Calcularea unghiului cos dintre vectori. Produsul punctual al vectorilor

„Produsul punctual al unui vector” - Produsul punctual al vectorilor. V triunghi echilateral ABC cu latura 1 a marcat înălțimea BD. Prin definiție, Descrieți un unghi? între vectori și, dacă: a) b) c) d). La ce valoare a lui t vectorul este perpendicular pe vector, dacă (2, -1), (4, 3). Produsul scalar al vectorilor și se notează cu.

"Clasa de geometrie 9" Vectori "" - Distanța dintre două puncte. Cele mai simple sarcini în coordonate. Verifică-te! Coordonatele vectoriale. În 1903, O. Henrichi a propus să se desemneze produsul punctual prin simbolul (a, b). Un vector este un segment de linie direcționată. Descompunerea unui vector în vectori de coordonate. Concept de vector. Descompunerea unui vector pe un plan în doi vectori necoliniari.

"Rezolvarea problemelor vectoriale" - Exprimă vectorii AM, DA, CA, MB, CD în termeni de vector a și vector b. № 2 Exprimă vectorii DP, DM, AC prin vectorii a și b. CP: PD = 2: 3; AK: KD = 1: 2. Exprimați vectorii SK, PK în termeni de vectori a și b. BE: EC = 3: 1. K - mid DC. ВK: KС = 3: 4. Exprimați vectorii AK, DK în termeni de vectori a și b. Aplicarea vectorilor la rezolvarea problemelor (partea 1).

„Probleme pe vectori” – Teoremă. Găsiți coordonatele. Se acordă trei puncte. Vârfurile triunghiului. Aflați coordonatele vectorilor. Găsiți coordonatele punctului. Aflați coordonatele și lungimea vectorului. Exprimă lungimea vectorului. Coordonatele vectoriale. Coordonatele vectoriale. Aflați coordonatele vectorului. Vectori dați. Numiți coordonatele vectorilor. Vectorul are coordonate.

„Metoda coordonatelor pe un plan” - Se desenează un cerc. Perpendiculare. Axa de coordonate. Valoarea sinusului. Sistem de coordonate dreptunghiular pe un plan. Aflați coordonatele vârfului. Să ne uităm la un exemplu. Soluția la această problemă. Punctele sunt date în avion. Vârfurile paralelogramului. Extinde vectorii. Calculati. Multe puncte. Rezolvați grafic sistemul de ecuații.

„Adunarea și scăderea vectorilor” - 1. Obiectivele lecției. 2. Partea principală. Sunteți foarte, majoritatea cel mai bun prieten Somnambul! Învață modalități de scădere a vectorilor. 2. Precizați vectorul sumei vectorilor a și b. Prietenul meu!! Să vedem ce avem aici. Obiectivele noastre: Concluzie. 3. Revizuirea capului. 4. Referințe. Călătorește cu Sleepwalker. Din punctul A, amânăm ambii vectori.

Sunt 29 de prezentări în total

Unghiul dintre doi vectori:

Dacă unghiul dintre doi vectori este acut, atunci produsul lor punctual este pozitiv; dacă unghiul dintre vectori este obtuz, atunci produsul scalar al acestor vectori este negativ. Produsul scalar a doi vectori nenuli este zero dacă și numai dacă acești vectori sunt ortogonali.

Exercițiu. Găsiți unghiul dintre vectori și

Soluţie. Cosinusul unghiului necesar

16. Calculul unghiului dintre drepte, drepte și plan

Unghiul dintre linie și plan, care intersectează această dreaptă și nu perpendicular pe ea, este unghiul dintre dreapta și proiecția ei pe acest plan.

Determinarea unghiului dintre o linie dreaptă și un plan ne permite să concluzionam că unghiul dintre o linie dreaptă și un plan este unghiul dintre două drepte care se intersectează: linia dreaptă însăși și proiecția ei pe plan. Prin urmare, unghiul dintre o linie dreaptă și un plan este un unghi ascuțit.

Unghiul dintre dreapta perpendiculară și plan este considerat egal, iar unghiul dintre dreapta paralelă și plan fie nu este determinat deloc, fie este considerat egal.

§ 69. Calculul unghiului dintre drepte.

Problema calculării unghiului dintre două drepte în spațiu se rezolvă în același mod ca și pe un plan (§ 32). Notăm cu φ valoarea unghiului dintre drepte l 1 și l 2, iar prin ψ - valoarea unghiului dintre vectorii de direcție A și b aceste linii drepte.

