การกระจายตัวของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน วิธีการคำนวณความแปรปรวนของตัวแปรสุ่ม ความแปรปรวน x

σ 2 (\displaystyle \displaystyle \sigma ^(2)) รากที่สองของความแปรปรวนเท่ากับσ (\displaystyle \displaystyle \sigma )

เรียกว่าส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน หรือสเปรดมาตรฐาน ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานจะวัดในหน่วยเดียวกับตัวแปรสุ่ม และความแปรปรวนจะวัดเป็นกำลังสองของหน่วยนั้น

หมายเหตุ ที่ไหน -ฉัน (\displaystyle i) - ค่าที่หนึ่งของตัวแปรสุ่มพี ฉัน (\displaystyle p_(i)) - ความน่าจะเป็นที่ตัวแปรสุ่มจะรับค่า, x ฉัน (\displaystyle x_(i)) n (\displaystyle n)

- จำนวนค่าตัวแปรสุ่ม ที่ไหน f (x) (\displaystyle f(x))

• - ความหนาแน่นของความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่ม เนื่องจากความเป็นเชิงเส้นของการคาดหวังทางคณิตศาสตร์ สูตรจึงใช้ได้:
• D [ X ] = M [ X 2 ] − (M [ X ]) 2 (\displaystyle D[X]=M-\left(M[X]\right)^(2))
• ความแปรปรวนคือจุดศูนย์กลางที่สองของตัวแปรสุ่ม
• ความแปรปรวนสามารถเป็นอนันต์ได้ ความแปรปรวนสามารถคำนวณได้โดยใช้ฟังก์ชันการสร้างโมเมนต์: U (t) (\displaystyle U(t))
• D [ X ] = M [ X 2 ] − (M [ X ]) 2 = U ″ (0) − (U ′ (0)) 2 (\displaystyle D[X]=M-\left(M[X] \right)^(2)=U""(0)-\left(U"(0)\right)^(2))
• ความแปรปรวนของตัวแปรสุ่มจำนวนเต็มสามารถคำนวณได้โดยใช้ฟังก์ชันการสร้างลำดับ สูตรที่สะดวกสำหรับการคำนวณความแปรปรวนตัวอย่างเอนเอียงของตัวแปรสุ่ม X (\รูปแบบการแสดงผล X) ตามลำดับเอ็กซ์ 1. - - X n (\displaystyle X_(1)...X_(n))- การรับรู้ตัวแปรสุ่มนี้: X mac = ∑ i = 1 n X i n (\displaystyle (\bar (X))=(\dfrac (\sum \limits _(i=1)^(n)X_(i))(n)))- การประมาณการที่เป็นกลาง M [ X ] (\รูปแบบการแสดงผล M[X])- เพื่อให้ได้ค่าประมาณความแปรปรวนตัวอย่างที่เป็นกลาง จะต้องคูณด้านขวาของความเท่าเทียมกันข้างต้น n n − 1 (\displaystyle (\frac (n)(n-1)))- การประมาณการที่เป็นกลางจะแสดงแทน S ~ 2 (\displaystyle (\widetilde (S))^(2)): S ~ 2 = ∑ i = 1 n X i 2 − (∑ i = 1 n X i) n 2 n − 1 = ∑ i = 1 n X i 2 − n X เลเยอร์ 2 n − 1 = ∑ i = 1 n (X i 2 − X ‐ 2) n − 1 (\displaystyle (\widetilde (S))^(2)=(\dfrac (\sum \limits _(i=1)^(n)X_(i)^ (2)-(\dfrac (\left(\sum \limits _(i=1)^(n)X_(i)\right))(n))^(2))(n-1))=( \dfrac (\sum \limits _(i=1)^(n)X_(i)^(2)-n(\bar (X))^(2))(n-1))=(\dfrac ( \sum \limits _(i=1)^(n)\left(X_(i)^(2)-(\bar (X))^(2)\right))(n-1)))

คุณสมบัติ

• ความแปรปรวนของตัวแปรสุ่มใดๆ ไม่เป็นลบ: ด[X] ⩾ 0;
• (\displaystyle D[X]\geqslant 0;)
• ถ้าความแปรปรวนของตัวแปรสุ่มมีจำกัด ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของตัวแปรสุ่มจะมีจำกัด หากตัวแปรสุ่มมีค่าเท่ากับค่าคงที่ ความแปรปรวนจะเป็นศูนย์: D [ a ] ​​​​= 0 (\displaystyle D[a]=0.) สิ่งที่ตรงกันข้ามก็เป็นจริงเช่นกัน: ถ้า D [ X ] = 0 , (\displaystyle D[X]=0,) ที่ X = M [ X ] (\รูปแบบการแสดงผล X=M[X])
• เกือบทุกที่ ความแปรปรวนของผลรวมของตัวแปรสุ่มสองตัวมีค่าเท่ากับ: D [ X + Y ] = D [ X ] + D [ Y ] + 2 cov (X , Y) (\displaystyle D=D[X]+D[Y]+2\,(\text(cov))( เอ็กซ์, ย)) , ที่ไหน cov (X , Y) (\displaystyle (\text(cov))(X,Y))
• - ความแปรปรวนร่วมของพวกเขา; สำหรับความแปรปรวนของผลรวมเชิงเส้นตามอำเภอใจของตัวแปรสุ่มหลายตัว ความเท่าเทียมกันจะคงอยู่:< j ⩽ n c i c j cov (X i , X j) {\displaystyle D\left[\sum _{i=1}^{n}c_{i}X_{i}\right]=\sum _{i=1}^{n}c_{i}^{2}D+2\sum _{1\leqslant i D [ X + Y ] = D [ X ] + D [ Y ] + 2 cov (X , Y) (\displaystyle D=D[X]+D[Y]+2\,(\text(cov))( เอ็กซ์, ย)) D [ ∑ i = 1 n c i X i ] = ∑ i = 1 n c i 2 D [ X i ] + 2 ∑ 1 ⩽ i;
• c ฉัน ∈ R (\displaystyle c_(i)\in \mathbb (R) ) โดยเฉพาะอย่างยิ่งง [ X 1 + . - - + X n ] = D [ X 1 ] + .

  - - + D [ X n ] (\displaystyle D=D+...+D)

  เพราะสิ่งใดๆ ก็ตามได้รับมาด้วยความเท่าเทียมกัน

  f X (x) = ( 1 , x ∈ [ 0 , 1 ] 0 , x ∉ [ 0 , 1 ] . (\displaystyle f_(X)(x)=\left\((\begin(matrix)1,&x \in \\0,&x\not \in .\end(เมทริกซ์))\right.)

  M [ X ] = ∫ 0 1 x d x = x 2 2 |

  0 1 = 1 2 .

