วิธีค้นหาแทนเจนต์ของมุมแทนเจนต์ วิธีหาความชัน

บ้าน

การรักษาความเป็นส่วนตัวของคุณเป็นสิ่งสำคัญสำหรับเรา ด้วยเหตุนี้ เราจึงได้พัฒนานโยบายความเป็นส่วนตัวที่อธิบายถึงวิธีที่เราใช้และจัดเก็บข้อมูลของคุณ โปรดตรวจสอบหลักปฏิบัติด้านความเป็นส่วนตัวของเราและแจ้งให้เราทราบหากคุณมีคำถามใดๆ

การรวบรวมและการใช้ข้อมูลส่วนบุคคล

ข้อมูลส่วนบุคคลหมายถึงข้อมูลที่สามารถใช้เพื่อระบุหรือติดต่อบุคคลใดบุคคลหนึ่งโดยเฉพาะ

คุณอาจถูกขอให้ให้ข้อมูลส่วนบุคคลของคุณได้ตลอดเวลาเมื่อคุณติดต่อเรา

ด้านล่างนี้คือตัวอย่างบางส่วนของประเภทของข้อมูลส่วนบุคคลที่เราอาจรวบรวมและวิธีที่เราอาจใช้ข้อมูลดังกล่าว

• เราเก็บรวบรวมข้อมูลส่วนบุคคลอะไรบ้าง: เมื่อคุณส่งคำขอบนเว็บไซต์ เราอาจรวบรวมข้อมูลต่าง ๆ รวมถึงชื่อ หมายเลขโทรศัพท์ ที่อยู่ของคุณอีเมล

ฯลฯ

• เราใช้ข้อมูลส่วนบุคคลของคุณอย่างไร:
• ข้อมูลส่วนบุคคลที่เรารวบรวมช่วยให้เราสามารถติดต่อคุณเพื่อแจ้งข้อเสนอ โปรโมชั่น และกิจกรรมอื่น ๆ และกิจกรรมที่กำลังจะเกิดขึ้นได้ไม่ซ้ำใคร
• ในบางครั้ง เราอาจใช้ข้อมูลส่วนบุคคลของคุณเพื่อส่งประกาศและการสื่อสารที่สำคัญ เรายังอาจใช้ข้อมูลส่วนบุคคลเพื่อวัตถุประสงค์ภายใน เช่น การตรวจสอบ การวิเคราะห์ข้อมูล และการศึกษาต่างๆ
• เพื่อปรับปรุงบริการที่เรามอบให้และให้คำแนะนำเกี่ยวกับบริการของเรา

หากคุณเข้าร่วมการจับรางวัล การประกวด หรือการส่งเสริมการขายที่คล้ายกัน เราอาจใช้ข้อมูลที่คุณให้ไว้เพื่อจัดการโปรแกรมดังกล่าว

การเปิดเผยข้อมูลแก่บุคคลที่สาม

เราไม่เปิดเผยข้อมูลที่ได้รับจากคุณต่อบุคคลที่สาม

• ข้อยกเว้น: หากจำเป็น - ตามกฎหมาย กระบวนการยุติธรรม การดำเนินคดี และ/หรือ ตามคำขอของประชาชน หรือการร้องขอจากหน่วยงานภาครัฐ
• ในกรณีของการปรับโครงสร้างองค์กร การควบรวมกิจการ หรือการขาย เราอาจถ่ายโอนข้อมูลส่วนบุคคลที่เรารวบรวมไปยังบุคคลที่สามที่รับช่วงต่อที่เกี่ยวข้อง

การคุ้มครองข้อมูลส่วนบุคคล

เราใช้ความระมัดระวัง - รวมถึงการบริหารจัดการ ทางเทคนิค และทางกายภาพ - เพื่อปกป้องข้อมูลส่วนบุคคลของคุณจากการสูญหาย การโจรกรรม และการใช้งานในทางที่ผิด รวมถึงการเข้าถึง การเปิดเผย การเปลี่ยนแปลง และการทำลายโดยไม่ได้รับอนุญาต

การเคารพความเป็นส่วนตัวของคุณในระดับบริษัท

เพื่อให้มั่นใจว่าข้อมูลส่วนบุคคลของคุณปลอดภัย เราจะสื่อสารมาตรฐานความเป็นส่วนตัวและความปลอดภัยให้กับพนักงานของเรา และบังคับใช้หลักปฏิบัติด้านความเป็นส่วนตัวอย่างเคร่งครัด

ความต่อเนื่องของหัวข้อ สมการของเส้นบนระนาบมีพื้นฐานมาจากการศึกษาเส้นตรงจากบทเรียนพีชคณิต บทความนี้ให้ข้อมูลทั่วไปในหัวข้อสมการเส้นตรงและความชัน ลองพิจารณาคำจำกัดความ หาสมการ และระบุความเชื่อมโยงกับสมการประเภทอื่นๆ กัน ทุกอย่างจะหารือกันโดยใช้ตัวอย่างการแก้ปัญหา

ยานเดกซ์ RTB R-A-339285-1

ก่อนที่จะเขียนสมการนี้จำเป็นต้องกำหนดมุมเอียงของเส้นตรงกับแกน O x ด้วยค่าสัมประสิทธิ์เชิงมุม ให้เราสมมติว่าระบบพิกัดคาร์ทีเซียน O x บนระนาบถูกกำหนดไว้

คำจำกัดความ 1

มุมเอียงของเส้นตรงถึงแกน O xซึ่งอยู่ในระบบพิกัดคาร์ทีเซียน O x y บนระนาบ นี่คือมุมที่วัดจากทิศทางบวก O x ถึงเส้นตรงทวนเข็มนาฬิกา

เมื่อเส้นตรงขนานกับ O x หรือเกิดขึ้นพร้อมกัน มุมเอียงจะเป็น 0 จากนั้นมุมเอียงของเส้นตรงที่กำหนด α ถูกกำหนดไว้ในช่วงเวลา [ 0 , π) .

