ไซน์ของผลรวมคืออะไร? ผลรวมและผลต่างของไซน์และโคไซน์: ที่มาของสูตรและตัวอย่าง

บ้าน

สาขาวิชาคณิตศาสตร์ประการหนึ่งที่นักเรียนประสบปัญหามากที่สุดคือวิชาตรีโกณมิติ ไม่น่าแปลกใจ: เพื่อที่จะเชี่ยวชาญความรู้ด้านนี้ได้อย่างอิสระคุณต้องมีความคิดเชิงพื้นที่ความสามารถในการค้นหาไซน์โคไซน์แทนเจนต์โคแทนเจนต์โดยใช้สูตรลดความซับซ้อนของนิพจน์และสามารถใช้ตัวเลข pi ได้ การคำนวณ นอกจากนี้ คุณต้องสามารถใช้ตรีโกณมิติในการพิสูจน์ทฤษฎีบทได้ และต้องใช้หน่วยความจำทางคณิตศาสตร์ที่พัฒนาแล้วหรือความสามารถในการหาลูกโซ่เชิงตรรกะที่ซับซ้อน

ต้นกำเนิดของตรีโกณมิติ

การทำความคุ้นเคยกับวิทยาศาสตร์นี้ควรเริ่มต้นด้วยคำจำกัดความของไซน์ โคไซน์ และแทนเจนต์ของมุม แต่ก่อนอื่นคุณต้องเข้าใจว่าโดยทั่วไปตรีโกณมิติทำอะไรได้บ้าง

ในอดีต วัตถุประสงค์หลักของการศึกษาในสาขาวิทยาศาสตร์คณิตศาสตร์นี้คือสามเหลี่ยมมุมฉาก การมีมุม 90 องศาทำให้สามารถดำเนินการต่างๆได้ซึ่งช่วยให้สามารถกำหนดค่าของพารามิเตอร์ทั้งหมดของภาพที่เป็นปัญหาได้โดยใช้สองด้านและหนึ่งมุมหรือสองมุมและด้านเดียว ในอดีต ผู้คนสังเกตเห็นรูปแบบนี้และเริ่มนำไปใช้อย่างจริงจังในการก่อสร้างอาคาร การนำทาง ดาราศาสตร์ และแม้แต่ในงานศิลปะ

ระยะเริ่มแรก ในตอนแรก ผู้คนพูดถึงความสัมพันธ์ระหว่างมุมและด้านโดยใช้ตัวอย่างของสามเหลี่ยมมุมฉากเพียงอย่างเดียว จากนั้นจึงค้นพบสูตรพิเศษที่ทำให้สามารถขยายขอบเขตการใช้งานได้ชีวิตประจำวัน

คณิตศาสตร์สาขานี้ การศึกษาวิชาตรีโกณมิติในโรงเรียนในปัจจุบันเริ่มต้นด้วยสามเหลี่ยมมุมฉาก หลังจากนั้นนักเรียนจะใช้ความรู้ที่ได้รับในวิชาฟิสิกส์และการแก้ปัญหาเชิงนามธรรมสมการตรีโกณมิติ

งานที่เริ่มต้นในโรงเรียนมัธยมปลาย

ตรีโกณมิติทรงกลม ต่อมาเมื่อวิทยาศาสตร์ออกมาระดับถัดไป การพัฒนาสูตรที่มีไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ โคแทนเจนต์เริ่มถูกนำมาใช้ในเรขาคณิตทรงกลม ซึ่งมีกฎเกณฑ์ต่างกัน และผลรวมของมุมในรูปสามเหลี่ยมจะมากกว่า 180 องศาเสมอ ส่วนนี้ไม่ได้เรียนที่โรงเรียน แต่จำเป็นต้องรู้เกี่ยวกับการมีอยู่ของมันอย่างน้อยก็เพราะพื้นผิวโลก

เอาลูกโลกและด้าย แนบด้ายเข้ากับจุดสองจุดบนโลกเพื่อให้ตึง โปรดทราบ - มันมีรูปร่างโค้ง เรขาคณิตทรงกลมเกี่ยวข้องกับรูปแบบดังกล่าว ซึ่งใช้ในธรณีวิทยา ดาราศาสตร์ และสาขาทางทฤษฎีและประยุกต์อื่นๆ

สามเหลี่ยมมุมฉาก

เมื่อได้เรียนรู้เกี่ยวกับวิธีการใช้ตรีโกณมิติมาบ้างแล้ว เรากลับมาที่ตรีโกณมิติพื้นฐานเพื่อทำความเข้าใจเพิ่มเติมว่าไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์คืออะไร การคำนวณใดที่สามารถทำได้ด้วยความช่วยเหลือ และสูตรที่จะใช้

ขั้นตอนแรกคือการทำความเข้าใจแนวคิดที่เกี่ยวข้อง สามเหลี่ยมมุมฉาก- ประการแรก ด้านตรงข้ามมุมฉากคือด้านที่อยู่ตรงข้ามมุม 90 องศา มันยาวที่สุด เราจำได้ว่าตามทฤษฎีบทพีทาโกรัส ค่าตัวเลขของมันจะเท่ากับรากของผลรวมของกำลังสองของอีกสองด้านที่เหลือ

