ความยาวของเส้นกึ่งกลางของรูปสามเหลี่ยมที่ขนานกับด้าน จะหาเส้นกึ่งกลางของสามเหลี่ยมได้อย่างไร? คุณสมบัติพื้นฐาน ความหมาย และวิธีการ เส้นกลางของสามเหลี่ยม

บ้าน รูปสี่เหลี่ยมที่มีด้านขนานกันเพียงสองด้านเรียกว่า.

สี่เหลี่ยมคางหมู ด้านขนานของสี่เหลี่ยมคางหมูเรียกว่าด้านของมันเหตุผล และด้านที่ไม่ขนานกันนั้นเรียกว่าด้านข้าง

- หากด้านข้างเท่ากัน แสดงว่าสี่เหลี่ยมคางหมูนั้นเป็นหน้าจั่ว ระยะห่างระหว่างฐานเรียกว่าความสูงของสี่เหลี่ยมคางหมู

สี่เหลี่ยมคางหมูเส้นกลาง

เส้นกึ่งกลางคือส่วนที่เชื่อมต่อจุดกึ่งกลางของด้านข้างของสี่เหลี่ยมคางหมู เส้นกึ่งกลางของสี่เหลี่ยมคางหมูขนานกับฐาน

ทฤษฎีบท:

เส้นกึ่งกลางคือส่วนที่เชื่อมต่อจุดกึ่งกลางของด้านข้างของสี่เหลี่ยมคางหมู เส้นกึ่งกลางของสี่เหลี่ยมคางหมูขนานกับฐาน

ถ้าเส้นตรงที่ตัดตรงกลางด้านหนึ่งขนานกับฐานของสี่เหลี่ยมคางหมู มันจะตัดด้านที่สองของสี่เหลี่ยมคางหมู

ความยาวของเส้นกลางเท่ากับค่าเฉลี่ยเลขคณิตของความยาวของฐาน
มินนิโซตา || เอบี || ดี.ซี

เช้า = นพ.; บีเอ็น=NC

เส้นกึ่งกลาง MN, AB และ CD - ฐาน, AD และ BC - ด้านข้าง

เส้นกึ่งกลางคือส่วนที่เชื่อมต่อจุดกึ่งกลางของด้านข้างของสี่เหลี่ยมคางหมู เส้นกึ่งกลางของสี่เหลี่ยมคางหมูขนานกับฐาน

MN = (AB + กระแสตรง)/2

ความยาวของเส้นกึ่งกลางของสี่เหลี่ยมคางหมูเท่ากับค่าเฉลี่ยเลขคณิตของความยาวของฐานภารกิจหลัก

: พิสูจน์ว่าเส้นกึ่งกลางของสี่เหลี่ยมคางหมูตัดส่วนที่ปลายอยู่ตรงกลางฐานของสี่เหลี่ยมคางหมู

เส้นกลางของสามเหลี่ยม
ส่วนที่เชื่อมจุดกึ่งกลางของด้านทั้งสองของรูปสามเหลี่ยมเรียกว่าเส้นกึ่งกลางของรูปสามเหลี่ยม ขนานกับด้านที่สามและมีความยาวเท่ากับครึ่งหนึ่งของความยาวของด้านที่สามทฤษฎีบท : ถ้าเส้นที่ตัดจุดกึ่งกลางของด้านหนึ่งของรูปสามเหลี่ยมขนานกับอีกด้านหนึ่งให้รูปสามเหลี่ยม

แล้วจึงแบ่งด้านที่สามออกเป็นสองส่วน

AM = MC และ BN = NC =>

การใช้คุณสมบัติเส้นกึ่งกลางของรูปสามเหลี่ยมและสี่เหลี่ยมคางหมู การแบ่งส่วนด้วยจำนวนที่แน่นอน.
ส่วนที่เท่ากัน
ภารกิจ: แบ่งส่วน AB ออกเป็น 5 ส่วนเท่า ๆ กัน
สารละลาย:
ให้ p เป็นรังสีสุ่มที่มีจุดกำเนิดคือจุด A และไม่อยู่บนเส้น AB เราจัดเรียง 5 ส่วนเท่า ๆ กันตามลำดับบน p AA 1 = A 1 A 2 = A 2 A 3 = A 3 A 4 = A 4 ​​​​A 5

