การแสดงออกที่ไม่ลงตัวในการสอบ หัวข้อ: การแปลงอำนาจและการแสดงออกที่ไม่ลงตัว - เอกสาร

บ้าน

เมื่อแปลงรากเลขคณิตจะใช้คุณสมบัติของรากเหล่านั้น (ดูย่อหน้าที่ 35)

ลองดูตัวอย่างการใช้คุณสมบัติของรากเลขคณิตเพื่อการแปลงรากที่ง่ายที่สุด ในกรณีนี้ เราจะถือว่าตัวแปรทั้งหมดรับเฉพาะค่าที่ไม่เป็นลบเท่านั้น

ตัวอย่างที่ 1. แยกรากของผลิตภัณฑ์ โซลูชัน เมื่อใช้คุณสมบัติ 1° เราจะได้:

ตัวอย่างที่ 2 ลบตัวคูณออกจากใต้เครื่องหมายรูท

สารละลาย.

การแปลงนี้เรียกว่าการลบตัวประกอบออกจากใต้เครื่องหมายรูท จุดประสงค์ของการเปลี่ยนแปลงคือการทำให้นิพจน์รากศัพท์ง่ายขึ้น

ตัวอย่างที่ 3: ลดความซับซ้อน

สารละลาย. ตามคุณสมบัติ 3° ที่เรามี โดยปกติแล้วพวกมันจะพยายามทำให้นิพจน์รากง่ายขึ้น โดยจะดึงตัวประกอบออกจากเครื่องหมายของราก เรามี

ตัวอย่างที่ 4: ลดความซับซ้อน

สารละลาย. ลองแปลงนิพจน์โดยใส่ตัวประกอบภายใต้เครื่องหมายราก: ตามคุณสมบัติ 4° ที่เรามี

ตัวอย่างที่ 5: ลดความซับซ้อน สารละลาย. ด้วยสมบัติของ 5° เรามีสิทธิ์แบ่งเลขชี้กำลังของรากและเลขชี้กำลังของนิพจน์รากออกเป็นสิ่งเดียวกันจำนวนธรรมชาติ

- หากในตัวอย่างที่กำลังพิจารณาเราแบ่งตัวบ่งชี้ที่ระบุด้วย 3 เราก็จะได้

ตัวอย่างที่ 6 ลดความซับซ้อนของนิพจน์: ก)

วิธีแก้ปัญหา a) ตามคุณสมบัติ 1° เราพบว่าในการคูณรากที่มีระดับเดียวกัน ก็เพียงพอที่จะคูณนิพจน์รากและแยกรากที่มีระดับเดียวกันออกจากผลลัพธ์ที่ได้ วิธี,

b) ก่อนอื่น เราต้องลดอนุมูลให้เหลือตัวบ่งชี้เดียว จากคุณสมบัติของ 5° เราสามารถคูณเลขชี้กำลังของรากและเลขชี้กำลังของนิพจน์รากด้วยจำนวนธรรมชาติที่เท่ากันได้ ดังนั้น ต่อไปเรามี และตอนนี้ในผลลัพธ์ที่ได้การหารตัวบ่งชี้ของรูทและระดับของการแสดงออกที่รุนแรงด้วย 3 เราได้

คุณสมบัติของรากรองรับการเปลี่ยนแปลงสองครั้งถัดไป เรียกว่า นำพวกมันมาไว้ใต้เครื่องหมายรูท และนำพวกมันออกจากใต้เครื่องหมายรูท ซึ่งตอนนี้เราจะหันไปหา

การป้อนตัวคูณภายใต้เครื่องหมายรูท การแนะนำตัวประกอบใต้เครื่องหมายหมายถึงการแทนที่นิพจน์ โดยที่ B และ C คือตัวเลขหรือนิพจน์บางส่วน และ n คือจำนวนธรรมชาติมากกว่าหนึ่ง เหมือนกันการแสดงออกที่เท่าเทียมกัน

มีรูปแบบหรือ. ตัวอย่างเช่น,การแสดงออกที่ไม่ลงตัว

หลังจากแนะนำตัวประกอบที่ 2 ไว้ใต้เครื่องหมายรากแล้ว ก็จะได้รูปแบบ .รากฐานทางทฤษฎี การเปลี่ยนแปลงนี้ กฎเกณฑ์ในการดำเนินการ ตลอดจนแนวทางแก้ไขต่างๆให้ไว้ในบทความแนะนำตัวคูณภายใต้สัญลักษณ์ของรูท

การลบตัวคูณออกจากใต้เครื่องหมายรูท

การแปลง ในแง่หนึ่งซึ่งตรงกันข้ามกับการนำตัวประกอบมาอยู่ใต้เครื่องหมายราก คือการเอาตัวประกอบออกจากใต้เครื่องหมายราก ประกอบด้วยการแสดงรากเป็นผลคูณของเลขคี่ n หรือเป็นผลคูณของเลขคู่ n โดยที่ B และ C คือตัวเลขหรือนิพจน์บางส่วน

ตัวอย่างเช่น กลับไปที่ย่อหน้าก่อนหน้า: นิพจน์ที่ไม่ลงตัวหลังจากลบปัจจัยออกจากใต้เครื่องหมายรูทแล้ว จะใช้แบบฟอร์ม อีกตัวอย่างหนึ่ง: การลบตัวประกอบออกจากใต้เครื่องหมายรูทในนิพจน์จะให้ผลคูณ ซึ่งสามารถเขียนใหม่เป็น .

เราจะวิเคราะห์ว่าการเปลี่ยนแปลงนี้มีพื้นฐานมาจากอะไรและตามกฎที่ดำเนินการ บทความแยกต่างหากลบตัวคูณออกจากใต้เครื่องหมายรูท ที่นั่นเราจะให้คำตอบสำหรับตัวอย่างและรายการวิธีลดนิพจน์รากให้อยู่ในรูปแบบที่สะดวกสำหรับการคูณ

การแปลงเศษส่วนที่มีราก

นิพจน์ที่ไม่ลงตัวสามารถประกอบด้วยเศษส่วนที่มีรากอยู่ในตัวเศษและตัวส่วน ด้วยเศษส่วนดังกล่าวคุณสามารถทำสิ่งพื้นฐานใดก็ได้ การเปลี่ยนแปลงตัวตนเศษส่วน.

ประการแรก ไม่มีอะไรขัดขวางคุณจากการทำงานกับนิพจน์ในตัวเศษและส่วน ยกตัวอย่างให้พิจารณาเศษส่วน นิพจน์ที่ไม่ลงตัวในตัวเศษจะเท่ากันอย่างเห็นได้ชัด และเมื่อเปลี่ยนเป็นคุณสมบัติของราก นิพจน์ในตัวส่วนจะถูกแทนที่ด้วยรากได้ เป็นผลให้เศษส่วนดั้งเดิมถูกแปลงเป็นรูปแบบ

ประการที่สอง คุณสามารถเปลี่ยนเครื่องหมายหน้าเศษส่วนได้โดยการเปลี่ยนเครื่องหมายของเศษหรือส่วน ตัวอย่างเช่น การแปลงนิพจน์ที่ไม่ลงตัวเกิดขึ้นดังต่อไปนี้: .

ประการที่สาม บางครั้งเป็นไปได้และแนะนำให้ลดเศษส่วนลง ตัวอย่างเช่น วิธีปฏิเสธตัวเองว่าไม่มีความสุขในการลดเศษส่วน กับการแสดงออกที่ไม่ลงตัว ด้วยเหตุนี้เราจึงได้ .

