ส่วนโค้งเท่ากับมุมที่ศูนย์กลาง มุม ทฤษฎี และปัญหาที่ถูกจารึกไว้

บ้าน

มุม ABC เป็นมุมที่จารึกไว้ วางอยู่บนส่วนโค้ง AC ซึ่งอยู่ระหว่างด้านข้าง (รูปที่ 330) ทฤษฎีบท.

มุมที่จารึกไว้นั้นวัดโดยครึ่งหนึ่งของส่วนโค้งที่มุมนั้นรองรับ

ควรเข้าใจเช่นนี้: มุมที่จารึกไว้ประกอบด้วยองศาเชิงมุม นาที และวินาทีเท่ากับจำนวนองศาส่วนโค้ง นาทีและวินาทีที่อยู่ในครึ่งหนึ่งของส่วนโค้งที่มุมนั้นวางอยู่

ในการพิสูจน์ทฤษฎีบทนี้ จะต้องพิจารณาสามกรณี กรณีแรก.

จุดศูนย์กลางของวงกลมอยู่ที่ด้านข้างของมุมที่จารึกไว้ (รูปที่ 331)

ให้ ∠ABC เป็นมุมที่จารึกไว้ และจุดศูนย์กลางของวงกลม O อยู่ที่ด้าน BC จำเป็นต้องพิสูจน์ว่าวัดได้ครึ่งอาร์ค AC

เชื่อมต่อจุด A เข้ากับศูนย์กลางของวงกลม เราได้หน้าจั่ว \(\Delta\)AOB โดยที่ AO = OB เป็นรัศมีของวงกลมเดียวกัน ดังนั้น ∠A = ∠B

∠AOC อยู่ภายนอกสามเหลี่ยม AOB ดังนั้น ∠AOC = ∠A + ∠B และเนื่องจากมุม A และ B เท่ากัน ดังนั้น ∠B จึงเป็น 1/2 ∠AOC

แต่ ∠AOC วัดโดยส่วนโค้ง AC ดังนั้น ∠B จึงวัดโดยครึ่งหนึ่งของส่วนโค้ง AC

ตัวอย่างเช่น ถ้า \(\breve(AC)\) มี 60°18' ดังนั้น ∠B จะมี 30°9' กรณีที่สอง

จุดศูนย์กลางของวงกลมอยู่ระหว่างด้านข้างของมุมที่จารึกไว้ (รูปที่ 332)

ให้ ∠ABD เป็นมุมที่ถูกจารึกไว้ จุดศูนย์กลางของวงกลม O อยู่ระหว่างด้านข้าง เราต้องพิสูจน์ว่า ∠ABD วัดได้ครึ่งหนึ่งของส่วนโค้ง AD

เพื่อพิสูจน์สิ่งนี้ ให้เราวาดเส้นผ่านศูนย์กลาง BC มุม ABD แบ่งออกเป็นสองมุม: ∠1 และ ∠2

∠1 วัดโดยครึ่งอาร์ค AC และ ∠2 วัดโดยครึ่งอาร์ค CD ดังนั้น ∠ABD ทั้งหมดจึงวัดโดย 1 / 2 \(\breve(AC)\) + 1 / 2 \(\breve (CD)\) เช่น . ครึ่งโค้ง AD

ตัวอย่างเช่น ถ้า \(\breve(AD)\) มี 124° ดังนั้น ∠B จะมี 62° กรณีที่สาม.

จุดศูนย์กลางของวงกลมอยู่นอกมุมที่จารึกไว้ (รูปที่ 333)

ให้ ∠MAD เป็นมุมที่ถูกจารึกไว้ จุดศูนย์กลางของวงกลม O อยู่นอกมุม เราต้องพิสูจน์ว่า ∠MAD วัดได้ครึ่งหนึ่งของส่วนโค้ง MD

เพื่อพิสูจน์สิ่งนี้ ลองวาดเส้นผ่านศูนย์กลาง AB ∠MAD = ∠MAB - ∠DAB แต่ ∠MAB วัด 1 / 2 \(\breve(MB)\) และ ∠DAB วัด 1 / 2 \(\breve(DB)\)

ดังนั้น ∠MAD จะวัดค่า 1 / 2 (\(\breve(MB) - \breve(DB))\) เช่น 1 / 2 \(\breve(MD)\)