Atunci dacă

ψ 90 ° (Fig. 206.6), apoi φ = 180 ° - ψ. Evident, în ambele cazuri, egalitatea cos φ = | cos ψ | este adevărată. Prin formula (1) din § 20 avem

prin urmare,

Fie dreptele date de ecuațiile lor canonice

Apoi unghiul φ dintre linii se determină folosind formula

Dacă una dintre liniile drepte (sau ambele) este dată de ecuații non-canonice, atunci pentru a calcula unghiul, trebuie să găsiți coordonatele vectorilor de direcție ai acestor drepte și apoi să utilizați formula (1).

17. Drepte paralele, Teoreme ale dreptelor paralele

Definiție. Se numesc două drepte dintr-un plan paralel dacă nu au puncte comune.

Se numesc două linii drepte în spațiul tridimensional paralel dacă se află în același plan și nu au puncte comune.

Unghiul dintre doi vectori.

Din definiția produsului punctual:

.

Condiție de ortogonalitate pentru doi vectori:

Condiție de coliniaritate pentru doi vectori:

.

Rezultă din definiția 5 -. Într-adevăr, rezultă din definiția produsului unui vector cu un număr. Prin urmare, pornind de la regula egalității vectorilor, scriem,,, de unde rezultă ... Dar vectorul rezultat din înmulțirea unui vector cu un număr este coliniar cu vectorul.

Proiecție vector la vector:

.

Exemplul 4... Se acordă puncte,,,.

Găsiți un produs punctual.

Soluţie... găsiți prin formula produsului scalar al vectorilor dat de coordonatele lor. În măsura în care

, ,

Exemplul 5. Se acordă puncte,,,.

Găsiți o proiecție.

Soluţie... În măsura în care

, ,

Pe baza formulei de proiecție, avem

.

Exemplul 6. Se acordă puncte,,,.

Găsiți unghiul dintre vectori și.

Soluţie... Rețineți că vectorii

, ,

nu sunt coliniare, deoarece coordonatele lor nu sunt proporționale:

.

Acești vectori nu sunt, de asemenea, perpendiculari, așa cum este produsul lor punctual.

Vom găsi

Injecţie afla din formula:

.

Exemplul 7. Determinați la ce vectori și coliniare.

Soluţie... În cazul coliniarității, coordonatele corespunzătoare ale vectorilor și trebuie să fie proporționale, adică:

.

Prin urmare și.

Exemplul 8... Determinați la ce valoare a vectorului și perpendicular.

Soluţie... Vectori și sunt perpendiculare dacă produsul lor scalar este zero. Din această condiție obținem:. Acesta este, .

Exemplul 9... Găsi , dacă , , .

Soluţie... Datorită proprietăților produsului scalar, avem:

Exemplul 10... Găsiți unghiul dintre vectori și, unde și - vectori unitar și unghiul dintre vectori și este egal cu 120 °.

Soluţie... Avem: , ,

În sfârșit, avem: .

5 B. Produs vectorial.

Definiția 21.Produs vectorial vector cu vector se numește vector sau, definit de următoarele trei condiții:

1) Modulul vectorului este, unde este unghiul dintre vectori și, i.e. .

De aici rezultă că modulul produsului vectorial este numeric egal cu aria paralelogram construit pe vectori și ambele părți.

2) Vectorul este perpendicular pe fiecare dintre vectori și (;), adică. perpendicular pe planul paralelogramului construit pe vectori şi.

3) Vectorul este direcționat astfel încât, dacă este privit de la capătul său, atunci cea mai scurtă rotație de la vector la vector ar fi în sens invers acelor de ceasornic (vectorii,, formează un triplu drept).

Cum calculez unghiurile dintre vectori?

Când studiezi geometria, apar multe întrebări pe tema vectorilor. Elevul întâmpină dificultăți deosebite atunci când este necesar să găsească unghiurile dintre vectori.

Termeni de bază

Înainte de a lua în considerare unghiurile dintre vectori, trebuie să vă familiarizați cu definiția unui vector și conceptul de unghi între vectori.

Un vector este un segment care are o direcție, adică un segment pentru care sunt definite începutul și sfârșitul acestuia.

Unghiul dintre doi vectori dintr-un plan care au o origine comună este cel mai mic dintre unghiurile cu cât este necesar să se miște unul dintre vectori în jurul unui punct comun până când direcțiile lor coincid.

Formula pentru soluție

Odată ce înțelegeți ce este un vector și cum este determinat unghiul său, puteți calcula unghiul dintre vectori. Formula de soluție pentru aceasta este destul de simplă, iar rezultatul aplicării sale va fi valoarea cosinusului unghiului. Prin definiție, este egal cu câtul dintre produsul scalar al vectorilor și produsul lungimii acestora.