เป็นที่ชัดเจนว่าในหลายกรณี ก่อนที่จะลดเศษส่วน จะต้องแยกตัวประกอบนิพจน์ในตัวเศษและส่วนออกก่อน ซึ่งในกรณีง่ายๆ สามารถทำได้โดยใช้สูตรการคูณแบบย่อ และบางครั้งก็ช่วยลดเศษส่วนด้วยการแทนที่ตัวแปร ซึ่งช่วยให้คุณย้ายจากเศษส่วนดั้งเดิมแบบไร้เหตุผลไปเป็นเศษส่วนตรรกยะ ซึ่งสะดวกและคุ้นเคยในการทำงานด้วยมากกว่า

ตัวอย่างเช่น ลองใช้นิพจน์ เรามาแนะนำตัวแปรใหม่และ ในตัวแปรเหล่านี้นิพจน์ดั้งเดิมจะมีรูปแบบ มีการแสดงในตัวเศษ

การแสดงออกที่ไม่ลงตัวและการเปลี่ยนแปลง

ครั้งล่าสุดที่เราจำได้(หรือเรียนรู้แล้วแต่ใคร)ว่ามันคืออะไร เรียนรู้วิธีการแยกรากดังกล่าว คิดออกถึงคุณสมบัติพื้นฐานของรากทีละชิ้นๆ และตัดสินใจไม่ทำ ตัวอย่างที่ซับซ้อนมีราก

บทเรียนนี้จะเป็นบทเรียนต่อจากบทที่แล้วและจะเน้นไปที่การแปลงสำนวนที่หลากหลายซึ่งมีรากเหง้าทุกประเภท สำนวนดังกล่าวเรียกว่า ไม่มีเหตุผล- นิพจน์ด้วยตัวอักษร เงื่อนไขเพิ่มเติม การกำจัดความไม่ลงตัวของเศษส่วน และเทคนิคขั้นสูงบางประการในการทำงานกับรากจะปรากฏที่นี่ เทคนิคที่จะกล่าวถึงในบทเรียนนี้จะกลายเป็นพื้นฐานที่ดีในการแก้ไข ปัญหาการสอบ Unified State(และไม่เพียงเท่านั้น) ของความซับซ้อนเกือบทุกระดับ มาเริ่มกันเลย

ก่อนอื่น ฉันจะทำซ้ำสูตรพื้นฐานและคุณสมบัติของรากที่นี่ เพื่อไม่ให้กระโดดจากหัวข้อหนึ่งไปอีกหัวข้อหนึ่ง พวกเขาอยู่ที่นี่:

ที่

คุณต้องรู้สูตรเหล่านี้และสามารถนำไปใช้ได้ และทั้งสองทิศทาง - ทั้งจากซ้ายไปขวาและจากขวาไปซ้าย มันขึ้นอยู่กับพวกเขาว่าการแก้ปัญหาสำหรับงานส่วนใหญ่ที่มีรากฐานของความซับซ้อนในระดับใดก็ตาม เริ่มจากสิ่งที่ง่ายที่สุดในตอนนี้ - ด้วยการใช้สูตรโดยตรงหรือการผสมกัน

การใช้สูตรอย่างง่ายดาย

ในส่วนนี้จะพิจารณาตัวอย่างที่เรียบง่ายและไม่เป็นอันตราย - โดยไม่มีตัวอักษร เงื่อนไขเพิ่มเติม และลูกเล่นอื่น ๆ อย่างไรก็ตามแม้ในตัวเลือกเหล่านี้ตามกฎแล้วก็ยังมีตัวเลือกอยู่ และยิ่งตัวอย่างซับซ้อนมากเท่าไรก็ยิ่งมีตัวเลือกดังกล่าวมากขึ้นเท่านั้น และนักเรียนที่ไม่มีประสบการณ์ประสบปัญหาหลัก - จะเริ่มตรงไหน? คำตอบที่นี่ง่าย - หากคุณไม่รู้ว่าคุณต้องการอะไร จงทำสิ่งที่คุณทำได้- ตราบใดที่การกระทำของคุณอยู่ในความสงบและสอดคล้องกับกฎของคณิตศาสตร์และไม่ขัดแย้งกับกฎเหล่านั้น) ตัวอย่างเช่นงานนี้:

คำนวณ:

แม้แต่ตัวอย่างง่ายๆ เช่นนี้ ยังมีคำตอบที่เป็นไปได้หลายทาง

วิธีแรกคือการคูณรากด้วยคุณสมบัติแรกแล้วแยกรากออกจากผลลัพธ์:

ตัวเลือกที่สองคือ: เราไม่ได้แตะต้องมัน เราทำงานกับ . เรานำตัวคูณออกจากใต้เครื่องหมายรูทแล้ว - ตามคุณสมบัติแรก แบบนี้:

คุณสามารถตัดสินใจได้มากเท่าที่คุณต้องการ ในตัวเลือกใดๆ คำตอบคือ หนึ่ง - แปด ตัวอย่างเช่น มันง่ายกว่าสำหรับฉันที่จะคูณ 4 กับ 128 แล้วได้ 512 และสามารถแยกรากที่สามออกจากตัวเลขนี้ได้อย่างง่ายดาย หากใครจำไม่ได้ว่า 512 มี 8 ลูกบาศก์ก็ไม่สำคัญ คุณสามารถเขียน 512 เป็น 2 9 ได้ (หวังว่าคุณจะจำ 10 เลขยกกำลัง 2 ตัวแรกได้ไหม) แล้วใช้สูตรหารากของเลขยกกำลัง : :

อีกตัวอย่างหนึ่ง

คำนวณ: .

หากคุณทำงานตามคุณสมบัติแรก (วางทุกอย่างไว้ใต้รากเดียว) คุณจะได้ตัวเลขจำนวนมากซึ่งสามารถแยกรากออกมาได้ - ไม่ใช่น้ำตาลด้วย และไม่ใช่ความจริงที่ว่าจะถูกแยกออกมาอย่างแน่นอน) ดังนั้นจึงมีประโยชน์ในการลบตัวประกอบออกจากใต้รากของจำนวน และใช้ประโยชน์สูงสุดจาก:

และตอนนี้ทุกอย่างเรียบร้อยดี:

สิ่งที่เหลืออยู่คือเขียนแปดและสองไว้ใต้รูทเดียว (ตามคุณสมบัติแรก) และงานก็เสร็จสิ้น -

ทีนี้มาบวกเศษส่วนกัน.

คำนวณ:

ตัวอย่างนี้ค่อนข้างดั้งเดิม แต่ก็มีตัวเลือกเช่นกัน คุณสามารถใช้ตัวคูณเพื่อแปลงตัวเศษและลดด้วยตัวส่วน:

หรือคุณสามารถใช้สูตรหารรากได้ทันที:

อย่างที่เราเห็นวิธีนี้และวิธีนั้นถูกต้อง) ถ้าไม่สะดุดครึ่งทางแล้วทำผิด แม้ว่าฉันจะไปผิดที่นี่ได้ที่ไหน ...

ตอนนี้เรามาดูตัวอย่างล่าสุดจาก การบ้านบทเรียนสุดท้าย:

ลดความซับซ้อน:

ชุดรากที่ไม่สามารถจินตนาการได้อย่างสมบูรณ์และแม้แต่รากที่ซ้อนกัน ฉันควรทำอย่างไร? สิ่งสำคัญคือไม่ต้องกลัว! ที่นี่เราสังเกตเห็นเลข 2, 4 และ 32 ยกกำลังสองเป็นครั้งแรกใต้ราก สิ่งแรกที่ต้องทำคือลดจำนวนทั้งหมดลงเหลือสอง: ยิ่งตัวเลขในตัวอย่างเหมือนกันมากเท่าไหร่และต่างกันน้อยลงก็ยิ่งง่ายขึ้น) เรามาเริ่มกันที่ปัจจัยแรกแยกกัน:

ตัวเลขสามารถทำให้ง่ายขึ้นได้โดยการลดสองตัวใต้รากโดยให้สี่อยู่ในเลขชี้กำลังราก:

ตอนนี้ตามรากฐานของงาน:

.

ในจำนวนที่เรานำทั้งสองออกมาเป็นเครื่องหมายรูท:

และเราจัดการกับนิพจน์โดยใช้รูทของสูตรรูท:

ดังนั้นปัจจัยแรกจะถูกเขียนดังนี้:

รากที่ซ้อนกันหายไปจำนวนก็น้อยลงซึ่งเป็นที่ชื่นชอบอยู่แล้ว เพียงว่ารากแตกต่างกัน แต่เราจะทิ้งมันไว้อย่างนั้นในตอนนี้ หากจำเป็นเราจะแปลงให้เป็นอันเดียวกัน ลองใช้ปัจจัยที่สองกัน)

เราแปลงปัจจัยที่สองในลักษณะเดียวกัน โดยใช้สูตรรากของผลิตภัณฑ์และรากของราก ในกรณีที่จำเป็น เราจะลดตัวบ่งชี้โดยใช้สูตรที่ห้า:

เราวางทุกอย่างลงในตัวอย่างดั้งเดิมและรับ:

เราได้รับผลผลิตจากรากที่แตกต่างกันอย่างสิ้นเชิง คงจะดีถ้านำพวกมันทั้งหมดมารวมกันเป็นตัวบ่งชี้เดียว แล้วเราจะได้เห็นกัน มันค่อนข้างเป็นไปได้ เลขชี้กำลังรากที่ใหญ่ที่สุดคือ 12 และที่เหลือทั้งหมด - 2, 3, 4, 6 - เป็นตัวหารของหมายเลข 12 ดังนั้นเราจะลดรากทั้งหมดตามคุณสมบัติที่ห้าให้เหลือหนึ่งเลขชี้กำลัง - 12:

เรานับและรับ:

เราไม่ได้เบอร์สวยแต่ก็ไม่เป็นไร เราถูกถาม ลดความซับซ้อนการแสดงออก ไม่ใช่ นับ- ประยุกต์? แน่นอน! และประเภทของคำตอบ (จำนวนเต็มหรือไม่) จะไม่มีบทบาทใดๆ อีกต่อไป

สูตรการบวก/ลบ และสูตรคูณแบบย่อบางสูตร

น่าเสียดายที่สูตรทั่วไปสำหรับ การบวกและการลบรากไม่ในวิชาคณิตศาสตร์ อย่างไรก็ตาม ในงานมักจะพบการกระทำเหล่านี้ที่มีราก ที่นี่จำเป็นต้องเข้าใจว่ารากใด ๆ นั้นเป็นสัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์เดียวกันกับตัวอักษรในพีชคณิตทุกประการ) และเทคนิคและกฎเดียวกันนี้ใช้กับรากเช่นเดียวกับตัวอักษร - วงเล็บเปิด, นำอันที่คล้ายกัน, สูตรคูณแบบย่อ ฯลฯ p.

ตัวอย่างเช่น เป็นที่ชัดเจนสำหรับทุกคนว่า เหมือนกันทุกประการ เหมือนกันรากสามารถเพิ่ม/ลบซึ่งกันและกันได้ค่อนข้างง่าย:

ถ้ารากต่างกัน เราจะมองหาวิธีที่จะทำให้มันเหมือนกัน - โดยการบวก/ลบตัวคูณ หรือใช้คุณสมบัติที่ห้า หากไม่ทำให้ง่ายขึ้น แต่อย่างใด การแปลงอาจมีความยุ่งยากมากขึ้น

ลองดูตัวอย่างแรกกัน

ค้นหาความหมายของสำนวน: .

ทั้งสามรากถึงแม้จะเป็นลูกบาศก์ก็มาจาก แตกต่างตัวเลข พวกมันไม่ได้ถูกแยกออกมาอย่างหมดจดและถูกบวก/ลบออกจากกัน ดังนั้นการใช้สูตรทั่วไปจึงไม่ได้ผลที่นี่ ฉันควรทำอย่างไร? เรามาแยกปัจจัยในแต่ละรูตกันดีกว่า ไม่ว่าในกรณีใด มันจะไม่เลวร้ายไปกว่านี้) ยิ่งกว่านั้น ในความเป็นจริงไม่มีตัวเลือกอื่น:

ดังนั้น, .

นั่นคือวิธีแก้ปัญหา ที่นี่เราย้ายจากรากที่ต่างกันมาสู่รากเดียวกันด้วยความช่วยเหลือ ลบตัวคูณออกจากใต้รูท- แล้วพวกเขาก็นำสิ่งที่คล้ายกันมา) เราตัดสินใจต่อไป

ค้นหาค่าของนิพจน์:

คุณไม่สามารถทำอะไรกับรากเหง้าของเลขสิบเจ็ดได้อย่างแน่นอน เราทำงานตามคุณสมบัติแรก - เราสร้างหนึ่งรูตจากผลคูณของสองรูต:

ตอนนี้เรามาดูกันดีกว่า เรามีอะไรอยู่ใต้ใหญ่ รากที่สาม- ความแตกต่างคือควา... แน่นอน! ความแตกต่างของกำลังสอง:

ตอนนี้สิ่งที่เหลืออยู่ก็คือการแยกราก: .

คำนวณ:

ที่นี่คุณจะต้องแสดงความฉลาดทางคณิตศาสตร์) เราคิดประมาณดังนี้: “ในตัวอย่างนี้ ผลคูณของราก ภายใต้รากหนึ่งคือความแตกต่าง และอีกรากหนึ่งคือผลรวม คล้ายกับผลต่างของสูตรกำลังสองมาก แต่... รากมันต่างกัน! อันแรกเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส และอันที่สองเป็นของระดับที่สี่... คงจะดีถ้าทำให้เหมือนกัน ตามคุณสมบัติที่ห้าเราสามารถได้อย่างง่ายดาย รากที่สองสร้างรากที่สี่ เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ก็เพียงพอแล้วที่จะยกกำลังสองการแสดงออกที่ต่างไปจากเดิมอย่างสิ้นเชิง”

ถ้าคุณคิดแบบเดียวกัน คุณก็มาได้ครึ่งทางของความสำเร็จแล้ว ถูกต้องที่สุด! ลองเปลี่ยนตัวประกอบแรกเป็นรากที่สี่กัน แบบนี้:

ตอนนี้ ไม่มีอะไรต้องทำ แต่คุณจะต้องจำสูตรสำหรับกำลังสองของผลต่างไว้ เมื่อนำไปใช้กับรากเท่านั้น แล้วไงล่ะ? เหตุใดรากจึงแย่กว่าตัวเลขหรือสำนวนอื่น ๆ ! เราสร้าง:

“อืม พวกเขาสร้างมันขึ้นมา แล้วไงล่ะ? มะรุมไม่หวานกว่าหัวไชเท้า หยุด! และถ้าคุณเอาสี่อันใต้รากออกไปล่ะ? จากนั้นสำนวนเดียวกันนี้จะปรากฏภายใต้รากที่สอง โดยมีเครื่องหมายลบเท่านั้น และนี่คือสิ่งที่เราพยายามทำให้สำเร็จ!”

ขวา! เอาล่ะสี่:

.

และตอนนี้ - เรื่องของเทคโนโลยี:

นี่คือวิธีการแก้ตัวอย่างที่ซับซ้อน) ตอนนี้ถึงเวลาฝึกเศษส่วนแล้ว

คำนวณ:

ชัดเจนว่าจะต้องแปลงตัวเศษ ยังไง? การใช้สูตรกำลังสองของผลรวมแน่นอน เรามีทางเลือกอื่นอีกหรือไม่? :) เรายกกำลังสอง เอาปัจจัยออก ลดตัวบ่งชี้ (หากจำเป็น):

ว้าว! เราได้ตัวส่วนของเศษส่วนพอดี) ซึ่งหมายความว่าเศษส่วนทั้งหมดจะเท่ากับ 1 อย่างเห็นได้ชัด:

อีกตัวอย่างหนึ่ง ตอนนี้ใช้สูตรอื่นสำหรับการคูณแบบย่อเท่านั้น)

คำนวณ:

เป็นที่ชัดเจนว่าต้องใช้กำลังสองของความแตกต่างในทางปฏิบัติ เราเขียนตัวส่วนแยกกันและ - ไปกันเลย!

เราดึงปัจจัยต่างๆ ออกมาจากใต้ราก:

เพราะฉะนั้น,

ตอนนี้ทุกสิ่งเลวร้ายลดลงอย่างยอดเยี่ยมและปรากฎว่า:

เอาล่ะ เรามายกระดับกันต่อไป -

ตัวอักษรและเงื่อนไขเพิ่มเติม

สำนวนตามตัวอักษรที่มีรากเป็นสิ่งที่ยุ่งยากกว่า นิพจน์ตัวเลขและเป็นบ่อเกิดของข้อผิดพลาดที่น่ารำคาญและร้ายแรงมากไม่สิ้นสุด มาปิดแหล่งข้อมูลนี้กันดีกว่า) ข้อผิดพลาดเกิดขึ้นเนื่องจากงานดังกล่าวมักเกี่ยวข้องกับตัวเลขและนิพจน์ที่เป็นลบ พวกเขาจะมอบให้เราโดยตรงในงานหรือซ่อนอยู่ใน ตัวอักษรและเงื่อนไขเพิ่มเติม- และในกระบวนการทำงานกับราก เราต้องจำสิ่งนั้นอยู่เสมอในราก แม้แต่ปริญญาทั้งใต้รากและผลจากการสกัดรากก็ควรมี การแสดงออกที่ไม่เป็นลบ- สูตรสำคัญในงานของย่อหน้านี้จะเป็นสูตรที่สี่:

ไม่มีคำถามที่มีรากขององศาคี่ - ทุกอย่างจะถูกแยกออกมาเสมอทั้งบวกและลบ และเครื่องหมายลบ (หากมี) จะถูกนำไปข้างหน้า มาตรงไปที่รากกัน สม่ำเสมอองศา.) เช่น งานสั้นๆ แบบนี้

ลดความซับซ้อน: , ถ้า .

ดูเหมือนว่าทุกอย่างจะง่าย มันจะกลายเป็น X.) แต่ทำไมล่ะ เงื่อนไขเพิ่มเติม - ในกรณีเช่นนี้ การประมาณค่าด้วยตัวเลขจะเป็นประโยชน์ เพื่อตัวฉันเองเท่านั้น) ถ้าแล้ว x ก็เป็นจำนวนลบอย่างเห็นได้ชัด เช่น ลบสาม เป็นต้น หรือลบสี่สิบ. อนุญาต . คุณยกลบ 3 ยกกำลัง 4 ได้ไหม? แน่นอน! ผลลัพธ์คือ 81 เป็นไปได้ไหมที่จะแยกรากที่สี่ของ 81 ออก? ทำไมไม่? สามารถ! คุณได้รับสาม ตอนนี้เรามาวิเคราะห์ห่วงโซ่ทั้งหมดของเรา:

เราเห็นอะไร? ข้อมูลเข้าเป็นจำนวนลบ และผลลัพธ์เป็นค่าบวกอยู่แล้ว ลบสามแล้ว ตอนนี้บวกสามแล้ว) กลับมาที่ตัวอักษรกันดีกว่า ไม่ต้องสงสัยเลยว่าโมดูโลจะเป็น X อย่างแน่นอน แต่มีเพียง X เท่านั้นที่เป็นลบ (ตามเงื่อนไข!) และผลลัพธ์ของการแยก (เนื่องจากรูทเลขคณิต!) จะต้องเป็นบวก จะได้รับบวกได้อย่างไร? ง่ายมาก! ในการทำเช่นนี้ ก็เพียงพอที่จะใส่เครื่องหมายลบไว้หน้าจำนวนลบที่ชัดเจน) และ การตัดสินใจที่ถูกต้องดูเหมือนว่านี้:

อย่างไรก็ตาม หากเราใช้สูตร เมื่อจำคำจำกัดความของโมดูลได้ เราก็จะได้คำตอบที่ถูกต้องทันที เนื่องจาก

|x| = -x ที่ x<0.

นำตัวประกอบออกจากเครื่องหมายราก: , ที่ไหน .

การมองแวบแรกคือการแสดงออกที่ต่างไปจากเดิมอย่างสิ้นเชิง ทุกอย่างเรียบร้อยดีที่นี่ ไม่ว่าในกรณีใดก็จะไม่เป็นลบ มาเริ่มทำการสกัดกัน เมื่อใช้สูตรสำหรับรากของผลิตภัณฑ์ เราจะแยกรากของแต่ละปัจจัยออกมา:

ฉันไม่คิดว่าไม่จำเป็นต้องอธิบายว่าโมดูลมาจากไหน) ทีนี้มาวิเคราะห์แต่ละโมดูลกันดีกว่า

ตัวคูณ | ก - เราไม่เปลี่ยนแปลง: เราไม่มีเงื่อนไขใด ๆ สำหรับจดหมายก- เราไม่รู้ว่ามันเป็นบวกหรือลบ โมดูลถัดไป |ข 2 - สามารถละเว้นได้อย่างปลอดภัย: ไม่ว่าในกรณีใด ให้ใช้นิพจน์ข 2 ไม่เป็นลบ แต่เกี่ยวกับ |ค 3 - - มีปัญหาอยู่แล้วที่นี่) ถ้า, แล้ว ค 3 <0. Стало быть, модуль надо раскрыть ด้วยเครื่องหมายลบ: | ค 3 | = - ค 3 - โดยรวมแล้ว วิธีแก้ไขที่ถูกต้องคือ:

และตอนนี้ - ปัญหาย้อนกลับ ไม่ใช่วิธีที่ง่ายที่สุด ฉันเตือนคุณทันที!

ป้อนตัวคูณใต้เครื่องหมายรูท: .

หากคุณเขียนวิธีแก้ปัญหาเช่นนี้ทันที

แล้วคุณ ตกหลุมพราง- นี้ การตัดสินใจที่ผิด- เกิดอะไรขึ้น?

มาดูสำนวนใต้รากกันดีกว่า ภายใต้รากฐานของกำลังที่สี่อย่างที่เราทราบกันดีว่ามันควรจะมี ไม่เป็นลบการแสดงออก. มิฉะนั้นรากจะไม่มีความหมาย) ดังนั้น และนี่ก็หมายความว่าและด้วยเหตุนี้ตัวมันเองจึงไม่เป็นบวกเช่นกัน: .

และข้อผิดพลาดที่นี่คือเรากำลังแนะนำตั้งแต่ต้นตอ ไม่เป็นบวกตัวเลข: ระดับที่สี่เปลี่ยนเป็น ไม่เป็นลบและได้ผลลัพธ์ที่ไม่ถูกต้อง - ทางด้านซ้ายจะมีเครื่องหมายลบโดยเจตนาและทางด้านขวาจะมีเครื่องหมายบวกอยู่แล้ว และวางไว้ที่ราก สม่ำเสมอเรามีสิทธิ์เท่านั้นที่จะ ไม่เป็นลบตัวเลขหรือสำนวน และทิ้งเครื่องหมายลบ (ถ้ามี) ไว้หน้ารูต) เราจะเลือกตัวประกอบที่ไม่เป็นลบในตัวเลขได้อย่างไรโดยรู้ว่าตัวเองเป็นลบหมดเลย? ใช่แล้ว เหมือนกันทุกประการ! ใส่เครื่องหมายลบ) และเพื่อไม่ให้มีอะไรเปลี่ยนแปลง ให้ชดเชยด้วยเครื่องหมายลบอีกอัน แบบนี้:

และตอนนี้แล้ว ไม่เป็นลบเราป้อนหมายเลข (-b) ใต้รูทอย่างใจเย็นตามกฎทั้งหมด:

ตัวอย่างนี้แสดงให้เห็นอย่างชัดเจนว่า คำตอบที่ถูกต้องไม่ได้เป็นไปตามสูตรโดยอัตโนมัติเสมอไป ซึ่งต่างจากสาขาอื่นๆ ของคณิตศาสตร์ คุณต้องคิดและตัดสินใจอย่างถูกต้องเป็นการส่วนตัว) คุณควรระมัดระวังเป็นพิเศษกับการลงชื่อเข้าใช้ สมการไม่ลงตัวและอสมการ.

เรามาดูเทคนิคสำคัญต่อไปเมื่อทำงานกับรูท - กำจัดความไร้เหตุผล.

ขจัดความไร้เหตุผลในรูปเศษส่วน

หากนิพจน์มีราก ฉันขอเตือนคุณว่านิพจน์ดังกล่าวเรียกว่า การแสดงออกด้วยความไร้เหตุผล- ในบางกรณี การกำจัดความไร้เหตุผลอย่างยิ่งนี้ออกไป (เช่น ราก) อาจมีประโยชน์ คุณจะกำจัดรากได้อย่างไร? รากของเราจะหายไปเมื่อ... ยกขึ้นเป็นพลัง ด้วยตัวบ่งชี้ที่เท่ากับตัวบ่งชี้รูทหรือตัวคูณ แต่ถ้าเรายกกำลังรากขึ้นมา (เช่น คูณรากด้วยตัวมันเองตามจำนวนครั้งที่ต้องการ) นิพจน์ก็จะเปลี่ยนไป ไม่ดีเลย) อย่างไรก็ตาม ในทางคณิตศาสตร์มีหลายหัวข้อที่การคูณค่อนข้างไม่ลำบาก ในรูปเศษส่วน เป็นต้น ตามคุณสมบัติพื้นฐานของเศษส่วน ถ้าตัวเศษและตัวส่วนคูณ (หาร) ด้วยจำนวนเดียวกัน ค่าของเศษส่วนจะไม่เปลี่ยนแปลง

สมมติว่าเราได้รับเศษส่วนนี้:

เป็นไปได้ไหมที่จะกำจัดรากในตัวส่วน? สามารถ! ในการทำเช่นนี้รากจะต้องถูกยกกำลังสาม เราขาดอะไรในตัวส่วนของลูกบาศก์เต็ม? เราขาดตัวคูณเช่น- เราก็คูณทั้งเศษและส่วนของเศษส่วนด้วย

รากในตัวส่วนหายไป แต่... เขาปรากฏตัวในตัวเศษ ไม่มีอะไรที่สามารถทำได้นั่นคือโชคชะตา) สิ่งนี้ไม่สำคัญสำหรับเราอีกต่อไป: เราถูกขอให้ปล่อยตัวส่วนออกจากราก ปล่อยแล้ว? ไม่ต้องสงสัยเลย)

อย่างไรก็ตาม ผู้ที่มีความคุ้นเคยกับตรีโกณมิติอยู่แล้วอาจให้ความสนใจกับความจริงที่ว่าในหนังสือเรียนและตารางบางเล่มมีการกำหนดแตกต่างกัน: ที่ไหนสักแห่ง และบางแห่ง . คำถามคือ - อะไรคือสิ่งที่ถูกต้อง? คำตอบ: ทุกอย่างถูกต้อง!) หากคุณเดาอย่างนั้น– นี่เป็นเพียงผลลัพธ์ของการปลดปล่อยจากการไร้เหตุผลในตัวส่วนของเศษส่วน. :)

เหตุใดเราจึงควรหลุดพ้นจากความไม่ลงตัวของเศษส่วน? มันสร้างความแตกต่างอะไร - รากอยู่ในตัวเศษหรือในตัวส่วน? เครื่องคิดเลขจะคำนวณทุกอย่างอยู่แล้ว) สำหรับผู้ที่ไม่ได้ใช้เครื่องคิดเลขแทบไม่มีความแตกต่างเลย... แต่ถึงแม้จะใช้เครื่องคิดเลขคุณก็สามารถใส่ใจกับความจริงที่ว่า แบ่งบน ทั้งหมดหมายเลขจะสะดวกและรวดเร็วกว่าเปิดอยู่เสมอ ไม่มีเหตุผล- และฉันจะเงียบเกี่ยวกับการแบ่งออกเป็นคอลัมน์)

ตัวอย่างต่อไปนี้จะยืนยันคำพูดของฉันเท่านั้น

เราจะกำจัดสแควร์รูทของตัวส่วนตรงนี้ได้อย่างไร? หากตัวเศษและส่วนคูณด้วยนิพจน์ ตัวส่วนจะเป็นกำลังสองของผลรวม ผลรวมของกำลังสองของตัวเลขตัวแรกและตัวที่สองจะให้ตัวเลขที่ไม่มีรากเลย ซึ่งน่าพอใจมาก อย่างไรก็ตาม...มันจะปรากฏขึ้นมา ผลิตภัณฑ์คู่เลขตัวแรกถึงตัวที่สอง โดยที่รากของเลขสามยังคงอยู่ มันไม่มีช่อง.. ฉันควรทำอย่างไร? จำอีกสูตรที่ยอดเยี่ยมสำหรับการคูณแบบย่อ! โดยที่ไม่มีผลคูณสองเท่า มีแต่สี่เหลี่ยมจัตุรัส:

นิพจน์ที่สร้างเมื่อคูณด้วยผลรวม (หรือส่วนต่าง) ความแตกต่างของกำลังสองเรียกอีกอย่างว่า การแสดงออกร่วมกัน- ในตัวอย่างของเรา นิพจน์คอนจูเกตจะมีความแตกต่าง ดังนั้นเราจึงคูณทั้งเศษและส่วนด้วยผลต่างนี้:

ฉันจะพูดอะไรได้บ้าง? ผลจากการยักย้ายของเรา ไม่เพียงแต่รากของตัวส่วนหายไป แต่เศษส่วนก็หายไปทั้งหมดด้วย! :) ถึงแม้จะใช้เครื่องคิดเลข การลบรากของสามจากสามยังง่ายกว่าการคำนวณเศษส่วนโดยมีรากอยู่ในตัวส่วน อีกตัวอย่างหนึ่ง

ปลดปล่อยตัวเองจากความไร้เหตุผลในตัวส่วนของเศษส่วน:

จะออกไปจากสิ่งนี้ได้อย่างไร? สูตรสำหรับการคูณแบบย่อด้วยกำลังสองไม่ทำงานทันที - มันเป็นไปไม่ได้ที่จะกำจัดรากออกอย่างสมบูรณ์เนื่องจากคราวนี้รากของเราไม่เป็นกำลังสอง แต่ ลูกบาศก์- จำเป็นต้องยกรากให้เป็นลูกบาศก์ ดังนั้นจึงต้องใช้สูตรใดสูตรหนึ่งที่มีลูกบาศก์ อันไหน? ลองคิดดูสิ ตัวส่วนคือผลรวม เราจะบรรลุลูกบาศก์ของรูตได้อย่างไร? คูณด้วย ผลต่างกำลังสองบางส่วน- ดังนั้นเราจะใช้สูตร ผลรวมของลูกบาศก์- อันนี้:

เช่น กเรามีสามอย่างและมีคุณภาพ ข– รากที่สามของห้า:

และเศษส่วนก็หายไปอีกครั้ง) สถานการณ์เช่นนี้เมื่อเศษส่วนหายไปพร้อมกับรากอย่างสมบูรณ์เมื่อเป็นอิสระจากการไร้เหตุผลในตัวส่วนของเศษส่วนเศษส่วนนั้นก็จะหายไปพร้อมกับรากอย่างสมบูรณ์ คุณชอบตัวอย่างนี้อย่างไร!

คำนวณ:

ลองบวกเศษส่วนทั้งสามนี้ดูสิ! ไม่มีข้อผิดพลาด! :) ตัวส่วนร่วมตัวเดียวก็คุ้มค่า จะเป็นอย่างไรถ้าเราพยายามปลดปล่อยตัวเองจากความไร้เหตุผลในตัวส่วนของเศษส่วนแต่ละส่วน? เรามาลองกัน:

ว้าว น่าสนใจจังเลย! เศษส่วนหมด! อย่างสมบูรณ์. และตอนนี้ตัวอย่างสามารถแก้ไขได้สองวิธี:

เรียบง่ายและสง่างาม และไม่มีการคำนวณที่ยาวและน่าเบื่อ -

นั่นคือเหตุผลที่เราต้องสามารถดำเนินการปลดปล่อยจากการไร้เหตุผลเป็นเศษส่วนได้ ในตัวอย่างที่ซับซ้อนเช่นนี้ สิ่งเดียวที่ช่วยประหยัดได้ ใช่แล้ว) แน่นอนว่าไม่มีใครยกเลิกความใส่ใจได้ มีงานที่คุณถูกขอให้กำจัดความไร้เหตุผล เศษ- งานเหล่านี้ไม่แตกต่างจากที่พิจารณา มีเพียงตัวเศษเท่านั้นที่ถูกล้างออกจากราก)

ตัวอย่างที่ซับซ้อนมากขึ้น

ยังคงต้องพิจารณาเทคนิคพิเศษบางอย่างในการทำงานกับรากและการฝึกฝนการแยกส่วนไม่ใช่ตัวอย่างที่ง่ายที่สุด จากนั้นข้อมูลที่ได้รับจะเพียงพอที่จะแก้ไขงานที่มีรากฐานของความซับซ้อนทุกระดับ เอาเลย) ก่อนอื่นเรามาดูกันว่าจะทำอย่างไรกับรูทที่ซ้อนกันเมื่อรูทจากสูตรรูทไม่ทำงาน ตัวอย่างเช่น นี่คือตัวอย่าง

คำนวณ:

รากอยู่ใต้ราก... ยิ่งไปกว่านั้น ใต้รากคือผลรวมหรือผลต่าง ดังนั้นสูตรรากของราก (ที่มีการคูณเลขชี้กำลัง) จึงอยู่ที่นี่ ไม่ทำงาน- ดังนั้นจึงจำเป็นต้องทำอะไรสักอย่าง การแสดงออกที่รุนแรง: เราไม่มีทางเลือกอื่นเลย ในตัวอย่างนี้ ส่วนใหญ่แล้วรูทขนาดใหญ่จะถูกเข้ารหัส กำลังสองที่สมบูรณ์แบบจำนวนหนึ่ง หรือความแตกต่าง และรากของสี่เหลี่ยมก็สามารถแยกออกมาได้อย่างสมบูรณ์แบบแล้ว! และตอนนี้หน้าที่ของเราคือการถอดรหัสมัน) การถอดรหัสดังกล่าวทำได้อย่างสวยงาม ระบบสมการ- ตอนนี้คุณจะเห็นทุกอย่างด้วยตัวคุณเอง)

ดังนั้นภายใต้รูทแรกเรามีนิพจน์นี้:

จะเกิดอะไรขึ้นถ้าคุณเดาไม่ถูก? มาตรวจสอบกัน! เรายกกำลังสองโดยใช้สูตรกำลังสองของผลรวม:

ถูกต้องครับ) แต่... ไปเอาสำนวนนี้มาจากไหน? จากฟากฟ้า?

ไม่) เราจะทำให้มันลดลงเล็กน้อยโดยสุจริต เพียงใช้นิพจน์นี้ ฉันแสดงให้เห็นว่าผู้เขียนงานเข้ารหัสช่องสี่เหลี่ยมดังกล่าวอย่างไร :) 54 คืออะไร? นี้ ผลรวมกำลังสองของตัวเลขตัวแรกและตัวที่สอง- และให้ความสนใจโดยไม่มีราก! และรากยังคงอยู่ ผลิตภัณฑ์คู่ซึ่งในกรณีของเราเท่ากับ ดังนั้น การไขตัวอย่างดังกล่าวจึงเริ่มต้นด้วยการค้นหาผลิตภัณฑ์สองเท่า หากคุณคลี่คลายด้วยการเลือกตามปกติ และโดยวิธีการเกี่ยวกับสัญญาณ ทุกอย่างเรียบง่ายที่นี่ หากมีเครื่องหมายบวกอยู่หน้า double แสดงว่ากำลังสองของผลรวม หากเป็นลบ นั่นคือความแตกต่าง) เรามีเครื่องหมายบวก - นั่นหมายถึงกำลังสองของผลรวม) และตอนนี้ - วิธีถอดรหัสเชิงวิเคราะห์ที่สัญญาไว้ ผ่านระบบ)

ดังนั้นภายใต้รากเหง้าของเราจึงมีการแสดงออกอย่างชัดเจน (ก+ข) 2และหน้าที่ของเราคือค้นหา กและ ข- ในกรณีของเรา ผลรวมของกำลังสองให้ 54 ดังนั้นเราจึงเขียนว่า:

ตอนนี้เพิ่มผลิตภัณฑ์เป็นสองเท่า เรามีมัน- ดังนั้นเราจึงเขียนมันลงไป:

เราได้รับระบบนี้:

เราแก้ด้วยวิธีทดแทนปกติ ตัวอย่างเช่น เราแสดงจากสมการที่สอง และแทนที่มันลงในสมการแรก:

มาแก้สมการแรกกัน:

ได้รับ ทวิภาคสมการสัมพัทธ์ก - เราคำนวณการเลือกปฏิบัติ:

วิธี,

เราได้ค่าที่เป็นไปได้มากถึงสี่ค่าก- เราไม่กลัว. ตอนนี้เราจะกำจัดสิ่งที่ไม่จำเป็นออกไปทั้งหมด) หากเราคำนวณค่าที่สอดคล้องกันสำหรับแต่ละค่าที่พบทั้งสี่ค่า เราจะได้วิธีแก้ปัญหาสี่วิธีสำหรับระบบของเรา พวกเขาอยู่ที่นี่:

และคำถามก็คือ - โซลูชันใดที่เหมาะกับเรา ลองคิดดูสิ วิธีแก้ปัญหาเชิงลบสามารถละทิ้งได้ทันที: เมื่อทำการยกกำลังสอง minuses จะ "หมดแรง" และการแสดงออกที่ต่างไปจากเดิมอย่างสิ้นเชิงโดยรวมจะไม่เปลี่ยนแปลง) สองตัวเลือกแรกยังคงอยู่ คุณสามารถเลือกได้โดยพลการ: การจัดเรียงคำศัพท์ใหม่ยังคงไม่เปลี่ยนผลรวม) สมมุติว่า ,

โดยรวมแล้วเราได้กำลังสองของผลรวมต่อไปนี้ใต้ราก:

ทุกอย่างชัดเจน)

ไม่ใช่เพื่ออะไรที่ฉันอธิบายกระบวนการตัดสินใจโดยละเอียด เพื่อให้ชัดเจนว่าการถอดรหัสเกิดขึ้นได้อย่างไร) แต่มีปัญหาอยู่ประการหนึ่ง วิธีวิเคราะห์ของการถอดรหัสแม้ว่าจะเชื่อถือได้ แต่ก็ใช้เวลานานและยุ่งยากมาก คุณต้องแก้สมการกำลังสอง หาวิธีแก้ปัญหาสี่วิธีให้กับระบบ แล้วยังคิดว่าจะเลือกวิธีไหน... หนักใจไหม? เห็นด้วยครับ ลำบากใจ วิธีนี้ใช้ได้ผลดีกับตัวอย่างเหล่านี้ส่วนใหญ่ อย่างไรก็ตาม บ่อยครั้งที่คุณสามารถประหยัดงานได้มากและค้นหาตัวเลขทั้งสองอย่างสร้างสรรค์ โดยการคัดเลือก) ใช่แล้ว! ตอนนี้ โดยใช้ตัวอย่างของเทอมที่สอง (รากที่สอง) ฉันจะแสดงวิธีที่ง่ายกว่าและเร็วกว่าในการแยกกำลังสองทั้งหมดใต้ราก

ตอนนี้เรามีรากนี้: .

ลองคิดแบบนี้: “ภายใต้รูทนั้นน่าจะเป็นสแควร์ที่สมบูรณ์ที่ถูกเข้ารหัส เมื่อมีเครื่องหมายลบอยู่หน้าค่าสองเท่า หมายความว่ากำลังสองของผลต่าง ผลรวมของกำลังสองของตัวเลขตัวแรกและตัวที่สองทำให้เราได้ตัวเลขนั้น 54- แต่พวกนี้เป็นสี่เหลี่ยมแบบไหน? 1 และ 53? 49 และ 5 - มีตัวเลือกมากเกินไป... ไม่ ควรเริ่มแกะออกโดยเพิ่มผลิตภัณฑ์เป็นสองเท่าจะดีกว่า ของเราสามารถเขียนเป็น . สินค้าไทม์ เพิ่มเป็นสองเท่าจากนั้นเราก็ทิ้งทั้งสองทันที จากนั้นผู้สมัครรับบทบาท a และ b ยังคงเป็น 7 และ แล้วถ้าเป็น 14 และ./2 - มันเป็นไปได้. แต่เรามักเริ่มต้นด้วยสิ่งที่เรียบง่ายเสมอ!”งั้น, ให้, ก. ลองตรวจสอบผลรวมของกำลังสอง:

มันได้ผล! ซึ่งหมายความว่านิพจน์รากของเราคือกำลังสองของผลต่าง:

นี่เป็นวิธีง่ายๆ ในการหลีกเลี่ยงการยุ่งกับระบบ มันไม่ได้ผลเสมอไป แต่ในหลายตัวอย่างเหล่านี้ ก็เพียงพอแล้ว ดังนั้น ใต้รากจึงมีกำลังสองสมบูรณ์ สิ่งที่เหลืออยู่คือการแยกรากอย่างถูกต้องและคำนวณตัวอย่าง:

ทีนี้เรามาดูงานที่ไม่ได้มาตรฐานบนรูทกันดีกว่า)

พิสูจน์ว่าเลข A– จำนวนเต็ม ถ้า .

ไม่มีการสกัดโดยตรง รากถูกฝัง และแม้แต่ในระดับที่แตกต่างกัน... ฝันร้าย! อย่างไรก็ตาม งานนี้สมเหตุสมผล) ดังนั้นจึงมีกุญแจสำคัญในการแก้ไข) และกุญแจสำคัญคือสิ่งนี้ พิจารณาความเท่าเทียมกันของเรา

ยังไง สมการสัมพัทธ์ ก- ใช่ ใช่! คงจะดีถ้ากำจัดรากออกไป รากของเราเป็นลูกบาศก์ ลองยกกำลังสองทั้งสองข้างของสมการกัน ตามสูตรครับ ลูกบาศก์ของผลรวม:

ลูกบาศก์และรากลูกบาศก์หักล้างกัน และใต้รากใหญ่แต่ละอัน เราจะเอาวงเล็บหนึ่งอันจากสี่เหลี่ยมจัตุรัสแล้วยุบผลคูณของผลต่างและผลรวมให้เป็นผลต่างของกำลังสอง:

แยกกันเราคำนวณความแตกต่างของกำลังสองใต้ราก:

ผู้ฝึกสอนหมายเลข 1

หัวข้อ: การแปลงอำนาจและการแสดงออกที่ไม่ลงตัว

1. หลักสูตรวิชาเลือกวิชาคณิตศาสตร์สำหรับนักเรียนชั้นประถมศึกษาปีที่ 10

   โปรแกรม

   แอปพลิเคชัน. การประยุกต์สูตรตรีโกณมิติพื้นฐานเพื่อ การเปลี่ยนแปลง การแสดงออก. เรื่อง 4. ฟังก์ชันตรีโกณมิติและกราฟ สรุป.... . 16.01-20.01 18 การแปลง ใจเย็นและ ไม่มีเหตุผล การแสดงออก. 23.01-27.01 19 ...