ในขณะที่มาจากสี่เหลี่ยมคางหมู B 3 B 1 A 1 A 3, B 3 B 2 = B 2 B 1
จากนั้นจาก B 2 AA 2 จะตามมาว่า B 2 B 1 = B 1 A โดยสรุปเราได้:
เอบี 1 = บี 1 บี 2 = บี 2 บี 3 = บี 3 บี 4 = บี 4 บี
เห็นได้ชัดว่าในการแบ่งเซกเมนต์ AB ออกเป็นอีกจำนวนหนึ่งที่มีส่วนเท่าๆ กัน เราต้องฉายเซ็กเมนต์ที่เท่ากันในจำนวนเท่ากันลงบนรังสี p แล้วดำเนินการต่อในลักษณะที่อธิบายไว้ข้างต้น

1 โครงสร้างเพิ่มเติมที่นำไปสู่ทฤษฎีบทเส้นกึ่งกลางของสามเหลี่ยม สี่เหลี่ยมคางหมู และความคล้ายคลึงกันของรูปสามเหลี่ยม

และเธอ เท่ากับครึ่งหนึ่งของด้านตรงข้ามมุมฉาก.
ข้อพิสูจน์ 1.
ข้อพิสูจน์ 2.

2 สามเหลี่ยมมุมฉากทั้งหมดที่มีมุมแหลมเท่ากันจะคล้ายกัน การดูฟังก์ชันตรีโกณมิติ

3 ตัวอย่างของการก่อสร้างเพิ่มเติมคือความสูงที่ลดลงจนถึงด้านตรงข้ามมุมฉาก ที่มาของทฤษฎีบทพีทาโกรัสจากความคล้ายคลึงกันของรูปสามเหลี่ยม

จากนี้ก็ชัดเจนว่า

1 สามเหลี่ยมมุมฉากทั้งหมดที่มีมุมแหลมเท่ากันจะคล้ายกัน การดูฟังก์ชันตรีโกณมิติ

สามเหลี่ยมที่มีด้านฟักและด้านไม่ฟักจะคล้ายกันตรงที่มุมทั้งสองเท่ากัน ดังนั้นที่ไหน

ซึ่งหมายความว่าความสัมพันธ์ที่ระบุนั้นขึ้นอยู่กับมุมแหลมของสามเหลี่ยมมุมฉากเท่านั้นและเป็นตัวกำหนดโดยพื้นฐานแล้ว นี่คือหนึ่งในสาเหตุของการปรากฏตัว ฟังก์ชันตรีโกณมิติ:

การเขียนฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุมในรูปสามเหลี่ยมมุมฉากที่คล้ายกันมักชัดเจนกว่าการเขียนความสัมพันธ์ที่คล้ายคลึงกัน!

2 ตัวอย่างของการก่อสร้างเพิ่มเติมคือความสูงที่ลดลงจนถึงด้านตรงข้ามมุมฉาก ที่มาของทฤษฎีบทพีทาโกรัสจากความคล้ายคลึงกันของรูปสามเหลี่ยม

ลองลดความสูง CH ลงเหลือด้านตรงข้ามมุมฉาก AB เรามีสามเหลี่ยมสามอันที่คล้ายกัน ABC, AHC และ CHB มาเขียนนิพจน์สำหรับฟังก์ชันตรีโกณมิติกัน:

จากนี้ก็ชัดเจนว่า - นอกจากนี้ เราได้ทฤษฎีบทพีทาโกรัส เนื่องจาก:

หากต้องการพิสูจน์ทฤษฎีบทพีทาโกรัสอีกประการหนึ่ง โปรดดูคำอธิบายของปัญหาที่ 4
3 ตัวอย่างที่สำคัญของการก่อสร้างเพิ่มเติมคือการสร้างมุมเท่ากับมุมหนึ่งของรูปสามเหลี่ยม