Produsul scalar al vectorilor este calculat ca suma coordonatelor corespunzătoare ale factorilor-vectori înmulțite între ele. Lungimea vectorului, sau modulul său, este calculată ca Rădăcină pătrată din suma pătratelor coordonatelor sale.

După ce ați primit valoarea cosinusului unghiului, puteți calcula valoarea unghiului în sine folosind un calculator sau folosind tabel trigonometric th.

Exemplu

După ce vă dați seama cum să calculați unghiul dintre vectori, soluția problemei corespunzătoare va deveni simplă și directă. Ca exemplu, luați în considerare problema simplă de a găsi valoarea unghiului.

În primul rând, va fi mai convenabil să se calculeze valorile lungimilor vectorilor și produsul lor scalar necesar pentru soluție. Folosind descrierea de mai sus, obținem:

Înlocuind valorile obținute în formulă, calculăm valoarea cosinusului unghiului dorit:

Acest număr nu este una dintre cele cinci valori comune ale cosinusului, așa că pentru a obține valoarea unghiului, va trebui să utilizați un calculator sau un tabel trigonometric Bradis. Dar înainte de a obține unghiul dintre vectori, formula poate fi simplificată pentru a scăpa de semnul negativ suplimentar:

Pentru a menține acuratețea, răspunsul final poate fi lăsat așa cum este sau puteți calcula valoarea unghiului în grade. Conform tabelului Bradis, valoarea acestuia va fi de aproximativ 116 grade și 70 de minute, iar calculatorul va afișa o valoare de 116,57 grade.

Calcularea unui unghi în spațiul n-dimensional

Când luăm în considerare doi vectori din spațiul tridimensional, este mult mai dificil de înțeles despre ce unghi vorbim dacă nu se află în același plan. Pentru a simplifica percepția, puteți desena două segmente care se intersectează care formează cel mai mic unghi între ele, acesta va fi cel dorit. În ciuda prezenței unei a treia coordonate în vector, procesul de calcul al unghiurilor dintre vectori nu se va schimba. Calculați produsul scalar și modulii vectorilor, cosinusul invers al coeficientului lor și va fi răspunsul la această problemă.

În geometrie, problemele sunt adesea întâlnite cu spații care au mai mult de trei dimensiuni. Dar pentru ei, algoritmul pentru găsirea răspunsului arată similar.

Diferență între 0 și 180 de grade

Una dintre greșelile frecvente atunci când scrieți un răspuns la o problemă concepută pentru a calcula unghiul dintre vectori este decizia de a scrie că vectorii sunt paraleli, adică unghiul dorit este de 0 sau 180 de grade. Acest răspuns este incorect.

După ce a primit valoarea unghiului 0 grade pe baza rezultatelor soluției, răspunsul corect va fi să desemnați vectorii ca co-direcționali, adică vectorii vor avea aceeași direcție. În cazul obținerii a 180 de grade, vectorii vor fi direcționați invers.

Vectori specifici

După ce s-au găsit unghiurile dintre vectori, se poate găsi unul dintre tipurile speciale, pe lângă cele codirecționale și direcționate opus descrise mai sus.

• Mai mulți vectori paraleli cu un plan se numesc coplanari.
• Vectorii care au aceeași lungime și direcție se numesc egali.
• Vectorii care se află pe o linie dreaptă, indiferent de direcție, se numesc coliniari.
• Dacă lungimea unui vector este zero, adică începutul și sfârșitul acestuia coincid, atunci se numește zero, iar dacă este unul, atunci se numește unu.

Cum aflu unghiul dintre vectori?

ajuta-ma te rog! Cunosc formula, dar nu pot calcula ((
vector a (8; 10; 4) vector b (5; -20; -10)

