของเส้น และคะแนนที่ไม่เป็นของเส้น

1. เส้นตรงแบ่งระนาบออกเป็นสองส่วน ออกเป็นสองระนาบครึ่ง ในรูปที่ 8 จุดและอยู่ในระนาบครึ่งระนาบเดียวกัน และ - อยู่ในระนาบครึ่งระนาบที่ต่างกัน

ข้าว. 8. เครื่องบินครึ่งลำสองลำ

2. คุณสามารถลากเส้นตรงผ่านจุดสองจุดได้เสมอและมีเพียงจุดเดียวเท่านั้น (รูปที่ 9)

เส้นตรงเช่นเดียวกับเส้นอื่นๆ สามารถทำเครื่องหมายด้วยอักษรตัวพิมพ์เล็กของตัวอักษรละตินหนึ่งตัวหรือลำดับของจุดที่อยู่บนนั้น หากต้องการกำหนดเส้นผ่านจุดที่วางอยู่ สองจุดก็เพียงพอแล้ว

เมื่อขยายส่วนทั้งสองทิศทางไปจนถึงอนันต์เราจะได้เส้นตรง หากเราขยายส่วนนั้นออกไป แต่ไปในทิศทางเดียวจนถึงอนันต์ เราจะได้รูปที่เรียกว่ารังสี (รูปที่ 10) ลำแสงทรงเรขาคณิตนี้คล้ายกับลำแสงมาก จึงเป็นที่มาของชื่อนี้ หากคุณหยิบตัวชี้เลเซอร์ขึ้นมา ลำแสงจะเริ่มที่ตัวชี้และไปยังระยะอนันต์เป็นเส้นตรง

ข้าว. 10. บีม

จุดนี้เรียกว่าจุดเริ่มต้นของรังสี รังสีถูกระบุ

หากคุณทำเครื่องหมายจุดบนเส้นตรง มันจะแบ่งเส้นตรงนี้ออกเป็นสองรังสี (รูปที่ 11) รังสีทั้งสองมีต้นกำเนิดที่จุด แต่มุ่งไปในทิศทางที่ต่างกัน รังสีทั้งสองนี้ประกอบกันเป็นเส้นตรงและเป็นครึ่งหนึ่ง ดังนั้นลำแสงจึงมักถูกเรียกว่า "ครึ่งทางตรง"

ข้าว. 11. จุดหนึ่งแบ่งเส้นตรงออกเป็นสองรังสี

พิจารณารูปที่ 12

ข้าว. 12. ส่วน เส้นตรง และรังสี

มาดูกันว่าเซกเมนต์ เส้นตรง และรังสีมีความคล้ายคลึงและต่างกันอย่างไร:

ส่วนและลำแสงสามารถทำให้เป็นเส้นตรงได้อย่างง่ายดาย ด้วยเหตุนี้ ส่วนจะต้องขยายออกไปทั้งสองทิศทาง และลำแสงไปในทิศทางเดียว

คุณสามารถเลือกส่วนหรือรังสีบนเส้นตรงได้ตลอดเวลา

จุดแบ่งเส้นตรงออกเป็นสองรังสี ออกเป็นสองเส้นครึ่งเส้น

จุดและจำกัดส่วนของเส้นตรง

ตัวเลขทั้งหมดเหล่านี้: ส่วน, รังสี, เส้นตรงคือ "เส้นตรง" พวกเขาแตกต่างกันเมื่อมีจุดสิ้นสุด ส่วนมีสองส่วน รังสีมีหนึ่งส่วน และเส้นตรงไม่มีเลย วิธีอธิบายอีกอย่างคือ ทั้งรังสีและเซ็กเมนต์เป็นส่วนหนึ่งของเส้นตรง

เรารู้ว่าส่วนสามารถวัดความยาวได้ สามารถเปรียบเทียบสองส่วนเพื่อดูว่าส่วนใดยาวกว่า

เส้นตรงดำเนินต่อไปอย่างไม่มีกำหนดทั้งสองทิศทาง รังสียังคงดำเนินต่อไปในทิศทางเดียว ด้วยเหตุนี้ จึงเป็นไปไม่ได้ที่จะวัดความยาวของเส้นตรงหรือลำแสง และไม่สามารถเปรียบเทียบความยาวของเส้นตรงสองเส้นหรือคานสองเส้นได้ ล้วนมีอนันต์ไม่แพ้กัน