เราดำเนินการจากด้านบน มุมขวาส่วนตรงที่ทำให้มุมกับขา CA เท่ากับมุม CAB ของสามเหลี่ยมมุมฉาก ABC ที่กำหนด เป็นผลให้เราได้ ACM สามเหลี่ยมหน้าจั่วพร้อมมุมฐาน แต่สามเหลี่ยมอีกอันที่เกิดจากการก่อสร้างนี้จะเป็นหน้าจั่วเนื่องจากแต่ละมุมที่ฐานมีค่าเท่ากัน (โดยคุณสมบัติของมุมของสามเหลี่ยมมุมฉากและโดยการก่อสร้าง - มุมถูก "ลบ" ออกจากมุมขวา) เนื่องจากสามเหลี่ยม BMC และ AMC เป็นหน้าจั่วที่มีด้าน MC ร่วม เราจึงมีค่าเท่ากัน MB=MA=MC กล่าวคือ เอ็ม.ซี. ค่ามัธยฐานที่ลากไปทางด้านตรงข้ามมุมฉากของสามเหลี่ยมมุมฉากและเธอ เท่ากับครึ่งหนึ่งของด้านตรงข้ามมุมฉาก.
ข้อพิสูจน์ 1.จุดกึ่งกลางของด้านตรงข้ามมุมฉากคือจุดศูนย์กลางของวงกลมที่ล้อมรอบสามเหลี่ยมนี้ เนื่องจากปรากฎว่าจุดกึ่งกลางของด้านตรงข้ามมุมฉากนั้นอยู่ห่างจากจุดยอดของสามเหลี่ยมมุมฉากเท่ากัน
ข้อพิสูจน์ 2.เส้นกลางของสามเหลี่ยมมุมฉากซึ่งเชื่อมระหว่างกึ่งกลางของด้านตรงข้ามมุมฉากกับตรงกลางของขานั้นขนานกับขาตรงข้ามและเท่ากับครึ่งหนึ่ง

ในรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว BMC และ AMC ขอให้เราลดความสูง MH และ MG ลงที่ฐาน ตั้งแต่ใน สามเหลี่ยมหน้าจั่วความสูงที่ลดลงถึงฐานจะเป็นค่ามัธยฐาน (และเส้นแบ่งครึ่ง) ด้วย จากนั้น MH และ MG จะเป็นเส้นของสามเหลี่ยมมุมฉากที่เชื่อมระหว่างจุดกึ่งกลางของด้านตรงข้ามมุมฉากกับจุดกึ่งกลางของขา จากการก่อสร้างพวกมันจะขนานกับขาตรงข้ามและเท่ากับครึ่งหนึ่งเนื่องจากสามเหลี่ยมนั้นเท่ากัน MHC และ MGC เท่ากัน (และ MHCG เป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า) ผลลัพธ์นี้เป็นพื้นฐานสำหรับการพิสูจน์ทฤษฎีบทบนเส้นกึ่งกลางของรูปสามเหลี่ยมตามอำเภอใจ และยิ่งกว่านั้น เส้นกึ่งกลางของรูปสี่เหลี่ยมคางหมูและคุณสมบัติของสัดส่วนของส่วนต่างๆ ที่ถูกตัดออกด้วยเส้นคู่ขนานบนเส้นตรงสองเส้นที่ตัดกัน

งาน
การใช้คุณสมบัติความคล้ายคลึงกัน -1
การใช้คุณสมบัติพื้นฐาน - 2
ใช้รูปแบบเพิ่มเติม 3-4

1 2 3 4

ความสูงที่ตกลงมาจากจุดยอดของมุมฉากของสามเหลี่ยมมุมฉากจะเท่ากับรากที่สองของความยาวของส่วนที่นำมาหารด้านตรงข้ามมุมฉาก

วิธีแก้ปัญหาดูเหมือนชัดเจนหากคุณทราบที่มาของทฤษฎีบทพีทาโกรัสจากความคล้ายคลึงกันของรูปสามเหลี่ยม:

\(\mathrm(tg)\beta=\frac(h)(c_1)=\frac(c_2)(h)\),
จากไหน \(h^2=c_1c_2\)

