วิธีค้นหาค่าที่น้อยที่สุดของฟังก์ชันโดยใช้อนุพันธ์ของมัน ค่าที่ใหญ่ที่สุดและน้อยที่สุดของฟังก์ชันบนเซ็กเมนต์

บ้าน ให้ฟังก์ชันย =ฉ(เอ็กซ์) มีความต่อเนื่องในช่วงเวลา [ก, ข - ดังที่ทราบกันว่าฟังก์ชันดังกล่าวถึงค่าสูงสุดและต่ำสุดในส่วนนี้ ฟังก์ชันสามารถรับค่าเหล่านี้ได้ที่จุดภายในของเซ็กเมนต์ [ก, ข

] หรือบนขอบเขตของเซ็กเมนต์ มีความต่อเนื่องในช่วงเวลา [เพื่อค้นหาค่าที่ใหญ่ที่สุดและน้อยที่สุดของฟังก์ชันบนเซ็กเมนต์ [

] จำเป็น: - ดังที่ทราบกันว่าฟังก์ชันดังกล่าวถึงค่าสูงสุดและต่ำสุดในส่วนนี้ ฟังก์ชันสามารถรับค่าเหล่านี้ได้ที่จุดภายในของเซ็กเมนต์ [);

1) ค้นหาจุดวิกฤตของฟังก์ชันในช่วงเวลา (

2) คำนวณค่าของฟังก์ชันที่จุดวิกฤตที่พบ 3) คำนวณค่าของฟังก์ชันที่ส่วนท้ายของเซ็กเมนต์นั่นคือเมื่อใด=xก และ x =;

ข

4) จากค่าที่คำนวณได้ทั้งหมดของฟังก์ชัน ให้เลือกค่าที่ใหญ่ที่สุดและเล็กที่สุดตัวอย่าง.

ค้นหาค่าที่ใหญ่ที่สุดและเล็กที่สุดของฟังก์ชัน

บนส่วน

ค้นหาจุดวิกฤติ: จุดเหล่านี้อยู่ภายในส่วนนั้น(1) = ‒ 3; จุดเหล่านี้อยู่ภายในส่วนนั้น(2) = ‒ 4; จุดเหล่านี้อยู่ภายในส่วนนั้น(0) = ‒ 8; จุดเหล่านี้อยู่ภายในส่วนนั้น(3) = 1;

ย 3) คำนวณค่าของฟังก์ชันที่ส่วนท้ายของเซ็กเมนต์นั่นคือเมื่อใดตรงจุด 3) คำนวณค่าของฟังก์ชันที่ส่วนท้ายของเซ็กเมนต์นั่นคือเมื่อใด= 0.

= 3 และตรงจุด

ศึกษาฟังก์ชันของจุดนูนและจุดเปลี่ยนเว้า จุดเหล่านี้อยู่ภายในส่วนนั้น = ย = (3) คำนวณค่าของฟังก์ชันที่ส่วนท้ายของเซ็กเมนต์นั่นคือเมื่อใด) การทำงาน เรียกว่านูนขึ้น (ในระหว่างนั้น, ก) ข ถ้ากราฟของมันอยู่ใต้แทนเจนต์ที่วาด ณ จุดใด ๆ ในช่วงเวลานี้ และถูกเรียกนูนลง (เว้า)

ถ้ากราฟอยู่เหนือแทนเจนต์ จุดที่ความนูนถูกแทนที่ด้วยความเว้าหรือในทางกลับกันเรียกว่า.

จุดเปลี่ยน

อัลกอริทึมสำหรับตรวจสอบความนูนและจุดเปลี่ยนเว้า:

1. ค้นหาจุดวิกฤตของประเภทที่สอง นั่นคือจุดที่อนุพันธ์อันดับสองมีค่าเท่ากับศูนย์หรือไม่มีอยู่

2. เขียนจุดวิกฤตบนเส้นจำนวนโดยแบ่งเป็นช่วงๆ ค้นหาเครื่องหมายของอนุพันธ์อันดับสองในแต่ละช่วง ถ้า แสดงว่าฟังก์ชันนูนขึ้น ถ้า ฟังก์ชันจะนูนลง

3. หากเมื่อผ่านจุดวิกฤตประเภทที่สอง เครื่องหมายเปลี่ยนไป และ ณ จุดนี้อนุพันธ์อันดับสองเท่ากับศูนย์ แล้วจุดนี้ก็คือจุดขาดของจุดเปลี่ยนเว้า ค้นหาพิกัดของมัน

เส้นกำกับของกราฟของฟังก์ชัน การศึกษาฟังก์ชันสำหรับเส้นกำกับคำนิยาม. เรียกว่าเส้นกำกับของกราฟของฟังก์ชันตรง

ซึ่งมีคุณสมบัติว่าระยะห่างจากจุดใดๆ บนกราฟถึงเส้นนี้มีแนวโน้มเป็นศูนย์เนื่องจากจุดบนกราฟเคลื่อนที่จากจุดกำเนิดอย่างไม่มีกำหนด เส้นกำกับมีสามประเภท:

เส้นกำกับของกราฟของฟังก์ชัน การศึกษาฟังก์ชันสำหรับเส้นกำกับแนวตั้ง แนวนอน และเอียง เส้นตรงเรียกว่าเส้นกำกับแนวตั้ง กราฟิกฟังก์ชั่นย = ฉ(x)

จุดไม่ต่อเนื่องของฟังก์ชันอยู่ที่ไหน นั่นคือ ไม่ได้อยู่ในขอบเขตของคำจำกัดความ

4) จากค่าที่คำนวณได้ทั้งหมดของฟังก์ชัน ให้เลือกค่าที่ใหญ่ที่สุดและเล็กที่สุด

ด ( จุดเหล่านี้อยู่ภายในส่วนนั้น) = (‒ ∞; 2) (2; + ∞)

3) คำนวณค่าของฟังก์ชันที่ส่วนท้ายของเซ็กเมนต์นั่นคือเมื่อใด= 2 – จุดพัก

เส้นกำกับของกราฟของฟังก์ชัน การศึกษาฟังก์ชันสำหรับเส้นกำกับตรง ย =กเรียกว่า เส้นกำกับแนวนอนกราฟิกฟังก์ชั่น ย = ฉ(x)ที่ ถ้า

4) จากค่าที่คำนวณได้ทั้งหมดของฟังก์ชัน ให้เลือกค่าที่ใหญ่ที่สุดและเล็กที่สุด

เส้นกำกับของกราฟของฟังก์ชัน การศึกษาฟังก์ชันสำหรับเส้นกำกับตรง ย =เคx +ก (เค≠ 0) ถูกเรียก เส้นกำกับเฉียงกราฟิกฟังก์ชั่น ย = ฉ(x)ที่ ที่ไหน

รูปแบบทั่วไปสำหรับศึกษาฟังก์ชันและการสร้างกราฟ

อัลกอริธึมการวิจัยฟังก์ชันย = ฉ(x) :

1. ค้นหาโดเมนของฟังก์ชัน ดี (จุดเหล่านี้อยู่ภายในส่วนนั้น).