รังสีสองเส้นที่มีต้นกำเนิดอยู่ที่จุดเดียวกันก่อให้เกิดรูปทรงเรขาคณิตอีกรูปหนึ่งจากชุดหลักนั่นคือมุม จุดที่จุดเริ่มต้นของรังสีทั้งสองเรียกว่าจุดยอดของมุม รังสีนั้นเรียกว่าด้านข้างของมุม

ดังนั้น มุมจึงเป็นร่างที่ประกอบด้วยรังสีสองเส้นที่โผล่ออกมาจากจุดหนึ่ง (รูปที่ 13)

ข้าว. 13. มุม

มุมถูกกำหนดด้วยตัวอักษรหนึ่งตัวที่สอดคล้องกับการกำหนดจุดยอด ในกรณีนี้มุมสามารถเรียกได้ว่าเป็นมุม (รูปที่ 14) เพื่อให้ชัดเจนว่าเรากำลังพูดถึงมุม ไม่ใช่เกี่ยวกับจุด ก่อนชื่อคุณต้องเขียนคำว่า "มุม" หรือใส่ เครื่องหมายพิเศษมุม("").

ข้าว. 14. มุม

ถ้ามองจากด้านบนจะเข้าใจได้ยากว่ามุมไหน เรากำลังพูดถึงดังรูปที่ 15 จากนั้นใช้อีกสองจุดทั้งสองด้านของมุม

หากคุณตั้งชื่อมุมในรูปนี้ ก็ไม่ชัดเจนว่าเรากำลังพูดถึงมุมไหน เนื่องจากจุดยอด ณ จุดหนึ่งเราจะเห็นมุมต่างๆ ดังนั้นเราจะเพิ่มจุดไปที่ด้านข้างของมุมที่เราต้องการและแสดงมุมดังกล่าว (รูปที่ 15)

ข้าว. 15. มุม

เมื่อกำหนด คุณสามารถไปในทิศทางตรงกันข้ามได้ แต่เพื่อให้จุดยอดกลับมาอยู่ตรงกลางของสัญกรณ์อีกครั้ง

ชื่อทั่วไปอีกอย่างหนึ่งคืออักษรกรีกตัวหนึ่ง: อัลฟา เบต้า แกมมา และอื่นๆ (รูปที่ 16) ในกรณีนี้ตัวอักษรมักจะเขียนอยู่ที่มุม (รูปที่ 17)

ข้าว. 16. อักษรกรีก

ข้าว. 17. ชื่อของมุมที่เขียนไว้ภายในมุม

ดังนั้น ในรูปที่ 18 การกำหนด , , เทียบเท่าและแสดงถึงมุมเดียวกัน

ข้าว. 18... - มุมเดียวกัน

ปล่อยให้เส้นตรงสองเส้นตัดกันที่จุดหนึ่ง (รูปที่ 19) จุดแบ่งแต่ละเส้นออกเป็นสองรังสี นั่นคือทั้งหมด 4 รังสี รังสีแต่ละคู่กำหนดมุม

ข้าว. 19. คานตรงและขึ้นรูป 4 คาน

ตัวอย่างเช่น, , , .

ผ่านสองจุดคุณสามารถวาดเส้นตรงได้ตลอดเวลา นี่เป็นกรณีที่มีจุดสามจุดหรือไม่?

ในรูปที่ 20 สามารถลากเส้นตรงผ่านจุดสามจุดได้ แต่ในรูปที่ 21 เป็นไปไม่ได้

ข้าว. 20. คุณสามารถวาดเส้นตรงผ่านจุดสามจุดได้

ข้าว. 21. คุณไม่สามารถลากเส้นตรงผ่านจุดสามจุดได้

จุดสามจุดในรูปนี้ว่ากันว่าอยู่บนเส้นตรงเดียวกัน กล่าวกันว่าแม้ว่าจะไม่ได้วาดเส้นตรงก็ตาม เพียงบอกเป็นนัยว่าสามารถวาดได้ ในกรณีที่สอง พวกเขาบอกว่าจุดไม่อยู่บนเส้นเดียวกัน หมายความว่าไม่สามารถลากเส้นผ่านทั้งสามจุดได้

หากเราเชื่อมต่อตามลำดับจุดที่ 1 และ 2 จากนั้นจุดที่ 2 และ 3 จากนั้นเส้นผลลัพธ์จะเรียกว่าเส้นขาด (รูปที่ 22) ชื่อนี้ตามมาจากรูปลักษณ์ภายนอก

