Bočna površina formule stožca. Območje stranske in polne površine stožca

Tela revolucije, ki so jih preučevali v šoli, so valj, stožec in krogla.

Če morate pri nalogi USE pri matematiki izračunati prostornino stožca ali površino krogle, menite, da ste srečni.

Uporabite formule za prostornino in površino valja, stožca in krogle. Vsi so v naši mizi. Učijo na pamet. Tu se začne poznavanje stereometrije.

Včasih je dobro narisati pogled od zgoraj. Ali, kot v tem problemu, od spodaj.

2. Kolikokrat je obseg stožca opisan blizu pravilne štirikotna piramida, večja od prostornine stožca, vpisanega v to piramido?

Vse je preprosto - narišemo pogled od spodaj. Vidimo, da je polmer večjega kroga nekajkrat večji od polmera manjšega. Višini obeh stožcev sta enaki. Zato bo prostornina večjega stožca dvakrat večja.

Še en pomembna točka. Ne pozabite, da v nalogah dela B UPORABA možnosti pri matematiki je odgovor zapisan kot celo število ali končno decimalni ulomek. Zato ne bi smeli imeti nobenega ali v svojem odgovoru v delu B. Zamenjava približne vrednosti števila tudi ni potrebna! Treba ga je zmanjšati! Za to je v nekaterih nalogah naloga formulirana, na primer, takole: "Poišči površino stranske površine valja, deljeno s".

In kje se še uporabljajo formule za prostornino in površino vrtilnih teles? Seveda v problemu C2 (16). O tem vam bomo tudi povedali.

Vemo, kaj je stožec, poskusimo najti njegovo površino. Zakaj je treba tak problem rešiti? Na primer, morate razumeti, koliko testa bo šlo za izdelavo vafeljskega stožca? Ali koliko opek bi bilo potrebno za polaganje opečne strehe gradu?

Izmeriti stransko površino stožca ni enostavno. Toda predstavljajte si isti rog, zavit v krpo. Če želite najti območje kosa tkanine, ga morate razrezati in razporediti po mizi. Dobimo ravno figuro, lahko najdemo njeno območje.

riž. 1. Presek stožca vzdolž generatrike

Enako storimo s stožcem. Njeno stransko površino na primer "prerežemo" vzdolž katere koli generatrike (glej sliko 1).

Zdaj "odvijemo" stransko površino na ravnino. Dobimo sektor. Središče tega sektorja je vrh stožca, polmer sektorja je enak generatrisi stožca, dolžina njegovega loka pa sovpada z obodom osnove stožca. Takšen sektor se imenuje razvoj stranske površine stožca (glej sliko 2).

riž. 2. Razvoj stranske površine

riž. 3. Merjenje kota v radianih

Poskusimo najti območje sektorja glede na razpoložljive podatke. Najprej uvedemo zapis: naj bo kot na vrhu sektorja v radianih (glej sliko 3).

Pri nalogah se pogosto srečujemo s kotom na vrhu zamaha. Medtem pa poskusimo odgovoriti na vprašanje: ali se ta kot ne more izkazati za več kot 360 stopinj? Se pravi, ali se ne bo izkazalo, da se bo pometanje nadgradilo? Seveda ne. Dokažimo matematično. Naj se pomet »prekriva« sam. To pomeni, da je dolžina loka pomika večja od oboda polmera. Toda, kot je bilo že omenjeno, je dolžina loka pometanja obseg polmera. In polmer osnove stožca je seveda manjši od generatrike, na primer, ker je krak pravokotnega trikotnika manjši od hipotenuze

Nato se spomnimo dveh formul iz tečaja planimetrije: dolžina loka. Območje sektorja: .

V našem primeru ima vlogo generatriksa , in dolžina loka je enaka obodu osnove stožca, tj. Imamo:

Končno dobimo:

Skupaj s stransko površino je mogoče najti tudi skupno površino. Če želite to narediti, dodajte osnovno površino stranski površini. Toda osnova je krog polmera , katerega površina je po formuli .

Končno imamo: , kjer je polmer osnove cilindra, je generatrika.

Rešimo nekaj problemov na danih formulah.

riž. 4. Želeni kot

Primer 1. Razvoj stranske površine stožca je sektor s kotom na vrhu. Poiščite ta kot, če je višina stožca 4 cm in polmer osnove 3 cm (glej sliko 4).

riž. pet. Pravokotni trikotnik tvorijo stožec

S prvim dejanjem po Pitagorejevem izreku najdemo generatriko: 5 cm (glej sliko 5). Nadalje, to vemo .

Primer 2. Površina aksialnega prereza stožca je , višina je . Poiščite skupno površino (glej sliko 6).

Površina stožca (ali preprosto površina stožca) je enaka vsoti površin osnove in stranske površine.

Površina stranske površine stožca se izračuna po formuli: S = πR l, kjer je R polmer osnove stožca in l- generatrika stožca.

Ker je površina osnove stožca πR 2 (kot površina kroga), bo površina celotne površine stožca enaka: πR 2 + πR l= πR (R + l).

Pridobitev formule za površino stranske površine stožca je mogoče razložiti s takšnim sklepanjem. Naj risba pokaže razvoj stranske površine stožca. Lok AB razdelimo na možne več enake dele in vse delilne točke povežite s središčem loka, sosednje pa med seboj s tetivami.

Dobimo serijo enakih trikotnikov. Površina vsakega trikotnika je Ah / 2, kje ampak- dolžina osnove trikotnika, a h- njegova visoka.

Vsota površin vseh trikotnikov je: Ah / 2 n = anh / 2, kje n je število trikotnikov.

Pri velike številke delitev, se vsota površin trikotnikov zelo približa območju razvoja, to je površini stranske površine stožca. Vsota osnov trikotnikov, t.j. an, postane zelo blizu dolžini loka AB, to je obodu osnove stožca. Višina vsakega trikotnika postane zelo blizu polmeru loka, to je generatrisi stožca.

Če zanemarimo majhne razlike v velikostih teh količin, dobimo formulo za površino stranske površine stožca (S):

S=C l / 2, kjer je C obseg osnove stožca, l- generatrika stožca.

Če vemo, da je C \u003d 2πR, kjer je R polmer kroga osnove stožca, dobimo: S \u003d πR l.

Opomba. V formuli S = C l / 2 je podan znak točne in ne približne enakosti, čeprav bi lahko na podlagi zgornjega sklepanja to enakost šteli za približno. Ampak v srednji šoli Srednja šola dokazano je, da je enakost

S=C l / 2 je natančen, ne približen.

Izrek. Bočna površina stožca je enaka zmnožku oboda osnove in polovice generatrike.

Nekaj ​​vpišemo v stožec (sl.). pravilna piramida in označimo s črkami R in lštevila, ki izražajo dolžine oboda osnove in apotema te piramide.

Potem stranska površina izraženo bo z izdelkom 1/2 R l .

Predpostavimo zdaj, da število stranic mnogokotnika, vpisanega v osnovo, narašča v nedogled. Nato obod R bo težil k meji, vzeti kot dolžina C oboda osnove in apotema l bo imela za mejo konusni generator (ker ΔSAK pomeni, da je SA - SK
1 / 2 R l, bo težil k meji 1/2 C L. Ta meja se vzame kot vrednost stranske površine stožca. Če označujemo stransko površino stožca s črko S, lahko zapišemo:

S = 1/2 C L = C 1/2 l

Posledice.
1) Ker C \u003d 2 π R, potem je stranska površina stožca izražena s formulo:

S=1/2 2π R L= π RL

2) Celotno površino stožca dobimo, če k osnovni površini dodamo stransko površino; torej, če celotno površino označimo s T, bomo imeli:

T= π RL+ π R2= π R(L+R)

Izrek. Bočna površina okrnjenega stožca je enaka zmnožku polovice vsote obodov osnov in generatrike.

V prisekani stožec (sl.) vpišemo nekaj pravilnega okrnjena piramida in označimo s črkami r, r 1 in lštevila, ki v enakih linearnih enotah izražajo dolžine obodov spodnje in zgornje osnove ter apotema te piramide.

Potem je stranska površina vpisane piramide 1/2 ( p + p 1) l

Z neomejenim povečanjem števila stranskih ploskev vpisane piramide se obodi R in R 1 težijo k mejam, vzetim kot dolžini C in C 1 krogov osnov, in apotema l ima za mejo generatriko L ​​okrnjenega stožca. Posledično se vrednost stranske površine vpisane piramide nagiba k meji, ki je enaka (С + С 1) L. Ta meja se vzame kot vrednost stranske površine okrnjenega stožca. Če označimo stransko površino prisekanega stožca s črko S, bomo imeli:

S \u003d 1 / 2 (C + C 1) L

Posledice.
1) Če R in R 1 pomenita polmera krogov spodnje in zgornje osnove, bo stranska površina prisekanega stožca:

S = 1/2 (2 π R+2 π R 1) L = π (R+R1)L.

