สูตรคำนวณเซกเตอร์วงกลม สูตรพื้นที่เซกเตอร์ของวงกลมและความยาวของส่วนโค้ง

บ้าน

“สัญญาณแห่งความเท่าเทียมกันของรูปสามเหลี่ยม” - ประเภทของรูปสามเหลี่ยม ความสูงของรูปสามเหลี่ยม สัญญาณของความเท่ากันของรูปสามเหลี่ยม ไตรภาคของมุม สามเหลี่ยมใดๆ จะมีค่ามัธยฐาน 3 อัน เราพบการกล่าวถึงสามเหลี่ยมเป็นครั้งแรกและคุณสมบัติของมันในปาปิรุสของอียิปต์ คุณสมบัติของค่ามัธยฐาน เส้นแบ่งครึ่ง และความสูงของรูปสามเหลี่ยม สามเหลี่ยมด้านเท่าและสามเหลี่ยมหน้าจั่ว “แผ่นกระดาษ” - ในเรขาคณิต ใช้กระดาษเพื่อ: เขียน, วาด; ตัด; โค้งงอ. ทุกคนความจริงที่รู้

กระดาษที่เผาไม่ได้ใช้ในเรขาคณิต เรขาคณิตและแผ่นกระดาษ ปาสคาล. สามเหลี่ยมถูกตัดออกจากกระดาษ ใบไม้จากสมุดบันทึก ในบรรดาการกระทำที่เป็นไปได้มากมายกับกระดาษ สิ่งสำคัญคือสามารถตัดได้ "ประวัติศาสตร์เรขาคณิต" -อียิปต์โบราณ - ยุคกลาง “หลักการ” ประกอบด้วยหนังสือ 13 เล่ม การเกิดขึ้นและพัฒนาการของเรขาคณิต ในเรขาคณิตของ Lyubachevsky มีรูปสามเหลี่ยมเป็นคู่. ด้านขนานกรีกโบราณ

- เรขาคณิตประกอบด้วยสูตร ตัวเลข ทฤษฎีบท ปัญหา และสัจพจน์มากมาย ทาเลสนำเสนอแนวคิดเรื่องการเคลื่อนไหวโดยเฉพาะการเลี้ยว

“การพิสูจน์ทฤษฎีบทพีทาโกรัส” - ความสำคัญของทฤษฎีบทนี้คือทฤษฎีบทเรขาคณิตส่วนใหญ่สามารถอนุมานได้จากทฤษฎีบทนี้หรือด้วยความช่วยเหลือจากทฤษฎีบทนี้ การพิสูจน์พีชคณิต ความหมายของทฤษฎีบทพีทาโกรัส และตอนนี้ทฤษฎีบทพีทาโกรัสก็เป็นจริงเหมือนในยุคอันห่างไกลของเขา ทฤษฎีบทพีทาโกรัสเป็นหนึ่งในทฤษฎีบทที่สำคัญที่สุดในเรขาคณิต ทฤษฎีบทพีทาโกรัส ข้อพิสูจน์ของยุคลิด “ทาเลสแห่งมิเลทัส” - ทาเลสเป็นนักคิดชาวกรีกโบราณ ผู้ก่อตั้งปรัชญาและวิทยาศาสตร์โบราณ บางครั้งจำเป็นต้องวัดระยะห่างจากวัตถุที่ไม่สามารถเข้าถึงได้ การกำหนดระยะทางโดยใช้ไม้ขีด ทาลีสค้นพบความยาวของปีและแบ่งออกเป็น 365 วัน ทาลีสแห่งมิเลทัส. ทาเลสทำนายไว้สุริยุปราคา

28 พฤษภาคม 585 ปีก่อนคริสตกาล “รูปทรงหลายเหลี่ยมปกติ” - ไอโคซาฮีดรอนมีความคล่องตัวมากที่สุด แบบอย่างระบบสุริยะ I.เคปเลอร์. รูปทรงหลายเหลี่ยมปกติพบได้ในธรรมชาติที่มีชีวิต "คอสมิกคัพ" ของเคปเลอร์ สิบสองหน้าปกติเหลือจากสิบสองรูปห้าเหลี่ยมปกติ

- ผลรวมของมุมระนาบของไอโคซาฮีดรอนที่แต่ละจุดยอดคือ 300? ไอโคซาฮีดรอนปกติ

มีการนำเสนอทั้งหมด 41 เรื่อง และ - วงกลมรูปทรงเรขาคณิต เชื่อมต่อถึงกัน มีเส้นแบ่งเขต (เส้นโค้ง),