ข้าว. 22. พัง

คล้ายกับเส้นโพลีไลน์ คุณสามารถเชื่อมต่อจุดจำนวนเท่าใดก็ได้ จุด , , , เรียกว่าจุดยอดของเส้นขาด ส่วน , , เรียกว่าจุดเชื่อมต่อของเส้นขาด

เส้นขาดถูกระบุโดยจุดยอด

ข้าว. 23. พัง

หากจุดสุดท้ายเชื่อมต่อกับจุดแรก เส้นแบ่งที่เกิดขึ้นจะเรียกว่าปิด (รูปที่ 24)

ข้าว. 24. โพลีไลน์แบบปิด

เส้นโพลีไลน์ใดที่สามารถสร้างได้ด้วยชุดจุดยอดและลิงก์ขั้นต่ำ หากมีสองจุดก็สามารถเชื่อมต่อกันด้วยส่วนได้ นี่จะมากที่สุด ตัวอย่างง่ายๆเส้นขาด: จุดยอดสองจุดและหนึ่งลิงก์เชื่อมต่อกัน เราสามารถพูดได้ว่าส่วนนั้นเป็นเส้นขาดที่น้อยที่สุด

หากจำเป็นต้องปิดเส้นขาด เส้นหักที่ง่ายที่สุดจะเป็นสามเหลี่ยม หากคุณเลือกสองจุด คุณสามารถเชื่อมต่อจุดสุดท้ายกับจุดแรกเท่านั้นที่มีส่วนเดียวกันที่มีอยู่แล้ว นั่นคือเส้นที่ขาดจะยังคงเปิดเหมือนเดิม และถ้าคุณเพิ่มอีกจุดหนึ่งที่ไม่อยู่บนเส้นตรงเดียวกันกับจุด และ เชื่อมต่อจุดทั้งหมดด้วยสามส่วนคุณจะได้รูปสามเหลี่ยม (รูปที่ 25)

ข้าว. 25. สามเหลี่ยม

สามเหลี่ยมเป็นเส้นประปิดที่มีจุดยอดสามจุด หรือแม้กระทั่งเช่นนี้: สามเหลี่ยมเป็นเส้นขาดปิดขั้นต่ำ

จุด และเป็นจุดยอดของรูปสามเหลี่ยม ส่วนที่เชื่อมต่อกันซึ่งเป็นส่วนต่อของเส้นประเรียกว่าด้านข้างของรูปสามเหลี่ยม

รูปสามเหลี่ยมถูกกำหนดโดยจุดยอดของมัน ตัวอย่างเช่น, . ก่อนกำหนดคุณต้องใส่คำว่า "สามเหลี่ยม" หรือสัญลักษณ์รูปสามเหลี่ยมพิเศษ (“”)

สามเหลี่ยมหมายถึงสามมุม ด้านสองด้านเล็ดลอดออกมาจากแต่ละจุดยอดนั่นคือด้านข้างของสามเหลี่ยมเป็นด้านข้างของมุม (รูปที่ 26)

ข้าว. 26. มุมของรูปสามเหลี่ยม

ดังนั้น รูปสามเหลี่ยมจึงมีจุดยอดสามจุด (สามจุด และ) มีสามด้าน (สามส่วน และ)

เส้นตรง -แนวคิดพื้นฐานของเรขาคณิตประการหนึ่ง

ชัดเจน เส้นตรงสามารถแสดงเชือกตึง ขอบโต๊ะ ขอบกระดาษ สถานที่ จุดเชื่อมต่อของผนังทั้งสองห้อง ลำแสง เมื่อวาดเส้นตรง ในทางปฏิบัติจะใช้ไม้บรรทัด

เส้นตรงมีลักษณะดังกล่าว ลักษณะเฉพาะ:

1.คุณ เส้นตรงไม่มีจุดเริ่มต้นหรือจุดสิ้นสุด กล่าวคือ ไม่มีสิ้นสุด . สามารถวาดได้เพียงบางส่วนเท่านั้น

2.ในสอง จุดใดก็ได้สามารถดำเนินการได้ เส้นตรงและมีเพียงคนเดียวเท่านั้น

3. ผ่านน จุดใดก็ได้คุณสามารถวาดเส้นตรงบนเครื่องบินได้ไม่จำกัดจำนวน

4. สองอันไม่ตรงกัน เส้นตรงบนเครื่องบินหรือตัดกันที่จุดเดียวหรือพวกมัน ขนาน.