คำจำกัดความ 2

ความลาดชันโดยตรงคือค่าแทนเจนต์ของมุมเอียงของเส้นตรงที่กำหนด

การกำหนดมาตรฐานคือ k จากคำจำกัดความ เราพบว่า k = t g α . เมื่อเส้นขนานกับโอ้ก็ว่าอย่างนั้น ความลาดชันไม่มีอยู่จริง เพราะมันกลายเป็นอนันต์

ความชันจะเป็นค่าบวกเมื่อกราฟของฟังก์ชันเพิ่มขึ้นและในทางกลับกัน รูปภาพแสดงตำแหน่งต่างๆ มุมขวาสัมพันธ์กับระบบพิกัดที่มีค่าสัมประสิทธิ์

ในการค้นหามุมนี้จำเป็นต้องใช้คำจำกัดความของสัมประสิทธิ์เชิงมุมและคำนวณแทนเจนต์ของมุมเอียงในระนาบ

สารละลาย

จากเงื่อนไขที่เรามี α = 120° ตามคำจำกัดความจะต้องคำนวณความชัน ลองหาได้จากสูตร k = t g α = 120 = - 3

คำตอบ:เค = - 3 .

หากทราบค่าสัมประสิทธิ์เชิงมุมและจำเป็นต้องค้นหามุมเอียงกับแกน abscissa ควรคำนึงถึงค่าของสัมประสิทธิ์เชิงมุมด้วย ถ้า k > 0 มุมขวาจะเป็นมุมแหลมและหาได้จากสูตร α = a r c t g k ถ้าเค< 0 , тогда угол тупой, что дает право определить его по формуле α = π - a r c t g k .

ตัวอย่างที่ 2

กำหนดมุมเอียงของเส้นตรงที่กำหนดให้กับ O x โดยมีค่าสัมประสิทธิ์เชิงมุมเท่ากับ 3

สารละลาย

จากเงื่อนไขที่เราได้รับว่าสัมประสิทธิ์เชิงมุมเป็นบวก ซึ่งหมายความว่ามุมเอียงต่อ O x น้อยกว่า 90 องศา การคำนวณทำได้โดยใช้สูตร α = a r c t g k = a r c t g 3

คำตอบ: α = a rc t g 3 .

ตัวอย่างที่ 3

ค้นหามุมเอียงของเส้นตรงถึงแกน O x หากความชัน = - 1 3

สารละลาย

หากเราใช้ตัวอักษร k เป็นค่าสัมประสิทธิ์เชิงมุม แล้ว α คือมุมเอียงของเส้นตรงที่กำหนดในทิศทางบวก O x ดังนั้น k = - 1 3< 0 , тогда необходимо применить формулу α = π - a r c t g k При подстановке получим выражение:

α = π - a r c t g - 1 3 = π - a r c t g 1 3 = π - π 6 = 5 π 6

คำตอบ: 5 พาย 6 .

สมการที่อยู่ในรูปแบบ y = k x + b โดยที่ k คือความชัน และ b คือค่าบางส่วน จำนวนจริงเรียกว่าสมการของเส้นตรงที่มีค่าสัมประสิทธิ์มุม สมการนี้เป็นเรื่องปกติสำหรับเส้นตรงใดๆ ที่ไม่ขนานกับแกน O y

หากเราพิจารณารายละเอียดเส้นตรงบนระนาบในระบบพิกัดคงที่ซึ่งระบุโดยสมการที่มีค่าสัมประสิทธิ์เชิงมุมซึ่งมีรูปแบบ y = k x + b ในกรณีนี้ หมายความว่าสมการสอดคล้องกับพิกัดของจุดใดๆ บนเส้น หากเราแทนที่พิกัดของจุด M, M 1 (x 1, y 1) ลงในสมการ y = k x + b ในกรณีนี้เส้นจะผ่านจุดนี้ มิฉะนั้นจุดจะไม่เป็นของเส้น

ตัวอย่างที่ 4

จะได้เส้นตรงที่มีความชัน y = 1 3 x - 1 คำนวณว่าจุด M 1 (3, 0) และ M 2 (2, - 2) อยู่ในบรรทัดที่กำหนดหรือไม่

สารละลาย

จำเป็นต้องแทนที่พิกัดของจุด M 1 (3, 0) ลงในสมการที่กำหนด จากนั้นเราจะได้ 0 = 1 3 · 3 - 1 ⇔ 0 = 0 ความเท่าเทียมกันเป็นจริง ซึ่งหมายความว่าจุดนั้นอยู่ในเส้นตรง

หากเราแทนที่พิกัดของจุด M 2 (2, - 2) เราจะได้ความเท่าเทียมกันที่ไม่ถูกต้องของแบบฟอร์ม - 2 = 1 3 · 2 - 1 ⇔ - 2 = - 1 3 เราสามารถสรุปได้ว่าจุด M 2 ไม่อยู่ในเส้น

คำตอบ: M 1 เป็นของเส้น แต่ M 2 ไม่ใช่ของเส้น

เป็นที่ทราบกันว่าเส้นถูกกำหนดโดยสมการ y = k · x + b ผ่าน M 1 (0, b) เมื่อทดแทนเราได้รับความเท่าเทียมกันของรูปแบบ b = k · 0 + b ⇔ b = b จากนี้เราสามารถสรุปได้ว่าสมการของเส้นตรงที่มีค่าสัมประสิทธิ์เชิงมุม y = k x + b บนระนาบจะกำหนดเส้นตรงที่ผ่านจุด 0, b มันสร้างมุม α โดยมีทิศทางบวกของแกน O x โดยที่ k = t g α

ให้เราพิจารณาเป็นตัวอย่าง เส้นตรงที่กำหนดโดยใช้สัมประสิทธิ์เชิงมุมที่ระบุในรูปแบบ y = 3 · x - 1 เราพบว่าเส้นตรงจะผ่านจุดที่มีพิกัด 0, - 1 โดยมีความชัน α = a r c t g 3 = π 3 เรเดียนในทิศทางบวกของแกน O x นี่แสดงว่าสัมประสิทธิ์คือ 3

สมการของเส้นตรงที่มีความชันที่ผ่านจุดที่กำหนด

มีความจำเป็นต้องแก้ปัญหาโดยจำเป็นต้องได้สมการของเส้นตรงที่มีความชันที่กำหนดผ่านจุด M 1 (x 1, y 1)

ความเท่าเทียมกัน y 1 = k · x + b ถือว่าใช้ได้เนื่องจากเส้นผ่านจุด M 1 (x 1, y 1) หากต้องการลบตัวเลข b คุณต้องลบสมการด้วยความชันจากด้านซ้ายและด้านขวา จากนี้ไป y - y 1 = k · (x - x 1) ความเท่าเทียมกันนี้เรียกว่าสมการของเส้นตรงที่มีความชัน k โดยผ่านพิกัดของจุด M 1 (x 1, y 1)

ตัวอย่างที่ 5

เขียนสมการของเส้นตรงที่ผ่านจุด M 1 ด้วยพิกัด (4, - 1) โดยมีค่าสัมประสิทธิ์เชิงมุมเท่ากับ - 2

สารละลาย

ตามเงื่อนไขเราจะได้ว่า x 1 = 4, y 1 = - 1, k = - 2 จากตรงนี้ สมการของเส้นจะเขียนได้ดังนี้: y - y 1 = k · (x - x 1) ⇔ y - (- 1) = - 2 · (x - 4) ⇔ y = - 2 x + 7 .

คำตอบ:ย = - 2 x + 7 .

ตัวอย่างที่ 6

เขียนสมการของเส้นตรงที่มีค่าสัมประสิทธิ์เชิงมุมที่ผ่านจุด M 1 ด้วยพิกัด (3, 5) ขนานกับเส้นตรง y = 2 x - 2

สารละลาย

โดยเงื่อนไข เราจะได้ว่าเส้นขนานมีมุมเอียงเท่ากัน ซึ่งหมายความว่าค่าสัมประสิทธิ์เชิงมุมเท่ากัน เพื่อหาความชันจาก สมการที่กำหนดคุณต้องจำสูตรพื้นฐานของมัน y = 2 x - 2 จากนั้นจึงตามด้วย k = 2 เราสร้างสมการด้วยสัมประสิทธิ์ความชันและรับ:

y - y 1 = k (x - x 1) ⇔ y - 5 = 2 (x - 3) ⇔ y = 2 x - 1

คำตอบ: y = 2 x - 1 .

การเปลี่ยนจากสมการเส้นตรงที่มีความชันเป็นสมการเส้นตรงประเภทอื่นและย้อนกลับ

สมการนี้ใช้ไม่ได้กับการแก้ปัญหาเสมอไป เนื่องจากเขียนได้ไม่สะดวกนัก เมื่อต้องการทำเช่นนี้ คุณต้องนำเสนอในรูปแบบอื่น ตัวอย่างเช่น สมการในรูปแบบ y = k · x + b ไม่อนุญาตให้เราเขียนพิกัดของเวกเตอร์ทิศทางของเส้นตรงหรือพิกัดของเวกเตอร์ปกติ เมื่อต้องการทำเช่นนี้ คุณต้องเรียนรู้ที่จะแทนด้วยสมการประเภทอื่น

เราสามารถหาสมการมาตรฐานของเส้นตรงบนระนาบได้โดยใช้สมการของเส้นตรงที่มีค่าสัมประสิทธิ์มุม เราได้ x - x 1 a x = y - y 1 ay มีความจำเป็นต้องย้ายคำ b ไปทางซ้ายแล้วหารด้วยการแสดงออกของความไม่เท่าเทียมกันที่เกิดขึ้น จากนั้นเราจะได้สมการในรูปแบบ y = k · x + b ⇔ y - b = k · x ⇔ k · xk = y - b k ⇔ x 1 = y - b k

สมการของเส้นตรงที่มีความชันกลายเป็นสมการมาตรฐานของเส้นนี้

ตัวอย่างที่ 7

นำสมการของเส้นตรงที่มีค่าสัมประสิทธิ์เชิงมุม y = - 3 x + 12 มาเป็นรูปแบบมาตรฐาน

สารละลาย

ให้เราคำนวณและนำเสนอในรูปแบบของสมการบัญญัติของเส้นตรง เราได้รับสมการของรูปแบบ:

y = - 3 x + 12 ⇔ - 3 x = y - 12 ⇔ - 3 x - 3 = y - 12 - 3 ⇔ x 1 = y - 12 - 3

คำตอบ: x 1 = y - 12 - 3

สมการทั่วไปของเส้นตรงหาได้ง่ายที่สุดจาก y = k · x + b แต่สำหรับสิ่งนี้ จำเป็นต้องทำการแปลง: y = k · x + b ⇔ k · x - y + b = 0 มีการเปลี่ยนผ่านจาก สมการทั่วไปเส้นตรงไปยังสมการประเภทอื่น

ตัวอย่างที่ 8

รับสมการเส้นตรงในรูปแบบ y = 1 7 x - 2 . ค้นหาว่าเวกเตอร์ที่มีพิกัด a → = (- 1, 7) เป็นเวกเตอร์เส้นปกติหรือไม่?

สารละลาย

เพื่อแก้ปัญหาจำเป็นต้องย้ายไปยังรูปแบบอื่นของสมการนี้เพื่อสิ่งนี้เราเขียน:

y = 1 7 x - 2 ⇔ 1 7 x - y - 2 = 0

ค่าสัมประสิทธิ์ที่อยู่หน้าตัวแปรคือพิกัดของเวกเตอร์ตั้งฉากของเส้นตรง ลองเขียนแบบนี้: n → = 1 7, - 1 ดังนั้น 1 7 x - y - 2 = 0 เห็นได้ชัดว่าเวกเตอร์ a → = (- 1, 7) อยู่ในแนวเดียวกันกับเวกเตอร์ n → = 1 7, - 1 เนื่องจากเรามีความสัมพันธ์ที่ยุติธรรม a → = - 7 · n → ตามมาด้วยเวกเตอร์ดั้งเดิม a → = - 1, 7 เป็นเวกเตอร์ปกติของเส้นตรง 1 7 x - y - 2 = 0 ซึ่งหมายความว่าเวกเตอร์ดังกล่าวถือเป็นเวกเตอร์ปกติของเส้นตรง y = 1 7 x - 2

คำตอบ:เป็น

ลองแก้ปัญหาผกผันของอันนี้กัน

ต้องย้ายจาก มุมมองทั่วไปสมการ A x + B y + C = 0 โดยที่ B ≠ 0 ถึงสมการที่มีความชัน เมื่อต้องการทำเช่นนี้ เราจะแก้สมการของ y เราได้ A x + B y + C = 0 ⇔ - A B x - C B .

ผลลัพธ์ที่ได้คือสมการที่มีความชันเท่ากับ - A B

ตัวอย่างที่ 9

จะได้สมการเส้นตรงในรูปแบบ 2 3 x - 4 y + 1 = 0 หาสมการของเส้นตรงที่กำหนดด้วยสัมประสิทธิ์เชิงมุม

สารละลาย

ตามเงื่อนไขจำเป็นต้องแก้หา y จากนั้นเราจะได้สมการของรูปแบบ:

2 3 x - 4 y + 1 = 0 ⇔ 4 y = 2 3 x + 1 ⇔ y = 1 4 2 3 x + 1 ⇔ y = 1 6 x + 1 4 .

คำตอบ: y = 1 6 x + 1 4 .

สมการของรูปแบบ x a + y b = 1 ได้รับการแก้ไขในลักษณะเดียวกัน ซึ่งเรียกว่าสมการของเส้นตรงในส่วนต่างๆ หรือ ประเภทมาตรฐาน x - x 1 ก x = y - y 1 ก . เราจำเป็นต้องแก้มันหา y จากนั้นเราจะได้สมการที่มีความชัน:

x a + y b = 1 ⇔ y b = 1 - x a ⇔ y = - b a · x + b

สมการบัญญัติสามารถลดลงเป็นรูปแบบที่มีค่าสัมประสิทธิ์เชิงมุมได้ เมื่อต้องการทำสิ่งนี้:

x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ a y · (x - x 1) = a x · (y - y 1) ⇔ ⇔ a x · y = a y · x - a y · x 1 + a x · y 1 ⇔ y = ay a x · x - aya x · x 1 + y 1

ตัวอย่างที่ 10

มีเส้นตรง กำหนดโดยสมการ x 2 + y - 3 = 1. ลดรูปให้อยู่ในรูปสมการที่มีค่าสัมประสิทธิ์เชิงมุม

สารละลาย.

จำเป็นต้องแปลงสภาพตามเงื่อนไข จากนั้นเราจะได้สมการในรูปแบบ _formula_ ทั้งสองด้านของสมการจะต้องคูณด้วย - 3 เพื่อให้ได้สมการความชันที่ต้องการ การแปลงเราได้รับ:

y - 3 = 1 - x 2 ⇔ - 3 · y - 3 = - 3 · 1 - x 2 ⇔ y = 3 2 x - 3 .

คำตอบ:ย = 3 2 x - 3 .

ตัวอย่างที่ 11

ลดสมการเส้นตรงของรูปแบบ x - 2 2 = y + 1 5 ให้เป็นรูปแบบที่มีค่าสัมประสิทธิ์เชิงมุม

สารละลาย

จำเป็นต้องคำนวณนิพจน์ x - 2 2 = y + 1 5 เป็นสัดส่วน เราได้มาว่า 5 · (x - 2) = 2 · (y + 1) ตอนนี้คุณต้องเปิดใช้งานโดยสมบูรณ์เพื่อทำสิ่งนี้:

5 (x - 2) = 2 (y + 1) ⇔ 5 x - 10 = 2 ปี + 2 ⇔ 2 ปี = 5 x - 12 ⇔ y = 5 2 x

คำตอบ: y = 5 2 x - 6 .

เพื่อแก้ปัญหาดังกล่าว สมการพาราเมตริกของเส้นในรูปแบบ x = x 1 + a x · แลม y = y 1 + a y · แลม ควรลดลงเป็นสมการบัญญัติของเส้นตรง หลังจากนี้เท่านั้นจึงจะสามารถดำเนินการสมการด้วย ค่าสัมประสิทธิ์ความชัน

ตัวอย่างที่ 12

จงหาความชันของเส้นตรงหากกำหนดโดยสมการพาราเมตริก x = แลม y = - 1 + 2 · แลม

สารละลาย

จำเป็นต้องเปลี่ยนจากมุมมองพาราเมตริกไปเป็นความชัน ในการทำเช่นนี้ เราจะพบสมการทางบัญญัติจากพาราเมตริกที่กำหนด:

x = แลมบ์ y = - 1 + 2 · แลมบ์ ⇔ แลมบ์ = x แลมบ์ = y + 1 2 ⇔ x 1 = ย + 1 2 .

ตอนนี้จำเป็นต้องแก้ไขความเท่าเทียมกันนี้ด้วยความเคารพต่อ y เพื่อให้ได้สมการของเส้นตรงที่มีสัมประสิทธิ์เชิงมุม เมื่อต้องการทำสิ่งนี้ ให้เขียนดังนี้:

x 1 = y + 1 2 ⇔ 2 x = 1 (y + 1) ⇔ y = 2 x - 1

ตามมาด้วยความชันของเส้นตรงเป็น 2 เขียนเป็น k = 2

คำตอบ:เค = 2.

หากคุณสังเกตเห็นข้อผิดพลาดในข้อความ โปรดไฮไลต์แล้วกด Ctrl+Enter

หัวข้อ "ค่าสัมประสิทธิ์เชิงมุมของแทนเจนต์เป็นแทนเจนต์ของมุมเอียง" ได้รับมอบหมายงานหลายอย่างในการสอบเพื่อรับใบรับรอง ผู้สำเร็จการศึกษาอาจต้องตอบแบบเต็มหรือตอบสั้นๆ ทั้งนี้ขึ้นอยู่กับสภาพของพวกเขา ในการเตรียมตัวสำหรับ ผ่านการสอบ Unified Stateในวิชาคณิตศาสตร์ นักเรียนควรทำซ้ำปัญหาซึ่งจำเป็นต้องคำนวณสัมประสิทธิ์เชิงมุมของแทนเจนต์อย่างแน่นอน

มันจะช่วยให้คุณทำเช่นนี้ พอร์ทัลการศึกษา"ชโคลโคโว". ผู้เชี่ยวชาญของเราเตรียมและนำเสนอเนื้อหาทั้งภาคทฤษฎีและภาคปฏิบัติด้วยวิธีที่เข้าถึงได้มากที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้ เมื่อคุ้นเคยแล้วผู้สำเร็จการศึกษาที่มีการฝึกอบรมทุกระดับจะสามารถแก้ไขปัญหาที่เกี่ยวข้องกับอนุพันธ์ซึ่งจำเป็นต้องค้นหาแทนเจนต์ของมุมแทนเจนต์ได้สำเร็จ

ไฮไลท์

ในการค้นหาวิธีแก้ปัญหาที่ถูกต้องและมีเหตุผลสำหรับงานดังกล่าวในการสอบ Unified State จำเป็นต้องจำคำจำกัดความพื้นฐาน: อนุพันธ์แสดงถึงอัตราการเปลี่ยนแปลงของฟังก์ชัน มันเท่ากับค่าแทนเจนต์ของมุมแทนเจนต์ที่ลากไปยังกราฟของฟังก์ชันที่จุดใดจุดหนึ่ง การวาดภาพให้เสร็จสมบูรณ์ก็มีความสำคัญไม่แพ้กัน มันจะช่วยให้คุณค้นพบ การตัดสินใจที่ถูกต้อง ปัญหาการสอบ Unified Stateเกี่ยวกับอนุพันธ์ซึ่งจำเป็นต้องคำนวณแทนเจนต์ของมุมแทนเจนต์ เพื่อความชัดเจน วิธีที่ดีที่สุดคือเขียนกราฟบนระนาบ OXY

หากคุณคุ้นเคยกับเนื้อหาพื้นฐานในหัวข้ออนุพันธ์แล้วและพร้อมที่จะเริ่มแก้ไขปัญหาการคำนวณแทนเจนต์ของมุมแทนเจนต์เช่น งานสอบ Unified Stateคุณสามารถทำได้ทางออนไลน์ สำหรับแต่ละงาน เช่น ปัญหาในหัวข้อ “ความสัมพันธ์ของอนุพันธ์กับความเร็วและความเร่งของร่างกาย” เราได้เขียนคำตอบที่ถูกต้องและอัลกอริทึมการแก้ปัญหา ในเวลาเดียวกัน นักเรียนสามารถฝึกปฏิบัติงานที่มีระดับความซับซ้อนต่างกันได้ หากจำเป็น สามารถบันทึกแบบฝึกหัดไว้ในส่วน "รายการโปรด" เพื่อที่คุณจะได้หารือเกี่ยวกับวิธีแก้ปัญหากับครูในภายหลัง

ในบทที่แล้วได้แสดงให้เห็นว่า โดยการเลือกระบบพิกัดบางอย่างบนระนาบ เราสามารถแสดงคุณสมบัติทางเรขาคณิตที่แสดงลักษณะของจุดของเส้นที่กำลังพิจารณาในเชิงวิเคราะห์โดยสมการระหว่างพิกัดปัจจุบัน ดังนั้นเราจึงได้สมการของเส้นตรง บทนี้จะกล่าวถึงสมการของเส้นตรง

ในการสร้างสมการสำหรับเส้นตรงในพิกัดคาร์ทีเซียน คุณจะต้องกำหนดเงื่อนไขที่กำหนดตำแหน่งที่สัมพันธ์กับแกนพิกัด

ขั้นแรก เราจะแนะนำแนวคิดเรื่องสัมประสิทธิ์เชิงมุมของเส้นตรง ซึ่งเป็นหนึ่งในปริมาณที่แสดงลักษณะของเส้นตรงบนระนาบ

ลองเรียกมุมเอียงของเส้นตรงกับแกน Ox ว่าเป็นมุมที่ต้องหมุนแกน Ox เพื่อให้ตรงกับเส้นที่กำหนด (หรือกลายเป็นขนานกับมัน) ตามปกติเราจะพิจารณามุมโดยคำนึงถึงเครื่องหมาย (เครื่องหมายจะถูกกำหนดโดยทิศทางการหมุน: ทวนเข็มนาฬิกาหรือตามเข็มนาฬิกา) เนื่องจากการหมุนเพิ่มเติมของแกน Ox ผ่านมุม 180° จะทำให้แกนนั้นอยู่ในแนวเดียวกับเส้นตรงอีกครั้ง จึงไม่สามารถเลือกมุมเอียงของเส้นตรงกับแกนได้อย่างชัดเจน (ขึ้นอยู่กับเทอมที่เป็นผลคูณของ ) .

แทนเจนต์ของมุมนี้จะถูกกำหนดโดยไม่ซ้ำกัน (เนื่องจากการเปลี่ยนมุมจึงไม่เปลี่ยนแทนเจนต์)

แทนเจนต์ของมุมเอียงของเส้นตรงกับแกน Ox เรียกว่าสัมประสิทธิ์เชิงมุมของเส้นตรง

ค่าสัมประสิทธิ์เชิงมุมแสดงลักษณะของเส้นตรง (เราไม่ได้แยกความแตกต่างระหว่างสองทิศทางที่ตรงข้ามกันของเส้นตรง) ถ้าความชันของเส้นตรงเป็นศูนย์ เส้นนั้นจะขนานกับแกน x ด้วยค่าสัมประสิทธิ์เชิงมุมบวก มุมเอียงของเส้นตรงถึงแกน Ox จะเป็นแบบเฉียบพลัน (เรากำลังพิจารณาที่นี่ว่าเล็กที่สุด ค่าบวกมุมเอียง) (รูปที่ 39); ยิ่งไปกว่านั้น ยิ่งค่าสัมประสิทธิ์เชิงมุมมากเท่าไร มุมเอียงของแกน Ox ก็จะยิ่งมากขึ้นเท่านั้น หากค่าสัมประสิทธิ์เชิงมุมเป็นลบมุมเอียงของเส้นตรงกับแกน Ox จะเป็นมุมป้าน (รูปที่ 40) โปรดทราบว่าเส้นตรงที่ตั้งฉากกับแกน Ox ไม่มีสัมประสิทธิ์เชิงมุม (ไม่มีค่าแทนเจนต์ของมุม)

อนุพันธ์ของฟังก์ชันเป็นหนึ่งในหัวข้อที่ยากใน หลักสูตรของโรงเรียน- ไม่ใช่ผู้สำเร็จการศึกษาทุกคนจะตอบคำถามว่าอนุพันธ์คืออะไร

บทความนี้จะอธิบายอย่างเรียบง่ายและชัดเจนว่าอนุพันธ์คืออะไร และเหตุใดจึงต้องมี- ตอนนี้เราจะไม่มุ่งมั่นเพื่อความเข้มงวดทางคณิตศาสตร์ในการนำเสนอ สิ่งที่สำคัญที่สุดคือการเข้าใจความหมาย

จำคำจำกัดความ:

อนุพันธ์คืออัตราการเปลี่ยนแปลงของฟังก์ชัน

รูปนี้แสดงกราฟของฟังก์ชันทั้งสาม คุณคิดว่าอันไหนเติบโตเร็วกว่ากัน?

คำตอบนั้นชัดเจน - ข้อที่สาม มีอัตราการเปลี่ยนแปลงสูงสุด นั่นคือ อนุพันธ์ที่ใหญ่ที่สุด

นี่เป็นอีกตัวอย่างหนึ่ง

Kostya, Grisha และ Matvey ได้งานในเวลาเดียวกัน มาดูกันว่ารายได้ของพวกเขาเปลี่ยนแปลงไปอย่างไรในระหว่างปี:

กราฟแสดงทุกอย่างพร้อมกันใช่ไหม? รายได้ของ Kostya เพิ่มขึ้นกว่าสองเท่าในช่วงหกเดือน และรายได้ของ Grisha ก็เพิ่มขึ้นเช่นกันแต่เพียงเล็กน้อย และรายได้ของ Matvey ลดลงเหลือศูนย์ เงื่อนไขการเริ่มต้นจะเหมือนกัน แต่อัตราการเปลี่ยนแปลงของฟังก์ชันก็คือ อนุพันธ์, - แตกต่าง. สำหรับ Matvey โดยทั่วไปอนุพันธ์ของรายได้ของเขาจะเป็นลบ

โดยสัญชาตญาณ เราสามารถประมาณอัตราการเปลี่ยนแปลงของฟังก์ชันได้อย่างง่ายดาย แต่เราจะทำอย่างไร?

สิ่งที่เรากำลังดูอยู่จริงๆ คือกราฟของฟังก์ชันจะขึ้น (หรือลง) ชันแค่ไหน กล่าวอีกนัยหนึ่ง y เปลี่ยนเร็วแค่ไหนเมื่อ x เปลี่ยน? แน่นอนว่าฟังก์ชันเดียวกันที่จุดต่างกันสามารถมีได้ ความหมายที่แตกต่างกันอนุพันธ์ - นั่นคือสามารถเปลี่ยนเร็วขึ้นหรือช้าลงได้

อนุพันธ์ของฟังก์ชันแสดงไว้

เราจะแสดงวิธีค้นหาโดยใช้กราฟ

มีการวาดกราฟของฟังก์ชันบางอย่างแล้ว มาดูประเด็นที่มีแอบซิสซากัน ให้เราวาดแทนเจนต์ให้กับกราฟของฟังก์ชัน ณ จุดนี้ เราต้องการประมาณว่ากราฟฟังก์ชันขึ้นไปสูงชันเพียงใด ความคุ้มค่าที่สะดวกสำหรับสิ่งนี้คือ แทนเจนต์ของมุมแทนเจนต์.

อนุพันธ์ของฟังก์ชันที่จุดหนึ่งจะเท่ากับแทนเจนต์ของมุมแทนเจนต์ที่ลากไปยังกราฟของฟังก์ชัน ณ จุดนี้

โปรดทราบว่าเนื่องจากมุมเอียงของแทนเจนต์ เราจะใช้มุมระหว่างแทนเจนต์กับทิศทางบวกของแกน

บางครั้งนักเรียนถามว่าค่าแทนเจนต์ของกราฟของฟังก์ชันคืออะไร นี่คือเส้นตรงที่มีจุดร่วมจุดเดียวกับกราฟในส่วนนี้ และดังแสดงในรูปของเรา ดูเหมือนเส้นสัมผัสกันของวงกลม

มาหากันเถอะ เราจำได้ว่าแทนเจนต์ของมุมแหลมเข้า สามเหลี่ยมมุมฉากเท่ากับอัตราส่วนของด้านตรงข้ามกับด้านประชิด จากรูปสามเหลี่ยม:

เราพบอนุพันธ์โดยใช้กราฟโดยไม่รู้สูตรของฟังก์ชันด้วยซ้ำ ปัญหาดังกล่าวมักพบในการสอบ Unified State ในวิชาคณิตศาสตร์ตามหมายเลข

มีความสัมพันธ์ที่สำคัญอีกอย่างหนึ่ง จำได้ว่าเส้นตรงถูกกำหนดโดยสมการ

ปริมาณในสมการนี้เรียกว่า ความชันของเส้นตรง- มันเท่ากับค่าแทนเจนต์ของมุมเอียงของเส้นตรงกับแกน

.

เราเข้าใจแล้ว

เรามาจำสูตรนี้กัน เธอแสดงออก ความหมายทางเรขาคณิตอนุพันธ์

อนุพันธ์ของฟังก์ชันที่จุดหนึ่งจะเท่ากับความชันของแทนเจนต์ที่ลากไปยังกราฟของฟังก์ชันที่จุดนั้น

กล่าวอีกนัยหนึ่ง อนุพันธ์จะเท่ากับแทนเจนต์ของมุมแทนเจนต์

เราได้บอกไปแล้วว่าฟังก์ชันเดียวกันสามารถมีอนุพันธ์ต่างกันที่จุดต่างกันได้ เรามาดูกันว่าอนุพันธ์เกี่ยวข้องกับพฤติกรรมของฟังก์ชันอย่างไร

ลองวาดกราฟของฟังก์ชันบางอย่างกัน ปล่อยให้ฟังก์ชันนี้เพิ่มขึ้นในบางพื้นที่และลดในบางพื้นที่และในอัตราที่ต่างกัน และให้ฟังก์ชันนี้มีจุดสูงสุดและต่ำสุด

เมื่อถึงจุดหนึ่งฟังก์ชันจะเพิ่มขึ้น แทนเจนต์ของกราฟที่วาดที่จุดจะเกิดขึ้น มุมแหลม- โดยมีทิศทางแกนบวก ซึ่งหมายความว่าอนุพันธ์ ณ จุดนั้นเป็นบวก

เมื่อถึงจุดที่ฟังก์ชันของเราลดลง แทนเจนต์ ณ จุดนี้ก่อให้เกิดมุมป้าน โดยมีทิศทางแกนบวก เนื่องจากแทนเจนต์ของมุมป้านเป็นลบ อนุพันธ์ ณ จุดนั้นจึงเป็นลบ

นี่คือสิ่งที่เกิดขึ้น:

หากฟังก์ชันเพิ่มขึ้น อนุพันธ์ของฟังก์ชันจะเป็นค่าบวก

ถ้ามันลดลง อนุพันธ์ของมันจะเป็นลบ

จะเกิดอะไรขึ้นที่จุดสูงสุดและต่ำสุด? เราจะเห็นว่าที่จุด (จุดสูงสุด) และ (จุดต่ำสุด) เส้นสัมผัสกันเป็นแนวนอน ดังนั้นแทนเจนต์ของแทนเจนต์ที่จุดเหล่านี้จึงเป็นศูนย์ และอนุพันธ์ก็เป็นศูนย์เช่นกัน

จุด - จุดสูงสุด ณ จุดนี้ การเพิ่มขึ้นของฟังก์ชันจะถูกแทนที่ด้วยการลดลง ดังนั้น เครื่องหมายของอนุพันธ์จึงเปลี่ยน ณ จุดจาก "บวก" เป็น "ลบ"

ณ จุด - จุดต่ำสุด - อนุพันธ์ก็เป็นศูนย์เช่นกัน แต่เครื่องหมายเปลี่ยนจาก "ลบ" เป็น "บวก"

สรุป: การใช้อนุพันธ์ทำให้เราสามารถค้นหาทุกสิ่งที่เราสนใจเกี่ยวกับพฤติกรรมของฟังก์ชันได้

หากอนุพันธ์เป็นบวก ฟังก์ชันจะเพิ่มขึ้น

ถ้าอนุพันธ์เป็นลบ ฟังก์ชันจะลดลง

ที่จุดสูงสุด อนุพันธ์จะเป็นศูนย์และเปลี่ยนเครื่องหมายจาก "บวก" เป็น "ลบ"

ที่จุดต่ำสุด อนุพันธ์ยังเป็นศูนย์และเปลี่ยนเครื่องหมายจากลบเป็นบวก

มาเขียนข้อสรุปเหล่านี้ในรูปแบบของตาราง:

ขอชี้แจงเล็กๆ น้อยๆ สองเรื่อง คุณจะต้องมีหนึ่งในนั้นเมื่อแก้ไขปัญหา อีกอย่างคือในปีแรกที่มีการศึกษาฟังก์ชันและอนุพันธ์อย่างจริงจังมากขึ้น

เป็นไปได้ว่าอนุพันธ์ของฟังก์ชัน ณ จุดใดจุดหนึ่งจะเท่ากับศูนย์ แต่ฟังก์ชันนั้นไม่มีค่าสูงสุดหรือค่าต่ำสุด ณ จุดนี้ นี่คือสิ่งที่เรียกว่า :

ณ จุดหนึ่ง เส้นสัมผัสของกราฟจะเป็นแนวนอนและอนุพันธ์เป็นศูนย์ อย่างไรก็ตาม ก่อนถึงจุด ฟังก์ชันจะเพิ่มขึ้น - และหลังจากจุดนั้น ฟังก์ชันจะเพิ่มขึ้นต่อไป เครื่องหมายของอนุพันธ์ไม่เปลี่ยนแปลง แต่ยังคงเป็นบวกเหมือนเดิม

นอกจากนี้ยังเกิดขึ้นว่า ณ จุดสูงสุดหรือต่ำสุดไม่มีอนุพันธ์อยู่ บนกราฟ สิ่งนี้สอดคล้องกับการหักกะทันหัน เมื่อไม่สามารถวาดเส้นสัมผัสกัน ณ จุดที่กำหนดได้

จะหาอนุพันธ์ได้อย่างไรถ้าฟังก์ชันไม่ได้ถูกกำหนดโดยกราฟ แต่ถูกกำหนดโดยสูตร? ในกรณีนี้จะใช้ได้