คำนิยาม. วงกลมคือเส้นโค้งปิด ซึ่งแต่ละจุดมีระยะห่างเท่ากันจากจุดที่เรียกว่าศูนย์กลางของวงกลม

ในการสร้างวงกลม จะต้องเลือกจุด O ใดๆ เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลม และลากเส้นปิดโดยใช้เข็มทิศ

หากจุด O ของศูนย์กลางของวงกลมเชื่อมต่อกับจุดใดๆ บนวงกลม ผลลัพธ์ที่ได้ทั้งหมดจะเท่ากัน และส่วนดังกล่าวเรียกว่า รัศมี ย่อมาจากภาษาละตินเล็กหรือ อักษรตัวใหญ่"เอ่อ" ( รหรือ ร- คุณสามารถวาดรัศมีในวงกลมได้มากเท่าที่มีจุดในเส้นรอบวง

ส่วนที่เชื่อมต่อจุดสองจุดบนวงกลมแล้วผ่านจุดศูนย์กลางเรียกว่าเส้นผ่านศูนย์กลาง เส้นผ่านศูนย์กลางประกอบด้วยสอง รัศมีนอนอยู่บนเส้นตรงเดียวกัน เส้นผ่านศูนย์กลางระบุด้วยอักษรละตินตัวเล็กหรือตัวพิมพ์ใหญ่ “de” ( งหรือ ดี).

กฎ. เส้นผ่านศูนย์กลางวงกลมมีค่าเท่ากับสองของมัน รัศมี.

ง = 2r
ด=2อาร์

เส้นรอบวงของวงกลมคำนวณโดยสูตรและขึ้นอยู่กับรัศมี (เส้นผ่านศูนย์กลาง) ของวงกลม สูตรประกอบด้วยตัวเลข ¶ ซึ่งแสดงจำนวนครั้งที่เส้นรอบวงมากกว่าเส้นผ่านศูนย์กลาง ตัวเลข ¶ มีทศนิยมเป็นอนันต์ สำหรับการคำนวณ ¶ = 3.14 ถูกนำมาใช้

เส้นรอบวงของวงกลมเขียนแทนด้วยอักษรละตินตัวพิมพ์ใหญ่ “tse” ( ค- เส้นรอบวงของวงกลมเป็นสัดส่วนกับเส้นผ่านศูนย์กลาง สูตรคำนวณเส้นรอบวงของวงกลมตามรัศมีและเส้นผ่านศูนย์กลาง:

ค = ¶ง
C = 2¶r

• ตัวอย่าง
• ให้ไว้: d = 100 ซม.
• เส้นรอบวง: C=3.14*100ซม.=314ซม
• ให้ไว้: d = 25 มม.
• เส้นรอบวง: C = 2*3.14*25 = 157 มม

เส้นตัดวงกลมและส่วนโค้งวงกลม

เส้นตัดทุกเส้น (เส้นตรง) ตัดวงกลมที่จุดสองจุดแล้วแบ่งออกเป็นสองส่วนโค้ง ขนาดของส่วนโค้งของวงกลมขึ้นอยู่กับระยะห่างระหว่างจุดศูนย์กลางและเส้นตัด และวัดตามเส้นโค้งปิดจากจุดตัดแรกของเส้นตัดกับวงกลมถึงวินาที

ส่วนโค้งวงกลมถูกแบ่งออก ตัดออกเป็นหลักและรองถ้าเส้นตัดไม่ตรงกับเส้นผ่านศูนย์กลางและเป็นสอง ส่วนโค้งเท่ากันถ้าเส้นตัดผ่านเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลม

ถ้าเส้นตัดผ่านศูนย์กลางของวงกลม ส่วนของวงกลมที่อยู่ระหว่างจุดตัดกับวงกลมจะเป็นเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลม หรือคอร์ดที่ใหญ่ที่สุดของวงกลม

ยิ่งเส้นตัดอยู่ห่างจากศูนย์กลางของวงกลมมากเท่าไร องศาของส่วนโค้งเล็กของวงกลมก็จะยิ่งเล็กลง และส่วนโค้งของวงกลมก็จะยิ่งใหญ่ขึ้นเท่านั้น และส่วนของเส้นตัดนั้นเรียกว่า คอร์ดลดลงเมื่อเส้นตัดเคลื่อนออกจากศูนย์กลางของวงกลม