เพื่อบ่งชี้ เส้นตรงใช้ตัวอักษรละตินตัวเล็กตัวใดตัวหนึ่งหรือตัวพิมพ์ใหญ่สองตัวที่เขียนในสองตำแหน่งที่แตกต่างกันในบรรทัดนี้

หากระบุเป็นเส้นตรง จุดแล้วผลก็คือเราได้สองตัว คาน:

บีมส่วนการโทร เส้นตรง,จำกัดด้านใดด้านหนึ่ง. ในการกำหนดลำแสง จะใช้อักษรละตินตัวเล็กหนึ่งตัวหรืออักษรตัวใหญ่สองตัว โดยตัวหนึ่งถูกกำหนดไว้ที่จุดเริ่มต้นของลำแสง

ส่วนของเส้นตรงที่จำกัดไว้ทั้งสองข้างเรียกว่า ส่วน- ส่วนเช่น เส้นตรงถูกกำหนดด้วยตัวอักษรหนึ่งหรือสองตัว ในกรณีหลัง ตัวอักษรเหล่านี้จะระบุจุดสิ้นสุดของส่วนนั้น

เส้นที่เกิดจากหลายส่วนที่ไม่อยู่บนเส้นตรงเดียวกันมักเรียกว่า เส้นขาด- เมื่อปลายเส้นขาดตรงกันแล้ว เส้นขาดเรียกว่า ปิด.

ในบทความนี้ เราจะกล่าวถึงรายละเอียดเกี่ยวกับแนวคิดหลักประการหนึ่งของเรขาคณิต ซึ่งก็คือแนวคิดเรื่องเส้นตรงบนระนาบ ขั้นแรก เรามากำหนดคำศัพท์พื้นฐานและการกำหนดกันก่อน ต่อไป เราจะพูดถึงตำแหน่งสัมพัทธ์ของเส้นตรงและจุด ตลอดจนเส้นตรงสองเส้นบนระนาบ และนำเสนอสัจพจน์ที่จำเป็น โดยสรุป เราจะพิจารณาวิธีการกำหนดเส้นตรงบนเครื่องบินและจัดทำภาพประกอบกราฟิก

การนำทางหน้า

เส้นตรงบนเครื่องบินเป็นแนวคิด

ก่อนที่จะให้แนวคิดเรื่องเส้นตรงบนเครื่องบิน คุณควรเข้าใจให้ชัดเจนว่าเครื่องบินคืออะไร แนวคิดของเครื่องบินช่วยให้คุณได้พื้นผิวเรียบบนโต๊ะหรือผนังที่บ้าน อย่างไรก็ตาม โปรดทราบว่าขนาดของตารางมีจำกัด และระนาบขยายเกินขอบเขตเหล่านี้ไปจนถึงระยะอนันต์ (ราวกับว่าเรามีโต๊ะขนาดใหญ่ตามอำเภอใจ)

หากเราใช้ดินสอที่เหลาดีแล้วแตะปลายของมันกับพื้นผิวของ "โต๊ะ" เราจะได้ภาพของจุดหนึ่ง นี่คือวิธีที่เราได้รับ การแสดงจุดบนเครื่องบิน.

ตอนนี้คุณสามารถไปต่อได้ แนวคิดเรื่องเส้นตรงบนเครื่องบิน.

วางกระดาษสะอาดหนึ่งแผ่นลงบนพื้นผิวโต๊ะ (บนเครื่องบิน) ในการวาดเส้นตรง เราจำเป็นต้องใช้ไม้บรรทัดและวาดเส้นด้วยดินสอ เท่าที่ขนาดของไม้บรรทัดและแผ่นกระดาษที่เราใช้อนุญาตให้เราทำได้ ควรสังเกตว่าด้วยวิธีนี้เราจะได้เพียงส่วนหนึ่งของเส้นเท่านั้น เราคงได้แค่จินตนาการถึงเส้นตรงที่ทอดยาวไปสู่อนันต์

ตำแหน่งสัมพัทธ์ของเส้นและจุด

เราควรเริ่มต้นด้วยสัจพจน์: มีจุดอยู่บนทุกเส้นตรงและในทุกระนาบ

คะแนนมักจะถูกกำหนดโดยขนาดใหญ่ ในตัวอักษรละตินเช่น จุด A และ F ในทางกลับกัน เส้นตรงจะแสดงด้วยตัวอักษรละตินขนาดเล็ก เช่น เส้นตรง a และ d

เป็นไปได้ สองตัวเลือก ตำแหน่งสัมพัทธ์เส้นตรงและจุดบนเครื่องบิน: จุดอยู่บนเส้นอย่างใดอย่างหนึ่ง (ในกรณีนี้ก็บอกว่าเส้นผ่านจุด) หรือจุดไม่อยู่บนเส้น (ว่ากันว่าจุดนั้นไม่อยู่ในเส้นหรือ เส้นไม่ผ่านจุด)