ตัวอย่างเช่น หากด้านทั้งสองยาว 3 และ 4 เซนติเมตรตามลำดับ ความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉากจะเท่ากับ 5 เซนติเมตร อย่างไรก็ตามชาวอียิปต์โบราณรู้เรื่องนี้เมื่อประมาณสี่พันห้าพันปีที่แล้ว

ด้านที่เหลือทั้งสองซึ่งประกอบเป็นมุมฉากเรียกว่าขา นอกจากนี้ เราต้องจำไว้ว่าผลรวมของมุมในรูปสามเหลี่ยมในระบบพิกัดสี่เหลี่ยมเท่ากับ 180 องศา

คำนิยาม

ในที่สุด ด้วยความเข้าใจพื้นฐานทางเรขาคณิตอย่างมั่นคงแล้ว เราจึงสามารถหันไปหาคำจำกัดความของไซน์ โคไซน์ และแทนเจนต์ของมุมได้

ไซน์ของมุมคืออัตราส่วนของขาตรงข้าม (เช่น ด้านตรงข้ามมุมที่ต้องการ) ต่อด้านตรงข้ามมุมฉาก โคไซน์ของมุมคืออัตราส่วนของด้านประชิดกับด้านตรงข้ามมุมฉาก

โปรดจำไว้ว่าไซน์และโคไซน์ไม่สามารถเป็นได้ มากกว่าหนึ่ง- ทำไม เนื่องจากโดยค่าเริ่มต้นด้านตรงข้ามมุมฉากจะยาวที่สุด ไม่ว่าขาจะยาวแค่ไหนก็ตาม ก็จะสั้นกว่าด้านตรงข้ามมุมฉาก ซึ่งหมายความว่าอัตราส่วนของด้านตรงข้ามมุมฉากจะน้อยกว่าหนึ่งเสมอ ดังนั้น หากในการตอบปัญหา คุณได้ไซน์หรือโคไซน์ที่มีค่ามากกว่า 1 ให้มองหาข้อผิดพลาดในการคำนวณหรือการให้เหตุผล คำตอบนี้ไม่ถูกต้องอย่างชัดเจน

สุดท้าย ค่าแทนเจนต์ของมุมคืออัตราส่วนของด้านตรงข้ามกับด้านประชิด การหารไซน์ด้วยโคไซน์จะให้ผลลัพธ์เดียวกัน ดู: ตามสูตร เราหารความยาวของด้านด้วยด้านตรงข้ามมุมฉาก จากนั้นหารด้วยความยาวของด้านที่สองแล้วคูณด้วยด้านตรงข้ามมุมฉาก ดังนั้นเราจึงได้ความสัมพันธ์แบบเดียวกับในคำจำกัดความของแทนเจนต์

โคแทนเจนต์คืออัตราส่วนของด้านที่อยู่ติดกับมุมต่อด้านตรงข้าม เราได้ผลลัพธ์เดียวกันโดยการหารหนึ่งด้วยแทนเจนต์

เราได้ดูคำจำกัดความของไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์และโคแทนเจนต์แล้ว และมาดูสูตรกันต่อ

สูตรที่ง่ายที่สุด

ในตรีโกณมิติคุณไม่สามารถทำได้หากไม่มีสูตร - จะหาไซน์, โคไซน์, แทนเจนต์, โคแทนเจนต์โดยไม่มีสูตรได้อย่างไร แต่นี่คือสิ่งที่จำเป็นสำหรับการแก้ปัญหา

สูตรแรกที่คุณต้องรู้เมื่อเริ่มศึกษาตรีโกณมิติบอกว่าผลรวมของกำลังสองของไซน์และโคไซน์ของมุมเท่ากับหนึ่ง สูตรนี้เป็นผลโดยตรงจากทฤษฎีบทพีทาโกรัส แต่จะช่วยประหยัดเวลาหากคุณต้องการทราบขนาดของมุมมากกว่าด้านข้าง

นักเรียนหลายคนจำสูตรที่สองไม่ได้ ซึ่งเป็นที่นิยมอย่างมากในการแก้ปัญหาในโรงเรียนเช่นกัน ผลรวมของ 1 กับกำลังสองของแทนเจนต์ของมุมจะเท่ากับ 1 หารด้วยกำลังสองของโคไซน์ของมุม ลองดูให้ละเอียดยิ่งขึ้น: นี่เป็นข้อความเดียวกับในสูตรแรก มีเพียงทั้งสองด้านของเอกลักษณ์เท่านั้นที่ถูกหารด้วยกำลังสองของโคไซน์ ปรากฎว่าการดำเนินการทางคณิตศาสตร์อย่างง่ายทำให้ไม่สามารถจดจำสูตรตรีโกณมิติได้อย่างสมบูรณ์ ข้อควรจำ: เมื่อรู้ว่าไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์คืออะไร กฎการแปลง และสูตรพื้นฐานหลายๆ สูตร คุณสามารถรับสูตรที่ซับซ้อนมากขึ้นที่ต้องการบนกระดาษได้ตลอดเวลา

สูตรสำหรับมุมคู่และการบวกอาร์กิวเมนต์

อีกสองสูตรที่คุณต้องเรียนรู้เกี่ยวข้องกับค่าของไซน์และโคไซน์สำหรับผลรวมและผลต่างของมุม พวกเขาจะนำเสนอในรูปด้านล่าง โปรดทราบว่าในกรณีแรก ไซน์และโคไซน์จะถูกคูณทั้งสองครั้ง และในกรณีที่สอง จะมีการเพิ่มผลคูณของไซน์และโคไซน์ตามคู่

นอกจากนี้ยังมีสูตรที่เกี่ยวข้องกับอาร์กิวเมนต์มุมคู่อีกด้วย พวกมันได้มาจากอันก่อนหน้าอย่างสมบูรณ์ - เพื่อเป็นการฝึกฝนให้พยายามทำความเข้าใจด้วยตัวเองโดยใช้มุมอัลฟ่า เท่ากับมุมเบต้า

สุดท้ายนี้ โปรดทราบว่าสามารถจัดเรียงสูตรมุมคู่ได้ใหม่เพื่อลดกำลังของไซน์ โคไซน์ และแทนเจนต์อัลฟา

ทฤษฎีบท

ทฤษฎีบทหลักสองทฤษฎีในตรีโกณมิติพื้นฐานคือทฤษฎีบทไซน์และทฤษฎีบทโคไซน์ ด้วยความช่วยเหลือของทฤษฎีบทเหล่านี้ คุณสามารถเข้าใจวิธีการค้นหาไซน์ โคไซน์ และแทนเจนต์ รวมถึงพื้นที่ของรูปและขนาดของแต่ละด้าน ฯลฯ ได้อย่างง่ายดาย

ทฤษฎีบทไซน์ระบุว่าการหารความยาวของแต่ละด้านของรูปสามเหลี่ยมด้วยมุมตรงข้ามจะได้ผลลัพธ์เป็นจำนวนเดียวกัน ยิ่งไปกว่านั้น จำนวนนี้จะเท่ากับสองรัศมีของวงกลมที่จำกัดขอบเขต ซึ่งก็คือวงกลมที่มีจุดทั้งหมดของรูปสามเหลี่ยมที่กำหนด

ทฤษฎีบทโคไซน์เป็นการสรุปทฤษฎีบทพีทาโกรัสโดยฉายลงบนรูปสามเหลี่ยมใดๆ ปรากฎว่าจากผลรวมของกำลังสองของทั้งสองด้าน ลบผลคูณของพวกมันคูณด้วยโคไซน์คู่ของมุมที่อยู่ติดกัน - ค่าผลลัพธ์จะเท่ากับกำลังสองของด้านที่สาม ดังนั้น ทฤษฎีบทพีทาโกรัสจึงกลายเป็นกรณีพิเศษของทฤษฎีบทโคไซน์

ความผิดพลาดที่ไม่ระมัดระวัง

แม้จะรู้ว่าไซน์ โคไซน์ และแทนเจนต์คืออะไร ก็เป็นเรื่องง่ายที่จะทำผิดพลาดเนื่องจากขาดสติหรือเกิดข้อผิดพลาดในการคำนวณที่ง่ายที่สุด เพื่อหลีกเลี่ยงข้อผิดพลาด เรามาดูข้อผิดพลาดที่ได้รับความนิยมมากที่สุดกัน

ประการแรก คุณไม่ควรแปลงเศษส่วนเป็นทศนิยมจนกว่าคุณจะได้ผลลัพธ์สุดท้าย คุณสามารถทิ้งคำตอบไว้เป็น เศษส่วนทั่วไปเว้นแต่จะระบุไว้เป็นอย่างอื่นในเงื่อนไข การเปลี่ยนแปลงดังกล่าวไม่สามารถเรียกได้ว่าเป็นความผิดพลาด แต่ควรจำไว้ว่าในแต่ละขั้นตอนของปัญหาอาจเกิดรากใหม่ซึ่งควรลดลงตามความคิดของผู้เขียน ในกรณีนี้ คุณจะเสียเวลากับการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ที่ไม่จำเป็น โดยเฉพาะอย่างยิ่งสำหรับค่าต่างๆ เช่น รากของสามหรือรากของสอง เนื่องจากพบปัญหาในทุกขั้นตอน เช่นเดียวกับการปัดเศษตัวเลขที่ "น่าเกลียด"

นอกจากนี้ โปรดทราบว่าทฤษฎีบทโคไซน์ใช้กับสามเหลี่ยมใดๆ ได้ แต่ไม่ใช่ทฤษฎีบทพีทาโกรัส! หากคุณลืมลบผลคูณของด้านคูณด้วยโคไซน์ของมุมระหว่างทั้งสองโดยไม่ตั้งใจ คุณจะไม่เพียงแต่ได้ผลลัพธ์ที่ผิดโดยสิ้นเชิง แต่ยังแสดงให้เห็นว่าคุณยังขาดความเข้าใจในเรื่องนั้นโดยสิ้นเชิงอีกด้วย นี่เลวร้ายยิ่งกว่าความผิดพลาดที่ไม่ระมัดระวัง

ประการที่สามอย่าสับสนค่าสำหรับมุม 30 และ 60 องศาสำหรับไซน์, โคไซน์, แทนเจนต์, โคแทนเจนต์ จำค่าเหล่านี้ไว้ เนื่องจากไซน์ของ 30 องศาเท่ากับโคไซน์ของ 60 และในทางกลับกัน มันง่ายที่จะสร้างความสับสนซึ่งผลที่ตามมาก็คือคุณจะได้รับผลลัพธ์ที่ผิดพลาดอย่างหลีกเลี่ยงไม่ได้

แอปพลิเคชัน

นักเรียนหลายคนไม่รีบร้อนที่จะเริ่มเรียนวิชาตรีโกณมิติเพราะพวกเขาไม่เข้าใจความหมายเชิงปฏิบัติของวิชาตรีโกณมิติ ไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์สำหรับวิศวกรหรือนักดาราศาสตร์คืออะไร? แนวคิดเหล่านี้เป็นแนวคิดที่คุณสามารถคำนวณระยะทางไปยังดาวฤกษ์ที่อยู่ห่างไกล ทำนายการตกของอุกกาบาต หรือส่งยานวิจัยไปยังดาวเคราะห์ดวงอื่นได้ หากไม่มีสิ่งเหล่านี้ ก็เป็นไปไม่ได้ที่จะสร้างอาคาร ออกแบบรถยนต์ คำนวณน้ำหนักบนพื้นผิวหรือวิถีของวัตถุ และนี่เป็นเพียงตัวอย่างที่ชัดเจนที่สุด! ท้ายที่สุดแล้วมีการใช้ตรีโกณมิติในรูปแบบใดรูปแบบหนึ่งตั้งแต่ดนตรีไปจนถึงการแพทย์

สรุปแล้ว

คุณก็คือไซน์, โคไซน์, แทนเจนต์ คุณสามารถใช้มันในการคำนวณและแก้ปัญหาของโรงเรียนได้สำเร็จ

จุดรวมของตรีโกณมิติมาจากข้อเท็จจริงที่ว่าการใช้พารามิเตอร์ที่ทราบของสามเหลี่ยมนั้น คุณจำเป็นต้องคำนวณสิ่งที่ไม่ทราบ มีทั้งหมดหกพารามิเตอร์: ความยาว สามด้านและขนาดของมุมทั้งสาม ข้อแตกต่างเพียงอย่างเดียวในงานอยู่ที่การให้ข้อมูลอินพุตที่แตกต่างกัน

ตอนนี้คุณรู้วิธีหาไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์โดยพิจารณาจากความยาวของขาหรือด้านตรงข้ามมุมฉากที่ทราบแล้ว เนื่องจากคำเหล่านี้ไม่มีความหมายอะไรมากไปกว่าอัตราส่วน และอัตราส่วนก็คือเศษส่วน เป้าหมายหลักปัญหาตรีโกณมิติกลายเป็นการค้นหารากของสมการสามัญหรือระบบสมการ และที่นี่คณิตศาสตร์ของโรงเรียนปกติจะช่วยคุณได้

โคไซน์ของผลรวมและผลต่างของสองมุม

ในส่วนนี้จะมีการพิสูจน์สูตรสองสูตรต่อไปนี้:

cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β, (1)

cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β (2)

โคไซน์ของผลรวม (ผลต่าง) ของมุมทั้งสองเท่ากับผลคูณของโคไซน์ของมุมเหล่านี้ ลบ (บวก) ผลคูณของไซน์ของมุมเหล่านี้

จะสะดวกกว่าสำหรับเราที่จะเริ่มด้วยการพิสูจน์สูตร (2) เพื่อความง่ายในการนำเสนอ ให้เราถือว่ามุมก่อน α และ β ทำให้พึงพอใจ เงื่อนไขต่อไปนี้:

1) แต่ละมุมเหล่านี้ไม่เป็นลบและน้อยกว่า 2π:

0 < α <2π, 0< β < 2π;

2) α > β .

ให้ส่วนที่เป็นบวกของแกน 0x เป็นด้านเริ่มต้นร่วมของมุม α และ β .

เราแสดงด้านปลายของมุมเหล่านี้ด้วย 0A และ 0B ตามลำดับ มุมชัดๆ α - β ถือได้ว่าเป็นมุมที่ต้องหมุนลำแสง 0B รอบจุด 0 ทวนเข็มนาฬิกาเพื่อให้ทิศทางตรงกับทิศทางของลำแสง 0A

บนรังสี 0A และ 0B เราทำเครื่องหมายจุด M และ N ซึ่งอยู่ที่ระยะ 1 จากจุดกำเนิดของพิกัด 0 ดังนั้น 0M = 0N = 1

ในระบบพิกัด x0y จุด M มีพิกัด ( cos α, บาป α) และจุด N คือพิกัด ( cos β, บาป β- ดังนั้น กำลังสองของระยะห่างระหว่างพวกมันคือ:

d 1 2 = (cos α - cos β) 2 + (sin α - sin β) 2 = cos 2 α - 2 cos α cos β +

+ cos 2 β + บาป 2 α - 2sin α บาป β + บาป 2 β = .

ในการคำนวณของเรา เราใช้ข้อมูลประจำตัว

บาป 2 φ + cos 2 φ = 1.

ตอนนี้ให้พิจารณาระบบพิกัดอื่น B0C ซึ่งได้มาจากการหมุนแกน 0x และ 0y รอบจุด 0 ทวนเข็มนาฬิกาเป็นมุม β .

ในระบบพิกัดนี้ จุด M มีพิกัด (cos ( α - β ) บาป ( α - β )) และจุด N คือพิกัด (1,0) ดังนั้น กำลังสองของระยะห่างระหว่างพวกมันคือ:

วัน 2 2 = 2 + 2 = cos 2 (α - β) - 2 cos (α - β) + 1 +

+ บาป 2 (α - β) = 2 .

แต่ระยะห่างระหว่างจุด M และ N ไม่ได้ขึ้นอยู่กับระบบพิกัดที่เรากำลังพิจารณาจุดเหล่านี้สัมพันธ์กัน นั่นเป็นเหตุผล

วัน 1 2 = วัน 2 2

2 (1 - cos α cos β - บาป α บาป β) = 2 .

นี่คือที่สูตร (2) ตามมา

ตอนนี้เราควรจำข้อจำกัดทั้งสองที่เรากำหนดไว้เพื่อความเรียบง่ายในการนำเสนอในมุมต่างๆ α และ β .

ความต้องการที่แต่ละมุม α และ β ไม่เป็นลบ ไม่มีนัยสำคัญจริงๆ ท้ายที่สุดแล้ว คุณสามารถเพิ่มมุมที่เป็นจำนวนเท่าของ 2 ลงในมุมใดๆ เหล่านี้ได้ ซึ่งจะไม่ส่งผลต่อความถูกต้องของสูตร (2) ในทำนองเดียวกัน จากแต่ละมุมเหล่านี้ คุณสามารถลบมุมที่เป็นจำนวนเท่าของได้ 2π- ดังนั้นเราจึงสรุปได้ว่า 0 < α < 2π, 0 < β < 2π.

สภาพก็ไม่มีนัยสำคัญเช่นกัน α > β - จริงๆ แล้วถ้า. α < β , ที่ β >α - ดังนั้น เมื่อพิจารณาถึงความเท่าเทียมกันของฟังก์ชัน เพราะ เอ็กซ์ เราได้รับ:

cos (α - β) = cos (β - α) = cos β cos α + บาป β sin α,

ซึ่งโดยพื้นฐานแล้วสอดคล้องกับสูตร (2) ดังนั้นสูตร

cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β

จริงทุกมุม α และ β - โดยเฉพาะการแทนที่ในนั้น β บน - β และเมื่อพิจารณาถึงฟังก์ชันนั้นแล้ว เพราะเอ็กซ์ เป็นเลขคู่และฟังก์ชัน บาปเอ็กซ์ แปลก เราได้รับ:

cos (α + β) = cos [α - (- β)] = cos α cos (-β) + sin α sin (-β) =

= cos α cos β - บาป α บาป β,

ซึ่งพิสูจน์สูตร (1)

ดังนั้นสูตร (1) และ (2) จึงได้รับการพิสูจน์แล้ว

ตัวอย่าง.

1) คอส 75° = คอส (30° + 45°) = คอส 30° คอส 45°-ซิน 30°-ซิน 45° =

2) คอส 15° = คอส (45° - 30°) = คอส 45° คอส 30° + บาป 45° บาป 30° =

แบบฝึกหัด

1 - คำนวณโดยไม่ต้องใช้ ตารางตรีโกณมิติ:

ก) cos 17° cos 43° - บาป 17° บาป 43°;

b) บาป 3° บาป 42° - cos 39° cos 42°;

c) cos 29° cos 74° + sin 29° sin 74°;

ง) บาป 97° บาป 37° + cos 37° cos 97°;

จ) cos 3π / 8 cos π / 8 + บาป 3π / 8 บาป π / 8 ;

จ) บาป 3π / 5 บาป 7π / 5 - cos 3π / 5 cos 7π / 5 .

2. ลดความซับซ้อนของนิพจน์:

ก) เพราะ( α + พาย/3 ) + คอส(π/3 - α ) .

ข) คอส (36° + α ) คอส (24° - α ) + บาป (36° + α ) บาป ( α - 24°)

วี) บาป(π/4 - α ) บาป (π / 4 + α ) - คอส (π / 4 + α ) คอส (π / 4 - α )

ง) cos 2 α + ทีจี α บาป 2 α .

3 . คำนวณ :

ก) คอส(α - β), ถ้า

cos α = - 2 / 5 , บาปβ = - 5 / 13 ;

90°< α < 180°, 180° < β < 270°;

ข) เพราะ ( α + π / 6) ถ้า cos α = 0,6;

3π/2< α < 2π.

4 - หา คอส(α + β)และคอส (α - β) ถ้ารู้ว่าเป็นบาป α = 7 / 25, cos β = - 5 / 13 และทั้งสองมุม ( α และ β ) สิ้นสุดในไตรมาสเดียวกัน

5 .คำนวณ:

ก) cos [ อาร์คซิน 1/3 + อาร์คคอส 2/3 ]

ข) cos [ อาร์คซิน 1 / 3 - อาร์คคอส (- 2 / 3)] .

