ผลรวมของสามเหลี่ยมคืออะไร? ทฤษฎีบทผลรวมมุมสามเหลี่ยม

บ้าน ทฤษฎีบท.

ผลรวมของมุมภายในของรูปสามเหลี่ยมเท่ากับมุมฉากสองมุม

ลองหาสามเหลี่ยม ABC กัน (รูปที่ 208) ให้เราแสดงมุมภายในของมันด้วยเลข 1, 2 และ 3 ให้เราพิสูจน์กัน

∠1 + ∠2 + ∠3 = 180°

ลองวาดผ่านจุดยอดของสามเหลี่ยม เช่น B ซึ่งเป็นเส้นตรง MN ขนานกับ AC

ที่จุดยอด B เรามีมุมสามมุม: ∠4, ∠2 และ ∠5 ผลรวมของมันคือมุมตรง ดังนั้นมันจึงเท่ากับ 180°:

∠4 + ∠2 + ∠5 = 180°

แต่ ∠4 = ∠1 เป็นมุมขวางภายในที่มีเส้นขนาน MN และ AC และซีแคนต์ AB

∠5 = ∠3 - นี่คือมุมขวางภายในที่มีเส้นขนาน MN และ AC และเส้นตัด BC

ซึ่งหมายความว่า ∠4 และ ∠5 สามารถแทนที่ได้ด้วยค่าเท่ากับ ∠1 และ ∠3

ดังนั้น ∠1 + ∠2 + ∠3 = 180° ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว

2. คุณสมบัติของมุมภายนอกของรูปสามเหลี่ยม ทฤษฎีบท. มุมภายนอกของรูปสามเหลี่ยมเท่ากับผลรวม

มุมภายในสองมุมที่ไม่อยู่ติดกัน

ที่จริงแล้ว ในรูปสามเหลี่ยม ABC (รูปที่ 209) ∠1 + ∠2 = 180° - ∠3 แต่ยังรวมถึง ∠ВСD ด้วย มุมภายนอกของสามเหลี่ยมนี้ซึ่งไม่อยู่ติดกับ ∠1 และ ∠2 ก็เท่ากับ 180° เช่นกัน - ∠3 .

ดังนั้น:

∠1 + ∠2 = 180° - ∠3;

∠BCD = 180° - ∠3

ดังนั้น ∠1 + ∠2= ∠BCD

สมบัติที่ได้รับของมุมภายนอกของรูปสามเหลี่ยมทำให้เนื้อหาของทฤษฎีบทที่พิสูจน์แล้วก่อนหน้านี้เกี่ยวกับมุมภายนอกของรูปสามเหลี่ยมชัดเจนขึ้น ซึ่งระบุเพียงว่ามุมภายนอกของรูปสามเหลี่ยมมีค่ามากกว่ามุมภายในแต่ละมุมของรูปสามเหลี่ยมที่ไม่ได้อยู่ติดกัน ปัจจุบันเป็นที่ยอมรับแล้วว่ามุมภายนอกเท่ากับผลรวมของมุมภายในทั้งสองมุมซึ่งไม่ได้อยู่ติดกัน

2. คุณสมบัติของมุมภายนอกของรูปสามเหลี่ยม 3. คุณสมบัติของรูปสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีมุม 30° ขาสามเหลี่ยมมุมฉาก

ซึ่งอยู่ตรงข้ามกับมุม 30° เท่ากับครึ่งหนึ่งของด้านตรงข้ามมุมฉาก

ให้มุม B ในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ACB เท่ากับ 30° (รูปที่ 210) จากนั้นมุมแหลมอีกอันจะเท่ากับ 60°

ลองพิสูจน์ว่า AC ขาเท่ากับครึ่งหนึ่งของด้านตรงข้ามมุมฉาก AB ลองขยายขา AC ออกไปเลยจุดยอดของมุมฉาก C และแยกส่วน CM ไว้เท่ากับส่วน AC ลองเชื่อมต่อจุด M กับจุด B กัน ผลลัพธ์สามเหลี่ยม ВСМ เท่ากับสามเหลี่ยม ACB เราจะเห็นว่าแต่ละมุมของสามเหลี่ยม ABM เท่ากับ 60° ดังนั้น สามเหลี่ยมนี้จึงเป็นสามเหลี่ยมด้านเท่า

ทฤษฎีบทนี้ยังถูกจัดทำขึ้นในตำราเรียนของ L.S. Atanasyan อีกด้วย และในตำราเรียนของ Pogorelov A.V. - การพิสูจน์ทฤษฎีบทนี้ในหนังสือเรียนเหล่านี้ไม่มีความแตกต่างอย่างมีนัยสำคัญ ดังนั้นเราจึงนำเสนอข้อพิสูจน์จากหนังสือเรียนของ A.V.

ทฤษฎีบท: ผลรวมของมุมของสามเหลี่ยมคือ 180°

การพิสูจน์. ให้เอบีซี - ให้รูปสามเหลี่ยม- ให้เราลากเส้นผ่านจุดยอด B ขนานกับเส้น AC ทำเครื่องหมายจุด D ไว้บนนั้นเพื่อให้จุด A และ D อยู่บนด้านตรงข้ามของเส้นตรง BC (รูปที่ 6)

มุม DBC และ ACB เท่ากันกับมุมขวางภายใน ซึ่งเกิดจากเส้นตัด BC โดยมีเส้นตรงขนานกัน AC และ BD ดังนั้น ผลรวมของมุมของสามเหลี่ยมที่จุดยอด B และ C เท่ากับมุม ABD และผลรวมของมุมทั้งสามมุมของสามเหลี่ยมจะเท่ากับผลรวมของมุม ABD และ BAC เนื่องจากมุมเหล่านี้เป็นมุมภายในด้านเดียวสำหรับ AC และ BD และซีแคนต์ AB ขนาน ผลรวมของมันคือ 180° ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว

แนวคิดของการพิสูจน์นี้คือการดำเนินการ เส้นขนานและการกำหนดความเท่าเทียมกันของมุมที่ต้องการ ให้เราสร้างแนวคิดของการก่อสร้างเพิ่มเติมดังกล่าวขึ้นใหม่โดยการพิสูจน์ทฤษฎีบทนี้โดยใช้แนวคิดของการทดลองทางความคิด การพิสูจน์ทฤษฎีบทโดยใช้การทดลองทางความคิด ดังนั้น หัวข้อของการทดลองทางความคิดของเราคือมุมของสามเหลี่ยม ขอให้เราวางจิตใจเขาไว้ในสภาวะที่สามารถเปิดเผยแก่นแท้ของเขาได้อย่างแน่นอน (ระยะที่ 1)

เงื่อนไขดังกล่าวจะเป็นการจัดเรียงมุมของสามเหลี่ยมโดยที่จุดยอดทั้งสามจะรวมกันที่จุดเดียว การรวมกันดังกล่าวเป็นไปได้หากเราอนุญาตให้ "เคลื่อนย้าย" มุมโดยการเลื่อนด้านข้างของสามเหลี่ยมโดยไม่เปลี่ยนมุมเอียง (รูปที่ 1) การเคลื่อนไหวดังกล่าวถือเป็นการเปลี่ยนแปลงทางจิตในภายหลัง (ระยะที่ 2)

ด้วยการกำหนดมุมและด้านข้างของรูปสามเหลี่ยม (รูปที่ 2) มุมที่ได้รับจากการ "เคลื่อนที่" จึงสร้างสภาพแวดล้อมทางจิตใจ ซึ่งเป็นระบบการเชื่อมโยงที่เราวางหัวข้อความคิดของเรา (ระยะที่ 3)

เส้น AB "เคลื่อนที่" ไปตามเส้น BC และไม่เปลี่ยนมุมเอียง ถ่ายโอนมุม 1 ไปยังมุม 5 และ "เคลื่อนที่" ไปตามเส้น AC ถ่ายโอนมุม 2 ไปยังมุม 4 เนื่องจากด้วยเส้น "การเคลื่อนไหว" AB ไม่เปลี่ยนมุมเอียงเป็นเส้น AC และ BC ดังนั้นข้อสรุปก็ชัดเจน: รังสี a และ a1 ขนานกับ AB และเปลี่ยนรูปเป็นกันและกัน และรังสี b และ b1 เป็นความต่อเนื่องของด้าน BC และ AC ตามลำดับ เนื่องจากมุม 3 และมุมระหว่างรังสี b และ b1 เป็นแนวตั้ง พวกมันจึงเท่ากัน ผลรวมของมุมเหล่านี้เท่ากับมุมที่หมุน aa1 ซึ่งหมายถึง 180°

บทสรุป

ใน งานประกาศนียบัตรการพิสูจน์ "แบบสร้าง" ของทฤษฎีบทเรขาคณิตของโรงเรียนบางแห่งดำเนินการโดยใช้โครงสร้างของการทดลองทางความคิด ซึ่งยืนยันสมมติฐานที่กำหนดไว้

หลักฐานที่นำเสนอนั้นมีพื้นฐานอยู่บนอุดมคติทางการมองเห็นและประสาทสัมผัส: "การบีบอัด", "การยืด", "การเลื่อน" ซึ่งทำให้สามารถเปลี่ยนวัตถุทางเรขาคณิตดั้งเดิมด้วยวิธีพิเศษและเน้นคุณลักษณะที่สำคัญซึ่งเป็นเรื่องปกติสำหรับความคิด การทดลอง. ในกรณีนี้ การทดลองทางความคิดทำหน้าที่เป็น "เครื่องมือสร้างสรรค์" บางอย่างที่ก่อให้เกิดความรู้ทางเรขาคณิต (เช่น เกี่ยวกับ เส้นกึ่งกลางสี่เหลี่ยมคางหมูหรือประมาณมุมของสามเหลี่ยม) อุดมคติดังกล่าวทำให้สามารถเข้าใจแนวคิดทั้งหมดของการพิสูจน์ได้แนวคิดในการดำเนินการ "การก่อสร้างเพิ่มเติม" ซึ่งช่วยให้เราสามารถพูดคุยเกี่ยวกับความเป็นไปได้ของความเข้าใจที่มีสติมากขึ้นโดยเด็กนักเรียนเกี่ยวกับกระบวนการพิสูจน์แบบนิรนัยอย่างเป็นทางการ ทฤษฎีบทเรขาคณิต

การทดลองทางความคิดเป็นหนึ่งใน วิธีการพื้นฐานการได้มาและการค้นพบทฤษฎีบทเรขาคณิต มีความจำเป็นต้องพัฒนาวิธีการถ่ายทอดวิธีการถ่ายทอดให้กับผู้เรียน ยังคงอยู่ คำถามเปิดเกี่ยวกับอายุของนักเรียนที่ยอมรับได้ในการ “รับ” วิธีการ ประมาณ “ ผลข้างเคียง» หลักฐานที่นำเสนอในลักษณะนี้

ปัญหาเหล่านี้จำเป็นต้องศึกษาเพิ่มเติม แต่ไม่ว่าในกรณีใดมีสิ่งหนึ่งที่แน่นอน: การทดลองทางความคิดพัฒนาความคิดเชิงทฤษฎีในเด็กนักเรียนเป็นพื้นฐานและดังนั้นจึงจำเป็นต้องพัฒนาความสามารถในการทดลองทางความคิด

เนื้อหาที่อยู่ในหน้านี้ถือเป็นลิขสิทธิ์ การคัดลอกเพื่อโพสต์บนเว็บไซต์อื่นทำได้เฉพาะเมื่อได้รับความยินยอมอย่างชัดแจ้งจากผู้เขียนและผู้ดูแลเว็บไซต์

ผลรวมของมุมของสามเหลี่ยม

Smirnova I. N. ครูคณิตศาสตร์
หนังสือชี้ชวนข้อมูลสำหรับบทเรียนแบบเปิด

วัตถุประสงค์ของบทเรียนระเบียบวิธี:แนะนำครูให้รู้จัก วิธีการที่ทันสมัยและเทคนิคการใช้เครื่องมือ ICT ค่ะ ประเภทต่างๆกิจกรรมการศึกษา
หัวข้อบทเรียน:ผลรวมของมุมของสามเหลี่ยม
ชื่อบทเรียน:“ความรู้คือความรู้ก็ต่อเมื่อได้มาจากความพยายามของความคิด ไม่ใช่จากความทรงจำ” แอล. เอ็น. ตอลสตอย.
นวัตกรรมด้านระเบียบวิธีที่จะสร้างพื้นฐานของบทเรียน
บทเรียนจะแสดงวิธีการต่างๆ การวิจัยทางวิทยาศาสตร์การใช้ ICT (การใช้การทดลองทางคณิตศาสตร์เป็นรูปแบบหนึ่งของการรับความรู้ใหม่ การทดสอบสมมติฐาน)
ภาพรวมของรูปแบบบทเรียน

1. แรงจูงใจในการศึกษาทฤษฎีบท
2. การเปิดเผยเนื้อหาของทฤษฎีบทระหว่างการทดลองทางคณิตศาสตร์โดยใช้ชุดการศึกษาและระเบียบวิธี "คณิตศาสตร์มีชีวิต"
3. แรงจูงใจสำหรับความจำเป็นในการพิสูจน์ทฤษฎีบท
4. งานเกี่ยวกับโครงสร้างของทฤษฎีบท
5. การหาข้อพิสูจน์ทฤษฎีบท
6. การพิสูจน์ทฤษฎีบท
7. การรวมสูตรของทฤษฎีบทและการพิสูจน์ของมันเข้าด้วยกัน
8. การประยุกต์ทฤษฎีบท

บทเรียนเรขาคณิตในชั้นประถมศึกษาปีที่ 7
ตามตำรา "เรขาคณิต 7-9"
ในหัวข้อ: “ผลรวมของมุมของสามเหลี่ยม”

ประเภทบทเรียน: บทเรียนการเรียนรู้เนื้อหาใหม่
วัตถุประสงค์ของบทเรียน:
ทางการศึกษา: พิสูจน์ทฤษฎีบทเรื่องผลรวมของมุมของรูปสามเหลี่ยม ได้รับทักษะในการทำงานกับโปรแกรม “คณิตศาสตร์มีชีวิต” พัฒนาความสัมพันธ์แบบสหวิทยาการ
ทางการศึกษา: ปรับปรุงความสามารถในการดำเนินเทคนิคการคิดเช่นการเปรียบเทียบลักษณะทั่วไปและการจัดระบบอย่างมีสติ
ทางการศึกษา: ส่งเสริมความเป็นอิสระและความสามารถในการทำงานตามแผนที่วางไว้
อุปกรณ์: ตู้มัลติมีเดีย, ไวท์บอร์ดแบบโต้ตอบ, การ์ดพร้อมแผน งานภาคปฏิบัติ, โปรแกรม “คณิตศาสตร์มีชีวิต”

โครงสร้างบทเรียน

1. อัพเดทความรู้.
   1. การระดมกำลังเริ่มต้นบทเรียน
   2. คำแถลงปัญหาที่เป็นปัญหาเพื่อกระตุ้นให้เกิดการศึกษาเนื้อหาใหม่
   3. การตั้งค่างานการเรียนรู้
2. 1. งานภาคปฏิบัติ “ผลรวมของมุมของสามเหลี่ยม”
   2. การพิสูจน์ทฤษฎีบทเรื่องผลรวมของมุมของรูปสามเหลี่ยม
3. 1. การแก้ปัญหาที่เป็นปัญหา
   2. การแก้ปัญหาโดยใช้ภาพวาดสำเร็จรูป
   3. สรุปบทเรียน.
   4. การตั้งค่าการบ้าน

ความคืบหน้าของบทเรียน

1. อัพเดทความรู้.

   แผนการสอน:

   1. สร้างและหยิบยกสมมติฐานจากการทดลอง เกี่ยวกับผลรวมของมุมของสามเหลี่ยมใดๆ
   2. พิสูจน์สมมติฐานนี้
   3. ตอกย้ำข้อเท็จจริงที่จัดตั้งขึ้น
2. การก่อตัวของความรู้ใหม่และวิธีการปฏิบัติ
   1. งานภาคปฏิบัติ “ผลรวมของมุมของสามเหลี่ยม”

      นักเรียนนั่งหน้าคอมพิวเตอร์และได้รับการ์ดพร้อมแผนการปฏิบัติงานจริง

      งานภาคปฏิบัติในหัวข้อ “ผลรวมของมุมของสามเหลี่ยม” (บัตรตัวอย่าง)

      พิมพ์การ์ด
      

      นักเรียนส่งผลการปฏิบัติงานจริงและนั่งที่โต๊ะ
      หลังจากหารือเกี่ยวกับผลลัพธ์ของการปฏิบัติงานแล้ว มีการเสนอสมมติฐานว่าผลรวมของมุมของสามเหลี่ยมคือ 180°
      ครู:ทำไมเรายังบอกไม่ได้ว่าผลรวมของมุมของสามเหลี่ยมใดๆ ก็ตามเท่ากับ 180°?
      นักเรียน:เป็นไปไม่ได้ที่จะสร้างโครงสร้างที่แม่นยำอย่างยิ่งหรือทำการวัดที่แม่นยำอย่างแน่นอน แม้แต่บนคอมพิวเตอร์ก็ตาม
      ข้อความที่ว่าผลรวมของมุมของสามเหลี่ยมคือ 180° ใช้กับรูปสามเหลี่ยมที่เราพิจารณาเท่านั้น เราไม่สามารถพูดอะไรเกี่ยวกับสามเหลี่ยมอื่นๆ ได้ เนื่องจากเราไม่ได้วัดมุมของพวกมัน
      ครู:คงจะถูกต้องกว่าถ้าจะบอกว่าสามเหลี่ยมที่เราพิจารณาแล้วมีผลรวมของมุมประมาณเท่ากับ 180° เพื่อให้แน่ใจว่าผลรวมของมุมของรูปสามเหลี่ยมเท่ากับ 180° ทุกประการ และสำหรับรูปสามเหลี่ยมใดๆ เรายังจำเป็นต้องให้เหตุผลที่เหมาะสม กล่าวคือ พิสูจน์ความถูกต้องของข้อความที่เราแนะนำจากประสบการณ์
      

   2. การพิสูจน์ทฤษฎีบทเรื่องผลรวมของมุมของรูปสามเหลี่ยม

      นักเรียนเปิดสมุดบันทึกและจดหัวข้อบทเรียน “ผลรวมของมุมของสามเหลี่ยม”

      งานเกี่ยวกับโครงสร้างของทฤษฎีบท

      เพื่อกำหนดทฤษฎีบท ให้ตอบคำถามต่อไปนี้:
      • สามเหลี่ยมใดที่ใช้ในกระบวนการวัด?
      • สิ่งที่รวมอยู่ในเงื่อนไขของทฤษฎีบท (สิ่งที่ได้รับ)?
      • เราพบอะไรระหว่างการวัด?
      • ข้อสรุปของทฤษฎีบทคืออะไร (สิ่งที่ต้องพิสูจน์)?
      • พยายามสร้างทฤษฎีบทเกี่ยวกับผลรวมของมุมของรูปสามเหลี่ยม

      การสร้างภาพวาดและการบันทึกทฤษฎีบทโดยย่อ

      ในขั้นตอนนี้ นักเรียนจะถูกขอให้วาดภาพและจดสิ่งที่ได้รับและสิ่งที่ต้องพิสูจน์

      การสร้างภาพวาดและการบันทึกทฤษฎีบทโดยย่อ

      ให้ไว้: สามเหลี่ยม ABC
      พิสูจน์:
      டA + டB + டC = 180°.

      การหาข้อพิสูจน์ทฤษฎีบท

      เมื่อค้นหาข้อพิสูจน์ควรพยายามขยายเงื่อนไขหรือข้อสรุปของทฤษฎีบท ในทฤษฎีบทเรื่องผลรวมของมุมของสามเหลี่ยม ความพยายามที่จะขยายเงื่อนไขนั้นสิ้นหวัง ดังนั้นจึงสมเหตุสมผลที่จะทำงานร่วมกับนักเรียนเพื่อหาข้อสรุป
      ครู:ข้อความใดพูดถึงมุมที่ผลรวมเท่ากับ 180°
      นักเรียน:ถ้าเส้นขนานสองเส้นตัดกันด้วยเส้นตัดมุม มุมด้านเดียวภายในจะเท่ากับ 180°
      ผลรวมของมุมประชิดคือ 180°
      ครู:ลองใช้ข้อความแรกเพื่อพิสูจน์ ในเรื่องนี้จำเป็นต้องสร้างเส้นขนานสองเส้นและเส้นตัดขวาง แต่ต้องทำในลักษณะที่ จำนวนมากที่สุดมุมของสามเหลี่ยมกลายเป็นภายในหรือรวมอยู่ในนั้น สิ่งนี้จะเกิดขึ้นได้อย่างไร?
      

      การหาข้อพิสูจน์ทฤษฎีบท

      

      นักเรียน:ลากเส้นตรงขนานกับอีกด้านผ่านจุดยอดจุดหนึ่งของสามเหลี่ยม จากนั้นด้านจะเป็นเส้นตัดขวาง ตัวอย่างเช่น ผ่านจุดยอด B
      ครู:ตั้งชื่อมุมด้านเดียวภายในที่เกิดจากเส้นเหล่านี้และเส้นตัดขวาง
      นักเรียน:มุม DBA และ BAC
      ครู:มุมใดรวมกันได้ 180°?
      นักเรียน:டDBA และ டBAC
      ครู:สิ่งที่สามารถพูดเกี่ยวกับขนาดของมุม ABD?
      นักเรียน:ค่าของมันเท่ากับผลรวมของมุม ABC และ SVK
      ครู:เราต้องใช้ข้อความใดในการพิสูจน์ทฤษฎีบท?
      นักเรียน:டDBC = டACB.
      ครู:มุมเหล่านี้คืออะไร?
      นักเรียน:อันภายในนอนขวาง
      ครู:เราสามารถพูดได้ว่าพวกเขาเท่าเทียมกันบนพื้นฐานอะไร?
      นักเรียน:ตามคุณสมบัติของมุมขวางภายในสำหรับเส้นขนานและเส้นตัดขวาง

      จากการค้นหาข้อพิสูจน์ จึงมีการวางแผนการพิสูจน์ทฤษฎีบทขึ้น:
      

      แผนการพิสูจน์ทฤษฎีบท

      1. ลากเส้นตรงผ่านจุดยอดด้านหนึ่งของสามเหลี่ยมขนานกับด้านตรงข้าม
      2. พิสูจน์ความเท่าเทียมกันของมุมขวางภายใน
      3. เขียนผลรวมของมุมด้านเดียวภายในและแสดงออกมาในรูปของมุมของสามเหลี่ยม

      หลักฐานและการบันทึก

      
      1. มาทำ BD || กันเถอะ AC (สัจพจน์ของเส้นขนาน)
      2. ட3 = ட4 (เนื่องจากสิ่งเหล่านี้เป็นมุมขวางที่มี BD || AC และซีแคนต์ BC)
      3. டA + டАВD = 180° (เนื่องจากมุมเหล่านี้เป็นมุมด้านเดียวที่มี BD || AC และซีแคนต์ AB)
      4. டA + டАВD = ட1 + (ட2 + ட4) = ட1 + ட2 + ட3 = 180° ซึ่งเป็นสิ่งที่ต้องพิสูจน์

      การรวมสูตรของทฤษฎีบทและการพิสูจน์ของมันเข้าด้วยกัน

      เพื่อให้เชี่ยวชาญการกำหนดทฤษฎีบท นักเรียนจะถูกขอให้ทำงานต่อไปนี้:

      1. บอกทฤษฎีบทที่เราเพิ่งพิสูจน์ไป.
      2. เน้นเงื่อนไขและข้อสรุปของทฤษฎีบท
      3. ทฤษฎีบทนี้ใช้กับรูปทรงใดบ้าง?
      4. สร้างทฤษฎีบทด้วยคำว่า "ถ้า... ถ้าอย่างนั้น..."
3. การประยุกต์ใช้ความรู้ การพัฒนาทักษะและความสามารถ

สามเหลี่ยมคือรูปหลายเหลี่ยมที่มีสามด้าน (สามมุม) ส่วนใหญ่แล้วด้านข้างจะถูกระบุด้วยตัวอักษรตัวเล็กที่ตรงกับตัวพิมพ์ใหญ่ที่แสดงถึงจุดยอดที่ตรงกันข้าม ในบทความนี้ เราจะมาทำความรู้จักกับประเภทของรูปทรงเรขาคณิตเหล่านี้ ซึ่งเป็นทฤษฎีบทที่กำหนดว่าผลรวมของมุมของรูปสามเหลี่ยมจะเท่ากับเท่าใด

ประเภทตามขนาดมุม

แยกแยะ ประเภทต่อไปนี้รูปหลายเหลี่ยมที่มีจุดยอดสามจุด:

• มุมแหลมซึ่งทุกมุมมีความคม
• เป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้ามีมุมฉากหนึ่งอันเครื่องปั่นไฟเรียกว่าขาและด้านที่อยู่ตรงข้าม มุมขวาเรียกว่าด้านตรงข้ามมุมฉาก;
• ป้านเมื่อหนึ่ง;
• หน้าจั่ว ซึ่งด้านทั้งสองเท่ากันและเรียกว่าด้านข้าง และด้านที่สามคือฐานของรูปสามเหลี่ยม
• ด้านเท่ากันหมด โดยมีด้านทั้งสามเท่ากัน

คุณสมบัติ

มีคุณสมบัติพื้นฐานที่เป็นลักษณะของสามเหลี่ยมแต่ละประเภท:

• ตรงข้ามกับด้านที่ใหญ่กว่านั้นจะมีมุมที่ใหญ่กว่าเสมอ และในทางกลับกัน
• ด้านตรงข้ามที่มีขนาดเท่ากันคือ มุมเท่ากันและในทางกลับกัน;
• สามเหลี่ยมใดๆ มีมุมแหลมสองมุม
• มุมภายนอกมีขนาดใหญ่กว่ามุมภายในใดๆ ที่ไม่อยู่ติดกัน
• ผลรวมของสองมุมใดๆ จะน้อยกว่า 180 องศาเสมอ
• มุมภายนอกเท่ากับผลรวมของอีกสองมุมที่ไม่ตัดกัน

ทฤษฎีบทผลรวมมุมสามเหลี่ยม

ทฤษฎีบทระบุว่าหากคุณบวกมุมทั้งหมดของรูปทรงเรขาคณิตที่กำหนดซึ่งอยู่บนระนาบยูคลิด ผลรวมของมุมเหล่านั้นจะเท่ากับ 180 องศา ลองพิสูจน์ทฤษฎีบทนี้กัน

ขอให้เรามีสามเหลี่ยมตามอำเภอใจที่มีจุดยอด KMN

เราวาด KN ผ่านจุดยอด M (เส้นนี้เรียกอีกอย่างว่าเส้นตรงแบบยุคลิด) เราทำเครื่องหมายจุด A เพื่อให้จุด K และ A อยู่บนด้านที่แตกต่างกันของเส้นตรง MH เราได้มุมที่เท่ากัน AMN และ KNM ซึ่งเหมือนกับมุมภายในที่วางขวางและถูกสร้างขึ้นโดยเส้นตัด MN พร้อมกับเส้นตรง KH และ MA ซึ่งขนานกัน จากนี้ไปผลรวมของมุมของสามเหลี่ยมซึ่งอยู่ที่จุดยอด M และ H เท่ากับขนาดของมุม KMA มุมทั้งสามรวมกันเป็นผลรวมเท่ากับผลรวมของมุม KMA และ MKN เนื่องจากมุมเหล่านี้เป็นมุมภายในด้านเดียวสัมพันธ์กับเส้นตรงขนาน KN และ MA โดยมีเส้นตัดขวาง KM ผลรวมของมันคือ 180 องศา ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว

ผลที่ตามมา

ข้อพิสูจน์ต่อไปนี้มาจากทฤษฎีบทที่พิสูจน์แล้วข้างต้น: สามเหลี่ยมใดๆ มีมุมแหลมสองมุม เพื่อพิสูจน์สิ่งนี้ ให้เราสมมติว่ารูปทรงเรขาคณิตนี้มีมุมแหลมเพียงมุมเดียว นอกจากนี้ยังสามารถสันนิษฐานได้ว่าไม่มีมุมใดที่แหลมคม ในกรณีนี้ ต้องมีอย่างน้อยสองมุมซึ่งมีขนาดเท่ากับหรือมากกว่า 90 องศา แต่ผลรวมของมุมจะมากกว่า 180 องศา แต่สิ่งนี้ไม่สามารถเกิดขึ้นได้ เนื่องจากตามทฤษฎีบท ผลรวมของมุมของสามเหลี่ยมเท่ากับ 180° - ไม่มากและไม่น้อยไปกว่านี้ นี่คือสิ่งที่จำเป็นต้องได้รับการพิสูจน์

คุณสมบัติของมุมภายนอก

มุมภายนอกของรูปสามเหลี่ยมมีผลรวมเป็นเท่าใด? คำตอบสำหรับคำถามนี้สามารถรับได้โดยใช้วิธีใดวิธีหนึ่งจากสองวิธี อย่างแรกคือจำเป็นต้องหาผลรวมของมุมซึ่งนำมาหนึ่งมุมที่แต่ละจุดยอด นั่นคือมุมสามมุม ข้อที่สองบอกเป็นนัยว่าคุณต้องหาผลรวมของมุมยอดทั้งหกมุม ก่อนอื่นเรามาดูตัวเลือกแรกกันก่อน ดังนั้น รูปสามเหลี่ยมจึงมีมุมภายนอกหกมุม - สองมุมที่แต่ละจุดยอด

แต่ละคู่มีมุมเท่ากันเนื่องจากเป็นแนวตั้ง:

∟1 = ∟4, ∟2 = ∟5, ∟3 = ∟6.

นอกจากนี้ยังเป็นที่ทราบกันว่ามุมภายนอกของรูปสามเหลี่ยมเท่ากับผลรวมของมุมภายในสองอันที่ไม่ตัดกัน เพราะฉะนั้น,

∟1 = ∟A + ∟C, ∟2 = ∟A + ∟B, ∟3 = ∟B + ∟C

จากนี้ปรากฎว่าผลรวมของมุมภายนอกซึ่งนำมาหนึ่งมุมที่แต่ละจุดยอดจะเท่ากับ:

∟1 + ∟2 + ∟3 = ∟A + ∟C + ∟A + ∟B + ∟B + ∟C = 2 x (∟A + ∟B + ∟C)

เมื่อคำนึงถึงข้อเท็จจริงที่ว่าผลรวมของมุมเท่ากับ 180 องศา เราสามารถพูดได้ว่า ∟A + ∟B + ∟C = 180° ซึ่งหมายความว่า ∟1 + ∟2 + ∟3 = 2 x 180° = 360° หากใช้ตัวเลือกที่สอง ผลรวมของมุมทั้งหกจะใหญ่เป็นสองเท่าตามลำดับ นั่นคือ ผลรวมของมุมภายนอกของสามเหลี่ยมจะเป็น:

∟1 + ∟2 + ∟3 + ∟4 + ∟5 + ∟6 = 2 x (∟1 + ∟2 + ∟2) = 720°

สามเหลี่ยมมุมฉาก

ผลรวมของมุมแหลมของสามเหลี่ยมมุมฉากเป็นเท่าใด? คำตอบสำหรับคำถามนี้เป็นไปตามทฤษฎีบทซึ่งระบุว่ามุมในรูปสามเหลี่ยมรวมกันได้ 180 องศา และคำสั่ง (ทรัพย์สิน) ของเรามีลักษณะดังนี้: ในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก มุมที่คมชัดรวมเป็น 90 องศา มาพิสูจน์ความจริงกันเถอะ

ให้เราได้รับสามเหลี่ยม KMN โดยที่ ∟Н = 90° จำเป็นต้องพิสูจน์ว่า ∟К + ∟М = 90°

ดังนั้น ตามทฤษฎีบทเรื่องผลรวมของมุม ∟К + ∟М + ∟Н = 180° สภาพของเราบอกว่า ∟Н = 90° ปรากฎว่า ∟К + ∟М + 90° = 180° นั่นคือ ∟К + ∟М = 180° - 90° = 90° นี่คือสิ่งที่เราจำเป็นต้องพิสูจน์

นอกจากคุณสมบัติของสามเหลี่ยมมุมฉากที่อธิบายไว้ข้างต้นแล้ว คุณยังสามารถเพิ่มสิ่งต่อไปนี้ได้:

• มุมที่อยู่ตรงข้ามขานั้นแหลม
• ด้านตรงข้ามมุมฉากเป็นรูปสามเหลี่ยมใหญ่กว่าขาข้างใดข้างหนึ่ง
• ผลรวมของขามากกว่าด้านตรงข้ามมุมฉาก
• ขาของสามเหลี่ยมซึ่งอยู่ตรงข้ามกับมุม 30 องศา มีขนาดครึ่งหนึ่งของด้านตรงข้ามมุมฉาก ซึ่งก็คือ เท่ากับครึ่งหนึ่งของมุมนั้น

เนื่องจากคุณสมบัติอีกอย่างหนึ่งของรูปทรงเรขาคณิตนี้ เราสามารถเน้นทฤษฎีบทพีทาโกรัสได้ เธอกล่าวว่าในรูปสามเหลี่ยมที่มีมุม 90 องศา (สี่เหลี่ยม) ผลรวมของกำลังสองของขาจะเท่ากับกำลังสองของด้านตรงข้ามมุมฉาก

ผลรวมของมุมของสามเหลี่ยมหน้าจั่ว

ก่อนหน้านี้เราเคยกล่าวไว้ว่ารูปหลายเหลี่ยมหน้าจั่วที่มีจุดยอดสามจุดและมีด้านเท่ากันสองด้านเรียกว่า ทราบคุณสมบัติของรูปทรงเรขาคณิตนี้: มุมที่ฐานเท่ากัน มาพิสูจน์กัน

ลองใช้สามเหลี่ยม KMN ซึ่งเป็นหน้าจั่ว KN คือฐานของมัน

เราจำเป็นต้องพิสูจน์ว่า ∟К = ∟Н สมมุติว่า MA เป็นเส้นแบ่งครึ่งของสามเหลี่ยม KMN สามเหลี่ยม MKA โดยคำนึงถึงเครื่องหมายแรกของความเท่าเทียมกันจะเท่ากับสามเหลี่ยม MNA กล่าวคือ โดยเงื่อนไขกำหนดให้ KM = NM, MA เป็นด้านร่วม, ∟1 = ∟2 เนื่องจาก MA เป็นเส้นแบ่งครึ่ง จากข้อเท็จจริงที่ว่าสามเหลี่ยมทั้งสองนี้เท่ากัน เราสามารถระบุได้ว่า ∟К = ∟Н ซึ่งหมายความว่าทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว

แต่เราสนใจว่าผลรวมของมุมของสามเหลี่ยม (หน้าจั่ว) คืออะไร เนื่องจากในแง่นี้มันไม่มีลักษณะเฉพาะของตัวเอง เราจะต่อยอดจากทฤษฎีบทที่กล่าวถึงข้างต้น นั่นคือเราสามารถพูดได้ว่า ∟К + ∟М + ∟Н = 180° หรือ 2 x ∟К + ∟М = 180° (เนื่องจาก ∟К = ∟Н) คุณสมบัตินี้เราจะไม่พิสูจน์มัน เนื่องจากทฤษฎีบทเกี่ยวกับผลรวมของมุมของสามเหลี่ยมนั้นได้รับการพิสูจน์แล้วก่อนหน้านี้

นอกจากคุณสมบัติที่กล่าวถึงเกี่ยวกับมุมของสามเหลี่ยมแล้ว ยังมีข้อความสำคัญต่อไปนี้อีกด้วย:

• ที่หย่อนลงมาบนฐาน ขณะเดียวกันก็เป็นค่ามัธยฐาน ซึ่งเป็นเส้นแบ่งครึ่งของมุมที่อยู่ระหว่างด้านเท่ากันกับฐาน
• ค่ามัธยฐาน (เส้นแบ่งครึ่ง, ความสูง) ที่ลากไปด้านข้างของรูปทรงเรขาคณิตนั้นมีค่าเท่ากัน

สามเหลี่ยมด้านเท่า

เรียกอีกอย่างว่าปกติ นี่คือสามเหลี่ยมที่ทุกด้านเท่ากัน แล้วมุมก็เท่ากันด้วย แต่ละอันมีอุณหภูมิ 60 องศา มาพิสูจน์คุณสมบัตินี้กัน

สมมุติว่าเรามีสามเหลี่ยม KMN เรารู้ว่า KM = NM = KN ซึ่งหมายความว่า ตามคุณสมบัติของมุมซึ่งอยู่ที่ฐานในรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว ∟К = ∟М = ∟Н เนื่องจากตามทฤษฎีบท ผลรวมของมุมของสามเหลี่ยมคือ ∟К + ∟М + ∟Н = 180° จากนั้น 3 x ∟К = 180° หรือ ∟К = 60°, ∟М = 60°, ∟ น = 60°. ดังนั้นคำกล่าวนี้จึงได้รับการพิสูจน์แล้ว

ดังที่เห็นจากการพิสูจน์ข้างต้นตามทฤษฎีบท ผลรวมของมุมเท่ากับผลรวมของมุมของสามเหลี่ยมอื่นๆ เท่ากับ 180 องศา ไม่จำเป็นต้องพิสูจน์ทฤษฎีบทนี้อีก

นอกจากนี้ยังมีคุณสมบัติเด่นของ สามเหลี่ยมด้านเท่า:

• ค่ามัธยฐาน, เส้นแบ่งครึ่ง, ความสูงในรูปทรงเรขาคณิตนั้นตรงกัน และความยาวคำนวณเป็น (a x √3): 2;
• หากเราอธิบายวงกลมรอบรูปหลายเหลี่ยมที่กำหนด รัศมีของมันจะเท่ากับ (a x √3): 3;
• หากคุณเขียนวงกลมในรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า รัศมีของมันจะเป็น (a x √3): 6;
• พื้นที่ของรูปทรงเรขาคณิตนี้คำนวณโดยสูตร: (a2 x √3) : 4.

สามเหลี่ยมป้าน

ตามคำจำกัดความ มุมหนึ่งของมันคือระหว่าง 90 ถึง 180 องศา แต่เนื่องจากมุมอีกสองมุมของรูปทรงเรขาคณิตนี้เป็นมุมแหลม เราก็สรุปได้ว่ามุมเหล่านั้นจะมีขนาดไม่เกิน 90 องศา ดังนั้น ทฤษฎีบทผลรวมของมุมสามเหลี่ยมจึงใช้คำนวณผลรวมของมุมในรูปสามเหลี่ยมป้าน ปรากฎว่าตามทฤษฎีบทข้างต้นเราสามารถพูดได้อย่างปลอดภัยว่าผลรวมของมุมของสามเหลี่ยมป้านเท่ากับ 180 องศา ขอย้ำอีกครั้งว่าทฤษฎีบทนี้ไม่จำเป็นต้องได้รับการพิสูจน์อีกครั้ง

ข้อมูลเบื้องต้น

ก่อนอื่น มาดูแนวคิดของสามเหลี่ยมกันโดยตรง

คำจำกัดความ 1

เราจะเรียกมันว่าสามเหลี่ยม รูปทรงเรขาคณิตซึ่งประกอบด้วยสามจุดที่เชื่อมต่อกันด้วยส่วนต่างๆ (รูปที่ 1)

คำจำกัดความ 2

ภายในกรอบคำจำกัดความที่ 1 เราจะเรียกจุดยอดของรูปสามเหลี่ยม

คำจำกัดความ 3

ภายในกรอบคำจำกัดความที่ 1 เราจะเรียกด้านที่เป็นส่วนของสามเหลี่ยม

แน่นอนว่าสามเหลี่ยมใดๆ ก็จะมีจุดยอด 3 จุดและมีด้าน 3 ด้านด้วย

ทฤษฎีบทเรื่องผลรวมของมุมในรูปสามเหลี่ยม

ให้เราแนะนำและพิสูจน์ทฤษฎีบทหลักข้อหนึ่งที่เกี่ยวข้องกับสามเหลี่ยม ซึ่งก็คือทฤษฎีบทเรื่องผลรวมของมุมในรูปสามเหลี่ยม

ทฤษฎีบท 1

ผลรวมของมุมในสามเหลี่ยมใดๆ ก็ตามคือ $180^\circ$

การพิสูจน์.

พิจารณารูปสามเหลี่ยม $EGF$ ขอให้เราพิสูจน์ว่าผลรวมของมุมในรูปสามเหลี่ยมนี้เท่ากับ $180^\circ$ มาสร้างโครงสร้างเพิ่มเติมกัน: วาดเส้นตรง $XY||EG$ (รูปที่ 2)

เนื่องจากเส้น $XY$ และ $EG$ ขนานกัน ดังนั้น $∠E=∠XFE$ จะวางแนวขวางที่เส้นตัด $FE$ และ $∠G=∠YFG$ จะอยู่ตามเส้นตัดขวางที่เส้นตัด $FG$

มุม $XFY$ จะถูกกลับรายการดังนั้นจึงเท่ากับ $180^\circ$

$∠XFY=∠XFE+∠F+∠YFG=180^\วงจร$

เพราะฉะนั้น

$∠E+∠F+∠G=180^\circ$

ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว

ทฤษฎีบทมุมภายนอกของสามเหลี่ยม

อีกทฤษฎีบทเกี่ยวกับผลรวมของมุมของสามเหลี่ยมถือได้ว่าเป็นทฤษฎีบทของมุมภายนอก ก่อนอื่น เรามาแนะนำแนวคิดนี้กันก่อน

คำจำกัดความที่ 4

เราจะเรียกมุมภายนอกของสามเหลี่ยมว่ามุมที่อยู่ติดกับมุมใดๆ ของรูปสามเหลี่ยม (รูปที่ 3)

ให้เราพิจารณาทฤษฎีบทโดยตรง

ทฤษฎีบท 2

มุมภายนอกของรูปสามเหลี่ยมเท่ากับผลรวมของมุมสองมุมของรูปสามเหลี่ยมที่ไม่ได้อยู่ติดกัน

การพิสูจน์.

พิจารณาสามเหลี่ยมใดๆ $EFG$ ปล่อยให้มันมีมุมภายนอกของสามเหลี่ยม $FGQ$ (รูปที่ 3)

ตามทฤษฎีบทที่ 1 เราจะได้ $∠E+∠F+∠G=180^\circ$ ดังนั้น

$∠G=180^\circ-(∠E+∠F)$

เนื่องจากมุม $FGQ$ อยู่ภายนอก มันจึงอยู่ประชิดกับมุม $∠G$ ดังนั้น

$∠FGQ=180^\circ-∠G=180^\circ-180^\circ+(∠E+∠F)=∠E+∠F$

ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว

งานตัวอย่าง

ตัวอย่างที่ 1

หามุมทั้งหมดของสามเหลี่ยมถ้ามันมีด้านเท่ากันหมด

เนื่องจากทุกด้านของสามเหลี่ยมด้านเท่าเท่ากัน เราจะได้มุมทุกมุมในนั้นเท่ากัน ให้เราแสดงการวัดระดับของพวกเขาด้วย $α$

จากนั้นตามทฤษฎีบท 1 เราได้

$α+α+α=180^\circ$

คำตอบ: ทุกมุมเท่ากับ $60^\circ$

ตัวอย่างที่ 2

ค้นหามุมทั้งหมดของสามเหลี่ยมหน้าจั่วหากมุมใดมุมหนึ่งมีค่าเท่ากับ $100^\circ$

ให้เราแนะนำสัญกรณ์ต่อไปนี้สำหรับมุมในสามเหลี่ยมหน้าจั่ว:

เนื่องจากเราไม่ได้กำหนดเงื่อนไขว่า $100^\circ$ เท่ากับมุมเท่าใด จึงเป็นไปได้สองกรณี:

มุมที่เท่ากับ $100^\circ$ คือมุมที่ฐานของรูปสามเหลี่ยม

เราได้โดยใช้ทฤษฎีบทกับมุมที่ฐานของสามเหลี่ยมหน้าจั่ว

$∠2=∠3=100^\circ$

แต่ผลรวมเท่านั้นที่จะมากกว่า $180^\circ$ ซึ่งขัดแย้งกับเงื่อนไขของทฤษฎีบทที่ 1 ซึ่งหมายความว่ากรณีนี้จะไม่เกิดขึ้น

มุมที่เท่ากับ $100^\circ$ คือมุมระหว่างด้านที่เท่ากัน กล่าวคือ