Semne ale funcțiilor trigonometrice după tabelul de sferturi. Cercul trigonometric. Semnificațiile de bază ale funcțiilor trigonometrice

Acasă Tip de lecție:

sistematizarea cunoștințelor și controlul intermediar. Echipament:

cerc trigonometric, teste, carduri de sarcini. Obiectivele lecției:

sistematizați materialul teoretic studiat după definițiile sinusului, cosinusului, tangentei unui unghi; se verifică gradul de însuşire a cunoştinţelor pe această temă şi aplicarea în practică.

• Sarcini:
• Generalizează și consolidează conceptele de sinus, cosinus și tangentă a unghiului.
• Formați o înțelegere cuprinzătoare a funcțiilor trigonometrice.

Să contribuie la dezvoltarea la elevi a dorinței și nevoii de a studia materialul trigonometric; cultivați o cultură a comunicării, capacitatea de a lucra în grup și nevoia de autoeducare.
„Cine face și gândește pentru sine de la o vârstă fragedă,

Apoi devine mai fiabil, mai puternic, mai inteligent.

(V. Shukshin)

PROGRESUL LECȚIEI

I. Moment organizatoric
Clasa este reprezentată de trei grupe. Fiecare grup are un consultant.

Profesorul anunță tema, scopurile și obiectivele lecției.

II. Actualizarea cunoștințelor (lucrare frontală cu clasa)

1) Lucrați în grupuri la sarcini:

1. Formulați definiția unghiului sin.
– Ce semne are sin α în fiecare cadran de coordonate?

– La ce valori are sens expresia sin α și ce valori poate lua?

2. Al doilea grup este aceleași întrebări pentru cos α.

3. Al treilea grup pregătește răspunsuri la aceleași întrebări tg α și ctg α.

În acest moment, trei elevi lucrează independent la tablă folosind cartonașe (reprezentanți ai diferitelor grupuri).

Cardul nr. 1.
Lucrări practice.

Folosind cercul unitar, calculați valorile sin α, cos α și tan α pentru unghiurile de 50, 210 și – 210.

Cardul nr. 2.

Determinați semnul expresiei: tg 275; cos 370; sin 790; tg 4.1 și sin 2.

Cardul numărul 3.
1) Calculați:

2) Comparați: cos 60 și cos 2 30 – sin 2 30

2) oral:
a) Se propune o serie de numere: 1; 1,2; 3; , 0, , – 1. Printre acestea se numără și redundante. Ce proprietate poate sin α sau cos α să exprime aceste numere (Poate sin α sau cos α să ia aceste valori).
b) Are sens expresia: cos (–); păcatul 2; tg 3: ctg (– 5); ; ctg0;
cotg(–π). De ce? c) Există un cel mai mic și cea mai mare valoare
sin sau cos, tg, ctg.
d) Este adevărat?
1) α = 1000 este unghiul celui de-al doilea sfert;
2) α = – 330 este unghiul sfertului IV.

e) Numerele corespund aceluiaşi punct de pe cercul unitar.

3) Lucru la bord
Nr. 583 (1-3) Determinați semnul expresiei

Teme pentru acasă: tabel în caiet. Nr. 567(1, 3) Nr. 578

III. Dobândirea de cunoștințe suplimentare. Trigonometrie în palmă

Profesor: Se pare că valorile sinusurilor și cosinusurilor unghiurilor sunt „situate” în palma mâinii tale. Întindeți mâna (orice mână) și desfășurați degetele cât mai departe posibil (ca în poster). Un student este invitat. Măsurăm unghiurile dintre degete.
Luați un triunghi unde există un unghi de 30, 45 și 60 90 și aplicați vârful unghiului pe dealul Lunii din palma mâinii. Muntele Lunii este situat la intersecția prelungirilor degetului mic și degetul mare. Combinăm o parte cu degetul mic, iar cealaltă parte cu unul dintre celelalte degete.
Se dovedește că există un unghi de 90 între degetul mic și degetul mare, 30 între degetul mic și inelar, 45 între degetul mic și cel mijlociu și 60 între degetul mic și arătător și acest lucru este valabil pentru toți oamenii fara exceptie.

degetul mic nr. 0 – corespunde cu 0,
nenumit nr. 1 – corespunde cu 30,
medie nr. 2 – corespunde cu 45,
numărul de index 3 – corespunde cu 60,
mare nr. 4 – corespunde cu 90.