คำนิยาม. วงกลมเป็นส่วนหนึ่งของเครื่องบินที่วางอยู่ภายในวงกลม

จุดศูนย์กลาง รัศมี และเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลมจะเท่ากับจุดศูนย์กลาง รัศมี และเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลมที่สอดคล้องกัน

เนื่องจากวงกลมเป็นส่วนหนึ่งของระนาบ พารามิเตอร์ตัวหนึ่งจึงเป็นพื้นที่

กฎ. พื้นที่ของวงกลม ( ส) เท่ากับผลคูณของกำลังสองของรัศมี ( ร 2) ไปยังหมายเลข ¶

• ตัวอย่าง
• ให้ไว้: r = 100 ซม
• พื้นที่วงกลม:
• S = 3.14 * 100 ซม. * 100 ซม. = 31,400 ซม. 2 µm 3 ม. 2
• ให้ไว้: d = 50 มม
• พื้นที่วงกลม:
• S = ¼ * 3.14 * 50 มม. * 50 มม. = 1,963 มม. 2 γ 20 ซม. 2

หากคุณวาดรัศมีสองรัศมีในวงกลมไปยังจุดต่างๆ บนวงกลม วงกลมจะก่อตัวเป็นสองส่วน เรียกว่า ภาคส่วน- หากคุณวาดคอร์ดเป็นวงกลม ส่วนของระนาบระหว่างส่วนโค้งกับคอร์ดจะถูกเรียกว่า ส่วนวงกลม.

ไม่จำเป็นต้องเรียนรู้พื้นที่ของเซกเตอร์ของวงกลมและพื้นที่ของเซกเมนต์! เพื่อนรัก!คุณอาจเคยดูหนังสืออ้างอิงที่มีสูตรทางคณิตศาสตร์มากกว่าหนึ่งครั้ง และความคิดก็อาจเกิดขึ้น: "เป็นไปได้จริงหรือที่จะเรียนรู้สูตรเหล่านี้ทั้งหมด" ฉันจะบอกคุณถึงสิ่งที่เป็นไปได้ แต่ทำไม? ทำไมต้องเติมสูตรมากมายในหัว พูดซ้ำๆ กลัวลืมบางสูตรแล้วซ้ำอีก? ไม่จำเป็น!

ในความเป็นจริง การจำหนึ่งในสามของสูตรทั้งหมด สูตรพื้นฐาน หรือน้อยกว่านั้นก็เพียงพอแล้ว ต่อไปคุณจะเข้าใจสิ่งที่เรากำลังพูดถึง สูตรอื่นๆ ทั้งหมดสามารถอนุมานได้อย่างรวดเร็วด้วยการรู้พื้นฐาน ใช้ตรรกะ และจดจำหลักการที่ต้องปฏิบัติตาม

ฉันขอยกตัวอย่าง: มีสูตรการลดจำนวน 32 สูตร การเรียนรู้สูตรเหล่านี้เป็นแบบฝึกหัดที่ไร้จุดหมาย วิธีจดจำสิ่งเหล่านี้อย่างรวดเร็วมีอธิบายไว้ในบทความ“” ลองดู

ในบทความนี้เราจะดูวิธีการคืนค่าสูตรสำหรับพื้นที่เซกเตอร์ของวงกลมพื้นที่เซ็กเมนต์และความยาวของส่วนโค้งของวงกลมในหน่วยความจำอย่างรวดเร็ว เป็นสูตรเหล่านี้ที่จำเป็นสำหรับการแก้อนุกรมใน planimetry ซึ่งเราจะวิเคราะห์ในบทความถัดไปดังนั้นสูตร “พื้นฐาน” จึงต้องเรียนรู้และรู้จักมัน!