เพื่อระบุว่าจุดนั้นเป็นของเส้นใดเส้นหนึ่ง ให้ใช้สัญลักษณ์ “” เช่น ถ้าจุด A อยู่บนเส้น A เราก็เขียนได้ ถ้าจุด A ไม่อยู่ในบรรทัด a ให้เขียน

ข้อความต่อไปนี้เป็นจริง: มีเพียงเส้นตรงเส้นเดียวที่ลากผ่านจุดสองจุดใดๆ

ข้อความนี้เป็นสัจพจน์และควรได้รับการยอมรับว่าเป็นข้อเท็จจริง นอกจากนี้สิ่งนี้ค่อนข้างชัดเจน: เราทำเครื่องหมายสองจุดบนกระดาษใช้ไม้บรรทัดกับจุดเหล่านั้นแล้ววาดเส้นตรง เส้นตรงที่ผ่านจุดที่กำหนดสองจุด (เช่น ผ่านจุด A และ B) สามารถแสดงด้วยตัวอักษรสองตัวนี้ (ในกรณีของเรา เส้นตรง AB หรือ BA)

ควรเข้าใจว่าบนเส้นตรงที่กำหนดบนระนาบนั้นมีจุดที่แตกต่างกันมากมายอย่างไม่สิ้นสุด และจุดทั้งหมดเหล่านี้อยู่ในระนาบเดียวกัน ข้อความนี้กำหนดขึ้นโดยสัจพจน์: หากจุดสองจุดของเส้นตรงอยู่ในระนาบใดระนาบหนึ่ง จุดทั้งหมดของเส้นนี้จะอยู่ในระนาบนี้

เซตของจุดทั้งหมดที่อยู่ระหว่างจุดสองจุดที่กำหนดบนเส้นตรงพร้อมกับจุดเหล่านี้เรียกว่า ส่วนของเส้นตรงหรือเพียงแค่ ส่วน- จุดที่จำกัดส่วนนั้นเรียกว่าจุดสิ้นสุดของส่วนนั้น ส่วนจะแสดงด้วยตัวอักษรสองตัวที่สอดคล้องกับจุดสิ้นสุดของส่วน ตัวอย่างเช่น ปล่อยให้จุด A และ B เป็นจุดสิ้นสุดของส่วน จากนั้นส่วนนี้สามารถกำหนด AB หรือ BA ได้ โปรดทราบว่าการกำหนดส่วนนี้เกิดขึ้นพร้อมกับการกำหนดเส้นตรง เพื่อหลีกเลี่ยงความสับสน เราขอแนะนำให้เพิ่มคำว่า "กลุ่ม" หรือ "ตรง" ในการกำหนด

หากต้องการบันทึกโดยย่อว่าจุดใดจุดหนึ่งเป็นหรือไม่เป็นของส่วนใดส่วนหนึ่ง ให้ใช้สัญลักษณ์เดียวกันและถูกนำมาใช้ เพื่อแสดงว่าส่วนหนึ่งอยู่หรือไม่อยู่บนเส้น ให้ใช้สัญลักษณ์ และ ตามลำดับ ตัวอย่างเช่น หากกลุ่ม AB อยู่ในบรรทัด a คุณสามารถเขียนสั้นๆ ได้

เราควรพิจารณากรณีที่จุดสามจุดที่แตกต่างกันอยู่ในบรรทัดเดียวกัน ในกรณีนี้ จุดเดียวเท่านั้นที่อยู่ระหว่างอีกสองจุด คำสั่งนี้เป็นความจริงอีกประการหนึ่ง ให้จุด A, B และ C อยู่บนเส้นเดียวกัน และจุด B อยู่ระหว่างจุด A และ C จากนั้นเราสามารถพูดได้ว่าจุด A และ C อยู่ด้านตรงข้ามของจุด B นอกจากนี้เรายังสามารถพูดได้ว่าจุด B และ C อยู่บนด้านเดียวกันของจุด A และจุด A และ B อยู่บนด้านเดียวกันของจุด C

เพื่อให้ภาพสมบูรณ์ เราสังเกตว่าจุดใดๆ บนเส้นแบ่งเส้นนี้ออกเป็นสองส่วน - สอง คาน- ในกรณีนี้ ให้สัจพจน์: จุด O ใดๆ ที่เป็นของเส้นตรง แบ่งเส้นนี้ออกเป็นสองรังสี และจุดสองจุดใดๆ ของรังสีหนึ่งจุดจะอยู่บนด้านเดียวกันของจุด O และจุดสองจุดใดๆ ที่มีรังสีต่างกัน นอนอยู่ฝั่งตรงข้ามของจุด O

ตำแหน่งสัมพัทธ์ของเส้นบนระนาบ

ตอนนี้เรามาตอบคำถาม: “เส้นตรงสองเส้นจะวางอยู่บนระนาบที่สัมพันธ์กันได้อย่างไร”

ประการแรก เส้นตรงสองเส้นบนเครื่องบินสามารถทำได้ ตรงกัน.