2. ค้นหา (ถ้าเป็นไปได้) จุดตัดของกราฟด้วยแกนพิกัด (ถ้า 3) คำนวณค่าของฟังก์ชันที่ส่วนท้ายของเซ็กเมนต์นั่นคือเมื่อใด= 0 และที่ จุดเหล่านี้อยู่ภายในส่วนนั้น = 0).

3. ตรวจสอบความสม่ำเสมอและความคี่ของฟังก์ชัน ( จุดเหล่านี้อยู่ภายในส่วนนั้น (‒ 3) คำนวณค่าของฟังก์ชันที่ส่วนท้ายของเซ็กเมนต์นั่นคือเมื่อใด) = จุดเหล่านี้อยู่ภายในส่วนนั้น (3) คำนวณค่าของฟังก์ชันที่ส่วนท้ายของเซ็กเมนต์นั่นคือเมื่อใด) ‒ ความเท่าเทียมกัน; จุดเหล่านี้อยู่ภายในส่วนนั้น(‒ 3) คำนวณค่าของฟังก์ชันที่ส่วนท้ายของเซ็กเมนต์นั่นคือเมื่อใด) = ‒ จุดเหล่านี้อยู่ภายในส่วนนั้น (3) คำนวณค่าของฟังก์ชันที่ส่วนท้ายของเซ็กเมนต์นั่นคือเมื่อใด) ‒ แปลก).

4. ค้นหาเส้นกำกับของกราฟของฟังก์ชัน

5. ค้นหาช่วงเวลาของความน่าเบื่อของฟังก์ชัน

6. ค้นหาจุดสุดขีดของฟังก์ชัน

7. ค้นหาช่วงเวลาของความนูน (เว้า) และจุดเปลี่ยนเว้าของกราฟฟังก์ชัน

8. จากการวิจัยที่ดำเนินการ สร้างกราฟของฟังก์ชัน

4) จากค่าที่คำนวณได้ทั้งหมดของฟังก์ชัน ให้เลือกค่าที่ใหญ่ที่สุดและเล็กที่สุดสำรวจฟังก์ชันและสร้างกราฟ

1) ดี (จุดเหล่านี้อยู่ภายในส่วนนั้น) =

3) คำนวณค่าของฟังก์ชันที่ส่วนท้ายของเซ็กเมนต์นั่นคือเมื่อใด= 4 – จุดพัก

2) เมื่อใด 3) คำนวณค่าของฟังก์ชันที่ส่วนท้ายของเซ็กเมนต์นั่นคือเมื่อใด = 0,

(0; ‒ 5) – จุดตัดกับ โอ้.

ที่ จุดเหล่านี้อยู่ภายในส่วนนั้น = 0,

3) จุดเหล่านี้อยู่ภายในส่วนนั้น(‒ 3) คำนวณค่าของฟังก์ชันที่ส่วนท้ายของเซ็กเมนต์นั่นคือเมื่อใด)= การทำงาน มุมมองทั่วไป(ไม่เป็นคู่หรือคี่)

4) เราตรวจสอบเส้นกำกับ

ก) แนวตั้ง

ข) แนวนอน

c) ค้นหาเส้นกำกับเฉียงที่ไหน

– สมการเส้นกำกับเฉียง

5) บี สมการที่กำหนดไม่จำเป็นต้องค้นหาช่วงเวลาของความซ้ำซากจำเจของฟังก์ชัน

6)

จุดวิกฤตเหล่านี้แบ่งโดเมนทั้งหมดของคำจำกัดความของฟังก์ชันออกเป็นระยะ (ดรีม∞; เมื่อคุณ 2), (ดรีม 2; 4), (4; 10) และ (10; +∞) สะดวกในการนำเสนอผลที่ได้ตามตารางต่อไปนี้

บางครั้งในปัญหา B14 มีฟังก์ชัน "ไม่ดี" ซึ่งทำให้หาอนุพันธ์ได้ยาก ก่อนหน้านี้สิ่งนี้เกิดขึ้นระหว่างการทดสอบตัวอย่างเท่านั้น แต่ตอนนี้งานเหล่านี้เป็นเรื่องธรรมดามากจนไม่สามารถเพิกเฉยได้อีกต่อไปเมื่อเตรียมตัวสำหรับการสอบ Unified State จริง ในกรณีนี้ เทคนิคอื่นๆ ได้ผล ซึ่งหนึ่งในนั้นคือความซ้ำซากจำเจ คำนิยาม ฟังก์ชัน f (x) ได้รับการกล่าวขานว่าเพิ่มขึ้นอย่างซ้ำซากจำเจในส่วนนี้ หากจุดใดๆ x 1 และ x 2 ของส่วนนี้มีการคงไว้ดังต่อไปนี้: x 1

คำนิยาม. ฟังก์ชัน f (x) ได้รับการกล่าวขานว่าลดลงอย่างซ้ำซากจำเจบนเซกเมนต์ ถ้าจุดใดๆ x 1 และ x 2 ของเซ็กเมนต์นี้มีค่าต่อไปนี้: x 1 f (x 2) กล่าวอีกนัยหนึ่ง สำหรับฟังก์ชันที่เพิ่มขึ้น ยิ่ง x ยิ่งมากเท่าไร f(x) ก็จะยิ่งมากขึ้นเท่านั้น สำหรับฟังก์ชันลดลง สิ่งที่ตรงกันข้ามจะเป็นจริง: ยิ่ง x มากเท่าไร f(x ก็ยิ่งเล็กลง)

ตัวอย่าง. ลอการิทึมจะเพิ่มขึ้นแบบซ้ำซากหากฐาน a > 1 และลดลงแบบซ้ำซากหาก 0 0 f (x) = log a x (a > 0; a 1; x > 0) 1 และลดลงแบบโมโนโทนหาก 0 0 f (x) = บันทึก a x (a > 0; a 1; x > 0)"> 1 และลดลงแบบซ้ำซากหาก 0 0 f (x) = บันทึก a x (a > 0 ; a 1; x > 0)"> 1 และลดลงแบบซ้ำซากหาก 0 0 f (x) = log a x (a > 0; a 1; x > 0)" title="Examples) ลอการิทึม เพิ่มขึ้นแบบซ้ำซากหากฐาน a > 1 และลดลงแบบซ้ำซากหาก 0 0 f (x) = บันทึก a x (a > 0; a 1; x > 0)"> title="ตัวอย่าง. ลอการิทึมจะเพิ่มขึ้นแบบซ้ำซากหากฐาน a > 1 และลดลงแบบซ้ำซากหาก 0 0 f (x) = log a x (a > 0; a 1; x > 0)"> !}

