วิธีค้นหาค่าสูงสุดของฟังก์ชันโดยไม่มีกราฟ ค่าที่เล็กที่สุดและใหญ่ที่สุดของฟังก์ชันบนเซ็กเมนต์

บ้าน

จากมุมมองเชิงปฏิบัติความสนใจที่ยิ่งใหญ่ที่สุดคือการใช้อนุพันธ์เพื่อค้นหาค่าที่ใหญ่ที่สุดและน้อยที่สุดของฟังก์ชัน สิ่งนี้เกี่ยวข้องกับอะไร? เพิ่มผลกำไรสูงสุด ลดต้นทุน กำหนดภาระของอุปกรณ์ที่เหมาะสมที่สุด... กล่าวอีกนัยหนึ่ง ในหลาย ๆ ด้านของชีวิต เราต้องแก้ไขปัญหาในการปรับพารามิเตอร์บางตัวให้เหมาะสม และนี่คือภารกิจในการค้นหาค่าที่ใหญ่ที่สุดและเล็กที่สุดของฟังก์ชัน ควรสังเกตว่าใหญ่ที่สุดและค่าที่น้อยที่สุด โดยปกติแล้วฟังก์ชันต่างๆ จะถูกค้นหาในช่วงเวลา X ซึ่งเป็นโดเมนทั้งหมดของฟังก์ชันหรือส่วนหนึ่งของโดเมน ช่วง X เองสามารถเป็นส่วนได้ ซึ่งเป็นช่วงเปิด

, ช่วงเวลาอันไม่มีที่สิ้นสุด ในบทความนี้เราจะพูดถึงการค้นหาค่าที่ใหญ่ที่สุดและน้อยที่สุดอย่างชัดเจนฟังก์ชันที่กำหนด

ตัวแปรหนึ่งตัว y=f(x) .

การนำทางหน้า

ค่าที่ใหญ่ที่สุดและน้อยที่สุดของฟังก์ชัน - คำจำกัดความ ภาพประกอบ

ลองดูคำจำกัดความหลักโดยย่อ ค่าที่ใหญ่ที่สุดของฟังก์ชัน นั่นสำหรับใครก็ตาม

ความไม่เท่าเทียมกันเป็นจริงค่าที่น้อยที่สุดของฟังก์ชัน ค่าที่ใหญ่ที่สุดของฟังก์ชัน นั่นสำหรับใครก็ตาม

y=f(x) บนช่วง X เรียกว่าค่าดังกล่าว

คำจำกัดความเหล่านี้เข้าใจง่าย: ค่าที่ใหญ่ที่สุด (น้อยที่สุด) ของฟังก์ชันคือค่าที่ยอมรับมากที่สุด (น้อยที่สุด) ในช่วงเวลาที่กำลังพิจารณาที่ abscissaจุดคงที่

– นี่คือค่าของอาร์กิวเมนต์ที่อนุพันธ์ของฟังก์ชันกลายเป็นศูนย์

เหตุใดเราจึงต้องมีจุดคงที่เมื่อค้นหาค่าที่มากที่สุดและน้อยที่สุด? คำตอบสำหรับคำถามนี้ได้มาจากทฤษฎีบทของแฟร์มาต์ จากทฤษฎีบทนี้ เป็นไปตามว่าหากฟังก์ชันหาอนุพันธ์มีจุดสุดโต่ง (ค่าต่ำสุดเฉพาะจุดหรือค่าสูงสุดเฉพาะจุด) ณ จุดใดจุดหนึ่ง จุดนี้จะคงที่ ดังนั้น ฟังก์ชันมักจะใช้ค่าที่ใหญ่ที่สุด (น้อยที่สุด) ในช่วง X ที่จุดใดจุดหนึ่งที่อยู่นิ่งจากช่วงเวลานี้

มาตอบคำถามที่พบบ่อยที่สุดในหัวข้อนี้ทันที: “เป็นไปได้หรือไม่ที่จะกำหนดค่าที่ใหญ่ที่สุด (เล็กที่สุด) ของฟังก์ชัน”? ไม่ ไม่เสมอไป บางครั้งขอบเขตของช่วง X ตรงกับขอบเขตของโดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชัน หรือช่วง X เป็นอนันต์ และฟังก์ชันบางฟังก์ชันที่อนันต์และที่ขอบเขตของโดเมนของคำจำกัดความสามารถรับทั้งค่าที่มากเป็นอนันต์และที่เล็กเป็นอนันต์ได้ ในกรณีเหล่านี้ ไม่สามารถพูดได้เกี่ยวกับค่าที่ใหญ่ที่สุดและน้อยที่สุดของฟังก์ชัน

เพื่อความชัดเจนเราจะให้ภาพประกอบกราฟิก ดูภาพแล้วจะชัดเจนขึ้นมาก

บนส่วน

ในรูปแรก ฟังก์ชันจะใช้ค่าที่ใหญ่ที่สุด (สูงสุด y) และค่าน้อยที่สุด (ต่ำสุด y) ที่จุดคงที่ซึ่งอยู่ภายในส่วน [-6;6]

พิจารณากรณีที่ปรากฎในรูปที่สอง มาเปลี่ยนส่วนเป็น. ในตัวอย่างนี้ ค่าที่น้อยที่สุดของฟังก์ชันจะได้มา ณ จุดที่อยู่นิ่ง และค่าที่ใหญ่ที่สุด ณ จุดนั้นด้วยค่า Abscissa ที่สอดคล้องกับขอบเขตด้านขวาของช่วงเวลา

ในรูปที่ 3 จุดขอบเขตของเซ็กเมนต์ [-3;2] คือจุดขาดของจุดที่สอดคล้องกับค่าที่ใหญ่ที่สุดและน้อยที่สุดของฟังก์ชัน

ในช่วงเวลาเปิด

ในรูปที่สี่ ฟังก์ชันจะใช้ค่าที่ใหญ่ที่สุด (สูงสุด y) และค่าน้อยที่สุด (ต่ำสุด y) ที่จุดคงที่ซึ่งอยู่ภายในช่วงเปิด (-6;6)

ในช่วงเวลา ไม่สามารถสรุปเกี่ยวกับค่าที่มากที่สุดได้

ที่อนันต์

ในตัวอย่างที่แสดงในรูปที่ 7 ฟังก์ชันรับค่าที่ใหญ่ที่สุด (สูงสุด y) ที่จุดคงที่โดยมี abscissa x=1 และค่าที่น้อยที่สุด (min y) จะได้รับบนขอบเขตด้านขวาของช่วงเวลา ที่ค่าอนันต์ลบ ค่าฟังก์ชันจะเข้าใกล้ y=3 เชิงซีมโตติคัล