Astfel, avem 4 degete pe mână și ne amintim formula:

Aceasta este doar o regulă mnemonică. În general, valoarea sin α sau cos α trebuie cunoscută pe de rost, dar uneori această regulă va ajuta în momentele dificile.
Vino cu o regulă pentru cos (unghiurile nu se schimbă, ci se numără de la degetul mare). O pauză fizică asociată cu semnele sin α sau cos α.

IV. Verificarea cunoștințelor și abilităților dvs

Lucru independent cu feedback

Fiecare elev primește un test (4 opțiuni) iar foaia de răspuns este aceeași pentru toată lumea.

Test

Opțiunea 1

1) La ce unghi de rotație va lua raza aceeași poziție ca la întoarcerea printr-un unghi de 50?
2) Aflați valoarea expresiei: 4cos 60 – 3sin 90.
3) Care număr este mai mic decât zero: sin 140, cos 140, sin 50, tg 50.

Opțiunea 2

1) La ce unghi de rotație va lua raza aceeași poziție ca și la întoarcerea cu un unghi de 10.
2) Aflați valoarea expresiei: 4cos 90 – 6sin 30.
3) Care număr este mai mare decât zero: sin 340, cos 340, sin 240, tg (– 240).

Opțiunea 3

1) Aflați valoarea expresiei: 2ctg 45 – 3cos 90.
2) Care număr este mai mic decât zero: sin 40, cos (– 10), tan 210, sin 140.
3) Care sfert de unghi este unghiul α, dacă sin α > 0, cos α< 0.

Opțiunea 4

1) Aflați valoarea expresiei: tg 60 – 6ctg 90.
2) Care număr este mai mic decât zero: sin(– 10), cos 140, tg 250, cos 250.
3) Care unghi cadran este unghiul α, dacă ctg α< 0, cos α> 0.

(cuvântul cheie este trigonometrie)

V. Informaţii din istoria trigonometriei

Profesor: Trigonometria este o ramură destul de importantă a matematicii pentru viața umană. Aspect modern trigonometria a fost introdusă de cel mai mare matematician al secolului al XVIII-lea, Leonhard Euler, un elvețian de naștere care a lucrat mulți ani în Rusia și a fost membru al Academiei de Științe din Sankt Petersburg. El a introdus celebrele definiții funcții trigonometrice formule bine cunoscute formulate și dovedite, le vom învăța mai târziu. Viața lui Euler este foarte interesantă și vă sfătuiesc să vă familiarizați cu ea prin cartea lui Yakovlev „Leonard Euler”.

(Mesaj de la băieți pe acest subiect)

VI. Rezumând lecția

Jocul „Tic Tac Toe”

Cei mai activi doi elevi participă.

Sunt sprijiniți de grupuri. Soluțiile la sarcini sunt notate într-un caiet.

Misiuni

1) Găsiți eroarea< О
a) sin 225 = – 1,1 c) sin 115

b) cos 1000 = 2 d) cos (– 115) > 0
2) Exprimați unghiul în grade
3) Exprimați unghiul 300 în radiani 4) Care este cea mai mare și cea mai mică valoare
poate avea expresia: 1+ sin α;
5) Determinați semnul expresiei: sin 260, cos 300.
6) În ce sfert de cerc numeric se află punctul?
7) Determinați semnele expresiei: cos 0,3π, sin 195, ctg 1, tg 390
8) Calculați:

9) Comparați: sin 2 și sin 350

Profesor: VII. Reflecția lecției
Unde putem întâlni trigonometria?

În ce lecții din clasa a IX-a, și chiar acum, folosiți conceptele de sin α, cos α; tg α; ctg α și în ce scop?

Date de referință pentru tangentă (tg x) și cotangentă (ctg x). Definiție geometrică, proprietăți, grafice, formule. Tabel de tangente și cotangente, derivate, integrale, expansiuni în serie. Expresii prin variabile complexe. Legătura cu funcțiile hiperbolice.

