วิธีแก้ลอการิทึมของสมการ สมการลอการิทึม จะแก้สมการลอการิทึมได้อย่างไร? การแก้สมการลอการิทึมอย่างง่าย

บ้าน

ในบทนี้ เราจะทบทวนข้อเท็จจริงทางทฤษฎีพื้นฐานเกี่ยวกับลอการิทึม และพิจารณาแก้สมการลอการิทึมที่ง่ายที่สุด ให้เราจำคำจำกัดความกลาง - คำจำกัดความของลอการิทึม มันเกี่ยวข้องกับการตัดสินใจ. สมการเลขชี้กำลังสมการนี้

มีรากเดียว เรียกว่าลอการิทึมของ b ถึงฐาน a:

คำนิยาม:

ลอการิทึมของ b ถึงฐาน a คือเลขชี้กำลังที่ต้องยกฐาน a เพื่อให้ได้ b ให้เราเตือนคุณ.

เอกลักษณ์ลอการิทึมพื้นฐาน

นิพจน์ (นิพจน์ 1) คือรากของสมการ (นิพจน์ 2) แทนที่ค่า x จากนิพจน์ 1 แทน x ลงในนิพจน์ 2 และรับค่าเอกลักษณ์ลอการิทึมหลัก:

ดังนั้นเราจึงเห็นว่าแต่ละค่าเชื่อมโยงกับค่าหนึ่งๆ เราแทน b ด้วย x(), c โดย y และด้วยเหตุนี้จึงได้ฟังก์ชันลอการิทึม:

ตัวอย่างเช่น:

ให้เรานึกถึงคุณสมบัติพื้นฐานของฟังก์ชันลอการิทึม

ให้เราให้ความสนใจอีกครั้งตรงนี้ เนื่องจากภายใต้ลอการิทึม อาจมีนิพจน์เชิงบวกอย่างเคร่งครัดเป็นฐานของลอการิทึม

ข้าว. 1. กราฟของฟังก์ชันลอการิทึมในฐานต่างๆ

กราฟของฟังก์ชันที่จะแสดงเป็นสีดำ ข้าว. 1. ถ้าอาร์กิวเมนต์เพิ่มขึ้นจากศูนย์เป็นอนันต์ ฟังก์ชันจะเพิ่มขึ้นจากลบเป็นบวกอนันต์

กราฟของฟังก์ชันที่จะแสดงเป็นสีแดง ข้าว. 1.

คุณสมบัติของฟังก์ชันนี้:

ขอบเขต: ;

ช่วงของค่า: ; ฟังก์ชันเป็นแบบโมโนโทนิคตลอดทั้งขอบเขตคำจำกัดความ เมื่อความซ้ำซากจำเจ (อย่างเคร่งครัด) เพิ่มขึ้นมูลค่าที่สูงขึ้น

อาร์กิวเมนต์สอดคล้องกับค่าที่มากขึ้นของฟังก์ชัน เมื่อลดความซ้ำซากจำเจ (อย่างเคร่งครัด) ค่าอาร์กิวเมนต์ที่มากขึ้นจะสอดคล้องกับค่าที่น้อยลงของฟังก์ชัน

คุณสมบัติของฟังก์ชันลอการิทึมเป็นกุญแจสำคัญในการแก้สมการลอการิทึมต่างๆ

ลองพิจารณาสมการลอการิทึมที่ง่ายที่สุด ตามกฎแล้ว สมการลอการิทึมอื่นๆ ทั้งหมดจะถูกลดทอนลงเป็นรูปแบบนี้

เนื่องจากฐานของลอการิทึมและลอการิทึมมีค่าเท่ากัน ฟังก์ชันภายใต้ลอการิทึมจึงเท่ากัน แต่เราต้องไม่พลาดขอบเขตของคำจำกัดความ มีเพียงจำนวนบวกเท่านั้นที่สามารถปรากฏใต้ลอการิทึม เรามี:

ดังนั้นเราจึงมีระบบผสมซึ่งมีสมการและอสมการ:

ตามกฎแล้ว ไม่จำเป็นต้องแก้อสมการ แค่แก้สมการและแทนที่รากที่พบเป็นอสมการก็พอแล้ว จึงทำการตรวจสอบ

ให้เรากำหนดวิธีการแก้สมการลอการิทึมที่ง่ายที่สุด:

ปรับฐานลอการิทึมให้เท่ากัน

ฟังก์ชันซับลอการิทึมที่เท่ากัน

ดำเนินการตรวจสอบ

ลองดูตัวอย่างที่เฉพาะเจาะจง

ตัวอย่างที่ 1 - แก้สมการ:

ฐานของลอการิทึมมีค่าเท่ากันในตอนแรก เรามีสิทธิ์ที่จะถือเอานิพจน์ย่อยลอการิทึม อย่าลืมเกี่ยวกับ ODZ เราเลือกลอการิทึมแรกเพื่อเขียนความไม่เท่าเทียมกัน:

ตัวอย่างที่ 2 - แก้สมการ:

สมการนี้แตกต่างจากสมการก่อนหน้านี้ตรงที่ฐานของลอการิทึมมีค่าน้อยกว่า 1 แต่ไม่ส่งผลต่อคำตอบแต่อย่างใด:

ลองหารากและแทนที่มันลงในอสมการ:

เราได้รับความไม่เท่าเทียมกันที่ไม่ถูกต้อง ซึ่งหมายความว่ารูทที่พบไม่เป็นไปตาม ODZ

ตัวอย่างที่ 3 - แก้สมการ:

ฐานของลอการิทึมมีค่าเท่ากันในตอนแรก เรามีสิทธิ์ที่จะถือเอานิพจน์ย่อยลอการิทึม อย่าลืมเกี่ยวกับ ODZ เราเลือกลอการิทึมที่สองเพื่อประกอบความไม่เท่าเทียมกัน:

ลองหารากและแทนที่มันลงในอสมการ:

แน่นอนว่ามีเพียงรูทแรกเท่านั้นที่ตรงตาม ODZ

ตัวอย่าง:

\(\log_(2)(⁡x) = 32\)
\(\log_3⁡x=\log_3⁡9\)
\(\log_3⁡((x^2-3))=\log_3⁡((2x))\)
\(\log_(x+1)((x^2+3x-7))=2\)
\(\lg^2⁡((x+1))+10=11 \lg⁡((x+1))\)

วิธีแก้สมการลอการิทึม:

เมื่อแก้สมการลอการิทึม คุณควรพยายามแปลงมันให้อยู่ในรูปแบบ \(\log_a⁡(f(x))=\log_a⁡(g(x))\) จากนั้นจึงเปลี่ยนเป็น \(f(x) )=ก(x) \)

\(\log_a⁡(f(x))=\log_a⁡(g(x))\) \(⇒\) \(f(x)=g(x)\)

ตัวอย่าง:\(\log_2⁡(x-2)=3\)

สารละลาย: \(\log_2⁡(x-2)=\log_2⁡8\) \(x-2=8\) \(x=10\) การตรวจสอบ:\(10>2\) - เหมาะสำหรับ DL คำตอบ:\(x=10\)

ODZ: \(x-2>0\) \(x>2\)

สำคัญมาก!การเปลี่ยนแปลงนี้สามารถทำได้เฉพาะในกรณีที่:

คุณได้เขียนสมการดั้งเดิมแล้ว และในตอนท้าย คุณจะตรวจสอบว่าสมการที่พบรวมอยู่ใน DL หรือไม่ หากยังไม่เสร็จสิ้น รากเพิ่มเติมอาจปรากฏขึ้น ซึ่งหมายถึงการตัดสินใจที่ผิด

ตัวเลข (หรือสำนวน) ด้านซ้ายและขวาเหมือนกัน

ลอการิทึมทางซ้ายและขวาเป็น "บริสุทธิ์" นั่นคือไม่ควรมีการคูณการหาร ฯลฯ – ลอการิทึมเดียวเท่านั้นที่ด้านใดด้านหนึ่งของเครื่องหมายเท่ากับ

ตัวอย่างเช่น:

โปรดทราบว่าสมการที่ 3 และ 4 สามารถแก้ได้อย่างง่ายดายโดยใช้คุณสมบัติที่จำเป็นของลอการิทึม

ตัวอย่าง - แก้สมการ \(2\log_8⁡x=\log_8⁡2.5+\log_8⁡10\)

สารละลาย :

		มาเขียน ODZ: \(x>0\)
\(2\log_8⁡x=\log_8⁡2.5+\log_8⁡10\) ODZ: \(x>0\)		ทางซ้ายหน้าลอการิทึมคือค่าสัมประสิทธิ์ ส่วนทางขวาคือผลรวมของลอการิทึม สิ่งนี้รบกวนจิตใจเรา ลองย้ายทั้งสองไปที่เลขชี้กำลัง \(x\) ตามคุณสมบัติ: \(n \log_b(⁡a)=\log_b⁡(a^n)\) ให้เราแสดงผลรวมของลอการิทึมเป็นลอการิทึมเดียวตามคุณสมบัติ: \(\log_a⁡b+\log_a⁡c=\log_a(⁡bc)\)
\(\log_8⁡(x^2)=\log_8⁡25\)		เราลดสมการลงเป็นรูปแบบ \(\log_a⁡(f(x))=\log_a⁡(g(x))\) และจด ODZ ไว้ ซึ่งหมายความว่าเราสามารถย้ายไปยังรูปแบบ \(f(x) ได้ =ก(x)\ ).
		มันได้ผล เราแก้ไขมันและรับราก
\(x_1=5\) \(x_2=-5\)		เราตรวจสอบว่ารูทนั้นเหมาะสมกับ ODZ หรือไม่ เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ใน \(x>0\) แทนที่จะเป็น \(x\) เราจะแทนที่ \(5\) และ \(-5\) การดำเนินการนี้สามารถทำได้ด้วยวาจา
\(5>0\), \(-5>0\)		ความไม่เท่าเทียมกันประการแรกเป็นจริง ประการที่สองไม่เป็นเช่นนั้น ซึ่งหมายความว่า \(5\) เป็นรากของสมการ แต่ \(-5\) ไม่ใช่ เราเขียนคำตอบ

คำตอบ : \(5\)

ตัวอย่าง : แก้สมการ \(\log^2_2⁡(x)-3 \log_2(⁡x)+2=0\)

สารละลาย :

		มาเขียน ODZ: \(x>0\)
\(\log^2_2⁡(x)-3 \log_2(⁡x)+2=0\) ODZ: \(x>0\)		สมการทั่วไปแก้ได้โดยใช้ . แทนที่ \(\log_2⁡x\) ด้วย \(t\)
\(t=\log_2⁡x\)
		เราก็ได้แบบปกติ เรากำลังมองหารากของมัน
\(t_1=2\) \(t_2=1\)		ทำการทดแทนแบบย้อนกลับ
\(\log_2(⁡x)=2\) \(\log_2(⁡x)=1\)		เราแปลงทางด้านขวามือ โดยแสดงเป็นลอการิทึม: \(2=2 \cdot 1=2 \log_2⁡2=\log_2⁡4\) และ \(1=\log_2⁡2\)
\(\log_2(⁡x)=\log_2⁡4\) \(\log_2(⁡x)=\log_2⁡2 \)		ตอนนี้สมการของเราคือ \(\log_a⁡(f(x))=\log_a⁡(g(x))\) และเราสามารถเปลี่ยนเป็น \(f(x)=g(x)\)
\(x_1=4\) \(x_2=2\)		เราตรวจสอบความสอดคล้องของรากของ ODZ เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้แทนที่ \(4\) และ \(2\) ลงในความไม่เท่าเทียมกัน \(x>0\) แทน \(x\)
\(4>0\) \(2>0\)		ความไม่เท่าเทียมกันทั้งสองเป็นจริง ซึ่งหมายความว่าทั้ง \(4\) และ \(2\) เป็นรากของสมการ

คำตอบ : \(4\); \(2\).

สมการลอการิทึม จากง่ายไปซับซ้อน

ความสนใจ!
มีเพิ่มเติม
วัสดุมาตราพิเศษ 555
สำหรับผู้ที่ "ไม่ค่อย..." มากนัก
และสำหรับผู้ที่ “มากๆ…”)

สมการลอการิทึมคืออะไร?