ตัวอย่าง. ฟังก์ชันเลขชี้กำลังทำงานคล้ายกับลอการิทึม โดยจะเพิ่มขึ้นเมื่อ > 1 และลดลงเมื่อ 0 0: 1 และลดลงที่ 0 0:"> 1 และลดลงที่ 0 0:"> 1 และลดลงที่ 0 0:" title="Examples. ฟังก์ชันเลขชี้กำลังทำงานคล้ายกับลอการิทึม: โดยจะเพิ่มขึ้นเมื่อ > 1 และลดลงเป็น 0 0:"> title="ตัวอย่าง. ฟังก์ชันเลขชี้กำลังทำงานคล้ายกับลอการิทึม โดยจะเพิ่มขึ้นเมื่อ > 1 และลดลงเมื่อ 0 0:"> !}

0) หรือลง (a 0) หรือลง (a 9พิกัดของจุดยอดของพาราโบลา ส่วนใหญ่ อาร์กิวเมนต์ของฟังก์ชันจะถูกแทนที่ด้วยกำลังสองของรูปแบบ กราฟของมันคือพาราโบลามาตรฐาน ซึ่งเราสนใจกิ่งก้านของพาราโบลา กิ่งก้านของพาราโบลาสามารถขึ้นไปได้ (สำหรับ a > 0) หรือลง (a 0) หรือมากที่สุด (a 0) หรือลง (a 0) หรือลง (a 0) หรือยิ่งใหญ่ที่สุด (a 0) หรือลง (a 0) หรือลง (a title="(! LANG: พิกัดของจุดยอดของพาราโบลา ส่วนใหญ่ อาร์กิวเมนต์ของฟังก์ชันจะถูกแทนที่ด้วยตรีโกณมิติกำลังสองของรูปแบบ กราฟของมันคือพาราโบลามาตรฐาน ซึ่งเราสนใจกิ่งก้านของพาราโบลา: กิ่งก้านของพาราโบลาสามารถขึ้นไปได้ (สำหรับ > 0) หรือลง (a

ไม่มีส่วนใดในคำชี้แจงปัญหา ดังนั้นจึงไม่จำเป็นต้องคำนวณ f(a) และ f(b) ยังคงต้องพิจารณาเฉพาะจุดปลายสุดเท่านั้น แต่มีจุดดังกล่าวเพียงจุดเดียว - จุดยอดของพาราโบลา x 0 ซึ่งพิกัดคำนวณตามตัวอักษรและไม่มีอนุพันธ์ใด ๆ

ดังนั้น การแก้ปัญหาจึงง่ายขึ้นอย่างมากและมีเพียงสองขั้นตอนเท่านั้น: เขียนสมการของพาราโบลาแล้วค้นหาจุดยอดโดยใช้สูตร: ค้นหาค่าของฟังก์ชันดั้งเดิม ณ จุดนี้: f (x 0) ถ้าไม่มี เงื่อนไขเพิ่มเติมไม่ นั่นจะเป็นคำตอบ

0. จุดยอดของพาราโบลา: x 0 = b/(2a) = 6/(2 1) = 6/2 = 3" title="Find ค่าที่น้อยที่สุดฟังก์ชัน: วิธีแก้ไข: ใต้ฐานราก ฟังก์ชันกำลังสองกราฟของฟังก์ชันพาราโบลานี้มีกิ่งก้านขึ้น เนื่องจากสัมประสิทธิ์ a = 1 > 0 จุดยอดของพาราโบลา: x 0 = b/(2a) = 6/(2 1) = 6/2 = 3" class=" link_thumb"> 18ค้นหาค่าที่น้อยที่สุดของฟังก์ชัน: วิธีแก้ไข: ใต้รากจะมีฟังก์ชันกำลังสอง กราฟของฟังก์ชันนี้คือพาราโบลาที่มีกิ่งก้านขึ้น เนื่องจากค่าสัมประสิทธิ์ a = 1 > 0 จุดยอดของพาราโบลา: x 0 = b/ (2a) = 6/(2 1) = 6/2 = 3 0. ยอดพาราโบลา: x 0 = b/(2a) = 6/(2 1) = 6/2 = 3"> 0. ยอดพาราโบลา: x 0 = b/(2a) = 6/(2 1) = 6/2 = 3"> 0. จุดยอดของพาราโบลา: x 0 = b/(2a) = 6/(2 1) = 6/2 = 3" title="ค้นหาค่าที่น้อยที่สุด ของฟังก์ชัน: วิธีแก้ไข: ใต้รากจะมีฟังก์ชันกำลังสอง กราฟของฟังก์ชันนี้เป็นพาราโบลาที่มีกิ่งก้านขึ้น เนื่องจากค่าสัมประสิทธิ์ a = 1 > 0 จุดยอดของพาราโบลา: x 0 = b/(2a) = 6/(2 1) = 6/2 = 3"> title="ค้นหาค่าที่น้อยที่สุดของฟังก์ชัน: วิธีแก้ไข: ใต้รากจะมีฟังก์ชันกำลังสอง กราฟของฟังก์ชันนี้คือพาราโบลาที่มีกิ่งก้านขึ้น เนื่องจากค่าสัมประสิทธิ์ a = 1 > 0 จุดยอดของพาราโบลา: x 0 = b/ (2a) = 6/(2 1) = 6/2 = 3"> !}

ค้นหาค่าที่น้อยที่สุดของฟังก์ชัน: วิธีแก้ ใต้ลอการิทึม ฟังก์ชันกำลังสองจะเป็นอีกครั้ง กราฟของพาราโบลามีกิ่งก้านสูงขึ้น เนื่องจาก a = 1 > 0 จุดยอดของพาราโบลา: x 0 = b/(2a) = 2/(2 1) = 2/2 = 1 0. ยอดพาราโบลา: x 0 = b/(2a) = 2/(2 1) = 2/2 = 1"> 0. ยอดพาราโบลา: x 0 = b/(2a) = 2/(2 1) = 2/2 = 1"> 0. จุดยอดของพาราโบลา: x 0 = b/(2a) = 2/(2 1) = 2/2 = 1" title="ค้นหาค่าที่น้อยที่สุด ของฟังก์ชัน: ผลเฉลยภายใต้ลอการิทึมจะเป็นฟังก์ชันกำลังสองอีกครั้ง กราฟของพาราโบลามีกิ่งก้านสูงขึ้น เนื่องจาก a = 1 > 0 จุดยอดของพาราโบลา: x 0 = b/(2a) = 2/(2 1) = 2/2 = 1"> title="ค้นหาค่าที่น้อยที่สุดของฟังก์ชัน: วิธีแก้ ใต้ลอการิทึม ฟังก์ชันกำลังสองจะเป็นอีกครั้ง กราฟของพาราโบลามีกิ่งก้านสูงขึ้น เนื่องจาก a = 1 > 0 จุดยอดของพาราโบลา: x 0 = b/(2a) = 2/(2 1) = 2/2 = 1"> !}

ค้นหาค่าที่ใหญ่ที่สุดของฟังก์ชัน: วิธีแก้ไข: เลขชี้กำลังมีฟังก์ชันกำลังสอง ลองเขียนใหม่ในรูปแบบปกติ: แน่นอนว่ากราฟของฟังก์ชันนี้คือพาราโบลาที่แตกแขนงลงมา (a = 1