ค้นหาตำแหน่งของจุด (GMT) ของจุดตัดของค่ามัธยฐานของสามเหลี่ยมมุมฉากที่เป็นไปได้ทั้งหมดซึ่งมีด้านตรงข้ามมุมฉาก AB คงที่

จุดตัดกันของค่ามัธยฐานของสามเหลี่ยมใดๆ จะตัดหนึ่งในสามจากค่ามัธยฐาน นับจากจุดตัดกับด้านที่ตรงกัน ใน สามเหลี่ยมมุมฉากค่ามัธยฐานที่ลากจากมุมขวาจะเท่ากับครึ่งหนึ่งของด้านตรงข้ามมุมฉาก ดังนั้น GMT ที่ต้องการคือวงกลมที่มีรัศมีเท่ากับ 1/6 ของความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉาก โดยมีจุดศูนย์กลางอยู่ตรงกลางของด้านตรงข้ามมุมฉากนี้ (คงที่)

หลักสูตรวิดีโอ "Get an A" มีหัวข้อทั้งหมดที่คุณต้องการ สำเร็จลุล่วงการสอบ Unified State ในวิชาคณิตศาสตร์ 60-65 คะแนน ครบทุกปัญหา 1-13 การตรวจสอบโปรไฟล์ Unified Stateในวิชาคณิตศาสตร์ ยังเหมาะสำหรับการผ่านการสอบ Basic Unified State ในวิชาคณิตศาสตร์อีกด้วย หากคุณต้องการผ่านการสอบ Unified State ด้วยคะแนน 90-100 คุณต้องแก้ส่วนที่ 1 ใน 30 นาทีโดยไม่มีข้อผิดพลาด!

หลักสูตรเตรียมความพร้อมสำหรับการสอบ Unified State สำหรับเกรด 10-11 รวมถึงสำหรับครูผู้สอน ทุกสิ่งที่คุณต้องการเพื่อแก้ส่วนที่ 1 ของการสอบ Unified State ในวิชาคณิตศาสตร์ (ปัญหา 12 ข้อแรก) และปัญหา 13 (ตรีโกณมิติ) และนี่คือมากกว่า 70 คะแนนในการสอบ Unified State และทั้งนักเรียน 100 คะแนนและนักศึกษามนุษยศาสตร์ก็สามารถทำได้หากไม่มีพวกเขา

ทฤษฎีที่จำเป็นทั้งหมด วิธีที่รวดเร็วแนวทางแก้ไข ข้อผิดพลาด และความลับของการสอบ Unified State งานปัจจุบันทั้งหมดของส่วนที่ 1 จาก FIPI Task Bank ได้รับการวิเคราะห์แล้ว หลักสูตรนี้สอดคล้องกับข้อกำหนดของ Unified State Exam 2018 อย่างสมบูรณ์

หลักสูตรประกอบด้วย 5 หัวข้อใหญ่ครั้งละ 2.5 ชม. แต่ละหัวข้อได้รับตั้งแต่เริ่มต้น เรียบง่ายและชัดเจน

งานสอบ Unified State หลายร้อยรายการ ปัญหาคำศัพท์และทฤษฎีความน่าจะเป็น อัลกอริทึมที่ง่ายและง่ายต่อการจดจำสำหรับการแก้ปัญหา เรขาคณิต. ทฤษฎี, วัสดุอ้างอิง, วิเคราะห์งาน Unified State Examination ทุกประเภท สเตอริโอเมทรี วิธีแก้ปัญหาที่ยุ่งยาก เอกสารโกงที่มีประโยชน์ การพัฒนาจินตนาการเชิงพื้นที่ ตรีโกณมิติตั้งแต่เริ่มต้นจนถึงปัญหา 13 ทำความเข้าใจแทนการยัดเยียด คำอธิบายที่ชัดเจนของแนวคิดที่ซับซ้อน พีชคณิต. ราก กำลังและลอการิทึม ฟังก์ชันและอนุพันธ์ พื้นฐานสำหรับการแก้ปัญหาที่ซับซ้อนของส่วนที่ 2 ของการสอบ Unified State

