วิธีหาพื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนาน

บ้าน สี่เหลี่ยมด้านขนาน

เรียกว่า รูปสี่เหลี่ยมซึ่งมีด้านตรงข้ามขนานกัน งานหลักในโรงเรียนในหัวข้อนี้คือการคำนวณพื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนาน เส้นรอบวง ความสูง และเส้นทแยงมุม ค่าและสูตรที่ระบุสำหรับการคำนวณจะได้รับด้านล่าง

คุณสมบัติของสี่เหลี่ยมด้านขนาน
ด้านตรงข้ามของสี่เหลี่ยมด้านขนานและมุมตรงข้ามจะเท่ากัน:

AB=ซีดี, BC=AD,

เส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมด้านขนานที่จุดตัดกันแบ่งออกเป็นสองส่วนเท่า ๆ กัน:

AO=OC, OB=OD.

มุมที่อยู่ติดกับด้านใดด้านหนึ่ง (มุมที่อยู่ติดกัน) รวมกันได้ 180 องศา

เส้นทแยงมุมแต่ละเส้นของสี่เหลี่ยมด้านขนานจะแบ่งออกเป็นสามเหลี่ยมสองรูปซึ่งมีพื้นที่เท่ากันและมีมิติทางเรขาคณิต

คุณสมบัติที่น่าทึ่งอีกประการหนึ่งที่มักใช้ในการแก้ปัญหาคือผลรวมของกำลังสองของเส้นทแยงมุมในรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานเท่ากับผลรวมของกำลังสองของทุกด้าน:

เอซี^2+บีดี^2=2*(เอบี^2+บีซี^2)

คุณสมบัติหลักของสี่เหลี่ยมด้านขนาน:
1. รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนที่มีด้านตรงข้ามขนานกันเป็นคู่ถือเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน
2. รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนที่มีด้านตรงข้ามเท่ากันคือรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน
3. รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนที่มีด้านตรงข้ามขนานเท่ากันคือรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน
4. ถ้าเส้นทแยงมุมของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนที่จุดตัดแบ่งออกเป็นครึ่ง แสดงว่าเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน

5. รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนที่มีมุมตรงข้ามกันเท่ากันคือรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน

เส้นแบ่งครึ่งของสี่เหลี่ยมด้านขนาน

เส้นแบ่งครึ่งของมุมตรงข้ามในรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานสามารถขนานกันหรือขนานกันได้

เส้นแบ่งครึ่งของมุมที่อยู่ติดกัน (ติดกับด้านหนึ่ง) ตัดกันที่มุมขวา (ตั้งฉาก)

เส้นแบ่งครึ่งของมุมที่อยู่ติดกัน (ติดกับด้านหนึ่ง) ตัดกันที่มุมขวา (ตั้งฉาก)ความสูงสี่เหลี่ยมด้านขนาน

- นี่คือส่วนที่ดึงมาจากมุมที่ตั้งฉากกับฐาน จากนี้จึงสามารถดึงความสูงได้สองค่าจากแต่ละมุม

สูตรพื้นที่สี่เหลี่ยมด้านขนานพื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนาน

เท่ากับผลคูณของด้านและความสูงที่ลากด้านนั้น สูตรพื้นที่มีดังนี้ สูตรที่สองได้รับความนิยมไม่น้อยในการคำนวณและมีการกำหนดดังนี้ พื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานเท่ากับผลคูณฝ่ายเพื่อนบ้าน

โดยไซน์ของมุมระหว่างพวกมัน

จากสูตรข้างต้น คุณจะรู้วิธีคำนวณพื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนาน

เส้นรอบรูปของสี่เหลี่ยมด้านขนาน

นั่นคือ เส้นรอบรูปเท่ากับสองเท่าของผลรวมของด้าน ปัญหาเกี่ยวกับสี่เหลี่ยมด้านขนานจะมีการพูดคุยกันในสื่อที่อยู่ติดกัน แต่ตอนนี้ ให้ศึกษาสูตรก่อน ปัญหาส่วนใหญ่ในการคำนวณด้านข้างและเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมด้านขนานนั้นค่อนข้างง่าย และต้องอาศัยความรู้เกี่ยวกับทฤษฎีบทของไซน์และทฤษฎีบทพีทาโกรัส