เป็นไปได้ในกรณีที่เส้นตรงมีเส้นตรงแต่ละเส้น อย่างน้อยสองจุดทั่วไป โดยอาศัยสัจพจน์ที่กล่าวไว้ในย่อหน้าก่อนๆ มีเพียงเส้นตรงเส้นเดียวที่ลากผ่านจุดสองจุดเท่านั้น กล่าวอีกนัยหนึ่ง หากเส้นตรงสองเส้นผ่านจุดที่กำหนดสองจุด เส้นนั้นจะตรงกัน

ประการที่สอง เส้นตรงสองเส้นบนเครื่องบินสามารถทำได้ ข้าม.

ในกรณีนี้ เส้นจะมีจุดร่วมจุดเดียวซึ่งเรียกว่าจุดตัดกันของเส้น จุดตัดของเส้นจะแสดงด้วยสัญลักษณ์ "" เช่น ค่าเข้าหมายความว่าเส้น a และ b ตัดกันที่จุด M เส้นที่ตัดกันนำเราไปสู่แนวคิดเรื่องมุมระหว่างเส้นที่ตัดกัน ควรพิจารณาตำแหน่งของเส้นตรงบนเครื่องบินแยกจากกันเมื่อมุมระหว่างเส้นตรงอยู่ที่เก้าสิบองศา ในกรณีนี้ เส้นจะถูกเรียก ตั้งฉาก(เราขอแนะนำบทความเส้นตั้งฉาก, เส้นตั้งฉาก) ถ้าเส้น a ตั้งฉากกับเส้น b ก็สามารถใช้สัญลักษณ์แบบสั้นได้

ประการที่สาม เส้นตรงสองเส้นบนเครื่องบินสามารถขนานกันได้

จากมุมมองเชิงปฏิบัติ การพิจารณาเส้นตรงบนระนาบร่วมกับเวกเตอร์จะสะดวก ความสำคัญเป็นพิเศษมีเวกเตอร์ที่ไม่เป็นศูนย์อยู่บนเส้นที่กำหนดหรือบนเส้นคู่ขนานใด ๆ เรียกว่า กำกับเวกเตอร์ของเส้นตรง- บทความ การกำหนดเวกเตอร์ของเส้นตรงบนเครื่องบิน ให้ตัวอย่างการกำหนดทิศทางของเวกเตอร์และแสดงตัวเลือกสำหรับใช้ในการแก้ปัญหา

คุณควรใส่ใจกับเวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์ซึ่งอยู่บนเส้นใดๆ ที่ตั้งฉากกับเวกเตอร์นี้ด้วย เวกเตอร์ดังกล่าวเรียกว่า เวกเตอร์เส้นปกติ- การใช้เวกเตอร์เส้นปกติมีอธิบายไว้ในบทความ เวกเตอร์เส้นปกติบนระนาบ

เมื่อกำหนดให้เส้นตรงตั้งแต่ 3 เส้นขึ้นไปบนระนาบ จะเกิดเซตขึ้นมา ตัวเลือกต่างๆตำแหน่งสัมพัทธ์ของพวกเขา เส้นทั้งหมดสามารถขนานกันได้ ไม่เช่นนั้นบางเส้นหรือทั้งหมดจะตัดกัน ในกรณีนี้ เส้นทั้งหมดสามารถตัดกันที่จุดเดียวได้ (ดูบทความเกี่ยวกับเส้นหลายเส้น) หรืออาจมีจุดตัดกันต่างกันก็ได้

เราจะไม่กล่าวถึงรายละเอียดในเรื่องนี้ แต่จะนำเสนอข้อเท็จจริงที่น่าทึ่งและใช้บ่อยมากหลายประการโดยไม่มีการพิสูจน์:

• หากเส้นสองเส้นขนานกับเส้นที่สามก็จะขนานกัน
• หากเส้นสองเส้นตั้งฉากกับเส้นที่สาม เส้นทั้งสองจะขนานกัน
• หากเส้นบางเส้นบนระนาบตัดกับเส้นขนานเส้นใดเส้นหนึ่งจากสองเส้น เส้นนั้นจะตัดกับเส้นที่สองด้วย

วิธีกำหนดเส้นตรงบนระนาบ

ตอนนี้เราจะแสดงรายการวิธีหลักๆ ที่คุณสามารถกำหนดเส้นตรงเฉพาะบนเครื่องบินได้ ความรู้นี้มีประโยชน์มากจากมุมมองเชิงปฏิบัติ เนื่องจากมีพื้นฐานอยู่บนพื้นฐานการแก้ปัญหาสำหรับตัวอย่างและปัญหามากมาย

ประการแรก เส้นตรงสามารถกำหนดได้โดยการระบุจุดสองจุดบนระนาบ

อันที่จริง จากสัจพจน์ที่กล่าวถึงในย่อหน้าแรกของบทความนี้ เรารู้ว่าเส้นตรงลากผ่านจุดสองจุดและจุดเดียวเท่านั้น

หากพิกัดของจุดแยกสองจุดถูกระบุในระบบพิกัดสี่เหลี่ยมบนระนาบ ก็เป็นไปได้ที่จะเขียนสมการของเส้นตรงที่ผ่านจุดที่กำหนดสองจุด

ประการที่สอง เส้นสามารถระบุได้โดยการระบุจุดที่เส้นผ่านและเส้นที่ขนานกัน วิธีการนี้ยุติธรรมตั้งแต่ผ่าน จุดนี้ระนาบจะมีเส้นตรงเส้นเดียวขนานกับเส้นตรงที่กำหนด การพิสูจน์ข้อเท็จจริงนี้ดำเนินการในบทเรียนเรขาคณิตในโรงเรียนมัธยมปลาย

หากเส้นตรงบนระนาบถูกกำหนดในลักษณะนี้โดยสัมพันธ์กับระบบพิกัดคาร์ทีเซียนสี่เหลี่ยมที่นำมาใช้ ก็เป็นไปได้ที่จะเขียนสมการของมันได้ สิ่งนี้เขียนไว้ในบทความสมการของเส้นที่ผ่านจุดที่กำหนดขนานกับเส้นที่กำหนด

ประการที่สาม สามารถระบุเส้นตรงได้โดยการระบุจุดที่มันผ่านไปและเวกเตอร์ทิศทาง

ถ้าให้เส้นตรงในระบบพิกัดสี่เหลี่ยมในลักษณะนี้ ก็เป็นเรื่องง่ายที่จะสร้างสมการมาตรฐานของเส้นตรงบนระนาบและสมการพาราเมตริกของเส้นตรงบนระนาบ

วิธีที่สี่ในการระบุเส้นคือการระบุจุดที่มันผ่านไปและเส้นที่ตั้งฉากกัน แน่จริงก็ผ่าน. จุดที่กำหนดระนาบจะมีเส้นตรงเพียงเส้นเดียวที่ตั้งฉากกับเส้นที่กำหนด ปล่อยให้ข้อเท็จจริงนี้โดยไม่มีข้อพิสูจน์

ในที่สุด เส้นในระนาบสามารถระบุได้โดยการระบุจุดที่เส้นนั้นผ่านและเวกเตอร์ปกติของเส้น

หากทราบพิกัดของจุดบนเส้นตรงและพิกัดของเวกเตอร์ปกติของเส้น ก็สามารถเขียนสมการทั่วไปของเส้นได้

อ้างอิง.

• Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Poznyak E.G., Yudina I.I. เรขาคณิต. เกรด 7 – 9: หนังสือเรียนสำหรับสถาบันการศึกษาทั่วไป
• Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Kiseleva L.S., Poznyak E.G. เรขาคณิต. หนังสือเรียนสำหรับชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 10-11
• Bugrov Ya.S. , Nikolsky S.M. คณิตศาสตร์ที่สูงขึ้น เล่มที่ 1: องค์ประกอบของพีชคณิตเชิงเส้นและเรขาคณิตวิเคราะห์
• อิลยิน วี.เอ., พอซเนียค อี.จี. เรขาคณิตวิเคราะห์