2) Če v trapezu OO 1 A 1 A (sl.), iz katerega vrtenja dobimo okrnjen stožec, narišemo srednja črta pr, dobimo:

BC \u003d 1 / 2 (OA + O 1 A 1) \u003d 1 / 2 (R + R 1),

R + R 1 = 2BC.

posledično

S=2 π BC L,

tj. stranska površina okrnjenega stožca je enaka zmnožku oboda povprečnega preseka in generatrike.

3) Celotna površina T okrnjenega stožca je izražena na naslednji način:

T= π (R 2 + R 1 2 + RL + R 1 L)

Tukaj so težave s stožci, stanje je povezano z njegovo površino. Zlasti pri nekaterih težavah se postavlja vprašanje o spreminjanju območja s povečanjem (zmanjšanjem) višine stožca ali polmera njegove osnove. Teorija za reševanje problemov v . Razmislite o naslednjih nalogah:

27135. Obseg osnove stožca je 3, generatrika je 2. Poiščite površino stranske površine stožca.

Površina stranske površine stožca je:

Priključitev podatkov:

75697. Kolikokrat se bo povečala površina stranske površine stožca, če se njegova tvornica poveča za 36-krat, polmer osnove pa ostane enak?

Površina stranske površine stožca:

Generator se poveča za 36-krat. Polmer ostane enak, kar pomeni, da se obseg osnove ni spremenil.

Torej bo površina stranske površine spremenjenega stožca videti tako:

Tako se bo povečala za 36-krat.

*Odvisnost je enostavna, zato je ta problem enostavno rešiti ustno.

27137. Kolikokrat se bo zmanjšala površina stranske površine stožca, če se polmer njegove osnove zmanjša za 1,5-krat?

Površina stranske površine stožca je:

Polmer se zmanjša za 1,5-krat, to je:

Ugotovljeno je bilo, da se je stranska površina zmanjšala za 1,5-krat.

27159. Višina stožca je 6, generatrika je 10. Poiščite površino njegove celotne površine, deljeno s pi.

Celotna površina stožca:

Poiščite polmer:

Višina in generatrika sta znani, po Pitagorovem izreku izračunamo polmer:

V to smer:

Rezultat razdelite s Pi in zapišite odgovor.

76299. Skupna površina stožca je 108. Odsek je narisan vzporedno z osnovo stožca, ki deli višino na polovico. Poiščite skupno površino okrnjenega stožca.

Odsek poteka skozi sredino višine vzporedno z osnovo. To pomeni, da bo polmer osnove in generatrike okrnjenega stožca 2-krat manjši od polmera in generatrike prvotnega stožca. Zapišimo, koliko je enaka površina odrezanega stožca:

Spravil jo je 4-krat manjša površina površina izvirnika, to je 108:4 = 27.

* Ker sta izvirni in odrezani stožec podobna telesa, je bilo mogoče uporabiti tudi lastnost podobnosti:

27167. Polmer osnove stožca je 3, višina 4. Poiščite skupno površino stožca, deljeno s pi.

Formula za celotno površino stožca je:

Polmer je znan, treba je najti generatriko.

Po pitagorejskem izreku:

V to smer:

Rezultat razdelite s Pi in zapišite odgovor.

Naloga. Površina stranske površine stožca je štirikrat večja od površine osnove. Poiščite kosinus kota med generatriko stožca in ravnino osnove.

Površina osnove stožca je:

To pomeni, da bo kosinus enak:

Odgovor: 0,25

Odločite se sami:

27136. Kolikokrat se bo povečala površina stranske površine stožca, če se njegova tvornica poveča za 3-krat?

27160. Površina stranske površine stožca je dvakrat večja od površine osnove. Poiščite kot med generatriko stožca in ravnino osnove. Odgovor navedite v stopinjah. .

27161. Skupna površina stožca je 12. Odsek je narisan vzporedno z osnovo stožca, ki deli višino na polovico. Poiščite skupno površino okrnjenega stožca.

To je vse. Srečno!

S spoštovanjem, Alexander.

* Delite informacije o spletnem mestu s prijatelji prek družbenih omrežij.