  (\displaystyle M\left=\int \limits _(0)^(1)\!x\,dx=\left.(\frac (x^(2))(2))\right\vert _(0 )^(1)=(\frac (1)(2)).)

แล้วความแปรปรวนของตัวแปรสุ่ม

ง [ X ] = ม [ X 2 ] − (ม [ X ]) 2 = 1 3 − (1 2) 2 = 1 12 . (\displaystyle D[X]=M\left-(M[X])^(2)=(\frac (1)(3))-\left((\frac (1)(2))\right) ^(2)=(\frac (1)(12)).) ความแปรปรวนของตัวแปรสุ่มเป็นตัวกำหนดลักษณะการวัดการแพร่กระจายของตัวแปรสุ่มรอบค่าคาดหวังทางคณิตศาสตร์ถ้าตัวแปรสุ่ม x มีความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ ม x , ที่ การกระจายตัว (\displaystyle D[X]=M\left-(M[X])^(2)=(\frac (1)(3))-\left((\frac (1)(2))\right) ^(2)=(\frac (1)(12)).) ตัวแปรสุ่ม x คือปริมาณ - (\displaystyle D[X]=M\left-(M[X])^(2)=(\frac (1)(3))-\left((\frac (1)(2))\right) ^(2)=(\frac (1)(12)).)ดี) 2 .

x= , ที่ (x (\displaystyle D[X]=M\left-(M[X])^(2)=(\frac (1)(3))-\left((\frac (1)(2))\right) ^(2)=(\frac (1)(12)).) ตัวแปรสุ่ม x คือปริมาณ - (\displaystyle D[X]=M\left-(M[X])^(2)=(\frac (1)(3))-\left((\frac (1)(2))\right) ^(2)=(\frac (1)(12)).)ดี) 2 =x ความแปรปรวนของตัวแปรสุ่มเป็นตัวกำหนดลักษณะการวัดการแพร่กระจายของตัวแปรสุ่มรอบค่าคาดหวังทางคณิตศาสตร์ 2 - (\displaystyle D[X]=M\left-(M[X])^(2)=(\frac (1)(3))-\left((\frac (1)(2))\right) ^(2)=(\frac (1)(12)).) มันง่ายที่จะแสดงสิ่งนั้น

x= (\displaystyle D[X]=M\left-(M[X])^(2)=(\frac (1)(3))-\left((\frac (1)(2))\right) ^(2)=(\frac (1)(12)).) ความแปรปรวนของตัวแปรสุ่มเป็นตัวกำหนดลักษณะการวัดการแพร่กระจายของตัวแปรสุ่มรอบค่าคาดหวังทางคณิตศาสตร์ม

, .

(x)2. สูตรสากลนี้ใช้ได้ดีพอๆ กันกับทั้งตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่องและตัวแปรต่อเนื่อง ขนาด 2 >สำหรับตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่องและต่อเนื่อง ตามลำดับ คำนวณโดยใช้สูตร

มักใช้ในการกำหนดการวัดการกระจายตัวของค่าของตัวแปรสุ่ม

• ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน , ที่ ที่เกี่ยวข้องกับการกระจายตัวโดยความสัมพันธ์=0;

• คุณสมบัติพื้นฐานของการกระจายตัว: , ที่ (ความแปรปรวนของค่าคงที่เป็นศูนย์) = ที่เกี่ยวข้องกับการกระจายตัวโดยความสัมพันธ์ 2 , ที่ ค

• สำหรับค่าคงที่ตามใจชอบ ซีเอ็กซ์(เอ็กซ์); , ที่ ความแปรปรวนของผลรวมของทั้งสอง เป็นอิสระ) = , ที่ ตัวแปรสุ่มเท่ากับผลรวมของความแปรปรวน: , ที่ (x±

ชม. (เอ็กซ์)+

(ชม).

51) ฟังก์ชันการแจกแจงคือฟังก์ชัน

ซึ่งกำหนดความน่าจะเป็นที่ตัวแปรสุ่มจะรับค่าที่ปรากฎบนแกนตัวเลขโดยจุดที่อยู่ทางด้านซ้ายของจุด x กล่าวคือ
บางครั้งแทนที่จะใช้คำว่า "ฟังก์ชันการกระจาย" จะใช้คำว่า "ฟังก์ชันปริพันธ์"

คุณสมบัติของฟังก์ชันการกระจาย:

1. ค่าฟังก์ชันการแจกแจงอยู่ในส่วน: 0 F(x) 1

2. F(x) เป็นฟังก์ชันที่ไม่ลดลง เช่น F(x 2) F(x 1) ถ้า x 2 >x 1

ข้อพิสูจน์ 1 ความน่าจะเป็นที่ตัวแปรสุ่มจะรับค่าที่มีอยู่ในช่วงเวลา (a,b) เท่ากับการเพิ่มขึ้นของฟังก์ชันการแจกแจงในช่วงเวลานี้:

P(ก

ตัวอย่างที่ 9 ตัวแปรสุ่ม X กำหนดโดยฟังก์ชันการแจกแจง:

ค้นหาความน่าจะเป็นที่ผลจากการทดสอบ X จะได้รับค่าที่อยู่ในช่วง (0;2): P(0
วิธีแก้: เนื่องจากในช่วงเวลา (0;2) ตามเงื่อนไข F(x)=x/4+1/4 จากนั้น F(2)-F(0)=(2/4+1/4)-(0 /4+1/4)=1/2. ดังนั้น P(0

กราฟของฟังก์ชันการกระจายอยู่ในแถบที่ถูกจำกัดด้วยเส้นตรง y=0, y=1 (คุณสมบัติแรก) เมื่อ x เพิ่มขึ้นในช่วงเวลา (a;b) ซึ่งมีค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของตัวแปรสุ่ม กราฟจะ "เพิ่มขึ้น" ที่ x a พิกัดของกราฟจะเท่ากับศูนย์ ที่ x b พิกัดของกราฟจะเท่ากับหนึ่ง:

ฟังก์ชันการกระจายตัวแปรสุ่ม เอ็กซ์เรียกว่าฟังก์ชัน ฉ(x)แสดงออกถึงแต่ละคน เอ็กซ์ความน่าจะเป็นที่ตัวแปรสุ่ม เอ็กซ์จะได้ค่าที่น้อยกว่า เอ็กซ์:

.