รูปที่ 1 แสดงรูปสามเหลี่ยมสองรูป สามเหลี่ยม ABC คล้ายกับสามเหลี่ยม A1B1C1 และด้านประชิดเป็นสัดส่วน นั่นคือ AB เท่ากับ A1B1 และ AC เท่ากับ A1C1 จากเงื่อนไขทั้งสองนี้ ความคล้ายคลึงกันของรูปสามเหลี่ยมจะตามมา

วิธีค้นหาเส้นกึ่งกลางของรูปสามเหลี่ยม - สัญลักษณ์ของความขนานของเส้น

รูปที่ 2 แสดงเส้น a และ b, เส้นตัด c ทำให้เกิดมุม 8 มุม มุมที่ 1 และ 5 สอดคล้องกัน หากเส้นตรงขนานกัน มุมที่สอดคล้องกันก็จะเท่ากัน และในทางกลับกัน

วิธีหาเส้นกึ่งกลางของรูปสามเหลี่ยม

ในรูปที่ 3 M คือจุดกึ่งกลางของ AB และ N คือจุดกึ่งกลางของ AC, BC คือฐาน ส่วน MN เรียกว่าเส้นกึ่งกลางของรูปสามเหลี่ยม ทฤษฎีบทบอกว่า: เส้นกึ่งกลางของรูปสามเหลี่ยมขนานกับฐานและเท่ากับครึ่งหนึ่ง

เพื่อพิสูจน์ว่า MN เป็นจุดกึ่งกลางของรูปสามเหลี่ยม เราจำเป็นต้องมีการทดสอบครั้งที่สองสำหรับความคล้ายคลึงกันของรูปสามเหลี่ยมและการทดสอบความขนานของเส้น

สามเหลี่ยม AMN คล้ายกับสามเหลี่ยม ABC ตามเกณฑ์ที่สอง ใน สามเหลี่ยมที่คล้ายกันมุมที่ตรงกันจะเท่ากัน มุม 1 เท่ากับมุม 2 และมุมเหล่านี้สอดคล้องกันเมื่อเส้นตรงสองเส้นตัดกับเส้นตัดขวาง ดังนั้นเส้นตรงจึงขนานกัน MN ขนานกับ BC มุม A เป็นเรื่องปกติ AM/AB = AN/AC = ½

ค่าสัมประสิทธิ์ความคล้ายคลึงของรูปสามเหลี่ยมเหล่านี้คือ ½ ซึ่งตามมาด้วย ½ = MN/BC, MN = ½ BC


เราจึงพบเส้นกลางของสามเหลี่ยม และพิสูจน์ทฤษฎีบทเกี่ยวกับเส้นกลางของสามเหลี่ยม หากคุณยังไม่เข้าใจวิธีหาเส้นกลาง ดูวิดีโอด้านล่าง

เส้นกึ่งกลางของรูปสามเหลี่ยมคือส่วนที่เชื่อมระหว่างจุดกึ่งกลางของด้านทั้ง 2 ด้าน ดังนั้น แต่ละสามเหลี่ยมจะมีเส้นกลาง 3 เส้น เมื่อทราบคุณภาพของเส้นกึ่งกลาง ตลอดจนความยาวของด้านข้างของรูปสามเหลี่ยมและมุมของสามเหลี่ยมแล้ว คุณก็สามารถกำหนดความยาวของเส้นกึ่งกลางได้

คุณจะต้อง

• ด้านของสามเหลี่ยม, มุมของสามเหลี่ยม

คำแนะนำ

1. ให้ในรูปสามเหลี่ยม ABC MN เป็นจุดกึ่งกลางที่เชื่อมจุดกึ่งกลางของด้าน AB (จุด M) และ AC (จุด N) ตามคุณสมบัติ เส้นกึ่งกลางของสามเหลี่ยมที่เชื่อมต่อจุดกึ่งกลางของด้าน 2 ด้านจะขนานกับด้านที่สามและเท่ากับครึ่งหนึ่งของ มัน. ซึ่งหมายความว่า เส้นกึ่งกลาง MN จะขนานกับด้าน BC และเท่ากับ BC/2 ดังนั้น เพื่อกำหนดความยาวของเส้นกึ่งกลางของสามเหลี่ยม ก็เพียงพอที่จะทราบความยาวของด้านของด้านที่สามนี้แล้ว