Alexandru Titov

Unghiul dintre vectori dat de coordonatele lor se găsește conform algoritmului standard. Mai întâi trebuie să găsiți produsul scalar al vectorilor a și b: (a, b) = x1x2 + y1y2 + z1z2. Înlocuim coordonatele acestor vectori aici și calculăm:
(a, b) = 8 * 5 + 10 * (- 20) = 4 * (- 10) = 40 - 200 - 40 = -200.
În continuare, determinăm lungimile fiecăruia dintre vectori. Lungimea sau modulul unui vector este rădăcina pătrată a sumei pătratelor coordonatelor sale:
| a | = rădăcina lui (x1 ^ 2 + y1 ^ 2 + z1 ^ 2) = rădăcina lui (8 ^ 2 + 10 ^ 2 + 4 ^ 2) = rădăcina lui (64 + 100 + 16) = rădăcina lui 180 = 6 rădăcini ale 5
| b | = rădăcina lui (x2 ^ 2 + y2 ^ 2 + z2 ^ 2) = rădăcina lui (5 ^ 2 + (-20) ^ 2 + (-10) ^ 2) = rădăcina lui (25 + 400 + 100) = rădăcină din 525 = 5 rădăcini din 21.
Înmulțim aceste lungimi. Obținem 30 de rădăcini din 105.
În cele din urmă, împărțim produsul scalar al vectorilor la produsul lungimilor acestor vectori. Obținem -200 / (30 rădăcini din 105) sau
- (4 rădăcini ale lui 105) / 63. Acesta este cosinusul unghiului dintre vectori. Și unghiul în sine este egal cu cosinusul invers al acestui număr
φ = arccos (-4 rădăcini ale lui 105) / 63.
Dacă am calculat totul corect.

Cum se calculează sinusul unghiului dintre vectori prin coordonatele vectorilor

Mihail Tkaciov

Înmulțim acești vectori. Produsul lor scalar este egal cu produsul lungimilor acestor vectori și cosinusul unghiului dintre ei.
Unghiul ne este necunoscut, dar coordonatele sunt cunoscute.
Să o scriem matematic așa.
Fie, dați vectorii a (x1; y1) și b (x2; y2)
Atunci

A * b = | a | * | b | * cosA

CosA = a * b / | a | * | b |

Ne certam.
un * b-produs scalar al vectorilor, este egal cu suma produselor coordonatelor corespunzătoare ale coordonatelor acestor vectori, adică este egal cu x1 * x2 + y1 * y2

| a | * | b | -produsul lungimilor vectorului, este egal cu √ ((x1) ^ 2 + (y1) ^ 2) * √ ((x2) ^ 2 + (y2) ^ 2).

Prin urmare, cosinusul unghiului dintre vectori este:

CosA = (x1 * x2 + y1 * y2) / √ ((x1) ^ 2 + (y1) ^ 2) * √ ((x2) ^ 2 + (y2) ^ 2)

Cunoscând cosinusul unghiului, putem calcula sinusul acestuia. Iată cum să o faci:

Dacă cosinusul unui unghi este pozitiv, atunci acest unghi se află în 1 sau 4 sferturi, atunci sinusul său este fie pozitiv, fie negativ. Dar, deoarece unghiul dintre vectori este mai mic sau egal cu 180 de grade, atunci sinusul său este pozitiv. Raționăm în mod similar dacă cosinusul este negativ.

SinA = √ (1-cos ^ 2A) = √ (1 - ((x1 * x2 + y1 * y2) / √ ((x1) ^ 2 + (y1) ^ 2) * √ ((x2) ^ 2 + ( y2) ^ 2)) ^ 2)

Așa)))) mult noroc să-ți dai seama)))

Dmitri Levișciov

Faptul că este imposibil să sinus direct nu este adevărat.
Pe langa formula:
(a, b) = | a | * | b | * cos A
Există și asta:
|| = | a | * | b | * sin A
Adică, în locul produsului punctual, puteți lua modulul produsului vectorial.

Când studiezi geometria, apar multe întrebări pe tema vectorilor. Elevul întâmpină dificultăți deosebite atunci când este necesar să găsească unghiurile dintre vectori.

Termeni de bază

Înainte de a lua în considerare unghiurile dintre vectori, trebuie să vă familiarizați cu definiția unui vector și conceptul de unghi între vectori.

Un vector este un segment care are o direcție, adică un segment pentru care sunt definite începutul și sfârșitul acestuia.

Unghiul dintre doi vectori dintr-un plan care au o origine comună este cel mai mic dintre unghiurile cu cât este necesar să se miște unul dintre vectori în jurul unui punct comun până când direcțiile lor coincid.

Formula pentru soluție

Odată ce înțelegeți ce este un vector și cum este determinat unghiul său, puteți calcula unghiul dintre vectori. Formula de soluție pentru aceasta este destul de simplă, iar rezultatul aplicării sale va fi valoarea cosinusului unghiului. Prin definiție, este egal cu câtul dintre produsul scalar al vectorilor și produsul lungimii acestora.

Produsul scalar al vectorilor este calculat ca suma coordonatelor corespunzătoare ale factorilor-vectori înmulțite între ele. Lungimea unui vector, sau modulul acestuia, este calculată ca rădăcină pătrată a sumei pătratelor coordonatelor sale.