ข้อพิสูจน์จากโดเมนของฟังก์ชัน บางครั้งการแก้ปัญหา B14 การหาจุดยอดของพาราโบลาเพียงอย่างเดียวยังไม่เพียงพอ ค่าที่ต้องการอาจอยู่ที่ส่วนท้ายของส่วนและไม่อยู่ที่จุดสุดขั้วเลย หากปัญหาไม่ได้ระบุเซกเมนต์เลย เราจะดูช่วงของค่าที่อนุญาตของฟังก์ชันดั้งเดิม กล่าวคือ:

0 2. เลขคณิต รากที่สองมีอยู่จากจำนวนที่ไม่เป็นลบเท่านั้น: 3. ตัวส่วนของเศษส่วนต้องไม่เป็นศูนย์:" title="1. อาร์กิวเมนต์ของลอการิทึมต้องเป็นค่าบวก: y = log a f (x) f (x) > 0 2. รากที่สองทางคณิตศาสตร์มีอยู่เฉพาะจากจำนวนที่ไม่เป็นลบเท่านั้น: 3. ตัวส่วนของเศษส่วนต้องไม่เท่ากับศูนย์:" class="link_thumb"> 26 !} 1. อาร์กิวเมนต์ของลอการิทึมต้องเป็นค่าบวก: y = log a f (x) f (x) > 0 2. รากที่สองทางคณิตศาสตร์มีอยู่เฉพาะจากจำนวนที่ไม่เป็นลบ: 3. ตัวส่วนของเศษส่วนต้องไม่เป็นศูนย์: 0 2. รากที่สองทางคณิตศาสตร์มีอยู่เฉพาะจากจำนวนที่ไม่เป็นลบ: 3. ตัวส่วนของเศษส่วนต้องไม่เท่ากับศูนย์: "> 0 2. รากที่สองทางคณิตศาสตร์มีอยู่เฉพาะจากจำนวนที่ไม่เป็นลบ: 3. ตัวส่วน ของเศษส่วนต้องไม่เท่ากับศูนย์: "> 0 2. เลขคณิตที่มีรากที่สองอยู่เฉพาะจำนวนที่ไม่เป็นลบเท่านั้น: 3. ตัวส่วนของเศษส่วนต้องไม่เป็นศูนย์:" title="1. The อาร์กิวเมนต์ของลอการิทึมต้องเป็นค่าบวก: y = log a f (x) f (x) > 0 2. กำลังสองทางคณิตศาสตร์ รากมีอยู่เฉพาะจากจำนวนที่ไม่เป็นลบ: 3. ตัวส่วนของเศษส่วนต้องไม่เท่ากับศูนย์:"> title="1. อาร์กิวเมนต์ของลอการิทึมต้องเป็นค่าบวก: y = log a f (x) f (x) > 0 2. รากที่สองทางคณิตศาสตร์มีอยู่เฉพาะจากจำนวนที่ไม่เป็นลบ: 3. ตัวส่วนของเศษส่วนต้องไม่เป็นศูนย์:"> !}

ผลเฉลยที่อยู่ใต้รูทนั้นเป็นฟังก์ชันกำลังสองอีกครั้ง กราฟของมันคือพาราโบลา แต่กิ่งก้านจะชี้ลงด้านล่าง เนื่องจาก a = 1
ทีนี้ ลองหาจุดยอดของพาราโบลา: x 0 = b/(2a) = (2)/(2 · (1)) = 2/(2) = 1 จุด x 0 = 1 อยู่ในส่วน ODZ และนี่คือ ดี. ตอนนี้เราคำนวณค่าของฟังก์ชันที่จุด x 0 เช่นเดียวกับที่ส่วนท้ายของ ODZ: y(3) = y(1) = 0 ดังนั้นเราจึงได้ตัวเลข 2 และ 0 เราถูกขอให้ค้นหา หมายเลข 2 ที่ใหญ่ที่สุด คำตอบ: 2

โปรดทราบ: ความไม่เท่าเทียมกันนั้นเข้มงวด ดังนั้นจุดสิ้นสุดจึงไม่เป็นของ ODZ สิ่งนี้ทำให้ลอการิทึมแตกต่างจากราก ซึ่งจุดสิ้นสุดของเซ็กเมนต์นั้นเหมาะกับเราค่อนข้างดี เรากำลังมองหาจุดยอดของพาราโบลา: x 0 = b/(2a) = 6/(2 · (1)) = 6/(2) = 3 จุดยอดของพาราโบลาตรงกับ ODZ: x 0 = 3 ( 1; 5) แต่เนื่องจากเราไม่สนใจส่วนท้ายของเซ็กเมนต์ เราจึงคำนวณค่าของฟังก์ชันที่จุด x 0 เท่านั้น:

Y min = y(3) = log 0.5 (6 ) = = log 0.5 (18 9 5) = log 0.5 4 = 2 คำตอบ: -2

จะค้นหาค่าที่ใหญ่ที่สุดและเล็กที่สุดของฟังก์ชันบนเซ็กเมนต์ได้อย่างไร?

สำหรับสิ่งนี้ เราปฏิบัติตามอัลกอริธึมที่รู้จักกันดี:

1 - การค้นหาฟังก์ชัน ODZ

2 - การหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน

3 - การทำให้อนุพันธ์เท่ากับศูนย์

4 - เราค้นหาช่วงเวลาที่อนุพันธ์คงเครื่องหมายไว้และจากนั้นเราจะกำหนดช่วงเวลาของการเพิ่มขึ้นและลดลงของฟังก์ชัน:

ถ้าในช่วงเวลา I อนุพันธ์ของฟังก์ชันคือ 0" title="f^(prime)(x)>0">, то функция !} เพิ่มขึ้นในช่วงเวลานี้

ถ้าในช่วงเวลา I อนุพันธ์ของฟังก์ชัน ดังนั้นฟังก์ชัน ลดลงในช่วงเวลานี้

5 - เราพบ จุดสูงสุดและต่ำสุดของฟังก์ชัน.

ใน ที่จุดสูงสุดของฟังก์ชัน อนุพันธ์จะเปลี่ยนเครื่องหมายจาก "+" เป็น "-".

ใน จุดต่ำสุดของฟังก์ชันเครื่องหมายการเปลี่ยนแปลงอนุพันธ์จาก "-" เป็น "+".