2. ให้เราทราบด้านต่างๆ โดยจุดกึ่งกลางที่เชื่อมต่อกันด้วยเส้นกลาง MN ซึ่งก็คือ AB และ AC รวมถึงมุม BAC ที่อยู่ระหว่างกัน เนื่องจาก MN คือเส้นกลาง ดังนั้น AM = AB/2 และ AN = AC/2 จากนั้น ตามทฤษฎีบทโคไซน์ MN^2 = (AM^2)+(AN^2)-2*AM *AN*คอส (BAC) = (AB^2/4)+(AC^2/4)-AB*AC*คอส(BAC)/2 ดังนั้น MN = sqrt((AB^2/4)+(AC^2/4)-AB*AC*cos(BAC)/2)

3. หากทราบด้าน AB และ AC เส้นกึ่งกลาง MN สามารถพบได้โดยการรู้มุม ABC หรือ ACB สมมุติว่ามุม ABC มีชื่อเสียง เนื่องจากตามคุณสมบัติของเส้นกึ่งกลาง MN นั้นขนานกับ BC แล้วมุม ABC และ AMN จะสอดคล้องกัน และด้วยเหตุนี้ ABC = AMN จากนั้นตามทฤษฎีบทโคไซน์: AN^2 = AC^2/4 = (AM^2)+(MN^2)-2*AM*MN*cos(AMN) ดังนั้น สามารถหาด้าน MN ได้จากสมการกำลังสอง (MN^2)-AB*MN*cos(ABC)-(AC^2/4) = 0

สามเหลี่ยมจัตุรัสเรียกว่าสามเหลี่ยมมุมฉากอย่างถูกต้องมากกว่า ความสัมพันธ์ระหว่างด้านและมุมของสิ่งนี้ รูปทรงเรขาคณิตจะกล่าวถึงรายละเอียดในสาขาวิชาคณิตศาสตร์ของตรีโกณมิติ

คุณจะต้อง

• - แผ่นกระดาษ
• - ปากกา;
• — โต๊ะแบรดิส;
• - เครื่องคิดเลข

คำแนะนำ

1. ค้นพบ ด้านข้างสี่เหลี่ยม สามเหลี่ยมด้วยการสนับสนุนของทฤษฎีบทพีทาโกรัส ตามทฤษฎีบทนี้ กำลังสองของด้านตรงข้ามมุมฉาก เท่ากับผลรวมกำลังสองของขา: c2 = a2+b2 โดยที่ c คือด้านตรงข้ามมุมฉาก สามเหลี่ยม, a และ b คือขาของมัน ในการใช้สมการนี้ คุณต้องรู้ความยาวของด้าน 2 ด้านใดๆ ของรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า สามเหลี่ยม .

2. ถ้าเงื่อนไขระบุขนาดของขา ให้หาความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉาก หากต้องการทำสิ่งนี้ ให้แยกไฟล์ด้วยการสนับสนุนเครื่องคิดเลข รากที่สองจากผลรวมของขาแต่ละอันต้องยกกำลังสองล่วงหน้า

3. คำนวณความยาวของขาข้างหนึ่งหากคุณทราบขนาดของด้านตรงข้ามมุมฉากและขาอีกข้างหนึ่ง ใช้เครื่องคิดเลขแยกรากที่สองของผลต่างระหว่างด้านตรงข้ามมุมฉากยกกำลังสองกับขานำยกกำลังสองด้วย

4. หากปัญหาระบุด้านตรงข้ามมุมฉากและมุมแหลมมุมหนึ่งที่อยู่ติดกัน ให้ใช้ตาราง Bradis พวกเขาแสดงค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติสำหรับ จำนวนมากมุม ใช้เครื่องคิดเลขที่มีฟังก์ชันไซน์และโคไซน์ รวมถึงทฤษฎีบทตรีโกณมิติที่อธิบายความสัมพันธ์ระหว่างด้านและมุมของรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า สามเหลี่ยม .

