วิธีอ่านนิพจน์ตัวเลข การแสดงออกตามตัวอักษร

บ้าน แนวคิดเรื่องนิพจน์ทางคณิตศาสตร์ (หรือเพียงนิพจน์) ที่สอนในโรงเรียนประถมศึกษาก็มีสำคัญ

- ดังนั้นแนวคิดนี้ช่วยให้นักเรียนเชี่ยวชาญทักษะการคำนวณ แท้จริงแล้ว ข้อผิดพลาดในการคำนวณมักเกี่ยวข้องกับการขาดความเข้าใจในโครงสร้างของนิพจน์และความรู้ที่ไม่แน่นอนเกี่ยวกับลำดับการดำเนินการในนิพจน์ การเรียนรู้แนวคิดเรื่องการแสดงออกจะเป็นตัวกำหนดการก่อตัวของแนวคิดทางคณิตศาสตร์ที่สำคัญเช่นความเท่าเทียมกันความไม่เท่าเทียมกันสมการ ความสามารถในการเขียนนิพจน์สำหรับปัญหาเป็นสิ่งจำเป็นสำหรับการเรียนรู้ความสามารถในการแก้ปัญหาพีชคณิตเช่น โดยการเขียนสมการ

เด็กๆ จะคุ้นเคยกับสำนวนแรก – ผลรวมและผลต่าง – เมื่อศึกษาการบวกและการลบในระดับความเข้มข้น “สิบ” โดยไม่ต้องใช้คำศัพท์พิเศษ นักเรียนชั้นประถมศึกษาปีที่ 1 ทำการคำนวณ จดสำนวน อ่าน แทนที่ตัวเลขด้วยผลรวมตามการแสดงภาพ ในกรณีนี้ ให้อ่านนิพจน์ 4+3 ดังนี้ "บวกสามเป็นสี่" หรือ "เพิ่ม 4 คูณ 3" ด้วยการค้นหาค่าของนิพจน์ที่ประกอบด้วยตัวเลขสามตัวที่เชื่อมต่อกันด้วยเครื่องหมายบวกและการลบ นักเรียนจะใช้กฎสำหรับลำดับของการกระทำในรูปแบบโดยนัยและทำการแปลงนิพจน์ที่เหมือนกันครั้งแรก คุ้นเคยกับสำนวนเช่นเอ+ซี ขั้นแรกให้ใช้คำว่า “ผลรวม” เพื่อกำหนดจำนวนที่เกิดจากการบวก กล่าวคือ จำนวนเงินจะถือเป็นค่าของนิพจน์ จากนั้นจึงเกิดเป็นสำนวนที่ซับซ้อนมากขึ้น เช่น(ก+ค)-ค คุ้นเคยกับสำนวนเช่นจำเป็นต้องมีความเข้าใจคำว่า "จำนวนเงิน" ที่แตกต่างกัน การแสดงออก เรียกว่าผลรวม และส่วนประกอบเรียกว่าเทอม เมื่อแนะนำสำนวนเช่นทำเช่นเดียวกัน ประการแรก ความแตกต่าง (ผลคูณ ผลหาร) คือความหมายของนิพจน์ และจากนั้นคือนิพจน์นั้นเอง ในเวลาเดียวกัน นักเรียนจะได้รับการบอกชื่อส่วนประกอบต่างๆ ได้แก่ minuend, subtrahend, ตัวประกอบ, เงินปันผล และตัวหาร ตัวอย่างเช่น ในความเท่าเทียมกัน 9-4=5 9 คือค่า minuend, 4 คือค่า subtrahend, 5 คือค่าความแตกต่าง รายการ 9-4 เรียกอีกอย่างว่าผลต่าง คุณสามารถแนะนำคำศัพท์เหล่านี้ตามลำดับที่แตกต่างกัน: ให้นักเรียนจดตัวอย่างที่ 9-4 อธิบายว่าข้อแตกต่างถูกเขียนไว้ และคำนวณว่าข้อแตกต่างที่เขียนคืออะไร ครูป้อนชื่อของหมายเลขผลลัพธ์: 5 ก็มีความแตกต่างเช่นกัน เรียกตัวเลขอื่นเมื่อลบ: 9 - minuend, 4 - subtrahend

การจดจำคำศัพท์ใหม่นั้นอำนวยความสะดวกโดยผู้โพสต์เช่น

ลบลบ ความแตกต่างความแตกต่าง (ค่าผลต่าง)

หากต้องการรวมคำศัพท์เหล่านี้ ให้ทำแบบฝึกหัดเช่น: “คำนวณผลรวมของตัวเลข เขียนผลรวมของตัวเลข เปรียบเทียบผลรวมของตัวเลข (ใส่ > เครื่องหมาย< или = вместо · в запись 4 + 3 · 5 + 1 и прочтите полученную запись); замените число суммой одинаковых (разных) чисел; заполните таблицу; составьте по таблице примеры и решите их». Важно, чтобы дети поняли, что при вычислении суммы производится указанное действие (сложение), а при записи суммы получаем два числа, соединенных знаком плюс.

เมื่อศึกษาการบวกและการลบภายใน 10 จะรวมนิพจน์ที่ประกอบด้วยตัวเลขสามตัวขึ้นไปที่เชื่อมต่อกันด้วยเครื่องหมายการกระทำที่เหมือนกันหรือต่างกันของแบบฟอร์ม: 3+1+1, 4-1-1, 2+2+2+2, 7 -4+ 2, 6+3-7. ครูแสดงวิธีอ่านความหมายของสำนวนดังกล่าว (เช่น เพิ่มหนึ่งถึงสามและบวกอีกหนึ่งผลลัพธ์) ด้วยการคำนวณความหมายของสำนวนเหล่านี้ เด็ก ๆ จะเชี่ยวชาญกฎเกี่ยวกับลำดับการกระทำในสำนวนที่ไม่มีวงเล็บแม้ว่าพวกเขาจะไม่ได้กำหนดก็ตาม หลังจากนั้นไม่นาน เด็ก ๆ จะได้รับการสอนให้สร้างนิพจน์ล่วงหน้าในกระบวนการคำนวณ เช่น 10-7+5=3+5=8 รายการดังกล่าวเป็นขั้นตอนแรกในการดำเนินการเปลี่ยนแปลงข้อมูลระบุตัวตน แนะนำให้นักเรียนชั้นประถมศึกษาปีที่ 1 รู้จักกับสำนวน เช่น 10- (6+2), (7-4)+5 เป็นต้น เตรียมความพร้อมให้พวกเขาศึกษากฎสำหรับการบวกตัวเลขเข้ากับผลรวม ลบตัวเลขออกจากผลรวม ฯลฯ เพื่อจดวิธีแก้ไขปัญหาการประสม และยังช่วยให้เข้าใจแนวคิดเรื่องการแสดงออกอย่างลึกซึ้งยิ่งขึ้นอีกด้วย

ในขั้นตอนต่อไปของการเรียนรู้แนวคิดเรื่องนิพจน์ นักเรียนจะคุ้นเคยกับนิพจน์ที่ใช้วงเล็บ: (10-3)+4, (6-2)+5 พวกเขาสามารถป้อนผ่านปัญหาคำศัพท์ ครูแนะนำให้สร้างผลรวมและความแตกต่างของตัวเลข 10 และ 3 บนผืนผ้าใบเรียงพิมพ์โดยใช้การ์ดที่ใช้เขียนตัวเลขและสัญลักษณ์การกระทำเหล่านี้ จากนั้นครูจะแทนที่ความแตกต่าง 10-3 ที่นักเรียนรวบรวมไว้ด้วยการ์ดที่เตรียมไว้ล่วงหน้าด้วยความแตกต่างนี้ ภารกิจถัดไป: สร้างนิพจน์ (ในขั้นตอนนี้นักเรียนพูดถึงมันเป็นตัวอย่าง) โดยใช้ค่าความแตกต่าง ตัวเลข 4 และเครื่องหมาย + เมื่ออ่านนิพจน์ผลลัพธ์ ความสนใจจะถูกดึงไปที่ข้อเท็จจริงที่ว่าส่วนประกอบนั้นมีความแตกต่างและเป็นตัวเลข “เพื่อให้ชัดเจน” ครูกล่าว “ความแตกต่างคือคำศัพท์ อยู่ในวงเล็บ”

ด้วยการสร้างสำนวนอย่างอิสระ เด็ก ๆ จะตระหนักถึงโครงสร้างของตนเอง และเชี่ยวชาญความสามารถในการอ่าน เขียน และคำนวณความหมายของตนเอง

เงื่อนไข " การแสดงออกทางคณิตศาสตร์" (หรือเพียงแค่ "การแสดงออก") และ "ความหมายของการแสดงออก" ข้อกำหนดเหล่านี้ไม่ได้ถูกกำหนดไว้ เมื่อเขียนสำนวนง่ายๆ หลายสำนวน: ผลรวม ผลต่าง ครูเรียกมันว่านิพจน์ทางคณิตศาสตร์ หลังจากเสนอให้ประเมินตัวอย่างเหล่านี้แล้ว เขาก็ประกาศว่าตัวเลขที่เกิดจากการคำนวณเรียกว่าค่าของนิพจน์ งานเพิ่มเติมเกี่ยวกับนิพจน์เชิงตัวเลขประกอบด้วยเด็กๆ ฝึกการอ่าน การเขียนตามคำบอก การเขียนนิพจน์ การกรอกตาราง การใช้คำศัพท์ใหม่อย่างกว้างขวาง

กฎสำหรับลำดับของการกระทำ .

	ลักษณะเฉพาะ นิพจน์เชิงตัวเลข	การดำเนินการ การกระทำ
	ประกอบด้วยเท่านั้น + และ – หรือเพียงแค่ เอ็กซ์และ :	ตามลำดับ (จากซ้ายไปขวา)	65 - 20 + 5 - 8 = 42 24:4 · 2:3 = 4
	ไม่เพียงแต่ประกอบด้วย + และ - แต่ยัง เอ็กซ์และ :	ขั้นแรกให้ทำตามลำดับ (จากซ้ายไปขวา) เอ็กซ์และ : และจากนั้น + และ – (จากซ้ายไปขวา)	120 – 20: 4 6 = 90 460 + 40 – 50 4 = 300 1 3 4 2 360: 4 + 10 – 8 5 = 60 180: 2 - 90: 3 = 60
	ประกอบด้วยวงเล็บหนึ่งคู่ขึ้นไป	ขั้นแรก ค้นหาค่าของนิพจน์ในวงเล็บ จากนั้นดำเนินการตามกฎข้อ 1 และ 2	1,000- (100 9 + 10) =90 5 (76 – 6 + 10) = 400 80+ (360 - 300) 5 = 380 3 1 4 2 99 · (24-23) –(12-4) =91

ในการคำนวณค่าของนิพจน์ คุณมักจะต้องแปลงนิพจน์นั้น โดยเฉพาะอย่างยิ่งถ้านิพจน์ประกอบด้วยการดำเนินการและวงเล็บจำนวนมาก

การแปลงนิพจน์คือการแทนที่นิพจน์ที่กำหนดด้วยนิพจน์อื่นที่มีค่าเท่ากับค่าของนิพจน์ที่กำหนด การแปลงนิพจน์จะดำเนินการตามคุณสมบัติของการดำเนินการทางคณิตศาสตร์และผลที่ตามมา (กฎ: วิธีเพิ่มผลรวมให้กับตัวเลข, วิธีลบตัวเลขจากผลรวม, วิธีคูณตัวเลขด้วยผลคูณ ฯลฯ .) เมื่อศึกษากฎแต่ละข้อ นักเรียนจะมั่นใจว่าในสำนวนบางประเภทพวกเขาสามารถดำเนินการได้หลายวิธี แต่ความหมายของสำนวนจะไม่เปลี่ยนแปลง