După ce ați primit valoarea cosinusului unghiului, puteți calcula valoarea unghiului în sine folosind un calculator sau folosind un tabel trigonometric.

Exemplu

După ce vă dați seama cum să calculați unghiul dintre vectori, soluția problemei corespunzătoare va deveni simplă și directă. Ca exemplu, luați în considerare problema simplă de a găsi valoarea unghiului.

În primul rând, va fi mai convenabil să se calculeze valorile lungimilor vectorilor și produsul lor scalar necesar pentru soluție. Folosind descrierea de mai sus, obținem:

Înlocuind valorile obținute în formulă, calculăm valoarea cosinusului unghiului dorit:

Acest număr nu este una dintre cele cinci valori comune ale cosinusului, așa că pentru a obține valoarea unghiului, va trebui să utilizați un calculator sau un tabel trigonometric Bradis. Dar înainte de a obține unghiul dintre vectori, formula poate fi simplificată pentru a scăpa de semnul negativ suplimentar:

Pentru a menține acuratețea, răspunsul final poate fi lăsat așa cum este sau puteți calcula valoarea unghiului în grade. Conform tabelului Bradis, valoarea acestuia va fi de aproximativ 116 grade și 70 de minute, iar calculatorul va afișa o valoare de 116,57 grade.

Calcularea unui unghi în spațiul n-dimensional

Când luăm în considerare doi vectori din spațiul tridimensional, este mult mai dificil de înțeles despre ce unghi vorbim dacă nu se află în același plan. Pentru a simplifica percepția, puteți desena două segmente care se intersectează care formează cel mai mic unghi între ele, acesta va fi cel dorit. În ciuda prezenței unei a treia coordonate în vector, procesul de calcul al unghiurilor dintre vectori nu se va schimba. Calculați produsul scalar și modulii vectorilor, cosinusul invers al coeficientului lor și va fi răspunsul la această problemă.

În geometrie, problemele sunt adesea întâlnite cu spații care au mai mult de trei dimensiuni. Dar pentru ei, algoritmul pentru găsirea răspunsului arată similar.

Diferență între 0 și 180 de grade

Una dintre greșelile frecvente atunci când scrieți un răspuns la o problemă concepută pentru a calcula unghiul dintre vectori este decizia de a scrie că vectorii sunt paraleli, adică unghiul dorit este de 0 sau 180 de grade. Acest răspuns este incorect.

După ce a primit valoarea unghiului 0 grade pe baza rezultatelor soluției, răspunsul corect va fi să desemnați vectorii ca co-direcționali, adică vectorii vor avea aceeași direcție. În cazul obținerii a 180 de grade, vectorii vor fi direcționați invers.

Vectori specifici

După ce s-au găsit unghiurile dintre vectori, se poate găsi unul dintre tipurile speciale, pe lângă cele codirecționale și direcționate opus descrise mai sus.

• Mai mulți vectori paraleli cu un plan se numesc coplanari.
• Vectorii care au aceeași lungime și direcție se numesc egali.
• Vectorii care se află pe o linie dreaptă, indiferent de direcție, se numesc coliniari.
• Dacă lungimea unui vector este zero, adică începutul și sfârșitul acestuia coincid, atunci se numește zero, iar dacă este unul, atunci se numește unu.

Produsul punctual al vectorilor

Continuăm să ne ocupăm de vectori. În prima lecție Vectori pentru manechine am examinat conceptul de vector, acțiunile cu vectori, coordonatele unui vector și cele mai simple sarcini cu vectori. Dacă ați ajuns pentru prima dată pe această pagină dintr-un motor de căutare, vă recomand să citiți articolul introductiv de mai sus, deoarece pentru a stăpâni materialul, trebuie să navigați în termenii și notațiile pe care le folosesc, să aveți cunoștințe de bază despre vectori și să fiți capabil pentru a rezolva probleme elementare. Această lecție este o continuare logică a subiectului și în ea voi analiza în detaliu sarcini tipice în care este utilizat produsul punctual al vectorilor. Aceasta este o activitate FOARTE IMPORTANTĂ.... Încercați să nu săriți peste exemple, acestea sunt însoțite de un bonus util - practica vă va ajuta să consolidați materialul pe care l-ați acoperit și să puneți mâna pe soluția problemelor comune din geometria analitică.