ตัวอย่างเช่น ถ้า \(\breve(MD)\) มี 48° 38" ดังนั้น ∠MAD จะมี 24° 19' 8"
1. ผลที่ตามมา มุมที่จารึกไว้ทั้งหมดที่รองรับส่วนโค้งเดียวกันจะเท่ากัน เนื่องจากวัดจากครึ่งหนึ่งของส่วนโค้งเดียวกัน

2. มุมที่แนบไว้ซึ่งต่อด้วยเส้นผ่านศูนย์กลางจะเป็นมุมฉาก เนื่องจากมุมนั้นรองรับครึ่งวงกลม ครึ่งวงกลมมีมุมโค้ง 180 องศา ซึ่งหมายความว่ามุมตามเส้นผ่านศูนย์กลางจะมีมุมโค้ง 90 องศา (รูปที่ 334, b)

แนวคิดเรื่องมุมที่ถูกจารึกไว้และจุดศูนย์กลาง

ก่อนอื่น เรามาแนะนำแนวคิดเรื่องมุมที่เป็นจุดศูนย์กลางกันก่อน

หมายเหตุ 1

โปรดทราบว่า การวัดระดับของมุมที่ศูนย์กลางจะเท่ากับการวัดระดับของส่วนโค้งที่มุมนั้นวางอยู่.

ตอนนี้เราขอแนะนำแนวคิดของมุมที่ถูกจารึกไว้

คำจำกัดความ 2

มุมที่มีจุดยอดอยู่บนวงกลมและมีด้านตัดกับวงกลมเดียวกันเรียกว่ามุมที่จารึกไว้ (รูปที่ 2)

รูปที่ 2 มุมที่จารึกไว้

ทฤษฎีบทมุมที่ถูกจารึกไว้

ทฤษฎีบท 1

การวัดระดับของมุมที่ถูกจารึกไว้จะเท่ากับครึ่งหนึ่งของการวัดระดับของส่วนโค้งที่มุมนั้นวางอยู่

การพิสูจน์.

ให้เราสร้างวงกลมที่มีศูนย์กลางอยู่ที่จุด $O$ ลองแสดงมุมที่ถูกจารึกไว้ $ACB$ (รูปที่ 2) เป็นไปได้สามกรณีต่อไปนี้:

• Ray $CO$ เกิดขึ้นพร้อมกับด้านใดๆ ของมุม ให้นี่คือด้าน $CB$ (รูปที่ 3)

รูปที่ 3.

ในกรณีนี้ ส่วนโค้ง $AB$ น้อยกว่า $(180)^(()^\circ )$ ดังนั้น มุมที่อยู่ตรงกลาง $AOB$ จึงเท่ากับส่วนโค้ง $AB$ เนื่องจาก $AO=OC=r$ ดังนั้น สามเหลี่ยม $AOC$ จึงมีหน้าจั่ว ซึ่งหมายความว่ามุมฐาน $CAO$ และ $ACO$ เท่ากัน ตามทฤษฎีบทเรื่องมุมภายนอกของสามเหลี่ยม เราจะได้:

• Ray $CO$ แบ่งมุมภายในออกเป็นสองมุม ปล่อยให้มันตัดวงกลมที่จุด $D$ (รูปที่ 4)

รูปที่ 4.

เราได้รับ

• Ray $CO$ จะไม่แบ่งมุมภายในออกเป็นสองมุมและไม่ตรงกับด้านใดด้านหนึ่ง (รูปที่ 5)

รูปที่ 5.

ให้เราพิจารณามุม $ACD$ และ $DCB$ แยกกัน จากสิ่งที่พิสูจน์ได้ในข้อ 1 เราได้

เราได้รับ

ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว

ให้กันเถอะ ผลที่ตามมาจากทฤษฎีบทนี้

ข้อพิสูจน์ที่ 1:มุมที่ถูกจารึกไว้ซึ่งวางอยู่บนส่วนโค้งเดียวกันจะเท่ากัน

ข้อพิสูจน์ 2:มุมที่ถูกจารึกไว้ซึ่งรองรับเส้นผ่านศูนย์กลางนั้นเป็นมุมฉาก

มุมกลางคือมุมที่มีจุดยอดอยู่ตรงกลางวงกลม
มุมที่ถูกจารึกไว้- มุมที่มีจุดยอดอยู่บนวงกลมและมีด้านตัดกัน