และ ใช้ เครื่องหมายตัวเลขเมื่อสอนคณิตศาสตร์

การรวมกลุ่ม - มีการใช้แท่งหลายสิบแท่งและแท่งแต่ละแท่งเพื่อแสดงรูปแบบและองค์ประกอบทศนิยมของตัวเลขสองหลัก เพื่อจุดประสงค์เดียวกัน คุณสามารถใช้แถบที่มีวงกลมหรือสามเหลี่ยมเพื่อแสดงภาพประกอบหลายสิบ (10 แถบจาก 10 หลัก) และแถบ (แถบที่มี 1, 2, ..., 9 หลัก) บางครั้ง แทนที่จะเป็นแถบ บัตรสี่เหลี่ยมที่แสดงตัวเลข (จุด) ถูกนำมาใช้เพื่อแสดงหน่วย และการ์ดสามเหลี่ยมที่แสดงจำนวนสิบ

พิจารณาตัวเลขที่ได้จากการนับสิบและหนึ่ง ประการแรก คุณสามารถหันไปหาสถานการณ์ในชีวิตของคุณได้ คุณสามารถแนะนำแบบจำลองสิบและหนึ่งในรูปแบบของสามเหลี่ยมและจุดแต่ละจุดได้ จากนั้นพวกเขาจะแสดงสามเหลี่ยมที่เต็มไปด้วยจุด (วงกลม) ตาม "กฎ" เดียวกันซึ่งจะแสดงถึงสิบ ในบทเรียนนี้ คู่มือนี้สามารถใช้เป็นการสาธิตได้: เด็กๆ ตั้งชื่อตัวเลขซึ่งระบุด้วยรูปสามเหลี่ยมและจุดแต่ละจุด หรือให้เด็กๆ ตั้งชื่อตัวเลขด้วยตนเองโดยใช้คู่มือเล่มนี้ ในอนาคต เมื่อการใช้งานจริงโดยใช้แท่งไม้เป็นมัดๆ เป็นเรื่องยาก การวาดรูปสามเหลี่ยมและจุดแต่ละจุดจะช่วยให้เด็กๆ เข้าใจองค์ประกอบทศนิยมของตัวเลขได้ดี ในขณะที่รูปสามเหลี่ยมจะไม่เต็มไปด้วยจุดอีกต่อไป โดยยอมรับว่ารูปสามเหลี่ยมที่วาดนั้น ในเซลล์เดียวระบุสิบ และจุดทางด้านขวาของ มีเพียงไม่กี่จุดเท่านั้น ด้วยวิธีนี้ เด็ก ๆ จึงสามารถวาดภาพลงในสมุดบันทึกได้อย่างง่ายดาย:

ในแต่ละบทเรียนจะเน้นไปที่การศึกษาเรื่องการนับเลข อยู่ระหว่างดำเนินการเกินงาน ก่อนอื่นพวกเขาตัดสินใจ งานง่ายๆ- ปัญหาเหล่านี้คือปัญหาในการหาผลรวมและเศษ การบวกและลดจำนวนหลายหน่วย สำหรับการเปรียบเทียบผลต่าง

สถานที่สำคัญในบทเรียนในชั้นประถมศึกษาปีที่ 1-3 นั้นถูกครอบครองโดยการเรียงพิมพ์ผืนผ้าใบที่มีการออกแบบต่างๆ ที่ทำจากกระดาษแข็ง ไม้อัด และผ้า รูปที่ 4 แสดงพื้นที่สาธิตการเรียงพิมพ์ และรูปที่ 5 แสดงพื้นที่เดี่ยว

2. นิพจน์ทางคณิตศาสตร์และความหมายของมัน

3. การแก้ปัญหาโดยการสร้างสมการ

พีชคณิตแทนที่ค่าตัวเลขของลักษณะเชิงปริมาณของชุดหรือปริมาณด้วยสัญลักษณ์ตัวอักษร โดยทั่วไปแล้ว พีชคณิตยังแทนที่สัญลักษณ์ของการดำเนินการเฉพาะ (การบวก การคูณ ฯลฯ) ด้วยสัญลักษณ์ทั่วไปของการดำเนินการเกี่ยวกับพีชคณิต และไม่ได้พิจารณาถึงผลลัพธ์เฉพาะของการดำเนินการเหล่านี้ (คำตอบ) แต่เป็นคุณสมบัติของพวกมัน

ในทางระเบียบวิธีเชื่อกันว่าบทบาทหลักขององค์ประกอบพีชคณิตในรายวิชา ชั้นเรียนประถมศึกษาจุดประสงค์ของคณิตศาสตร์คือเพื่อสนับสนุนการก่อตัวของความคิดทั่วไปของเด็กเกี่ยวกับแนวคิดเรื่อง "ปริมาณ" และความหมายของการดำเนินการทางคณิตศาสตร์

วันนี้มีแนวโน้มที่ตรงกันข้ามกันสองประการในการกำหนดปริมาณเนื้อหาของเนื้อหาเกี่ยวกับพีชคณิตในหลักสูตรคณิตศาสตร์ โรงเรียนประถมศึกษา- แนวโน้มหนึ่งเกี่ยวข้องกับการพีชคณิตเบื้องต้นของหลักสูตรคณิตศาสตร์ระดับประถมศึกษาโดยมีความอิ่มตัวของเนื้อหาเกี่ยวกับพีชคณิตตั้งแต่ชั้นประถมศึกษาปีที่ 1 แล้ว แนวโน้มอีกประการหนึ่งเกี่ยวข้องกับการนำเนื้อหาเกี่ยวกับพีชคณิตเข้าสู่หลักสูตรคณิตศาสตร์สำหรับโรงเรียนประถมศึกษาในขั้นตอนสุดท้ายเมื่อจบชั้นประถมศึกษาปีที่ 4 ตัวแทนของเทรนด์แรกถือได้ว่าเป็นผู้เขียนตำราทางเลือกของระบบ L.V. Zankova (I.I. Arginskaya) ระบบ V.V. Davydov (E.N. Aleksandrova, G.G. Mikulina ฯลฯ ), ระบบ "School 2100" (L.G. Peterson), ระบบ "School of the ศตวรรษที่ 21" (V.N. Rudnitskaya) ผู้เขียนตำราทางเลือกของระบบ "Harmony", N.B. ถือได้ว่าเป็นตัวแทนของเทรนด์ที่สอง ไอสโตมิน.

หนังสือเรียนของโรงเรียนแบบดั้งเดิมถือได้ว่าเป็นตัวแทนของมุมมอง "ระดับกลาง" - มีเนื้อหาเกี่ยวกับพีชคณิตค่อนข้างมากเนื่องจากมุ่งเน้นไปที่การใช้หนังสือเรียนคณิตศาสตร์ของ N.Ya Vilenkina ในชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 5-6 แต่แนะนำให้เด็ก ๆ รู้จักแนวคิดเกี่ยวกับพีชคณิตโดยเริ่มจากชั้นประถมศึกษาปีที่ 2 โดยเผยแพร่เนื้อหาเป็นเวลาสามปีและในช่วง 20 ปีที่ผ่านมาไม่ได้ขยายรายการแนวคิดเกี่ยวกับพีชคณิตเลย

เนื้อหาการศึกษาขั้นต่ำบังคับในวิชาคณิตศาสตร์สำหรับชั้นประถมศึกษา (ฉบับล่าสุด พ.ศ. 2544) ไม่มีเนื้อหาเกี่ยวกับพีชคณิต พวกเขาไม่ได้กล่าวถึงความสามารถของผู้สำเร็จการศึกษาระดับประถมศึกษาในการทำงานกับแนวคิดเกี่ยวกับพีชคณิตและข้อกำหนดสำหรับระดับการเตรียมตัวเมื่อสำเร็จการศึกษาระดับประถมศึกษา

1. นิพจน์ทางคณิตศาสตร์และความหมายของมัน

ลำดับของตัวอักษรและตัวเลขที่เชื่อมต่อกันด้วยสัญลักษณ์การกระทำเรียกว่านิพจน์ทางคณิตศาสตร์

จำเป็นต้องแยกแยะนิพจน์ทางคณิตศาสตร์ออกจากความเสมอภาคและอสมการซึ่งใช้เครื่องหมายเท่ากับและอสมการในการเขียน

ตัวอย่างเช่น:

3 + 2 - นิพจน์ทางคณิตศาสตร์

7 - 5; 5 6 - 20; 64: 8 + 2 - นิพจน์ทางคณิตศาสตร์

ก + ข; 7 - วิ; 23 - และ 4 - นิพจน์ทางคณิตศาสตร์

สัญกรณ์เช่น 3 + 4 = 7 ไม่ใช่นิพจน์ทางคณิตศาสตร์ แต่เป็นความเท่าเทียมกัน

ประเภทบันทึก 5< 6 или 3 + а >7 - ไม่ใช่นิพจน์ทางคณิตศาสตร์ แต่เป็นความไม่เท่าเทียมกัน

นิพจน์ตัวเลข

นิพจน์ทางคณิตศาสตร์ที่มีเฉพาะตัวเลขและเครื่องหมายการกระทำเรียกว่านิพจน์ตัวเลข

ในชั้นประถมศึกษาปีที่ 1 หนังสือเรียนที่เป็นปัญหาไม่ได้ใช้แนวคิดเหล่านี้ เด็กๆ จะได้รู้จักนิพจน์ตัวเลขที่ชัดเจน (พร้อมชื่อ) ในชั้นประถมศึกษาปีที่ 2

นิพจน์ตัวเลขที่ง่ายที่สุดมีเพียงเครื่องหมายบวกและลบเท่านั้น เช่น 30 - 5 + 7; 45 + 3; 8 - 2 - 1 เป็นต้น เมื่อทำตามขั้นตอนข้างต้นแล้ว เราจะได้ค่าของนิพจน์ ตัวอย่างเช่น: 30 - 5 + 7 = 32 โดยที่ 32 คือค่าของนิพจน์

สำนวนบางคำที่เด็กเรียนรู้ในหลักสูตรคณิตศาสตร์ระดับประถมศึกษามีชื่อเป็นของตัวเอง: 4 + 5 - ผลรวม;

6 - 5 - ความแตกต่าง;

7 6 - สินค้า; 63: 7 - ความฉลาดทาง

นิพจน์เหล่านี้มีชื่อสำหรับแต่ละองค์ประกอบ: ส่วนประกอบของผลรวม - เพิ่ม; ส่วนประกอบของความแตกต่าง - minuend และ subtrahend; ส่วนประกอบของผลิตภัณฑ์เป็นปัจจัย องค์ประกอบของการหารคือเงินปันผลและตัวหาร ชื่อของค่าของนิพจน์เหล่านี้ตรงกับชื่อของนิพจน์ เช่น ค่าของจำนวนเงินเรียกว่า "ผลรวม" ความหมายของผลหารเรียกว่า "ผลหาร" เป็นต้น

นิพจน์ตัวเลขประเภทถัดไปคือนิพจน์ที่มีการดำเนินการขั้นแรก (การบวกและการลบ) และวงเล็บ เด็กๆ จะคุ้นเคยกับพวกเขาตั้งแต่ชั้นประถมศึกษาปีที่ 1 ที่เกี่ยวข้องกับนิพจน์ประเภทนี้คือกฎสำหรับลำดับการดำเนินการในนิพจน์ที่มีวงเล็บเหลี่ยม: การดำเนินการในวงเล็บจะดำเนินการก่อน