Adunarea vectorilor, înmulțirea unui vector cu un număr... Ar fi naiv să credem că matematicienii nu au venit cu nimic altceva. Pe lângă acțiunile deja luate în considerare, există o serie de alte operații cu vectori, și anume: produs scalar al vectorilor, produs vectorial al vectorilorși produs mixt al vectorilor... Produsul scalar al vectorilor ne este familiar de la școală, celelalte două produse sunt în mod tradițional legate de cursul de matematică superioară. Subiectele sunt simple, algoritmul pentru rezolvarea multor probleme este stereotip și de înțeles. Singurul lucru. Există o mulțime de informații, așa că este de nedorit să încerci să stăpânești, să rezolvi TOTUL O dată. Acest lucru este valabil mai ales pentru ceainice, crede-mă, autorul nu vrea deloc să se simtă ca Chikatilo de la matematică. Ei bine, și nu și de la matematică, desigur, =) Elevii mai pregătiți pot folosi materialele selectiv, într-un sens, „obține” cunoștințele lipsă, pentru tine voi fi un inofensiv Conte Dracula =)

În cele din urmă, să deschidem ușa și să vedem cu entuziasm ce se întâmplă când doi vectori se întâlnesc...

Determinarea produsului scalar al vectorilor.
Proprietățile produsului punct. Sarcini tipice

Conceptul de produs punct

În primul rând despre unghiul dintre vectori... Cred că toată lumea înțelege intuitiv care este unghiul dintre vectori, dar pentru orice eventualitate, puțin mai detaliat. Luați în considerare vectori liberi diferit de zero și. Dacă amânați acești vectori dintr-un punct arbitrar, obțineți o imagine pe care mulți și-au imaginat-o deja în mintea lor:

Mărturisesc că aici am conturat situația doar la nivel de înțelegere. Dacă aveți nevoie de o definiție strictă a unghiului dintre vectori, vă rugăm să consultați manualul, dar pentru probleme practice, noi, în principiu, nu avem nevoie de ea. De asemenea, AICI ȘI URMĂTOR, voi ignora în unele locuri vectorii zero din cauza semnificației lor practice scăzute. Am făcut o rezervare special pentru vizitatorii avansați ai site-ului care îmi pot reproșa incompletitudinea teoretică a unora dintre următoarele afirmații.

poate lua valori de la 0 la 180 de grade (de la 0 la radiani) inclusiv. Analitic fapt dat se scrie ca o dublă inegalitate: sau (în radiani).

În literatură, icoana unghiului este adesea trecută cu vederea și scrisă simplu.

Definiție: Produsul scalar a doi vectori este NUMĂRUL egal cu produsul lungimilor acestor vectori prin cosinusul unghiului dintre ei:

Aceasta este deja o definiție destul de strictă.

Ne concentrăm pe informațiile esențiale:

Desemnare: produsul punctual este notat prin sau pur și simplu.

Rezultatul operației este un NUMĂR: Vectorul este înmulțit cu vectorul, iar rezultatul este un număr. Într-adevăr, dacă lungimile vectorilor sunt numere, cosinusul unui unghi este un număr, atunci produsul lor va fi și un număr.

Doar câteva exemple de încălzire:

Exemplul 1

Soluţie: Folosim formula ... În acest caz:

Răspuns:

Valorile cosinusului pot fi găsite în tabel trigonometric... Recomand să-l imprimați - va fi necesar în aproape toate secțiunile turnului și va fi necesar de multe ori.

Din punct de vedere pur matematic, produsul punctual este adimensional, adică rezultatul, în acest caz, este doar un număr și atât. Din punct de vedere al problemelor de fizică, produsul scalar are întotdeauna un anumit sens fizic, adică după rezultat trebuie indicată una sau alta unitate fizică. Un exemplu canonic de calcul al muncii unei forțe poate fi găsit în orice manual (formula este exact produsul punctual). Prin urmare, munca forței este măsurată în Jouli, iar răspunsul va fi scris destul de specific, de exemplu,.

Exemplul 2

Găsiți dacă , iar unghiul dintre vectori este.

Acesta este un exemplu pentru decizie independentă, răspunsul este la sfârșitul lecției.

Unghiul dintre vectori și valoarea produsului punctual

În Exemplul 1, produsul punctual s-a dovedit a fi pozitiv, iar în Exemplul 2, s-a dovedit a fi negativ. Să aflăm de ce depinde semnul produsului punct. Ne uităm la formula noastră: ... Lungimile vectorilor nenuli sunt întotdeauna pozitive:, deci semnul poate depinde doar de valoarea cosinusului.

Notă: Pentru o mai bună înțelegere a informațiilor de mai jos, este mai bine să studiați graficul cosinus din manual Grafice de funcții și proprietăți... Vedeți cum se comportă cosinusul pe un segment.

După cum sa menționat deja, unghiul dintre vectori poate varia în interior , iar următoarele cazuri sunt posibile:

1) Dacă injecţieîntre vectori picant: (de la 0 la 90 de grade), apoi , și produsul punctual va fi pozitiv co-regizat, atunci unghiul dintre ele este considerat a fi zero, iar produsul punctual va fi de asemenea pozitiv. Din moment ce, formula este simplificată:.

2) Dacă injecţieîntre vectori prost: (de la 90 la 180 de grade), apoi și în mod corespunzător, produsul punctual este negativ:. Caz special: dacă vectori direcție opusă, atunci se ia în considerare unghiul dintre ele dislocate: (180 de grade). Produsul punctual este de asemenea negativ, deoarece

Afirmațiile inverse sunt de asemenea adevărate:

1) Dacă, atunci unghiul dintre acești vectori este acut. Alternativ, vectorii sunt codirecționali.

2) Dacă, atunci unghiul dintre acești vectori este obtuz. Alternativ, vectorii sunt direcționați opus.

Dar cel de-al treilea caz prezintă un interes deosebit:

3) Dacă injecţieîntre vectori Drept: (90 de grade), atunci produsul punctual este zero:. Este adevărat și invers: dacă, atunci. Declarația este formulată compact după cum urmează: Produsul scalar a doi vectori este zero dacă și numai dacă acești vectori sunt ortogonali... Notație matematică scurtă:

! Notă : repeta fundamentele logicii matematice: pictograma de consecință logică cu două fețe este de obicei citită „atunci și numai atunci”, „dacă și numai dacă”. După cum puteți vedea, săgețile sunt direcționate în ambele direcții - „de aici urmează asta și invers - din ceea ce decurge din aceasta”. Apropo, care este diferența față de pictograma de urmărire unidirecțională? Icoana pretinde doar asta că „de aici rezultă” și nu este un fapt că contrariul este adevărat. De exemplu: dar nu orice fiară este o panteră, deci icoana nu poate fi folosită în acest caz. În același timp, în locul pictogramei poate sa utilizați pictograma unidirecțională. De exemplu, rezolvând problema, am aflat că am ajuns la concluzia că vectorii sunt ortogonali: - o astfel de intrare va fi corectă și chiar mai potrivită decât .

Al treilea caz este de mare importanță practică. deoarece vă permite să verificați dacă vectorii sunt ortogonali sau nu. Vom rezolva această problemă în a doua secțiune a lecției.

Proprietățile produsului punct

Să revenim la situația când doi vectori co-regizat... În acest caz, unghiul dintre ele este egal cu zero, iar formula produsului punctual ia forma:.

Ce se întâmplă dacă vectorul este înmulțit cu el însuși? Este clar că vectorul este codirecțional cu el însuși, așa că folosim formula simplificată de mai sus:

Numărul este sunat pătrat scalar vector, și notat ca.

Prin urmare, pătratul scalar al unui vector este egal cu pătratul lungimii vectorului dat:

Din această egalitate, puteți obține o formulă pentru calcularea lungimii unui vector:

În timp ce pare obscur, însă sarcinile lecției vor pune totul la locul său. Pentru a rezolva probleme, avem și noi nevoie proprietățile produsului punctual.

Pentru vectori arbitrari și orice număr, următoarele proprietăți sunt valabile:

1) - deplasabil sau comutativ legea produsului scalar.

2) - distributie sau distributiv legea produsului scalar. Pur și simplu, puteți extinde parantezele.

3) - combinație sau asociativ legea produsului scalar. Constanta poate fi scoasă din produsul punctual.

Adesea, tot felul de proprietăți (care trebuie și dovedite!) sunt percepute de elevi ca un gunoi inutil, care trebuie doar memorat și imediat după examen, uitate în siguranță. S-ar părea că ceea ce este important aici, toată lumea știe din prima clasă că produsul nu se schimbă din rearanjarea factorilor:. Trebuie să vă avertizez, la matematică superioară cu această abordare, este ușor să spargi lemne. Deci, de exemplu, proprietatea deplasării nu este valabilă pentru matrici algebrice... De asemenea, nu este adevărat pentru produs vectorial al vectorilor... Prin urmare, cel puțin este mai bine să vă aprofundați în orice proprietăți pe care le întâlniți în cursul matematicii superioare pentru a înțelege ce se poate și ce nu se poate face.