5. ค้นหาขาโดยใช้ฟังก์ชันตรีโกณมิติพื้นฐาน: a = c*sin?, b = c*cos? โดยที่ a คือขาที่อยู่ตรงข้ามกับมุม?, b คือขาที่อยู่ติดกับมุม? คำนวณขนาดของด้านข้างด้วยวิธีเดียวกัน สามเหลี่ยมถ้าด้านตรงข้ามมุมฉากและอื่นๆ มุมแหลม: b = c*sin?, a = c*cos? โดยที่ b คือขาตรงข้ามกับมุม? และขาอยู่ติดกับมุมหรือไม่?

6. ในกรณีที่เราหาขา a และมุมแหลมที่อยู่ติดกัน อย่าลืมว่าในรูปสามเหลี่ยมมุมฉากผลรวมของมุมแหลมจะเท่ากับ 90° เสมอ: ? - = 90°. จงหาค่าของมุมตรงข้ามขา a: ? = 90° – ?. หรือใช้สูตรลดตรีโกณมิติ: บาป? = บาป (90° – ?) = cos ?; ใช่ไหม? = tg (90° – ?) = กะรัต ? = 1/tg?.

7. หากเรามีขา a และมีมุมแหลมตรงข้ามกับมัน? โดยใช้ตารางแบรดิส เครื่องคิดเลขและฟังก์ชันตรีโกณมิติ คำนวณด้านตรงข้ามมุมฉากโดยใช้สูตร: c=a*sin?, ขา: b=a*tg?

วิดีโอในหัวข้อ

แนวคิดเรื่องเส้นกึ่งกลางของรูปสามเหลี่ยม

ให้เราแนะนำแนวคิดเรื่องเส้นกึ่งกลางของรูปสามเหลี่ยม

คำจำกัดความ 1

นี่คือส่วนที่เชื่อมต่อจุดกึ่งกลางของสองด้านของรูปสามเหลี่ยม (รูปที่ 1)

รูปที่ 1 เส้นกึ่งกลางของรูปสามเหลี่ยม

ทฤษฎีบทเส้นกึ่งกลางของสามเหลี่ยม

ทฤษฎีบท 1

เส้นกลางของรูปสามเหลี่ยมขนานกับด้านใดด้านหนึ่งและเท่ากับครึ่งหนึ่ง

การพิสูจน์.

ให้เราได้รับสามเหลี่ยม $ABC$ $MN$ คือเส้นกลาง (ดังรูปที่ 2)

รูปที่ 2 ภาพประกอบทฤษฎีบทที่ 1

เนื่องจาก $\frac(AM)(AB)=\frac(BN)(BC)=\frac(1)(2)$ ดังนั้นรูปสามเหลี่ยม $ABC$ และ $MBN$ จะคล้ายกันตามเกณฑ์ที่สองของความคล้ายคลึงกันของรูปสามเหลี่ยม . วิธี

นอกจากนี้ เป็นไปตามนั้น $\angle A=\angle BMN$ ซึ่งหมายถึง $MN||AC$

ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว

ข้อพิสูจน์ของทฤษฎีบทเส้นกึ่งกลางของสามเหลี่ยม

ข้อพิสูจน์ที่ 1:ค่ามัธยฐานของรูปสามเหลี่ยมตัดกันที่จุดหนึ่งและหารด้วยจุดตัดในอัตราส่วน $2:1$ โดยเริ่มจากจุดยอด

การพิสูจน์.

พิจารณาสามเหลี่ยม $ABC$ โดยที่ $(AA)_1,\ (BB)_1,\ (CC)_1$ เป็นค่ามัธยฐาน เนื่องจากค่ามัธยฐานแบ่งข้างออกเป็นสองส่วน ลองพิจารณาเส้นกลาง $A_1B_1$ (รูปที่ 3)

ภาพที่ 3 ภาพประกอบข้อพิสูจน์ 1

ตามทฤษฎีบท 1, $AB||A_1B_1$ และ $AB=2A_1B_1$ ดังนั้น $\angle ABB_1=\angle BB_1A_1,\ \angle BAA_1=\angle AA_1B_1$ ซึ่งหมายความว่ารูปสามเหลี่ยม $ABM$ และ $A_1B_1M$ มีความคล้ายคลึงกันตามเกณฑ์แรกของความคล้ายคลึงกันของรูปสามเหลี่ยม แล้ว

เช่นเดียวกันก็พิสูจน์ได้ว่า

ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว

ข้อพิสูจน์ 2:เส้นกลางสามเส้นของรูปสามเหลี่ยมแบ่งออกเป็นสามเหลี่ยม 4 รูปคล้ายกับรูปสามเหลี่ยมดั้งเดิมโดยมีค่าสัมประสิทธิ์ความคล้ายคลึงกัน $k=\frac(1)(2)$

การพิสูจน์.