6 - เราค้นหาค่าของฟังก์ชันที่ส่วนท้ายของเซ็กเมนต์

• จากนั้นเราจะเปรียบเทียบค่าของฟังก์ชันที่ส่วนท้ายของส่วนและที่จุดสูงสุด และ เลือกค่าที่ใหญ่ที่สุดหากคุณต้องการค้นหาค่าที่ใหญ่ที่สุดของฟังก์ชัน
• หรือเปรียบเทียบค่าของฟังก์ชันที่ส่วนท้ายของเซ็กเมนต์และที่จุดต่ำสุด และ เลือกค่าที่น้อยที่สุดหากคุณต้องการค้นหาค่าที่น้อยที่สุดของฟังก์ชัน

อย่างไรก็ตาม ขึ้นอยู่กับว่าฟังก์ชันทำงานบนเซ็กเมนต์อย่างไร อัลกอริธึมนี้สามารถลดลงได้อย่างมาก

พิจารณาฟังก์ชัน - กราฟของฟังก์ชันนี้มีลักษณะดังนี้:

ลองดูตัวอย่างการแก้ปัญหาต่างๆจาก เปิดธนาคารงานสำหรับ

1. งาน B15 (หมายเลข 26695)

บนส่วน.

1. ฟังก์ชันถูกกำหนดไว้สำหรับค่าจริงทั้งหมดของ x

แน่นอนว่าสมการนี้ไม่มีคำตอบ และอนุพันธ์เป็นบวกสำหรับค่าทั้งหมดของ x ดังนั้น ฟังก์ชันจึงเพิ่มขึ้นและรับค่าสูงสุดที่ด้านขวาสุดของช่วงเวลา ซึ่งก็คือที่ x=0

คำตอบ: 5.

2 . งาน B15 (หมายเลข 26702)

ค้นหาค่าที่ใหญ่ที่สุดของฟังก์ชัน บนส่วน

1. ฟังก์ชัน ODZ title="x(pi)/2+(pi)k, k(ใน)(bbZ)">!}

อนุพันธ์มีค่าเท่ากับศูนย์ที่ อย่างไรก็ตาม ณ จุดเหล่านี้จะไม่เปลี่ยนเครื่องหมาย:

ดังนั้น title="3/(cos^2(x))>=3">, значит, title="3/(คอส^2(x))-3>=0">, то есть производная при всех допустимых значених х неотрицательна, следовательно, функция !} เพิ่มและรับค่าสูงสุดที่ด้านขวาสุดของช่วงเวลา ที่

เพื่อให้ชัดเจนว่าเหตุใดอนุพันธ์จึงไม่เปลี่ยนเครื่องหมาย เราจึงแปลงนิพจน์ของอนุพันธ์ดังนี้:

Title="y^(prime)=3/(cos^2(x))-3=(3-3cos^2(x))/(cos^2(x))=(3sin^2 (x))/(cos^2(x))=3tg^2(x)>=0">!}

คำตอบ: 5.

3. งาน B15 (หมายเลข 26708)

ค้นหาค่าที่น้อยที่สุดของฟังก์ชันบนเซ็กเมนต์

1. ฟังก์ชัน ODZ: title="x(pi)/2+(pi)k, k(in)(bbZ)">!}

ลองวางรากของสมการนี้บนวงกลมตรีโกณมิติ

ช่วงประกอบด้วยตัวเลขสองตัว: และ

มาติดป้ายกัน. ในการทำเช่นนี้ เราจะกำหนดเครื่องหมายของอนุพันธ์ที่จุด x=0: - เมื่อผ่านจุดและเครื่องหมายการเปลี่ยนแปลงอนุพันธ์

ให้เราพรรณนาถึงการเปลี่ยนแปลงสัญญาณของอนุพันธ์ของฟังก์ชันบนเส้นพิกัด:

แน่นอนว่าจุดนี้คือจุดต่ำสุด (ซึ่งอนุพันธ์เปลี่ยนเครื่องหมายจาก "-" เป็น "+") และหากต้องการค้นหาค่าที่น้อยที่สุดของฟังก์ชันบนเซ็กเมนต์ คุณต้องเปรียบเทียบค่าของฟังก์ชันที่ จุดต่ำสุดและที่ปลายด้านซ้ายของเซ็กเมนต์

บทเรียนในหัวข้อ “การใช้อนุพันธ์เพื่อค้นหาค่าที่ใหญ่ที่สุดและน้อยที่สุดของฟังก์ชันต่อเนื่องในช่วงเวลาหนึ่ง” จะตรวจสอบปัญหาที่ค่อนข้างง่ายในการค้นหาค่าที่ใหญ่ที่สุดและเล็กที่สุดของฟังก์ชันในช่วงเวลาที่กำหนดโดยใช้อนุพันธ์ .

หัวข้อ: อนุพันธ์

บทเรียน: การใช้อนุพันธ์เพื่อค้นหาค่าที่ใหญ่ที่สุดและน้อยที่สุดของฟังก์ชันต่อเนื่องในช่วงเวลาหนึ่ง

ในบทเรียนนี้เราจะดูเพิ่มเติม งานง่ายๆกล่าวคือ จะได้รับช่วงเวลา จะได้รับฟังก์ชันต่อเนื่องในช่วงเวลานี้ เราจำเป็นต้องค้นหาค่าที่ใหญ่ที่สุดและน้อยที่สุดของค่าที่กำหนด ฟังก์ชั่นเมื่อได้รับ ระหว่าง.

หมายเลข 32.1 (ข) ที่ให้ไว้: , . มาวาดกราฟของฟังก์ชันกัน (ดูรูปที่ 1)

ข้าว. 1. กราฟของฟังก์ชัน

เป็นที่ทราบกันว่าฟังก์ชันนี้จะเพิ่มขึ้นตามช่วงเวลา ซึ่งหมายความว่าจะเพิ่มขึ้นตามช่วงเวลาด้วย ซึ่งหมายความว่าหากคุณค้นหาค่าของฟังก์ชันที่จุด และ จากนั้นขีดจำกัดของการเปลี่ยนแปลงของฟังก์ชันนี้จะทราบค่าที่ใหญ่ที่สุดและน้อยที่สุด

เมื่ออาร์กิวเมนต์เพิ่มขึ้นจาก 8 ฟังก์ชันจะเพิ่มขึ้นจากเป็น

คำตอบ: ; .

หมายเลข 32.2 (a) ให้ไว้: ค้นหาค่าที่ใหญ่ที่สุดและน้อยที่สุดของฟังก์ชันในช่วงเวลาที่กำหนด

เรามาพลอตฟังก์ชันนี้กัน (ดูรูปที่ 2)

หากอาร์กิวเมนต์เปลี่ยนแปลงในช่วงเวลา ฟังก์ชันจะเพิ่มขึ้นจาก -2 เป็น 2 หากอาร์กิวเมนต์เพิ่มขึ้นจาก ฟังก์ชันจะลดลงจาก 2 เป็น 0

ข้าว. 2. กราฟฟังก์ชัน

ลองหาอนุพันธ์กัน

, - หาก แล้วค่านี้ก็อยู่ในกลุ่มที่กำหนดด้วย ถ้าอย่างนั้น. ง่ายต่อการตรวจสอบว่าใช้ค่าอื่นหรือไม่และจุดคงที่ที่เกี่ยวข้องอยู่นอกส่วนที่กำหนด ลองเปรียบเทียบค่าของฟังก์ชันที่ส่วนท้ายของเซ็กเมนต์และ ณ จุดที่เลือกซึ่งอนุพันธ์มีค่าเท่ากับศูนย์ เราจะพบ

;

คำตอบ: ;.