ตามมาด้วย นิพจน์ตัวเลขซึ่งมีการดำเนินการสองขั้นตอนโดยไม่มีวงเล็บ (บวก ลบ คูณ และหาร) ที่เกี่ยวข้องกับนิพจน์ประเภทนี้คือกฎสำหรับลำดับการดำเนินการในนิพจน์ที่มีการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ทั้งหมดโดยไม่มีวงเล็บ: การดำเนินการของการคูณและการหารจะดำเนินการก่อนการบวกและการลบ

นิพจน์ตัวเลขประเภทสุดท้ายคือนิพจน์ที่มีการดำเนินการสองขั้นตอนพร้อมวงเล็บ กฎที่เกี่ยวข้องกับนิพจน์ประเภทนี้คือกฎสำหรับลำดับการดำเนินการในนิพจน์ที่มีการดำเนินการทางคณิตศาสตร์และวงเล็บทั้งหมด โดยดำเนินการในวงเล็บก่อน จากนั้นจึงดำเนินการคูณและหาร จากนั้นจึงดำเนินการบวกและลบ

นิพจน์ตามตัวอักษร (หรือนิพจน์ตัวแปร) คือนิพจน์ทางคณิตศาสตร์ที่ประกอบด้วยตัวเลข ตัวอักษร และสัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์ ตัวอย่างเช่น นิพจน์ต่อไปนี้เป็นตัวอักษร:

ก+ข+4

การใช้นิพจน์ตัวอักษรทำให้คุณสามารถเขียนกฎ สูตร สมการ และฟังก์ชันได้ ความสามารถในการจัดการการแสดงออกของตัวอักษรเป็นกุญแจสำคัญในการมีความรู้ที่ดีเกี่ยวกับพีชคณิตและคณิตศาสตร์ขั้นสูง

ปัญหาร้ายแรงใดๆ ในคณิตศาสตร์อยู่ที่การแก้สมการ และเพื่อที่จะแก้สมการได้ คุณต้องสามารถทำงานกับนิพจน์ตามตัวอักษรได้

ในการทำงานกับนิพจน์ตามตัวอักษร คุณต้องเชี่ยวชาญคณิตศาสตร์พื้นฐานเป็นอย่างดี: การบวก การลบ การคูณ การหาร กฎพื้นฐานของคณิตศาสตร์ เศษส่วน การดำเนินการกับเศษส่วน สัดส่วน และไม่ใช่แค่ศึกษาแต่เข้าใจอย่างถ่องแท้

เนื้อหาบทเรียน

ตัวแปร

ตัวอักษรที่มีอยู่ในนิพจน์ตามตัวอักษรเรียกว่า ตัวแปร- เช่น ในนิพจน์ ก+ข+4ตัวแปรคือตัวอักษร กและ ข- หากคุณแทนตัวเลขใดๆ แทนตัวแปรเหล่านี้ จะเป็นนิพจน์ตามตัวอักษร ก+ข+4จะกลายเป็นนิพจน์ตัวเลขที่สามารถหาค่าได้

เรียกตัวเลขที่ใช้แทนตัวแปร ค่าของตัวแปร- ตัวอย่างเช่น เรามาเปลี่ยนค่าของตัวแปรกัน กและ ข- เครื่องหมายเท่ากับใช้ในการเปลี่ยนค่า

ก = 2, ข = 3

เราได้เปลี่ยนค่าของตัวแปรแล้ว กและ ข- ตัวแปร กกำหนดค่าแล้ว 2 , ตัวแปร ขกำหนดค่าแล้ว 3 - การแสดงออกตามตัวอักษรที่เกิดขึ้น ก+ข+4กลายเป็นนิพจน์ตัวเลขปกติ 2+3+4 ซึ่งสามารถหามูลค่าได้:

2 + 3 + 4 = 9

เมื่อคูณตัวแปรแล้ว ก็เขียนรวมกัน เช่น บันทึก เกี่ยวกับหมายถึงเหมือนกับรายการ มี×ข- ถ้าเราแทนค่าตัวแปร กและ ขตัวเลข 2 และ 3 แล้วเราจะได้ 6

2 × 3 = 6

คุณยังสามารถเขียนการคูณตัวเลขเข้าด้วยกันด้วยนิพจน์ในวงเล็บได้ ตัวอย่างเช่นแทนที่จะเป็น มี×(ข + ค)สามารถเขียนลงไปได้ ก(ข + ค)- เราได้รับกฎการกระจายของการคูณ ก(ข + ค)=ab+เอซี.

ราคาต่อรอง

ในนิพจน์ตามตัวอักษร คุณมักจะพบสัญลักษณ์ที่ใช้เขียนตัวเลขและตัวแปรเข้าด้วยกัน เป็นต้น 3ก- นี่เป็นการจดชวเลขสำหรับการคูณเลข 3 ด้วยตัวแปร กและรายการนี้ดูเหมือนว่า 3×ก .

กล่าวอีกนัยหนึ่งคือการแสดงออก 3กคือผลคูณของเลข 3 และตัวแปร ก- ตัวเลข 3 ในงานนี้พวกเขาเรียกว่า ค่าสัมประสิทธิ์- ค่าสัมประสิทธิ์นี้แสดงจำนวนครั้งที่ตัวแปรจะเพิ่มขึ้น ก- สำนวนนี้สามารถอ่านได้ว่า " กสามครั้ง" หรือ "สามครั้ง ก" หรือ "เพิ่มค่าของตัวแปร กสามครั้ง" แต่ส่วนใหญ่มักอ่านว่า "สามครั้ง ก«

เช่น ถ้าเป็นตัวแปร กเท่ากับ 5 แล้วตามด้วยค่าของนิพจน์ 3กจะเท่ากับ 15

3 × 5 = 15

การพูด ในภาษาง่ายๆโดยค่าสัมประสิทธิ์คือตัวเลขที่อยู่หน้าตัวอักษร (ก่อนตัวแปร)

สามารถมีได้หลายตัวอักษรเช่น 5เอบีซี- ที่นี่ค่าสัมประสิทธิ์คือตัวเลข 5 - ค่าสัมประสิทธิ์นี้แสดงว่าผลคูณของตัวแปร เอบีซีเพิ่มขึ้นห้าเท่า สำนวนนี้สามารถอ่านได้ว่า " เอบีซีห้าครั้ง" หรือ "เพิ่มมูลค่าของนิพจน์ เอบีซีห้าครั้ง" หรือ "ห้าครั้ง" เอบีซี«.

ถ้าแทนที่จะเป็นตัวแปร เอบีซีแทนที่ตัวเลข 2, 3 และ 4 จากนั้นแทนค่าของนิพจน์ 5เอบีซีจะเท่ากัน 120

5 × 2 × 3 × 4 = 120

คุณสามารถจินตนาการได้ว่าตัวเลข 2, 3 และ 4 ถูกคูณครั้งแรกอย่างไรและค่าผลลัพธ์เพิ่มขึ้นห้าเท่า:

เครื่องหมายของสัมประสิทธิ์หมายถึงเฉพาะสัมประสิทธิ์เท่านั้นและไม่สามารถใช้กับตัวแปรได้

พิจารณาการแสดงออก −6b- ลบก่อนสัมประสิทธิ์ 6 ใช้กับสัมประสิทธิ์เท่านั้น 6 และไม่ได้อยู่ในตัวแปร ข- การทำความเข้าใจข้อเท็จจริงนี้จะช่วยให้คุณไม่ทำผิดพลาดในอนาคตพร้อมกับสัญญาณ

มาหาค่าของนิพจน์กัน −6bที่ ข = 3.

−6b −6×ข- เพื่อความชัดเจน ให้เราเขียนนิพจน์กัน −6bในรูปแบบขยายและทดแทนค่าของตัวแปร ข

−6b = −6 × b = −6 × 3 = −18

ตัวอย่างที่ 2ค้นหาค่าของนิพจน์ −6bที่ ข = −5

ลองเขียนนิพจน์ลงไป −6bในรูปแบบขยาย

−6b = −6 × b = −6 × (−5) = 30

ตัวอย่างที่ 3ค้นหาค่าของนิพจน์ −5a+bที่ ก = 3และ ข = 2

−5a+bนี่เป็นแบบฟอร์มสั้นๆ สำหรับ −5 × ก + ขดังนั้นเพื่อความชัดเจนเราจึงเขียนนิพจน์ −5×ก+ขในรูปแบบขยายและทดแทนค่าของตัวแปร กและ ข

−5a + b = −5 × a + b = −5 × 3 + 2 = −15 + 2 = −13

บางครั้งตัวอักษรก็เขียนโดยไม่มีค่าสัมประสิทธิ์เป็นต้น กหรือ เกี่ยวกับ- ในกรณีนี้ ค่าสัมประสิทธิ์คือความสามัคคี:

แต่ตามเนื้อผ้าแล้วหน่วยนี้ไม่ได้เขียนไว้ ดังนั้นพวกเขาจึงเขียนเพียงอย่างเดียว กหรือ เกี่ยวกับ

หากมีเครื่องหมายลบหน้าตัวอักษร แสดงว่าสัมประสิทธิ์เป็นตัวเลข −1 - ตัวอย่างเช่น การแสดงออก −กจริงๆ แล้วดูเหมือน −1a- นี่คือผลคูณของลบหนึ่งกับตัวแปร ก.มันกลับกลายเป็นเช่นนี้:

−1 × ก = −1a

มีการจับเล็กน้อยที่นี่ ในการแสดงออก −กเครื่องหมายลบหน้าตัวแปร กจริงๆ แล้วหมายถึง "หน่วยที่มองไม่เห็น" มากกว่าตัวแปร ก- ดังนั้นคุณควรระมัดระวังในการแก้ไขปัญหา

เช่น ถ้ากำหนดให้เป็นนิพจน์ −กและขอให้เราค้นหาคุณค่าของมันที่ ก = 2จากนั้นที่โรงเรียน เราก็เปลี่ยนสองตัวแทนตัวแปร กและได้รับคำตอบ −2 โดยไม่ได้เน้นไปที่ผลลัพธ์มากนัก ที่จริง ลบ 1 คูณด้วยจำนวนบวก 2

−a = −1 ×ก

−1 × a = −1 × 2 = −2

หากให้แสดงออกมา −กและคุณต้องค้นหามูลค่าของมันที่ ก = −2แล้วเราก็ทดแทน −2 แทนที่จะเป็นตัวแปร ก

−a = −1 ×ก

−1 × a = −1 × (−2) = 2

เพื่อหลีกเลี่ยงข้อผิดพลาด ในตอนแรกสามารถเขียนหน่วยที่มองไม่เห็นได้อย่างชัดเจน

ตัวอย่างที่ 4ค้นหาค่าของนิพจน์ เอบีซีที่ ก=2 , ข=3และ ค=4

การแสดงออก เอบีซี 1×ก×ข×คเพื่อความชัดเจน ให้เราเขียนนิพจน์กัน เอบีซี ก, ขและ ค

1 × a × b × c = 1 × 2 × 3 × 4 = 24

ตัวอย่างที่ 5ค้นหาค่าของนิพจน์ เอบีซีที่ ก=−2 , ข=−3และ ค=−4

ลองเขียนนิพจน์ลงไป เอบีซีในรูปแบบขยายและทดแทนค่าของตัวแปร ก, ขและ ค

1 × a × b × c = 1 × (−2) × (−3) × (−4) = −24

ตัวอย่างที่ 6ค้นหาค่าของนิพจน์ − เอบีซีที่ ก=3 , b=5 และ ค=7

การแสดงออก − เอบีซีนี่เป็นแบบฟอร์มสั้นๆ สำหรับ −1×ก×ข×คเพื่อความชัดเจน ให้เราเขียนนิพจน์กัน − เอบีซีในรูปแบบขยายและทดแทนค่าของตัวแปร ก, ขและ ค