การทำงาน ฉ(x)เรียกว่า ฟังก์ชันการกระจายสะสมหรือกฎการกระจายแบบอินทิกรัล

วิธีการระบุตัวแปรสุ่มแบบต่อเนื่องโดยใช้ฟังก์ชันการแจกแจงไม่ใช่วิธีเดียวเท่านั้น จำเป็นต้องกำหนดฟังก์ชันบางอย่างที่สะท้อนถึงความน่าจะเป็นของจุดสุ่มที่ตกลงไปในส่วนต่างๆ ของช่วงของค่าที่เป็นไปได้ของตัวแปรสุ่มแบบต่อเนื่อง นั่นคือเพื่อทดแทนความน่าจะเป็น พี ฉัน สำหรับตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่องในกรณีต่อเนื่อง

ฟังก์ชันนี้คือฟังก์ชันความหนาแน่นของความน่าจะเป็น ความหนาแน่นของความน่าจะเป็น (ความหนาแน่นของการกระจาย ฟังก์ชันดิฟเฟอเรนเชียล) ตัวแปรสุ่ม เอ็กซ์เรียกว่าฟังก์ชัน ฉ(x)ซึ่งเป็นอนุพันธ์อันดับหนึ่งของฟังก์ชันการแจกแจงสะสม

ทฤษฎีความน่าจะเป็นเป็นสาขาพิเศษของคณิตศาสตร์ที่ศึกษาโดยนักศึกษาสถาบันอุดมศึกษาเท่านั้น คุณชอบการคำนวณและสูตรหรือไม่? คุณไม่กลัวโอกาสในการทำความคุ้นเคยกับการแจกแจงแบบปกติ เอนโทรปีทั้งมวล ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ และการกระจายตัวของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่องใช่หรือไม่ แล้ววิชานี้จะน่าสนใจมากสำหรับคุณ มาทำความคุ้นเคยกับแนวคิดพื้นฐานที่สำคัญที่สุดหลายประการของสาขาวิทยาศาสตร์นี้กันดีกว่า

เรามาจำพื้นฐานกัน

แม้ว่าคุณจะจำแนวคิดที่ง่ายที่สุดของทฤษฎีความน่าจะเป็นได้ แต่อย่าละเลยย่อหน้าแรกของบทความ ประเด็นก็คือหากไม่มีความเข้าใจพื้นฐานที่ชัดเจน คุณจะไม่สามารถทำงานกับสูตรที่กล่าวถึงด้านล่างได้

จึงมีเหตุการณ์สุ่มเกิดขึ้น การทดลองบางอย่าง จากการกระทำที่เราทำ เราจึงสามารถได้รับผลลัพธ์หลายประการ - บางอย่างเกิดขึ้นบ่อยกว่า และบางอย่างไม่บ่อยนัก ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์คืออัตราส่วนของจำนวนผลลัพธ์จริงที่ได้รับจริงประเภทหนึ่งต่อจำนวนผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมด เพียงทราบคำจำกัดความดั้งเดิมของแนวคิดนี้ คุณก็สามารถเริ่มศึกษาความคาดหวังทางคณิตศาสตร์และการกระจายตัวของตัวแปรสุ่มต่อเนื่องได้

ค่าเฉลี่ยเลขคณิต

ย้อนกลับไปในโรงเรียน ระหว่างเรียนคณิตศาสตร์ คุณเริ่มทำงานกับค่าเฉลี่ยเลขคณิต แนวคิดนี้ใช้กันอย่างแพร่หลายในทฤษฎีความน่าจะเป็น ดังนั้นจึงไม่สามารถละเลยได้ สิ่งสำคัญสำหรับเราในขณะนี้คือเราจะพบมันในสูตรสำหรับความคาดหวังทางคณิตศาสตร์และการกระจายตัวของตัวแปรสุ่ม

เรามีลำดับของตัวเลขและต้องการหาค่าเฉลี่ยเลขคณิต สิ่งเดียวที่เราต้องการก็คือสรุปทุกอย่างที่มีอยู่แล้วหารด้วยจำนวนองค์ประกอบในลำดับ ขอให้เรามีตัวเลขตั้งแต่ 1 ถึง 9 ผลรวมขององค์ประกอบจะเท่ากับ 45 และเราจะหารค่านี้ด้วย 9 คำตอบ: - 5

การกระจายตัว

ในแง่วิทยาศาสตร์ การกระจายตัวคือกำลังสองเฉลี่ยของการเบี่ยงเบนของค่าที่ได้รับของคุณลักษณะจากค่าเฉลี่ยเลขคณิต เขียนแทนด้วยอักษรละตินตัวพิมพ์ใหญ่ D ตัวหนึ่ง สิ่งที่จำเป็นในการคำนวณคืออะไร? สำหรับแต่ละองค์ประกอบของลำดับ เราจะคำนวณความแตกต่างระหว่างตัวเลขที่มีอยู่กับค่าเฉลี่ยเลขคณิตแล้วยกกำลังสอง จะมีมูลค่ามากที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้สำหรับเหตุการณ์ที่เรากำลังพิจารณา ต่อไปเราจะสรุปทุกอย่างที่ได้รับและหารด้วยจำนวนองค์ประกอบในลำดับ หากเรามีผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ห้ารายการ ให้หารด้วยห้า

การกระจายตัวยังมีคุณสมบัติที่ต้องจดจำเพื่อใช้ในการแก้ปัญหา ตัวอย่างเช่น เมื่อตัวแปรสุ่มเพิ่มขึ้น X เท่า ความแปรปรวนจะเพิ่มขึ้น X กำลังสองคูณ (เช่น X*X) มันไม่เคยน้อยกว่าศูนย์และไม่ขึ้นอยู่กับการเลื่อนค่าขึ้นหรือลงด้วยจำนวนที่เท่ากัน นอกจากนี้ สำหรับการทดลองอิสระ ความแปรปรวนของผลรวมจะเท่ากับผลรวมของผลรวม

ตอนนี้เราต้องพิจารณาตัวอย่างความแปรปรวนของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่องและความคาดหวังทางคณิตศาสตร์อย่างแน่นอน

สมมติว่าเราทำการทดลอง 21 ครั้ง และได้ผลลัพธ์ที่แตกต่างกัน 7 แบบ เราสังเกตแต่ละครั้ง 1, 2, 2, 3, 4, 4 และ 5 ครั้งตามลำดับ ความแปรปรวนจะเท่ากับอะไร?

ขั้นแรก มาคำนวณค่าเฉลี่ยเลขคณิต แน่นอนว่าผลรวมขององค์ประกอบคือ 21 หารด้วย 7 จะได้ 3 จากนั้นให้ลบ 3 ออกจากแต่ละตัวเลขในลำดับเดิม ยกกำลังสองแต่ละค่า แล้วบวกผลลัพธ์เข้าด้วยกัน ผลลัพธ์คือ 12 ตอนนี้สิ่งที่เราต้องทำคือหารตัวเลขด้วยจำนวนองค์ประกอบ และดูเหมือนว่าก็แค่นั้นแหละ แต่ก็มีสิ่งที่จับได้! มาหารือกัน

ขึ้นอยู่กับจำนวนการทดลอง

ปรากฎว่าเมื่อคำนวณความแปรปรวน ตัวส่วนสามารถมีตัวเลขหนึ่งในสองจำนวน: N หรือ N-1 โดยที่ N คือจำนวนการทดลองที่ทำหรือจำนวนองค์ประกอบในลำดับ (ซึ่งโดยพื้นฐานแล้วคือสิ่งเดียวกัน) สิ่งนี้ขึ้นอยู่กับอะไร?

