โมดูลัส x 1 คืออะไร วิธีแก้สมการด้วยโมดูลัส: กฎพื้นฐาน อสมการของรูปแบบ “โมดูลัสมีค่ามากกว่าฟังก์ชัน”

บ้าน

โมดูลนี้เป็นหนึ่งในสิ่งที่ทุกคนดูเหมือนจะเคยได้ยิน แต่ในความเป็นจริงไม่มีใครเข้าใจจริงๆ ดังนั้นวันนี้จะมีบทเรียนสำคัญเกี่ยวกับการแก้สมการด้วยโมดูลโดยเฉพาะ

ฉันจะพูดทันที: บทเรียนจะไม่ใช่เรื่องยาก โดยทั่วไปแล้ว โมดูลต่างๆ นั้นเป็นหัวข้อที่ค่อนข้างง่าย “ใช่ แน่นอน มันไม่ซับซ้อน! มันทำให้ฉันสติแตก!” - นักเรียนหลายคนจะพูดว่า แต่สมองแตกทั้งหมดนี้เกิดขึ้นเนื่องจากการที่คนส่วนใหญ่ไม่มีความรู้ในหัว แต่มีเรื่องไร้สาระบางอย่าง และเป้าหมายของบทเรียนนี้คือการเปลี่ยนเรื่องไร้สาระให้กลายเป็นความรู้ :)

ทฤษฎีเล็กน้อย

ไปกันเลย เริ่มจากสิ่งที่สำคัญที่สุดกันก่อน: โมดูลคืออะไร? ฉันขอเตือนคุณว่าโมดูลัสของตัวเลขเป็นเพียงตัวเลขเดียวกัน แต่ถ่ายโดยไม่มีเครื่องหมายลบ ตัวอย่างเช่น $\left| -5 \ขวา|=5$. หรือ $\left| -129.5 \right|=$129.5

มันง่ายขนาดนั้นเลยเหรอ? ใช่ง่าย แล้วค่าสัมบูรณ์ของจำนวนบวกคืออะไร? ง่ายกว่านี้อีก: โมดูลัสของจำนวนบวกจะเท่ากับจำนวนนี้เอง: $\left| 5 \ขวา|=5$; $\ซ้าย| 129.5 \right|=$129.5 ฯลฯ

กลายเป็นสิ่งที่น่าสงสัย: ตัวเลขที่แตกต่างกันสามารถมีโมดูลเดียวกันได้ ตัวอย่างเช่น: $\left| -5 \right|=\ซ้าย| 5 \ขวา|=5$; $\ซ้าย| -129.5 \right|=\left| 129.5\ขวา|=$129.5 ง่ายต่อการดูว่าตัวเลขเหล่านี้เป็นตัวเลขประเภทใดซึ่งมีโมดูลเหมือนกัน: ตัวเลขเหล่านี้ตรงกันข้าม ดังนั้นเราจึงสังเกตด้วยตัวเราเองว่าโมดูลที่มีจำนวนตรงข้ามเท่ากัน:

\[\ซ้าย| -a \right|=\left| ก\ขวา|\] อื่น: ข้อเท็จจริงที่สำคัญโมดูลัสไม่เคยเป็นลบ

- ไม่ว่าเราจะหาเลขจำนวนใดก็ตาม ไม่ว่าจะเป็นค่าบวกหรือค่าลบ โมดูลัสของค่านั้นจะกลายเป็นค่าบวกเสมอ (หรือในกรณีที่รุนแรง ค่าศูนย์) นี่คือเหตุผลว่าทำไมโมดูลัสจึงมักถูกเรียกว่าค่าสัมบูรณ์ของตัวเลข

นอกจากนี้ ถ้าเรารวมคำจำกัดความของโมดูลัสสำหรับจำนวนบวกและลบ เราจะได้คำจำกัดความสากลของโมดูลัสสำหรับตัวเลขทั้งหมด กล่าวคือ โมดูลัสของตัวเลขจะเท่ากับตัวเลขนั้นเอง ถ้าตัวเลขเป็นบวก (หรือศูนย์) หรือเท่ากับจำนวนตรงข้ามถ้าตัวเลขเป็นลบ คุณสามารถเขียนเป็นสูตรได้: นอกจากนี้ยังมีโมดูลัสเป็นศูนย์ แต่จะเท่ากับศูนย์เสมอ นอกจากนี้ยังเป็นศูนย์เอกพจน์

ซึ่งไม่มีสิ่งที่ตรงกันข้าม

ดังนั้น หากเราพิจารณาฟังก์ชัน $y=\left| x \right|$ แล้วลองวาดกราฟ คุณจะได้สิ่งนี้:

จากภาพนี้ จะเห็นได้ชัดทันทีว่า $\left| -m \right|=\ซ้าย| m \right|$ และกราฟโมดูลัสไม่เคยต่ำกว่าแกน x แต่นั่นไม่ใช่ทั้งหมด เส้นสีแดงทำเครื่องหมายเส้นตรง $y=a$ ซึ่งหากบวก $a$ จะทำให้เรามีรากสองตัวพร้อมกัน: $((x)_(1))$ และ $((x) _(2)) $ แต่เราจะพูดถึงเรื่องนั้นในภายหลัง :)

นอกเหนือจากคำจำกัดความพีชคณิตล้วนๆ แล้ว ยังมีคำจำกัดความทางเรขาคณิตอีกด้วย สมมติว่ามีจุดสองจุดบนเส้นจำนวน: $((x)_(1))$ และ $((x)_(2))$ ในกรณีนี้ นิพจน์ $\left| ((x)_(1))-((x)_(2)) \right|$ เป็นเพียงระยะห่างระหว่างจุดที่ระบุ หรือถ้าคุณต้องการความยาวของส่วนที่เชื่อมต่อจุดเหล่านี้:

โมดูลัสคือระยะห่างระหว่างจุดบนเส้นจำนวน

คำจำกัดความนี้ยังบอกเป็นนัยว่าโมดูลัสไม่เป็นลบเสมอ แต่พอมีคำจำกัดความและทฤษฎี - มาดูสมการจริงกันดีกว่า :)

สูตรพื้นฐาน

โอเค เราได้แยกคำจำกัดความออกแล้ว แต่นั่นไม่ได้ทำให้มันง่ายขึ้นเลย จะแก้สมการที่มีโมดูลนี้ได้อย่างไร?

ใจเย็นๆ ใจเย็นๆ นะ เริ่มจากสิ่งที่ง่ายที่สุดกันก่อน พิจารณาบางสิ่งเช่นนี้:

\[\ซ้าย| x\ขวา|=3\]

ดังนั้นโมดูลัสของ $x$ เท่ากับ 3 $x$ จะเท่ากับเท่าใด? เมื่อดูจากคำจำกัดความแล้ว เราค่อนข้างพอใจกับ $x=3$ จริงหรือ:

\[\ซ้าย| 3\ขวา|=3\]

มีเลขอื่นอีกไหม? แคปดูเหมือนจะบอกเป็นนัยว่ามี ตัวอย่างเช่น $x=-3$ ก็เป็น $\left| เช่นกัน -3 \right|=3$ เช่น ความเท่าเทียมกันที่ต้องการเป็นที่พอใจ

แล้วบางทีถ้าเราค้นหาแล้วคิดว่าเราจะเจอตัวเลขมากขึ้นล่ะ? แต่แยกมันออก: ตัวเลขมากขึ้นเลขที่ สมการ $\left| x \right|=3$ มีเพียงสองราก: $x=3$ และ $x=-3$

ตอนนี้เรามาทำให้งานซับซ้อนขึ้นเล็กน้อย ปล่อยให้ฟังก์ชัน $f\left(x \right)$ อยู่ใต้เครื่องหมายโมดูลัสแทนตัวแปร $x$ และใส่ตัวเลข $a$ แทนที่ตัวเลขสามตัวทางด้านขวา เราได้รับสมการ:

\[\ซ้าย| f\left(x \right) \right|=a\]

แล้วเราจะแก้ปัญหานี้ได้อย่างไร? ฉันขอเตือนคุณว่า $f\left(x \right)$ เป็นฟังก์ชันที่กำหนดเอง ส่วน $a$ คือตัวเลขใดๆ เหล่านั้น. อะไรก็ได้! ตัวอย่างเช่น:

\[\ซ้าย| 2x+1 \ขวา|=5\]

\[\ซ้าย| 10x-5 \ขวา|=-65\]

มาดูสมการที่สองกันดีกว่า คุณสามารถพูดเกี่ยวกับเขาได้ทันที: เขาไม่มีราก ทำไม ทุกอย่างถูกต้อง: เนื่องจากโมดูลัสจะต้องเท่ากับจำนวนลบซึ่งไม่เคยเกิดขึ้น เนื่องจากเรารู้อยู่แล้วว่าโมดูลัสนั้นเป็นจำนวนบวกเสมอ หรือในกรณีที่รุนแรง จะต้องเป็นศูนย์

แต่ด้วยสมการแรก ทุกอย่างจะสนุกยิ่งขึ้น มีสองตัวเลือก: มีนิพจน์เชิงบวกอยู่ใต้เครื่องหมายโมดูลัส แล้วตามด้วย $\left| 2x+1 \right|=2x+1$ หรือนิพจน์นี้ยังคงเป็นลบ จากนั้น $\left| 2x+1 \right|=-\left(2x+1 \right)=-2x-1$ ในกรณีแรก สมการของเราจะถูกเขียนใหม่ดังนี้:

\[\ซ้าย| 2x+1 \right|=5\ลูกศรขวา 2x+1=5\]

และทันใดนั้นปรากฎว่านิพจน์ย่อย $2x+1$ นั้นเป็นบวกจริงๆ - มันเท่ากับเลข 5 นั่นคือ เราสามารถแก้สมการนี้ได้อย่างปลอดภัย - รากที่ได้จะเป็นคำตอบส่วนหนึ่ง:

ผู้ที่ไม่ไว้วางใจเป็นพิเศษสามารถลองแทนที่รากที่พบลงในสมการดั้งเดิม และตรวจสอบให้แน่ใจว่ามีจำนวนบวกอยู่ใต้โมดูลัสจริงๆ

ตอนนี้เรามาดูกรณีของนิพจน์ submodular เชิงลบ:

\[\left\( \begin(align)& \left| 2x+1 \right|=5 \\& 2x+1 \lt 0 \\\end(align) \right.\Rightarrow -2x-1=5 \ลูกศรขวา 2x+1=-5\]

อ๊ะ! ทุกอย่างชัดเจนอีกครั้ง: เราถือว่า $2x+1 \lt 0$ และด้วยเหตุนี้เราจึงได้ $2x+1=-5$ - จริงๆ แล้วนิพจน์นี้มีค่าน้อยกว่าศูนย์ เราแก้สมการผลลัพธ์ในขณะที่รู้อยู่แล้วว่ารูทที่พบจะเหมาะกับเรา:

โดยรวมแล้ว เราได้รับสองคำตอบอีกครั้ง: $x=2$ และ $x=3$ ใช่ จำนวนการคำนวณมากกว่าสมการง่ายๆ $\left| เล็กน้อย x \right|=3$ แต่ไม่มีการเปลี่ยนแปลงโดยพื้นฐาน บางทีอาจมีอัลกอริธึมสากลบางประเภท?

ใช่ มีอัลกอริธึมดังกล่าวอยู่ และตอนนี้เราจะวิเคราะห์มัน

กำจัดเครื่องหมายมอดุลัส

ให้เราได้รับสมการ $\left| f\left(x \right) \right|=a$, และ $a\ge 0$ (มิฉะนั้น อย่างที่เรารู้อยู่แล้วว่าไม่มีราก) จากนั้น คุณสามารถกำจัดเครื่องหมายมอดุลัสได้โดยใช้กฎต่อไปนี้:

\[\ซ้าย| f\left(x \right) \right|=a\ลูกศรขวา f\left(x \right)=\pm a\]

ดังนั้นสมการของเราที่มีโมดูลัสจึงแยกออกเป็นสองส่วน แต่ไม่มีโมดูลัส นั่นคือทั้งหมดที่เทคโนโลยีเป็น! ลองแก้สมการสองสามข้อกัน เริ่มจากสิ่งนี้กันก่อน

\[\ซ้าย| 5x+4 \right|=10\ลูกศรขวา 5x+4=\pm 10\]

ลองพิจารณาแยกกันเมื่อมีเครื่องหมายบวกสิบทางด้านขวา และแยกกันเมื่อมีเครื่องหมายลบ เรามี:

\[\begin(align)& 5x+4=10\ลูกศรขวา 5x=6\ลูกศรขวา x=\frac(6)(5)=1,2; \\& 5x+4=-10\ลูกศรขวา 5x=-14\ลูกศรขวา x=-\frac(14)(5)=-2.8. \\\end(จัดแนว)\]

แค่นั้นแหละ! เรามีสองราก: $x=1.2$ และ $x=-2.8$ โซลูชันทั้งหมดใช้เวลาสองบรรทัดอย่างแท้จริง

โอเค ไม่ต้องสงสัย มาดูอะไรที่จริงจังกว่านี้กันหน่อย:

\[\ซ้าย| 7-5x\ขวา|=13\]

เราเปิดโมดูลอีกครั้งด้วยเครื่องหมายบวกและลบ:

\[\begin(align)& 7-5x=13\ลูกศรขวา -5x=6\ลูกศรขวา x=-\frac(6)(5)=-1,2; \\& 7-5x=-13\ลูกศรขวา -5x=-20\ลูกศรขวา x=4 \\\end(จัดแนว)\]

สองสามบรรทัดอีกครั้ง - และคำตอบก็พร้อมแล้ว! อย่างที่ฉันบอกไปแล้วว่าโมดูลไม่มีอะไรซับซ้อน คุณเพียงแค่ต้องจำกฎสองสามข้อ ดังนั้นเราจึงเดินหน้าต่อไปและเริ่มต้นด้วยงานที่ซับซ้อนยิ่งขึ้นอย่างแท้จริง

กรณีของตัวแปรทางขวามือ

พิจารณาสมการนี้:

\[\ซ้าย| 3x-2 \ขวา|=2x\]

สมการนี้แตกต่างโดยพื้นฐานจากสมการก่อนหน้าทั้งหมด ยังไง? และความจริงที่ว่าทางด้านขวาของเครื่องหมายเท่ากับคือนิพจน์ $2x$ - และเราไม่สามารถรู้ล่วงหน้าได้ว่าเป็นค่าบวกหรือค่าลบ

จะทำอย่างไรในกรณีนี้? ก่อนอื่นเราต้องเข้าใจสักครั้ง ถ้าด้านขวาของสมการกลายเป็นลบ สมการก็จะไม่มีราก- เรารู้แล้วว่าโมดูลไม่สามารถเท่ากับจำนวนลบได้

และประการที่สอง หากส่วนที่ถูกต้องยังคงเป็นค่าบวก (หรือเท่ากับศูนย์) คุณสามารถดำเนินการได้เหมือนเดิมทุกประการ เพียงเปิดโมดูลแยกกันด้วยเครื่องหมายบวกและแยกจากกันด้วยเครื่องหมายลบ

ดังนั้นเราจึงกำหนดกฎสำหรับฟังก์ชันที่กำหนดเอง $f\left(x \right)$ และ $g\left(x \right)$ :

\[\ซ้าย| f\left(x \right) \right|=g\left(x \right)\ลูกศรขวา \left\( \begin(align)& f\left(x \right)=\pm g\left(x \right ), \\& g\left(x \right)\ge 0. \\\end(align) \right.\]

สัมพันธ์กับสมการของเราเราได้รับ:

\[\ซ้าย| 3x-2 \right|=2x\ลูกศรขวา \left\( \begin(align)& 3x-2=\pm 2x, \\& 2x\ge 0. \\\end(align) \right.\]

เราจะจัดการกับข้อกำหนด $2x\ge 0$ บ้าง ในท้ายที่สุด เราสามารถแทนที่รากที่เราได้รับจากสมการแรกอย่างโง่เขลา และตรวจสอบว่าความไม่เท่าเทียมกันยังคงอยู่หรือไม่

เรามาแก้สมการกัน:

\[\begin(align)& 3x-2=2\ลูกศรขวา 3x=4\ลูกศรขวา x=\frac(4)(3); \\& 3x-2=-2\ลูกศรขวา 3x=0\ลูกศรขวา x=0 \\\end(จัดแนว)\]

แล้วรากสองตัวนี้ตัวไหนที่ตรงตามความต้องการ $2x\ge 0$? ใช่ทั้งคู่! ดังนั้น คำตอบจะเป็นตัวเลขสองตัว: $x=(4)/(3)\;$ และ $x=0$ นั่นคือวิธีแก้ปัญหา :)

สงสัยว่านักเรียนบางคนเริ่มเบื่อแล้วเหรอ? เรามาดูสมการที่ซับซ้อนกว่านี้กันดีกว่า:

\[\ซ้าย| ((x)^(3))-3((x)^(2))+x \right|=x-((x)^(3))\]

แม้ว่ามันจะดูชั่วร้าย แต่จริงๆ แล้ว มันยังคงเป็นสมการเดียวกันของรูปแบบ “โมดูลัสเท่ากับฟังก์ชัน”:

\[\ซ้าย| f\left(x \right) \right|=g\left(x \right)\]

และได้รับการแก้ไขในลักษณะเดียวกันทุกประการ:

\[\ซ้าย| ((x)^(3))-3((x)^(2))+x \right|=x-((x)^(3))\ลูกศรขวา \left\( \begin(align)& ( (x)^(3))-3((x)^(2))+x=\pm \left(x-((x)^(3)) \right), \\& x-((x )^(3))\ge 0 \\\end(align) \right.\]

เราจะจัดการกับความไม่เท่าเทียมกันในภายหลัง - มันชั่วร้ายเกินไป (อันที่จริงมันง่าย แต่เราจะไม่แก้ไข) ในตอนนี้ ควรจัดการกับสมการผลลัพธ์จะดีกว่า ลองพิจารณากรณีแรก - นี่คือตอนที่โมดูลถูกขยายด้วยเครื่องหมายบวก:

\[((x)^(3))-3((x)^(2))+x=x-((x)^(3))\]

ไม่ใช่เรื่องง่ายที่คุณจะต้องรวบรวมทุกอย่างจากทางซ้าย นำสิ่งที่คล้ายกันมาและดูว่าเกิดอะไรขึ้น และนี่คือสิ่งที่เกิดขึ้น:

\[\begin(align)& ((x)^(3))-3((x)^(2))+x=x-((x)^(3)); \\& 2((x)^(3))-3((x)^(2))=0; \\\end(จัดแนว)\]

เรานำตัวประกอบร่วม $((x)^(2))$ ออกจากวงเล็บแล้วได้สมการง่ายๆ:

\[((x)^(2))\left(2x-3 \right)=0\ลูกศรขวา \left[ \begin(align)& ((x)^(2))=0 \\& 2x-3 =0 \\\end(align) \right.\]

\[((x)_(1))=0;\quad ((x)_(2))=\frac(3)(2)=1.5.\]

ในที่นี้ เราใช้ประโยชน์จากคุณสมบัติที่สำคัญของผลิตภัณฑ์ เพื่อประโยชน์ในการแยกตัวประกอบพหุนามดั้งเดิม: ผลคูณจะเท่ากับศูนย์เมื่อตัวประกอบอย่างน้อยหนึ่งตัวเท่ากับศูนย์

ทีนี้มาจัดการกับสมการที่สองในลักษณะเดียวกันทุกประการซึ่งได้มาจากการขยายโมดูลด้วยเครื่องหมายลบ:

\[\begin(align)& ((x)^(3))-3((x)^(2))+x=-\left(x-((x)^(3)) \right); \\& ((x)^(3))-3((x)^(2))+x=-x+((x)^(3)); \\& -3((x)^(2))+2x=0; \\& x\left(-3x+2 \right)=0 \\\end(จัดแนว)\]

เช่นเดียวกัน: ผลคูณจะเท่ากับศูนย์เมื่อตัวประกอบอย่างน้อยหนึ่งตัวมีค่าเท่ากับศูนย์ เรามี:

\[\left[ \begin(align)& x=0 \\& -3x+2=0 \\\end(align) \right.\]

เรามีสามราก: $x=0$, $x=1.5$ และ $x=(2)/(3)\;$ แล้วชุดนี้ชุดไหนจะตอบโจทย์สุดท้าย? ในการดำเนินการนี้ โปรดจำไว้ว่าเรามีข้อจำกัดเพิ่มเติมในรูปแบบของความไม่เท่าเทียมกัน:

จะคำนึงถึงข้อกำหนดนี้อย่างไร? ลองแทนที่รากที่พบและตรวจสอบว่า $x$ เหล่านี้มีค่าอสมการหรือไม่ เรามี:

\[\begin(align)& x=0\ลูกศรขวา x-((x)^(3))=0-0=0\ge 0; \\& x=1.5\ลูกศรขวา x-((x)^(3))=1.5-((1.5)^(3)) \lt 0; \\& x=\frac(2)(3)\ลูกศรขวา x-((x)^(3))=\frac(2)(3)-\frac(8)(27)=\frac(10) (27)\ge 0; \\\end(จัดแนว)\]

ดังนั้นรูต $x=1.5$ จึงไม่เหมาะกับเรา และในการตอบสนองจะมีเพียงสองรากเท่านั้น:

\[((x)_(1))=0;\quad ((x)_(2))=\frac(2)(3).\]

อย่างที่คุณเห็นแม้ในกรณีนี้ไม่มีอะไรซับซ้อน - สมการกับโมดูลจะได้รับการแก้ไขโดยใช้อัลกอริทึมเสมอ คุณเพียงแค่ต้องมีความเข้าใจที่ดีเกี่ยวกับพหุนามและอสมการ ดังนั้นเราจึงก้าวไปสู่งานที่ซับซ้อนมากขึ้น - จะไม่ใช่หนึ่งโมดูลอีกต่อไป แต่มีสองโมดูล

สมการที่มีสองโมดูล

จนถึงขณะนี้เราได้ศึกษาเฉพาะสมการที่ง่ายที่สุด - มีหนึ่งโมดูลและอย่างอื่น เราส่ง "อย่างอื่น" นี้ไปยังอีกส่วนหนึ่งของความไม่เท่าเทียมกัน ห่างจากโมดูล เพื่อว่าสุดท้ายแล้วทุกอย่างจะลดลงเหลือเพียงสมการในรูปแบบ $\left| f\left(x \right) \right|=g\left(x \right)$ หรือง่ายกว่านั้น $\left| f\left(x \right) \right|=a$.

แต่ โรงเรียนอนุบาลสิ้นสุดแล้ว - ถึงเวลาพิจารณาบางสิ่งที่จริงจังกว่านี้แล้ว เริ่มต้นด้วยสมการดังนี้:

\[\ซ้าย| f\left(x \right) \right|=\left| g\left(x \right) \right|\]

นี่คือสมการในรูปแบบ "โมดูลัสเท่ากับโมดูลัส" โดยพื้นฐานแล้ว จุดสำคัญคือการไม่มีข้อกำหนดและปัจจัยอื่นๆ: มีเพียงโมดูลเดียวทางด้านซ้าย อีกหนึ่งโมดูลทางด้านขวา - และไม่มีอะไรเพิ่มเติม

ตอนนี้บางคนอาจคิดว่าสมการดังกล่าวแก้ยากกว่าที่เราเคยศึกษามา แต่เปล่าเลย สมการเหล่านี้แก้ได้ง่ายกว่าด้วยซ้ำ นี่คือสูตร:

\[\ซ้าย| f\left(x \right) \right|=\left| g\left(x \right) \right|\ลูกศรขวา f\left(x \right)=\pm g\left(x \right)\]

ทั้งหมด! เราเพียงแค่เปรียบเทียบนิพจน์ submodular โดยการใส่เครื่องหมายบวกหรือลบไว้ข้างหน้าหนึ่งในนั้น จากนั้นเราก็แก้สมการสองผลลัพธ์ - และรากก็พร้อม! ไม่มีข้อจำกัดเพิ่มเติม ไม่มีความไม่เท่าเทียมกัน ฯลฯ มันง่ายมาก

มาลองแก้ไขปัญหานี้กัน:

\[\ซ้าย| 2x+3 \right|=\ซ้าย| 2x-7 \ขวา|\]

ชั้นประถม วัตสัน! การขยายโมดูล:

\[\ซ้าย| 2x+3 \right|=\ซ้าย| 2x-7 \right|\ลูกศรขวา 2x+3=\pm \left(2x-7 \right)\]

พิจารณาแต่ละกรณีแยกกัน:

\[\begin(align)& 2x+3=2x-7\Rightarrow 3=-7\Rightarrow \emptyset ; \\& 2x+3=-\ซ้าย(2x-7 \right)\ลูกศรขวา 2x+3=-2x+7 \\\end(จัดแนว)\]

สมการแรกไม่มีราก เพราะเมื่อไหร่ที่ $3=-7$? $x$ มีค่าเท่าไหร่? “$x$ คืออะไร? คุณเมาหรือเปล่า? ไม่มี $x$ เลย” คุณพูด และคุณจะพูดถูก เราได้รับความเท่าเทียมกันซึ่งไม่ได้ขึ้นอยู่กับตัวแปร $x$ และในขณะเดียวกัน ความเท่าเทียมกันเองก็ไม่ถูกต้อง นั่นเป็นสาเหตุที่ไม่มีราก :)

ด้วยสมการที่สอง ทุกอย่างจะน่าสนใจขึ้นอีกเล็กน้อย แต่ก็ง่ายมากเช่นกัน:

อย่างที่คุณเห็น ทุกอย่างได้รับการแก้ไขอย่างแท้จริงในสองสามบรรทัด - เราไม่ได้คาดหวังสิ่งอื่นใดจากสมการเชิงเส้น :)

ด้วยเหตุนี้ คำตอบสุดท้ายคือ: $x=1$

แล้วยังไงล่ะ? ยาก? ไม่แน่นอน เรามาลองอย่างอื่นกันดีกว่า:

\[\ซ้าย| x-1 \right|=\left| ((x)^(2))-3x+2 \right|\]

อีกครั้งที่เรามีสมการในรูปแบบ $\left| f\left(x \right) \right|=\left| g\left(x \right) \right|$. ดังนั้นเราจึงเขียนมันใหม่ทันทีโดยเผยให้เห็นเครื่องหมายโมดูลัส:

\[((x)^(2))-3x+2=\pm \left(x-1 \right)\]

บางทีตอนนี้อาจมีคนถามว่า:“ เฮ้เรื่องไร้สาระอะไร? เหตุใด “บวก-ลบ” จึงปรากฏบนนิพจน์ทางขวาและไม่ปรากฏทางด้านซ้าย” ใจเย็นๆ ฉันจะอธิบายทุกอย่างตอนนี้ จริงๆ แล้ว ในทางที่ดี เราควรเขียนสมการของเราใหม่ดังนี้:

จากนั้นคุณจะต้องเปิดวงเล็บ ย้ายพจน์ทั้งหมดไปไว้ด้านหนึ่งของเครื่องหมายเท่ากับ (เนื่องจากสมการเห็นได้ชัดว่าจะเป็นกำลังสองในทั้งสองกรณี) จากนั้นจึงหาราก แต่คุณต้องยอมรับ: เมื่อ “บวก-ลบ” ปรากฏก่อนสามเทอม (โดยเฉพาะอย่างยิ่งเมื่อหนึ่งในเทอมเหล่านี้เป็นนิพจน์กำลังสอง) มันจะดูซับซ้อนกว่าสถานการณ์ที่ “บวก-ลบ” ปรากฏก่อนเพียงสองเทอม

แต่ไม่มีอะไรขัดขวางเราจากการเขียนสมการดั้งเดิมใหม่ดังนี้:

\[\ซ้าย| x-1 \right|=\left| ((x)^(2))-3x+2 \right|\ลูกศรขวา \left| ((x)^(2))-3x+2 \right|=\left| x-1 \ขวา|\]

เกิดอะไรขึ้น ไม่มีอะไรพิเศษ: พวกเขาแค่สลับด้านซ้ายและด้านขวา สิ่งเล็กๆ น้อยๆ ที่จะทำให้ชีวิตเราง่ายขึ้นนิดหน่อยในที่สุด :)

โดยทั่วไป เราจะแก้สมการนี้ โดยพิจารณาตัวเลือกที่มีเครื่องหมายบวกและเครื่องหมายลบ:

\[\begin(align)& ((x)^(2))-3x+2=x-1\ลูกศรขวา ((x)^(2))-4x+3=0; \\& ((x)^(2))-3x+2=-\left(x-1 \right)\ลูกศรขวา ((x)^(2))-2x+1=0 \\\end(จัดแนว)\]

สมการแรกมีราก $x=3$ และ $x=1$ โดยทั่วไปอันที่สองจะเป็นกำลังสองที่แน่นอน:

\[((x)^(2))-2x+1=((\left(x-1 \right))^(2))\]

ดังนั้นจึงมีเพียงรากเดียวเท่านั้น: $x=1$ แต่เราได้รับรากนี้มาก่อนหน้านี้แล้ว ดังนั้นคำตอบสุดท้ายจึงมีเพียงตัวเลขสองตัวเท่านั้น:

\[((x)_(1))=3;\quad ((x)_(2))=1.\]

ภารกิจสำเร็จแล้ว! คุณสามารถหยิบพายจากชั้นวางแล้วกินได้ มี 2 ​​อันครับ ของคุณคืออันกลางครับ :)

หมายเหตุสำคัญ- การปรากฏตัวของรากที่เหมือนกันสำหรับ ตัวเลือกที่แตกต่างกันการขยายตัวของโมดูลัสหมายความว่าพหุนามดั้งเดิมถูกแยกตัวประกอบ และในบรรดาปัจจัยเหล่านี้ ก็จะมีปัจจัยร่วมอย่างแน่นอน จริงหรือ:

\[\begin(align)& \left| x-1 \right|=\left| ((x)^(2))-3x+2 \right|; \\& \ซ้าย| x-1 \right|=\left| \left(x-1 \right)\left(x-2 \right) \right| \\\end(จัดแนว)\]

หนึ่งในคุณสมบัติของโมดูล: $\left| a\cdot b \right|=\left| \right|\cdot \left| b \right|$ (เช่น โมดูลัสของผลิตภัณฑ์เท่ากับผลคูณของโมดูลัส) ดังนั้นสมการดั้งเดิมจึงสามารถเขียนใหม่ได้ดังนี้:

\[\ซ้าย| x-1 \right|=\left| x-1 \right|\cdot \left| x-2 \ขวา|\]

อย่างที่คุณเห็น เรามีปัจจัยร่วมจริงๆ ตอนนี้ หากคุณรวบรวมโมดูลทั้งหมดไว้ที่ด้านเดียว คุณสามารถนำปัจจัยนี้ออกจากวงเล็บได้:

\[\begin(align)& \left| x-1 \right|=\left| x-1 \right|\cdot \left| x-2 \ขวา|; \\& \ซ้าย| x-1 \ขวา|-\ซ้าย| x-1 \right|\cdot \left| x-2 \ขวา|=0; \\& \ซ้าย| x-1 \right|\cdot \left(1-\left| x-2 \right| \right)=0 \\\end(จัดแนว)\]

ทีนี้ จำไว้ว่าผลคูณเท่ากับศูนย์เมื่อปัจจัยอย่างน้อยหนึ่งตัวเท่ากับศูนย์:

\[\left[ \begin(align)& \left| x-1 \right|=0, \\& \left| x-2 \right|=1. \\\end(align) \right.\]

ดังนั้น สมการดั้งเดิมที่มีสองโมดูลจึงลดลงเหลือสมการที่ง่ายที่สุดสองสมการที่เราพูดถึงในตอนต้นของบทเรียน สมการดังกล่าวสามารถแก้ไขได้ในสองสามบรรทัด :)

หมายเหตุนี้อาจดูซับซ้อนโดยไม่จำเป็นและไม่สามารถนำไปใช้ได้จริงในทางปฏิบัติ อย่างไรก็ตาม ในความเป็นจริง คุณอาจประสบปัญหาที่ซับซ้อนมากกว่าปัญหาที่เราพิจารณาอยู่ทุกวันนี้ ในนั้นโมดูลสามารถรวมกับพหุนาม, รากเลขคณิต, ลอการิทึม ฯลฯ และในสถานการณ์เช่นนี้ ความสามารถในการลดระดับโดยรวมของสมการโดยการนำบางอย่างออกจากวงเล็บจะมีประโยชน์มาก :)

ตอนนี้ฉันอยากจะดูสมการอื่นซึ่งเมื่อมองแวบแรกอาจดูบ้าไป นักเรียนหลายคนติดขัดกับสิ่งนี้ แม้แต่ผู้ที่คิดว่าตนเองมีความเข้าใจในโมดูลต่างๆ เป็นอย่างดี

อย่างไรก็ตาม สมการนี้แก้ได้ง่ายกว่าที่เราดูก่อนหน้านี้ และถ้าคุณเข้าใจสาเหตุ คุณจะได้รับเคล็ดลับอีกอย่างในการแก้สมการอย่างรวดเร็วด้วยโมดูลัส

ดังนั้นสมการคือ:

\[\ซ้าย| x-((x)^(3)) \right|+\left| ((x)^(2))+x-2 \right|=0\]

ไม่ นี่ไม่ใช่การพิมพ์ผิด แต่เป็นข้อดีระหว่างโมดูลต่างๆ และเราต้องค้นหาว่า $x$ ผลรวมของสองโมดูลเท่ากับศูนย์อย่างไร :)

ว่าแต่มีปัญหาอะไรมั้ย? แต่ปัญหาคือแต่ละโมดูลเป็นจำนวนบวก หรือในกรณีที่รุนแรง จะเป็นศูนย์ จะเกิดอะไรขึ้นถ้าคุณบวกเลขบวกสองตัว? เห็นได้ชัดว่าเป็นจำนวนบวกอีกครั้ง:

\[\begin(align)& 5+7=12 \gt 0; \\& 0.004+0.0001=0.0041 \gt 0; \\& 5+0=5 \gt 0. \\\end(align)\]

บรรทัดสุดท้ายอาจทำให้คุณมีแนวคิด: ครั้งเดียวที่ผลรวมของโมดูลเป็นศูนย์คือถ้าแต่ละโมดูลเป็นศูนย์:

\[\ซ้าย| x-((x)^(3)) \right|+\left| ((x)^(2))+x-2 \right|=0\ลูกศรขวา \left\( \begin(align)& \left| x-((x)^(3)) \right|=0, \\& \left|. ((x)^(2))+x-2 \right|=0.

และเมื่อใดที่โมดูลจะเท่ากับศูนย์? ในกรณีเดียวเท่านั้น - เมื่อนิพจน์ submodular เท่ากับศูนย์:

\[((x)^(2))+x-2=0\ลูกศรขวา \left(x+2 \right)\left(x-1 \right)=0\ลูกศรขวา \left[ \begin(align)& x=-2 \\& x=1 \\\end(align) \right.\]

ดังนั้นเราจึงมีสามจุดที่โมดูลแรกถูกรีเซ็ต: 0, 1 และ −1; เช่นเดียวกับจุดสองจุดที่โมดูลที่สองถูกรีเซ็ตเป็นศูนย์: −2 และ 1 อย่างไรก็ตาม เราจำเป็นต้องรีเซ็ตทั้งสองโมดูลให้เป็นศูนย์ในเวลาเดียวกัน ดังนั้นในบรรดาตัวเลขที่พบ เราจำเป็นต้องเลือกจำนวนที่รวมอยู่ใน ทั้งสองชุด แน่นอนว่ามีเพียงหมายเลขเดียวเท่านั้น: $x=1$ - นี่จะเป็นคำตอบสุดท้าย

วิธีการแตกแยก

เราได้ครอบคลุมปัญหาต่างๆ ไปแล้วและเรียนรู้เทคนิคมากมาย คุณคิดว่านั่นคือทั้งหมดหรือไม่? แต่ไม่! ตอนนี้เราจะมาดูเทคนิคสุดท้าย - และในขณะเดียวกันก็สำคัญที่สุด เราจะพูดถึงการแยกสมการด้วยโมดูลัส เราจะพูดถึงเรื่องอะไร? ลองย้อนกลับไปดูสมการง่ายๆ บ้าง ตัวอย่างเช่น:

\[\ซ้าย| 3x-5 \ขวา|=5-3x\]

โดยหลักการแล้ว เรารู้วิธีแก้สมการดังกล่าวแล้ว เนื่องจากเป็นรูปแบบมาตรฐานของรูปแบบ $\left| f\left(x \right) \right|=g\left(x \right)$. แต่ลองพิจารณาสมการนี้จากมุมที่ต่างออกไปเล็กน้อย ถ้าให้เจาะจงกว่านี้ ให้พิจารณานิพจน์ใต้เครื่องหมายโมดูลัส ฉันขอเตือนคุณว่าโมดูลัสของจำนวนใดๆ สามารถเท่ากับจำนวนนั้นเอง หรืออาจตรงกันข้ามกับจำนวนนี้ก็ได้:

\[\ซ้าย| a \right|=\left\( \begin(align)& a,\quad a\ge 0, \\& -a,\quad a \lt 0. \\\end(align) \right.\]

ที่จริงแล้ว ความคลุมเครือนี้คือปัญหาทั้งหมด เนื่องจากตัวเลขภายใต้โมดูลัสเปลี่ยนแปลง (ขึ้นอยู่กับตัวแปร) เราจึงไม่ชัดเจนสำหรับเราว่าเป็นค่าบวกหรือค่าลบ

แต่ถ้าคุณต้องการให้ตัวเลขนี้เป็นค่าบวกในตอนแรกล่ะ? ตัวอย่างเช่น กำหนดให้ $3x-5 \gt 0$ - ในกรณีนี้ เรารับประกันได้ว่าจะได้จำนวนบวกภายใต้เครื่องหมายโมดูลัส และเราสามารถกำจัดโมดูลัสนี้ออกไปได้อย่างสมบูรณ์:

ดังนั้นสมการของเราจะกลายเป็นสมการเชิงเส้นซึ่งสามารถแก้ไขได้ง่าย:

จริงอยู่ ความคิดทั้งหมดนี้สมเหตุสมผลภายใต้เงื่อนไข $3x-5 \gt 0$ เท่านั้น - เราเองก็แนะนำข้อกำหนดนี้เพื่อที่จะเปิดเผยโมดูลอย่างไม่คลุมเครือ ดังนั้น ลองแทนที่ $x=\frac(5)(3)$ ที่พบไปในเงื่อนไขนี้แล้วตรวจสอบ:

ปรากฎว่าสำหรับค่าที่ระบุ $x$ ไม่เป็นไปตามข้อกำหนดของเรา เนื่องจาก นิพจน์กลายเป็นศูนย์ และเราต้องการให้มันมากกว่าศูนย์อย่างเคร่งครัด เศร้า :(

แต่ไม่เป็นไร! ท้ายที่สุดแล้ว ยังมีอีกตัวเลือกหนึ่ง $3x-5 \lt 0$ ยิ่งกว่านั้น: ยังมีกรณี $3x-5=0$ - จะต้องพิจารณาเรื่องนี้ด้วย ไม่เช่นนั้นวิธีแก้ปัญหาจะไม่สมบูรณ์ ดังนั้น ลองพิจารณากรณี $3x-5 \lt 0$:

แน่นอนว่าโมดูลจะเปิดขึ้นโดยมีเครื่องหมายลบ แต่แล้วสถานการณ์แปลก ๆ ก็เกิดขึ้น: ทั้งทางด้านซ้ายและทางขวาในสมการดั้งเดิมนิพจน์เดียวกันจะโดดเด่น:

ฉันสงสัยว่า $x$ นิพจน์ $5-3x$ จะเท่ากับนิพจน์ $5-3x$ เท่าใด แม้แต่ Captain Obviousness ก็ยังสำลักน้ำลายจากสมการดังกล่าว แต่เรารู้ว่าสมการนี้คืออัตลักษณ์ กล่าวคือ มันเป็นจริงสำหรับค่าใดๆ ของตัวแปร!

ซึ่งหมายความว่า $x$ ใด ๆ จะเหมาะกับเรา อย่างไรก็ตาม เรามีข้อจำกัด:

กล่าวอีกนัยหนึ่ง คำตอบจะไม่ใช่ตัวเลขตัวเดียว แต่เป็นช่วงทั้งหมด:

สุดท้ายนี้ ยังมีอีกกรณีหนึ่งที่ต้องพิจารณา: $3x-5=0$ ทุกอย่างเป็นเรื่องง่ายที่นี่: ภายใต้โมดูลัสจะมีศูนย์และโมดูลัสของศูนย์ก็เท่ากับศูนย์ด้วย (ซึ่งตามมาจากคำจำกัดความโดยตรง):

แต่แล้วสมการดั้งเดิม $\left| 3x-5 \right|=5-3x$ จะถูกเขียนใหม่ดังนี้:

เราได้รับรากข้างต้นนี้แล้ว เมื่อเราพิจารณากรณีของ $3x-5 \gt 0$ ยิ่งไปกว่านั้น รูทนี้เป็นวิธีแก้สมการ $3x-5=0$ - นี่คือข้อจำกัดที่เราแนะนำในการรีเซ็ตโมดูล :)

ดังนั้น นอกจากช่วงเวลาแล้ว เรายังพอใจกับจำนวนที่อยู่ท้ายสุดของช่วงเวลานี้ด้วย:

การรวมรากในสมการโมดูโล

คำตอบสุดท้ายทั้งหมด: $x\in \left(-\infty ;\frac(5)(3) \right]$ มันไม่ธรรมดาเลยที่จะเห็นเรื่องไร้สาระในคำตอบของสมการที่ค่อนข้างง่าย (โดยพื้นฐานแล้วเป็นเส้นตรง) พร้อมโมดูลัส จริงเหรอ? ทำความคุ้นเคยกับมันแล้ว: ความยากของโมดูลคือคำตอบในสมการดังกล่าวไม่สามารถคาดเดาได้อย่างสมบูรณ์

สิ่งอื่นที่สำคัญกว่ามาก: เราเพิ่งวิเคราะห์อัลกอริธึมสากลสำหรับการแก้สมการด้วยโมดูลัส! และอัลกอริทึมนี้ประกอบด้วยขั้นตอนต่อไปนี้:

1. ปรับแต่ละโมดูลัสในสมการให้เป็นศูนย์ เราได้สมการหลายสมการ
2. แก้สมการทั้งหมดนี้และทำเครื่องหมายรากบนเส้นจำนวน เป็นผลให้เส้นตรงจะถูกแบ่งออกเป็นหลายช่วง โดยแต่ละโมดูลทั้งหมดจะถูกเปิดเผยไม่ซ้ำกัน
3. แก้สมการดั้งเดิมสำหรับแต่ละช่วงเวลาแล้วรวมคำตอบของคุณ

แค่นั้นแหละ! เหลือเพียงคำถามเดียว: จะทำอย่างไรกับรากที่ได้รับในขั้นตอนที่ 1? สมมติว่าเรามีสองราก: $x=1$ และ $x=5$ พวกเขาจะแบ่งเส้นจำนวนออกเป็น 3 ส่วน:

การแบ่งเส้นจำนวนออกเป็นระยะโดยใช้จุด

แล้วมีช่วงไหนบ้าง? เห็นได้ชัดว่ามีสามคน:

1. อันซ้ายสุด: $x \lt 1$ — หน่วยนั้นไม่รวมอยู่ในช่วงเวลา;
2. ส่วนกลาง: $1\le x \lt 5$ - ในที่นี้อันหนึ่งจะรวมไว้ในช่วงเวลา แต่จะไม่รวมห้าอัน
3. ขวาสุด: $x\ge 5$ - ห้ารวมอยู่ที่นี่เท่านั้น!

ฉันคิดว่าคุณเข้าใจรูปแบบแล้ว แต่ละช่วงจะรวมปลายด้านซ้ายและไม่รวมด้านขวา

เมื่อดูเผินๆ รายการดังกล่าวอาจดูไม่สะดวก ไร้เหตุผล และโดยทั่วไปแล้วเป็นเรื่องบ้าบอ แต่เชื่อฉันเถอะ: หลังจากฝึกฝนเล็กน้อยแล้วคุณจะพบว่าแนวทางนี้น่าเชื่อถือที่สุดและไม่รบกวนการเปิดโมดูลอย่างชัดเจน ควรใช้รูปแบบดังกล่าวมากกว่าคิดทุกครั้ง: ให้ปลายซ้าย/ขวากับช่วงเวลาปัจจุบันหรือ "โยน" ลงในช่วงเวลาถัดไป

นี่เป็นการสรุปบทเรียน ดาวน์โหลดงานสำหรับ การตัดสินใจที่เป็นอิสระฝึกฝนเปรียบเทียบกับคำตอบ - แล้วพบกันในบทต่อไปซึ่งจะกล่าวถึงความไม่เท่าเทียมกับโมดูลัส :)

โมดูลัสจำนวน กคือระยะทางจากจุดกำเนิดถึงจุด ก(ก) .

เพื่อให้เข้าใจคำจำกัดความนี้ เรามาแทนที่ตัวแปรกันดีกว่า กตัวเลขใดๆ เช่น 3 แล้วอ่านอีกครั้ง:

โมดูลัสของเลข 3 คือระยะห่างจากจุดกำเนิดถึงจุด ก(3 ).

นั่นคือโมดูลไม่มีอะไรมากไปกว่าระยะทางธรรมดา ลองหาระยะทางจากจุดกำเนิดถึงจุดดู ก(3)

ระยะทางจากจุดกำเนิดถึงจุด ก(3) คือ 3 (สามหน่วยหรือสามขั้นตอน)

โมดูลของตัวเลขจะแสดงด้วยเส้นแนวตั้งสองเส้น ตัวอย่างเช่น:

โมดูลัสของหมายเลข 3 แสดงดังนี้: |3|

โมดูลัสของหมายเลข 4 แสดงดังนี้: |4|

โมดูลัสของหมายเลข 5 แสดงดังนี้: |5|

เรามองหาโมดูลัสของเลข 3 และพบว่ามันเท่ากับ 3 ดังนั้นเราจึงเขียนมันลงไป:

|3| = 3

อ่านเหมือน. “โมดูลัสของเลขสามคือสาม”

ทีนี้ลองหาโมดูลัสของเลข −3 กัน เรากลับไปสู่คำจำกัดความอีกครั้งและแทนที่ตัวเลข −3 เข้าไป แทนที่จะเป็นจุดเท่านั้น กใช้จุดใหม่ บี- หยุดเต็ม กเราใช้ไปแล้วในตัวอย่างแรก

โมดูลัสของตัวเลข −3 คือระยะห่างจากจุดกำเนิดถึงจุด บี(−3 ).

ระยะห่างจากจุดหนึ่งไปยังอีกจุดหนึ่งไม่สามารถเป็นลบได้ โมดูลัสก็เป็นระยะทางเช่นกัน ดังนั้นจึงไม่สามารถเป็นลบได้เช่นกัน

โมดูลัสของตัวเลข −3 คือ 3 ระยะทางจากจุดกำเนิดไปยังจุด บี(−3) เท่ากับสามหน่วย:

|−3| = 3

อ่านเหมือน. “โมดูลัสของจำนวนลบสามคือสาม”

โมดูลัสของตัวเลข 0 เท่ากับ 0 เนื่องจากจุดที่มีพิกัด 0 เกิดขึ้นพร้อมกับจุดกำเนิด นั่นคือระยะทางจากจุดกำเนิดถึงจุด โอ(0) เท่ากับศูนย์:

|0| = 0

"โมดูลัสของศูนย์คือศูนย์"

เรามาสรุปกัน:

• โมดูลัสของตัวเลขไม่สามารถเป็นลบได้
• สำหรับจำนวนบวกและศูนย์ โมดูลัสจะเท่ากับตัวเลขนั้นเอง และสำหรับจำนวนลบจะเป็นจำนวนตรงกันข้าม
• จำนวนตรงข้ามมีโมดูลเท่ากัน

ตัวเลขตรงข้าม

เรียกว่าตัวเลขที่แตกต่างกันเพียงเครื่องหมาย ตรงข้าม.

ตัวอย่างเช่น ตัวเลข −2 และ 2 อยู่ตรงข้ามกัน ต่างกันแค่สัญญาณเท่านั้น ตัวเลข −2 มีเครื่องหมายลบ และตัวเลข 2 มีเครื่องหมายบวก แต่เราไม่เห็น เนื่องจากไม่ได้เขียนเครื่องหมายบวกดังที่กล่าวไว้ข้างต้น

ตัวอย่างเพิ่มเติมของจำนวนตรงข้าม:

−1 และ 1

−3 และ 3

−5 และ 5

−9 และ 9

จำนวนตรงข้ามมีโมดูลเท่ากัน ตัวอย่างเช่น ลองหาโมดูลัสของตัวเลข −3 และ 3

|−3| และ |3|

3 = 3

จากรูปแสดงว่าระยะทางจากจุดกำเนิดถึงจุดต่างๆ ก(−3) และ บี(3) เท่ากับสองขั้นเท่ากัน

คุณชอบบทเรียนหรือไม่?
เข้าร่วมกับเรา กลุ่มใหม่ VKontakte และเริ่มรับการแจ้งเตือนเกี่ยวกับบทเรียนใหม่

หนึ่งในหัวข้อที่ยากที่สุดสำหรับนักเรียนคือการแก้สมการที่มีตัวแปรอยู่ใต้เครื่องหมายโมดูลัส ก่อนอื่นเรามาดูกันว่าสิ่งนี้เชื่อมโยงกับอะไร? ตัวอย่างเช่น เหตุใดเด็กส่วนใหญ่จึงถอดรหัสสมการกำลังสองอย่างถั่ว แต่กลับมีปัญหามากมายกับแนวคิดที่ห่างไกลจากแนวคิดที่ซับซ้อนในฐานะโมดูล

ในความคิดของฉัน ปัญหาทั้งหมดเหล่านี้เกี่ยวข้องกับการขาดกฎที่กำหนดไว้อย่างชัดเจนในการแก้สมการด้วยโมดูลัส ดังนั้นการตัดสินใจ สมการกำลังสองนักเรียนรู้แน่ว่าเขาต้องใช้สูตรแยกแยะก่อน จากนั้นจึงใช้สูตรสำหรับรากของสมการกำลังสอง จะทำอย่างไรถ้าพบโมดูลัสในสมการ? เราจะพยายามอธิบายให้ชัดเจน แผนที่จำเป็นการดำเนินการในกรณีที่สมการมีค่าไม่ทราบอยู่ใต้เครื่องหมายโมดูลัส เราจะยกตัวอย่างหลายกรณีสำหรับแต่ละกรณี

แต่ก่อนอื่นเรามาจำไว้ คำจำกัดความของโมดูล- ดังนั้นโมดูโล่ตัวเลข กหมายเลขนี้เองเรียกว่าถ้า กไม่เป็นลบและ -กถ้าเป็นตัวเลข กน้อยกว่าศูนย์ คุณสามารถเขียนได้ดังนี้:

|a| = a ถ้า ≥ 0 และ |a| = -a ถ้าก< 0

พูดถึง ทางเรขาคณิตโมดูล ควรจำไว้ว่าจำนวนจริงแต่ละตัวสอดคล้องกับจุดใดจุดหนึ่งบนแกนตัวเลข - ถึง ประสานงาน ดังนั้น โมดูลหรือค่าสัมบูรณ์ของตัวเลขคือระยะห่างจากจุดนี้ถึงจุดกำเนิดของแกนตัวเลข ระยะทางจะถูกระบุเป็นจำนวนบวกเสมอ ดังนั้น โมดูลัสของจำนวนลบใดๆ จึงเป็นจำนวนบวก อย่างไรก็ตาม แม้ในขั้นตอนนี้ นักเรียนหลายคนก็เริ่มสับสน โมดูลสามารถมีตัวเลขใดก็ได้ แต่ผลลัพธ์ของการใช้โมดูลจะเป็นจำนวนบวกเสมอ

ตอนนี้เรามาดูการแก้สมการกันโดยตรง

1. พิจารณาสมการที่อยู่ในรูปแบบ |x| = c โดยที่ c เป็นจำนวนจริง สมการนี้สามารถแก้ไขได้โดยใช้นิยามโมดูลัส

เราแบ่งจำนวนจริงทั้งหมดออกเป็นสามกลุ่ม: จำนวนที่มากกว่าศูนย์, จำนวนที่น้อยกว่าศูนย์ และกลุ่มที่สามคือเลข 0 เราเขียนคำตอบในรูปของแผนภาพ:

(±c ถ้า c > 0

ถ้า |x| = c แล้ว x = (0 ถ้า c = 0

(ไม่มีรากถ้ามี< 0

1) |x| = 5 เพราะว่า 5 > 0 จากนั้น x = ±5;

2) |x| = -5 เพราะว่า -5< 0, то уравнение не имеет корней;

3) |x| = 0 จากนั้น x = 0

2. สมการของแบบฟอร์ม |f(x)| = b โดยที่ b > 0 ในการแก้สมการนี้ จำเป็นต้องกำจัดโมดูลออก เราทำอย่างนี้: f(x) = b หรือ f(x) = -b ตอนนี้คุณต้องแก้สมการผลลัพธ์แต่ละสมการแยกกัน ถ้าอยู่ในสมการเดิม b< 0, решений не будет.

1) |x + 2| = 4 เพราะว่า 4 > 0 แล้ว

x + 2 = 4 หรือ x + 2 = -4

2) |x 2 – 5| = 11 เพราะว่า 11 > 0 แล้ว

x 2 – 5 = 11 หรือ x 2 – 5 = -11

x 2 = 16 x 2 = -6

x = ± 4 ไม่มีราก

3) |x 2 – 5x| = -8 เพราะว่า -8< 0, то уравнение не имеет корней.

3. สมการที่อยู่ในรูปแบบ |f(x)| = ก(x) ตามความหมายของโมดูล สมการดังกล่าวจะมีคำตอบหากทางด้านขวามือมากกว่าหรือเท่ากับศูนย์ เช่น g(x) ≥ 0 จากนั้นเราจะได้:

ฉ(x) = ก(x)หรือ ฉ(x) = -ก(x).

1) |2x – 1| = 5x – 10 สมการนี้จะมีรากถ้า 5x – 10 ≥ 0 นี่คือจุดเริ่มต้นของการแก้สมการดังกล่าว

1. โอ.ดี.ซี. 5x – 10 ≥ 0

2. วิธีแก้ไข:

2x – 1 = 5x – 10 หรือ 2x – 1 = -(5x – 10)

3. เรารวม O.D.Z. และวิธีแก้ปัญหาเราได้รับ:

ราก x = 11/7 ไม่ตรงกับ O.D.Z. ซึ่งน้อยกว่า 2 แต่ x = 3 เป็นไปตามเงื่อนไขนี้

คำตอบ: x = 3

2) |x – 1| = 1 – x 2 .

1. โอ.ดี.ซี. 1 – x 2 ≥ 0 ลองแก้อสมการนี้โดยใช้วิธีช่วงเวลา:

(1 – x)(1 + x) ≥ 0

2. วิธีแก้ไข:

x – 1 = 1 – x 2 หรือ x – 1 = -(1 – x 2)

x 2 + x – 2 = 0 x 2 – x = 0

x = -2 หรือ x = 1 x = 0 หรือ x = 1

3. เรารวมโซลูชันและ O.D.Z.:

เฉพาะราก x = 1 และ x = 0 เท่านั้นที่เหมาะสม

คำตอบ: x = 0, x = 1

4. สมการของแบบฟอร์ม |f(x)| = |ก.(x)|. สมการดังกล่าวเทียบเท่ากับสมการสองสมการต่อไปนี้ f(x) = g(x) หรือ f(x) = -g(x)

1) |x 2 – 5x + 7| = |2x – 5|. สมการนี้เทียบเท่ากับสองสมการต่อไปนี้:

x 2 – 5x + 7 = 2x – 5 หรือ x 2 – 5x +7 = -2x + 5

x 2 – 7x + 12 = 0 x 2 – 3x + 2 = 0

x = 3 หรือ x = 4 x = 2 หรือ x = 1

คำตอบ: x = 1, x = 2, x = 3, x = 4

5. สมการแก้ได้โดยวิธีการทดแทน (การแทนที่ตัวแปร) วิธีการแก้ปัญหานี้อธิบายได้ง่ายที่สุดโดยใช้ตัวอย่างเฉพาะเจาะจง ดังนั้น ให้เราได้รับสมการกำลังสองพร้อมโมดูลัส:

x 2 – 6|x| + 5 = 0 โดยคุณสมบัติโมดูลัส x 2 = |x| 2 ดังนั้นจึงสามารถเขียนสมการใหม่ได้ดังนี้:

|x| 2 – 6|x| + 5 = 0 มาแทนที่ |x| กันดีกว่า = t ≥ 0 จากนั้นเราจะได้:

เสื้อ 2 – 6t + 5 = 0 กำลังแก้ สมการที่กำหนดเราจะได้ว่า t = 1 หรือ t = 5 ลองกลับไปที่การแทนที่กัน:

|x| = 1 หรือ |x| = 5

x = ±1 x = ±5

คำตอบ: x = -5, x = -1, x = 1, x = 5

ลองดูตัวอย่างอื่น:

x 2 + |x| – 2 = 0 โดยคุณสมบัติโมดูลัส x 2 = |x| 2 ดังนั้น

|x| 2 + |x| – 2 = 0 มาแทนที่ |x| กันดีกว่า = เสื้อ ≥ 0 ดังนั้น:

t 2 + t – 2 = 0 เมื่อแก้สมการนี้ เราจะได้ t = -2 หรือ t = 1 กลับไปที่การแทนที่กัน:

|x| = -2 หรือ |x| = 1

ไม่มีราก x = ± 1

คำตอบ: x = -1, x = 1

6. สมการอีกประเภทหนึ่งคือสมการที่มีโมดูลัส "เชิงซ้อน" สมการดังกล่าวรวมถึงสมการที่มี "โมดูลภายในโมดูล" สมการประเภทนี้สามารถแก้ไขได้โดยใช้คุณสมบัติของโมดูล

1) |3 – |x|| = 4 เราจะดำเนินการในลักษณะเดียวกับในสมการประเภทที่สอง เพราะ 4 > 0 เราจะได้สมการสองสมการ:

3 – |x| = 4 หรือ 3 – |x| = -4.

ตอนนี้ให้เราแสดงโมดูลัส x ในแต่ละสมการ จากนั้น |x| = -1 หรือ |x| = 7.

เราแก้สมการผลลัพธ์แต่ละสมการ ไม่มีรากในสมการแรก เพราะว่า -1< 0, а во втором x = ±7.

ตอบ x = -7, x = 7

2) |3 + |x + 1|| = 5 เราแก้สมการนี้ในลักษณะเดียวกัน:

3 + |x + 1| = 5 หรือ 3 + |x + 1| = -5

|x + 1| = 2 |x + 1| = -8

x + 1 = 2 หรือ x + 1 = -2 ไม่มีราก.

คำตอบ: x = -3, x = 1

นอกจากนี้ยังมีวิธีการสากลในการแก้สมการด้วยโมดูลัส นี่คือวิธีช่วงเวลา แต่เราจะดูมันในภายหลัง

เว็บไซต์ เมื่อคัดลอกเนื้อหาทั้งหมดหรือบางส่วน จำเป็นต้องมีลิงก์ไปยังแหล่งที่มาดั้งเดิม

ท่ามกลาง ตัวอย่างต่อโมดูลมักจะมีสมการที่คุณต้องค้นหา รากของโมดูลในโมดูลนั่นคือสมการของรูปแบบ
||a*x-b|-c|=k*x+m
ถ้า k=0 นั่นคือ ด้านขวาเท่ากับค่าคงที่ (m) การหาคำตอบจะง่ายกว่า สมการกับโมดูลแบบกราฟิกด้านล่างเป็นวิธีการ การเปิดโมดูลคู่โดยใช้ตัวอย่างทั่วไปในทางปฏิบัติ เข้าใจอัลกอริธึมการคำนวนสมการด้วยโมดูลต่างๆ ได้ดี จะได้ไม่มีปัญหาเรื่องข้อสอบ ข้อสอบ และเพิ่งรู้

ตัวอย่างที่ 1 แก้สมการโมดูโล |3|x|-5|=-2x-2
วิธีแก้ไข: เริ่มเปิดสมการจากโมดูลภายในเสมอ
|x|=0 <->x=0.
ณ จุด x=0 สมการที่มีโมดูลัสจะถูกหารด้วย 2
ที่เอ็กซ์< 0 подмодульная функция отрицательная, поэтому при раскрытии знак меняем на противоположный
|-3x-5|=-2x-2.
สำหรับ x>0 หรือเท่ากับ การขยายโมดูลที่เราได้รับ
|3x-5|=-2x-2
มาแก้สมการกันสำหรับตัวแปรลบ (x< 0) . Оно разлагается на две системы уравнений. Первое уравнение получаем из условия, что функция после знака равенства неотрицательна. Второе - раскрывая модуль в одной системе принимаем, что подмодульная функция положительная, в иной отрицательная - меняем знак правой или левой части (зависит от методики преподавания).

จากสมการแรกเราได้ว่าคำตอบไม่ควรเกิน (-1) เช่น

ข้อจำกัดนี้เป็นของขอบเขตที่เรากำลังแก้ไขทั้งหมด ลองย้ายตัวแปรและค่าคงที่ไปยังด้านตรงข้ามของความเท่าเทียมกันในระบบที่หนึ่งและสองกัน

และหาทางแก้ไข


ค่าทั้งสองอยู่ในช่วงเวลาที่กำลังพิจารณานั่นคือค่าเหล่านี้คือค่าราก
พิจารณาสมการที่มีโมดูลัสสำหรับตัวแปรบวก
|3x-5|=-2x-2.
การขยายโมดูลเราจะได้ระบบสมการสองระบบ

จากสมการแรกซึ่งเหมือนกันกับทั้งสองระบบ เราได้เงื่อนไขที่คุ้นเคย

ซึ่งเมื่อตัดกับเซตที่เรากำลังมองหาคำตอบ จะได้เซตว่าง (ไม่มีจุดตัดกัน) ดังนั้นรากเดียวของโมดูลที่มีโมดูลคือค่า
x=-3; x=-1.4.

ตัวอย่างที่ 2 แก้สมการด้วยโมดูลัส ||x-1|-2|=3x-4
วิธีแก้ไข: เริ่มต้นด้วยการเปิดโมดูลภายใน
|x-1|=0 <=>x=1.
ฟังก์ชั่น submodular จะเปลี่ยนเครื่องหมายที่จุดเดียว สำหรับค่าที่น้อยกว่าจะเป็นลบ ถ้าค่าที่มากกว่าจะเป็นค่าบวก ด้วยเหตุนี้ เมื่อขยายโมดูลภายใน เราจะได้สมการสองสมการพร้อมกับโมดูล
x |-(x-1)-2|=3x-4;
x>=1 -> |x-1-2|=3x-4
อย่าลืมตรวจสอบทางด้านขวาของสมการโมดูลัส โดยจะต้องมากกว่าศูนย์
3x-4>=0 -> x>=4/3
ซึ่งหมายความว่าไม่จำเป็นต้องแก้สมการตัวแรก เนื่องจากสมการนี้เขียนไว้สำหรับ x< 1, что не соответствует найденному условию. Раскроем модуль во втором уравнении
|x-3|=3x-4 ->
x-3=3x-4หรือ x-3=4-3x;
4-3=3x-x หรือ x+3x=4+3;
2x=1 หรือ 4x=7;
x=1/2 หรือ x=7/4
เราได้รับสองค่า โดยค่าแรกถูกปฏิเสธเนื่องจากไม่อยู่ในช่วงที่กำหนด สุดท้าย สมการนี้มีคำตอบเดียว x=7/4

ตัวอย่างที่ 3 แก้สมการด้วยโมดูลัส ||2x-5|-1|=x+3
วิธีแก้ไข: มาเปิดโมดูลภายในกันดีกว่า
|2x-5|=0 <=>x=5/2=2.5
จุด x=2.5 แยก แกนจำนวนเป็นเวลาสองช่วง ตามลำดับ ฟังก์ชันย่อยเปลี่ยนเครื่องหมายเมื่อผ่าน 2.5 ให้เราเขียนเงื่อนไขสำหรับการแก้ปัญหาด้วยด้านขวา
สมการกับโมดูลัส x+3>=0.
-> x>=-3 ดังนั้นผลเฉลยสามารถมีค่าได้ไม่ต่ำกว่า (-3) . มาขยายโมดูลสำหรับค่าลบ
โมดูลในร่ม
|-(2x-5)-1|=x+3;
|-2x+4|=x+3
โมดูลนี้จะให้ 2 สมการเมื่อขยาย
-2x+4=x+3 หรือ 2x-4=x+3;
2x+x=4-3 หรือ 2x-x=3+4;
3x=1; x=1/3 หรือ x=7 .
เราปฏิเสธค่า x=7 เนื่องจากเรากำลังมองหาวิธีแก้ไขในช่วง [-3;2.5]
ตอนนี้เราเปิดโมดูลภายในสำหรับ x>2.5 เราได้สมการจากหนึ่งโมดูล
|2x-5-1|=x+3; |2x-6|=x+3
เมื่อขยายโมดูลเราจะได้สิ่งต่อไปนี้
สมการเชิงเส้น
-2x+6=x+3 หรือ 2x-6=x+3;
2x+x=6-3 หรือ 2x-x=3+6;
3x=3; x=1 หรือ x=9 .

ค่าแรก x=1 ไม่ตรงตามเงื่อนไข x>2.5 ดังนั้นในช่วงเวลานี้ เรามีหนึ่งรากของสมการที่มีโมดูลัส x=9 และมีทั้งหมดสองราก (x=1/3) คุณสามารถตรวจสอบความถูกต้องของการคำนวณได้โดยการทดแทน
คำตอบ: x=1/3; x=9.
ตัวอย่างที่ 4 <=>ค้นหาคำตอบของโมดูลคู่ ||3x-1|-5|=2x-3
วิธีแก้ปัญหา: มาขยายโมดูลภายในของสมการกัน |3x-1|=0 x=1/3.
จุด x=2.5 แบ่งเส้นจำนวนออกเป็นสองช่วง และ สมการที่กำหนด
สำหรับสองกรณี เราเขียนเงื่อนไขสำหรับการแก้ปัญหาตามรูปแบบของสมการทางด้านขวา 2x-3>=0-> x>=3/2=1.5.
,
ตามมาว่าเราสนใจค่า >=1.5 ดังนั้น
สมการโมดูลาร์
พิจารณาเป็นสองช่วง
|-(3x-1)-5|=2x-3;
|-3x-4|=2x-3
โมดูลผลลัพธ์เมื่อขยายจะแบ่งออกเป็น 2 สมการ
ค่าทั้งสองไม่ตกอยู่ในช่วงเวลา กล่าวคือ ไม่ใช่คำตอบของสมการด้วยโมดูลัส ต่อไป เราจะขยายโมดูลสำหรับ x>2.5 เราได้สมการต่อไปนี้
|3x-1-5|=2x-3;
|3x-6|=2x-3.
เมื่อขยายโมดูลเราจะได้สมการเชิงเส้น 2 อัน
3x-6=2x-3 หรือ –(3x-6)=2x-3;
3x-2x=-3+6หรือ 2x+3x=6+3;
x=3 หรือ 5x=9; x=9/5=1.8
ค่าที่สองที่พบไม่ตรงกับเงื่อนไข x>2.5 เราปฏิเสธ
ในที่สุดเราก็มีหนึ่งรากของสมการที่มีโมดูล x=3
กำลังดำเนินการตรวจสอบ
||3*3-1|-5|=2*3-3 3=3 .
คำนวณรากของสมการพร้อมโมดูลัสได้อย่างถูกต้อง
3x=3; x=1 หรือ x=9 .