พื้นที่ของวงกลม (สูตร):

สูตรเส้นรอบวง:

ให้เราพรรณนาถึงเซกเตอร์ที่สอดคล้องกับมุมที่ศูนย์กลาง n:

เราให้เหตุผลอย่างมีเหตุผล: หากพื้นที่ของวงกลมคือ S=ประชาสัมพันธ์ 2 จากนั้นพื้นที่ที่สอดคล้องกับเซกเตอร์ของหนึ่งองศาจะเท่ากับ 1/360 ของพื้นที่ของวงกลม (เรารู้ว่าวงกลมทั้งหมดมีมุม 360 องศา) นั่นคือ

เป็นที่ชัดเจนว่าพื้นที่ของเซกเตอร์ที่สอดคล้องกับมุมศูนย์กลางของ n องศาเท่ากับผลคูณของพื้นที่วงกลมสามร้อยหกสิบและมุมศูนย์กลาง n (ตรงกับเซกเตอร์) นั่นคือ

นี่คือสูตรสำหรับพื้นที่เซกเตอร์

หรือคุณสามารถจัดโครงสร้างการใช้เหตุผลของคุณดังนี้:

เซกเตอร์ของ 1 องศาคือ 1/360 ของวงกลม ตามลำดับ เซกเตอร์ของ n องศาคือ n/360 ของวงกลม นั่นคือพื้นที่ของเซกเตอร์จะเท่ากับผลคูณของพื้นที่ของวงกลมและส่วนนี้:

มันง่ายมาก จำเป็นต้องลบพื้นที่ของสามเหลี่ยมออกจากพื้นที่ของเซกเตอร์ (กำหนดไว้ สีเหลือง- อย่างที่เราทราบพื้นที่ของสามเหลี่ยมเท่ากับครึ่งหนึ่งของผลคูณ ฝ่ายเพื่อนบ้านโดยค่าไซน์ของมุมระหว่างพวกมัน (สูตรนี้ต้องรู้นะครับ ไม่ใช่ซับซ้อน). ในกรณีนี้คือ:

วิธี,

มากสำหรับพื้นที่ส่วน!

พื้นที่ส่วนไหน มุมกลางพบมากกว่า 180 องศาง่ายๆ:

จากพื้นที่ของวงกลม ลบพื้นที่ของส่วนที่เป็นผล:

มุม 360 ​​- n องศาคือมุมที่สอดคล้องกับเซกเตอร์ที่ปรากฎ (สีเหลือง):

กล่าวคือเราเพิ่มพื้นที่ของสามเหลี่ยมลงในพื้นที่และรับพื้นที่ของส่วนที่ระบุ

ในทำนองเดียวกัน เรากำหนดความยาวของส่วนโค้งของวงกลม ดังที่ได้กล่าวไปแล้ว เส้นรอบวง เท่ากับ:

ซึ่งหมายความว่าความยาวของส่วนโค้งของวงกลมที่สัมพันธ์กับหนึ่งองศาจะเท่ากับหนึ่งสามร้อยหกสิบของ 2πR นั่นคือ

เราได้ความยาวของส่วนโค้งของวงกลม แน่นอน, ข้อมูลนี้ครูมอบให้นักเรียน และคุณไม่ได้เรียนรู้อะไรที่เป็นความลับขนาดนี้ แต่ฉันแน่ใจว่าบทความนี้จะเป็นประโยชน์กับคุณ

ฉันขอย้ำว่าสิ่งที่สำคัญที่สุดคือการรู้สูตรสำหรับพื้นที่ของวงกลมและเส้นรอบวงแล้วใช้ตรรกะเท่านั้น

ฉันขอแนะนำให้คุณดู บทเรียนพิเศษ Dmitry Tarasov ในหัวข้อนี้ พิจารณาสูตรสำหรับความยาวของส่วนโค้งวงกลมและพื้นที่ของเซกเตอร์โดยให้มุมที่ศูนย์กลางเป็นหน่วยเรเดียน

นั่นคือทั้งหมดที่ขอให้โชคดี!!

ขอแสดงความนับถือ Alexander Krutitskikh

ป.ล. ฉันจะขอบคุณถ้าคุณบอกฉันเกี่ยวกับเว็บไซต์บนโซเชียลเน็ตเวิร์ก

วงกลม ชิ้นส่วน ขนาด และความสัมพันธ์เป็นสิ่งที่นักอัญมณีต้องเผชิญอยู่ตลอดเวลา แหวน กำไล วรรณะ ท่อ ลูกบอล เกลียว - ต้องทำของทรงกลมมากมาย คุณจะคำนวณทั้งหมดนี้ได้อย่างไร โดยเฉพาะอย่างยิ่งถ้าคุณโชคดีพอที่จะโดดเรียนวิชาเรขาคณิตที่โรงเรียนได้?..