ถ้าจำนวนการทดสอบวัดเป็นร้อย เราต้องใส่ N ในตัวส่วน ถ้าเป็นหน่วยแล้ว N-1 นักวิทยาศาสตร์ตัดสินใจวาดเส้นขอบในเชิงสัญลักษณ์: วันนี้มันผ่านเลข 30 หากเราทำการทดลองน้อยกว่า 30 ครั้ง เราจะหารจำนวนด้วย N-1 และถ้ามากกว่านั้นก็หารด้วย N

งาน

กลับมาที่ตัวอย่างการแก้ปัญหาความแปรปรวนและความคาดหวังทางคณิตศาสตร์กัน เราได้รับหมายเลขกลาง 12 ซึ่งต้องหารด้วย N หรือ N-1 เนื่องจากเราทำการทดลอง 21 ครั้ง ซึ่งน้อยกว่า 30 ครั้ง เราจะเลือกตัวเลือกที่สอง คำตอบคือ: ความแปรปรวนคือ 12/2 = 2

ความคาดหวัง

เรามาดูแนวคิดที่สองกันดีกว่าซึ่งเราต้องพิจารณาในบทความนี้ ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์เป็นผลมาจากการบวกผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมดคูณด้วยความน่าจะเป็นที่สอดคล้องกัน สิ่งสำคัญคือต้องเข้าใจว่าค่าที่ได้รับตลอดจนผลลัพธ์ของการคำนวณความแปรปรวนนั้นได้มาเพียงครั้งเดียวสำหรับปัญหาทั้งหมด ไม่ว่าจะพิจารณาผลลัพธ์จำนวนเท่าใดก็ตาม

สูตรสำหรับความคาดหวังทางคณิตศาสตร์นั้นค่อนข้างง่าย: เราใช้ผลลัพธ์คูณด้วยความน่าจะเป็นบวกกับผลลัพธ์ที่สองและสาม ฯลฯ ทุกสิ่งที่เกี่ยวข้องกับแนวคิดนี้คำนวณได้ไม่ยาก เช่น ผลรวมของค่าที่คาดหวังจะเท่ากับค่าที่คาดหวังของผลรวม เช่นเดียวกับการทำงาน ไม่ใช่ทุกปริมาณในทฤษฎีความน่าจะเป็นที่จะอนุญาตให้คุณดำเนินการง่ายๆ เช่นนั้นได้ ลองใช้ปัญหาและคำนวณความหมายของสองแนวคิดที่เราศึกษาพร้อมกัน นอกจากนี้เรายังถูกรบกวนจากทฤษฎี - ถึงเวลาฝึกฝนแล้ว

อีกตัวอย่างหนึ่ง

เราทำการทดลอง 50 ครั้งและได้รับผลลัพธ์ 10 ประเภท - ตัวเลขตั้งแต่ 0 ถึง 9 - ปรากฏในเปอร์เซ็นต์ที่ต่างกัน เหล่านี้คือตามลำดับ: 2%, 10%, 4%, 14%, 2%,18%, 6%, 16%, 10%, 18% โปรดจำไว้ว่าเพื่อให้ได้ความน่าจะเป็นคุณต้องหารค่าเปอร์เซ็นต์ด้วย 100 ดังนั้นเราจึงได้ 0.02 0.1 เป็นต้น ให้เรานำเสนอตัวอย่างการแก้ปัญหาความแปรปรวนของตัวแปรสุ่มและความคาดหวังทางคณิตศาสตร์

เราคำนวณค่าเฉลี่ยเลขคณิตโดยใช้สูตรที่เราจำได้ตั้งแต่ชั้นประถมศึกษา: 50/10 = 5

ทีนี้มาแปลงความน่าจะเป็นเป็นจำนวนผลลัพธ์ "เป็นชิ้น ๆ" เพื่อให้นับได้ง่ายขึ้น เราได้ 1, 5, 2, 7, 1, 9, 3, 8, 5 และ 9 จากแต่ละค่าที่ได้รับ เราจะลบค่าเฉลี่ยเลขคณิต หลังจากนั้นเราจะยกกำลังสองผลลัพธ์แต่ละรายการที่ได้รับ ดูวิธีดำเนินการโดยใช้องค์ประกอบแรกเป็นตัวอย่าง: 1 - 5 = (-4) ถัดไป: (-4) * (-4) = 16 สำหรับค่าอื่นๆ ให้ดำเนินการเหล่านี้ด้วยตนเอง ถ้าคุณทำทุกอย่างถูกต้องแล้ว เมื่อรวมทั้งหมดแล้วคุณจะได้ 90

มาคำนวณความแปรปรวนและค่าคาดหวังต่อไปโดยหาร 90 ด้วย N ทำไมเราจึงเลือก N แทนที่จะเป็น N-1 ถูกต้อง เนื่องจากจำนวนการทดลองที่ทำเกิน 30 ดังนั้น: 90/10 = 9 เราได้ความแปรปรวน หากได้เลขอื่นอย่าหมดหวัง เป็นไปได้มากว่าคุณทำผิดพลาดง่าย ๆ ในการคำนวณ ตรวจสอบสิ่งที่คุณเขียนอีกครั้งและทุกอย่างอาจจะเข้าที่

สุดท้าย จำสูตรความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ไว้ เราจะไม่ให้การคำนวณทั้งหมด เราจะเขียนเฉพาะคำตอบที่คุณสามารถตรวจสอบได้หลังจากทำตามขั้นตอนที่จำเป็นทั้งหมดแล้วเท่านั้น ค่าคาดหวังจะเป็น 5.48 ให้เรานึกถึงวิธีดำเนินการเท่านั้น โดยใช้องค์ประกอบแรกเป็นตัวอย่าง: 0*0.02 + 1*0.1... และอื่นๆ อย่างที่คุณเห็น เราแค่คูณค่าผลลัพธ์ด้วยความน่าจะเป็น

การเบี่ยงเบน

แนวคิดอีกประการหนึ่งที่เกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดกับการกระจายตัวและความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ก็คือค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน มันถูกแสดงด้วยตัวอักษรละติน sd หรือด้วยตัวพิมพ์เล็กกรีก "sigma" แนวคิดนี้แสดงให้เห็นว่าค่าเบี่ยงเบนไปจากคุณลักษณะส่วนกลางโดยเฉลี่ยเท่าใด ในการหาค่าของมัน คุณจำเป็นต้องคำนวณรากที่สองของความแปรปรวน