−abc = −1 × a × b × c = −1 × 3 × 5 × 7 = −105

ตัวอย่างที่ 7ค้นหาค่าของนิพจน์ − เอบีซีที่ a=−2 , b=−4 และ c=−3

ลองเขียนนิพจน์ลงไป − เอบีซีในรูปแบบขยาย:

−abc = −1 × a × b × c

ลองแทนค่าของตัวแปรกัน ก , ขและ ค

−abc = −1 × a × b × c = −1 × (−2) × (−4) × (−3) = 24

วิธีกำหนดค่าสัมประสิทธิ์

บางครั้งคุณจำเป็นต้องแก้ปัญหาโดยต้องกำหนดค่าสัมประสิทธิ์ของนิพจน์ โดยหลักการแล้ว งานนี้ง่ายมาก การคูณตัวเลขให้ถูกต้องก็เพียงพอแล้ว

ในการหาค่าสัมประสิทธิ์ในนิพจน์ คุณต้องแยกตัวเลขที่อยู่ในนิพจน์นี้ออกจากกัน และคูณตัวอักษรแยกกัน ตัวประกอบตัวเลขที่ได้จะเป็นค่าสัมประสิทธิ์

ตัวอย่างที่ 1 7m×5a×(−3)×n

การแสดงออกประกอบด้วยหลายปัจจัย สิ่งนี้สามารถเห็นได้ชัดเจนหากคุณเขียนนิพจน์ในรูปแบบขยาย นั่นก็คือผลงาน 7มและ 5กเขียนมันลงในแบบฟอร์ม 7×มและ 5×ก

7 × ม. × 5 × ก × (−3) × n

ลองใช้กฎการเชื่อมโยงของการคูณ ซึ่งช่วยให้คุณคูณตัวประกอบในลำดับใดก็ได้ กล่าวคือเราจะแยกตัวเลขคูณและคูณตัวอักษร (ตัวแปร):

−3 × 7 × 5 × ม × a × n = −105 คน

ค่าสัมประสิทธิ์คือ −105 - หลังจากเสร็จสิ้น ขอแนะนำให้จัดเรียงส่วนของตัวอักษรตามลำดับตัวอักษร:

−105 น

ตัวอย่างที่ 2กำหนดค่าสัมประสิทธิ์ในนิพจน์: −a×(−3)×2

−a × (−3) × 2 = −3 × 2 × (−a) = −6 × (−a) = 6a

ค่าสัมประสิทธิ์คือ 6

ตัวอย่างที่ 3กำหนดค่าสัมประสิทธิ์ในนิพจน์:

มาคูณตัวเลขและตัวอักษรแยกกัน:

ค่าสัมประสิทธิ์คือ −1 โปรดทราบว่าหน่วยไม่ได้ถูกเขียนลง เนื่องจากเป็นธรรมเนียมที่จะไม่เขียนค่าสัมประสิทธิ์ 1

งานที่ดูเรียบง่ายที่สุดเหล่านี้สามารถเล่นตลกกับเราได้ บ่อยครั้งปรากฎว่าสัญลักษณ์ของสัมประสิทธิ์ถูกตั้งค่าไม่ถูกต้อง: เครื่องหมายลบหายไปหรือในทางกลับกันมันถูกตั้งค่าไว้อย่างไร้ประโยชน์ เพื่อหลีกเลี่ยงข้อผิดพลาดที่น่ารำคาญนี้จะต้องศึกษาในระดับดี

เติมในนิพจน์ตามตัวอักษร

เมื่อบวกหลายจำนวนจะได้ผลรวมของตัวเลขเหล่านี้ ตัวเลขที่บวกเรียกว่าบวก อาจมีได้หลายคำ เช่น

1 + 2 + 3 + 4 + 5

เมื่อนิพจน์ประกอบด้วยคำศัพท์ จะประเมินได้ง่ายกว่ามากเนื่องจากการบวกง่ายกว่าการลบ แต่นิพจน์สามารถมีได้ไม่เพียงแต่การบวกเท่านั้น แต่ยังสามารถลบออกได้อีกด้วย เช่น:

1 + 2 − 3 + 4 − 5

ในนิพจน์นี้ ตัวเลข 3 และ 5 เป็นส่วนย่อย ไม่ใช่การบวก แต่ไม่มีอะไรขัดขวางเราจากการแทนที่การลบด้วยการบวก จากนั้นเราจะได้นิพจน์ที่ประกอบด้วยคำศัพท์อีกครั้ง:

1 + 2 + (−3) + 4 + (−5)

ไม่สำคัญว่าตอนนี้ตัวเลข −3 และ −5 จะมีเครื่องหมายลบแล้ว สิ่งสำคัญคือตัวเลขทั้งหมดในนิพจน์นี้เชื่อมต่อกันด้วยเครื่องหมายบวก นั่นคือนิพจน์คือผลรวม

ทั้งการแสดงออก 1 + 2 − 3 + 4 − 5 และ 1 + 2 + (−3) + 4 + (−5) เท่ากับค่าเดียวกัน - ลบหนึ่ง

1 + 2 − 3 + 4 − 5 = −1

1 + 2 + (−3) + 4 + (−5) = −1

ดังนั้นความหมายของสำนวนจะไม่ได้รับผลกระทบหากเราแทนที่การลบด้วยการบวกที่ไหนสักแห่ง

คุณยังสามารถแทนที่การลบด้วยการบวกในนิพจน์ตามตัวอักษรได้อีกด้วย ตัวอย่างเช่น พิจารณานิพจน์ต่อไปนี้:

7a + 6b − 3c + 2d − 4s

7a + 6b + (−3c) + 2d + (−4s)

สำหรับค่าตัวแปรใดๆ ก, ข, ค, งและ สการแสดงออก 7a + 6b − 3c + 2d − 4s และ 7a + 6b + (−3c) + 2d + (−4s) จะเท่ากับค่าเดียวกัน

คุณต้องเตรียมพร้อมสำหรับความจริงที่ว่าครูที่โรงเรียนหรือครูในสถาบันอาจเรียกเลขคู่ (หรือตัวแปร) ที่ไม่ได้บวก

เช่น ถ้าเขียนความแตกต่างไว้บนกระดาน ก - ขแล้วอาจารย์จะไม่พูดอย่างนั้น กเป็นข้อเสียและ ข- ลบได้ เขาจะเรียกตัวแปรทั้งสองด้วยคำเดียวทั่วไป - เงื่อนไข- และทั้งหมดเป็นเพราะการแสดงออกถึงรูปแบบ ก - ขนักคณิตศาสตร์เห็นว่าผลรวมเป็นอย่างไร ก+(−ข)- ในกรณีนี้ นิพจน์จะกลายเป็นผลรวมและเป็นตัวแปร กและ (-ข)กลายเป็นเงื่อนไข

เงื่อนไขที่คล้ายกัน

เงื่อนไขที่คล้ายกัน- เป็นคำศัพท์ที่มีส่วนตัวอักษรเหมือนกัน ตัวอย่างเช่น พิจารณานิพจน์ 7a + 6b + 2a- ส่วนประกอบ 7กและ 2กมีส่วนตัวอักษรเหมือนกัน - ตัวแปร ก- ดังนั้นเงื่อนไข 7กและ 2กมีความคล้ายคลึงกัน

โดยทั่วไปแล้ว คำที่คล้ายกันจะถูกเพิ่มเพื่อทำให้นิพจน์หรือแก้สมการง่ายขึ้น การดำเนินการนี้เรียกว่า นำเงื่อนไขที่คล้ายกัน.

หากต้องการนำคำที่คล้ายกันมา คุณต้องเพิ่มค่าสัมประสิทธิ์ของคำศัพท์เหล่านี้ และคูณผลลัพธ์ที่ได้ด้วยส่วนของตัวอักษรทั่วไป

ตัวอย่างเช่น ขอให้เรานำเสนอคำที่คล้ายกันในนิพจน์ 3a + 4a + 5a- ในกรณีนี้ข้อกำหนดทั้งหมดจะคล้ายกัน มาบวกค่าสัมประสิทธิ์แล้วคูณผลลัพธ์ด้วยส่วนตัวอักษรทั่วไป - ด้วยตัวแปร ก

3a + 4a + 5a = (3 + 4 + 5)×a = 12a

คำศัพท์ดังกล่าวมักจะถูกนำมานึกถึงและผลลัพธ์จะถูกเขียนลงในทันที:

3a + 4a + 5a = 12a

นอกจากนี้ เรายังสามารถให้เหตุผลดังต่อไปนี้:

มีตัวแปร a 3 ตัว มีตัวแปร a อีก 4 ตัว และ a เพิ่มตัวแปรอีก 5 ตัว เป็นผลให้เราได้ตัวแปร a 12 ตัว

ลองดูตัวอย่างการนำคำที่คล้ายกันมาใช้ เมื่อพิจารณาแล้วว่า หัวข้อนี้เป็นสิ่งสำคัญมาก ในตอนแรก เราจะเขียนรายละเอียดเล็กๆ น้อยๆ ลงรายละเอียดทั้งหมด แม้ว่าทุกอย่างจะง่ายมากที่นี่ แต่คนส่วนใหญ่ก็ทำผิดพลาดมากมาย สาเหตุหลักมาจากการไม่ตั้งใจ ไม่ใช่ความไม่รู้

ตัวอย่างที่ 1 3a + 2a + 6a + 8ก

มาบวกค่าสัมประสิทธิ์ในนิพจน์นี้แล้วคูณผลลัพธ์ผลลัพธ์ด้วยส่วนตัวอักษรทั่วไป:

3a + 2a + 6a + 8a = (3 + 2 + 6 + 8) × a = 19a

ออกแบบ (3 + 2 + 6 + 8)×กคุณไม่จำเป็นต้องจดไว้ เราจะเขียนคำตอบทันที

3a + 2a + 6a + 8a = 19a

ตัวอย่างที่ 2ให้คำที่คล้ายกันในนิพจน์ 2เอ+เอ

ระยะที่สอง กเขียนโดยไม่มีสัมประสิทธิ์ แต่จริงๆ แล้วมีสัมประสิทธิ์อยู่ข้างหน้า 1 ซึ่งเราไม่เห็นเพราะไม่ได้บันทึกไว้ ดังนั้นนิพจน์จึงมีลักษณะดังนี้:

2เอ + 1เอ

ทีนี้มานำเสนอคำศัพท์ที่คล้ายกันกัน นั่นคือเราบวกค่าสัมประสิทธิ์และคูณผลลัพธ์ด้วยส่วนตัวอักษรทั่วไป:

2a + 1a = (2 + 1) × a = 3a

มาเขียนวิธีแก้ปัญหาสั้นๆ กัน:

2a + ก = 3a

2เอ+เอคุณสามารถคิดแตกต่างออกไปได้:

ตัวอย่างที่ 3ให้คำที่คล้ายกันในนิพจน์ 2a−ก

ลองแทนที่การลบด้วยการบวก:

2a + (-ก)