ลิขสิทธิ์โดยนักเรียนที่ฉลาด

สงวนลิขสิทธิ์.
ได้รับการคุ้มครองตามกฎหมายลิขสิทธิ์ ห้ามทำซ้ำส่วนใดส่วนหนึ่งของ www.site รวมถึงเนื้อหาภายในและรูปลักษณ์ภายนอกในรูปแบบใดๆ หรือใช้โดยไม่ได้รับอนุญาตเป็นลายลักษณ์อักษรล่วงหน้าจากผู้ถือลิขสิทธิ์

จุดและเส้นตรงคือรูปทรงเรขาคณิตพื้นฐานบนเครื่องบิน

นักวิทยาศาสตร์ชาวกรีกโบราณ Euclid กล่าวว่า "จุด" คือสิ่งที่ไม่มีส่วนใดส่วนหนึ่ง" คำว่า "จุด" แปลมาจาก ภาษาละตินหมายถึง ผลของการสัมผัสทันที การทิ่มแทง จุดคือพื้นฐานสำหรับการสร้างรูปทรงเรขาคณิต

เส้นตรงหรือเพียงเส้นตรงคือเส้นที่มีระยะห่างระหว่างจุดสองจุดสั้นที่สุด เส้นตรงนั้นไม่มีที่สิ้นสุด และเป็นไปไม่ได้ที่จะพรรณนาเส้นตรงทั้งหมดแล้ววัดได้

คะแนนจะแสดงด้วยอักษรละตินตัวพิมพ์ใหญ่ A, B, C, D, E ฯลฯ และเส้นตรงด้วยตัวอักษรเดียวกัน แต่ตัวพิมพ์เล็ก a, b, c, d, e ฯลฯ เส้นตรงสามารถแสดงด้วย ตัวอักษรสองตัวที่ตรงกับจุดที่วางอยู่บนเธอ ตัวอย่างเช่น เส้นตรง a สามารถกำหนด AB ได้

เราบอกได้ว่าจุด AB อยู่บนเส้น a หรืออยู่บนเส้น a และเราสามารถพูดได้ว่าเส้นตรง a ผ่านจุด A และ B

รูปทรงเรขาคณิตที่ง่ายที่สุดบนเครื่องบินคือส่วน รังสี หรือเส้นขาด

ส่วนเป็นส่วนหนึ่งของเส้นที่ประกอบด้วยจุดทั้งหมดของเส้นนี้ ซึ่งจำกัดด้วยจุดที่เลือกสองจุด จุดเหล่านี้เป็นจุดสิ้นสุดของส่วน ส่วนจะถูกระบุโดยระบุจุดสิ้นสุด

เส้นรังสีหรือเส้นครึ่งเส้นเป็นส่วนหนึ่งของเส้นที่ประกอบด้วยจุดทั้งหมดของเส้นนี้ซึ่งอยู่ด้านหนึ่งของจุดที่กำหนด จุดนี้เรียกว่าจุดเริ่มต้นของเส้นครึ่งเส้นหรือจุดเริ่มต้นของรังสี ลำแสงมีจุดเริ่มต้นแต่ไม่มีจุดสิ้นสุด

เส้นครึ่งบรรทัดหรือรังสีถูกกำหนดด้วยตัวอักษรละตินตัวพิมพ์เล็กสองตัว: ตัวอักษรเริ่มต้นและตัวอักษรอื่น ๆ ที่สอดคล้องกับจุดที่เป็นของครึ่งบรรทัด ในกรณีนี้ จุดเริ่มต้นจะอยู่ที่ตำแหน่งแรก

ปรากฎว่าเส้นตรงไม่มีที่สิ้นสุด: ไม่มีจุดเริ่มต้นหรือจุดสิ้นสุด รังสีมีเพียงจุดเริ่มต้น แต่ไม่มีจุดสิ้นสุด แต่ส่วนนั้นมีจุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุด ดังนั้นเราจึงวัดได้เพียงส่วนเดียวเท่านั้น

หลายส่วนที่เชื่อมต่อกันตามลำดับเพื่อให้ส่วน (ใกล้เคียง) ที่มีจุดร่วมหนึ่งจุดไม่ได้อยู่บนเส้นตรงเดียวกันแสดงถึงเส้นขาด

เส้นที่ขาดสามารถปิดหรือเปิดได้ หากจุดสิ้นสุดของส่วนสุดท้ายตรงกับจุดเริ่มต้นของส่วนแรก เราจะมีเส้นขาดปิด หากไม่เป็นเช่นนั้น จะเป็นเส้นเปิด

blog.site เมื่อคัดลอกเนื้อหาทั้งหมดหรือบางส่วน จำเป็นต้องมีลิงก์ไปยังแหล่งที่มาดั้งเดิม