หากคุณพล็อตกราฟการแจกแจงแบบปกติและต้องการดูค่าเบี่ยงเบนกำลังสองบนกราฟนั้นโดยตรง สามารถทำได้ในหลายๆ ขั้นตอน ใช้เวลาครึ่งหนึ่งของภาพไปทางซ้ายหรือขวาของโหมด (ค่ากลาง) วาดตั้งฉากกับแกนนอนเพื่อให้พื้นที่ของตัวเลขที่ได้เท่ากัน ขนาดของส่วนระหว่างกึ่งกลางของการกระจายและการฉายภาพที่เกิดขึ้นบนแกนนอนจะแสดงถึงค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน

ซอฟต์แวร์

ดังที่เห็นได้จากคำอธิบายของสูตรและตัวอย่างที่นำเสนอ การคำนวณความแปรปรวนและความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ไม่ใช่ขั้นตอนที่ง่ายที่สุดจากมุมมองทางคณิตศาสตร์ เพื่อไม่ให้เป็นการเสียเวลา ควรใช้โปรแกรมที่ใช้ในสถาบันการศึกษาระดับอุดมศึกษา - เรียกว่า "R" มีฟังก์ชันที่ช่วยให้คุณคำนวณค่าสำหรับแนวคิดต่างๆ จากสถิติและทฤษฎีความน่าจะเป็น

ตัวอย่างเช่น คุณระบุเวกเตอร์ของค่า ทำได้ดังนี้: เวกเตอร์<-c(1,5,2…). Теперь, когда вам потребуется посчитать какие-либо значения для этого вектора, вы пишете функцию и задаете его в качестве аргумента. Для нахождения дисперсии вам нужно будет использовать функцию var. Пример её использования: var(vector). Далее вы просто нажимаете «ввод» и получаете результат.

สรุปแล้ว

การกระจายตัวและความคาดหวังทางคณิตศาสตร์นั้นเป็นสิ่งที่ยากในการคำนวณสิ่งใดในอนาคต ในหลักสูตรหลักของการบรรยายที่มหาวิทยาลัยจะมีการพูดคุยกันในช่วงเดือนแรกของการศึกษาวิชานี้ เป็นเพราะขาดความเข้าใจในแนวคิดง่ายๆ เหล่านี้และไม่สามารถคำนวณได้ ทำให้นักเรียนจำนวนมากเริ่มล้าหลังในโปรแกรมทันทีและต่อมาได้รับคะแนนไม่ดีเมื่อสิ้นสุดภาคเรียน ซึ่งทำให้ไม่ได้รับทุนการศึกษา

ฝึกฝนอย่างน้อยหนึ่งสัปดาห์ ครึ่งชั่วโมงต่อวัน เพื่อแก้ไขปัญหาคล้ายกับที่นำเสนอในบทความนี้ จากนั้น ในการทดสอบใดๆ ในทฤษฎีความน่าจะเป็น คุณจะสามารถรับมือกับตัวอย่างต่างๆ ได้โดยไม่ต้องอาศัยคำแนะนำและสูตรโกงเพิ่มเติม

การกระจายตัว , ที่เอ็กซ์ ตัวแปรสุ่ม X ถูกกำหนดโดยสูตร

, ที่เอ็กซ์ = อี(เอ็กซ์-เอ็กซ์)2

ความแปรปรวนของตัวแปรสุ่มคือค่าคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของค่าเบี่ยงเบนกำลังสองของตัวแปรสุ่มจากค่าคาดหวังทางคณิตศาสตร์

ให้เราพิจารณาตัวแปรสุ่ม X ด้วยกฎการแจกแจง

มาคำนวณความคาดหวังทางคณิตศาสตร์กัน

อี X = 1 + 2 + 3 =

มาสร้างกฎการแจกแจงสำหรับตัวแปรสุ่ม X – EX กันดีกว่า

แล้วกฎการกระจายของตัวแปรสุ่ม (X-EX) 2

, ที่เอ็กซ์ = ++=

ความคิดเห็น สูตรต่อไปนี้อาจสะดวกกว่าในการคำนวณซึ่งถือได้ว่าเป็นหนึ่งในคุณสมบัติของการกระจายตัว:

DX = EX2 – (EX)2

ดังนั้น ความแปรปรวนของตัวแปรสุ่มจึงเท่ากับความแตกต่างระหว่างความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของกำลังสองของตัวแปรสุ่มกับกำลังสองของความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ หากต้องการใช้สูตรนี้ คุณต้องสร้างตาราง:

ก็ได้แสดงไว้ข้างต้นแล้ว อดีต=ร- มันง่ายที่จะเห็นว่า อดีต 2 =ร- ปรากฎว่าเป็นเช่นนั้น , ที่เอ็กซ์= ร–ร 2 =หน้า.

การกระจายตัวบ่งบอกถึงระดับของการกระเจิงของค่าของตัวแปรสุ่มที่สัมพันธ์กับความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ หากค่าทั้งหมดของตัวแปรสุ่มมีความเข้มข้นอย่างใกล้ชิดกับความคาดหวังทางคณิตศาสตร์และค่าเบี่ยงเบนมากจากความคาดหวังทางคณิตศาสตร์นั้นไม่น่าเป็นไปได้ แสดงว่าตัวแปรสุ่มดังกล่าวมีการกระจายตัวต่ำ หากค่าของตัวแปรสุ่มกระจัดกระจายและมีโอกาสสูงที่จะเบี่ยงเบนไปจากการคาดการณ์ทางคณิตศาสตร์อย่างมาก แสดงว่าตัวแปรสุ่มดังกล่าวมีการกระจายตัวมาก

ตัวอย่าง

ค้นหาความแปรปรวนของตัวแปรสุ่ม X ซึ่งมีการกระจายตัวสม่ำเสมอ

คุณสมบัติการกระจายตัว

ถ้า เค– หมายเลขแล้ว , ที่(เคเอ็กซ์) =เค 2 , ที่เอ็กซ์

สำหรับตัวแปรสุ่มอิสระแบบคู่ X 1 ,X 2 ,,X nความเท่าเทียมกันเป็นจริง

ถ้า X และ Y เป็นอิสระจากกัน , ที่( X+Y) = , ที่เอ็กซ์+ , ที่ย.

เราขอแนะนำเป็นแบบฝึกหัดให้พิจารณาว่า D(X–Y) เท่ากับเท่าใดภายใต้เงื่อนไขเดียวกัน

ความไม่เท่าเทียมกันของ Markov และ Chebyshev

ความไม่เท่าเทียมกันของมาร์กอฟให้การประมาณค่าของตัวแปรสุ่มในกรณีที่ความรู้ของเราเกี่ยวกับตัวแปรสุ่มถูกจำกัดอยู่เพียงความคาดหวังและความแปรปรวน และแม้ว่าการประมาณเหล่านี้จะค่อนข้างหยาบ แต่ก็ต้องการข้อมูลเพียงเล็กน้อยเกี่ยวกับตัวแปรสุ่มที่เป็นปัญหา

หากค่าที่เป็นไปได้ของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง X ไม่เป็นลบและมีค่าคาดหวังทางคณิตศาสตร์ EX = a ดังนั้นสำหรับจำนวนใด ๆ c > 0 ความไม่เท่าเทียมกันต่อไปนี้จะเป็นจริง:

พี(เอ็กซ์<с) >1 – เอ/เอส

ความไม่เท่าเทียมกันจึงเกิดขึ้น

P (X ≥ s) ≤ a / s

อสมการเหล่านี้เรียกว่า (ครั้งแรกและครั้งที่สอง) ความไม่เท่าเทียมกันของมาร์คอฟ

ตัวอย่างที่ 9.4 ให้ X เป็นเวลาที่นักเรียนมาสาย

การบรรยายและเป็นที่รู้กันว่า EX = 1 นาที การเอาเปรียบ

โดยใช้อสมการเชบีเชฟแรก เราจะประมาณความน่าจะเป็น P(X >5)

ว่านักเรียนจะมาสายอย่างน้อย 5 นาที

เรามี P(X≥5) ≤EX/5

ดังนั้นความน่าจะเป็นที่ต้องการคือไม่เกิน 0.2 เช่น โดยเฉลี่ย

จากนักเรียนทุกๆ 5 คน มีนักเรียนไม่เกิน 1 คนมาสายอย่างน้อย 5 นาที

ถ้า X เป็นตัวแปรสุ่ม ค่าคาดหวังทางคณิตศาสตร์คือ EX = a ความแปรปรวน DX นั้นมีจำกัด ดังนั้นสำหรับจำนวนใดๆ c > 0 จะเป็นที่น่าพอใจ

P (| X – a | ≥ c) ≤DX / c 2

ป (| X – ก |< c) >1 – DX/วินาที 2

อสมการเหล่านี้เรียกว่า (ครั้งแรกและครั้งที่สอง) ความไม่เท่าเทียมกันของเชบีเชฟ

ความคิดเห็น - บางครั้งทั้งความไม่เท่าเทียมกันของ Markov และความไม่เท่าเทียมกันของ Chebyshev เรียกว่าความไม่เท่าเทียมกันของ Chebyshev ที่หนึ่งและที่สอง

ตัวอย่าง- แจ้งให้เราทราบเพิ่มเติมภายใต้เงื่อนไขของตัวอย่างก่อนหน้านี้ว่า a = y/DX = 1 ให้ประเมินค่าต่ำสุด x o โดยความน่าจะเป็นที่นักเรียนจะมาสายเป็นเวลาไม่น้อยกว่า x o ไม่เกินค่าที่กำหนด P 3 = 0.1

เพื่อแก้ปัญหา เราใช้ความไม่เท่าเทียมกันของเชบีเชฟ แล้ว

P 3 ≤ P(X ≥x 0 ) = P(X - EX ≥ x o - EX) ≤ P(|X – EX| >x 0 - EX)≤

และ

และเมื่อแทนค่าเฉพาะ เราก็ได้

ดังนั้นความน่าจะเป็นที่นักเรียนมาสายเกิน 4.16 นาที จึงไม่เกิน 0.1

เมื่อเปรียบเทียบผลลัพธ์ที่ได้รับกับผลลัพธ์ของตัวอย่างก่อนหน้านี้ เราจะสังเกตได้ว่าข้อมูลเพิ่มเติมเกี่ยวกับการกระจายตัวของเวลาหน่วงช่วยให้เราสามารถประมาณค่าความน่าจะเป็นที่ต้องการได้แม่นยำยิ่งขึ้น

ความคิดเห็น - ข้อพิสูจน์เบื้องต้นของความไม่เท่าเทียมกันของ Chebyshev คือกฎของจำนวนมาก (ในรูปแบบ Chebyshev):

คำนิยาม. -ผู้เริ่มต้น) สักครู่หนึ่งของการสั่งซื้อเคตัวแปรสุ่ม X คือตัวเลข m k = E(X k)

คำนิยาม. -ภาคกลาง) ช่วงเวลาแห่งการสั่งซื้อเคตัวแปรสุ่ม X คือตัวเลข μ k = E(X–EX) k

ความคิดเห็น สังเกตได้ง่ายว่าความคาดหวังทางคณิตศาสตร์คือช่วงเวลาเริ่มต้นของลำดับแรก และการกระจายตัวคือช่วงเวลาสำคัญของลำดับที่สอง

ความคิดเห็น ถ้าความหนาแน่นของการแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่มต่อเนื่องมีความสมมาตรโดยเทียบกับเส้นตรง ความแปรปรวนของตัวแปรสุ่มเป็นตัวกำหนดลักษณะการวัดการแพร่กระจายของตัวแปรสุ่มรอบค่าคาดหวังทางคณิตศาสตร์ = อดีต จากนั้นโมเมนต์ศูนย์กลางของลำดับคี่ทั้งหมดจะเท่ากับศูนย์

การปรากฏตัวของค่าที่สูงกว่าหรือในทางกลับกันต่ำกว่าค่าเฉลี่ยจะมีการแจกแจงแบบไม่สมมาตร

คำนิยาม. ความไม่สมมาตร กตัวแปรสุ่ม X คืออัตราส่วนของโมเมนต์ศูนย์กลางที่สามต่อกำลังสามของส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน A=μ 3 / σ 3

(อ้างอิงจาก E.V. Sidorenko)

ความไม่สมมาตรเป็นปริมาณที่แสดงถึงระดับความไม่สมดุลของการแจกแจงที่สัมพันธ์กับความคาดหวังทางคณิตศาสตร์: หากค่าสัมประสิทธิ์ความไม่สมมาตรเป็นลบ ค่าส่วนใหญ่ของตัวแปรสุ่มหรือโหมดจะอยู่ทางด้านซ้ายของความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ และ ในทางกลับกัน ถ้ามันมากกว่าศูนย์ ให้ไปทางขวา

ในกรณีที่มีเหตุผลบางประการเกิดขึ้นบ่อยขึ้น

การปรากฏตัวของค่าที่สูงกว่าหรือในทางกลับกันต่ำกว่าค่าเฉลี่ยจะมีการแจกแจงแบบไม่สมมาตร ด้วยความไม่สมมาตรด้านซ้ายหรือบวกในการแจกแจง ค่าที่ต่ำกว่าของลักษณะจะพบได้บ่อยกว่า และทางด้านขวา