2. ปฏิทินและการวางแผนเฉพาะเรื่องพีชคณิตสื่อการศึกษาและจุดเริ่มต้นของการวิเคราะห์ ชั้นประถมศึกษาปีที่ 11

   ปฏิทินและการวางแผนเฉพาะเรื่อง

   และเป็นตัวบ่งชี้ที่มีเหตุผล การแปลง ใจเย็นและ ไม่มีเหตุผล การแสดงออก- 2 2 2 กันยายน คุณสมบัติของลอการิทึม การแปลงลอการิทึม การแสดงออก- 1 1 1 ...ถือว่าครบถ้วนแล้วด้วย เหล่านั้นนักเรียนที่มีความทะเยอทะยานสูง...

3. หัวข้อบทเรียน ประเภทบทเรียน (4)

   บทเรียน

   ... การเปลี่ยนแปลงตัวเลขและตัวอักษร การแสดงออกซึ่งประกอบด้วย องศา ... องศารู้: แนวคิด ระดับมีตัวบ่งชี้ที่ไม่ลงตัว คุณสมบัติพื้นฐาน องศา- สามารถ: ค้นหาความหมาย องศากับ ไม่มีเหตุผล... 3 ถึง หัวข้อ « ระดับเลขบวก...

4. หัวข้อ: รากฐานทางวัฒนธรรมและประวัติศาสตร์เพื่อการพัฒนาความรู้ทางจิตวิทยาในการทำงาน หัวข้อ: แรงงานในฐานะความเป็นจริงทางสังคมและจิตวิทยา

   เอกสาร

   ฯลฯ) หัวข้อแรงงานมีความเกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดกับเศรษฐกิจและสังคม การเปลี่ยนแปลง- เช่น ... การปรับโครงสร้างจิตสำนึก สัญชาตญาณ ไม่มีเหตุผลแนวโน้มเช่น ความขัดแย้งภายใน...ชี้แจงการมีอยู่และ องศา ความรุนแรงบุคคลมีความแน่นอน...

5. การแปลงนิพจน์ที่มีรากที่สอง (1)

   บทเรียน

   เรียบเรียงโดย S.A. เทลยาคอฟสกี้ เรื่องบทเรียน: การแปลง การแสดงออกที่มีสี่เหลี่ยมจตุรัส...) การเปลี่ยนแปลงรากของผลิตภัณฑ์ เศษส่วน และ องศา, การคูณ... ( การก่อตัวของทักษะที่เหมือนกัน การเปลี่ยนแปลง ไม่มีเหตุผล การแสดงออก- หมายเลข 421. (ที่กระดานดำ...

การรักษาความเป็นส่วนตัวของคุณเป็นสิ่งสำคัญสำหรับเรา ด้วยเหตุนี้ เราจึงได้พัฒนานโยบายความเป็นส่วนตัวที่อธิบายถึงวิธีที่เราใช้และจัดเก็บข้อมูลของคุณ โปรดตรวจสอบหลักปฏิบัติด้านความเป็นส่วนตัวของเราและแจ้งให้เราทราบหากคุณมีคำถามใดๆ

การรวบรวมและการใช้ข้อมูลส่วนบุคคล

ข้อมูลส่วนบุคคลหมายถึงข้อมูลที่สามารถใช้เพื่อระบุหรือติดต่อบุคคลใดบุคคลหนึ่งโดยเฉพาะ

คุณอาจถูกขอให้ให้ข้อมูลส่วนบุคคลของคุณได้ตลอดเวลาเมื่อคุณติดต่อเรา

ด้านล่างนี้คือตัวอย่างบางส่วนของประเภทของข้อมูลส่วนบุคคลที่เราอาจรวบรวมและวิธีที่เราอาจใช้ข้อมูลดังกล่าว

เราเก็บรวบรวมข้อมูลส่วนบุคคลอะไรบ้าง:

• เมื่อคุณส่งใบสมัครบนเว็บไซต์ เราอาจรวบรวมข้อมูลต่าง ๆ รวมถึงชื่อ หมายเลขโทรศัพท์ ที่อยู่อีเมลของคุณ ฯลฯ

เราใช้ข้อมูลส่วนบุคคลของคุณอย่างไร:

• ข้อมูลส่วนบุคคลที่เรารวบรวมช่วยให้เราสามารถติดต่อคุณเพื่อรับข้อเสนอ โปรโมชั่น และกิจกรรมอื่น ๆ และกิจกรรมที่กำลังจะเกิดขึ้น
• ในบางครั้ง เราอาจใช้ข้อมูลส่วนบุคคลของคุณเพื่อส่งประกาศและการสื่อสารที่สำคัญ
• เรายังอาจใช้ข้อมูลส่วนบุคคลเพื่อวัตถุประสงค์ภายใน เช่น การดำเนินการตรวจสอบ การวิเคราะห์ข้อมูล และการวิจัยต่างๆ เพื่อปรับปรุงบริการที่เรามีให้และให้คำแนะนำเกี่ยวกับบริการของเราแก่คุณ
• หากคุณเข้าร่วมการจับรางวัล การประกวด หรือการส่งเสริมการขายที่คล้ายกัน เราอาจใช้ข้อมูลที่คุณให้ไว้เพื่อจัดการโปรแกรมดังกล่าว

การเปิดเผยข้อมูลแก่บุคคลที่สาม

เราไม่เปิดเผยข้อมูลที่ได้รับจากคุณต่อบุคคลที่สาม

ข้อยกเว้น:

• หากจำเป็น - ตามกฎหมาย ขั้นตอนการพิจารณาคดี ในการดำเนินการทางกฎหมาย และ/หรือตามคำขอสาธารณะหรือคำขอจากหน่วยงานของรัฐในสหพันธรัฐรัสเซีย - ให้เปิดเผยข้อมูลส่วนบุคคลของคุณ เรายังอาจเปิดเผยข้อมูลเกี่ยวกับคุณหากเราพิจารณาว่าการเปิดเผยดังกล่าวมีความจำเป็นหรือเหมาะสมเพื่อความปลอดภัย การบังคับใช้กฎหมาย หรือวัตถุประสงค์ที่สำคัญสาธารณะอื่น ๆ
• ในกรณีของการปรับโครงสร้างองค์กร การควบรวมกิจการ หรือการขาย เราอาจถ่ายโอนข้อมูลส่วนบุคคลที่เรารวบรวมไปยังบุคคลที่สามที่รับช่วงต่อที่เกี่ยวข้อง

การคุ้มครองข้อมูลส่วนบุคคล

เราใช้ความระมัดระวัง - รวมถึงการบริหารจัดการ ทางเทคนิค และทางกายภาพ - เพื่อปกป้องข้อมูลส่วนบุคคลของคุณจากการสูญหาย การโจรกรรม และการใช้งานในทางที่ผิด รวมถึงการเข้าถึง การเปิดเผย การเปลี่ยนแปลง และการทำลายโดยไม่ได้รับอนุญาต

การเคารพความเป็นส่วนตัวของคุณในระดับบริษัท

เพื่อให้มั่นใจว่าข้อมูลส่วนบุคคลของคุณปลอดภัย เราจะสื่อสารมาตรฐานความเป็นส่วนตัวและความปลอดภัยให้กับพนักงานของเรา และบังคับใช้หลักปฏิบัติด้านความเป็นส่วนตัวอย่างเคร่งครัด