พิจารณาสามเหลี่ยม $ABC$ ที่มีเส้นกึ่งกลาง $A_1B_1,\(\A)_1C_1,\B_1C_1$ (รูปที่ 4)

รูปที่ 4 ภาพประกอบข้อพิสูจน์ 2

พิจารณาสามเหลี่ยม $A_1B_1C$ เนื่องจาก $A_1B_1$ เป็นเส้นกลางแล้ว

มุม $C$ คือมุมร่วมของสามเหลี่ยมเหล่านี้ ดังนั้น สามเหลี่ยม $A_1B_1C$ และ $ABC$ จึงคล้ายกันตามเกณฑ์ที่สองของความคล้ายคลึงกันของรูปสามเหลี่ยมที่มีค่าสัมประสิทธิ์ความคล้ายคลึง $k=\frac(1)(2)$

ในทำนองเดียวกัน ได้รับการพิสูจน์แล้วว่าสามเหลี่ยม $A_1C_1B$ และ $ABC$ และสามเหลี่ยม $C_1B_1A$ และ $ABC$ มีความคล้ายคลึงกันโดยมีค่าสัมประสิทธิ์ความคล้ายคลึง $k=\frac(1)(2)$

พิจารณาสามเหลี่ยม $A_1B_1C_1$ เนื่องจาก $A_1B_1,\ (\A)_1C_1,\ B_1C_1$ เป็นเส้นกึ่งกลางของสามเหลี่ยม ดังนั้น

ดังนั้น ตามเกณฑ์ที่สามของความคล้ายคลึงกันของสามเหลี่ยม สามเหลี่ยม $A_1B_1C_1$ และ $ABC$ จึงคล้ายกันกับสัมประสิทธิ์ความคล้ายคลึง $k=\frac(1)(2)$

ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว

ตัวอย่างปัญหาเรื่องแนวคิดเรื่องเส้นกึ่งกลางของรูปสามเหลี่ยม

ตัวอย่างที่ 1

ให้สามเหลี่ยมที่มีด้าน $16$ cm, $10$ cm และ $14$ cm จงหาเส้นรอบวงของรูปสามเหลี่ยมที่มีจุดยอดอยู่ที่จุดกึ่งกลางของด้านข้างของรูปสามเหลี่ยมที่กำหนด

สารละลาย.

เนื่องจากจุดยอดของสามเหลี่ยมที่ต้องการอยู่ที่จุดกึ่งกลางของด้านข้างของสามเหลี่ยมที่กำหนด ด้านของมันจึงเป็นเส้นกึ่งกลางของสามเหลี่ยมเดิม จากข้อพิสูจน์ที่ 2 เราพบว่าด้านข้างของสามเหลี่ยมที่ต้องการเท่ากับ $8$ cm, $5$ cm และ $7$ cm

คำตอบ:$20$ ดูครับ

ตัวอย่างที่ 2

ให้สามเหลี่ยม $ABC$ คะแนน $N\ และ\ M$ คือจุดกึ่งกลางของด้าน $BC$ และ $AB$ ตามลำดับ (รูปที่ 5)

รูปที่ 5.

เส้นรอบรูปของสามเหลี่ยม $BMN=14$ ซม. จงหาเส้นรอบรูปของสามเหลี่ยม $ABC$

สารละลาย.

เนื่องจาก $N\ และ\ M$ เป็นจุดกึ่งกลางของด้าน $BC$ และ $AB$ ดังนั้น $MN$ คือเส้นกึ่งกลาง วิธี

ตามทฤษฎีบทที่ 1 $AC=2MN$ เราได้รับ: