วิธีค้นหามุมที่ถูกจารึกไว้ที่รองรับ วงกลม. มุมกลางและมุมที่ถูกจารึกไว้

บ้าน

ในบทความนี้ ฉันจะบอกวิธีแก้ปัญหาที่ใช้ .

1.ก่อนอื่น ให้เรานึกถึงคำจำกัดความและทฤษฎีบทที่คุณต้องรู้เพื่อที่จะแก้ไขปัญหาในรูปแบบ .มุมที่ถูกจารึกไว้

2.คือมุมที่มีจุดยอดอยู่บนวงกลมและมีด้านตัดกับวงกลม:มุมกลาง

คือมุมที่จุดยอดตรงกับจุดศูนย์กลางของวงกลม:ค่าองศาของส่วนโค้งวงกลม

วัดจากขนาดของมุมที่ศูนย์กลางที่วางอยู่บนมุมนั้น

ในกรณีนี้ ค่าระดับของส่วนโค้ง AC จะเท่ากับค่าของมุม AOS 3.หากเข้าและมุมกลาง พักบนส่วนโค้งหนึ่งแล้ว:

4. มุมที่จารึกไว้นั้นเป็นสองเท่าของมุมที่ศูนย์กลาง

5. มุมที่ถูกจารึกไว้ทั้งหมดที่วางอยู่บนส่วนโค้งด้านหนึ่งจะเท่ากัน:

มุมที่จารึกไว้ซึ่งต่อด้วยเส้นผ่านศูนย์กลางคือ 90°:

มาแก้ไขปัญหาหลายประการกัน

1. งาน B7 (หมายเลข 27887)

ลองหาค่าของมุมที่จุดศูนย์กลางซึ่งอยู่บนส่วนโค้งเดียวกัน:

แน่นอนว่ามุม AOC เท่ากับ 90° ดังนั้น มุม ABC เท่ากับ 45°

คำตอบ: 45°

2.งาน B7 (หมายเลข 27888)

จงหาขนาดของมุม ABC ให้คำตอบเป็นองศา

แน่นอนว่ามุม AOC คือ 270° และมุม ABC คือ 135°

คำตอบ: 135°

3. งาน B7 (หมายเลข 27890)

ค้นหาค่าดีกรีของส่วนโค้ง AC ของวงกลมที่ต่อด้วยมุม ABC ให้คำตอบเป็นองศา

มาหาค่าของมุมที่จุดศูนย์กลางซึ่งอยู่บนส่วนโค้ง AC:

ขนาดของมุม AOS คือ 45° ดังนั้น องศาที่วัดของส่วนโค้ง AC คือ 45°

คำตอบ: 45°

4. งาน B7 (หมายเลข 27885)

ค้นหามุม ACB หากมุมที่ถูกจารึกไว้ ADB และ DAE วางอยู่บนส่วนโค้งวงกลมที่มีค่าระดับเท่ากับและตามลำดับ ให้คำตอบเป็นองศา

มุม ADB วางอยู่บนส่วนโค้ง AB ดังนั้น ค่าของมุมศูนย์กลาง AOB เท่ากับ 118° ดังนั้น มุม BDA เท่ากับ 59° และมุม ADC ที่อยู่ติดกันเท่ากับ 180°-59° = 121°

ในทำนองเดียวกัน มุม DOE คือ 38° และมุมที่ถูกจารึกไว้ที่สอดคล้องกัน DAE คือ 19°

พิจารณาสามเหลี่ยม ADC:

ผลรวมของมุมของสามเหลี่ยมคือ 180°

มุม ACB เท่ากับ 180°- (121°+19°)=40°

คำตอบ: 40°

5. งาน B7 (หมายเลข 27872)

มุม B วางอยู่บนส่วนโค้ง ADC ซึ่งค่าจะเท่ากับผลรวมของค่าส่วนโค้ง AD และ CD นั่นคือ 71°+145°=216°

มุมที่จารึกไว้ B เท่ากับครึ่งหนึ่งของขนาดของส่วนโค้ง ADC นั่นคือ 108°

คำตอบ: 108°

6. งาน B7 (หมายเลข 27873)

จุด A, B, C, D ซึ่งอยู่บนวงกลม แบ่งวงกลมนี้ออกเป็นสี่ส่วนโค้ง AB, BC, CD และ AD โดยค่าระดับจะอยู่ในอัตราส่วน 4:2:3:6 ตามลำดับ ค้นหามุม A ของรูปสี่เหลี่ยม ABCD ให้คำตอบเป็นองศา

(ดูภาพวาดของงานก่อนหน้า)

เนื่องจากเราให้อัตราส่วนของขนาดของส่วนโค้งแล้ว เราจึงแนะนำองค์ประกอบหน่วย x จากนั้น ขนาดของแต่ละส่วนโค้งจะแสดงตามอัตราส่วนต่อไปนี้:

AB=4x, BC=2x, ซีดี=3x, AD=6x ส่วนโค้งทั้งหมดประกอบกันเป็นวงกลม กล่าวคือ ผลรวมของส่วนโค้งคือ 360°

4x+2x+3x+6x=360° ดังนั้น x=24°

มุม A ได้รับการสนับสนุนจากส่วนโค้ง BC และ CD ซึ่งรวมกันแล้วมีค่า 5x=120°

ดังนั้น มุม A คือ 60°

คำตอบ: 60°

7. งาน B7 (หมายเลข 27874)

จัตุรัส เอบีซีดีจารึกไว้ในวงกลม มุม เอบีซีเท่ากับ , มุม แคนาดา

มุม ABC เป็นมุมที่จารึกไว้ วางอยู่บนส่วนโค้ง AC ซึ่งอยู่ระหว่างด้านข้าง (รูปที่ 330)

ทฤษฎีบท. มุมที่จารึกไว้นั้นวัดโดยครึ่งหนึ่งของส่วนโค้งที่มุมนั้นรองรับ

ควรเข้าใจเช่นนี้: มุมที่จารึกไว้ประกอบด้วยองศาเชิงมุม นาที และวินาทีเท่ากับจำนวนองศาส่วนโค้ง นาทีและวินาทีที่อยู่ในครึ่งหนึ่งของส่วนโค้งที่มุมนั้นวางอยู่