เช่นเดียวกับในเรขาคณิตแบบยุคลิด จุดและเส้นตรงเป็นองค์ประกอบหลักของทฤษฎีระนาบ ดังนั้น สี่เหลี่ยมด้านขนานจึงเป็นหนึ่งในตัวเลขสำคัญของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนนูน จากนั้นแนวคิดของ "สี่เหลี่ยมผืนผ้า" "สี่เหลี่ยมจัตุรัส" "สี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน" และปริมาณทางเรขาคณิตอื่น ๆ ก็เหมือนกับเส้นด้ายจากลูกบอล

ความหมายของสี่เหลี่ยมด้านขนาน

รูปสี่เหลี่ยมนูนนูน,ประกอบด้วยส่วนของเส้นตรง ซึ่งแต่ละคู่ขนานกัน ในทางเรขาคณิตเรียกว่าสี่เหลี่ยมด้านขนาน

ลักษณะของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานแบบคลาสสิกนั้นแสดงด้วย ABCD รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน ด้านข้างเรียกว่าฐาน (AB, BC, CD และ AD) เส้นตั้งฉากที่ลากจากจุดยอดใดๆ ไปยังด้านที่อยู่ตรงข้ามกับจุดยอดนี้เรียกว่าความสูง (BE และ BF) เส้น AC และ BD เรียกว่าเส้นทแยงมุม

ความสนใจ!สี่เหลี่ยมจัตุรัส สี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน และสี่เหลี่ยมเป็นกรณีพิเศษของสี่เหลี่ยมด้านขนาน

ด้านและมุม: ลักษณะของความสัมพันธ์

คุณสมบัติที่สำคัญโดยส่วนใหญ่แล้ว กำหนดไว้ล่วงหน้าโดยการกำหนดนั้นเองพวกมันพิสูจน์ได้ด้วยทฤษฎีบท ลักษณะเหล่านี้มีดังนี้:

1. ด้านที่อยู่ตรงข้ามกันเป็นคู่เหมือนกัน
2. มุมที่อยู่ตรงข้ามกันจะเท่ากันเป็นคู่

พิสูจน์: พิจารณา ∆ABC และ ∆ADC ซึ่งได้มาจากการหาร ABCD ของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนด้วยเส้น AC ∠BCA=∠CAD และ ∠BAC=∠ACD เนื่องจาก AC เป็นเรื่องธรรมดาสำหรับพวกมัน (มุมแนวตั้งสำหรับ BC||AD และ AB||CD ตามลำดับ) จากนี้ไป: ∆ABC = ∆ADC (เครื่องหมายที่สองของความเท่าเทียมกันของรูปสามเหลี่ยม)

ส่วน AB และ BC ใน ∆ABC สอดคล้องกันเป็นคู่กับเส้น CD และ AD ใน ∆ADC ซึ่งหมายความว่าทั้งสองเหมือนกัน: AB = CD, BC = AD ดังนั้น ∠B จึงสอดคล้องกับ ∠D และมีค่าเท่ากัน เนื่องจาก ∠A=∠BAC+∠CAD, ∠C=∠BCA+∠ACD ซึ่งเหมือนกันแบบคู่ ดังนั้น ∠A = ∠C คุณสมบัติได้รับการพิสูจน์แล้ว

ลักษณะของเส้นทแยงมุมของรูป

คุณสมบัติหลักของเส้นเหล่านี้ของสี่เหลี่ยมด้านขนาน: จุดตัดแบ่งครึ่ง

พิสูจน์: ให้นั่นคือเป็นจุดตัดของเส้นทแยงมุม AC และ BD ของรูป ABCD พวกมันสร้างรูปสามเหลี่ยมสมส่วนสองรูป - ∆ABE และ ∆CDE

AB=CD เนื่องจากตรงกันข้าม ตามเส้นตรงและเส้นตัด ∠ABE = ∠CDE และ ∠BAE = ∠DCE

ตามเกณฑ์ที่สองของความเท่าเทียมกัน ∆ABE = ∆CDE ซึ่งหมายความว่าองค์ประกอบ ∆ABE และ ∆CDE: AE = CE, BE = DE และในขณะเดียวกัน พวกมันก็เป็นส่วนที่เป็นสัดส่วนของ AC และ BD คุณสมบัติได้รับการพิสูจน์แล้ว