ในช่วงเวลาดังกล่าว ฟังก์ชันจะไม่ถึงค่าที่น้อยที่สุดหรือค่าที่มากที่สุด เมื่อ x=2 เข้าใกล้จากทางขวา ค่าของฟังก์ชันมีแนวโน้มที่จะลบอนันต์ (เส้นตรง x=2 เป็นเส้นกำกับแนวตั้ง) และเมื่อ Abscissa มีแนวโน้มที่จะบวกอนันต์ ค่าของฟังก์ชันจะเข้าใกล้ y=3 ในรูปแบบเชิงเส้นกำกับ ภาพประกอบกราฟิกของตัวอย่างนี้แสดงในรูปที่ 8

อัลกอริทึมในการค้นหาค่าที่ใหญ่ที่สุดและเล็กที่สุดของฟังก์ชันต่อเนื่องบนเซ็กเมนต์

ให้เราเขียนอัลกอริทึมที่ช่วยให้เราสามารถค้นหาค่าที่ใหญ่ที่สุดและเล็กที่สุดของฟังก์ชันบนเซ็กเมนต์

1. เราค้นหาโดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชันและตรวจสอบว่ามีส่วนทั้งหมดหรือไม่
2. เราค้นหาจุดทั้งหมดที่ไม่มีอนุพันธ์อันดับหนึ่งและมีอยู่ในเซ็กเมนต์ (โดยปกติแล้วจุดดังกล่าวจะพบในฟังก์ชันที่มีอาร์กิวเมนต์ภายใต้เครื่องหมายโมดูลัสและใน ฟังก์ชั่นพลังงานด้วยเลขชี้กำลังที่เป็นเศษส่วน-ตรรกยะ) หากไม่มีจุดดังกล่าวให้ไปยังจุดถัดไป
3. เรากำหนดจุดคงที่ทั้งหมดที่อยู่ในส่วนนั้น ในการทำเช่นนี้เราจัดให้มันเป็นศูนย์แก้สมการผลลัพธ์และเลือกรากที่เหมาะสม หากไม่มีจุดที่อยู่นิ่งหรือไม่มีจุดใดตกอยู่ในส่วน ให้ไปยังจุดถัดไป
4. เราคำนวณค่าของฟังก์ชัน ณ จุดคงที่ที่เลือก (ถ้ามี) ณ จุดที่ไม่มีอนุพันธ์อันดับหนึ่ง (ถ้ามี) รวมถึงที่ x=a และ x=b
5. จากค่าที่ได้รับของฟังก์ชันเราเลือกค่าที่ใหญ่ที่สุดและเล็กที่สุด - มันจะเป็นค่าที่ใหญ่ที่สุดและเล็กที่สุดของฟังก์ชันที่ต้องการตามลำดับ

มาวิเคราะห์อัลกอริทึมในการแก้ตัวอย่างเพื่อค้นหาค่าที่ใหญ่ที่สุดและเล็กที่สุดของฟังก์ชันบนเซ็กเมนต์

ตัวอย่าง.

ค้นหาค่าที่ใหญ่ที่สุดและน้อยที่สุดของฟังก์ชัน

• ในส่วน;
• ในส่วน [-4;-1] .

สารละลาย.

โดเมนของฟังก์ชันคือเซตทั้งหมด ตัวเลขจริงยกเว้นศูนย์นั่นคือ ทั้งสองส่วนอยู่ในโดเมนคำจำกัดความ

ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันโดยคำนึงถึง:

แน่นอนว่าอนุพันธ์ของฟังก์ชันมีอยู่ที่ทุกจุดของเซ็กเมนต์และ [-4;-1]

เราหาจุดคงที่จากสมการ รากที่แท้จริงเพียงตัวเดียวคือ x=2 จุดคงที่นี้อยู่ในส่วนแรก

ในกรณีแรก เราคำนวณค่าของฟังก์ชันที่ส่วนท้ายของส่วนและที่จุดคงที่ นั่นคือสำหรับ x=1, x=2 และ x=4:

ดังนั้นค่าสูงสุดของฟังก์ชัน ทำได้ที่ x=1 และมีค่าน้อยที่สุด – ที่ x=2.

สำหรับกรณีที่สองเราคำนวณค่าฟังก์ชันเฉพาะที่ส่วนท้ายของส่วน [-4;-1] (เนื่องจากไม่มีจุดคงที่จุดเดียว):

ให้ฟังก์ชัน ย =ฉ(เอ็กซ์)มีความต่อเนื่องในช่วงเวลา [ ก, ข- ดังที่ทราบกันว่าฟังก์ชันดังกล่าวถึงค่าสูงสุดและต่ำสุดในส่วนนี้ ฟังก์ชันสามารถรับค่าเหล่านี้ได้ที่จุดภายในของเซ็กเมนต์ [ ก, ข] หรือบนขอบเขตของเซ็กเมนต์

เพื่อค้นหาค่าที่ใหญ่ที่สุดและน้อยที่สุดของฟังก์ชันบนเซ็กเมนต์ [ ก, ข] จำเป็น:

1) ค้นหาจุดวิกฤตของฟังก์ชันในช่วงเวลา ( ก, ข);

2) คำนวณค่าของฟังก์ชันที่จุดวิกฤตที่พบ

3) คำนวณค่าของฟังก์ชันที่ส่วนท้ายของเซ็กเมนต์นั่นคือเมื่อใด x=กและ x = ข;

4) จากค่าที่คำนวณได้ทั้งหมดของฟังก์ชัน ให้เลือกค่าที่ใหญ่ที่สุดและเล็กที่สุด

ตัวอย่าง.ค้นหาค่าที่ใหญ่ที่สุดและเล็กที่สุดของฟังก์ชัน

บนส่วน

ค้นหาจุดวิกฤติ:

จุดเหล่านี้อยู่ภายในส่วนนั้น ย(1) = ‒ 3; ย(2) = ‒ 4; ย(0) = ‒ 8; ย(3) = 1;

ตรงจุด x= 3 และตรงจุด x= 0.

ศึกษาฟังก์ชันของจุดนูนและจุดเปลี่ยนเว้า

การทำงาน ย = ฉ (x) เรียกว่า นูนขึ้นในระหว่างนั้น (ก, ข) ถ้ากราฟของมันอยู่ใต้แทนเจนต์ที่วาด ณ จุดใด ๆ ในช่วงเวลานี้ และถูกเรียก นูนลง (เว้า)ถ้ากราฟอยู่เหนือแทนเจนต์

จุดที่ความนูนถูกแทนที่ด้วยความเว้าหรือในทางกลับกันเรียกว่า จุดเปลี่ยน.

อัลกอริทึมสำหรับตรวจสอบความนูนและจุดเปลี่ยนเว้า:

1. ค้นหาจุดวิกฤตของประเภทที่สอง นั่นคือจุดที่อนุพันธ์อันดับสองมีค่าเท่ากับศูนย์หรือไม่มีอยู่

2. เขียนจุดวิกฤตบนเส้นจำนวนโดยแบ่งเป็นช่วงๆ ค้นหาเครื่องหมายของอนุพันธ์อันดับสองในแต่ละช่วง ถ้า แสดงว่าฟังก์ชันนูนขึ้น ถ้า ฟังก์ชันจะนูนลง

3. หากเมื่อผ่านจุดวิกฤตประเภทที่สอง เครื่องหมายเปลี่ยนไป และ ณ จุดนี้อนุพันธ์อันดับสองเท่ากับศูนย์ แล้วจุดนี้ก็คือจุดขาดของจุดเปลี่ยนเว้า ค้นหาพิกัดของมัน

เส้นกำกับของกราฟของฟังก์ชัน การศึกษาฟังก์ชันสำหรับเส้นกำกับ

คำนิยาม.เรียกว่าเส้นกำกับของกราฟของฟังก์ชัน ตรงซึ่งมีคุณสมบัติว่าระยะห่างจากจุดใดๆ บนกราฟถึงเส้นนี้มีแนวโน้มเป็นศูนย์เนื่องจากจุดบนกราฟเคลื่อนที่จากจุดกำเนิดอย่างไม่มีกำหนด

เส้นกำกับมีสามประเภท: แนวตั้ง แนวนอน และเอียง

คำนิยาม.เส้นตรงเรียกว่า เส้นกำกับแนวตั้งกราฟิกฟังก์ชั่น ย = ฉ(x)ถ้าขีดจำกัดด้านเดียวของฟังก์ชัน ณ จุดนี้อย่างน้อยหนึ่งค่าเท่ากับอนันต์ นั่นก็คือ

จุดไม่ต่อเนื่องของฟังก์ชันอยู่ที่ไหน นั่นคือ ไม่ได้อยู่ในขอบเขตของคำจำกัดความ

ตัวอย่าง.

ด ( ย) = (‒ ∞; 2) (2; + ∞)

x= 2 – จุดพัก

คำนิยาม.ตรง ย =กเรียกว่า เส้นกำกับแนวนอนกราฟิกฟังก์ชั่น ย = ฉ(x)ที่ ถ้า

ตัวอย่าง.

คำนิยาม.ตรง ย =เคx +ข (เค≠ 0) ถูกเรียก เส้นกำกับเฉียงกราฟิกฟังก์ชั่น ย = ฉ(x)ที่ ที่ไหน

รูปแบบทั่วไปสำหรับศึกษาฟังก์ชันและการสร้างกราฟ

อัลกอริธึมการวิจัยฟังก์ชันย = ฉ(x) :

1. ค้นหาโดเมนของฟังก์ชัน ดี (ย).

2. ค้นหา (ถ้าเป็นไปได้) จุดตัดของกราฟด้วยแกนพิกัด (ถ้า x= 0 และที่ ย = 0).

3. ตรวจสอบความสม่ำเสมอและความคี่ของฟังก์ชัน ( ย (‒ x) = ย (x) ‒ ความเท่าเทียมกัน; ย(‒ x) = ‒ ย (x) ‒ แปลก).

4. ค้นหาเส้นกำกับของกราฟของฟังก์ชัน

5. ค้นหาช่วงเวลาของความน่าเบื่อของฟังก์ชัน

6. ค้นหาจุดสุดขีดของฟังก์ชัน

7. ค้นหาช่วงเวลาของความนูน (เว้า) และจุดเปลี่ยนเว้าของกราฟฟังก์ชัน

8. จากการวิจัยที่ดำเนินการ สร้างกราฟของฟังก์ชัน

ตัวอย่าง.สำรวจฟังก์ชันและสร้างกราฟ

1) ดี (ย) =

x= 4 – จุดพัก

2) เมื่อใด x = 0,

(0; ‒ 5) – จุดตัดกับ โอ้.

ที่ ย = 0,

3) ย(‒ x)= การทำงาน มุมมองทั่วไป(ไม่เป็นคู่หรือคี่)

4) เราตรวจสอบเส้นกำกับ

ก) แนวตั้ง

ข) แนวนอน

c) ค้นหาเส้นกำกับเฉียงที่ไหน

– สมการเส้นกำกับเฉียง

5) บี สมการที่กำหนดไม่จำเป็นต้องค้นหาช่วงเวลาของความซ้ำซากจำเจของฟังก์ชัน

6)

จุดวิกฤตเหล่านี้แบ่งโดเมนทั้งหมดของคำจำกัดความของฟังก์ชันออกเป็นระยะ (ดรีม∞; เมื่อคุณ 2), (ดรีม 2; 4), (4; 10) และ (10; +∞) สะดวกในการนำเสนอผลที่ได้ตามตารางต่อไปนี้

กระบวนการค้นหาค่าที่เล็กที่สุดและใหญ่ที่สุดของฟังก์ชันบนเซกเมนต์นั้นชวนให้นึกถึงการบินที่น่าสนใจรอบวัตถุ (กราฟฟังก์ชัน) ในเฮลิคอปเตอร์ ยิงที่จุดใดจุดหนึ่งจากปืนใหญ่ระยะไกลและเลือกจุดที่พิเศษมาก จากจุดเหล่านี้เพื่อควบคุมช็อต คะแนนจะถูกเลือกด้วยวิธีใดวิธีหนึ่งและตามกฎเกณฑ์บางประการ ตามกฎเกณฑ์อะไร? เราจะพูดถึงเรื่องนี้ต่อไป

ถ้าฟังก์ชั่น ย = ฉ(x) มีความต่อเนื่องในช่วงเวลา [ ก, ข] ก็มาถึงส่วนนี้ น้อยที่สุด และ ค่าสูงสุด - สิ่งนี้สามารถเกิดขึ้นได้ทั้งใน จุดสุดขั้วหรือที่ส่วนท้ายของส่วน ดังนั้นจึงต้องหา. น้อยที่สุด และ ค่าที่ใหญ่ที่สุดของฟังก์ชัน ต่อเนื่องตามช่วงเวลา [ ก, ข] คุณต้องคำนวณค่าของมันทั้งหมด จุดวิกฤติและที่ส่วนท้ายของส่วน จากนั้นเลือกส่วนที่เล็กที่สุดและใหญ่ที่สุดจากส่วนเหล่านั้น

ตัวอย่างเช่น คุณต้องการหาค่าที่ใหญ่ที่สุดของฟังก์ชัน ฉ(x) บนส่วน [ ก, ข- ในการทำเช่นนี้ คุณจะต้องค้นหาจุดวิกฤติทั้งหมดที่วางอยู่บน [ ก, ข] .