ระยะที่สอง (-ก)เขียนโดยไม่มีสัมประสิทธิ์ แต่ในความเป็นจริงมันดูเหมือน (−1a)ค่าสัมประสิทธิ์ −1 มองไม่เห็นอีกครั้งเนื่องจากไม่ได้บันทึกไว้ ดังนั้นนิพจน์จึงมีลักษณะดังนี้:

2a + (−1a)

ทีนี้มานำเสนอคำศัพท์ที่คล้ายกันกัน เพิ่มค่าสัมประสิทธิ์และคูณผลลัพธ์ด้วยส่วนตัวอักษรทั้งหมด:

2a + (−1a) = (2 + (−1)) × a = 1a = a

มักจะเขียนสั้นกว่า:

2a - ก = ก

การให้คำที่คล้ายกันในนิพจน์ 2a−กคุณสามารถคิดแตกต่าง:

มีตัวแปร a อยู่ 2 ตัว ลบตัวแปร a ตัวเดียว สุดท้ายก็เหลือตัวแปรตัวเดียว

ตัวอย่างที่ 4ให้คำที่คล้ายกันในนิพจน์ 6a - 3a + 4a - 8a

6a − 3a + 4a − 8a = 6a + (−3a) + 4a + (−8a)

ทีนี้มานำเสนอคำศัพท์ที่คล้ายกันกัน มาบวกค่าสัมประสิทธิ์แล้วคูณผลลัพธ์ด้วยส่วนตัวอักษรทั้งหมด

(6 + (−3) + 4 + (−8)) × a = −1a = −a

มาเขียนวิธีแก้ปัญหาสั้นๆ กัน:

6a − 3a + 4a − 8a = −a

มีสำนวนที่มีกลุ่มคำที่คล้ายกันหลายกลุ่ม ตัวอย่างเช่น, 3a + 3b + 7a + 2b- สำหรับนิพจน์ดังกล่าว จะใช้กฎเดียวกันกับกฎอื่นๆ กล่าวคือ การบวกค่าสัมประสิทธิ์และการคูณผลลัพธ์ด้วยส่วนตัวอักษรทั่วไป แต่เพื่อหลีกเลี่ยงข้อผิดพลาดก็สะดวก กลุ่มต่างๆคำศัพท์จะถูกเน้นด้วยบรรทัดที่แตกต่างกัน

เช่น ในนิพจน์ 3a + 3b + 7a + 2bเงื่อนไขเหล่านั้นที่มีตัวแปร กสามารถขีดเส้นใต้ด้วยบรรทัดเดียวและคำเหล่านั้นที่มีตัวแปร ขสามารถเน้นได้สองบรรทัด:

ตอนนี้เราสามารถนำเสนอคำศัพท์ที่คล้ายกันได้ นั่นคือเพิ่มค่าสัมประสิทธิ์และคูณผลลัพธ์ที่ได้ด้วยส่วนตัวอักษรทั้งหมด ซึ่งจะต้องทำสำหรับทั้งสองกลุ่มของเงื่อนไข: สำหรับเงื่อนไขที่มีตัวแปร กและสำหรับเงื่อนไขที่มีตัวแปร ข.

3a + 3b + 7a + 2b = (3+7)×a + (3 + 2)×b = 10a + 5b

เราขอย้ำอีกครั้งว่าสำนวนนั้นเรียบง่าย และสามารถระบุคำที่คล้ายกันได้:

3a + 3b + 7a + 2b = 10a + 5b

ตัวอย่างที่ 5ให้คำที่คล้ายกันในนิพจน์ 5a − 6a −7b + b

ลองแทนที่การลบด้วยการบวกหากเป็นไปได้:

5a − 6a −7b + b = 5a + (−6a) + (−7b) + b

ให้เราขีดเส้นใต้คำศัพท์ที่คล้ายกันด้วยบรรทัดที่ต่างกัน คำศัพท์ที่มีตัวแปร กเราขีดเส้นใต้ด้วยบรรทัดเดียว และเงื่อนไขคือเนื้อหาของตัวแปร ขขีดเส้นใต้ด้วยสองบรรทัด:

ตอนนี้เราสามารถนำเสนอคำศัพท์ที่คล้ายกันได้ นั่นคือเพิ่มค่าสัมประสิทธิ์และคูณผลลัพธ์ที่ได้ด้วยส่วนตัวอักษรทั่วไป:

5a + (−6a) + (−7b) + b = (5 + (−6))×a + ((−7) + 1)×b = −a + (−6b)

หากนิพจน์ประกอบด้วยตัวเลขธรรมดาที่ไม่มีตัวประกอบตัวอักษร ระบบจะบวกตัวเลขเหล่านั้นแยกกัน

ตัวอย่างที่ 6ให้คำที่คล้ายกันในนิพจน์ 4a + 3a - 5 + 2b + 7

ลองแทนที่การลบด้วยการบวกหากเป็นไปได้:

4a + 3a − 5 + 2b + 7 = 4a + 3a + (−5) + 2b + 7

ให้เรานำเสนอคำศัพท์ที่คล้ายกัน ตัวเลข −5 และ 7 ไม่มีตัวประกอบตัวอักษร แต่เป็นคำที่คล้ายกัน - เพียงแค่ต้องเพิ่มเท่านั้น และคำว่า 2bจะยังคงไม่เปลี่ยนแปลง เนื่องจากเป็นเพียงรายการเดียวในนิพจน์นี้ที่มีตัวประกอบตัวอักษร ขและไม่มีอะไรจะเพิ่มด้วย:

4a + 3a + (−5) + 2b + 7 = (4 + 3)×a + 2b + (−5) + 7 = 7a + 2b + 2

มาเขียนวิธีแก้ปัญหาสั้นๆ กัน:

4a + 3a - 5 + 2b + 7 = 7a + 2b + 2

สามารถเรียงลำดับเงื่อนไขเพื่อให้เงื่อนไขเหล่านั้นที่มีส่วนตัวอักษรเหมือนกันอยู่ในส่วนเดียวกันของนิพจน์

ตัวอย่างที่ 7ให้คำที่คล้ายกันในนิพจน์ 5t+2x+3x+5t+x

เนื่องจากนิพจน์เป็นผลรวมของคำศัพท์หลายคำ จึงทำให้เราสามารถประเมินได้ในลำดับใดก็ได้ ดังนั้นเงื่อนไขที่มีตัวแปร ทีสามารถเขียนได้ที่จุดเริ่มต้นของนิพจน์และเงื่อนไขที่มีตัวแปร xในตอนท้ายของการแสดงออก:

5t + 5t + 2x + 3x + x

ตอนนี้เราสามารถนำเสนอคำศัพท์ที่คล้ายกัน:

5t + 5t + 2x + 3x + x = (5+5)×t + (2+3+1)×x = 10t + 6x

มาเขียนวิธีแก้ปัญหาสั้นๆ กัน:

5t + 2x + 3x + 5t + x = 10t + 6x

ผลรวมของจำนวนตรงข้ามเป็นศูนย์ กฎนี้ยังใช้ได้กับนิพจน์ตามตัวอักษรด้วย หากนิพจน์มีคำศัพท์ที่เหมือนกัน แต่มีเครื่องหมายตรงกันข้าม คุณสามารถกำจัดคำเหล่านั้นได้ในขั้นตอนการลดคำศัพท์ที่คล้ายกัน กล่าวอีกนัยหนึ่ง เพียงแค่ตัดพวกมันออกจากนิพจน์ เนื่องจากผลรวมของพวกมันคือศูนย์

ตัวอย่างที่ 8ให้คำที่คล้ายกันในนิพจน์ 3t − 4t − 3t + 2t

ลองแทนที่การลบด้วยการบวกหากเป็นไปได้:

3t − 4t − 3t + 2t = 3t + (−4t) + (−3t) + 2t

ส่วนประกอบ 3ตและ (−3t)อยู่ตรงกันข้าม ผลรวมของพจน์ตรงข้ามเป็นศูนย์ หากเราลบศูนย์นี้ออกจากนิพจน์ ค่าของนิพจน์จะไม่เปลี่ยนแปลง ดังนั้นเราจะลบมันออก และเราจะลบออกโดยเพียงแค่ขีดฆ่าข้อกำหนดออก 3ตและ (−3t)

เป็นผลให้เราจะเหลือการแสดงออก (−4t) + 2t- ในนิพจน์นี้ คุณสามารถเพิ่มคำศัพท์ที่คล้ายกันและรับคำตอบสุดท้ายได้:

(−4t) + 2t = ((−4) + 2)×t = −2t

มาเขียนวิธีแก้ปัญหาสั้นๆ กัน:

ลดความซับซ้อนของนิพจน์

"ทำให้การแสดงออกง่ายขึ้น" และด้านล่างนี้คือนิพจน์ที่ต้องทำให้ง่ายขึ้น ลดความซับซ้อนของนิพจน์หมายถึงการทำให้ง่ายขึ้นและสั้นลง

อันที่จริง เราได้ทำให้นิพจน์ง่ายขึ้นแล้วเมื่อเราลดเศษส่วนลง หลังจากการลดลง เศษส่วนก็สั้นลงและเข้าใจง่ายขึ้น

ลองพิจารณาตัวอย่างต่อไปนี้ ลดความซับซ้อนของนิพจน์

งานนี้สามารถเข้าใจได้อย่างแท้จริงดังนี้: “ใช้การกระทำที่ถูกต้องกับนิพจน์นี้ แต่ทำให้ง่ายขึ้น” .

ในกรณีนี้ คุณสามารถลดเศษส่วนได้ กล่าวคือ หารทั้งเศษและส่วนของเศษส่วนด้วย 2:

คุณสามารถทำอะไรได้อีก? คุณสามารถคำนวณเศษส่วนผลลัพธ์ได้ จากนั้นเราจะได้เศษส่วนทศนิยม 0.5

เป็นผลให้เศษส่วนถูกทำให้ง่ายขึ้นเป็น 0.5

คำถามแรกที่คุณต้องถามตัวเองเมื่อแก้ไขปัญหาดังกล่าวควรเป็น “จะทำอะไรได้?” - เพราะมีการกระทำที่คุณสามารถทำได้และมีการกระทำที่คุณไม่สามารถทำได้

อื่น จุดสำคัญสิ่งที่ต้องจำก็คือ ค่าของนิพจน์ไม่ควรเปลี่ยนแปลงหลังจากทำให้นิพจน์ง่ายขึ้น ลองกลับไปที่การแสดงออก นิพจน์นี้แสดงถึงการหารที่สามารถทำได้ เมื่อดำเนินการหารนี้แล้ว เราจะได้ค่าของนิพจน์นี้ซึ่งเท่ากับ 0.5

แต่เราทำให้นิพจน์ง่ายขึ้นและได้รับนิพจน์ที่ทำให้ง่ายขึ้นใหม่ ค่าของนิพจน์แบบง่ายใหม่ยังคงเป็น 0.5

แต่เรายังพยายามจัดนิพจน์ให้ง่ายขึ้นโดยการคำนวณด้วย ส่งผลให้เราได้รับคำตอบสุดท้ายเป็น 0.5

ดังนั้น ไม่ว่าเราจะลดความซับซ้อนของนิพจน์อย่างไร ค่าของนิพจน์ผลลัพธ์จะยังคงเท่ากับ 0.5 ซึ่งหมายความว่ามีการดำเนินการลดความซับซ้อนอย่างถูกต้องในทุกขั้นตอน นี่คือสิ่งที่เราควรมุ่งมั่นเมื่อทำการแสดงออกให้ง่ายขึ้น - การกระทำของเราไม่ควรทนกับความหมายของการแสดงออก

มักจำเป็นต้องทำให้นิพจน์ตามตัวอักษรง่ายขึ้น กฎการทำให้เข้าใจง่ายเดียวกันนี้ใช้กับนิพจน์ตัวเลขด้วย คุณสามารถดำเนินการใดๆ ที่ถูกต้องได้ ตราบใดที่ค่าของนิพจน์ไม่เปลี่ยนแปลง

ลองดูตัวอย่างบางส่วน

ตัวอย่างที่ 1ลดความซับซ้อนของนิพจน์ 5.21 วินาที × เสื้อ × 2.5

เพื่อให้นิพจน์นี้ง่ายขึ้น คุณสามารถคูณตัวเลขแยกกันและคูณตัวอักษรแยกกัน งานนี้คล้ายกับงานที่เราดูเมื่อเราเรียนรู้ที่จะกำหนดค่าสัมประสิทธิ์:

5.21 วินาที × เสื้อ × 2.5 = 5.21 × 2.5 × ส × เสื้อ = 13.025 × เซนต์ = 13.025st

ดังนั้นการแสดงออก 5.21 วินาที × เสื้อ × 2.5ลดความซับซ้อนของ 13,025st.

ตัวอย่างที่ 2ลดความซับซ้อนของนิพจน์ −0.4 × (−6.3b) × 2

ชิ้นที่สอง (−6.3b)สามารถแปลออกมาเป็นรูปแบบที่เราเข้าใจได้คือเขียนในรูปแบบ ( −6,3)×ข ,จากนั้นคูณตัวเลขแยกกันและคูณตัวอักษรแยกกัน:

− 0,4 × (−6.3b) × 2 = − 0,4 × (−6.3) × b × 2 = 5.04b

ดังนั้นการแสดงออก −0.4 × (−6.3b) × 2 ลดความซับซ้อนของ 5.04ข

ตัวอย่างที่ 3ลดความซับซ้อนของนิพจน์

มาเขียนสำนวนนี้ให้ละเอียดยิ่งขึ้นเพื่อดูว่าตัวเลขอยู่ที่ไหนและตัวอักษรอยู่ที่ไหน:

ตอนนี้เรามาคูณตัวเลขแยกกันและคูณตัวอักษรแยกกัน:

ดังนั้นการแสดงออก ลดความซับซ้อนของ −เอบีซีวิธีแก้ปัญหานี้สามารถเขียนได้สั้น ๆ :

เมื่อลดความซับซ้อนของนิพจน์ เศษส่วนสามารถลดลงได้ในระหว่างกระบวนการแก้ปัญหา และไม่ใช่ในตอนท้ายสุดอย่างที่เราทำ เศษส่วนสามัญ- ตัวอย่างเช่นหากในระหว่างการแก้เราเจอนิพจน์ของแบบฟอร์ม ก็ไม่จำเป็นต้องคำนวณตัวเศษและตัวส่วนเลยและทำสิ่งนี้:

เศษส่วนสามารถลดลงได้โดยการเลือกตัวประกอบทั้งตัวเศษและตัวส่วน แล้วลดตัวประกอบเหล่านี้ด้วยตัวประกอบร่วมที่ยิ่งใหญ่ที่สุด กล่าวอีกนัยหนึ่ง ใช้โดยที่เราไม่ได้อธิบายโดยละเอียดว่าตัวเศษและส่วนถูกแบ่งออกเป็นอะไรบ้าง

ตัวอย่างเช่น ในตัวเศษ ตัวประกอบคือ 12 และในตัวส่วน ตัวประกอบ 4 สามารถลดลงได้ 4 เราจำสี่ไว้ในใจ และหาร 12 และ 4 ด้วยสี่นี้ เราจะเขียนคำตอบไว้ข้างตัวเลขเหล่านี้ โดยขีดฆ่าพวกเขาออกไปก่อน

ตอนนี้คุณสามารถคูณผลลัพธ์เล็กๆ น้อยๆ ได้แล้ว ในกรณีนี้ มีเพียงไม่กี่รายการและคุณสามารถคูณในใจได้:

เมื่อเวลาผ่านไปคุณอาจพบว่าเมื่อแก้ไขปัญหาเฉพาะสำนวนเริ่ม "อ้วน" ดังนั้นจึงแนะนำให้ทำความคุ้นเคยกับการคำนวณอย่างรวดเร็ว สิ่งที่คำนวณได้ในใจก็ต้องคำนวณในใจ อะไรที่ลดได้เร็วก็ต้องลดให้เร็ว

ตัวอย่างที่ 4ลดความซับซ้อนของนิพจน์

ดังนั้นการแสดงออก ลดความซับซ้อนของ

ตัวอย่างที่ 5ลดความซับซ้อนของนิพจน์

ลองคูณตัวเลขแยกกันและตัวอักษรแยกกัน:

ดังนั้นการแสดงออก ลดความซับซ้อนของ นาที

ตัวอย่างที่ 6ลดความซับซ้อนของนิพจน์

มาเขียนสำนวนนี้ให้ละเอียดยิ่งขึ้นเพื่อดูว่าตัวเลขอยู่ที่ไหนและตัวอักษรอยู่ที่ไหน:

ทีนี้มาคูณตัวเลขและตัวอักษรแยกกัน เพื่อความสะดวกในการคำนวณ เศษส่วนทศนิยม −6.4 และจำนวนคละสามารถแปลงเป็นเศษส่วนสามัญได้:

ดังนั้นการแสดงออก ลดความซับซ้อนของ

วิธีแก้ปัญหาสำหรับตัวอย่างนี้สามารถเขียนให้สั้นลงมาก มันจะมีลักษณะเช่นนี้:

ตัวอย่างที่ 7ลดความซับซ้อนของนิพจน์

มาคูณตัวเลขและตัวอักษรแยกกัน เพื่อความสะดวกในการคำนวณเลขคละและ ทศนิยม 0.1 และ 0.6 สามารถแปลงเป็นเศษส่วนสามัญได้:

ดังนั้นการแสดงออก ลดความซับซ้อนของ เอบีซีดี- หากคุณข้ามรายละเอียด วิธีนี้สามารถเขียนให้สั้นลงได้มาก:

สังเกตว่าเศษส่วนลดลงอย่างไร ปัจจัยใหม่ที่ได้รับจากการลดลงของปัจจัยก่อนหน้านี้ก็ได้รับอนุญาตให้ลดลงเช่นกัน

ตอนนี้เรามาพูดถึงสิ่งที่ไม่ควรทำ เมื่อทำให้นิพจน์ง่ายขึ้น ห้ามมิให้คูณตัวเลขและตัวอักษรโดยเด็ดขาดหากนิพจน์เป็นผลรวมไม่ใช่ผลคูณ

ตัวอย่างเช่น หากคุณต้องการทำให้นิพจน์ง่ายขึ้น 5a+4bคุณไม่สามารถเขียนแบบนี้ได้:

นี่ก็เหมือนกับว่าเราถูกขอให้บวกเลขสองตัวแล้วเราคูณมันแทนที่จะบวก

เมื่อแทนค่าตัวแปรใดๆ กและ ขการแสดงออก 5ก+4ขกลายเป็นนิพจน์ตัวเลขธรรมดา สมมติว่าตัวแปรต่างๆ กและ ขมีความหมายดังนี้

ก = 2, ข = 3

จากนั้นค่าของนิพจน์จะเท่ากับ 22

5a + 4b = 5 × 2 + 4 × 3 = 10 + 12 = 22

ขั้นแรก ให้ทำการคูณ จากนั้นจึงบวกผลลัพธ์ และถ้าเราพยายามทำให้นิพจน์นี้ง่ายขึ้นโดยการคูณตัวเลขและตัวอักษร เราจะได้ดังต่อไปนี้:

5a + 4b = 5 × 4 × a × b = 20ab

20ab = 20 × 2 × 3 = 120

มันกลับกลายเป็นความหมายที่แตกต่างไปจากเดิมอย่างสิ้นเชิง ในกรณีแรกมันได้ผล 22 ในกรณีที่สอง 120 - ซึ่งหมายความว่าทำให้การแสดงออกง่ายขึ้น 5a+4bถูกดำเนินการอย่างไม่ถูกต้อง

หลังจากทำให้นิพจน์ง่ายขึ้น ค่าของมันไม่ควรเปลี่ยนแปลงด้วยค่าเดียวกันของตัวแปร หากเมื่อแทนที่ค่าตัวแปรใด ๆ ลงในนิพจน์ดั้งเดิมจะได้รับค่าหนึ่งค่าจากนั้นหลังจากทำให้นิพจน์ง่ายขึ้นแล้วควรได้รับค่าเดียวกันกับก่อนที่จะทำให้ง่ายขึ้น

ด้วยการแสดงออก 5a+4bไม่มีอะไรที่คุณสามารถทำได้จริงๆ มันไม่ได้ทำให้มันง่ายขึ้น

หากนิพจน์มีคำศัพท์ที่คล้ายกัน ก็สามารถเพิ่มได้หากเป้าหมายของเราคือทำให้นิพจน์ง่ายขึ้น

ตัวอย่างที่ 8ลดความซับซ้อนของนิพจน์ 0.3a−0.4a+ก

0.3a − 0.4a + a = 0.3a + (−0.4a) + a = (0.3 + (−0.4) + 1)×a = 0.9a

หรือสั้นกว่า: 0.3a - 0.4a + ก = 0.9ก

ดังนั้นการแสดงออก 0.3a−0.4a+กลดความซับซ้อนของ 0.9ก

ตัวอย่างที่ 9ลดความซับซ้อนของนิพจน์ −7.5a - 2.5b + 4a

เพื่อให้นิพจน์นี้ง่ายขึ้น เราสามารถเพิ่มคำที่คล้ายกันได้:

−7.5a − 2.5b + 4a = −7.5a + (−2.5b) + 4a = ((−7.5) + 4)×a + (−2.5b) = −3.5a + (−2.5b)

หรือสั้นกว่า −7.5a − 2.5b + 4a = −3.5a + (−2.5b)

ภาคเรียน (−2.5b)ยังคงไม่เปลี่ยนแปลงเพราะไม่มีอะไรจะใส่

ตัวอย่างที่ 10ลดความซับซ้อนของนิพจน์

เพื่อให้นิพจน์นี้ง่ายขึ้น เราสามารถเพิ่มคำที่คล้ายกันได้:

ค่าสัมประสิทธิ์มีไว้เพื่อความสะดวกในการคำนวณ

ดังนั้นการแสดงออก ลดความซับซ้อนของ

ตัวอย่างที่ 11ลดความซับซ้อนของนิพจน์

เพื่อให้นิพจน์นี้ง่ายขึ้น เราสามารถเพิ่มคำที่คล้ายกันได้:

ดังนั้นการแสดงออก ย่อเป็น .

ในตัวอย่างนี้ การเพิ่มค่าสัมประสิทธิ์ตัวแรกและตัวสุดท้ายก่อนจะเหมาะสมกว่า ในกรณีนี้เราจะมีวิธีแก้ปัญหาสั้นๆ มันจะมีลักษณะเช่นนี้:

ตัวอย่างที่ 12ลดความซับซ้อนของนิพจน์

เพื่อให้นิพจน์นี้ง่ายขึ้น เราสามารถเพิ่มคำที่คล้ายกันได้:

ดังนั้นการแสดงออก ลดความซับซ้อนของ .