นี่คือสมการที่มีลอการิทึม ฉันแปลกใจใช่ไหม?) แล้วฉันจะชี้แจง นี่คือสมการที่พบสิ่งที่ไม่รู้จัก (x) และสำนวนที่เกี่ยวข้อง ภายในลอการิทึมและที่นั่นเท่านั้น! นี่เป็นสิ่งสำคัญ

นี่คือตัวอย่างบางส่วน สมการลอการิทึม:

บันทึก 3 x = บันทึก 3 9

บันทึก 3 (x 2 -3) = บันทึก 3 (2x)

บันทึก x+1 (x 2 +3x-7) = 2

แอลจี 2 (x+1)+10 = 11แอลจี(x+1)

คุณก็เข้าใจ... )

ใส่ใจ! สำนวนที่หลากหลายที่สุดที่มีเครื่องหมาย X อยู่ ภายในลอการิทึมเท่านั้นหากจู่ๆ มีเครื่องหมาย X ปรากฏที่ไหนสักแห่งในสมการ ข้างนอก, ตัวอย่างเช่น:

บันทึก 2 x = 3+x,

นี่จะเป็นสมการแบบผสมอยู่แล้ว สมการดังกล่าวไม่มีกฎเกณฑ์ที่ชัดเจนในการแก้สมการ เราจะไม่พิจารณาพวกเขาในตอนนี้ อย่างไรก็ตาม มีสมการที่อยู่ภายในลอการิทึม ตัวเลขเท่านั้น- ตัวอย่างเช่น:

ฉันจะพูดอะไรได้บ้าง? คุณโชคดีถ้าคุณเจอสิ่งนี้! ลอการิทึมที่มีตัวเลขคือ หมายเลขบางอย่างนั่นคือทั้งหมดที่ การรู้คุณสมบัติของลอการิทึมก็เพียงพอแล้วในการแก้สมการดังกล่าว ความรู้กฎพิเศษ เทคนิคที่ดัดแปลงมาเพื่อการแก้ปัญหาโดยเฉพาะ สมการลอการิทึมไม่จำเป็นที่นี่

ดังนั้น, สมการลอการิทึมคืออะไร- เราคิดออกแล้ว

จะแก้สมการลอการิทึมได้อย่างไร?

สารละลาย สมการลอการิทึม- จริงๆ แล้วสิ่งนี้ไม่ง่ายเลย ดังนั้นส่วนของเราคือสี่... จำเป็นต้องมีความรู้ที่เหมาะสมในหัวข้อที่เกี่ยวข้องทุกประเภท นอกจากนี้ยังมีคุณสมบัติพิเศษในสมการเหล่านี้ด้วย และคุณลักษณะนี้มีความสำคัญมากจนเรียกได้ว่าเป็นปัญหาหลักในการแก้สมการลอการิทึมได้อย่างปลอดภัย เราจะจัดการกับปัญหานี้โดยละเอียดในบทเรียนถัดไป

สำหรับตอนนี้ ไม่ต้องกังวล เราจะไปถูกทาง จากง่ายไปซับซ้อนการใช้ตัวอย่างเฉพาะ สิ่งสำคัญคือการเจาะลึกสิ่งง่าย ๆ และอย่าขี้เกียจที่จะตามลิงก์ ฉันใส่มันไว้ที่นั่นด้วยเหตุผล... และทุกอย่างจะออกมาดีสำหรับคุณ จำเป็น.

เริ่มจากสมการพื้นฐานและง่ายที่สุดกันก่อน เพื่อแก้ปัญหาเหล่านี้ขอแนะนำให้มีแนวคิดเกี่ยวกับลอการิทึม แต่ไม่มีอะไรเพิ่มเติม แค่ไม่มีความคิด ลอการิทึม,ตัดสินใจ ลอการิทึมสมการ - แม้จะน่าอึดอัดใจก็ตาม... ฉันจะบอกว่ากล้ามาก)

สมการลอการิทึมที่ง่ายที่สุด

นี่คือสมการของแบบฟอร์ม:

1. บันทึก 3 x = บันทึก 3 9

2. บันทึก 7 (2x-3) = บันทึก 7 x

3. ล็อก 7 (50x-1) = 2

กระบวนการแก้ปัญหา สมการลอการิทึมใดๆประกอบด้วยการเปลี่ยนจากสมการที่มีลอการิทึมเป็นสมการที่ไม่มีพวกมัน ในสมการที่ง่ายที่สุด การเปลี่ยนแปลงนี้ดำเนินการในขั้นตอนเดียว นั่นเป็นเหตุผลว่าทำไมพวกเขาถึงง่ายที่สุด)

และสมการลอการิทึมนั้นแก้ได้ง่ายอย่างน่าประหลาดใจ ดูด้วยตัวคุณเอง

มาแก้ตัวอย่างแรกกัน:

บันทึก 3 x = บันทึก 3 9

เพื่อแก้ตัวอย่างนี้ คุณไม่จำเป็นต้องรู้เกือบทุกอย่าง ใช่แล้ว... สัญชาตญาณล้วนๆ!) เราต้องการอะไร โดยเฉพาะไม่ชอบตัวอย่างนี้เหรอ? อะไรนะ... ฉันไม่ชอบลอการิทึม! ขวา. เรามากำจัดพวกมันกันเถอะ เราดูตัวอย่างอย่างใกล้ชิด และความปรารถนาตามธรรมชาติก็เกิดขึ้นในตัวเรา... ไม่อาจต้านทานได้เลย! นำและโยนลอการิทึมออกไปพร้อมกัน และสิ่งที่ดีก็คือ สามารถทำ! คณิตศาสตร์อนุญาต ลอการิทึมหายไปคำตอบคือ:

เยี่ยมมากใช่มั้ย? สิ่งนี้สามารถ (และควร) ทำได้เสมอ การกำจัดลอการิทึมในลักษณะนี้เป็นหนึ่งในวิธีหลักในการแก้สมการลอการิทึมและอสมการ ในทางคณิตศาสตร์ การดำเนินการนี้เรียกว่า ศักยภาพแน่นอนว่ามีกฎเกณฑ์สำหรับการชำระบัญชีดังกล่าว แต่ก็มีน้อย จดจำ:

คุณสามารถกำจัดลอการิทึมได้โดยไม่ต้องกลัวหากมี:

ก) ฐานตัวเลขเดียวกัน

c) ลอการิทึมจากซ้ายไปขวานั้นบริสุทธิ์ (ไม่มีสัมประสิทธิ์) และแยกออกจากกันอย่างสวยงาม

ให้ฉันอธิบาย จุดสุดท้าย- ในสมการ สมมุติว่า

บันทึก 3 x = 2 บันทึก 3 (3x-1)

ลอการิทึมไม่สามารถลบออกได้ สองคนทางขวาไม่อนุญาต ค่าสัมประสิทธิ์ คุณรู้ไหม... ในตัวอย่าง

บันทึก 3 x+บันทึก 3 (x+1) = บันทึก 3 (3+x)

นอกจากนี้ยังเป็นไปไม่ได้ที่จะเสริมกำลังสมการ ไม่มีลอการิทึมตัวเดียวทางด้านซ้าย มีสองคน

กล่าวโดยสรุป คุณสามารถลบลอการิทึมได้หากสมการมีลักษณะเช่นนี้และมีลักษณะดังนี้:

เข้าสู่ระบบ (.....) = เข้าสู่ระบบ (.....)

ในวงเล็บที่มีจุดไข่ปลาก็อาจมี การแสดงออกใด ๆเรียบง่าย ซับซ้อนสุดๆ ทุกประเภท อะไรก็ตาม. สิ่งสำคัญคือหลังจากกำจัดลอการิทึมแล้วเราจะเหลือ สมการที่ง่ายกว่าแน่นอนว่าจะถือว่าคุณรู้วิธีแก้สมการเชิงเส้น สมการกำลังสอง เศษส่วน เลขชี้กำลัง และสมการอื่นๆ ที่ไม่มีลอการิทึมอยู่แล้ว)

ตอนนี้คุณสามารถแก้ตัวอย่างที่สองได้อย่างง่ายดาย:

บันทึก 7 (2x-3) = บันทึก 7 x

จริงๆแล้วมันถูกกำหนดไว้ในใจ เราเสริมศักยภาพ เราได้รับ:

มันยากมากเหรอ?) อย่างที่คุณเห็น ลอการิทึมส่วนหนึ่งของการแก้สมการก็คือ ในการขจัดลอการิทึมเท่านั้น...แล้วคำตอบของสมการที่เหลือโดยไม่มีพวกมันก็มาถึง เป็นเรื่องเล็กน้อย

ลองแก้ตัวอย่างที่สาม:

ล็อก 7 (50x-1) = 2

เราจะเห็นว่ามีลอการิทึมทางด้านซ้าย:

ให้เราจำไว้ว่าลอการิทึมนี้คือตัวเลขจำนวนหนึ่งที่ต้องยกฐานขึ้น (เช่น เจ็ด) เพื่อให้ได้นิพจน์ซับลอการิทึม เช่น (50x-1)

แต่เลขนี้คือสอง! ตามสมการ ดังนั้น:

นั่นคือทั้งหมด ลอการิทึม หายไป,สิ่งที่เหลืออยู่คือสมการที่ไม่เป็นอันตราย:

เราแก้สมการลอการิทึมนี้ตามความหมายของลอการิทึมเท่านั้น ยังง่ายกว่าไหมที่จะกำจัดลอการิทึม?) ฉันเห็นด้วย อย่างไรก็ตาม ถ้าคุณสร้างลอการิทึมจากสอง คุณสามารถแก้ตัวอย่างนี้ได้โดยการตัดออก จำนวนใดๆ ก็สามารถแปลงเป็นลอการิทึมได้ ยิ่งไปกว่านั้น ในแบบที่เราต้องการ เทคนิคที่มีประโยชน์มากในการแก้สมการลอการิทึมและอสมการ (โดยเฉพาะ!)

ไม่รู้จะสร้างลอการิทึมจากตัวเลขได้อย่างไร!? ไม่เป็นไร. มาตรา 555 อธิบายเทคนิคนี้โดยละเอียด คุณสามารถเชี่ยวชาญและใช้มันได้อย่างเต็มที่! ช่วยลดจำนวนข้อผิดพลาดได้อย่างมาก

สมการที่สี่ได้รับการแก้ไขในลักษณะเดียวกันโดยสิ้นเชิง (ตามคำจำกัดความ):

แค่นั้นแหละ.

มาสรุปบทเรียนนี้กัน เราดูคำตอบของสมการลอการิทึมที่ง่ายที่สุดโดยใช้ตัวอย่าง นี่เป็นสิ่งสำคัญมาก และไม่ใช่เพียงเพราะสมการดังกล่าวปรากฏในแบบทดสอบและแบบทดสอบเท่านั้น ความจริงก็คือแม้แต่สมการที่ชั่วร้ายและซับซ้อนที่สุดก็ยังจำเป็นต้องลดให้เหลือสมการที่ง่ายที่สุด!

จริงๆ แล้ว สมการที่ง่ายที่สุดคือส่วนสุดท้ายของการแก้โจทย์ ใดๆสมการ และส่วนสุดท้ายนี้ต้องเข้าใจอย่างเคร่งครัด! และอีกอย่างหนึ่ง อย่าลืมอ่านหน้านี้ให้จบ มีเซอร์ไพรส์อยู่ที่นั่น...)

ตอนนี้เราตัดสินใจด้วยตัวเอง เรามาพูดกันดีกว่า...)

ค้นหาราก (หรือผลรวมของราก หากมีหลายรายการ) ของสมการ:

ln(7x+2) = ln(5x+20)

บันทึก 2 (x 2 +32) = บันทึก 2 (12x)

บันทึก 16 (0.5x-1.5) = 0.25

บันทึก 0.2 (3x-1) = -3

ln(อี 2 +2x-3) = 2

บันทึก 2 (14x) = บันทึก 2 7 + 2

คำตอบ (ในความระส่ำระสายแน่นอน): 42; 12; 9; 25; 7; 1.5; 2; 16.