ในการพิสูจน์ทฤษฎีบทนี้ จะต้องพิจารณาสามกรณี

กรณีแรก. จุดศูนย์กลางของวงกลมอยู่ที่ด้านข้างของมุมที่จารึกไว้ (รูปที่ 331)

ให้ ∠ABC เป็นมุมที่จารึกไว้ และจุดศูนย์กลางของวงกลม O อยู่ที่ด้าน BC จำเป็นต้องพิสูจน์ว่าวัดได้ครึ่งอาร์ค AC

เชื่อมต่อจุด A เข้ากับศูนย์กลางของวงกลม เราได้หน้าจั่ว \(\Delta\)AOB โดยที่ AO = OB เป็นรัศมีของวงกลมเดียวกัน ดังนั้น ∠A = ∠B

∠AOC อยู่ภายนอกสามเหลี่ยม AOB ดังนั้น ∠AOC = ∠A + ∠B และเนื่องจากมุม A และ B เท่ากัน ดังนั้น ∠B จึงเป็น 1/2 ∠AOC

แต่ ∠AOC วัดโดยส่วนโค้ง AC ดังนั้น ∠B จึงวัดโดยครึ่งหนึ่งของส่วนโค้ง AC

ตัวอย่างเช่น ถ้า \(\breve(AC)\) มี 60°18' ดังนั้น ∠B จะมี 30°9'

กรณีที่สอง จุดศูนย์กลางของวงกลมอยู่ระหว่างด้านข้างของมุมที่จารึกไว้ (รูปที่ 332)

ให้ ∠ABD เป็นมุมที่ถูกจารึกไว้ จุดศูนย์กลางของวงกลม O อยู่ระหว่างด้านข้าง เราต้องพิสูจน์ว่า ∠ABD วัดได้ครึ่งหนึ่งของส่วนโค้ง AD

เพื่อพิสูจน์สิ่งนี้ ให้เราวาดเส้นผ่านศูนย์กลาง BC มุม ABD แบ่งออกเป็นสองมุม: ∠1 และ ∠2

∠1 วัดโดยครึ่งอาร์ค AC และ ∠2 วัดโดยครึ่งอาร์ค CD ดังนั้น ∠ABD ทั้งหมดจึงวัดโดย 1 / 2 \(\breve(AC)\) + 1 / 2 \(\breve (CD)\) เช่น . ครึ่งโค้ง AD

ตัวอย่างเช่น ถ้า \(\breve(AD)\) มี 124° ดังนั้น ∠B จะมี 62°

กรณีที่สาม. จุดศูนย์กลางของวงกลมอยู่นอกมุมที่จารึกไว้ (รูปที่ 333)

ให้ ∠MAD เป็นมุมที่ถูกจารึกไว้ จุดศูนย์กลางของวงกลม O อยู่นอกมุม เราต้องพิสูจน์ว่า ∠MAD วัดได้ครึ่งหนึ่งของส่วนโค้ง MD

เพื่อพิสูจน์สิ่งนี้ ลองวาดเส้นผ่านศูนย์กลาง AB ∠MAD = ∠MAB - ∠DAB แต่ ∠MAB วัด 1 / 2 \(\breve(MB)\) และ ∠DAB วัด 1 / 2 \(\breve(DB)\)

ดังนั้น ∠MAD จะวัดค่า 1 / 2 (\(\breve(MB) - \breve(DB))\) เช่น 1 / 2 \(\breve(MD)\)

ตัวอย่างเช่น ถ้า \(\breve(MD)\) มี 48° 38" ดังนั้น ∠MAD จะมี 24° 19' 8"

ผลที่ตามมา
1. มุมที่จารึกไว้ทั้งหมดที่รองรับส่วนโค้งเดียวกันจะเท่ากัน เนื่องจากวัดจากครึ่งหนึ่งของส่วนโค้งเดียวกัน (รูปที่ 334, ก)

2. มุมที่แนบไว้ซึ่งต่อด้วยเส้นผ่านศูนย์กลางจะเป็นมุมฉาก เนื่องจากมุมนั้นรองรับครึ่งวงกลม ครึ่งวงกลมมีมุมโค้ง 180 องศา ซึ่งหมายความว่ามุมตามเส้นผ่านศูนย์กลางจะมีมุมโค้ง 90 องศา (รูปที่ 334, b)

คำแนะนำ

หากทราบรัศมี (R) ของวงกลมและความยาวของส่วนโค้ง (L) ที่สอดคล้องกับมุมศูนย์กลางที่ต้องการ (θ) ก็สามารถคำนวณได้ทั้งเป็นองศาและเรเดียน ผลรวมถูกกำหนดโดยสูตร 2*π*R และสอดคล้องกับมุมศูนย์กลาง 360° หรือตัวเลข Pi สองตัว หากใช้เรเดียนแทนองศา ดังนั้น ให้ต่อจากสัดส่วน 2*π*R/L = 360°/θ = 2*π/θ เขียนมุมศูนย์กลางเป็นเรเดียน θ = 2*π/(2*π*R/L) = L/R หรือองศา θ = 360°/(2*π*R/L) = 180*L/(π * R) และคำนวณโดยใช้สูตรผลลัพธ์

ขึ้นอยู่กับความยาวของคอร์ด (m) ที่เชื่อมจุดที่กำหนดมุมที่จุดศูนย์กลาง (θ) ค่าของคอร์ดก็สามารถคำนวณได้เช่นกันหากทราบรัศมี (R) ของวงกลม เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้พิจารณารูปสามเหลี่ยมที่เกิดจากรัศมีสองรัศมี และ นี่คือสามเหลี่ยมหน้าจั่ว ใครๆ ก็รู้จัก แต่คุณต้องหามุมที่อยู่ตรงข้ามฐาน ไซน์ของครึ่งหนึ่งเท่ากับอัตราส่วนของความยาวของฐาน - คอร์ด - ต่อความยาวของด้านสองเท่า - รัศมี ดังนั้น ให้ใช้ฟังก์ชันไซน์ผกผันในการคำนวณ - อาร์คไซน์: θ = 2*อาร์คซิน(½*m/R)

มุมที่ศูนย์กลางสามารถระบุเป็นเศษส่วนของการปฏิวัติหรือจากมุมที่หมุนได้ ตัวอย่างเช่น หากคุณต้องการหามุมที่ศูนย์กลางตรงกับหนึ่งในสี่ของการหมุนรอบเต็ม ให้หาร 360° ด้วยสี่: θ = 360°/4 = 90° ค่าเรเดียนที่เท่ากันควรเป็น 2*π/4 พรีเมี่ยม 3.14/2 พรีเมี่ยม 1.57 มุมที่กางออกจะเท่ากับครึ่งหนึ่งของการหมุนเต็ม ดังนั้น ตัวอย่างเช่น มุมที่ศูนย์กลางซึ่งตรงกับหนึ่งในสี่ของมุมนั้นจะเป็นครึ่งหนึ่งของค่าที่คำนวณไว้ข้างต้นทั้งในองศาและเรเดียน

ค่าผกผันของไซน์เรียกว่าฟังก์ชันตรีโกณมิติ อาร์คซีน- สามารถรับค่าได้ภายในครึ่งหนึ่งของ Pi ทั้งบวกและลบเมื่อวัดเป็นเรเดียน เมื่อวัดเป็นองศา ค่าเหล่านี้จะอยู่ในช่วงตั้งแต่ -90° ถึง +90° ตามลำดับ

คำแนะนำ

ไม่จำเป็นต้องคำนวณค่า "กลม" บางค่า แต่จะจดจำได้ง่ายกว่า ตัวอย่างเช่น: - ถ้าอาร์กิวเมนต์ของฟังก์ชันเป็นศูนย์ ส่วนโค้งของฟังก์ชันจะเป็นศูนย์ด้วย - ของ 1/2 เท่ากับ 30° หรือ 1/6 Pi หากวัดได้ - ส่วนโค้งของ -1/2 คือ -30° หรือ -1/ 6 จากตัวเลข Pi ใน - ส่วนโค้งของ 1 เท่ากับ 90° หรือ 1/2 ของตัวเลข Pi ในหน่วยเรเดียน - ส่วนโค้งของ -1 เท่ากับ -90° หรือ -1/2 ของ จำนวน Pi เป็นเรเดียน

หากต้องการวัดค่าของฟังก์ชันนี้จากอาร์กิวเมนต์อื่น ๆ วิธีที่ง่ายที่สุดคือการใช้เครื่องคิดเลข Windows มาตรฐานหากคุณมีอยู่ ในการเริ่มต้นให้เปิดเมนูหลักบนปุ่ม "เริ่ม" (หรือโดยการกดปุ่ม WIN) ไปที่ส่วน "โปรแกรมทั้งหมด" จากนั้นไปที่ส่วนย่อย "อุปกรณ์เสริม" แล้วคลิก "เครื่องคิดเลข"

สลับอินเทอร์เฟซเครื่องคิดเลขเป็นโหมดการทำงานที่ให้คุณคำนวณได้ ฟังก์ชันตรีโกณมิติ- ในการดำเนินการนี้ ให้เปิดส่วน "มุมมอง" ในเมนูแล้วเลือก "วิศวกรรม" หรือ "วิทยาศาสตร์" (ขึ้นอยู่กับประเภทของ ระบบปฏิบัติการ).

ป้อนค่าของอาร์กิวเมนต์ที่ควรคำนวณอาร์กแทนเจนต์ ซึ่งสามารถทำได้โดยการคลิกปุ่มบนอินเทอร์เฟซเครื่องคิดเลขด้วยเมาส์ หรือโดยการกดปุ่มบน หรือโดยการคัดลอกค่า (CTRL + C) แล้ววาง (CTRL + V) ลงในช่องป้อนข้อมูลของเครื่องคิดเลข

เลือกหน่วยการวัดที่คุณต้องการเพื่อให้ได้ผลลัพธ์ของการคำนวณฟังก์ชัน ด้านล่างช่องป้อนข้อมูลมีสามตัวเลือกซึ่งคุณต้องเลือก (โดยคลิกด้วยเมาส์) หนึ่ง - , เรเดียนหรือ rads

ทำเครื่องหมายในช่องที่สลับฟังก์ชันที่ระบุบนปุ่มอินเทอร์เฟซเครื่องคิดเลข ถัดจากนั้นคือข้อความจารึกสั้นๆ Inv.

คลิกปุ่มบาป เครื่องคิดเลขจะกลับฟังก์ชันที่เกี่ยวข้อง ทำการคำนวณ และนำเสนอผลลัพธ์ในหน่วยที่ระบุ

วิดีโอในหัวข้อ

ปัญหาทางเรขาคณิตที่พบบ่อยประการหนึ่งคือการคำนวณพื้นที่ของส่วนวงกลม - ส่วนของวงกลมที่ล้อมรอบด้วยคอร์ดและคอร์ดที่สอดคล้องกันโดยส่วนโค้งของวงกลม

พื้นที่ของส่วนวงกลมเท่ากับผลต่างในพื้นที่ของส่วนที่สอดคล้องกัน ภาควงกลมและพื้นที่ของสามเหลี่ยมที่เกิดจากรัศมีของเซกเตอร์ที่สอดคล้องกับเซกเมนต์และคอร์ดที่จำกัดเซกเมนต์

ตัวอย่างที่ 1

ความยาวของคอร์ดที่อยู่ใต้วงกลมมีค่าเท่ากับค่า a องศาของส่วนโค้งที่สอดคล้องกับคอร์ดคือ 60° ค้นหาพื้นที่ของส่วนวงกลม

สารละลาย

สามเหลี่ยมที่เกิดจากสองรัศมีและคอร์ดหนึ่งๆ คือหน้าจั่ว ดังนั้น ระดับความสูงที่ลากจากจุดยอดของมุมที่ศูนย์กลางไปยังด้านข้างของสามเหลี่ยมที่เกิดจากคอร์ดจะเป็นเส้นแบ่งครึ่งของมุมที่ศูนย์กลางด้วย โดยหารครึ่ง และค่า ค่ามัธยฐานโดยแบ่งคอร์ดออกเป็นสองส่วน เมื่อรู้ว่าไซน์ของมุมเท่ากับอัตราส่วนของขาตรงข้ามต่อด้านตรงข้ามมุมฉาก เราก็สามารถคำนวณรัศมีได้:

บาป 30°= ก/2:R = 1/2;

Sc = πR²/360°*60° = πa²/6

พื้นที่ของสามเหลี่ยมที่สอดคล้องกับเซกเตอร์มีการคำนวณดังนี้:

S▲=1/2*ah โดยที่ h คือความสูงที่ลากจากจุดยอดของมุมที่จุดศูนย์กลางถึงคอร์ด ตามทฤษฎีบทพีทาโกรัส h=√(R²-a²/4)= √3*a/2

ดังนั้น S▲=√3/4*a²

พื้นที่ของเซ็กเมนต์ซึ่งคำนวณเป็น Sreg = Sc - S▲ เท่ากับ:

ซเร็ก = πa²/6 - √3/4*a²

ด้วยการแทนที่ค่าตัวเลขสำหรับค่า a คุณสามารถคำนวณค่าตัวเลขของพื้นที่ส่วนได้อย่างง่ายดาย

ตัวอย่างที่ 2

รัศมีของวงกลมเท่ากับ a องศาของส่วนโค้งที่สอดคล้องกับส่วนคือ 60° ค้นหาพื้นที่ของส่วนวงกลม

สารละลาย:

พื้นที่ของภาคที่เกี่ยวข้อง มุมที่กำหนดสามารถคำนวณได้โดยใช้สูตรต่อไปนี้:

ระดับกลาง

วงกลมและมุมที่ถูกจารึกไว้ คู่มือภาพ (2019)

เงื่อนไขพื้นฐาน

คุณจำชื่อทั้งหมดที่เกี่ยวข้องกับวงกลมได้ดีแค่ไหน? ในกรณีที่ให้เราเตือนคุณ - ดูภาพ - รีเฟรชความรู้ของคุณ

ก่อนอื่นเลย - จุดศูนย์กลางของวงกลมคือจุดที่ระยะห่างจากทุกจุดบนวงกลมเท่ากัน

ประการที่สอง - รัศมี - ส่วนของเส้นตรงที่เชื่อมต่อจุดศูนย์กลางกับจุดบนวงกลม

มีรัศมีมากมาย (มากเท่าที่มีจุดบนวงกลม) แต่ รัศมีทั้งหมดมีความยาวเท่ากัน

บางครั้งก็สั้น รัศมีพวกเขาเรียกมันว่าอย่างแน่นอน ความยาวของส่วน“ศูนย์กลางคือจุดบนวงกลม” ไม่ใช่ส่วนนั้นเอง

และนี่คือสิ่งที่เกิดขึ้น หากคุณเชื่อมต่อจุดสองจุดบนวงกลม- มีภาคด้วยเหรอ?

ดังนั้นส่วนนี้จึงเรียกว่า "คอร์ด".

เช่นเดียวกับในกรณีของรัศมี เส้นผ่านศูนย์กลางมักเป็นความยาวของส่วนที่เชื่อมต่อจุดสองจุดบนวงกลมและผ่านจุดศูนย์กลาง อย่างไรก็ตาม เส้นผ่านศูนย์กลางและรัศมีมีความสัมพันธ์กันอย่างไร? ดูอย่างระมัดระวัง แน่นอน รัศมีเท่ากับครึ่งหนึ่งของเส้นผ่านศูนย์กลาง

นอกจากคอร์ดแล้วยังมี ซีแคนต์

จำสิ่งที่ง่ายที่สุดได้ไหม?

มุมกลางคือมุมระหว่างสองรัศมี

และตอนนี้ - มุมที่ถูกจารึกไว้

มุมที่จารึกไว้ - มุมระหว่างสองคอร์ดที่ตัดกันที่จุดบนวงกลม.

ในกรณีนี้ พวกเขาบอกว่ามุมที่จารึกไว้นั้นวางอยู่บนส่วนโค้ง (หรือบนคอร์ด)

ดูภาพ:

การวัดส่วนโค้งและมุม

เส้นรอบวง. ส่วนโค้งและมุมวัดเป็นองศาและเรเดียน อันดับแรกเกี่ยวกับองศา ไม่มีปัญหาสำหรับมุม - คุณต้องเรียนรู้วิธีวัดส่วนโค้งเป็นองศา

การวัดระดับ (ขนาดส่วนโค้ง) คือค่า (เป็นองศา) ของมุมที่ศูนย์กลางที่สอดคล้องกัน

คำว่า "เหมาะสม" ในที่นี้หมายถึงอะไร? ลองดูอย่างระมัดระวัง:

คุณเห็นส่วนโค้งสองอันและมุมตรงกลางสองอันหรือไม่? ส่วนโค้งที่ใหญ่กว่าจะสอดคล้องกับมุมที่ใหญ่กว่า (และไม่เป็นไรที่มันจะใหญ่กว่า) และส่วนโค้งที่เล็กกว่าจะสอดคล้องกับมุมที่เล็กกว่า

ดังนั้นเราจึงเห็นพ้องกันว่า ส่วนโค้งมีจำนวนองศาเท่ากับมุมที่จุดศูนย์กลางที่สอดคล้องกัน

และตอนนี้เกี่ยวกับสิ่งที่น่ากลัว - เกี่ยวกับเรเดียน!

“เรเดียน” นี้คือสัตว์ชนิดใด?

จินตนาการ: เรเดียนเป็นวิธีหนึ่งในการวัดมุม...ในรัศมี!

มุมเรเดียนคือมุมที่ศูนย์กลางซึ่งมีความยาวส่วนโค้งเท่ากับรัศมีของวงกลม

แล้วคำถามก็เกิดขึ้น - มีกี่เรเดียนในมุมตรง?

กล่าวอีกนัยหนึ่ง: รัศมี "พอดี" ในครึ่งวงกลมมีกี่รัศมี? หรืออีกนัยหนึ่ง: ครึ่งวงกลมยาวกว่ารัศมีกี่ครั้ง?

นักวิทยาศาสตร์ถามคำถามนี้ย้อนกลับไปในสมัยกรีกโบราณ

หลังจากค้นหามานานก็พบว่าอัตราส่วนของเส้นรอบวงต่อรัศมีไม่ต้องการให้แสดงเป็นตัวเลข "มนุษย์" เช่น เป็นต้น

และเป็นไปไม่ได้เลยที่จะแสดงทัศนคตินี้ผ่านรากเหง้า นั่นคือปรากฎว่าเป็นไปไม่ได้ที่จะบอกว่าครึ่งวงกลมนั้นใหญ่กว่ารัศมีหลายเท่า! คุณลองจินตนาการดูสิว่ามันน่าทึ่งแค่ไหนที่ผู้คนค้นพบสิ่งนี้เป็นครั้งแรก! สำหรับอัตราส่วนความยาวครึ่งวงกลมต่อรัศมี ตัวเลข “ปกติ” ยังไม่เพียงพอ ฉันต้องป้อนจดหมาย

นี่คือตัวเลขที่แสดงอัตราส่วนของความยาวของครึ่งวงกลมต่อรัศมี

ตอนนี้เราสามารถตอบคำถามได้แล้ว: มีกี่เรเดียนในมุมตรง? มันมีเรเดียน แน่นอนเพราะว่าครึ่งหนึ่งของวงกลมมีขนาดใหญ่กว่ารัศมีหลายเท่า

คนโบราณ (และไม่โบราณนัก) ตลอดหลายศตวรรษ (!) พยายามคำนวณตัวเลขลึกลับนี้ให้แม่นยำมากขึ้น เพื่อแสดงออกได้ดีขึ้น (อย่างน้อยก็ประมาณ) ผ่านตัวเลข "ธรรมดา" และตอนนี้เราขี้เกียจอย่างไม่น่าเชื่อ - เราคุ้นเคยแล้วสำหรับเราสองสัญญาณหลังจากวันที่วุ่นวาย

ลองคิดดูสิ ซึ่งหมายความว่าความยาวของวงกลมที่มีรัศมี 1 มีค่าเท่ากันโดยประมาณ แต่ความยาวที่แน่นอนนี้เป็นไปไม่ได้เลยที่จะเขียนด้วยตัวเลข "มนุษย์" - คุณต้องมีตัวอักษร แล้วเส้นรอบวงนี้จะเท่ากัน และแน่นอน เส้นรอบวงของรัศมีก็เท่ากัน

ลองกลับไปหาเรเดียน.

เราพบแล้วว่ามุมตรงประกอบด้วยเรเดียน

เรามีอะไร:

ดีใจก็ดีใจแล้ว ในทำนองเดียวกันจะได้จานที่มีมุมที่ได้รับความนิยมมากที่สุด

ความสัมพันธ์ระหว่างค่าของมุมที่ถูกจารึกไว้และมุมที่ศูนย์กลาง

มีข้อเท็จจริงที่น่าอัศจรรย์อย่างหนึ่ง:

มุมที่จารึกไว้คือครึ่งหนึ่งของขนาดมุมศูนย์กลางที่สอดคล้องกัน

ดูว่าข้อความนี้มีลักษณะอย่างไรในภาพ มุมกลางที่ "สอดคล้องกัน" คือมุมที่ปลายตรงกับปลายของมุมที่ถูกจารึกไว้ และมีจุดยอดอยู่ที่ศูนย์กลาง และในเวลาเดียวกัน มุมกลางที่ "สอดคล้อง" จะต้อง "ดู" ที่คอร์ดเดียวกัน () เป็นมุมที่จารึกไว้

ทำไมจึงเป็นเช่นนี้? มาดูกรณีง่ายๆกันก่อน ให้คอร์ดใดคอร์ดหนึ่งผ่านไปตรงกลาง มันเกิดขึ้นแบบนั้นบางครั้งใช่ไหม?

เกิดอะไรขึ้นที่นี่? ลองพิจารณาดู มันคือหน้าจั่ว และก็ - รัศมี ดังนั้น (ติดป้ายกำกับไว้)

ทีนี้เรามาดูกันดีกว่า. นี่คือมุมด้านนอกเพื่อ! จำไว้ว่ามุมด้านนอก เท่ากับผลรวมภายในสองอันที่ไม่อยู่ติดกันและเขียนว่า:

นั่นคือ! ผลกระทบที่ไม่คาดคิด แต่ก็มีมุมกลางสำหรับจารึกไว้ด้วย

ซึ่งหมายความว่าในกรณีนี้ พวกเขาพิสูจน์ว่ามุมที่ศูนย์กลางเป็นสองเท่าของมุมที่เขียนไว้ แต่มันเป็นกรณีพิเศษที่เจ็บปวด จริงไหมที่คอร์ดไม่ได้ผ่านจุดศูนย์กลางเสมอไป? แต่ไม่เป็นไร ตอนนี้กรณีนี้จะช่วยเราได้มาก ดู: กรณีที่สอง: ปล่อยให้ตรงกลางนอนอยู่ข้างใน

มาทำสิ่งนี้กัน: วาดเส้นผ่านศูนย์กลาง แล้ว...เราก็เห็นภาพสองภาพที่วิเคราะห์ไว้แล้วในกรณีแรก ดังนั้นเราจึงมีสิ่งนั้นอยู่แล้ว

ซึ่งหมายความว่า (ในรูปวาด a)

นั่นก็เหลือกรณีสุดท้าย: ศูนย์กลางอยู่นอกมุม

เราทำสิ่งเดียวกัน: วาดเส้นผ่านศูนย์กลางผ่านจุด ทุกอย่างเหมือนกัน แต่แทนที่จะเป็นผลรวมกลับมีความแตกต่าง

แค่นั้นแหละ!

ตอนนี้เรามาสร้างผลลัพธ์หลักและสำคัญมากสองประการจากข้อความที่ว่ามุมที่จารึกไว้คือครึ่งหนึ่งของมุมที่ศูนย์กลาง

ข้อพิสูจน์ 1

มุมที่ถูกจารึกไว้ทั้งหมดที่มีส่วนโค้งหนึ่งมีค่าเท่ากัน

เราแสดงให้เห็น:

มีมุมที่ถูกจารึกไว้จำนวนนับไม่ถ้วนตามส่วนโค้งเดียวกัน (เรามีส่วนโค้งนี้) มุมเหล่านั้นอาจดูแตกต่างไปจากเดิมอย่างสิ้นเชิง แต่ทั้งหมดก็มีมุมที่ศูนย์กลางเหมือนกัน () ซึ่งหมายความว่ามุมที่ถูกจารึกเหล่านี้ทั้งหมดเท่ากัน

ข้อพิสูจน์ 2

มุมที่ต่อด้วยเส้นผ่านศูนย์กลางจะเป็นมุมฉาก

ดู: มุมใดเป็นศูนย์กลางของ?

แน่นอน, . แต่เขาเท่าเทียมกัน! ดังนั้น (รวมถึงมุมที่ถูกจารึกไว้อีกมากมายที่วางอยู่) และมีค่าเท่ากัน

มุมระหว่างสองคอร์ดและเซแคนต์

แต่จะเกิดอะไรขึ้นถ้ามุมที่เราสนใจไม่ได้ถูกจารึกไว้และไม่ได้อยู่ตรงกลาง แต่เป็นตัวอย่างดังนี้:

หรือแบบนี้?

เป็นไปได้ไหมที่จะแสดงมันผ่านมุมตรงกลางบางมุม? ปรากฎว่ามันเป็นไปได้ ดู: เรามีความสนใจ

ก) (เป็นมุมภายนอกสำหรับ) แต่ - จารึกไว้ วางอยู่บนส่วนโค้ง - - จารึกไว้, วางอยู่บนส่วนโค้ง - .

เพื่อความงามพวกเขาพูดว่า:

มุมระหว่างคอร์ดเท่ากับครึ่งหนึ่งของผลรวมของค่าเชิงมุมของส่วนโค้งที่อยู่ในมุมนี้

พวกเขาเขียนสิ่งนี้เพื่อความกระชับ แต่แน่นอนว่า เมื่อใช้สูตรนี้ คุณจะต้องคำนึงถึงมุมที่อยู่ตรงกลางด้วย

b) และตอนนี้ - "ข้างนอก"! เป็นไปได้ยังไง? ใช่ เกือบจะเหมือนกัน! ตอนนี้เท่านั้น (เราใช้คุณสมบัติของมุมภายนอกอีกครั้ง) นั่นคือตอนนี้

และนั่นหมายความว่า... มานำความสวยงามและความกะทัดรัดมาสู่บันทึกและถ้อยคำ:

มุมระหว่างเส้นตัดมุมเท่ากับครึ่งหนึ่งของความแตกต่างในค่าเชิงมุมของส่วนโค้งที่อยู่ในมุมนี้

ตอนนี้คุณก็มีความรู้พื้นฐานเกี่ยวกับมุมที่เกี่ยวข้องกับวงกลมแล้ว ไปข้างหน้า เผชิญกับความท้าทาย!

วงกลมและมุมที่อยู่ภายใน ระดับกลาง

แม้แต่เด็กห้าขวบยังรู้ว่าวงกลมคืออะไรใช่ไหม? นักคณิตศาสตร์มีคำจำกัดความที่ชัดเจนในหัวข้อนี้เหมือนเช่นเคย แต่เราจะไม่ให้คำจำกัดความ (ดู) แต่ให้เราจำไว้ว่าจุด เส้น และมุมที่เกี่ยวข้องกับวงกลมเรียกว่าอะไร

ข้อกำหนดที่สำคัญ

ก่อนอื่นเลย:

ประการที่สอง:

มีอีกสำนวนหนึ่งที่ได้รับการยอมรับ: “คอร์ดหดตัวส่วนโค้ง” ในรูปนี้ คอร์ดรองรับส่วนโค้ง และถ้าจู่ๆ คอร์ดผ่านตรงกลาง มันก็จะผ่านไป ชื่อพิเศษ: "เส้นผ่านศูนย์กลาง".

อย่างไรก็ตาม เส้นผ่านศูนย์กลางและรัศมีมีความสัมพันธ์กันอย่างไร? ดูอย่างระมัดระวัง แน่นอน

และตอนนี้ - ชื่อของมุม

เป็นธรรมชาติใช่ไหม? ด้านข้างของมุมยื่นออกมาจากจุดศูนย์กลาง - ซึ่งหมายความว่ามุมนั้นเป็นศูนย์กลาง

นี่คือจุดที่บางครั้งความยากลำบากเกิดขึ้น ให้ความสนใจ - ไม่มีมุมใดๆ ภายในวงกลมที่ถูกจารึกไว้แต่มีเพียงคนเดียวเท่านั้นที่มีจุดยอด "นั่ง" บนวงกลมนั้นเอง

มาดูความแตกต่างในภาพ:

อีกวิธีหนึ่งที่พวกเขาพูดว่า:

มีจุดยุ่งยากจุดหนึ่งที่นี่ มุมกลาง "ที่สอดคล้องกัน" หรือ "ของตัวเอง" คืออะไร? แค่มุมที่มีจุดยอดอยู่ตรงกลางวงกลมและปลายอยู่ที่ปลายส่วนโค้งใช่ไหม? ไม่เชิง. ดูภาพวาดสิ

อย่างไรก็ตาม หนึ่งในนั้นดูไม่เหมือนมุมเลยด้วยซ้ำ มันใหญ่กว่า แต่สามเหลี่ยมไม่สามารถมีมุมได้มากกว่านี้ แต่วงกลมก็อาจดีได้! ดังนั้น: ส่วนโค้ง AB ที่เล็กกว่าจะสอดคล้องกับมุมที่เล็กกว่า (สีส้ม) และส่วนโค้งที่ใหญ่กว่าจะสอดคล้องกับมุมที่ใหญ่กว่า แบบนั้นเลยไม่ใช่เหรอ?

ความสัมพันธ์ระหว่างขนาดของมุมที่ถูกจารึกไว้กับมุมที่ศูนย์กลาง

จำข้อความที่สำคัญมากนี้:

ในตำราเรียนพวกเขาชอบเขียนข้อเท็จจริงเดียวกันนี้ดังนี้:

เป็นความจริงหรือไม่ที่สูตรจะง่ายกว่าเมื่อมีมุมตรงกลาง?

แต่ถึงกระนั้น เรามาค้นหาความสอดคล้องระหว่างสองสูตรกัน และในขณะเดียวกันก็เรียนรู้ที่จะค้นหามุมกลางที่ "สอดคล้อง" และส่วนโค้งที่มุมที่ถูกจารึกไว้ "วางอยู่" ในภาพวาด

ดูสิ นี่คือวงกลมและมุมที่จารึกไว้:

มุมกลาง "ที่สอดคล้องกัน" อยู่ที่ไหน?

ลองดูอีกครั้ง:

กฎคืออะไร?

แต่! ในกรณีนี้ สิ่งสำคัญคือมุมที่จารึกไว้และมุมตรงกลางจะ "ดู" ที่ส่วนโค้งจากด้านหนึ่ง ตัวอย่างเช่น:

ผิดปกติพอสีฟ้า! เพราะส่วนโค้งยาวยาวเกินครึ่งวงกลม! ดังนั้นอย่าสับสน!

ผลที่ตามมาอะไรที่สามารถอนุมานได้จาก "ครึ่งหนึ่ง" ของมุมที่ถูกจารึกไว้?

แต่ตัวอย่างเช่น:

มุมต่อด้วยเส้นผ่านศูนย์กลาง

คุณสังเกตไหมว่านักคณิตศาสตร์ชอบที่จะพูดถึงสิ่งเดียวกันด้วยคำที่ต่างกัน? ทำไมพวกเขาต้องการสิ่งนี้? คุณคงเห็นว่าภาษาของคณิตศาสตร์ถึงแม้จะเป็นทางการแต่ก็ยังมีชีวิตอยู่ ดังนั้นเช่นเดียวกับภาษาทั่วไป ทุกครั้งที่คุณต้องการพูดด้วยวิธีที่สะดวกกว่า เราได้เห็นแล้วว่า "มุมวางอยู่บนส่วนโค้ง" หมายความว่าอย่างไร ลองนึกภาพภาพเดียวกันนี้เรียกว่า "มุมวางอยู่บนคอร์ด" อันไหน? ใช่แน่นอนสำหรับคนที่ทำให้ส่วนโค้งนี้กระชับขึ้น!

เมื่อไหร่จะสะดวกกว่าที่จะพึ่งพาคอร์ดมากกว่าส่วนโค้ง?

โดยเฉพาะเมื่อคอร์ดนี้มีเส้นผ่านศูนย์กลาง

มีข้อความที่เรียบง่าย สวยงาม และมีประโยชน์อย่างน่าประหลาดใจสำหรับสถานการณ์เช่นนี้!

ดูสิ นี่คือวงกลม เส้นผ่านศูนย์กลาง และมุมที่วางอยู่บนวงกลม

วงกลมและมุมที่อยู่ภายใน สั้น ๆ เกี่ยวกับสิ่งสำคัญ

1. แนวคิดพื้นฐาน

3. การวัดส่วนโค้งและมุม

มุมเรเดียนคือมุมที่ศูนย์กลางซึ่งมีความยาวส่วนโค้งเท่ากับรัศมีของวงกลม

นี่คือตัวเลขที่แสดงอัตราส่วนระหว่างความยาวของครึ่งวงกลมต่อรัศมี

เส้นรอบวงรัศมีจะเท่ากับ

4. ความสัมพันธ์ระหว่างค่าของมุมที่ถูกจารึกไว้และมุมที่ศูนย์กลาง

วันนี้เราจะมาดูปัญหาประเภทอื่น 6 - คราวนี้เป็นวงกลม นักเรียนหลายคนไม่ชอบพวกเขาและพบว่ามันยาก และไร้ผลโดยสิ้นเชิงเนื่องจากปัญหาดังกล่าวได้รับการแก้ไขแล้ว ระดับประถมศึกษา, ถ้าคุณรู้ทฤษฎีบทบางข้อ หรือพวกเขาไม่กล้าเลยถ้าคุณไม่รู้จักพวกเขา

ก่อนที่จะพูดถึงคุณสมบัติหลักฉันขอเตือนคุณถึงคำจำกัดความ:

มุมที่จารึกไว้คือมุมที่มีจุดยอดอยู่บนวงกลม และมีด้านที่ตัดเส้นบนวงกลมนี้ออก

มุมที่ศูนย์กลางคือมุมใดๆ ที่มีจุดยอดอยู่ตรงกลางวงกลม ด้านข้างของวงกลมตัดกันและสลักคอร์ดไว้

ดังนั้น แนวคิดเรื่องมุมที่จารึกไว้และมุมที่ศูนย์กลางจึงเชื่อมโยงกับวงกลมและคอร์ดที่อยู่ข้างในอย่างแยกไม่ออก และตอนนี้ข้อความหลัก:

ทฤษฎีบท. มุมที่ศูนย์กลางจะเป็นสองเท่าของมุมที่เขียนไว้เสมอ โดยยึดตามส่วนโค้งเดียวกัน

แม้จะมีความเรียบง่ายของข้อความ แต่ก็มีปัญหาทั้งระดับ 6 ที่สามารถแก้ไขได้โดยใช้มัน - และไม่มีอะไรอื่นอีก

งาน. ค้นหามุมแหลมที่ถูกจารึกไว้โดยมีคอร์ดเท่ากับรัศมีของวงกลม

ให้ AB เป็นคอร์ดที่กำลังพิจารณา O เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลม โครงสร้างเพิ่มเติม: OA และ OB คือรัศมีของวงกลม เราได้รับ:

พิจารณาสามเหลี่ยม ABO ในนั้น AB = OA = OB - ทุกด้านเท่ากับรัศมีของวงกลม ดังนั้น สามเหลี่ยม ABO มีด้านเท่ากันหมด และทุกมุมในนั้นคือ 60°

ให้ M เป็นจุดยอดของมุมที่ถูกจารึกไว้ เนื่องจากมุม O และ M วางตัวบนส่วนโค้ง AB เดียวกัน มุม M ที่จารึกไว้จึงเล็กกว่ามุมที่ศูนย์กลาง O 2 เท่า เรามี:

ม = โอ: 2 = 60: 2 = 30

งาน. มุมที่จุดศูนย์กลางมีค่ามากกว่ามุมที่จารึกไว้ 36° ซึ่งต่อด้วยส่วนโค้งเดียวกันของวงกลม ค้นหามุมที่จารึกไว้

ให้เราแนะนำสัญกรณ์ต่อไปนี้:

1. AB คือคอร์ดของวงกลม
2. จุด O เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลม ดังนั้นมุม AOB จึงเป็นมุมที่ศูนย์กลาง
3. จุด C คือจุดยอดของมุม ACB ที่ถูกจารึกไว้

เนื่องจากเรากำลังมองหามุม ACB ที่ถูกเขียนไว้ ลองแสดงว่า ACB = x กัน จากนั้นมุมที่ศูนย์กลาง AOB คือ x + 36 ในทางกลับกัน มุมที่ศูนย์กลางคือ 2 คูณมุมที่เขียนไว้ เรามี:

AOB = 2 · เอซีบี ;
x + 36 = 2 x ;
x = 36.

เราจึงพบมุม AOB ที่ถูกจารึกไว้ - เท่ากับ 36°

วงกลมคือมุม 360°

เมื่ออ่านคำบรรยายแล้ว ผู้อ่านที่มีความรู้คงจะพูดว่า "ฮึ!" อันที่จริงการเปรียบเทียบวงกลมกับมุมนั้นไม่ถูกต้องทั้งหมด เพื่อให้เข้าใจถึงสิ่งที่เรากำลังพูดถึง ให้ดูที่วงกลมตรีโกณมิติแบบคลาสสิก:

ภาพนี้มีไว้เพื่ออะไร? นอกจากนี้การหมุนเต็มยังเป็นมุม 360 องศา และถ้าคุณหารมันด้วย สมมุติว่า 20 ส่วนที่เท่ากันแล้วขนาดของแต่ละอันจะเป็น 360: 20 = 18 องศา นี่คือสิ่งที่จำเป็นสำหรับการแก้ปัญหา B8

จุด A, B และ C นอนอยู่บนวงกลมแล้วแบ่งออกเป็นสามส่วนโค้ง โดยการวัดระดับจะอยู่ในอัตราส่วน 1: 3: 5 ค้นหามุมที่ใหญ่กว่าของสามเหลี่ยม ABC

ขั้นแรก เรามาค้นหาระดับของส่วนโค้งแต่ละส่วนกันก่อน ให้อันที่เล็กกว่าเป็น x ในรูปส่วนโค้งนี้เรียกว่า AB จากนั้นส่วนโค้งที่เหลือ - BC และ AC - สามารถแสดงในรูปของ AB: ส่วนโค้ง BC = 3x; เอซี = 5x โดยรวมแล้วส่วนโค้งเหล่านี้ให้ 360 องศา:

เอบี + บีซี + เอซี = 360;
x + 3x + 5x = 360;
9x = 360;
x = 40.

ตอนนี้ให้พิจารณาส่วนโค้ง AC ขนาดใหญ่ที่ไม่มีจุด B ส่วนโค้งนี้เหมือนกับมุมที่จุดศูนย์กลาง AOC คือ 5x = 5 40 = 200 องศา

มุม ABC เป็นมุมที่ใหญ่ที่สุดในบรรดามุมทั้งหมดในรูปสามเหลี่ยม เป็นมุมที่เขียนไว้ซึ่งต่อด้วยส่วนโค้งเดียวกันกับมุมที่ศูนย์กลาง AOC ซึ่งหมายความว่ามุม ABC น้อยกว่า AOC 2 เท่า เรามี:

เอบีซี = AOC: 2 = 200: 2 = 100

นี่จะเป็นหน่วยวัดองศาของมุมที่ใหญ่กว่าในรูปสามเหลี่ยม ABC

วงกลมที่ล้อมรอบสามเหลี่ยมมุมฉาก

หลายคนลืมทฤษฎีบทนี้ไป แต่เปล่าประโยชน์เพราะปัญหา B8 บางอย่างไม่สามารถแก้ไขได้เลยหากไม่มีมัน แม่นยำยิ่งขึ้นพวกเขาได้รับการแก้ไข แต่ด้วยการคำนวณจำนวนมากที่คุณอยากจะหลับไปมากกว่าที่จะได้คำตอบ

ทฤษฎีบท. ศูนย์กลางของวงกลมที่ล้อมรอบ สามเหลี่ยมมุมฉาก, อยู่ตรงกลางด้านตรงข้ามมุมฉาก

สิ่งที่ตามมาจากทฤษฎีบทนี้?

1. จุดกึ่งกลางของด้านตรงข้ามมุมฉากนั้นอยู่ห่างจากจุดยอดทั้งหมดของรูปสามเหลี่ยมเท่ากัน นี่เป็นผลโดยตรงของทฤษฎีบท
2. ค่ามัธยฐานที่ลากไปยังด้านตรงข้ามมุมฉากจะแบ่งสามเหลี่ยมเดิมออกเป็นสามเหลี่ยมหน้าจั่วสองรูป นี่คือสิ่งที่จำเป็นสำหรับการแก้ปัญหา B8

ในรูปสามเหลี่ยม ABC เราวาดค่ามัธยฐานซีดี มุม C คือ 90° และมุม B คือ 60° หามุม ACD

เนื่องจากมุม C คือ 90° สามเหลี่ยม ABC จึงเป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก ปรากฎว่า CD คือค่ามัธยฐานที่ลากไปยังด้านตรงข้ามมุมฉาก ซึ่งหมายความว่าสามเหลี่ยม ADC และ BDC เป็นหน้าจั่ว

โดยเฉพาะพิจารณาสามเหลี่ยม ADC ในนั้น AD = ซีดี แต่ในสามเหลี่ยมหน้าจั่ว มุมที่ฐานจะเท่ากัน - ดู “ปัญหา B8: ส่วนของเส้นตรงและมุมในรูปสามเหลี่ยม” ดังนั้น มุมที่ต้องการ ACD = A

ดังนั้นจึงยังคงต้องหาคำตอบว่าทำไม มุมเท่ากันก. เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้กลับมาที่สามเหลี่ยม ABC เดิมอีกครั้ง ลองแสดงว่ามุม A = x เนื่องจากผลรวมของมุมในสามเหลี่ยมใดๆ เท่ากับ 180° เราจึงได้:

A + B + BCA = 180;
x + 60 + 90 = 180;
x = 30.

แน่นอนว่าปัญหาสุดท้ายสามารถแก้ไขได้แตกต่างออกไป ตัวอย่างเช่น มันง่ายที่จะพิสูจน์ว่าสามเหลี่ยม BCD ไม่ใช่แค่หน้าจั่ว แต่ยังมีด้านเท่ากันหมดอีกด้วย ดังนั้นมุม BCD คือ 60 องศา ดังนั้น มุม ACD คือ 90 − 60 = 30 องศา อย่างที่คุณเห็นคุณสามารถใช้สิ่งอื่นได้ สามเหลี่ยมหน้าจั่วแต่คำตอบก็จะเหมือนเดิมเสมอ