หรือลบ - สูงกว่า

แน่นอนว่า สำหรับตัวแปรสุ่มที่กระจายแบบสมมาตรตามความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ ความไม่สมมาตรจะเป็นศูนย์

ในกรณีที่มีเหตุอันใดมีส่วนทำให้มีชัยกว่า

เมื่อค่าเฉลี่ยหรือใกล้เคียงกับค่าเฉลี่ยปรากฏขึ้น การแจกแจงที่มีความโด่งเป็นบวกจะเกิดขึ้น หากการแจกแจงถูกครอบงำด้วยค่าสุดขั้ว ทั้งค่าต่ำและสูงกว่าในเวลาเดียวกัน การแจกแจงดังกล่าวจะมีลักษณะเป็นความโด่งเป็นลบ และความหดหู่อาจก่อตัวขึ้นที่ศูนย์กลางของการแจกแจง ทำให้กลายเป็นค่าสองยอด (ดู ร่างของความโด่งต่อไปนี้)

คำนิยาม. ส่วนเกินγ ของตัวแปรสุ่ม X เรียกว่าอัตราส่วน

 = (ไมโคร 4 / σ 4) –3

Kurtosis: ก) บวก; 6) ลบ ในการแจกแจงด้วยความนูนปกติγ =0.

การแจกแจงแบบปกติมักใช้ในทฤษฎีความน่าจะเป็นและสถิติทางคณิตศาสตร์ ดังนั้นแผนความหนาแน่นของความน่าจะเป็นของการแจกแจงแบบปกติจึงกลายเป็นมาตรฐานชนิดหนึ่งที่ใช้เปรียบเทียบการแจกแจงแบบอื่น พารามิเตอร์ตัวหนึ่งที่กำหนดความแตกต่างระหว่างการแจกแจงของตัวแปรสุ่ม X และการแจกแจงแบบปกติคือความโด่ง สำหรับการแจกแจงแบบปกติ γ=0 ถ้า γ >0 แสดงว่ากราฟความหนาแน่นนั้น "คมชัดขึ้น" มากกว่ากราฟปกติ และถ้า γ<0, то, соответственно, меньше.

คำนิยาม. ควอนติลลาระดับ α หรือ α-ควอนไทล์ (0<α<1) называют число Q α , удовлетворяющее неравенствам Р{X < Q α }≤α и P{X>Q α ) ≤ 1 – α

½-ควอนไทล์ก็เรียกอีกอย่างว่า ค่ามัธยฐาน มตัวแปรสุ่ม X

สำหรับตัวแปรสุ่มต่อเนื่อง X นั้น α-ควอนไทล์ Q α คือจำนวนที่น้อยกว่าที่ X รับค่าที่มีความน่าจะเป็น α

หากทราบความหนาแน่นของการแจกแจง ρ(x) ของตัวแปรสุ่ม X เมื่อพิจารณาความสัมพันธ์ระหว่างฟังก์ชันการแจกแจงและความหนาแน่น สมการในการกำหนดควอนไทล์สามารถเขียนได้เป็น

กล่าวอีกนัยหนึ่ง ควอนไทล์ Q α เป็นวิธีแก้สมการ F(Q α)=α ,

ตัวอย่าง.

ลองหาα-ควอนไทล์และค่ามัธยฐานของการแจกแจงแบบเอกซ์โปเนนเชียล

(ตัวแปรสุ่มต่อเนื่อง X มีการแจกแจงแบบเอ็กซ์โปเนนเชียลด้วยพารามิเตอร์  > 0 หากรับเฉพาะค่าที่ไม่เป็นลบ และความหนาแน่นของการแจกแจง มีรูปแบบ: (x) = `е - ` x, x≥0 และ 0 ถ้า x<0

นั่นเป็นเหตุผล
และค่ามัธยฐานคือ

คำนิยาม. โหมดของตัวแปรสุ่มต่อเนื่องเรียกว่าจุดความหนาแน่นการกระจายสูงสุด (เฉพาะจุด) p(x) มีการแจกแจงแบบ Unimodal (มีหลายโหมด) Bimodal (มีสองโหมด) และ Multimodal (มีหลายโหมด)

ในการกำหนดโหมดของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง อันดับแรกเราจะถือว่าค่าของมัน x 1 , ... xn ถูกจัดเรียงจากน้อยไปหามาก

โหมดของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่องเรียกค่านี้ เอ็กซ์ฉัน ซึ่งความไม่เท่าเทียมกันถือเป็นความน่าจะเป็น

พี ฉัน -1< p i и p i +1 < р i

ในกรณีของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง การแจกแจงอาจเป็นแบบยูนิโมดัล ไบโมดัล และมัลติโมดัลก็ได้

ความหมายที่เป็นไปได้มากที่สุดเรียกว่าโหมดที่บรรลุความน่าจะเป็นสูงสุดโดยรวม (ตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง) หรือความหนาแน่นของการแจกแจง (ตัวแปรสุ่มต่อเนื่อง)

หากการแจกแจงเป็นรูปแบบเดียว โหมดนี้ก็จะเป็นค่าที่เป็นไปได้มากที่สุดเช่นกัน

แม้ว่าความจริงแล้วความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของค่านิยม เอ็กซ์และ ยเหมือนกัน: ม(X)=ม(ป)=0 ค่าที่เป็นไปได้ของปริมาณ เอ็กซ์และ ย“กระจัดกระจาย” หรือ “กระจัดกระจาย” รอบความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ด้วยวิธีต่างๆ: ค่าที่เป็นไปได้ของปริมาณ เอ็กซ์อยู่ใกล้ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์มากกว่าค่าของปริมาณมาก ย.

ให้เราชี้ให้เห็นอีกตัวอย่างหนึ่ง ด้วยปริมาณน้ำฝนเฉลี่ยต่อปีที่เท่ากัน พื้นที่หนึ่งอาจแห้งแล้งและไม่เอื้ออำนวยต่องานเกษตรกรรม (ไม่มีฝนตกในฤดูใบไม้ผลิและฤดูร้อน) ในขณะที่อีกพื้นที่หนึ่งอาจเอื้ออำนวยต่อการทำเกษตรกรรม

จากที่กล่าวมาข้างต้นมีความจำเป็นต้องแนะนำคุณลักษณะเชิงตัวเลขใหม่ของตัวแปรสุ่มซึ่งสามารถตัดสิน "การกระจาย" ของค่าที่เป็นไปได้ของตัวแปรสุ่มนี้ได้

ให้ตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่องได้รับมา เอ็กซ์:

คำจำกัดความ 1. การเบี่ยงเบนตัวแปรสุ่ม เอ็กซ์จากความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ ม(เอ็กซ์)(หรือเพียงแค่ความเบี่ยงเบนของตัวแปรสุ่ม เอ็กซ์)เรียกว่าตัวแปรสุ่ม เอ็กซ์-เอ็ม(เอ็กซ์).