จุดวิกฤติ เรียกว่าจุดที่ ฟังก์ชั่นที่กำหนดไว้และเธอ อนุพันธ์เท่ากับศูนย์หรือไม่มีอยู่จริง จากนั้นคุณควรคำนวณค่าของฟังก์ชันที่จุดวิกฤติ และสุดท้าย เราควรเปรียบเทียบค่าของฟังก์ชันที่จุดวิกฤติและที่ส่วนท้ายของเซ็กเมนต์ ( ฉ(ก) และ ฉ(ข- ตัวเลขที่ใหญ่ที่สุดเหล่านี้จะเป็น ค่าที่ใหญ่ที่สุดของฟังก์ชันบนเซ็กเมนต์ [ก, ข] .

ปัญหาในการค้นหา ค่าฟังก์ชันที่เล็กที่สุด .

เรามองหาค่าที่เล็กที่สุดและใหญ่ที่สุดของฟังก์ชันด้วยกัน

ตัวอย่างที่ 1 ค้นหาค่าที่เล็กที่สุดและ มูลค่าสูงสุดฟังก์ชั่น บนส่วน [-1, 2] .

สารละลาย. ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันนี้ ลองเทียบอนุพันธ์ให้เป็นศูนย์ () และรับจุดวิกฤติสองจุด: และ . หากต้องการค้นหาค่าที่เล็กที่สุดและใหญ่ที่สุดของฟังก์ชันในส่วนที่กำหนดก็เพียงพอที่จะคำนวณค่าที่ส่วนท้ายของส่วนและ ณ จุดนั้นเนื่องจากจุดนั้นไม่ได้อยู่ในส่วน [-1, 2]. ค่าฟังก์ชันเหล่านี้มีดังนี้: , , . สืบต่อจากนี้ไปว่า ค่าฟังก์ชันที่เล็กที่สุด(ระบุด้วยสีแดงบนกราฟด้านล่าง) เท่ากับ -7 ทำได้ที่ด้านขวาสุดของส่วน - ที่จุด และ ที่ยิ่งใหญ่ที่สุด(บนกราฟยังเป็นสีแดง) เท่ากับ 9 - ที่จุดวิกฤติ

หากฟังก์ชันต่อเนื่องในช่วงเวลาหนึ่งและช่วงเวลานี้ไม่ใช่เซ็กเมนต์ (แต่คือ ตัวอย่างเช่น ช่วงเวลา ความแตกต่างระหว่างช่วงเวลาและเซ็กเมนต์: จุดขอบเขตของช่วงเวลาจะไม่รวมอยู่ในช่วงเวลา แต่ จุดขอบเขตของเซ็กเมนต์จะรวมอยู่ในเซ็กเมนต์) จากนั้นในบรรดาค่าของฟังก์ชันอาจไม่มีค่าน้อยที่สุดและยิ่งใหญ่ที่สุด ตัวอย่างเช่น ฟังก์ชันที่แสดงในภาพด้านล่างจะต่อเนื่องกันที่ ]-∞, +∞[ และไม่มีค่าที่มากที่สุด

อย่างไรก็ตาม สำหรับช่วงเวลาใดๆ (ปิด เปิด หรือไม่มีที่สิ้นสุด) คุณสมบัติของฟังก์ชันต่อเนื่องต่อไปนี้จะเป็นจริง

ตัวอย่างที่ 4 ค้นหาค่าที่เล็กที่สุดและใหญ่ที่สุดของฟังก์ชัน บนส่วน [-1, 3] .

สารละลาย. เราพบว่าอนุพันธ์ของฟังก์ชันนี้เป็นอนุพันธ์ของผลหาร:

.

เราเทียบอนุพันธ์ให้เป็นศูนย์ ซึ่งให้จุดวิกฤติจุดหนึ่งแก่เรา: มันอยู่ในส่วน [-1, 3] . ในการค้นหาค่าที่เล็กที่สุดและใหญ่ที่สุดของฟังก์ชันบนเซ็กเมนต์ที่กำหนด เราจะค้นหาค่าที่ส่วนท้ายของเซ็กเมนต์และที่จุดวิกฤติที่พบ:

ลองเปรียบเทียบค่าเหล่านี้กัน สรุป: เท่ากับ -5/13 ณ จุดและ มูลค่าสูงสุดเท่ากับ 1 ที่จุด

เรายังคงมองหาค่าที่เล็กที่สุดและใหญ่ที่สุดของฟังก์ชันด้วยกัน

มีครูบางคนในหัวข้อการหาค่าที่เล็กที่สุดและใหญ่ที่สุดของฟังก์ชัน อย่ายกตัวอย่างให้นักเรียนแก้โจทย์ที่ซับซ้อนกว่าที่เพิ่งพูดถึงไป นั่นคือค่าที่ฟังก์ชันเป็นพหุนามหรือ a เศษส่วนซึ่งมีทั้งเศษและส่วนเป็นพหุนาม แต่เราจะไม่ จำกัด ตัวเองอยู่เพียงตัวอย่างดังกล่าวเนื่องจากในหมู่ครูมีคนที่ชอบบังคับให้นักเรียนคิดให้ครบถ้วน (ตารางอนุพันธ์) ดังนั้นจะใช้ฟังก์ชันลอการิทึมและตรีโกณมิติ

ตัวอย่างที่ 6 ค้นหาค่าที่เล็กที่สุดและใหญ่ที่สุดของฟังก์ชัน บนส่วน .

สารละลาย. เราหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันนี้ได้เป็น อนุพันธ์ของผลิตภัณฑ์ :

เราถือเอาอนุพันธ์ให้เป็นศูนย์ ซึ่งให้จุดวิกฤติจุดหนึ่ง: มันอยู่ในส่วน ในการค้นหาค่าที่เล็กที่สุดและใหญ่ที่สุดของฟังก์ชันบนเซ็กเมนต์ที่กำหนด เราจะค้นหาค่าที่ส่วนท้ายของเซ็กเมนต์และที่จุดวิกฤติที่พบ:

ผลลัพธ์ของการกระทำทั้งหมด: ฟังก์ชันถึงค่าต่ำสุดแล้วเท่ากับ 0 ณ จุด และ ณ จุด และ มูลค่าสูงสุด, เท่ากัน จ² ณ จุดนั้น

ตัวอย่างที่ 7 ค้นหาค่าที่เล็กที่สุดและใหญ่ที่สุดของฟังก์ชัน บนส่วน .