Definiție geometrică
|BD|

- lungimea arcului de cerc cu centrul în punctul A. α este unghiul exprimat în radiani.) Tangenta ( tan α este o funcție trigonometrică în funcție de unghiul α dintre ipotenuză și catet

triunghi dreptunghic , egal cu raportul dintre lungimea laturii opuse |BC|) la lungimea piciorului adiacent |AB| .

Cotangent (

ctg α este o funcție trigonometrică în funcție de unghiul α dintre ipotenuză și catetul unui triunghi dreptunghic, egal cu raportul dintre lungimea catetei adiacente |AB| la lungimea piciorului opus |BC| .

Tangentă
.
;
;
.

Unde

n

ctg α este o funcție trigonometrică în funcție de unghiul α dintre ipotenuză și catetul unui triunghi dreptunghic, egal cu raportul dintre lungimea catetei adiacente |AB| la lungimea piciorului opus |BC| .

- întreg.
.
În literatura occidentală, tangenta se notează după cum urmează:
;
;
.

Graficul funcției tangente, y = tan x

Cotangentă

În literatura occidentală, cotangenta este desemnată după cum urmează:

De asemenea, sunt acceptate următoarele notații: Graficul funcției cotangente, y = ctg x Proprietățile tangentei și cotangentei Periodicitate Funcțiile y =

tg x

și y =

Domenii de definire și valori, în creștere, în scădere

Funcțiile tangentă și cotangentă sunt continue în domeniul lor de definire (vezi dovada continuității). Principalele proprietăți ale tangentei și cotangentei sunt prezentate în tabel ( este o funcție trigonometrică în funcție de unghiul α dintre ipotenuză și catetul unui triunghi dreptunghic, egal cu raportul dintre lungimea catetei adiacente |AB|- întreg).

Formule

Expresii folosind sinus și cosinus

; ;
; ;
;

Formule pentru tangentă și cotangentă din sumă și diferență

Formulele rămase sunt ușor de obținut, de exemplu

Produsul tangentelor

Formula pentru suma și diferența tangentelor

Acest tabel prezintă valorile tangentelor și cotangentelor pentru anumite valori ale argumentului.

Expresii folosind numere complexe

Expresii prin funcții hiperbolice

;
;

Derivate

; .

.
Derivată de ordinul n-a față de variabila x a funcției:
.
Derivarea formulelor pentru tangentă > > > ; pentru cotangent >>>

Integrale

Extinderi de serie

Pentru a obține expansiunea tangentei în puterile lui x, trebuie să luați mai mulți termeni ai expansiunii într-o serie de puteri pentru funcții sin xŞi cos xși împărțiți aceste polinoame între ele, .

Aceasta produce următoarele formule.

La .
la . Unde Bn
;
;
- Numerele Bernoulli. Ele sunt determinate fie din relația de recurență:
Unde .

Sau conform formulei lui Laplace:

Funcții inverse

Funcțiile inverse ale tangentei și cotangentei sunt arctangente și, respectiv, arccotangente.

Arctangent, arctg este o funcție trigonometrică în funcție de unghiul α dintre ipotenuză și catetul unui triunghi dreptunghic, egal cu raportul dintre lungimea catetei adiacente |AB| la lungimea piciorului opus |BC| .

, Unde

Arctangent, arctg este o funcție trigonometrică în funcție de unghiul α dintre ipotenuză și catetul unui triunghi dreptunghic, egal cu raportul dintre lungimea catetei adiacente |AB| la lungimea piciorului opus |BC| .

Arccotangent, arcctg
Literatura folosita:
ÎN. Bronstein, K.A. Semendyaev, Manual de matematică pentru ingineri și studenți, „Lan”, 2009.

G. Korn, Manual de matematică pentru oameni de știință și ingineri, 2012.

Menținerea confidențialității dvs. este importantă pentru noi. Din acest motiv, am dezvoltat o Politică de confidențialitate care descrie modul în care folosim și stocăm informațiile dumneavoastră. Vă rugăm să examinați practicile noastre de confidențialitate și să ne comunicați dacă aveți întrebări.

Colectarea și utilizarea informațiilor personale

Informațiile personale se referă la date care pot fi folosite pentru a identifica sau contacta o anumită persoană.

Vi se poate cere să furnizați informațiile dumneavoastră personale în orice moment când ne contactați.

Mai jos sunt câteva exemple de tipuri de informații personale pe care le putem colecta și cum putem folosi aceste informații.

• Ce informații personale colectăm: e-mail etc.

Cum folosim informațiile dumneavoastră personale:

• Informațiile personale pe care le colectăm ne permit să vă contactăm cu oferte unice, promoții și alte evenimente și evenimente viitoare.
• Din când în când, putem folosi informațiile dumneavoastră personale pentru a trimite notificări și comunicări importante.
• De asemenea, putem folosi informații personale în scopuri interne, cum ar fi auditarea, analiza datelor și diverse studii pentru a îmbunătăți serviciile pe care le oferim și a vă oferi recomandări cu privire la serviciile noastre.
• Dacă participați la o tragere la sorți, la un concurs sau la o promoție similară, este posibil să folosim informațiile pe care le furnizați pentru a administra astfel de programe.

Dezvăluirea informațiilor către terți

Nu dezvăluim informațiile primite de la dumneavoastră către terți.

Excepții:

• Dacă este necesar - în conformitate cu legea, procedura judiciară, procedurile judiciare și/sau în baza cererilor sau solicitărilor publice din partea agentii guvernamentale pe teritoriul Federației Ruse - dezvăluie informațiile tale personale. De asemenea, putem dezvălui informații despre dumneavoastră dacă stabilim că o astfel de dezvăluire este necesară sau adecvată pentru securitate, aplicarea legii sau alte scopuri de importanță publică.
• În cazul unei reorganizări, fuziuni sau vânzări, este posibil să transferăm informațiile personale pe care le colectăm terței părți succesoare aplicabile.

Protecția informațiilor personale

Luăm măsuri de precauție - inclusiv administrative, tehnice și fizice - pentru a vă proteja informațiile personale împotriva pierderii, furtului și utilizării greșite, precum și împotriva accesului, dezvăluirii, modificării și distrugerii neautorizate.

Respectarea vieții private la nivelul companiei

Pentru a ne asigura că informațiile dumneavoastră personale sunt în siguranță, comunicăm angajaților noștri standarde de confidențialitate și securitate și aplicăm strict practicile de confidențialitate.

Numărarea unghiurilor pe un cerc trigonometric.

Atenţie!
Există suplimentare
materiale în secțiunea specială 555.
Pentru cei care sunt foarte „nu foarte...”
Și pentru cei care „foarte mult...”)

Este aproape la fel ca în lecția anterioară. Există axe, un cerc, un unghi, totul este în ordine. Sferturi adăugate (în colțurile pătratului mare) - de la primul la al patrulea. Dacă cineva nu știe? După cum puteți vedea, sferturi (se mai numesc și un cuvânt frumos„cadranele”) sunt numerotate în sens invers acelor de ceasornic. S-au adăugat valori ale unghiurilor pe axe. Totul este clar, fără probleme.

Și se adaugă o săgeată verde. Cu un plus. Ce înseamnă? Permiteți-mi să vă reamintesc că partea fixă ​​a unghiului Întotdeauna pironit pe semiaxa pozitivă OX. Deci, dacă rotim partea mobilă a unghiului de-a lungul săgeții cu un plus, adică în ordinea crescătoare a numerelor sferturi, unghiul va fi considerat pozitiv. Ca exemplu, imaginea arată un unghi pozitiv de +60°.

Dacă lăsăm deoparte colțurile în sens invers, în sensul acelor de ceasornic, unghiul va fi considerat negativ. Treceți cursorul peste imagine (sau atingeți imaginea de pe tabletă), veți vedea o săgeată albastră cu semnul minus. Aceasta este direcția citirii unghiului negativ. De exemplu, este afișat un unghi negativ (- 60°). Și veți vedea și cum s-au schimbat numerele de pe axe... Le-am convertit și în unghiuri negative. Numerotarea cadranelor nu se modifică.

Aici încep de obicei primele neînțelegeri. Cum așa!? Ce se întâmplă dacă un unghi negativ al unui cerc coincide cu unul pozitiv!? Și, în general, se dovedește că aceeași poziție a laturii în mișcare (sau punct pe cercul numeric) poate fi numită atât unghi negativ, cât și unghi pozitiv!?

Da. Asta e corect. Să presupunem că un unghi pozitiv de 90 de grade ia un cerc exact la fel poziționați ca unghi negativ de minus 270 de grade. Un unghi pozitiv, de exemplu, are +110° grade exact la fel poziție ca unghi negativ -250°.

Nicio întrebare. Orice este corect.) Alegerea calculului unghiului pozitiv sau negativ depinde de condițiile sarcinii. Dacă condiția nu spune nimic în text clar despre semnul unghiului, (cum ar fi „determinați cel mai mic pozitiv unghi”, etc.), atunci lucrăm cu valori care ne sunt convenabile.

Excepția (cum am putea trăi fără ele?!) sunt inegalitățile trigonometrice, dar acolo vom stăpâni acest truc.

Și acum o întrebare pentru tine. De unde am știut că poziția unghiului de 110° este aceeași cu poziția unghiului de -250°?
Permiteți-mi să sugerez că acest lucru este legat de o revoluție completă. La 360°... Nu este clar? Apoi desenăm un cerc. O desenăm singuri, pe hârtie. Marcarea colțului aproximativ 110°. ŞI credem noi, cât timp mai rămâne până la o revoluție completă. Doar 250° vor rămâne...

Am înţeles? Și acum - atenție! Dacă unghiurile de 110° și -250° ocupă un cerc acelasi lucru situație, atunci ce? Da, unghiurile sunt de 110° și -250° exact la fel sinus, cosinus, tangentă și cotangentă!
Aceste. sin110° = sin(-250°), ctg110° = ctg(-250°) și așa mai departe. Acum acest lucru este cu adevărat important! Și în sine, există o mulțime de sarcini în care trebuie să simplificați expresiile și ca bază pentru stăpânirea ulterioară a formulelor de reducere și a altor complexități ale trigonometriei.

Desigur, am luat 110° și -250° la întâmplare, doar ca exemplu. Toate aceste egalități funcționează pentru orice unghi care ocupă aceeași poziție pe cerc. 60° și -300°, -75° și 285° și așa mai departe. Permiteți-mi să notez imediat că unghiurile din aceste perechi sunt diferit. Dar au funcții trigonometrice - identic.

Cred că înțelegi ce sunt unghiurile negative. Este destul de simplu. În sens invers acelor de ceasornic - numărare pozitivă. Pe parcurs - negativ. Luați în considerare unghiul pozitiv sau negativ depinde de noi. Din dorinta noastra. Ei bine, și, de asemenea, din sarcină, desigur... Sper că înțelegi cum să treci în funcții trigonometrice de la unghiuri negative la cele pozitive și înapoi. Desenați un cerc, un unghi aproximativ și vedeți cât de mult lipsește pentru a finaliza o revoluție completă, de exemplu. până la 360°.

Unghiuri mai mari de 360°.

Să ne ocupăm de unghiuri mai mari de 360°. Există astfel de lucruri? Există, desigur. Cum să le desenezi pe un cerc? Nici o problemă! Să presupunem că trebuie să înțelegem în ce sfert va cădea un unghi de 1000°? Uşor! Facem o rotire completă în sens invers acelor de ceasornic (unghiul care ni s-a dat este pozitiv!). Am derulat înapoi 360°. Ei bine, hai să mergem mai departe! Încă o viraj - este deja 720°. Câte au mai rămas? 280°. Nu este suficient pentru o întoarcere completă... Dar unghiul este mai mare de 270 ° - și aceasta este granița dintre al treilea și al patrulea sfert. Prin urmare, unghiul nostru de 1000° intră în al patrulea trimestru. Toate.

După cum puteți vedea, este destul de simplu. Permiteți-mi să vă reamintesc încă o dată că unghiul de 1000° și unghiul de 280°, pe care le-am obținut prin eliminarea revoluțiilor complete „în plus”, sunt, strict vorbind, diferit colțuri. Dar funcțiile trigonometrice ale acestor unghiuri exact la fel! Aceste. sin1000° = sin280°, cos1000° = cos280° etc. Dacă aș fi sinus, nu aș observa diferența dintre aceste două unghiuri...

De ce este nevoie de toate acestea? De ce trebuie să convertim unghiurile de la unul la altul? Da, toate pentru același lucru.) Pentru a simplifica expresiile. Simplificarea expresiilor este, de fapt, sarcina principală a matematicii școlare. Ei bine, și, pe parcurs, capul este antrenat.)

Ei bine, hai să exersăm?)

Răspundem la întrebări. În primul rând cele simple.

1. În ce sfert se încadrează unghiul de -325°?

2. În ce sfert se încadrează unghiul de 3000°?

3. În ce sfert se încadrează unghiul -3000°?

Ceva probleme? Sau incertitudine? Mergeți la Secțiunea 555, Practica cercului trigonometric. Acolo, chiar în prima lecție a acestui " Lucrări practice..." toate în detaliu... În astfel deîntrebări de incertitudine să fie nu ar trebui!

4. Ce semn are sin555°?

5. Ce semn are tg555°?

Te-ai hotarat? Mare! Ai vreo îndoială? Trebuie să mergi la Secțiunea 555... Apropo, acolo vei învăța să desenezi tangente și cotangente pe un cerc trigonometric. Un lucru foarte util.

Și acum întrebările sunt mai sofisticate.

6. Reduceți expresia sin777° la sinusul celui mai mic unghi pozitiv.

7. Reduceți expresia cos777° la cosinusul celui mai mare unghi negativ.

8. Reduceți expresia cos(-777°) la cosinusul celui mai mic unghi pozitiv.

9. Reduceți expresia sin777° la sinusul celui mai mare unghi negativ.

Sunt întrebările 6-9 derutante? Obișnuiește-te, la Examenul Unificat de Stat nu găsești astfel de formulări... Așa să fie, o voi traduce. Doar pentru tine!

Cuvintele „aduce o expresie la...” înseamnă a transforma expresia astfel încât sensul ei nu s-a schimbat O aspect schimbat conform misiunii. Deci, în sarcinile 6 și 9 trebuie să obținem un sinus, în interiorul căruia există cel mai mic unghi pozitiv. Orice altceva nu contează.

Voi da răspunsurile în ordine (cu încălcarea regulilor noastre). Dar ce să faci, există doar două semne și sunt doar patru sferturi... Nu vei fi răsfățat de alegere.

6. sin57°.

7. cos(-57°).

8. cos57°.

9. -sin(-57°)

Presupun că răspunsurile la întrebările 6-9 i-au derutat pe unii. În special -sin(-57°), într-adevăr?) Într-adevăr, în regulile elementare pentru calcularea unghiurilor există loc pentru erori... De aceea a trebuit să fac o lecție: „Cum să determin semnele funcțiilor și să dau unghiuri pe un cerc trigonometric?” În Secțiunea 555. Sarcinile 4 - 9 sunt acoperite acolo. Bine aranjat, cu toate capcanele. Și sunt aici.)

În lecția următoare ne vom ocupa de misterioșii radiani și de numărul „Pi”. Să învățăm cum să convertim ușor și corect grade în radiani și invers. Și vom fi surprinși să descoperim că aceste informații de bază pe site deja destul pentru a rezolva unele probleme de trigonometrie personalizate!

Daca va place acest site...

Apropo, mai am câteva site-uri interesante pentru tine.)

Puteți exersa rezolvarea exemplelor și puteți afla nivelul dvs. Testare cu verificare instantanee. Să învățăm - cu interes!)

Vă puteți familiariza cu funcțiile și derivatele.

Semnul funcției trigonometrice depinde numai de cadranul de coordonate în care se află argumentul numeric. ÎN ultima dată am învățat să convertim argumente dintr-o măsură de radian într-o măsură de grade (vezi lecția „Măsura radianilor și gradului unui unghi”) și apoi determinăm același sfert de coordonate. Acum să determinăm de fapt semnul sinusului, cosinusului și tangentei.

Sinusul unghiului α este ordonata (coordonata y) a unui punct dintr-un cerc trigonometric care apare atunci când raza este rotită cu unghiul α.

Cosinusul unghiului α este abscisa (coordonata x) a unui punct dintr-un cerc trigonometric, care apare atunci când raza este rotită cu unghiul α.

Tangenta unghiului α este raportul dintre sinus și cosinus. Sau, care este același lucru, raportul dintre coordonatele y și coordonatele x.

Notatie: sin α = y ; cos α = x ; tg α = y : x .

Toate aceste definiții vă sunt familiare din algebra de liceu. Cu toate acestea, nu ne interesează definițiile în sine, ci consecințele care apar asupra cercului trigonometric. Aruncă o privire:

Culoarea albastră indică direcția pozitivă a axei OY (axa ordonatelor), roșul indică direcția pozitivă a axei OX (axa absciselor). Pe acest „radar” semnele funcțiilor trigonometrice devin evidente. În special:

1. sin α > 0 dacă unghiul α se află în cadranul de coordonate I sau II. Acest lucru se datorează faptului că, prin definiție, sinusul este o ordonată (coordonată y). Iar coordonata y va fi pozitivă tocmai în sferturile de coordonate I și II;
2. cos α > 0, dacă unghiul α se află în cadranul de coordonate 1 sau 4. Deoarece numai acolo coordonata x (aka abscisă) va fi mai mare decât zero;
3. tan α > 0 dacă unghiul α se află în cadranul de coordonate I sau III. Aceasta rezultă din definiție: la urma urmei, tan α = y : x, deci este pozitiv numai acolo unde semnele lui x și y coincid. Acest lucru se întâmplă în primul trimestru de coordonate (aici x > 0, y > 0) și în al treilea trimestru de coordonate (x< 0, y < 0).

Pentru claritate, să notăm semnele fiecărei funcții trigonometrice - sinus, cosinus și tangentă - pe „radare” separate. Obținem următoarea imagine:

Vă rugăm să rețineți: în discuțiile mele nu am vorbit niciodată despre a patra funcție trigonometrică - cotangentă. Cert este că semnele cotangente coincid cu semnele tangente - acolo nu există reguli speciale.

Acum îmi propun să luăm în considerare exemple similare cu problemele B11 din examen de stat unificat de probă la matematică, care a avut loc pe 27 septembrie 2011. La urma urmei, cel mai bun modînțelegerea teoriei este practică. Este indicat să aveți multă practică. Desigur, condițiile sarcinilor au fost ușor modificate.

Sarcină. Determinați semnele funcțiilor și expresiilor trigonometrice (valorile funcțiilor în sine nu trebuie calculate):

1. sin(3π/4);
2. cos(7π/6);
3. tg(5π/3);
4. sin (3π/4) cos (5π/6);
5. cos (2π/3) tg (π/4);
6. sin (5π/6) cos (7π/4);
7. tan (3π/4) cos (5π/3);
8. ctg (4π/3) tg (π/6).

Planul de acțiune este următorul: mai întâi convertim toate unghiurile din măsurile radianilor în grade (π → 180°), apoi ne uităm la ce sfert de coordonate se află numărul rezultat. Cunoscând sferturile, putem găsi cu ușurință semnele - conform regulilor tocmai descrise. Avem:

1. sin (3π/4) = sin (3 · 180°/4) = sin 135°. Deoarece 135° ∈ , acesta este un unghi din cadranul de coordonate II. Dar sinusul din al doilea trimestru este pozitiv, deci sin (3π/4) > 0;
2. cos (7π/6) = cos (7 · 180°/6) = cos 210°. Deoarece 210° ∈ , acesta este unghiul din cadranul de coordonate III, în care toate cosinusurile sunt negative. Prin urmare cos(7π/6)< 0;
3. tg (5π/3) = tg (5 · 180°/3) = tg 300°. Deoarece 300° ∈ , ne aflăm în trimestrul IV, unde ia tangenta valori negative. Prin urmare tan (5π/3)< 0;
4. sin (3π/4) cos (5π/6) = sin (3 180°/4) cos (5 180°/6) = sin 135° cos 150°. Să ne ocupăm de sinusul: pentru că 135° ∈ , acesta este al doilea sfert în care sinusurile sunt pozitive, adică. sin (3π/4) > 0. Acum lucrăm cu cosinus: 150° ∈ - din nou al doilea trimestru, cosinusurile de acolo sunt negative. Prin urmare cos(5π/6)< 0. Наконец, следуя правилу «плюс на минус дает знак минус», получаем: sin (3π/4) · cos (5π/6) < 0;
5. cos (2π/3) tg (π/4) = cos (2 180°/3) tg (180°/4) = cos 120° tg 45°. Ne uităm la cosinus: 120° ∈ este sfertul de coordonate II, deci cos (2π/3)< 0. Смотрим на тангенс: 45° ∈ — это I четверть (самый обычный угол в тригонометрии). Тангенс там положителен, поэтому tg (π/4) >0. Din nou am obținut un produs în care factorii au semne diferite. Deoarece „minus cu plus dă minus”, avem: cos (2π/3) tg (π/4)< 0;
6. sin (5π/6) cos (7π/4) = sin (5 180°/6) cos (7 180°/4) = sin 150° cos 315°. Lucrăm cu sinus: deoarece 150° ∈ , despre care vorbim despre sfertul de coordonate II, unde sinusurile sunt pozitive. Prin urmare, sin (5π/6) > 0. În mod similar, 315° ∈ este sfertul de coordonate IV, cosinusurile de acolo sunt pozitive. Prin urmare cos (7π/4) > 0. Am obținut produsul a două numere pozitive - o astfel de expresie este întotdeauna pozitivă. Concluzionăm: sin (5π/6) cos (7π/4) > 0;
7. tg (3π/4) cos (5π/3) = tg (3 180°/4) cos (5 180°/3) = tg 135° cos 300°. Dar unghiul de 135° ∈ este al doilea sfert, adică. tg(3π/4)< 0. Аналогично, угол 300° ∈ — это IV четверть, т.е. cos (5π/3) >0. Deoarece „minus cu plus dă semnul minus”, avem: tg (3π/4) cos (5π/3)< 0;
8. ctg (4π/3) tg (π/6) = ctg (4 180°/3) tg (180°/6) = ctg 240° tg 30°. Ne uităm la argumentul cotangentei: 240° ∈ este sfert de coordonată III, deci ctg (4π/3) > 0. În mod similar, pentru tangentă avem: 30° ∈ este sfert de coordonată I, adică. cel mai simplu unghi. Prin urmare, tan (π/6) > 0. Din nou avem două expresii pozitive - produsul lor va fi și el pozitiv. Prin urmare, cot (4π/3) tg (π/6) > 0.

În cele din urmă, să ne uităm la câteva probleme mai complexe. În plus față de a afla semnul funcției trigonometrice, va trebui să faci puțină matematică aici - exact așa cum se face în problemele reale B11. În principiu, acestea sunt probleme aproape reale care apar de fapt la Examenul Unificat de Stat la matematică.

Sarcină. Aflați sin α dacă sin 2 α = 0,64 și α ∈ [π/2; π].

Deoarece sin 2 α = 0,64, avem: sin α = ±0,8. Rămâne doar să decizi: plus sau minus? După condiție, unghiul α ∈ [π/2; π] este sfertul de coordonate II, unde toate sinusurile sunt pozitive. Prin urmare, sin α = 0,8 - se elimină incertitudinea cu semne.

Sarcină. Aflați cos α dacă cos 2 α = 0,04 și α ∈ [π; 3π/2].

Acționăm în mod similar, adică extrage rădăcină pătrată: cos 2 α = 0,04 ⇒ cos α = ±0,2. După condiție, unghiul α ∈ [π; 3π/2], adică Vorbim despre al treilea trimestru de coordonate. Toate cosinusurile de acolo sunt negative, deci cos α = −0,2.

Sarcină. Aflați sin α dacă sin 2 α = 0,25 și α ∈ .

Avem: sin 2 α = 0,25 ⇒ sin α = ±0,5. Ne uităm din nou la unghi: α ∈ este sfert de coordonată IV, în care, după cum știm, sinusul va fi negativ. Astfel, concluzionăm: sin α = −0,5.

Sarcină. Aflați tan α dacă tan 2 α = 9 și α ∈ .

Totul este la fel, doar pentru tangentă. Extrageți rădăcina pătrată: tan 2 α = 9 ⇒ tan α = ±3. Dar conform condiției, unghiul α ∈ este sfert de coordonate I. Toate funcțiile trigonometrice, incl. tangente, sunt pozitive, deci tan α = 3. Gata!