จะเห็นได้ว่าเพื่อให้เกิดการเบี่ยงเบนของตัวแปรสุ่ม เอ็กซ์ได้รับความหมาย ความแปรปรวนของตัวแปรสุ่มเป็นตัวกำหนดลักษณะการวัดการแพร่กระจายของตัวแปรสุ่มรอบค่าคาดหวังทางคณิตศาสตร์ 1 - ม(เอ็กซ์)ตัวแปรสุ่มก็เพียงพอแล้ว เอ็กซ์ได้รับความหมาย ความแปรปรวนของตัวแปรสุ่มเป็นตัวกำหนดลักษณะการวัดการแพร่กระจายของตัวแปรสุ่มรอบค่าคาดหวังทางคณิตศาสตร์ 1 . ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์นี้เท่ากับ พี 1 ; ดังนั้นความน่าจะเป็นที่ค่าเบี่ยงเบนของตัวแปรสุ่ม เอ็กซ์จะเอาค่า ความแปรปรวนของตัวแปรสุ่มเป็นตัวกำหนดลักษณะการวัดการแพร่กระจายของตัวแปรสุ่มรอบค่าคาดหวังทางคณิตศาสตร์ 1 - ม(เอ็กซ์)เท่ากันเช่นกัน พี 1 . สถานการณ์จะคล้ายกันกับค่าที่เป็นไปได้ที่เหลืออยู่ของการเบี่ยงเบนของตัวแปรสุ่ม เอ็กซ์เมื่อใช้สิ่งนี้ เราจะเขียนกฎการกระจายตัวของการเบี่ยงเบนของตัวแปรสุ่ม เอ็กซ์:

ให้เราคำนวณความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของการเบี่ยงเบน เอ็กซ์-เอ็ม(เอ็กซ์).เราได้รับโดยใช้คุณสมบัติ 5 และ 1 (ส่วนที่ 9.2 รายการที่ 2)

ม[X - ม(X)] = ม(X) - ม(X) = 0. ดังนั้นทฤษฎีบทต่อไปนี้จึงเป็นจริง

ทฤษฎีบท 9.2- ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของการเบี่ยงเบน X-M(X) เท่ากับศูนย์:

ม[X-M(X)] = 0

จากทฤษฎีบทจะเห็นได้ชัดว่าด้วยความช่วยเหลือจากการเบี่ยงเบน X-M(X)ไม่สามารถกำหนดค่าเบี่ยงเบนเฉลี่ยของค่าที่เป็นไปได้ของปริมาณได้ เอ็กซ์จากความคาดหวังทางคณิตศาสตร์นั่นคือ ระดับการกระจายตัวของปริมาณ เอ็กซ์สิ่งนี้อธิบายได้ด้วยการยกเลิกค่าเบี่ยงเบนที่เป็นไปได้ทั้งเชิงบวกและเชิงลบร่วมกัน อย่างไรก็ตาม เราสามารถกำจัดข้อเสียนี้ได้หากพิจารณาค่าเบี่ยงเบนกำลังสองของตัวแปรสุ่ม เอ็กซ์

ให้เราเขียนกฎการกระจายตัวของตัวแปรสุ่ม 2 (การให้เหตุผลจะเหมือนกับในกรณีของตัวแปรสุ่ม X-M(X))

คำจำกัดความ 2. การกระจายตัว D(X)ตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง เอ็กซ์คือความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของค่าเบี่ยงเบนกำลังสองของตัวแปรสุ่ม เอ็กซ์จากความคาดหวังทางคณิตศาสตร์:

ง(X) = ม[(X-M(X)) 2 ].

จากกฎการกระจายของค่า [ HM(เอ็กซ์)] 2 มันเป็นไปตามนั้น , ที่(เอ็กซ์) =

= [เอ็กซ์ 1 - ม(เอ็กซ์)] 2 พี 1 + [เอ็กซ์ 2 - ม(เอ็กซ์)] 2 พี 2 + ... + [ เอ็กซ์ เอ็น - ม(เอ็กซ์)] 2 พีเอ็น.

2. คุณสมบัติของการกระจายตัวของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง

1. ความแปรปรวนของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง X เท่ากับความแตกต่างระหว่างความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของกำลังสองของค่า X และกำลังสองของความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของมัน :

, ที่(เอ็กซ์) = ม(เอ็กซ์ 2)-ม.2(เอ็กซ์).

แน่นอนว่าเราใช้คุณสมบัติของความคาดหวังทางคณิตศาสตร์

, ที่(เอ็กซ์) = ม[(X- ม(X)) 2 ] = ม[X 2 -2 KhМ( Kh) + М 2 ( Kh)]=

= ม(X 2)-2ม(X)×ม(X) + ม 2 (เอ็กซ์)=ม(X 2) -2 ม 2 (X) + ม 2 (เอ็กซ์)=ม(X 2)- -ม 2 (เอ็กซ์)

การใช้คุณสมบัตินี้และคุณสมบัติความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ คุณสมบัติต่อไปนี้จะถูกสร้างขึ้น

2. ความแปรปรวนของค่าคงที่ C เป็นศูนย์ .

3.ตัวประกอบคงที่สามารถนำออกจากเครื่องหมายการกระจายตัวได้โดยการยกกำลังสอง :D(CX) =ค 2 ด(เอ็กซ์) .

4. ความแปรปรวนของผลรวมของตัวแปรสุ่มอิสระสองตัวเท่ากับผลรวมของความแปรปรวนของตัวแปรเหล่านี้:ม(X+Y) = ง (X) + ง (Y)

เมื่อใช้วิธีการอุปนัยทางคณิตศาสตร์ คุณสมบัตินี้จะขยายไปถึงกรณีของเทอมที่มีจำนวนจำกัดใดๆ

ผลที่ตามมาของคุณสมบัติ 3 และ 4 คือคุณสมบัติ 5

5. ความแปรปรวนของความแตกต่างระหว่างตัวแปรสุ่มอิสระสองตัว X และ Y เท่ากับผลรวมของความแปรปรวน : ม(X-Y) = ง (X) + ง (Y)

ตัวอย่างที่ 9.6ความแปรปรวนของตัวแปรสุ่ม เอ็กซ์เท่ากับ 3 ค้นหาความแปรปรวนของปริมาณต่อไปนี้: a) --3 เอ็กซ์- ข) 4 เอ็กซ์ + 3.

ตามคุณสมบัติ 2, 3 และ 4 ของการกระจายตัวที่เรามี

ก) ง(-3X) = 9D(X)= 9×3 = 27;

ข) ง (4XX+ 3) = ง(4X) + ง(3) = 16D(เอ็กซ์)+ 0 = 16×3 = 48