สารละลาย. ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันนี้:

เราถือเอาอนุพันธ์เป็นศูนย์:

จุดวิกฤติเพียงจุดเดียวที่เป็นของกลุ่ม ในการค้นหาค่าที่เล็กที่สุดและใหญ่ที่สุดของฟังก์ชันบนเซ็กเมนต์ที่กำหนด เราจะค้นหาค่าที่ส่วนท้ายของเซ็กเมนต์และที่จุดวิกฤติที่พบ:

บทสรุป: ฟังก์ชันถึงค่าต่ำสุดแล้ว, เท่ากับ , ณ จุด และ มูลค่าสูงสุดเท่ากัน ณ จุดนั้น

ในปัญหาสุดขั้วที่ใช้ ตามกฎแล้วการค้นหาค่าที่เล็กที่สุด (สูงสุด) ของฟังก์ชันจะลดลงเพื่อค้นหาค่าต่ำสุด (สูงสุด) แต่ใหญ่กว่า ความสนใจในทางปฏิบัติไม่มีค่าต่ำสุดหรือค่าสูงสุดของตัวเอง แต่เป็นค่าของการโต้แย้งที่พวกเขาทำได้ เมื่อแก้ไขปัญหาที่ใช้จะเกิดปัญหาเพิ่มเติม - การเขียนฟังก์ชันที่อธิบายปรากฏการณ์หรือกระบวนการที่อยู่ระหว่างการพิจารณา

ตัวอย่างที่ 8ถังที่มีความจุ 4 ที่มีรูปร่างเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสและมีฐานสี่เหลี่ยมเปิดด้านบนต้องบรรจุกระป๋อง ถังควรมีขนาดเท่าใดจึงจะใช้วัสดุปิดฝาน้อยที่สุด?

สารละลาย. อนุญาต x- ด้านฐาน ชม.- ความสูงของถัง ส- พื้นที่ผิวไม่มีสิ่งปกคลุม วี- ปริมาณของมัน พื้นที่ผิวของถังแสดงโดยสูตรเช่น เป็นฟังก์ชันของตัวแปรสองตัว เพื่อแสดงออก สเป็นฟังก์ชันของตัวแปรตัวหนึ่ง เราใช้ข้อเท็จจริงที่ว่า จากที่ไหน . แทนที่นิพจน์ที่พบ ชม.ลงในสูตรสำหรับ ส:

ลองตรวจสอบฟังก์ชันนี้จนถึงจุดสุดขั้วกัน มันถูกกำหนดและหาอนุพันธ์ได้ทุกที่ใน ]0, +∞[ และ

.

เราถืออนุพันธ์ให้เป็นศูนย์ () และค้นหาจุดวิกฤติ นอกจากนี้ เมื่อไม่มีอนุพันธ์อยู่ แต่ค่านี้ไม่รวมอยู่ในขอบเขตของคำจำกัดความ ดังนั้นจึงไม่สามารถเป็นจุดสุดขั้วได้ นี่เป็นจุดวิกฤติเพียงจุดเดียว ลองตรวจสอบดูว่ามีสุดขั้วหรือไม่โดยใช้เครื่องหมายเพียงพออันที่สอง ลองหาอนุพันธ์อันดับสองกัน เมื่ออนุพันธ์อันดับสองมีค่ามากกว่าศูนย์ () ซึ่งหมายความว่าเมื่อฟังก์ชันถึงจุดต่ำสุดแล้ว - ตั้งแต่นี้เป็นต้นมา ค่าต่ำสุดคือค่าสูงสุดเพียงค่าเดียวของฟังก์ชันนี้ ซึ่งเป็นค่าที่น้อยที่สุด- ดังนั้นด้านข้างของฐานถังควรเป็น 2 ม. และความสูงควรเป็น .

ตัวอย่างที่ 9จากจุด กตั้งอยู่บนเส้นทางรถไฟถึงจุดนั้น กับซึ่งอยู่ห่างจากที่นั่น ลจะต้องขนส่งสินค้า ค่าใช้จ่ายในการขนส่งหน่วยน้ำหนักต่อหน่วยระยะทางโดยทางรถไฟเท่ากับ และทางทางหลวงเท่ากับ ถึงจุดไหน มเส้น ทางรถไฟควรสร้างทางหลวงเพื่อขนส่งสินค้า กวี กับประหยัดที่สุด (มาตรา เอบีทางรถไฟถือว่าตรง)?

ในบทเรียนเรื่อง “การใช้อนุพันธ์เพื่อหาค่าที่มากที่สุดและน้อยที่สุด ฟังก์ชั่นต่อเนื่องในช่วงเวลา" เราจะพิจารณาปัญหาที่ค่อนข้างง่ายในการค้นหาค่าที่ใหญ่ที่สุดและเล็กที่สุดของฟังก์ชันในช่วงเวลาที่กำหนดโดยใช้อนุพันธ์

หัวข้อ: อนุพันธ์

บทเรียน: การใช้อนุพันธ์เพื่อค้นหาค่าที่ใหญ่ที่สุดและน้อยที่สุดของฟังก์ชันต่อเนื่องในช่วงเวลาหนึ่ง

ในบทเรียนนี้เราจะดูเพิ่มเติม งานง่ายๆกล่าวคือ จะได้รับช่วงเวลา จะได้รับฟังก์ชันต่อเนื่องในช่วงเวลานี้ เราจำเป็นต้องค้นหาค่าที่ใหญ่ที่สุดและน้อยที่สุดของค่าที่กำหนด ฟังก์ชั่นเมื่อได้รับ ระหว่าง.

หมายเลข 32.1 (ข) ที่ให้ไว้: , . มาวาดกราฟของฟังก์ชันกัน (ดูรูปที่ 1)

ข้าว. 1. กราฟของฟังก์ชัน

เป็นที่ทราบกันว่าฟังก์ชันนี้จะเพิ่มขึ้นตามช่วงเวลา ซึ่งหมายความว่าจะเพิ่มขึ้นตามช่วงเวลาด้วย ซึ่งหมายความว่าหากคุณค้นหาค่าของฟังก์ชันที่จุด และ จากนั้นขีดจำกัดของการเปลี่ยนแปลงของฟังก์ชันนี้จะทราบค่าที่ใหญ่ที่สุดและน้อยที่สุด

เมื่ออาร์กิวเมนต์เพิ่มขึ้นจาก 8 ฟังก์ชันจะเพิ่มขึ้นจากเป็น

คำตอบ: ; .

หมายเลข 32.2 (a) ให้ไว้: ค้นหาค่าที่ใหญ่ที่สุดและน้อยที่สุดของฟังก์ชันในช่วงเวลาที่กำหนด

เรามาพลอตฟังก์ชันนี้กัน (ดูรูปที่ 2)

หากอาร์กิวเมนต์เปลี่ยนแปลงในช่วงเวลา ฟังก์ชันจะเพิ่มขึ้นจาก -2 เป็น 2 หากอาร์กิวเมนต์เพิ่มขึ้นจาก ฟังก์ชันจะลดลงจาก 2 เป็น 0

ข้าว. 2. กราฟฟังก์ชัน

ลองหาอนุพันธ์กัน

, - หาก แล้วค่านี้ก็อยู่ในกลุ่มที่กำหนดด้วย ถ้าอย่างนั้น. ง่ายต่อการตรวจสอบว่าใช้ค่าอื่นหรือไม่และจุดคงที่ที่เกี่ยวข้องอยู่นอกส่วนที่กำหนด ลองเปรียบเทียบค่าของฟังก์ชันที่ส่วนท้ายของเซ็กเมนต์และ ณ จุดที่เลือกซึ่งอนุพันธ์มีค่าเท่ากับศูนย์ เราจะพบ

;

คำตอบ: ;.

ดังนั้นจึงได้รับคำตอบแล้ว ในกรณีนี้จะสามารถใช้อนุพันธ์หรือไม่ก็ได้ หรือคุณสามารถนำคุณสมบัติของฟังก์ชันที่ศึกษามาก่อนหน้านี้ไปใช้ก็ได้ สิ่งนี้ไม่ได้เกิดขึ้นเสมอไป บางครั้งการใช้อนุพันธ์เป็นวิธีเดียวที่ช่วยให้คุณแก้ไขปัญหาดังกล่าวได้

ที่ให้ไว้: , . ค้นหาค่าที่ใหญ่ที่สุดและเล็กที่สุดของฟังก์ชันในส่วนที่กำหนด

หากในกรณีก่อนหน้านี้สามารถทำได้โดยไม่มีอนุพันธ์ - เรารู้ว่าฟังก์ชันมีพฤติกรรมอย่างไร ในกรณีนี้ ฟังก์ชันจะค่อนข้างซับซ้อน ดังนั้นเทคนิคที่เรากล่าวถึงในงานที่แล้วจึงนำไปใช้ได้อย่างเต็มที่

1. ลองหาอนุพันธ์กัน มาหาจุดวิกฤตกันดีกว่า - จุดวิกฤติ จากนั้นเราเลือกสิ่งที่อยู่ในส่วนนี้: . ลองเปรียบเทียบค่าของฟังก์ชันที่จุด , , . สำหรับสิ่งนี้เราจะพบ

ให้เราแสดงผลลัพธ์ในรูป (ดูรูปที่ 3)

ข้าว. 3. ขีดจำกัดในการเปลี่ยนค่าฟังก์ชัน

เราจะเห็นว่าถ้าอาร์กิวเมนต์เปลี่ยนจาก 0 เป็น 2 ฟังก์ชันจะเปลี่ยนในช่วงจาก -3 เป็น 4 ฟังก์ชันจะไม่เปลี่ยนแบบซ้ำซาก: เพิ่มหรือลดลง

คำตอบ: ;.

ดังนั้น เมื่อใช้ตัวอย่างสามตัวอย่าง จึงสาธิตเทคนิคทั่วไปในการค้นหาค่าที่ใหญ่ที่สุดและน้อยที่สุดของฟังก์ชันในช่วงเวลาหนึ่ง ในกรณีนี้บนเซ็กเมนต์

อัลกอริทึมในการแก้ปัญหาการค้นหาค่าที่ใหญ่ที่สุดและเล็กที่สุดของฟังก์ชัน:

1. ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน

2. ค้นหาจุดวิกฤตของฟังก์ชันและเลือกจุดเหล่านั้นที่อยู่ในส่วนที่กำหนด

3. ค้นหาค่าของฟังก์ชันที่ส่วนท้ายของส่วนและ ณ จุดที่เลือก

4. เปรียบเทียบค่าเหล่านี้และเลือกค่าที่ใหญ่ที่สุดและเล็กที่สุด

ลองดูอีกตัวอย่างหนึ่ง

ค้นหาค่าที่ใหญ่ที่สุดและน้อยที่สุดของฟังก์ชัน ,

ก่อนหน้านี้มีการพิจารณากราฟของฟังก์ชันนี้ (ดูรูปที่ 4)

ข้าว. 4. กราฟฟังก์ชัน

ในช่วงเวลาคือช่วงของค่าของฟังก์ชันนี้ - จุด - จุดสูงสุด เมื่อ - ฟังก์ชั่นเพิ่มขึ้น เมื่อ - ฟังก์ชั่นลดลง จากรูปวาดจะชัดเจนว่า , - ไม่มีอยู่จริง

ดังนั้นในบทเรียนเราจึงดูปัญหาของค่าที่ใหญ่ที่สุดและเล็กที่สุดของฟังก์ชันเมื่อช่วงเวลาที่กำหนดคือเซ็กเมนต์ กำหนดอัลกอริทึมสำหรับแก้ไขปัญหาดังกล่าว

1. พีชคณิตและจุดเริ่มต้นของการวิเคราะห์ เกรด 10 (แบ่งเป็นสองส่วน) บทช่วยสอนสำหรับ สถาบันการศึกษา (ระดับโปรไฟล์) เอ็ด เอ.จี. มอร์ดโควิช -ม.: นีโมซิน, 2009.

2. พีชคณิตและจุดเริ่มต้นของการวิเคราะห์ เกรด 10 (แบ่งเป็นสองส่วน) หนังสือปัญหาสำหรับสถาบันการศึกษา (ระดับโปรไฟล์) ed. เอ.จี. มอร์ดโควิช -ม.: นีโมซิน, 2550.

3. Vilenkin N.Ya., Ivashev-Musatov O.S., Shvartsburgd S.I. พีชคณิตและแคลคูลัสสำหรับเกรด 10 ( คู่มือการฝึกอบรมสำหรับนักเรียนโรงเรียนและชั้นเรียนด้วย การศึกษาเชิงลึกคณิตศาสตร์).-ม.: การศึกษา, 2539.

4. Galitsky M.L. , Moshkovich M.M. , Shvartsburg S.I. การศึกษาเชิงลึกเกี่ยวกับพีชคณิตและการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์-ม.: การศึกษา, 2540.

5. การรวบรวมปัญหาทางคณิตศาสตร์สำหรับผู้สมัครในสถาบันการศึกษาระดับอุดมศึกษา (แก้ไขโดย M.I. Skanavi) - M.: Higher School, 1992.

6. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. เครื่องจำลองพีชคณิต-K.: A.S.K., 1997.

7. Zvavich L.I., Shlyapochnik L.Ya., Chinkina Algebra และจุดเริ่มต้นของการวิเคราะห์ เกรด 8-11: คู่มือสำหรับโรงเรียนและชั้นเรียนที่มีการศึกษาคณิตศาสตร์เชิงลึก (สื่อการสอน) - อ.: อีแร้ง, 2545

8. Sahakyan S.M., Goldman A.M., Denisov D.V. ปัญหาพีชคณิตและหลักการวิเคราะห์ (คู่มือสำหรับนักเรียนเกรด 10-11 ของสถาบันการศึกษาทั่วไป) - อ.: Prosveshchenie, 2003

9. คาร์ป เอ.พี. การรวบรวมปัญหาพีชคณิตและหลักการวิเคราะห์: หนังสือเรียน เบี้ยเลี้ยงสำหรับเกรด 10-11 ด้วยความลึก ศึกษา คณิตศาสตร์-ม.: การศึกษา, 2549.

10. เกลเซอร์ จี.ไอ. ประวัติคณิตศาสตร์ที่โรงเรียน ชั้นประถมศึกษาปีที่ 9-10 (คู่มือครู).-ม.: ศึกษาศาสตร์, 2526

แหล่งข้อมูลเพิ่มเติมบนเว็บ

2. พอร์ทัล วิทยาศาสตร์ธรรมชาติ ().

ทำที่บ้าน

หมายเลข 46.16, 46.17 (c) (พีชคณิตและจุดเริ่มต้นของการวิเคราะห์ เกรด 10 (ในสองส่วน) หนังสือปัญหาสำหรับสถาบันการศึกษาทั่วไป (ระดับโปรไฟล์) แก้ไขโดย A. G. Mordkovich - M.: Mnemozina, 2007.)

เพื่อนรัก! กลุ่มงานที่เกี่ยวข้องกับอนุพันธ์ประกอบด้วยงาน - เงื่อนไขให้กราฟของฟังก์ชัน หลายจุดบนกราฟนี้ และคำถามคือ:

อนุพันธ์สูงสุด (เล็กที่สุด) ณ จุดใด?

ทำซ้ำสั้น ๆ :

อนุพันธ์ ณ จุดหนึ่งเท่ากับ ความลาดชันแทนเจนต์ผ่านไปจุดนี้บนกราฟ

คุณในทางกลับกันค่าสัมประสิทธิ์โดยรวมของแทนเจนต์จะเท่ากับแทนเจนต์ของมุมเอียงของแทนเจนต์นี้

*หมายถึงมุมระหว่างแทนเจนต์กับแกน x

1. ในช่วงของฟังก์ชันที่เพิ่มขึ้น อนุพันธ์จะมี ค่าบวก.

2. ในช่วงระยะเวลาที่ลดลง อนุพันธ์จะมี ค่าลบ.

พิจารณาภาพร่างต่อไปนี้:

ที่จุด 1,2,4 อนุพันธ์ของฟังก์ชันมีค่าเป็นลบ เนื่องจากจุดเหล่านี้อยู่ในช่วงเวลาที่ลดลง

ที่จุด 3,5,6 อนุพันธ์ของฟังก์ชันมีค่าเป็นบวก เนื่องจากจุดเหล่านี้อยู่ในช่วงที่เพิ่มขึ้น

อย่างที่คุณเห็นทุกอย่างชัดเจนกับความหมายของอนุพันธ์นั่นคือมันไม่ยากที่จะตัดสินว่ามีเครื่องหมายใด (บวกหรือลบ) ที่จุดใดจุดหนึ่งของกราฟ

ยิ่งกว่านั้น ถ้าเราสร้างแทนเจนต์ที่จุดเหล่านี้ด้วยจิตใจ เราจะเห็นว่าเส้นตรงที่ผ่านจุดที่ 3, 5 และ 6 เกิดเป็นมุม โดยมีแกน oX อยู่ระหว่าง 0 ถึง 90 o และเส้นตรงที่ผ่านจุด 1, 2 และ 4 เกิดเป็นมุม ด้วยแกน OX มุมจะอยู่ในช่วงตั้งแต่ 90 o ถึง 180 o

*ความสัมพันธ์ชัดเจน: แทนเจนต์ที่ผ่านจุดที่เป็นช่วงของฟังก์ชันที่เพิ่มขึ้นจะเกิดขึ้นกับแกน oX มุมที่คมชัด, แทนเจนต์ที่ผ่านจุดที่เป็นของช่วงของฟังก์ชันที่ลดลงทำให้เกิดมุมป้านกับแกน oX

ตอนนี้คำถามสำคัญ!

มูลค่าของอนุพันธ์เปลี่ยนแปลงไปอย่างไร? ท้ายที่สุดแล้ว แทนเจนต์ที่จุดต่างๆ บนกราฟของฟังก์ชันต่อเนื่องจะทำให้เกิดมุมที่แตกต่างกัน ขึ้นอยู่กับจุดใดบนกราฟที่ฟังก์ชันนั้นผ่าน

*หรือการพูด ในภาษาง่ายๆแทนเจนต์จะอยู่ในลักษณะ "แนวนอน" หรือ "แนวตั้ง" ดู:

เส้นตรงสร้างมุมโดยมีแกน oX อยู่ในช่วงตั้งแต่ 0 ถึง 90 o

เส้นตรงสร้างมุมด้วยแกน oX ตั้งแต่ 90° ถึง 180°

ดังนั้น หากคุณมีคำถามใดๆ:

- จุดใดที่กำหนดบนกราฟที่อนุพันธ์มีค่าน้อยที่สุด?

- จุดใดที่กำหนดบนกราฟที่อนุพันธ์มีค่ามากที่สุด?

จากนั้นเพื่อตอบจำเป็นต้องเข้าใจว่าค่าแทนเจนต์ของมุมแทนเจนต์เปลี่ยนแปลงไปอย่างไรในช่วงตั้งแต่ 0 ถึง 180 o

*ดังที่ได้กล่าวไปแล้ว ค่าของอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่จุดหนึ่งจะเท่ากับค่าแทนเจนต์ของมุมเอียงของแทนเจนต์กับแกน oX

ค่าแทนเจนต์เปลี่ยนแปลงดังนี้:

เมื่อมุมเอียงของเส้นตรงเปลี่ยนจาก 0 o เป็น 90 o ค่าของแทนเจนต์และอนุพันธ์จะเปลี่ยนตามจาก 0 ถึง + ∞;

เมื่อมุมเอียงของเส้นตรงเปลี่ยนจาก 90° เป็น 180° ค่าของแทนเจนต์และอนุพันธ์จะเปลี่ยนตาม –∞ เป็น 0

สามารถเห็นได้ชัดเจนจากกราฟของฟังก์ชันแทนเจนต์:

ในแง่ง่ายๆ:

ที่มุมเอียงแทนเจนต์ตั้งแต่ 0° ถึง 90°

ยิ่งใกล้กับ 0 o ค่าอนุพันธ์ก็จะยิ่งใกล้ศูนย์ (ด้านบวก)

ยิ่งมุมเข้าใกล้ 90° มากเท่าใด ค่าอนุพันธ์ก็จะเพิ่มขึ้นไปทาง +∞ มากขึ้นเท่านั้น

มีมุมเอียงสัมผัสตั้งแต่ 90° ถึง 180°

ยิ่งเข้าใกล้ 90 o ค่าอนุพันธ์ก็จะลดลงไปทาง –∞ มากขึ้นเท่านั้น

ยิ่งมุมเข้าใกล้ 180° ค่าของอนุพันธ์ก็จะยิ่งใกล้กับศูนย์มากขึ้น (ด้านลบ)

317543 รูปนี้แสดงกราฟของฟังก์ชัน y = ฉ(x) และมีการทำเครื่องหมายจุดต่างๆ–2, –1, 1, 2 จุดใดต่อไปนี้เป็นอนุพันธ์ที่ยิ่งใหญ่ที่สุด? โปรดระบุจุดนี้ในคำตอบของคุณ

เรามีสี่จุด: สองจุดอยู่ในช่วงเวลาที่ฟังก์ชันลดลง (นี่คือจุด –1 และ 1) และสองจุดเป็นช่วงเวลาที่ฟังก์ชันเพิ่มขึ้น (นี่คือจุด –2 และ 2)

เราสามารถสรุปได้ทันทีว่าที่จุด –1 และ 1 อนุพันธ์มีค่าเป็นลบ และที่จุด –2 และ 2 มีค่าเป็นบวก ดังนั้นในกรณีนี้ จำเป็นต้องวิเคราะห์จุด –2 และ 2 และพิจารณาว่าจุดใดจะมีมูลค่ามากที่สุด มาสร้างแทนเจนต์ที่ผ่านจุดที่ระบุ:

ค่าแทนเจนต์ของมุมระหว่างเส้นตรง a และแกนแอบซิสซาจะเป็นดังนี้ มูลค่าที่มากขึ้นแทนเจนต์ของมุมระหว่างเส้น b กับแกนนี้ ซึ่งหมายความว่ามูลค่าของอนุพันธ์ ณ จุด –2 จะมากที่สุด

ลองตอบคำถามต่อไปนี้: ณ จุดใดที่ –2, –1, 1 หรือ 2 เป็นค่าของอนุพันธ์ที่เป็นลบมากที่สุด โปรดระบุจุดนี้ในคำตอบของคุณ

อนุพันธ์จะมีค่าเป็นลบ ณ จุดที่เป็นของช่วงเวลาที่ลดลง ดังนั้นลองพิจารณาจุด –2 และ 1 มาสร้างแทนเจนต์ที่ผ่านพวกมันกัน:

เราจะเห็นว่ามุมป้านระหว่างเส้นตรง b และแกน oX นั้น "ใกล้กว่า" ถึง 180โอ ดังนั้นแทนเจนต์ของมันจะมากกว่าแทนเจนต์ของมุมที่เกิดจากเส้นตรง a และแกน oX

ดังนั้น ณ จุด x = 1 ค่าของอนุพันธ์จะเป็นลบมากที่สุด

317544 รูปนี้แสดงกราฟของฟังก์ชัน y = ฉ(x) และมีการทำเครื่องหมายจุดต่างๆ–2, –1, 1, 4 จุดใดต่อไปนี้เป็นอนุพันธ์ที่น้อยที่สุด? โปรดระบุจุดนี้ในคำตอบของคุณ

เรามีสี่จุด: สองจุดอยู่ในช่วงเวลาที่ฟังก์ชันลดลง (นี่คือจุด –1 และ 4) และสองจุดเป็นช่วงเวลาที่ฟังก์ชันเพิ่มขึ้น (นี่คือจุด –2 และ 1)

เราสามารถสรุปได้ทันทีว่า ณ จุด –1 และ 4 อนุพันธ์มีค่าเป็นลบ และที่จุด –2 และ 1 มีค่าเป็นบวก ดังนั้นในกรณีนี้จำเป็นต้องวิเคราะห์จุด –1 และ 4 และพิจารณาว่าจุดใดจะมีค่าน้อยที่สุด มาสร้างแทนเจนต์ที่ผ่านจุดที่ระบุ:

ค่าแทนเจนต์ของมุมระหว่างเส้นตรง a และแกนแอบซิสซาจะมากกว่าค่าแทนเจนต์ของมุมระหว่างเส้นตรง b กับแกนนี้ ซึ่งหมายความว่าค่าของอนุพันธ์ ณ จุด x = 4 จะน้อยที่สุด

คำตอบ: 4

ฉันหวังว่าฉันจะไม่ "ทำงานหนักเกินไป" คุณด้วยจำนวนการเขียน ที่จริงแล้ว ทุกอย่างง่ายมาก คุณเพียงแค่ต้องเข้าใจคุณสมบัติของอนุพันธ์ของมันก่อน ความหมายทางเรขาคณิตและแทนเจนต์ของมุมเปลี่ยนจาก 0 เป็น 180 o อย่างไร

1. ขั้นแรก กำหนดสัญญาณของอนุพันธ์ที่จุดเหล่านี้ (+ หรือ -) และเลือกจุดที่จำเป็น (ขึ้นอยู่กับคำถามที่ถูกวาง)

2. สร้างแทนเจนต์ที่จุดเหล่านี้

3. ใช้กราฟแทนจีซอยด์ ทำเครื่องหมายมุมและแสดงผลตามแผนผังอเล็กซานเดอร์

ป.ล. ฉันจะขอบคุณถ้าคุณบอกฉันเกี่ยวกับเว็บไซต์บนโซเชียลเน็ตเวิร์ก