ก่อนอื่นเรามาดูกันว่าวงกลมมีส่วนใดบ้างและเรียกว่าอะไร

• วงกลมคือเส้นที่ล้อมรอบวงกลม
• ส่วนโค้งเป็นส่วนหนึ่งของวงกลม
• รัศมีเป็นส่วนที่เชื่อมต่อจุดศูนย์กลางของวงกลมกับจุดใดๆ บนวงกลม
• คอร์ดคือส่วนที่เชื่อมต่อจุดสองจุดบนวงกลม
• เซ็กเมนต์เป็นส่วนหนึ่งของวงกลมที่ล้อมรอบด้วยคอร์ดและส่วนโค้ง
• เซกเตอร์เป็นส่วนหนึ่งของวงกลมที่ล้อมรอบด้วยสองรัศมีและส่วนโค้ง

จำนวนที่เราสนใจและการกำหนด:

ตอนนี้เรามาดูกันว่าปัญหาใดบ้างที่เกี่ยวข้องกับส่วนต่างๆ ของวงกลมที่ต้องแก้ไข

• ค้นหาความยาวของการพัฒนาของส่วนใดส่วนหนึ่งของแหวน (สร้อยข้อมือ) เมื่อพิจารณาจากเส้นผ่านศูนย์กลางและคอร์ด (ตัวเลือก: เส้นผ่านศูนย์กลางและมุมที่ศูนย์กลาง) ให้หาความยาวของส่วนโค้ง
• มีภาพวาดบนเครื่องบินคุณต้องทราบขนาดของมันในการฉายภาพหลังจากงอเป็นส่วนโค้ง เมื่อพิจารณาจากความยาวส่วนโค้งและเส้นผ่านศูนย์กลาง จงหาความยาวคอร์ด
• ค้นหาความสูงของชิ้นส่วนที่ได้จากการดัดชิ้นงานแบนให้เป็นส่วนโค้ง ตัวเลือกแหล่งข้อมูล: ความยาวและเส้นผ่านศูนย์กลางส่วนโค้ง ความยาวส่วนโค้งและคอร์ด หาความสูงของเซ็กเมนต์

ชีวิตจะให้ตัวอย่างอื่นๆ แก่คุณ แต่ฉันยกตัวอย่างเหล่านี้เพื่อแสดงความจำเป็นในการตั้งค่าพารามิเตอร์สองตัวเพื่อค้นหาพารามิเตอร์อื่นๆ ทั้งหมด นี่คือสิ่งที่เราจะทำ กล่าวคือเราจะใช้พารามิเตอร์ห้าตัวของเซ็กเมนต์: D, L, X, φ และ H จากนั้นเมื่อเลือกคู่ที่เป็นไปได้ทั้งหมดจากพวกมัน เราจะพิจารณาว่าพวกมันเป็นข้อมูลเริ่มต้นและค้นหาส่วนที่เหลือทั้งหมดโดยการระดมความคิด

เพื่อไม่ให้เป็นภาระแก่ผู้อ่านโดยไม่จำเป็นฉันจะไม่ให้วิธีแก้ปัญหาโดยละเอียด แต่จะนำเสนอเฉพาะผลลัพธ์ในรูปแบบของสูตรเท่านั้น (ในกรณีที่ไม่มีวิธีแก้ปัญหาอย่างเป็นทางการฉันจะหารือไปตลอดทาง)

และอีกประการหนึ่ง: เกี่ยวกับหน่วยการวัด ปริมาณทั้งหมด ยกเว้นมุมที่ศูนย์กลาง ถูกวัดในหน่วยนามธรรมเดียวกัน ซึ่งหมายความว่าหากคุณระบุค่าหนึ่งเป็นมิลลิเมตรก็ไม่จำเป็นต้องระบุค่าอื่นเป็นเซนติเมตรและค่าผลลัพธ์จะถูกวัดในหน่วยมิลลิเมตรเดียวกัน (และพื้นที่เป็นตารางมิลลิเมตร) เช่นเดียวกันกับหน่วยนิ้ว ฟุต และไมล์ทะเล