ดังนั้นจึงได้รับคำตอบแล้ว ในกรณีนี้จะสามารถใช้อนุพันธ์หรือไม่ก็ได้ หรือคุณสามารถนำคุณสมบัติของฟังก์ชันที่ศึกษามาก่อนหน้านี้ไปใช้ก็ได้ สิ่งนี้ไม่ได้เกิดขึ้นเสมอไป บางครั้งการใช้อนุพันธ์เป็นวิธีเดียวที่ช่วยให้คุณแก้ไขปัญหาดังกล่าวได้

ที่ให้ไว้: , . ค้นหาค่าที่ใหญ่ที่สุดและเล็กที่สุดของฟังก์ชันในส่วนที่กำหนด

หากในกรณีก่อนหน้านี้สามารถทำได้โดยไม่มีอนุพันธ์ - เรารู้ว่าฟังก์ชันมีพฤติกรรมอย่างไร ในกรณีนี้ ฟังก์ชันจะค่อนข้างซับซ้อน ดังนั้นเทคนิคที่เรากล่าวถึงในงานที่แล้วจึงนำไปใช้ได้อย่างเต็มที่

1. ลองหาอนุพันธ์กัน มาหาจุดวิกฤตกันดีกว่า - จุดวิกฤติ จากนั้นเราเลือกสิ่งที่อยู่ในส่วนนี้: . ลองเปรียบเทียบค่าของฟังก์ชันที่จุด , , . สำหรับสิ่งนี้เราจะพบ

ให้เราแสดงผลลัพธ์ในรูป (ดูรูปที่ 3)

ข้าว. 3. ขีดจำกัดของการเปลี่ยนแปลงค่าฟังก์ชัน

เราจะเห็นว่าถ้าอาร์กิวเมนต์เปลี่ยนจาก 0 เป็น 2 ฟังก์ชันจะเปลี่ยนในช่วงจาก -3 เป็น 4 ฟังก์ชันจะไม่เปลี่ยนแบบซ้ำซาก: เพิ่มหรือลดลง

คำตอบ: ;.

ดังนั้น เมื่อใช้ตัวอย่างสามตัวอย่าง จึงสาธิตเทคนิคทั่วไปในการค้นหาค่าที่ใหญ่ที่สุดและน้อยที่สุดของฟังก์ชันในช่วงเวลาหนึ่ง ในกรณีนี้บนเซ็กเมนต์

อัลกอริทึมในการแก้ปัญหาการค้นหาค่าที่ใหญ่ที่สุดและเล็กที่สุดของฟังก์ชัน:

1. ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน

2. ค้นหาจุดวิกฤตของฟังก์ชันและเลือกจุดเหล่านั้นที่อยู่ในส่วนที่กำหนด

3. ค้นหาค่าของฟังก์ชันที่ส่วนท้ายของส่วนและ ณ จุดที่เลือก

4. เปรียบเทียบค่าเหล่านี้และเลือกค่าที่ใหญ่ที่สุดและเล็กที่สุด

ลองดูอีกตัวอย่างหนึ่ง

ค้นหาค่าที่ใหญ่ที่สุดและน้อยที่สุดของฟังก์ชัน ,

ก่อนหน้านี้มีการพิจารณากราฟของฟังก์ชันนี้ (ดูรูปที่ 4)

ข้าว. 4. กราฟฟังก์ชัน

ในช่วงเวลาคือช่วงของค่าของฟังก์ชันนี้ - จุด - จุดสูงสุด เมื่อ - ฟังก์ชั่นเพิ่มขึ้น เมื่อ - ฟังก์ชั่นลดลง จากรูปวาดจะชัดเจนว่า , - ไม่มีอยู่จริง

ดังนั้นในบทเรียนเราจึงดูปัญหาของค่าที่ใหญ่ที่สุดและเล็กที่สุดของฟังก์ชันเมื่อช่วงเวลาที่กำหนดคือเซ็กเมนต์ กำหนดอัลกอริทึมสำหรับแก้ไขปัญหาดังกล่าว

1. พีชคณิตและจุดเริ่มต้นของการวิเคราะห์ เกรด 10 (แบ่งเป็นสองส่วน) บทช่วยสอนสำหรับ สถาบันการศึกษา (ระดับโปรไฟล์) เอ็ด เอ.จี. มอร์ดโควิช -ม.: นีโมซิน, 2009.

2. พีชคณิตและจุดเริ่มต้นของการวิเคราะห์ เกรด 10 (แบ่งเป็นสองส่วน) หนังสือปัญหาสำหรับสถาบันการศึกษา (ระดับโปรไฟล์) ed. เอ.จี. มอร์ดโควิช -ม.: นีโมซิน, 2550.

3. Vilenkin N.Ya., Ivashev-Musatov O.S., Shvartsburgd S.I. พีชคณิตและแคลคูลัสสำหรับเกรด 10 ( คู่มือการฝึกอบรมสำหรับนักเรียนโรงเรียนและชั้นเรียนด้วย การศึกษาเชิงลึกคณิตศาสตร์).-ม.: การศึกษา, 2539.

4. Galitsky M.L. , Moshkovich M.M. , Shvartsburg S.I. การศึกษาเชิงลึกเกี่ยวกับพีชคณิตและการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์-ม.: การศึกษา, 2540.

5. การรวบรวมปัญหาทางคณิตศาสตร์สำหรับผู้สมัครในสถาบันการศึกษาระดับอุดมศึกษา (แก้ไขโดย M.I. Skanavi) - M.: Higher School, 1992.

6. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. เครื่องจำลองพีชคณิต-K.: A.S.K., 1997.

7. Zvavich L.I., Shlyapochnik L.Ya., Chinkina Algebra และจุดเริ่มต้นของการวิเคราะห์ เกรด 8-11: คู่มือสำหรับโรงเรียนและชั้นเรียนที่มีการศึกษาคณิตศาสตร์เชิงลึก (สื่อการสอน) - อ.: อีแร้ง, 2545

8. Sahakyan S.M., Goldman A.M., Denisov D.V. ปัญหาพีชคณิตและหลักการวิเคราะห์ (คู่มือสำหรับนักเรียนเกรด 10-11 ของสถาบันการศึกษาทั่วไป) - อ.: Prosveshchenie, 2003

9. คาร์ป เอ.พี. การรวบรวมปัญหาพีชคณิตและหลักการวิเคราะห์: หนังสือเรียน เบี้ยเลี้ยงสำหรับเกรด 10-11 ด้วยความลึก ศึกษา คณิตศาสตร์-ม.: การศึกษา, 2549.