อะไรนะ ทุกอย่างไม่ได้ผลใช่ไหม? เกิดขึ้น ไม่ต้องกังวล! มาตรา 555 อธิบายวิธีแก้ปัญหาของตัวอย่างทั้งหมดนี้อย่างชัดเจนและละเอียด คุณจะเข้าใจมันอย่างแน่นอน นอกจากนี้คุณยังจะได้เรียนรู้เทคนิคการปฏิบัติที่เป็นประโยชน์อีกด้วย

ทุกอย่างได้ผล!? ตัวอย่างทั้งหมดของ “เหลืออันเดียว”?) ยินดีด้วย!

ถึงเวลาเปิดเผยความจริงอันขมขื่นให้กับคุณแล้ว การแก้ตัวอย่างเหล่านี้ได้สำเร็จไม่ได้รับประกันความสำเร็จในการแก้สมการลอการิทึมอื่นๆ ทั้งหมด แม้แต่สิ่งที่ง่ายที่สุดเช่นนี้ อนิจจา.

ความจริงก็คือคำตอบของสมการลอการิทึมใดๆ (แม้แต่ระดับพื้นฐานที่สุด!) ประกอบด้วย สองส่วนที่เท่ากันการแก้สมการและการทำงานกับ ODZ เราได้เข้าใจส่วนหนึ่งแล้ว - การแก้สมการนั้นเอง มันไม่ยากขนาดนั้นขวา?

สำหรับบทเรียนนี้ ฉันเลือกตัวอย่างเป็นพิเศษซึ่ง DL ไม่ส่งผลต่อคำตอบแต่อย่างใด แต่ไม่ใช่ทุกคนจะใจดีเหมือนฉันใช่ไหม...)

ดังนั้นจึงจำเป็นต้องเชี่ยวชาญส่วนอื่น ๆ โอดีซ. นี่เป็นปัญหาหลักในการแก้สมการลอการิทึม และไม่ใช่เพราะมันยาก - ส่วนนี้ง่ายกว่าภาคแรกด้วยซ้ำ แต่เนื่องจากผู้คนมักลืม ODZ หรือพวกเขาไม่รู้ หรือทั้งสองอย่าง) และพวกเขาก็หลุดจากฟ้า...

ในบทเรียนถัดไป เราจะจัดการกับปัญหานี้ แล้วคุณจะตัดสินใจได้อย่างมั่นใจ ใดๆสมการลอการิทึมอย่างง่ายและเข้าใกล้งานที่ค่อนข้างมั่นคง

หากคุณชอบเว็บไซต์นี้...

ฉันมีเว็บไซต์ที่น่าสนใจอีกสองสามแห่งสำหรับคุณ)

คุณสามารถฝึกแก้ตัวอย่างและค้นหาระดับของคุณ การทดสอบด้วยการยืนยันทันที มาเรียนรู้กันเถอะ - ด้วยความสนใจ!)

คุณสามารถทำความคุ้นเคยกับฟังก์ชันและอนุพันธ์ได้

บทความนี้ประกอบด้วยการนำเสนอวิธีการแก้สมการลอการิทึมในตัวแปรตัวเดียวอย่างเป็นระบบ สิ่งนี้จะช่วยครูได้ในแง่การสอนเป็นหลัก: การเลือกแบบฝึกหัดช่วยให้คุณสร้างงานมอบหมายส่วนบุคคลสำหรับนักเรียนโดยคำนึงถึงความสามารถของพวกเขา แบบฝึกหัดเหล่านี้สามารถใช้เป็นบทเรียนเรื่องทั่วไปและเพื่อเตรียมพร้อมสำหรับการสอบ Unified State
ข้อมูลทางทฤษฎีโดยย่อและการแก้โจทย์ปัญหาช่วยให้นักเรียนพัฒนาทักษะในการแก้สมการลอการิทึมได้อย่างอิสระ

การแก้สมการลอการิทึม

สมการลอการิทึม –สมการที่มีสิ่งไม่รู้อยู่ใต้เครื่องหมาย ลอการิทึมเมื่อแก้สมการลอการิทึมมักใช้ข้อมูลทางทฤษฎี:

โดยทั่วไป การแก้สมการลอการิทึมเริ่มต้นด้วยการกำหนด ODZ ในสมการลอการิทึม แนะนำให้แปลงลอการิทึมทั้งหมดเพื่อให้ฐานเท่ากัน จากนั้นสมการจะแสดงผ่านลอการิทึมเดียวซึ่งแสดงด้วยตัวแปรใหม่ หรือสมการจะถูกแปลงเป็นรูปแบบที่สะดวกสำหรับการเพิ่มศักยภาพ
การแปลงนิพจน์ลอการิทึมไม่ควรทำให้ OD แคบลง แต่ถ้าวิธีการแก้ปัญหาที่ใช้ทำให้ OD แคบลง โดยไม่พิจารณาตัวเลขแต่ละตัว ตัวเลขเหล่านี้เมื่อสิ้นสุดปัญหาจะต้องได้รับการตรวจสอบโดยการแทนที่ในสมการดั้งเดิม เพราะ เมื่อ ODZ แคบลง อาจสูญเสียการรูทได้

1. สมการของแบบฟอร์ม– นิพจน์ที่มีตัวเลขที่ไม่รู้จัก และตัวเลข

1) ใช้คำจำกัดความของลอการิทึม: ;
2) ตรวจสอบหรือค้นหาช่วงของค่าที่ยอมรับได้สำหรับหมายเลขที่ไม่รู้จักและเลือกรูตที่เกี่ยวข้อง (วิธีแก้ปัญหา)
ถ้า ) .

2. สมการของดีกรีแรกสัมพันธ์กับลอการิทึม ซึ่งวิธีแก้ปัญหาใช้คุณสมบัติของลอการิทึม

ในการแก้สมการดังกล่าวคุณต้องมี:

1) การใช้คุณสมบัติของลอการิทึมแปลงสมการ
2) แก้สมการผลลัพธ์
3) ตรวจสอบหรือค้นหาช่วงของค่าที่ยอมรับได้สำหรับหมายเลขที่ไม่รู้จักและเลือกรูตที่เกี่ยวข้อง (วิธีแก้ปัญหา)
).

3. สมการของระดับที่สองและสูงกว่าสัมพันธ์กับลอการิทึม

ในการแก้สมการดังกล่าวคุณต้องมี:

1. ทำการแทนที่ตัวแปร
2. แก้สมการผลลัพธ์
3. ทำการทดแทนแบบย้อนกลับ
4. แก้สมการผลลัพธ์
5. ตรวจสอบหรือค้นหาช่วงของค่าที่ยอมรับได้สำหรับหมายเลขที่ไม่รู้จักและเลือกรูตที่เกี่ยวข้อง (วิธีแก้ไข)

4. สมการที่ไม่ทราบค่าอยู่ในฐานและเลขชี้กำลัง

ในการแก้สมการดังกล่าวคุณต้องมี:

1. ใช้ลอการิทึมของสมการ
2. แก้สมการผลลัพธ์
3. ตรวจสอบหรือค้นหาช่วงของค่าที่ยอมรับได้สำหรับหมายเลขที่ไม่รู้จักและเลือกค่าที่เกี่ยวข้อง
   ราก (สารละลาย)

5. สมการที่ไม่มีคำตอบ

1. ในการแก้สมการดังกล่าว จำเป็นต้องค้นหาสมการ ODZ
2. วิเคราะห์ด้านซ้ายและขวาของสมการ
3. หาข้อสรุปที่เหมาะสม

สมการดั้งเดิมเทียบเท่ากับระบบ:

พิสูจน์ว่าสมการไม่มีคำตอบ

ODZ ของสมการถูกกำหนดโดยความไม่เท่าเทียมกัน x ≥ 0 บน ODZ ที่เรามี

ผลรวมของจำนวนบวกและจำนวนที่ไม่เป็นลบไม่เท่ากับศูนย์ ดังนั้นสมการดั้งเดิมจึงไม่มีคำตอบ

คำตอบ: ไม่มีวิธีแก้ปัญหา

มีเพียงรากเดียวเท่านั้นที่ x = 0 อยู่ใน ODZ คำตอบ: 0

เราจะทำการทดแทนแบบย้อนกลับ

รากที่พบเป็นของ ODZ

สมการ ODZ คือเซตของจำนวนบวกทั้งหมด

เนื่องจาก

สมการเหล่านี้ได้รับการแก้ไขในทำนองเดียวกัน:

งานสำหรับโซลูชันอิสระ:

วรรณกรรมที่ใช้

1. เบสเชตอฟ วี.เอ็ม. คณิตศาสตร์. มอสโก เดมิเอิร์จ 1994
2. โบโรดุลยา ไอที ฟังก์ชันเลขชี้กำลังและลอการิทึม (งานและแบบฝึกหัด) มอสโก "การตรัสรู้" 2527
3. Vavilov V.V., Melnikov I.I., Olehnik S.N., Pasichenko P.I. ปัญหาคณิตศาสตร์ สมการและอสมการ มอสโก "วิทยาศาสตร์" 2530
4. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. เครื่องจำลองพีชคณิต มอสโก "Ilexa" 2550
5. Saakyan S.M. , Goldman A.M. , Denisov D.V. ปัญหาทางพีชคณิตและหลักการวิเคราะห์ มอสโก "การตรัสรู้" 2546

สมการลอการิทึมคือสมการที่ไม่ทราบค่า (x) และนิพจน์ที่อยู่ภายใต้เครื่องหมายของฟังก์ชันลอการิทึม การแก้สมการลอการิทึมจะถือว่าคุณคุ้นเคยกับ และ
จะแก้สมการลอการิทึมได้อย่างไร?

สมการที่ง่ายที่สุดคือ บันทึก a x = bโดยที่ a และ b เป็นตัวเลขจำนวนหนึ่ง ส่วน x ไม่ทราบค่า
การแก้สมการลอการิทึมคือ x = a b โดยมีให้: a > 0, a 1

ควรสังเกตว่าถ้า x อยู่ที่ไหนสักแห่งนอกลอการิทึม เช่น log 2 x = x-2 สมการดังกล่าวจะเรียกว่าผสมแล้ว และจำเป็นต้องใช้วิธีพิเศษในการแก้ไข

กรณีในอุดมคติคือเมื่อคุณเจอสมการที่มีเฉพาะตัวเลขเท่านั้นที่อยู่ใต้เครื่องหมายลอการิทึม เช่น x+2 = log 2 2 นี่ก็เพียงพอที่จะทราบคุณสมบัติของลอการิทึมเพื่อแก้โจทย์ แต่โชคเช่นนี้ไม่ได้เกิดขึ้นบ่อยนัก ดังนั้นเตรียมตัวให้พร้อมสำหรับสิ่งที่ยากขึ้น

แต่ก่อนอื่นเรามาเริ่มกันที่ สมการง่ายๆ- เพื่อแก้ปัญหาเหล่านี้เป็นที่พึงปรารถนาที่จะมีมากที่สุด ความคิดทั่วไปเกี่ยวกับลอการิทึม

การแก้สมการลอการิทึมอย่างง่าย

ซึ่งรวมถึงสมการประเภท log 2 x = log 2 16 ด้วยตาเปล่าจะเห็นว่าถ้าเราละเครื่องหมายของลอการิทึม เราก็จะได้ x = 16

ในการแก้สมการลอการิทึมที่ซับซ้อนยิ่งขึ้น มักจะลดลงเป็นการแก้สมการตามปกติ สมการพีชคณิตหรือคำตอบของสมการลอการิทึมที่ง่ายที่สุด บันทึก a x = b ในสมการที่ง่ายที่สุด สิ่งนี้เกิดขึ้นในการเคลื่อนไหวครั้งเดียว ซึ่งเป็นเหตุผลว่าทำไมจึงเรียกว่าง่ายที่สุด

วิธีการทิ้งลอการิทึมข้างต้นเป็นหนึ่งในวิธีหลักในการแก้สมการลอการิทึมและอสมการ ในทางคณิตศาสตร์ การดำเนินการนี้เรียกว่าศักยภาพ มีกฎหรือข้อจำกัดบางประการสำหรับการดำเนินการประเภทนี้:

• ลอการิทึมมีฐานตัวเลขเท่ากัน
• ลอการิทึมในทั้งสองข้างของสมการนั้นว่าง กล่าวคือ โดยไม่มีค่าสัมประสิทธิ์หรือสำนวนอื่นใด

สมมติว่าในสมการ บันทึก 2 x = 2log 2 (1 - x) ไม่สามารถใช้ศักยภาพได้ - สัมประสิทธิ์ 2 ทางด้านขวาไม่อนุญาต ในตัวอย่างต่อไปนี้ บันทึก 2 x+log 2 (1 - x) = บันทึก 2 (1+x) ก็ไม่เป็นไปตามข้อจำกัดข้อใดข้อหนึ่งเช่นกัน - มีลอการิทึมสองตัวทางด้านซ้าย หากมีเพียงหนึ่งเดียวก็จะเป็นเรื่องที่แตกต่างไปจากเดิมอย่างสิ้นเชิง!

โดยทั่วไป คุณสามารถลบลอการิทึมได้ก็ต่อเมื่อสมการอยู่ในรูปแบบ:

เข้าสู่ระบบ (...) = เข้าสู่ระบบ (...)

สามารถใส่นิพจน์ใดๆ ไว้ในวงเล็บได้อย่างแน่นอน ซึ่งไม่มีผลใดๆ ต่อการดำเนินการเสริมศักยภาพเลย และหลังจากกำจัดลอการิทึมแล้ว สมการที่ง่ายกว่าจะยังคงอยู่ - เชิงเส้น กำลังสอง เลขชี้กำลัง ฯลฯ ซึ่งฉันหวังว่าคุณจะรู้วิธีแก้อยู่แล้ว

ลองมาอีกตัวอย่างหนึ่ง:

บันทึก 3 (2x-5) = บันทึก 3 x

เราใช้ศักยภาพ เราได้รับ:

ล็อก 3 (2x-1) = 2

ตามคำจำกัดความของลอการิทึม กล่าวคือ ลอการิทึมคือตัวเลขที่ต้องยกฐานขึ้นเพื่อให้ได้นิพจน์ที่อยู่ใต้เครื่องหมายลอการิทึม กล่าวคือ (4x-1) เราได้:

เราได้รับคำตอบที่สวยงามอีกครั้ง ที่นี่เราทำโดยไม่กำจัดลอการิทึม แต่ศักยภาพก็ใช้ได้ที่นี่เช่นกัน เนื่องจากลอการิทึมสามารถสร้างจากจำนวนใดก็ได้ และเป็นลอการิทึมที่เราต้องการจริงๆ วิธีนี้มีประโยชน์มากในการแก้สมการลอการิทึมและโดยเฉพาะอสมการ

ลองแก้สมการลอการิทึมของเราด้วยล็อก 3 (2x-1) = 2 โดยใช้ศักยภาพ:

ลองจินตนาการว่าเลข 2 เป็นลอการิทึม เช่น บันทึกนี้ 3 9 เพราะ 3 2 =9

จากนั้นลอก 3 (2x-1) = บันทึก 3 9 และอีกครั้งเราจะได้สมการเดียวกัน 2x-1 = 9 ฉันหวังว่าทุกอย่างชัดเจน

เราจึงดูวิธีแก้สมการลอการิทึมที่ง่ายที่สุด ซึ่งจริงๆ แล้วสำคัญมาก เพราะ การแก้สมการลอการิทึมแม้แต่สิ่งที่เลวร้ายและบิดเบี้ยวที่สุด ท้ายที่สุดแล้วก็ต้องแก้สมการที่ง่ายที่สุดเสมอ

ในทุกสิ่งที่เราทำข้างต้น เราพลาดไปอย่างหนึ่งอย่างมาก จุดสำคัญซึ่งจะเข้ามามีบทบาทชี้ขาดในอนาคต ความจริงก็คือคำตอบของสมการลอการิทึมใดๆ แม้แต่สมการเบื้องต้นที่สุดก็ประกอบด้วยสองส่วนที่เท่ากัน อย่างแรกคือการแก้สมการ ส่วนอย่างที่สองทำงานกับช่วงของค่าที่อนุญาต (APV) นี่เป็นส่วนแรกที่เราเชี่ยวชาญ ในตัวอย่างข้างต้น ODZ ไม่มีผลกับคำตอบแต่อย่างใด ดังนั้นเราจึงไม่ได้พิจารณาเรื่องนี้

ลองมาอีกตัวอย่างหนึ่ง:

บันทึก 3 (x 2 -3) = บันทึก 3 (2x)

ภายนอกสมการนี้ไม่แตกต่างจากสมการเบื้องต้นซึ่งสามารถแก้ไขได้สำเร็จมาก แต่นี่ไม่เป็นความจริงทั้งหมด ไม่ แน่นอนว่าเราจะแก้ปัญหานี้ แต่น่าจะไม่ถูกต้อง เนื่องจากมีการซุ่มโจมตีเล็กน้อยซึ่งทั้งนักเรียนเกรด C และนักเรียนที่เก่งก็ตกอยู่ในนั้นทันที มาดูกันดีกว่า

สมมติว่าคุณจำเป็นต้องค้นหารากของสมการหรือผลรวมของราก หากมีหลายราก:

บันทึก 3 (x 2 -3) = บันทึก 3 (2x)

เราใช้ศักยภาพก็เป็นที่ยอมรับที่นี่ เป็นผลให้เราได้สมการกำลังสองธรรมดา

ค้นหารากของสมการ:

มันกลับกลายเป็นสองราก

คำตอบ: 3 และ -1

เมื่อมองแวบแรกทุกอย่างถูกต้อง แต่ลองตรวจสอบผลลัพธ์แล้วแทนที่มันลงในสมการดั้งเดิม

เริ่มต้นด้วย x 1 = 3:

บันทึก 3 6 = บันทึก 3 6

การตรวจสอบสำเร็จ ขณะนี้คิวคือ x 2 = -1:

บันทึก 3 (-2) = บันทึก 3 (-2)

โอเค หยุด! ภายนอกทุกอย่างสมบูรณ์แบบ สิ่งหนึ่งที่ไม่มีลอการิทึมจากจำนวนลบ! ซึ่งหมายความว่าราก x = -1 ไม่เหมาะสำหรับการแก้สมการของเรา ดังนั้นคำตอบที่ถูกต้องจะเป็น 3 ไม่ใช่ 2 ตามที่เราเขียนไว้

นี่คือจุดที่ ODZ มีบทบาทร้ายแรงซึ่งเราลืมไปแล้ว

ฉันขอเตือนคุณว่าช่วงของค่าที่ยอมรับได้รวมถึงค่า x ที่อนุญาตหรือสมเหตุสมผลสำหรับตัวอย่างดั้งเดิม

หากไม่มี ODZ วิธีแก้ไขใดๆ แม้แต่วิธีที่ถูกต้องที่สุด ของสมการใดๆ ก็จะกลายเป็นลอตเตอรี - 50/50

เราถูกจับได้อย่างไรเมื่อตัดสินใจว่าจะเป็นอย่างไร ตัวอย่างเบื้องต้น- แต่ในช่วงเวลาแห่งพลังอย่างแม่นยำ ลอการิทึมหายไป และด้วยข้อจำกัดทั้งหมด

จะทำอย่างไรในกรณีนี้? ปฏิเสธที่จะกำจัดลอการิทึม? และปฏิเสธที่จะแก้สมการนี้โดยสิ้นเชิง?

ไม่ เราแค่ใช้ทางอ้อมเช่นเดียวกับฮีโร่ตัวจริงจากเพลงดังเพลงหนึ่ง!

ก่อนที่เราจะเริ่มแก้สมการลอการิทึมใดๆ เราจะเขียน ODZ ก่อน แต่หลังจากนั้นคุณสามารถทำอะไรก็ได้ตามใจปรารถนาด้วยสมการของเรา เมื่อได้รับคำตอบแล้ว เราก็เพียงโยนรากที่ไม่รวมอยู่ใน ODZ ของเราออกแล้วจดเวอร์ชันสุดท้ายลงไป

ตอนนี้เรามาตัดสินใจว่าจะบันทึก ODZ อย่างไร ในการทำเช่นนี้ เราจะตรวจสอบสมการดั้งเดิมอย่างรอบคอบ และมองหาตำแหน่งที่น่าสงสัยในสมการนั้น เช่น การหารด้วย x หรือรากคู่ เป็นต้น จนกว่าเราจะแก้สมการได้เราไม่รู้ว่า x เท่ากับอะไร แต่เรารู้แน่ว่ามี x ซึ่งเมื่อแทนค่าแล้วจะหารด้วย 0 หรือแยกออกมา รากที่สองจากจำนวนลบไม่เหมาะเป็นคำตอบอย่างเห็นได้ชัด ดังนั้นค่า x ดังกล่าวจึงไม่สามารถยอมรับได้ ในขณะที่ส่วนที่เหลือจะประกอบเป็น ODZ

ลองใช้สมการเดียวกันอีกครั้ง:

บันทึก 3 (x 2 -3) = บันทึก 3 (2x)

บันทึก 3 (x 2 -3) = บันทึก 3 (2x)

อย่างที่คุณเห็น ไม่มีการหารด้วย 0 และไม่มีการรากที่สองด้วย แต่มีนิพจน์ที่มี x อยู่ในเนื้อหาของลอการิทึม ขอให้เราจำไว้ทันทีว่านิพจน์ภายในลอการิทึมจะต้องเป็น >0 เสมอ เราเขียนเงื่อนไขนี้ในรูปแบบของ ODZ:

เหล่านั้น. เรายังไม่ได้แก้ไขอะไรเลย แต่เราได้เขียนเงื่อนไขบังคับสำหรับนิพจน์ย่อยลอการิทึมทั้งหมดแล้ว วงเล็บปีกกาหมายความว่าเงื่อนไขเหล่านี้จะต้องเป็นจริงพร้อมกัน

ODZ ถูกเขียนไว้แล้ว แต่ยังจำเป็นต้องแก้ไขระบบความไม่เท่าเทียมกันซึ่งเป็นสิ่งที่เราจะทำ เราได้คำตอบ x > v3 ตอนนี้เรารู้แล้วว่า x ตัวไหนไม่เหมาะกับเรา แล้วเราก็เริ่มแก้สมการลอการิทึมเอง ซึ่งเป็นสิ่งที่เราทำข้างต้น

เมื่อได้รับคำตอบ x 1 = 3 และ x 2 = -1 แล้ว จะเห็นว่ามีเพียง x1 = 3 เท่านั้นที่เหมาะกับเรา และเราจะจดไว้เป็นคำตอบสุดท้าย

สำหรับอนาคต สิ่งสำคัญมากที่ต้องจดจำสิ่งต่อไปนี้: เราแก้สมการลอการิทึมใน 2 ขั้นตอน อย่างแรกคือการแก้สมการเอง อย่างที่สองคือการแก้เงื่อนไข ODZ ทั้งสองขั้นตอนดำเนินการอย่างเป็นอิสระจากกันและเปรียบเทียบเฉพาะเมื่อเขียนคำตอบเท่านั้นเช่น ทิ้งทุกสิ่งที่ไม่จำเป็นและจดคำตอบที่ถูกต้อง

เพื่อเสริมความแข็งแกร่งของวัสดุ เราขอแนะนำอย่างยิ่งให้ดูวิดีโอ:

วิดีโอนี้แสดงตัวอย่างอื่นๆ ของการแก้ปัญหาบันทึก สมการและการหาวิธีช่วงในทางปฏิบัติ

สำหรับคำถามนี้ วิธีแก้สมการลอการิทึมนั่นคือทั้งหมดสำหรับตอนนี้ หากบางสิ่งบางอย่างถูกตัดสินใจโดยบันทึก สมการยังไม่ชัดเจนหรือไม่สามารถเข้าใจได้ เขียนคำถามของคุณในความคิดเห็น

หมายเหตุ: Academy of Social Education (ASE) พร้อมเปิดรับนักศึกษาใหม่แล้ว