รูปนี้แสดงมุมที่อยู่ตรงกลางและมุมที่ถูกจารึกไว้ รวมถึงคุณสมบัติที่สำคัญที่สุด

ดังนั้น, ขนาดของมุมที่ศูนย์กลางเท่ากับขนาดเชิงมุมของส่วนโค้งที่มุมนั้นวางอยู่- ซึ่งหมายความว่ามุมที่ศูนย์กลาง 90 องศาจะวางอยู่บนส่วนโค้งเท่ากับ 90° ซึ่งก็คือวงกลม มุมที่ศูนย์กลางเท่ากับ 60° วางอยู่บนส่วนโค้ง 60 องศา ซึ่งก็คือส่วนที่หกของวงกลม

ขนาดของมุมที่ถูกจารึกไว้จะน้อยกว่ามุมที่ศูนย์กลางสองเท่าโดยอิงจากส่วนโค้งเดียวกัน.

นอกจากนี้ ในการแก้ปัญหา เราจำเป็นต้องมีแนวคิดเรื่อง "คอร์ด"

มุมกลางที่เท่ากันรองรับคอร์ดที่เท่ากัน

1. มุมที่จารึกไว้นั้นต่อด้วยเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลมคือเท่าไร? ให้คำตอบเป็นองศา

มุมที่ถูกจารึกไว้ซึ่งต่อด้วยเส้นผ่านศูนย์กลางจะเป็นมุมฉาก

2. มุมที่ศูนย์กลางมีค่ามากกว่ามุมแหลมที่ขีดไว้ 36° ซึ่งต่อด้วยส่วนโค้งวงกลมเดียวกัน ค้นหามุมที่จารึกไว้ ให้คำตอบเป็นองศา

ปล่อยให้มุมที่ศูนย์กลางเท่ากับ x และมุมที่ถูกแนบไว้ด้วยส่วนโค้งเดียวกันจะเท่ากับ y

เรารู้ว่า x = 2y
ดังนั้น 2y = 36 + y
ย = 36.

3. รัศมีของวงกลมเท่ากับ 1 จงหาค่าของมุมที่จารึกไว้ด้านป้านซึ่งต่อด้วยคอร์ด เท่ากับ ให้คำตอบเป็นองศา

ให้คอร์ด AB เท่ากับ . มุมป้านที่ถูกจารึกไว้ตามคอร์ดนี้จะเขียนแทนด้วย α
ในสามเหลี่ยม AOB ด้าน AO และ OB เท่ากับ 1 ด้าน AB เท่ากับ เราเจอสามเหลี่ยมแบบนี้แล้ว แน่นอนว่า สามเหลี่ยม AOB เป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า และหน้าจั่ว นั่นคือมุม AOB คือ 90°
จากนั้น ส่วนโค้ง ACB เท่ากับ 90° และส่วนโค้ง AKB เท่ากับ 360° - 90° = 270°
มุม α ที่ถูกจารึกไว้นั้นวางอยู่บนส่วนโค้ง AKB และเท่ากับครึ่งหนึ่งของค่าเชิงมุมของส่วนโค้งนี้ ซึ่งก็คือ 135°

คำตอบ: 135.

4. คอร์ด AB แบ่งวงกลมออกเป็น 2 ส่วน โดยค่าดีกรีอยู่ในอัตราส่วน 5:7 คอร์ดนี้มองเห็นได้จากมุมใดจากจุด C ซึ่งเป็นส่วนโค้งเล็กๆ ของวงกลม ให้คำตอบเป็นองศา

สิ่งสำคัญในงานนี้คือการวาดและทำความเข้าใจเงื่อนไขที่ถูกต้อง คุณเข้าใจคำถามนี้ได้อย่างไร: “คอร์ดมองเห็นได้จากจุด C ที่มุมใด”
ลองนึกภาพว่าคุณกำลังนั่งอยู่ที่จุด C และคุณต้องเห็นทุกสิ่งที่เกิดขึ้นบนคอร์ด AB เหมือนคอร์ด AB เป็นจอในโรงหนัง :-)
แน่นอน คุณต้องหามุม ACB
ผลรวมของส่วนโค้งทั้งสองที่คอร์ด AB แบ่งวงกลมเท่ากับ 360° นั่นคือ
5x + 7x = 360°
ดังนั้น x = 30° แล้วมุมที่เขียนไว้ ACB พักอยู่บนส่วนโค้งเท่ากับ 210°
ขนาดของมุมที่จารึกไว้นั้นเท่ากับครึ่งหนึ่งของขนาดเชิงมุมของส่วนโค้งที่มุมนั้นวางอยู่ ซึ่งหมายความว่ามุม ACB เท่ากับ 105°

บ่อยครั้งที่กระบวนการเตรียมตัวสำหรับการสอบ Unified State ในวิชาคณิตศาสตร์เริ่มต้นด้วยการทำซ้ำคำจำกัดความพื้นฐานสูตรและทฤษฎีบทรวมถึงในหัวข้อ "จุดศูนย์กลางและมุมที่จารึกไว้ในวงกลม" ตามกฎแล้วจะมีการศึกษา planimetry ส่วนนี้ โรงเรียนมัธยมปลาย- จึงไม่น่าแปลกใจที่นักเรียนจำนวนมากต้องเผชิญกับความจำเป็นในการทบทวนแนวคิดและทฤษฎีบทพื้นฐานในหัวข้อ “มุมศูนย์กลางของวงกลม” เมื่อเข้าใจอัลกอริทึมในการแก้ปัญหาดังกล่าวแล้ว เด็กนักเรียนจะสามารถนับคะแนนการแข่งขันโดยพิจารณาจากผลการสอบผ่านแบบรวมรัฐ

จะเตรียมตัวอย่างไรให้ผ่านการทดสอบการรับรองอย่างง่ายดายและมีประสิทธิภาพ?

ศึกษาก่อนสอบผ่านเดี่ยว. การสอบของรัฐนักเรียนมัธยมปลายหลายคนประสบปัญหาในการค้นหา ข้อมูลที่จำเป็นในหัวข้อ “จุดศูนย์กลางและมุมที่จารึกไว้ในวงกลม” ไม่เสมอไป หนังสือเรียนของโรงเรียนมีอยู่ในมือ และการค้นหาสูตรบนอินเทอร์เน็ตบางครั้งก็ใช้เวลานาน

ทีมของเราจะช่วยคุณ "เพิ่มพูน" ทักษะของคุณและพัฒนาความรู้ในส่วนที่ซับซ้อนของเรขาคณิต เช่น แผนผังระนาบ พอร์ทัลการศึกษา- “ Shkolkovo” เสนอวิธีใหม่ให้กับนักเรียนมัธยมและครูในการสร้างกระบวนการเตรียมตัวสำหรับการสอบแบบครบวงจร ผู้เชี่ยวชาญของเรานำเสนอเนื้อหาพื้นฐานทั้งหมดในรูปแบบที่เข้าถึงได้มากที่สุด หลังจากอ่านข้อมูลในส่วน "ความเป็นมาทางทฤษฎี" แล้ว นักเรียนจะได้เรียนรู้ว่ามุมที่ศูนย์กลางของวงกลมมีคุณสมบัติอย่างไร วิธีหาค่าของมัน ฯลฯ

จากนั้น เพื่อรวบรวมความรู้ที่ได้รับและทักษะการปฏิบัติ เราแนะนำให้ทำแบบฝึกหัดที่เหมาะสม งานที่มีให้เลือกมากมายสำหรับการค้นหาขนาดของมุมที่จารึกไว้ในวงกลมและพารามิเตอร์อื่น ๆ แสดงไว้ในส่วน "แค็ตตาล็อก" สำหรับแบบฝึกหัดแต่ละครั้ง ผู้เชี่ยวชาญของเราเขียนวิธีแก้ปัญหาโดยละเอียดและระบุคำตอบที่ถูกต้อง รายการงานบนไซต์ได้รับการเสริมและอัปเดตอย่างต่อเนื่อง

นักเรียนมัธยมปลายสามารถเตรียมตัวสำหรับการสอบ Unified State ได้โดยการฝึกทำแบบฝึกหัด เช่น ค้นหาขนาดของมุมที่ศูนย์กลางและความยาวของส่วนโค้งของวงกลมทางออนไลน์จากภูมิภาครัสเซีย

หากจำเป็น งานที่เสร็จสมบูรณ์แล้วสามารถบันทึกได้ในส่วน "รายการโปรด" เพื่อกลับมาดูในภายหลังและวิเคราะห์หลักการของการแก้ปัญหาอีกครั้ง