10. เกลเซอร์ จี.ไอ. ประวัติคณิตศาสตร์ที่โรงเรียน ชั้นประถมศึกษาปีที่ 9-10 (คู่มือครู).-ม.: ศึกษาศาสตร์, 2526

แหล่งข้อมูลเพิ่มเติมบนเว็บ

2. พอร์ทัล วิทยาศาสตร์ธรรมชาติ ().

ทำที่บ้าน

หมายเลข 46.16, 46.17 (c) (พีชคณิตและจุดเริ่มต้นของการวิเคราะห์ เกรด 10 (ในสองส่วน) หนังสือปัญหาสำหรับสถาบันการศึกษาทั่วไป (ระดับโปรไฟล์) แก้ไขโดย A. G. Mordkovich - M.: Mnemozina, 2007.)

กระบวนการค้นหาค่าที่เล็กที่สุดและใหญ่ที่สุดของฟังก์ชันบนเซกเมนต์นั้นชวนให้นึกถึงการบินที่น่าสนใจรอบวัตถุ (กราฟฟังก์ชัน) ในเฮลิคอปเตอร์ ยิงที่จุดใดจุดหนึ่งจากปืนใหญ่ระยะไกลและเลือกจุดที่พิเศษมาก จากจุดเหล่านี้เพื่อควบคุมช็อต คะแนนจะถูกเลือกด้วยวิธีใดวิธีหนึ่งและตามกฎเกณฑ์บางประการ ตามกฎเกณฑ์อะไร? เราจะพูดถึงเรื่องนี้ต่อไป

ถ้าฟังก์ชั่น จุดเหล่านี้อยู่ภายในส่วนนั้น = ย =(3) คำนวณค่าของฟังก์ชันที่ส่วนท้ายของเซ็กเมนต์นั่นคือเมื่อใด) มีความต่อเนื่องในช่วงเวลา [ ในระหว่างนั้น, ก] ก็มาถึงส่วนนี้ น้อยที่สุด และ ค่าสูงสุด - สิ่งนี้สามารถเกิดขึ้นได้ทั้งใน จุดสุดขั้วหรือที่ส่วนท้ายของส่วน ดังนั้นจึงต้องหา. น้อยที่สุด และ ค่าที่ใหญ่ที่สุดของฟังก์ชัน ต่อเนื่องตามช่วงเวลา [ ในระหว่างนั้น, ก] คุณต้องคำนวณค่าของมันทั้งหมด จุดวิกฤติและที่ส่วนท้ายของส่วน จากนั้นเลือกส่วนที่เล็กที่สุดและใหญ่ที่สุดจากส่วนเหล่านั้น

ตัวอย่างเช่น คุณต้องการหาค่าที่ใหญ่ที่สุดของฟังก์ชัน ย =(3) คำนวณค่าของฟังก์ชันที่ส่วนท้ายของเซ็กเมนต์นั่นคือเมื่อใด) บนส่วน [ ในระหว่างนั้น, ก- ในการทำเช่นนี้ คุณจะต้องค้นหาจุดวิกฤติทั้งหมดที่วางอยู่บน [ ในระหว่างนั้น, ก] .

จุดวิกฤติ เรียกว่าจุดที่ ฟังก์ชั่นที่กำหนดไว้และเธอ อนุพันธ์เท่ากับศูนย์หรือไม่มีอยู่จริง จากนั้นคุณควรคำนวณค่าของฟังก์ชันที่จุดวิกฤติ และสุดท้าย เราควรเปรียบเทียบค่าของฟังก์ชันที่จุดวิกฤติและที่ส่วนท้ายของเซ็กเมนต์ ( ย =(ในระหว่างนั้น) และ ย =(ก- ตัวเลขที่ใหญ่ที่สุดเหล่านี้จะเป็น ค่าที่ใหญ่ที่สุดของฟังก์ชันบนเซ็กเมนต์ [ในระหว่างนั้น, ก] .

ปัญหาในการค้นหา ค่าฟังก์ชันที่เล็กที่สุด .

เรามองหาค่าที่เล็กที่สุดและใหญ่ที่สุดของฟังก์ชันด้วยกัน

ตัวอย่างที่ 1 ค้นหาค่าที่เล็กที่สุดและใหญ่ที่สุดของฟังก์ชัน บนส่วน [-1, 2] .

สารละลาย. ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันนี้ ลองเทียบอนุพันธ์ให้เป็นศูนย์ () และรับจุดวิกฤติสองจุด: และ . หากต้องการค้นหาค่าที่เล็กที่สุดและใหญ่ที่สุดของฟังก์ชันในส่วนที่กำหนดก็เพียงพอที่จะคำนวณค่าที่ส่วนท้ายของส่วนและ ณ จุดนั้นเนื่องจากจุดนั้นไม่ได้อยู่ในส่วน [-1, 2]. ค่าฟังก์ชันเหล่านี้มีดังนี้: , , . สืบต่อจากนี้ไปว่า ค่าฟังก์ชันที่เล็กที่สุด(ระบุด้วยสีแดงบนกราฟด้านล่าง) เท่ากับ -7 ทำได้ที่ด้านขวาสุดของส่วน - ที่จุด และ ที่ยิ่งใหญ่ที่สุด(บนกราฟยังเป็นสีแดง) เท่ากับ 9 - ที่จุดวิกฤติ

หากฟังก์ชันต่อเนื่องในช่วงเวลาหนึ่งและช่วงเวลานี้ไม่ใช่เซ็กเมนต์ (แต่คือ ตัวอย่างเช่น ช่วงเวลา ความแตกต่างระหว่างช่วงเวลาและเซ็กเมนต์: จุดขอบเขตของช่วงเวลาจะไม่รวมอยู่ในช่วงเวลา แต่ จุดขอบเขตของเซ็กเมนต์จะรวมอยู่ในเซ็กเมนต์) จากนั้นในบรรดาค่าของฟังก์ชันอาจไม่มีค่าน้อยที่สุดและยิ่งใหญ่ที่สุด ตัวอย่างเช่น ฟังก์ชันที่แสดงในภาพด้านล่างจะต่อเนื่องกันที่ ]-∞, +∞[ และไม่มีค่าที่มากที่สุด

อย่างไรก็ตาม สำหรับช่วงเวลาใดๆ (ปิด เปิด หรือไม่มีที่สิ้นสุด) คุณสมบัติของฟังก์ชันต่อเนื่องต่อไปนี้จะเป็นจริง

ตัวอย่างที่ 4 ค้นหาค่าที่เล็กที่สุดและใหญ่ที่สุดของฟังก์ชัน บนส่วน [-1, 3] .

สารละลาย. เราพบว่าอนุพันธ์ของฟังก์ชันนี้เป็นอนุพันธ์ของผลหาร:

.