คำนี้ยังคงไม่เปลี่ยนแปลง เนื่องจากไม่มีอะไรจะเพิ่มเข้าไป

วิธีนี้สามารถเขียนให้สั้นลงมาก มันจะมีลักษณะเช่นนี้:

วิธีแก้แบบสั้นข้ามขั้นตอนของการแทนที่การลบด้วยการบวก และรายละเอียดว่าเศษส่วนถูกลดให้เป็นตัวส่วนร่วมอย่างไร

ข้อแตกต่างอีกประการหนึ่งคือในคำตอบโดยละเอียดคำตอบจะเป็นอย่างไร แต่เรียกสั้น ๆ ว่า. อันที่จริงมันเป็นสำนวนเดียวกัน ข้อแตกต่างคือในกรณีแรก การลบจะถูกแทนที่ด้วยการบวก เพราะในตอนเริ่มต้น เมื่อเราเขียนคำตอบในรูปแบบรายละเอียด เราก็แทนที่การลบด้วยการบวกทุกครั้งที่เป็นไปได้ และการแทนที่นี้จะคงไว้เป็นคำตอบ

ตัวตน การแสดงออกที่เท่าเทียมกันเหมือนกัน

เมื่อเราทำให้นิพจน์ใดๆ ง่ายขึ้น มันก็จะง่ายขึ้นและสั้นลง หากต้องการตรวจสอบว่านิพจน์แบบง่ายนั้นถูกต้องหรือไม่ เพียงแค่แทนที่ค่าตัวแปรใด ๆ ลงในนิพจน์ก่อนหน้าที่ต้องทำให้ง่ายขึ้นก่อน แล้วจึงเปลี่ยนเป็นค่าใหม่ที่ทำให้ง่ายขึ้น ถ้าค่าในนิพจน์ทั้งสองเหมือนกัน นิพจน์แบบง่ายจะเป็นจริง

ลองพิจารณาดู ตัวอย่างที่ง่ายที่สุด- ปล่อยให้จำเป็นต้องทำให้นิพจน์ง่ายขึ้น 2a×7b- เพื่อให้นิพจน์นี้ง่ายขึ้น คุณสามารถคูณตัวเลขและตัวอักษรแยกกันได้:

2a × 7b = 2 × 7 × a × b = 14ab

ลองตรวจสอบว่าเราลดความซับซ้อนของนิพจน์อย่างถูกต้องหรือไม่ เมื่อต้องการทำเช่นนี้ เรามาแทนที่ค่าใดๆ ของตัวแปรกัน กและ ขอันดับแรกเป็นนิพจน์แรกที่จำเป็นต้องทำให้ง่ายขึ้น จากนั้นจึงเข้าสู่นิพจน์ที่สองซึ่งถูกทำให้ง่ายขึ้น

ปล่อยให้ค่าของตัวแปร ก , ขจะเป็นดังนี้:

ก = 4, ข = 5

ลองแทนที่มันเป็นนิพจน์แรก 2a×7b

ทีนี้ลองแทนที่ค่าตัวแปรเดียวกันลงในนิพจน์ที่เป็นผลมาจากการทำให้เข้าใจง่าย 2a×7bกล่าวคือในการแสดงออก 14ab

14ab = 14 × 4 × 5 = 280

เราจะเห็นว่าเมื่อไร ก=4และ ข=5ค่าของนิพจน์แรก 2a×7bและความหมายของสำนวนที่สอง 14abเท่ากัน

2a × 7b = 2 × 4 × 7 × 5 = 280

14ab = 14 × 4 × 5 = 280

สิ่งเดียวกันนี้จะเกิดขึ้นกับค่าอื่นๆ ตัวอย่างเช่น ให้ ก=1และ ข=2

2a × 7b = 2 × 1 × 7 × 2 =28

14ab = 14 × 1 × 2 =28

ดังนั้นสำหรับค่าใดๆ ตัวแปรนิพจน์ 2a×7bและ 14abมีค่าเท่ากัน สำนวนดังกล่าวเรียกว่า เท่าเทียมกัน.

เราสรุปได้ว่าระหว่างสำนวน 2a×7bและ 14abคุณสามารถใส่เครื่องหมายเท่ากับได้เพราะมันมีค่าเท่ากัน

2a × 7b = 14ab

ความเท่าเทียมกันคือนิพจน์ใดๆ ที่เชื่อมด้วยเครื่องหมายเท่ากับ (=)

และความเท่าเทียมกันของรูปแบบ 2a×7b = 14abเรียกว่า ตัวตน.

ข้อมูลประจำตัวคือความเท่าเทียมกันที่เป็นจริงสำหรับค่าใด ๆ ของตัวแปร

ตัวอย่างอื่นๆ ของตัวตน:

ก + ข = ข + ก

ก(ข+ค) = ab + เอซี

ก(bc) = (ab)ค

ใช่แล้ว กฎของคณิตศาสตร์ที่เราศึกษาคืออัตลักษณ์

ความเท่าเทียมกันของตัวเลขที่แท้จริงก็เป็นตัวตนเช่นกัน ตัวอย่างเช่น:

2 + 2 = 4

3 + 3 = 5 + 1

10 = 7 + 2 + 1

เมื่อแก้ไขปัญหาที่ซับซ้อนเพื่อให้การคำนวณง่ายขึ้นสำหรับตัวคุณเอง การแสดงออกที่ซับซ้อนแทนที่ด้วยนิพจน์ที่เรียบง่ายกว่าซึ่งเหมือนกับนิพจน์ก่อนหน้า การทดแทนนี้เรียกว่า การเปลี่ยนแปลงนิพจน์ที่เหมือนกันหรือเพียงแค่ เปลี่ยนการแสดงออก.

ตัวอย่างเช่น เราทำให้นิพจน์ง่ายขึ้น 2a×7bและมีสำนวนที่เรียบง่ายกว่า 14ab- การทำให้เข้าใจง่ายนี้สามารถเรียกได้ว่าเป็นการเปลี่ยนแปลงอัตลักษณ์

คุณมักจะพบงานที่บอกว่า “พิสูจน์ว่าความเท่าเทียมคืออัตลักษณ์” จากนั้นจึงให้ความเท่าเทียมกันที่ต้องพิสูจน์ โดยปกติความเท่าเทียมกันนี้ประกอบด้วยสองส่วน: ส่วนด้านซ้ายและด้านขวาของความเท่าเทียมกัน หน้าที่ของเราคือทำการเปลี่ยนแปลงอัตลักษณ์ด้วยส่วนหนึ่งของความเท่าเทียมกันและรับอีกส่วนหนึ่ง หรือทำการแปลงที่เหมือนกันโดยมีความเท่าเทียมกันทั้งสองด้าน และตรวจสอบให้แน่ใจว่าทั้งสองด้านของความเท่าเทียมกันมีนิพจน์เดียวกัน

ตัวอย่างเช่น ขอให้เราพิสูจน์ว่าความเท่าเทียมกัน 0.5a × 5b = 2.5abคือตัวตน

ลองจัดรูปด้านซ้ายของความเท่าเทียมกันนี้กัน โดยคูณตัวเลขและตัวอักษรแยกกัน:

0.5 × 5 × ก × ข = 2.5ab

2.5ab = 2.5ab

ผลจากการเปลี่ยนแปลงอัตลักษณ์เล็กน้อย ด้านซ้ายของความเสมอภาคจึงเท่ากับด้านขวาของความเท่าเทียมกัน เราจึงได้พิสูจน์แล้วว่ามีความเท่าเทียมกัน 0.5a × 5b = 2.5abคือตัวตน

จากการแปลงที่เหมือนกัน เราเรียนรู้ที่จะบวก ลบ คูณและหารตัวเลข ลดเศษส่วน เพิ่มเงื่อนไขที่คล้ายกัน และทำให้นิพจน์บางรายการง่ายขึ้น

แต่สิ่งเหล่านี้ไม่ใช่การแปลงที่เหมือนกันทั้งหมดที่มีอยู่ในคณิตศาสตร์ การเปลี่ยนแปลงอัตลักษณ์มากขึ้น เราจะเห็นสิ่งนี้มากกว่าหนึ่งครั้งในอนาคต

งานสำหรับโซลูชันอิสระ:

คุณชอบบทเรียนหรือไม่?
เข้าร่วมกับเรา กลุ่มใหม่ VKontakte และเริ่มรับการแจ้งเตือนเกี่ยวกับบทเรียนใหม่

เมื่อศึกษาหัวข้อตัวเลข สำนวนตัวอักษร และสำนวนที่มีตัวแปร คุณต้องใส่ใจกับแนวคิดนี้ ค่านิพจน์- ในบทความนี้ เราจะตอบคำถามว่าอะไรคือค่าของนิพจน์ตัวเลข และสิ่งที่เรียกว่าค่าของนิพจน์ตามตัวอักษรและนิพจน์ที่มีตัวแปรสำหรับค่าตัวแปรที่เลือก เพื่อชี้แจงคำจำกัดความเหล่านี้ เราจะยกตัวอย่าง

การนำทางหน้า

ค่าของนิพจน์ตัวเลขคืออะไร?

ความคุ้นเคยกับนิพจน์ตัวเลขเริ่มต้นเกือบตั้งแต่บทเรียนคณิตศาสตร์แรกที่โรงเรียน เกือบจะในทันทีที่มีการแนะนำแนวคิดเรื่อง "ค่าของนิพจน์เชิงตัวเลข" หมายถึงนิพจน์ที่ประกอบด้วยตัวเลขที่เชื่อมต่อกันด้วยเครื่องหมายการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ (+, −, ·, :) ให้เราให้คำจำกัดความที่เกี่ยวข้อง

คำนิยาม.

ค่านิพจน์ตัวเลข– นี่คือตัวเลขที่ได้รับหลังจากดำเนินการทั้งหมดในนิพจน์ตัวเลขดั้งเดิม

ตัวอย่างเช่น พิจารณานิพจน์ตัวเลข 1+2 เมื่อเสร็จแล้วเราจะได้เลข 3 ซึ่งเป็นค่าของนิพจน์ตัวเลข 1+2

บ่อยครั้งในวลี "ความหมายของนิพจน์ตัวเลข" คำว่า "ตัวเลข" จะถูกละเว้นและพวกเขาก็พูดว่า "ความหมายของนิพจน์" เนื่องจากยังคงชัดเจนว่ากำลังพูดถึงความหมายของนิพจน์อะไร

คำจำกัดความข้างต้นของความหมายของนิพจน์ยังใช้กับนิพจน์ตัวเลขที่มากกว่าด้วย ประเภทที่ซับซ้อนที่กำลังศึกษาอยู่ในโรงเรียนมัธยมปลาย ควรสังเกตว่าคุณอาจพบนิพจน์ตัวเลขที่ไม่สามารถระบุค่าได้ เนื่องจากในบางสำนวนไม่สามารถดำเนินการตามที่บันทึกไว้ได้ ตัวอย่างเช่น นี่คือสาเหตุที่เราไม่สามารถระบุค่าของนิพจน์ 3:(2−2) ได้ นิพจน์ตัวเลขดังกล่าวเรียกว่า การแสดงออกที่ไม่สมเหตุสมผล.