วี) cos [ อาร์คแทน 1 / 2 + อาร์คคอส (- 2) ]

คำถามที่พบบ่อยที่สุด

สามารถประทับตราบนเอกสารตามตัวอย่างที่ให้มาได้หรือไม่? คำตอบ ใช่มันเป็นไปได้ ส่งของเรา ที่อยู่อีเมลสำเนาหรือภาพถ่ายที่สแกน คุณภาพดีและเราจะสร้างสำเนาที่จำเป็น

คุณยอมรับการชำระเงินประเภทใด? คำตอบ คุณสามารถชำระค่าเอกสารเมื่อได้รับจากผู้จัดส่งหลังจากตรวจสอบความถูกต้องของความสมบูรณ์และคุณภาพของการดำเนินการตามประกาศนียบัตรแล้ว นอกจากนี้ยังสามารถทำได้ที่สำนักงานของบริษัทไปรษณีย์ที่ให้บริการเก็บเงินปลายทางอีกด้วย
เงื่อนไขการจัดส่งและการชำระเงินสำหรับเอกสารทั้งหมดอธิบายไว้ในส่วน "การชำระเงินและการจัดส่ง" นอกจากนี้เรายังพร้อมรับฟังข้อเสนอแนะของคุณเกี่ยวกับเงื่อนไขการจัดส่งและการชำระเงินค่าเอกสาร

ฉันแน่ใจได้ไหมว่าหลังจากทำการสั่งซื้อแล้วคุณจะไม่หายไปพร้อมกับเงินของฉัน? คำตอบ เรามีประสบการณ์ค่อนข้างยาวนานในด้านการผลิตประกาศนียบัตร เรามีเว็บไซต์หลายแห่งที่มีการอัพเดทอยู่ตลอดเวลา ผู้เชี่ยวชาญของเราทำงานในส่วนต่างๆ ของประเทศ โดยผลิตเอกสารมากกว่า 10 ฉบับต่อวัน ในช่วงหลายปีที่ผ่านมา เอกสารของเราได้ช่วยเหลือผู้คนจำนวนมากในการแก้ปัญหาการจ้างงานหรือย้ายไปทำงานอื่น งานที่จ่ายสูง- เราได้รับความไว้วางใจและการยอมรับจากลูกค้า ดังนั้นจึงไม่มีเหตุผลใดที่เราจะต้องทำเช่นนี้ ยิ่งไปกว่านั้น สิ่งนี้เป็นไปไม่ได้เลยที่จะทำทางกายภาพ: คุณชำระเงินสำหรับคำสั่งซื้อของคุณทันทีที่คุณได้รับมันถึงมือของคุณ ไม่มีการชำระล่วงหน้า

ฉันสามารถสั่งซื้อประกาศนียบัตรจากมหาวิทยาลัยใดก็ได้หรือไม่? คำตอบ โดยทั่วไปแล้วใช่ เราทำงานในสาขานี้มาเกือบ 12 ปีแล้ว ในช่วงเวลานี้ ฐานข้อมูลเอกสารที่ออกโดยมหาวิทยาลัยเกือบทั้งหมดในประเทศและที่อื่นๆ เกือบทั้งหมดถูกสร้างขึ้น ปีที่แตกต่างกันการออก เพียงคุณเลือกมหาวิทยาลัย สาขาวิชาเฉพาะ เอกสาร และกรอกแบบฟอร์มคำสั่งซื้อ

จะทำอย่างไรถ้าคุณพบการพิมพ์ผิดและข้อผิดพลาดในเอกสาร? คำตอบ เมื่อได้รับเอกสารจากบริษัทจัดส่งหรือบริษัทไปรษณีย์ของเรา เราขอแนะนำให้คุณตรวจสอบรายละเอียดทั้งหมดอย่างละเอียด หากพบว่าพิมพ์ผิด ข้อผิดพลาด หรือความไม่ถูกต้อง คุณมีสิทธิ์ที่จะไม่รับประกาศนียบัตร แต่คุณต้องระบุข้อบกพร่องที่ตรวจพบเป็นการส่วนตัวต่อผู้จัดส่งหรือเป็นลายลักษณ์อักษรโดยส่งจดหมายไปที่ อีเมล.
ใน โดยเร็วที่สุดเราจะแก้ไขเอกสารและส่งอีกครั้งไปยังที่อยู่ที่ระบุ แน่นอนว่าบริษัทของเราจะเป็นผู้จ่ายค่าขนส่ง
เพื่อหลีกเลี่ยงความเข้าใจผิดดังกล่าว ก่อนที่จะกรอกแบบฟอร์มต้นฉบับ เราจะส่งแบบจำลองของเอกสารในอนาคตให้ลูกค้าทางอีเมลเพื่อตรวจสอบและอนุมัติเวอร์ชันสุดท้าย ก่อนที่จะส่งเอกสารทางไปรษณีย์หรือไปรษณีย์ เราจะถ่ายรูปและวิดีโอเพิ่มเติม (รวมถึงแสงอัลตราไวโอเลต) เพื่อให้คุณ การแสดงภาพเกี่ยวกับสิ่งที่คุณจะได้รับในท้ายที่สุด

ฉันควรทำอย่างไรเพื่อสั่งประกาศนียบัตรจากบริษัทของคุณ? คำตอบ ในการสั่งซื้อเอกสาร (ใบรับรอง อนุปริญญา ใบรับรองการศึกษา ฯลฯ) คุณต้องกรอกแบบฟอร์มสั่งซื้อออนไลน์บนเว็บไซต์ของเราหรือระบุอีเมลของคุณเพื่อให้เราสามารถส่งแบบฟอร์มใบสมัครให้คุณได้ ซึ่งคุณต้องกรอกและส่งกลับ สำหรับเรา
หากคุณไม่ทราบว่าต้องระบุอะไรในช่องใดๆ ของแบบฟอร์มคำสั่งซื้อ/แบบสอบถาม ให้เว้นว่างไว้ ดังนั้นเราจะชี้แจงข้อมูลที่ขาดหายไปทั้งหมดทางโทรศัพท์

รีวิวล่าสุด

อเล็กซ์:

ฉันจำเป็นต้องได้รับประกาศนียบัตรเพื่อที่จะได้งานเป็นผู้จัดการ และที่สำคัญที่สุดคือฉันมีทั้งประสบการณ์และทักษะ แต่ฉันไม่สามารถหางานได้หากไม่มีเอกสาร เมื่อฉันเจอเว็บไซต์ของคุณ ในที่สุดฉันก็ตัดสินใจซื้อประกาศนียบัตร ประกาศนียบัตรเสร็จภายใน 2 วัน!! ตอนนี้มีงานที่ไม่เคยฝันมาก่อน!! ขอบคุณ!

สูตรสำหรับผลรวมและผลต่างของไซน์และโคไซน์สำหรับสองมุม α และ β ช่วยให้เราสามารถย้ายจากผลรวมของมุมเหล่านี้ไปเป็นผลคูณของมุม α + β 2 และ α - β 2 โปรดทราบทันทีว่าคุณไม่ควรสับสนสูตรสำหรับผลรวมและผลต่างของไซน์และโคไซน์กับสูตรสำหรับไซน์และโคไซน์ของผลรวมและผลต่าง ด้านล่างนี้เราแสดงรายการสูตรเหล่านี้ ระบุที่มา และแสดงตัวอย่างการใช้งานสำหรับปัญหาเฉพาะ

ยานเดกซ์ RTB R-A-339285-1

สูตรสำหรับผลรวมและผลต่างของไซน์และโคไซน์

ลองเขียนลงไปว่าสูตรผลรวมและผลต่างของไซน์และโคไซน์มีลักษณะอย่างไร

สูตรผลรวมและผลต่างของไซน์

บาป α + บาป β = 2 บาป α + β 2 cos α - β 2 บาป α - บาป β = 2 บาป α - β 2 cos α + β 2

สูตรผลรวมและผลต่างของโคไซน์

cos α + cos β = 2 cos α + β 2 cos α - β 2 cos α - cos β = - 2 บาป α + β 2 cos α - β 2 , cos α - cos β = 2 sin α + β 2 · β - α 2

สูตรเหล่านี้ใช้ได้กับมุม α และ β ทุกมุม มุม α + β 2 และ α - β 2 เรียกว่าผลรวมครึ่งและผลต่างครึ่งของมุมอัลฟาและเบตา ตามลำดับ ให้เราให้สูตรสำหรับแต่ละสูตร

คำจำกัดความของสูตรสำหรับผลรวมและผลต่างของไซน์และโคไซน์

ผลรวมของไซน์ของสองมุมเท่ากับสองเท่าของผลคูณของไซน์ของผลรวมครึ่งหนึ่งของมุมเหล่านี้และโคไซน์ของผลต่างครึ่งหนึ่ง

ผลต่างของไซน์ของสองมุมเท่ากับสองเท่าของผลคูณของไซน์ของผลต่างครึ่งหนึ่งของมุมเหล่านี้และโคไซน์ของผลรวมครึ่งหนึ่ง

ผลรวมของโคไซน์ของสองมุมเท่ากับสองเท่าของผลคูณของโคไซน์ของผลรวมครึ่งหนึ่งและโคไซน์ของผลต่างครึ่งหนึ่งของมุมเหล่านี้

ผลต่างของโคไซน์ของสองมุมเท่ากับสองเท่าของผลคูณของไซน์ของผลรวมครึ่งหนึ่งและโคไซน์ของผลต่างครึ่งหนึ่งของมุมเหล่านี้ โดยมีเครื่องหมายลบ

หาสูตรหาผลรวมและผลต่างของไซน์และโคไซน์

ในการหาสูตรสำหรับผลรวมและผลต่างของไซน์และโคไซน์ของสองมุม จะใช้สูตรบวก เราแสดงรายการไว้ด้านล่าง

บาป (α + β) = บาป α · cos β + cos α · บาป β บาป (α - β) = บาป α · cos β - cos α · บาป β cos (α + β) = cos α · cos β - sin α บาป β cos (α - β) = cos α cos β + บาป α บาป β

ลองจินตนาการว่ามุมต่างๆ เป็นผลรวมของผลรวมครึ่งหนึ่งและผลต่างครึ่งหนึ่ง

α = α + β 2 + α - β 2 = α 2 + β 2 + α 2 - β 2 β = α + β 2 - α - β 2 = α 2 + β 2 - α 2 + β 2

เราดำเนินการโดยตรงกับการได้มาของสูตรผลรวมและผลต่างของบาปและคอส

ที่มาของสูตรสำหรับผลรวมของไซน์

ในผลรวม sin α + sin β เราแทนที่ α และ β ด้วยนิพจน์สำหรับมุมเหล่านี้ที่ให้ไว้ข้างต้น เราได้รับ

บาป α + บาป β = บาป α + β 2 + α - β 2 + บาป α + β 2 - α - β 2

ตอนนี้เราใช้สูตรการบวกกับนิพจน์แรก และสูตรที่สองคือสูตรสำหรับไซน์ของผลต่างมุม (ดูสูตรด้านบน)

บาป α + β 2 + α - β 2 = บาป α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 บาป α - β 2 บาป α + β 2 - α - β 2 = บาป α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 sin α - β 2 sin α + β 2 + α - β 2 + sin α + β 2 - α - β 2 = บาป α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 sin α - β 2 + sin α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 sin α - β 2 เปิดวงเล็บ เพิ่มคำที่คล้ายกันและรับสูตรที่ต้องการ

บาป α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 บาป α - β 2 + บาป α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 บาป α - β 2 = = 2 บาป α + β 2 คอส α - β 2

ขั้นตอนในการรับสูตรที่เหลือจะคล้ายกัน

ที่มาของสูตรผลต่างของไซน์

บาป α - บาป β = บาป α + β 2 + α - β 2 - บาป α + β 2 - α - β 2 บาป α + β 2 + α - β 2 - บาป α + β 2 - α - β 2 = บาป α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 sin α - β 2 - sin α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 sin α - β 2 = = 2 sin α - β 2 คอส α + β 2

ที่มาของสูตรสำหรับผลรวมของโคไซน์

cos α + cos β = cos α + β 2 + α - β 2 + cos α + β 2 - α - β 2 cos α + β 2 + α - β 2 + cos α + β 2 - α - β 2 = cos α + β 2 cos α - β 2 - บาป α + β 2 บาป α - β 2 + cos α + β 2 cos α - β 2 + บาป α + β 2 บาป α - β 2 = = 2 cos α + β 2 คอส α - β 2

ที่มาของสูตรสำหรับผลต่างของโคไซน์

cos α - cos β = cos α + β 2 + α - β 2 - cos α + β 2 - α - β 2 cos α + β 2 + α - β 2 - cos α + β 2 - α - β 2 = cos α + β 2 cos α - β 2 - บาป α + β 2 บาป α - β 2 - cos α + β 2 cos α - β 2 + บาป α + β 2 บาป α - β 2 = = - 2 บาป α + β 2 บาป α - β 2

ตัวอย่างการแก้ปัญหาเชิงปฏิบัติ

ขั้นแรก ให้ตรวจสอบสูตรใดสูตรหนึ่งด้วยการแทนที่ ค่าเฉพาะมุม ให้ α = π 2, β = π 6 ให้เราคำนวณค่าผลรวมของไซน์ของมุมเหล่านี้ ขั้นแรก ลองใช้ตารางค่าพื้นฐาน ฟังก์ชันตรีโกณมิติแล้วใช้สูตรหาผลรวมของไซน์

ตัวอย่างที่ 1 การตรวจสอบสูตรหาผลรวมของไซน์ของสองมุม

α = π 2, β = π 6 บาป π 2 + บาป π 6 = 1 + 1 2 = 3 2 บาป π 2 + บาป π 6 = 2 บาป π 2 + π 6 2 cos π 2 - π 6 2 = 2 บาป π 3 cos π 6 = 2 3 2 3 2 = 3 2

ให้เราพิจารณากรณีที่ค่ามุมแตกต่างจากค่าพื้นฐานที่แสดงในตาราง ให้ α = 165°, β = 75° ลองคำนวณความแตกต่างระหว่างไซน์ของมุมเหล่านี้กัน

ตัวอย่างที่ 2 การใช้สูตรผลต่างของไซน์

α = 165 °, β = 75 ° บาป α - บาป β = บาป 165 ° - บาป 75 ° บาป 165 - บาป 75 = 2 บาป 165 ° - บาป 75 ° 2 cos 165 ° + บาป 75 ° 2 = = 2 บาป 45 ° เพราะ 120° = 2 2 2 - 1 2 = 2 2

การใช้สูตรสำหรับผลรวมและผลต่างของไซน์และโคไซน์ คุณสามารถย้ายจากผลรวมหรือผลต่างไปเป็นผลคูณของฟังก์ชันตรีโกณมิติได้ บ่อยครั้งที่สูตรเหล่านี้เรียกว่าสูตรสำหรับการย้ายจากผลรวมไปสู่ผลคูณ สูตรสำหรับผลรวมและผลต่างของไซน์และโคไซน์ใช้กันอย่างแพร่หลายในการแก้สมการตรีโกณมิติและการแปลงนิพจน์ตรีโกณมิติ

หากคุณสังเกตเห็นข้อผิดพลาดในข้อความ โปรดไฮไลต์แล้วกด Ctrl+Enter