คุณสมบัติของมุมที่อยู่ติดกัน

คุณ ด้านที่อยู่ติดกันผลรวมของมุมคือ 180°เนื่องจากนอนตะแคงข้างเดียวกัน เส้นขนานและซีแคนท์ สำหรับรูปสี่เหลี่ยม ABCD:

∠A+∠B=∠C+∠D=∠A+∠D=∠B+∠C=180°

คุณสมบัติของเส้นแบ่งครึ่ง:

1. ลดลงไปด้านใดด้านหนึ่งตั้งฉาก
2. จุดยอดตรงข้ามมีเส้นแบ่งครึ่งขนาน
3. สามเหลี่ยมที่ได้จากการวาดเส้นแบ่งครึ่งจะเป็นหน้าจั่ว

การหาคุณลักษณะเฉพาะของสี่เหลี่ยมด้านขนานโดยใช้ทฤษฎีบท

คุณลักษณะของรูปนี้เป็นไปตามทฤษฎีบทหลักซึ่งระบุดังต่อไปนี้: รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนถือเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานในกรณีที่เส้นทแยงมุมตัดกัน และจุดนี้แบ่งพวกมันออกเป็นส่วนเท่าๆ กัน

พิสูจน์: ให้เส้น AC และ BD ของรูปสี่เหลี่ยม ABCD ตัดกันใน i.e. เนื่องจาก ∠AED = ∠BEC และ AE+CE=AC BE+DE=BD ดังนั้น ∆AED = ∆BEC (ขึ้นอยู่กับเกณฑ์แรกสำหรับความเท่าเทียมกันของรูปสามเหลี่ยม) นั่นคือ ∠EAD = ∠ECB นอกจากนี้ยังเป็นมุมตัดภายในของเส้นตัดขวาง AC สำหรับเส้น AD และ BC ดังนั้นตามคำจำกัดความของความเท่าเทียม - AD || บี.ซี. คุณสมบัติที่คล้ายกันของเส้น BC และ CD ก็ได้รับมาเช่นกัน ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว

การคำนวณพื้นที่ของรูป

พื้นที่ของรูปนี้ พบได้หลายวิธีวิธีที่ง่ายที่สุดวิธีหนึ่ง: การคูณความสูงและฐานที่วาด

พิสูจน์: ลากเส้นตั้งฉาก BE และ CF จากจุดยอด B และ C ∆ABE และ ∆DCF เท่ากัน เนื่องจาก AB = CD และ BE = CF ABCD มีขนาดเท่ากับสี่เหลี่ยม EBCF เนื่องจากประกอบด้วยตัวเลขที่เท่ากัน: S ABE และ S EBCD รวมถึง S DCF และ S EBCD สืบเนื่องจากบริเวณนี้นั่นเอง รูปทรงเรขาคณิตตั้งอยู่ในลักษณะเดียวกับรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า:

S ABCD = S EBCF = BE×BC=BE×AD

ในการกำหนดสูตรทั่วไปสำหรับพื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานให้เราแสดงความสูงเป็น HBและด้านข้าง - ข- ตามลำดับ:

วิธีอื่นในการค้นหาพื้นที่

การคำนวณพื้นที่ ผ่านด้านข้างของสี่เหลี่ยมด้านขนานและมุมซึ่งก่อตัวเป็นวิธีการที่สองที่รู้จัก

,

Spr-ma - พื้นที่;

a และ b เป็นด้านของมัน

α คือมุมระหว่างส่วน a และ b

วิธีการนี้ใช้ได้ผลจริงจากวิธีแรก แต่ในกรณีที่ไม่ทราบ จะตัดสามเหลี่ยมมุมฉากที่พบพารามิเตอร์ออกเสมอ อัตลักษณ์ตรีโกณมิตินั่นคือ เมื่อเปลี่ยนความสัมพันธ์ เราก็จะได้ ในสมการของวิธีแรก เราจะแทนที่ความสูงด้วยผลคูณนี้และรับหลักฐานยืนยันความถูกต้องของสูตรนี้

ผ่านเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมด้านขนานและมุมซึ่งพวกมันสร้างขึ้นเมื่อพวกมันตัดกัน คุณยังสามารถหาพื้นที่ได้อีกด้วย

พิสูจน์: AC และ BD ตัดกันเป็นรูปสามเหลี่ยมสี่รูป: ABE, BEC, CDE และ AED ผลรวมของพวกเขาเท่ากับพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมนี้

พื้นที่ของแต่ละ ∆ สามารถพบได้โดยนิพจน์ โดยที่ a=BE, b=AE, ∠γ =∠AEB เนื่องจาก การคำนวณใช้ค่าไซน์เดียว นั่นก็คือ เนื่องจาก AE+CE=AC= d 1 และ BE+DE=BD= d 2 สูตรพื้นที่จึงลดลงเป็น:

.

การประยุกต์ในพีชคณิตเวกเตอร์

คุณลักษณะของส่วนประกอบที่เป็นส่วนประกอบของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนนี้พบการประยุกต์ใช้ในพีชคณิตเวกเตอร์ ซึ่งก็คือการบวกเวกเตอร์สองตัว กฎสี่เหลี่ยมด้านขนานระบุไว้ว่า ถ้าให้เวกเตอร์มาและไม่เป็นเส้นตรง จากนั้นผลรวมจะเท่ากับเส้นทแยงมุมของรูปนี้ ซึ่งฐานตรงกับเวกเตอร์เหล่านี้

พิสูจน์: จากจุดเริ่มต้นที่เลือกโดยพลการ - เช่น - สร้างเวกเตอร์และ . ต่อไป เราสร้างสี่เหลี่ยมด้านขนาน OASV โดยที่ส่วนของ OA และ OB อยู่ด้านข้าง ดังนั้นระบบปฏิบัติการจึงอยู่บนเวกเตอร์หรือผลรวม

สูตรคำนวณพารามิเตอร์ของสี่เหลี่ยมด้านขนาน

ข้อมูลระบุตัวตนจะได้รับภายใต้เงื่อนไขต่อไปนี้:

1. a และ b, α - ด้านและมุมระหว่างพวกเขา;
2. d 1 และ d 2, γ - เส้นทแยงมุมและ ณ จุดตัดกัน
3. h a และ h b - ความสูงลดลงไปทางด้าน a และ b;

พารามิเตอร์	สูตร
การหาด้านข้าง
ตามเส้นทแยงมุมและโคไซน์ของมุมระหว่างพวกมัน
ตามเส้นทแยงมุมและด้านข้าง
ผ่านความสูงและจุดยอดตรงข้าม
การหาความยาวของเส้นทแยงมุม
ที่ด้านข้างและขนาดของยอดระหว่างพวกเขา

พื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนาน ในปัญหาเรขาคณิตหลายอย่างที่เกี่ยวข้องกับการคำนวณพื้นที่รวมถึงงานในการสอบ Unified State จะใช้สูตรสำหรับพื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานและสามเหลี่ยม มีหลายอย่างเราจะดูที่นี่

มันจะง่ายเกินไปที่จะแสดงรายการสูตรเหล่านี้ มีข้อมูลเหล่านี้เพียงพอแล้วในหนังสืออ้างอิงและบนเว็บไซต์ต่างๆ ฉันอยากจะถ่ายทอดสาระสำคัญ - เพื่อที่คุณจะได้ไม่อัดแน่น แต่เข้าใจและจดจำได้ง่ายทุกเวลา หลังจากศึกษาเนื้อหาในบทความแล้ว คุณจะเข้าใจว่า ไม่จำเป็นต้องเรียนรู้สูตรเหล่านี้เลย การพูดอย่างเป็นกลางมักเกิดขึ้นในการตัดสินใจจนยังคงอยู่ในความทรงจำเป็นเวลานาน

1. ลองดูรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานกัน. คำจำกัดความอ่านว่า:

ทำไมจึงเป็นเช่นนี้? มันง่ายมาก! เพื่อให้ชัดเจนว่าความหมายของสูตรคืออะไร เรามาสร้างส่วนเพิ่มเติมกัน ซึ่งก็คือ สร้างส่วนสูง:

พื้นที่สามเหลี่ยม (2) เท่ากับพื้นที่สามเหลี่ยม (1) - เครื่องหมายที่สองของความเท่าเทียมกัน สามเหลี่ยมมุมฉาก"ตามขาและด้านตรงข้ามมุมฉาก" ทีนี้ลอง "ตัด" อันที่สองในใจแล้วย้ายมันไปซ้อนทับอันแรก - เราได้สี่เหลี่ยมซึ่งพื้นที่จะเท่ากับพื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานดั้งเดิม:

เป็นที่รู้กันว่าพื้นที่ของสี่เหลี่ยมผืนผ้าเท่ากับผลคูณของด้านที่อยู่ติดกัน ดังที่เห็นได้จากภาพร่าง ด้านหนึ่งของรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่ได้จะเท่ากับด้านของสี่เหลี่ยมด้านขนาน และอีกด้านเท่ากับความสูงของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน ดังนั้นเราจึงได้สูตรสำหรับพื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนาน S = a∙hก

2. มาต่อกันอีกสูตรสำหรับพื้นที่ของมัน เรามี:

พื้นที่ของสูตรสี่เหลี่ยมด้านขนาน

แสดงว่าด้านเป็น a และ b มุมระหว่างสองด้านคือ γ "แกมมา" ความสูงคือ h a พิจารณาสามเหลี่ยมมุมฉาก:

สี่เหลี่ยมด้านขนานคือรูปสี่เหลี่ยมที่มีด้านขนานกันเป็นคู่

ในรูปนี้ ด้านตรงข้ามและมุมจะเท่ากัน เส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมด้านขนานตัดกันที่จุดหนึ่งแล้วแบ่งเป็นสองส่วน สูตรสำหรับพื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานช่วยให้คุณค้นหาค่าโดยใช้ด้าน ความสูง และเส้นทแยงมุม สี่เหลี่ยมด้านขนานสามารถแสดงได้ในกรณีพิเศษ ถือเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า สี่เหลี่ยมจัตุรัส และสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน
ขั้นแรกเรามาดูตัวอย่างการคำนวณพื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานตามความสูงและด้านที่ลดลง

คดีนี้ถือเป็นคดีคลาสสิกและไม่จำเป็นต้องมีการสอบสวนเพิ่มเติม พิจารณาสูตรคำนวณพื้นที่ผ่านสองด้านและมุมระหว่างสองด้านจะดีกว่า ใช้วิธีเดียวกันในการคำนวณ หากระบุด้านและมุมระหว่างทั้งสอง พื้นที่จะถูกคำนวณดังนี้:

สมมติว่าเราได้รับสี่เหลี่ยมด้านขนานที่มีด้าน a = 4 ซม., b = 6 ซม. มุมระหว่างทั้งสองคือ α = 30° มาหาพื้นที่กัน:

พื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานผ่านเส้นทแยงมุม

สูตรสำหรับพื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานโดยใช้เส้นทแยงมุมช่วยให้คุณค้นหาค่าได้อย่างรวดเร็ว
ในการคำนวณคุณจะต้องมีขนาดมุมที่อยู่ระหว่างเส้นทแยงมุม

ลองพิจารณาตัวอย่างการคำนวณพื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานโดยใช้เส้นทแยงมุม ให้รูปสี่เหลี่ยมด้านขนานมีเส้นทแยงมุม D = 7 ซม., d = 5 ซม. มุมระหว่างพวกมันคือ α = 30° ลองแทนที่ข้อมูลลงในสูตร:

ตัวอย่างการคำนวณพื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานผ่านเส้นทแยงมุมทำให้เราได้ผลลัพธ์ที่ยอดเยี่ยม - 8.75

เมื่อทราบสูตรสำหรับพื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานผ่านเส้นทแยงมุมแล้ว คุณจะสามารถแก้ปัญหาที่น่าสนใจได้มากมาย ลองดูที่หนึ่งในนั้น

งาน:ให้เป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานที่มีพื้นที่ 92 ตารางเมตร เห็นจุด F อยู่ตรงกลางด้าน BC ลองหาพื้นที่ของ ADFB สี่เหลี่ยมคางหมูซึ่งจะอยู่ในรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานของเรา ก่อนอื่นมาวาดทุกสิ่งที่เราได้รับตามเงื่อนไข
มาดูวิธีแก้ปัญหากันดีกว่า:

ตามเงื่อนไขของเรา ah =92 ดังนั้น พื้นที่สี่เหลี่ยมคางหมูของเราจะเท่ากับ