บ่อยครั้งในทางปฏิบัติ นิพจน์เชิงตัวเลขที่น่าสนใจไม่มากเท่าความหมาย นั่นคืองานเกิดขึ้นจากการกำหนดความหมายของสำนวนที่กำหนด ในกรณีนี้ พวกเขามักจะบอกว่าคุณต้องค้นหาค่าของนิพจน์ บทความนี้จะกล่าวถึงรายละเอียดเกี่ยวกับกระบวนการค้นหาค่าของนิพจน์ตัวเลข ประเภทต่างๆและตัวอย่างมากมายด้วย คำอธิบายโดยละเอียดการตัดสินใจ

ความหมายของนิพจน์ตามตัวอักษรและตัวแปร

นอกจากนิพจน์เชิงตัวเลขแล้ว ยังมีการศึกษานิพจน์ตามตัวอักษรนั่นคือนิพจน์ที่มีตัวอักษรหนึ่งตัวขึ้นไปพร้อมกับตัวเลข ตัวอักษรในนิพจน์ตามตัวอักษรสามารถแทนตัวเลขที่แตกต่างกันได้ และถ้าตัวอักษรถูกแทนที่ด้วยตัวเลขเหล่านี้ นิพจน์ตามตัวอักษรจะกลายเป็นนิพจน์ตัวเลข

คำนิยาม.

เรียกว่าตัวเลขที่แทนที่ตัวอักษรในนิพจน์ตามตัวอักษร ความหมายของตัวอักษรเหล่านี้และเรียกค่าของนิพจน์ตัวเลขที่เป็นผลลัพธ์ ค่าของนิพจน์ตามตัวอักษรสำหรับค่าตัวอักษรที่กำหนด.

ดังนั้นสำหรับการแสดงออกตามตัวอักษร เราไม่เพียงแต่พูดถึงความหมายของการแสดงออกตามตัวอักษรเท่านั้น แต่ยังเกี่ยวกับความหมายของการแสดงออกตามตัวอักษรที่ให้ค่า (ระบุ ระบุ ฯลฯ) ของตัวอักษรด้วย

ลองยกตัวอย่าง ลองใช้นิพจน์ตามตัวอักษร 2·a+b กัน ให้ระบุค่าของตัวอักษร a และ b เช่น a=1 และ b=6 แทนที่ตัวอักษรในนิพจน์ดั้งเดิมด้วยค่า เราจะได้นิพจน์ตัวเลขในรูปแบบ 2·1+6 ซึ่งมีค่าเท่ากับ 8 ดังนั้นตัวเลข 8 คือค่าของนิพจน์ตามตัวอักษร 2·a+b สำหรับค่าที่กำหนดของตัวอักษร a=1 และ b=6 หากระบุค่าตัวอักษรอื่น เราก็จะได้ค่าของนิพจน์ตัวอักษรสำหรับค่าตัวอักษรเหล่านั้น ตัวอย่างเช่น เมื่อ a=5 และ b=1 เราจะมีค่า 2·5+1=11

ในโรงเรียนมัธยม เมื่อเรียนพีชคณิต อนุญาตให้ใช้ตัวอักษรในสำนวนตัวอักษรได้ ความหมายที่แตกต่างกันตัวอักษรดังกล่าวเรียกว่าตัวแปร และนิพจน์ตัวอักษรเรียกว่านิพจน์พร้อมตัวแปร สำหรับนิพจน์เหล่านี้ แนวคิดของค่าของนิพจน์พร้อมตัวแปรจะถูกนำมาใช้สำหรับค่าที่เลือกของตัวแปร ลองหาดูว่ามันคืออะไร

คำนิยาม.

ค่าของนิพจน์ที่มีตัวแปรสำหรับค่าตัวแปรที่เลือกคือค่าของนิพจน์เชิงตัวเลขที่ได้รับหลังจากแทนค่าตัวแปรที่เลือกไปเป็นนิพจน์ดั้งเดิม

ให้เราอธิบายคำจำกัดความที่ระบุพร้อมตัวอย่าง พิจารณานิพจน์ที่มีตัวแปร x และ y ในรูปแบบ 3·x·y+y ลองใช้ x=2 และ y=4 แทนค่าตัวแปรเหล่านี้เป็นนิพจน์ดั้งเดิม แล้วรับนิพจน์ตัวเลข 3·2·4+4 ลองคำนวณค่าของนิพจน์นี้: 3·2·4+4=24+4=28 ค่าที่พบ 28 คือค่าของนิพจน์ดั้งเดิมที่มีตัวแปร 3·x·y+y สำหรับค่าที่เลือกของตัวแปร x=2 และ y=4

หากคุณเลือกค่าตัวแปรอื่นๆ เช่น x=5 และ y=0 ค่าตัวแปรที่เลือกเหล่านี้จะสอดคล้องกับค่าของนิพจน์ตัวแปรเท่ากับ 3·5·0+0=0

อาจสังเกตว่าบางครั้งค่าตัวแปรที่เลือกต่างกันอาจส่งผลให้ค่านิพจน์เท่ากัน ตัวอย่างเช่น สำหรับ x=9 และ y=1 ค่าของนิพจน์ 3 x y+y คือ 28 (เนื่องจาก 3 9 1+1=27+1=28) และข้างต้น เราแสดงให้เห็นว่าค่าเดียวกันคือนิพจน์ที่มีตัวแปร มีที่ x=2 และ y=4

สามารถเลือกค่าตัวแปรได้จากค่าที่เกี่ยวข้อง ช่วงของค่าที่ยอมรับได้- มิฉะนั้น เมื่อแทนค่าของตัวแปรเหล่านี้เป็นนิพจน์ดั้งเดิม คุณจะได้นิพจน์ตัวเลขที่ไม่สมเหตุสมผล ตัวอย่างเช่น หากคุณเลือก x=0 และแทนที่ค่านี้เป็นนิพจน์ 1/x คุณจะได้นิพจน์ตัวเลข 1/0 ซึ่งไม่สมเหตุสมผล เนื่องจากไม่ได้กำหนดการหารด้วยศูนย์

ยังคงเป็นเพียงการเพิ่มว่ามีนิพจน์ที่มีตัวแปรซึ่งค่าไม่ขึ้นอยู่กับค่าของตัวแปรที่รวมอยู่ในตัวแปรเหล่านั้น ตัวอย่างเช่น ค่าของนิพจน์ที่มีตัวแปร x ในรูปแบบ 2+x−x ไม่ได้ขึ้นอยู่กับค่าของตัวแปรนี้ แต่จะเท่ากับ 2 สำหรับค่าใดๆ ที่เลือกของตัวแปร x จากช่วงของค่าที่อนุญาต ซึ่งในกรณีนี้คือเซตของจำนวนจริงทั้งหมด

อ้างอิง.

• คณิตศาสตร์: หนังสือเรียน สำหรับชั้นประถมศึกษาปีที่ 5 การศึกษาทั่วไป สถาบัน / N. Ya. Vilenkin, V. I. Zhokhov, A. S. Chesnokov, S. I. Shvartsburg - ฉบับที่ 21 ลบแล้ว. - อ.: Mnemosyne, 2550. - 280 หน้า: ป่วย. ไอ 5-346-00699-0.
• พีชคณิต:หนังสือเรียน สำหรับชั้นประถมศึกษาปีที่ 7 การศึกษาทั่วไป สถาบัน / [ย. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; แก้ไขโดย เอส.เอ. เทลยาคอฟสกี้ - ฉบับที่ 17 - อ.: การศึกษา, 2551. - 240 น. : ป่วย. - ไอ 978-5-09-019315-3.
• พีชคณิต:หนังสือเรียน สำหรับเกรด 8 การศึกษาทั่วไป สถาบัน / [ย. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; แก้ไขโดย เอส.เอ. เทลยาคอฟสกี้ - ฉบับที่ 16 - อ.: การศึกษา, 2551. - 271 น. : ป่วย. - ไอ 978-5-09-019243-9.

รายการที่ประกอบด้วยตัวเลข เครื่องหมาย และวงเล็บ และยังมีความหมาย เรียกว่านิพจน์ตัวเลข

ตัวอย่างเช่น รายการต่อไปนี้:

• (100-32)/17,
• 2*4+7,
• 4*0.7 -3/5,
• 1/3 +5/7

จะเป็นนิพจน์เชิงตัวเลขควรเข้าใจว่าตัวเลขหนึ่งตัวจะเป็นนิพจน์ตัวเลขด้วย ในตัวอย่างของเรา นี่คือหมายเลข 13

และตัวอย่างรายการต่อไปนี้

• 100 - *9,
• /32)343

จะไม่ใช่นิพจน์เชิงตัวเลขเนื่องจากมันไม่มีความหมายและเป็นเพียงชุดของตัวเลขและเครื่องหมายเท่านั้น

ค่านิพจน์ตัวเลข

เนื่องจากเครื่องหมายในนิพจน์ตัวเลขมีเครื่องหมายของการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ด้วย เราจึงสามารถคำนวณค่าของนิพจน์ตัวเลขได้ เมื่อต้องการทำเช่นนี้ คุณต้องทำตามขั้นตอนเหล่านี้

ตัวอย่างเช่น,

(100-32)/17 = 4 กล่าวคือ สำหรับนิพจน์ (100-32)/17 ค่าของนิพจน์ตัวเลขนี้จะเป็นตัวเลข 4

2*4+7=15 ตัวเลข 15 จะเป็นค่าของนิพจน์ตัวเลข 2*4+7

บ่อยครั้ง เพื่อความกระชับ รายการไม่ได้เขียนค่าเต็มของนิพจน์ตัวเลข แต่เพียงเขียน "ค่าของนิพจน์" โดยละเว้นคำว่า "ตัวเลข"

ความเท่าเทียมกันเชิงตัวเลข

ถ้านิพจน์ตัวเลขสองตัวถูกเขียนโดยใช้เครื่องหมายเท่ากับ นิพจน์เหล่านี้จะก่อให้เกิดความเท่าเทียมกันเชิงตัวเลข ตัวอย่างเช่น นิพจน์ 2*4+7=15 คือความเท่าเทียมกันของตัวเลข

ตามที่ระบุไว้ข้างต้น นิพจน์ตัวเลขสามารถใช้วงเล็บได้ ดังที่คุณทราบแล้วว่าวงเล็บส่งผลต่อลำดับการดำเนินการ

โดยทั่วไปแล้ว การกระทำทั้งหมดจะแบ่งออกเป็นหลายขั้นตอน

• การดำเนินการขั้นแรก: การบวกและการลบ
• การดำเนินการขั้นที่สอง: การคูณและการหาร
• การกระทำของขั้นตอนที่สามคือการยกกำลังสองและยกกำลังสาม

กฎสำหรับการคำนวณค่าของนิพจน์ตัวเลข

เมื่อคำนวณค่าของนิพจน์ตัวเลขควรปฏิบัติตามกฎต่อไปนี้

• 1. หากนิพจน์ไม่มีวงเล็บเหลี่ยม คุณจะต้องดำเนินการโดยเริ่มจากระดับสูงสุด: ด่านที่สาม ด่านที่สอง และด่านแรก หากมีการกระทำหลายอย่างในขั้นตอนเดียวกัน การกระทำเหล่านั้นจะดำเนินการตามลำดับที่เขียน นั่นคือจากซ้ายไปขวา
• 2. หากนิพจน์มีวงเล็บ การดำเนินการในวงเล็บจะดำเนินการก่อน จากนั้นจึงดำเนินการอื่นทั้งหมดตามลำดับปกติเท่านั้น เมื่อดำเนินการในวงเล็บหากมีหลายรายการคุณควรใช้ลำดับที่อธิบายไว้ในย่อหน้าที่ 1
• 3. หากนิพจน์เป็นเศษส่วน ค่าในตัวเศษและส่วนจะถูกคำนวณก่อน จากนั้นตัวเศษจะถูกหารด้วยตัวส่วน
• 4. หากนิพจน์มีวงเล็บซ้อนกัน การดำเนินการควรดำเนินการจากวงเล็บด้านใน