และเฉพาะมุมที่ศูนย์กลางในทุกกรณีเท่านั้นที่จะวัดเป็นองศาและไม่มีอะไรอื่นอีก เพราะตามหลักทั่วไปแล้ว คนที่ออกแบบบางสิ่งที่เป็นทรงกลมมักไม่มีแนวโน้มที่จะวัดมุมเป็นเรเดียน วลี "มุมพายคูณสี่" ทำให้หลายคนสับสนในขณะที่ทุกคนสามารถเข้าใจ "มุมสี่สิบห้าองศา" ได้ เนื่องจากมันสูงกว่าปกติเพียงห้าองศาเท่านั้น อย่างไรก็ตาม ในทุกสูตร จะมีมุมอีกหนึ่งมุม - α - แสดงเป็นค่ากลาง ในความหมาย นี่คือครึ่งหนึ่งของมุมศูนย์กลาง ซึ่งวัดเป็นเรเดียน แต่คุณไม่สามารถเจาะลึกความหมายนี้ได้อย่างปลอดภัย

1. เมื่อกำหนดเส้นผ่านศูนย์กลาง D และความยาวส่วนโค้ง L

- ความยาวคอร์ด ;
ความสูงของส่วน - มุมกลาง .

2. ให้เส้นผ่านศูนย์กลาง D และความยาวคอร์ด X

- ความยาวส่วนโค้ง;
ความสูงของส่วน - มุมกลาง .

เนื่องจากคอร์ดแบ่งวงกลมออกเป็นสองส่วน ปัญหานี้จึงไม่มีวิธีแก้ปัญหาเพียงข้อเดียว แต่มีสองวิธี เพื่อให้ได้มุมที่สอง คุณต้องแทนที่มุม α ในสูตรด้านบนด้วยมุม

3. เมื่อพิจารณาจากเส้นผ่านศูนย์กลาง D และมุมศูนย์กลาง φ

- ความยาวส่วนโค้ง;
ความยาวคอร์ด - ความสูงของส่วน .

4. เมื่อพิจารณาจากเส้นผ่านศูนย์กลาง D และความสูงของส่วน H

- ความยาวส่วนโค้ง;
ความยาวคอร์ด - มุมกลาง .

6. ให้ความยาวส่วนโค้ง L และมุมที่ศูนย์กลาง φ

- เส้นผ่านศูนย์กลาง ;
ความยาวคอร์ด - ความสูงของส่วน .

8. เมื่อพิจารณาจากความยาวคอร์ด X และมุมที่ศูนย์กลาง φ

- ความยาวส่วนโค้ง ;
เส้นผ่านศูนย์กลาง ; ความสูงของส่วน .

9. เมื่อพิจารณาจากความยาวของคอร์ด X และความสูงของส่วน H

- ความยาวส่วนโค้ง ;
เส้นผ่านศูนย์กลาง ; มุมกลาง .

10. เมื่อพิจารณาจากมุมศูนย์กลาง φ และความสูงของส่วน H

- เส้นผ่านศูนย์กลาง ;
ความยาวส่วนโค้ง; ความยาวคอร์ด .

ผู้อ่านที่เอาใจใส่อดไม่ได้ที่จะสังเกตว่าฉันพลาดสองตัวเลือก:

5. ให้ความยาวส่วนโค้ง L และความยาวคอร์ด X

7. เมื่อพิจารณาความยาวของส่วนโค้ง L และความสูงของส่วน H

นี่เป็นเพียงสองกรณีที่ไม่พึงประสงค์เมื่อปัญหาไม่มีวิธีแก้ไขที่สามารถเขียนในรูปของสูตรได้ และงานก็ไม่ได้หายากนัก ตัวอย่างเช่น คุณมีชิ้นส่วนแบนที่มีความยาว L และคุณต้องการงอมันเพื่อให้ความยาวกลายเป็น X (หรือความสูงกลายเป็น H) ฉันควรใช้แมนเดรล (คานประตู) เส้นผ่านศูนย์กลางเท่าใด

ปัญหานี้เกิดจากการแก้สมการ:
- - ในตัวเลือกที่ 5
- - ในตัวเลือกที่ 7
และถึงแม้ว่าจะไม่สามารถแก้ไขได้ด้วยการวิเคราะห์ แต่ก็สามารถแก้ไขได้อย่างง่ายดายโดยทางโปรแกรม และฉันรู้ด้วยซ้ำว่าจะหาโปรแกรมดังกล่าวได้ที่ไหน: บนเว็บไซต์นี้ภายใต้ชื่อ . เธอทำทุกอย่างที่ฉันบอกคุณอย่างละเอียดในหน่วยไมโครวินาที

เพื่อให้ภาพสมบูรณ์ เรามาเพิ่มผลการคำนวณของเรากับเส้นรอบวงและค่าพื้นที่สามค่า ได้แก่ วงกลม เซกเตอร์ และเซ็กเมนต์ (พื้นที่จะช่วยเราได้มากในการคำนวณมวลของชิ้นส่วนทรงกลมและครึ่งวงกลมทุกชนิด แต่จะเพิ่มเติมในเรื่องนี้ใน บทความแยกต่างหาก.) ปริมาณทั้งหมดนี้คำนวณโดยใช้สูตรเดียวกัน:

เส้นรอบวง;
พื้นที่ของวงกลม ;
พื้นที่ภาค;
พื้นที่ส่วน ;

และโดยสรุป ผมขอย้ำอีกครั้งถึงความมีอยู่จริงของความแน่นอน โปรแกรมฟรีซึ่งดำเนินการคำนวณข้างต้นทั้งหมด ช่วยให้คุณไม่ต้องจำว่าอาร์กแทนเจนต์คืออะไรและจะหาได้จากที่ไหน

วงกลมเป็นตัวเลขหลักในเรขาคณิตซึ่งมีการศึกษาคุณสมบัติที่โรงเรียนในชั้นประถมศึกษาปีที่ 8 ปัญหาทั่วไปประการหนึ่งที่เกี่ยวข้องกับวงกลมคือการหาพื้นที่ของบางส่วนของวงกลมซึ่งเรียกว่าเซกเตอร์วงกลม บทความนี้มีสูตรสำหรับพื้นที่ของเซกเตอร์และความยาวของส่วนโค้งรวมถึงตัวอย่างการใช้งานเพื่อแก้ไขปัญหาเฉพาะ

แนวคิดเรื่องเส้นรอบวงและวงกลม

ก่อนที่จะให้สูตรพื้นที่เซกเตอร์ของวงกลม ให้เราพิจารณาว่าตัวเลขที่ระบุนั้นคืออะไร ตาม คำจำกัดความทางคณิตศาสตร์วงกลมเข้าใจได้ว่าเป็นรูปบนระนาบ จุดทุกจุดมีระยะห่างเท่ากันจากจุดใดจุดหนึ่ง (ศูนย์กลาง)

เมื่อพิจารณาวงกลม จะใช้คำศัพท์ต่อไปนี้:

• รัศมีคือส่วนที่ลากจากจุดศูนย์กลางไปยังส่วนโค้งของวงกลม โดยปกติจะแสดงด้วยตัวอักษร R
• เส้นผ่านศูนย์กลางคือส่วนของเส้นตรงที่เชื่อมต่อจุดสองจุดบนวงกลม แต่ยังผ่านจุดศูนย์กลางของรูปด้วย โดยปกติจะแสดงด้วยตัวอักษร D
• ส่วนโค้งเป็นส่วนหนึ่งของวงกลมโค้ง มีหน่วยวัดเป็นหน่วยความยาวหรือใช้มุม

วงกลมเป็นอีกรูปหนึ่งที่สำคัญในเรขาคณิต มันคือชุดของจุดที่ล้อมรอบด้วยเส้นโค้งของวงกลม

พื้นที่ของวงกลมและเส้นรอบวง

ค่าที่ระบุไว้ในชื่อเรื่องของรายการคำนวณโดยใช้สูตรง่ายๆ สองสูตร พวกเขาได้รับด้านล่าง:

• เส้นรอบวง: L = 2*pi*R
• พื้นที่ของวงกลม: S = pi*R 2 .

ในสูตรเหล่านี้ pi คือค่าคงที่จำนวนหนึ่งที่เรียกว่าเลขพาย มันไม่ลงตัว กล่าวคือ ไม่สามารถแสดงเป็นเศษส่วนอย่างง่ายได้อย่างถูกต้อง ค่าประมาณของ Pi คือ 3.1416

ดังที่เห็นได้จากสำนวนข้างต้น ในการคำนวณพื้นที่และความยาว แค่รู้เฉพาะรัศมีของวงกลมก็เพียงพอแล้ว

พื้นที่เซกเตอร์ของวงกลมและความยาวของส่วนโค้ง

ก่อนที่จะพิจารณาสูตรที่เกี่ยวข้อง ให้เราจำไว้ว่ามุมในเรขาคณิตมักจะแสดงออกมาในสองวิธีหลัก:

• ในองศาหกเท่า โดยมีการหมุนรอบแกนอย่างสมบูรณ์คือ 360 o;
• เป็นเรเดียน ซึ่งแสดงเป็นเศษส่วนของตัวเลข pi และสัมพันธ์กับองศาด้วยความเท่าเทียมกันดังต่อไปนี้: 2*pi = 360 o

เซกเตอร์ของวงกลมคือรูปที่ล้อมรอบด้วยเส้นสามเส้น: ส่วนโค้งของวงกลมและรัศมีสองรัศมีที่ปลายส่วนโค้งนี้ ตัวอย่างของเซกเตอร์วงกลมแสดงอยู่ในรูปภาพด้านล่าง

เมื่อได้รับแนวคิดว่าเซกเตอร์ของวงกลมคืออะไร จึงเป็นเรื่องง่ายที่จะเข้าใจวิธีคำนวณพื้นที่และความยาวของส่วนโค้งที่สอดคล้องกัน จากรูปด้านบน จะเห็นได้ว่าส่วนโค้งของเซกเตอร์สอดคล้องกับมุม θ เรารู้ว่าวงกลมที่สมบูรณ์สอดคล้องกับ 2*pi เรเดียน ซึ่งหมายความว่าสูตรสำหรับพื้นที่ของเซกเตอร์วงกลมจะอยู่ในรูปแบบ: S 1 = S*θ/(2*pi) = pi*R 2 * θ/(2*ไพ) = θ*R 2 /2 ในที่นี้มุม θ แสดงเป็นเรเดียน สูตรที่คล้ายกันสำหรับพื้นที่เซกเตอร์หากวัดมุม θ เป็นองศาจะมีลักษณะดังนี้: S 1 = pi*θ*R 2 /360

ความยาวของส่วนโค้งที่สร้างเซกเตอร์คำนวณโดยสูตร: L 1 = θ*2*pi*R/(2*pi) = θ*R และถ้าทราบ θ เป็นองศา ดังนั้น L 1 = pi*θ*R/180

ตัวอย่างการแก้ปัญหา

ยกตัวอย่างปัญหาง่ายๆ เราจะแสดงวิธีใช้สูตรสำหรับพื้นที่เซกเตอร์ของวงกลมและความยาวของส่วนโค้ง

เป็นที่รู้กันว่าล้อมี 12 ซี่ เมื่อล้อหมุนครบหนึ่งรอบ มันจะครอบคลุมระยะทาง 1.5 เมตร พื้นที่ที่อยู่ระหว่างซี่ล้อสองซี่ที่อยู่ติดกันคือเท่าใด และส่วนโค้งระหว่างซี่ล้อทั้งสองเป็นเท่าใด

ดังที่เห็นได้จากสูตรที่เกี่ยวข้อง เพื่อที่จะใช้งาน คุณจำเป็นต้องทราบปริมาณสองค่า ได้แก่ รัศมีของวงกลมและมุมของส่วนโค้ง รัศมีสามารถคำนวณได้จากความรู้เรื่องเส้นรอบวงของล้อ เนื่องจากระยะทางที่มันเคลื่อนที่ในการปฏิวัติหนึ่งครั้งจะสอดคล้องกับรัศมีนั้นทุกประการ เรามี: 2*R*pi = 1.5 โดยที่: R = 1.5/(2*pi) = 0.2387 เมตร มุมระหว่างซี่ล้อที่ใกล้ที่สุดสามารถกำหนดได้โดยการรู้หมายเลขซี่ล้อเหล่านั้น สมมติว่าทั้ง 12 ซี่แบ่งวงกลมออกเป็นเซกเตอร์เท่าๆ กัน เราจะได้ 12 ซี่ที่เหมือนกัน ดังนั้น การวัดเชิงมุมของส่วนโค้งระหว่างซี่ทั้งสองจะเท่ากับ: θ = 2*pi/12 = pi/6 = 0.5236 เรเดียน

เราพบปริมาณที่จำเป็นทั้งหมดแล้ว ตอนนี้เราสามารถแทนที่มันลงในสูตรและคำนวณค่าที่ต้องการตามเงื่อนไขของปัญหาได้ เราได้รับ: S 1 = 0.5236 * (0.2387) 2/2 = 0.0149 m 2 หรือ 149 ซม. 2; L 1 = 0.5236*0.2387 = 0.125 ม. หรือ 12.5 ซม.