เราเทียบอนุพันธ์ให้เป็นศูนย์ ซึ่งให้จุดวิกฤติจุดหนึ่งแก่เรา: มันอยู่ในส่วน [-1, 3] . ในการค้นหาค่าที่เล็กที่สุดและใหญ่ที่สุดของฟังก์ชันบนเซ็กเมนต์ที่กำหนด เราจะค้นหาค่าที่ส่วนท้ายของเซ็กเมนต์และที่จุดวิกฤติที่พบ:

ลองเปรียบเทียบค่าเหล่านี้กัน สรุป: เท่ากับ -5/13 ณ จุดและ มูลค่าสูงสุดเท่ากับ 1 ที่จุด

เรายังคงมองหาค่าที่เล็กที่สุดและใหญ่ที่สุดของฟังก์ชันด้วยกัน

มีครูบางคนในหัวข้อการหาค่าที่เล็กที่สุดและใหญ่ที่สุดของฟังก์ชัน อย่ายกตัวอย่างให้นักเรียนแก้โจทย์ที่ซับซ้อนกว่าที่เพิ่งพูดถึงไป นั่นคือค่าที่ฟังก์ชันเป็นพหุนามหรือ a เศษส่วนซึ่งมีทั้งเศษและส่วนเป็นพหุนาม แต่เราจะไม่ จำกัด ตัวเองอยู่เพียงตัวอย่างดังกล่าวเนื่องจากในหมู่ครูมีคนที่ชอบบังคับให้นักเรียนคิดให้ครบถ้วน (ตารางอนุพันธ์) ดังนั้นจะใช้ฟังก์ชันลอการิทึมและตรีโกณมิติ

ตัวอย่างที่ 6 ค้นหาค่าที่เล็กที่สุดและใหญ่ที่สุดของฟังก์ชัน บนส่วน .

สารละลาย. เราหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันนี้ได้เป็น อนุพันธ์ของผลิตภัณฑ์ :

เราถือเอาอนุพันธ์ให้เป็นศูนย์ ซึ่งให้จุดวิกฤติจุดหนึ่ง: มันอยู่ในส่วน ในการค้นหาค่าที่เล็กที่สุดและใหญ่ที่สุดของฟังก์ชันบนเซ็กเมนต์ที่กำหนด เราจะค้นหาค่าที่ส่วนท้ายของเซ็กเมนต์และที่จุดวิกฤติที่พบ:

ผลลัพธ์ของการกระทำทั้งหมด: ฟังก์ชันถึงค่าต่ำสุดแล้วเท่ากับ 0 ณ จุด และ ณ จุด และ มูลค่าสูงสุด, เท่ากัน จ² ณ จุดนั้น

ตัวอย่างที่ 7 ค้นหาค่าที่เล็กที่สุดและใหญ่ที่สุดของฟังก์ชัน บนส่วน .

สารละลาย. ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันนี้:

เราถือเอาอนุพันธ์เป็นศูนย์:

จุดวิกฤติเพียงจุดเดียวที่เป็นของกลุ่ม ในการค้นหาค่าที่เล็กที่สุดและใหญ่ที่สุดของฟังก์ชันบนเซ็กเมนต์ที่กำหนด เราจะค้นหาค่าที่ส่วนท้ายของเซ็กเมนต์และที่จุดวิกฤติที่พบ:

บทสรุป: ฟังก์ชันถึงค่าต่ำสุดแล้ว, เท่ากับ , ณ จุด และ มูลค่าสูงสุดเท่ากัน ณ จุดนั้น

ในปัญหาสุดขั้วที่ใช้ ตามกฎแล้วการค้นหาค่าที่เล็กที่สุด (สูงสุด) ของฟังก์ชันจะลดลงเพื่อค้นหาค่าต่ำสุด (สูงสุด) แต่ใหญ่กว่า ความสนใจในทางปฏิบัติไม่มีค่าต่ำสุดหรือค่าสูงสุดของตัวเอง แต่เป็นค่าของการโต้แย้งที่พวกเขาทำได้ เมื่อแก้ไขปัญหาที่ใช้จะเกิดปัญหาเพิ่มเติม - การเขียนฟังก์ชันที่อธิบายปรากฏการณ์หรือกระบวนการที่กำลังพิจารณา

ตัวอย่างที่ 8ถังที่มีความจุ 4 ที่มีรูปร่างเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสและมีฐานสี่เหลี่ยมเปิดด้านบนต้องบรรจุกระป๋อง ถังควรมีขนาดเท่าใดจึงจะใช้วัสดุปิดฝาน้อยที่สุด?

สารละลาย. อนุญาต 3) คำนวณค่าของฟังก์ชันที่ส่วนท้ายของเซ็กเมนต์นั่นคือเมื่อใด- ด้านฐาน ชม.- ความสูงของถัง ส- พื้นที่ผิวไม่มีสิ่งปกคลุม วี- ปริมาณของมัน พื้นที่ผิวของถังแสดงโดยสูตรเช่น เป็นฟังก์ชันของตัวแปรสองตัว เพื่อแสดงออก สเป็นฟังก์ชันของตัวแปรตัวหนึ่ง เราใช้ข้อเท็จจริงที่ว่า จากที่ไหน . แทนที่นิพจน์ที่พบ ชม.ลงในสูตรสำหรับ ส:

ลองตรวจสอบฟังก์ชันนี้จนถึงจุดสุดขั้วกัน มันถูกกำหนดและหาอนุพันธ์ได้ทุกที่ใน ]0, +∞[ และ

.

เราถืออนุพันธ์ให้เป็นศูนย์ () และค้นหาจุดวิกฤติ นอกจากนี้ เมื่อไม่มีอนุพันธ์อยู่ แต่ค่านี้ไม่รวมอยู่ในขอบเขตของคำจำกัดความ ดังนั้นจึงไม่สามารถเป็นจุดสุดขั้วได้ นี่เป็นจุดวิกฤติเพียงจุดเดียว ลองตรวจสอบดูว่ามีสุดขั้วหรือไม่โดยใช้เครื่องหมายเพียงพออันที่สอง ลองหาอนุพันธ์อันดับสองกัน เมื่ออนุพันธ์อันดับสองมีค่ามากกว่าศูนย์ () ซึ่งหมายความว่าเมื่อฟังก์ชันถึงจุดต่ำสุดแล้ว - ตั้งแต่นี้เป็นต้นมา ค่าต่ำสุดคือค่าสูงสุดเพียงค่าเดียวของฟังก์ชันนี้ ซึ่งเป็นค่าที่น้อยที่สุด- ดังนั้นด้านข้างของฐานถังควรเป็น 2 ม. และความสูงควรเป็น .

ตัวอย่างที่ 9จากจุด กตั้งอยู่บนเส้นทางรถไฟถึงจุดนั้น กับซึ่งอยู่ห่างจากที่นั่น ลจะต้องขนส่งสินค้า ค่าใช้จ่ายในการขนส่งหน่วยน้ำหนักต่อหน่วยระยะทางโดยทางรถไฟเท่ากับ และทางทางหลวงเท่ากับ ถึงจุดไหน มเส้น ทางรถไฟควรสร้างทางหลวงเพื่อขนส่งสินค้า กวี กับประหยัดที่สุด (มาตรา เอบีทางรถไฟถือว่าตรง)?