Exemplul 3

.

Soluţie: Mai întâi, să clarificăm situația cu vectorul. Ce este asta oricum? Suma vectorilor și este un vector bine definit, care este notat cu. Interpretarea geometrică a acțiunilor cu vectori poate fi găsită în articol Vectori pentru manechine... Același pătrunjel cu un vector este suma vectorilor și.

Deci, după condiție, este necesar să găsiți produsul punctual. În teorie, trebuie să aplicați formula de lucru , dar problema este că nu știm lungimile vectorilor și unghiul dintre ei. Dar condiția oferă parametri similari pentru vectori, așa că vom merge în altă direcție:

(1) Înlocuiți expresii vectoriale.

(2) Extindem parantezele după regula înmulțirii polinoamelor, un răsucitor de limbi vulgar poate fi găsit în articol Numere complexe sau Integrarea unei funcții raționale fracționale... Nu mă voi repeta =) Apropo, proprietatea de distribuție a produsului scalar ne permite să extindem parantezele. Avem dreptul.

(3) În primul și ultimul termen, scriem compact pătrate scalare ale vectorilor: ... În al doilea termen, folosim permutabilitatea produsului scalar:.

(4) Dăm termeni similari:.

(5) În primul termen, folosim formula pătratului scalar, care a fost menționată nu cu mult timp în urmă. În ultimul termen, respectiv, funcționează același lucru:. Extindem al doilea termen cu formula standard .

(6) Inlocuim aceste conditii , și faceți cu ATENȚIE calculele finale.

Răspuns:

Sensul negativ produsul punctual afirmă faptul că unghiul dintre vectori este obtuz.

Sarcina este tipică, iată un exemplu pentru o soluție independentă:

Exemplul 4

Aflați produsul scalar al vectorilor și, dacă se știe că .

Acum o altă sarcină comună, doar pentru noua formulă pentru lungimea unui vector. Denumirile de aici se vor suprapune ușor, așa că pentru claritate, o voi rescrie cu o altă literă:

Exemplul 5

Aflați lungimea vectorului dacă .

Soluţie va fi după cum urmează:

(1) Furnizați o expresie vectorială.

(2) Folosim formula lungimii:, în timp ce întreaga expresie acționează ca un vector „ve”.

(3) Folosim formula școlară pătratul sumei. Observați cum funcționează în mod curios aici: - de fapt, este pătratul diferenței și, de fapt, este. Cei interesați pot rearanja vectorii pe alocuri: - la fel a ieșit până la o rearanjare a termenilor.

(4) Restul este deja familiar din cele două probleme anterioare.

Răspuns:

Atâta timp cât vorbim despre lungime, nu uitați să indicați dimensiunea - „unități”.

Exemplul 6

Aflați lungimea vectorului dacă .

Acesta este un exemplu pentru o soluție do-it-yourself. Soluție completăși răspunsul la sfârșitul lecției.

Continuăm să stoarcem lucruri utile din produsul punctual. Să ne uităm din nou la formula noastră ... Conform regulii proporției, să resetam lungimile vectorilor la numitorul părții stângi:

Și vom schimba piesele:

Care este sensul acestei formule? Dacă cunoașteți lungimile a doi vectori și produsul lor punctual, atunci puteți calcula cosinusul unghiului dintre acești vectori și, prin urmare, unghiul în sine.

Produsul punctual este un număr? Număr. Lungimile vectorilor sunt numere? Numerele. Prin urmare, fracția este, de asemenea, un anumit număr. Și dacă cosinusul unghiului este cunoscut: , atunci folosind funcția inversă este ușor să găsiți unghiul în sine: .

Exemplul 7

Aflați unghiul dintre vectori și, dacă se știe că.

Soluţie: Folosim formula:

În etapa finală a calculelor, a fost utilizată o tehnică - eliminarea iraționalității în numitor. Pentru a elimina iraționalitatea, am înmulțit numărătorul și numitorul cu.

Astfel, dacă , atunci:

Valori inversate funcții trigonometrice poate fi găsit de către tabel trigonometric... Deși acest lucru se întâmplă rar. În problemele de geometrie analitică, un fel de urs stângace apare mult mai des, iar valoarea unghiului trebuie găsită aproximativ folosind un calculator. De fapt, vom vedea o astfel de imagine de mai multe ori.

Răspuns:

Din nou, nu uitați să indicați dimensiunea - radiani și grade. Personal, pentru a „șterge toate întrebările” cu bună știință, prefer să indică atât asta, cât și asta (cu excepția cazului, desigur, prin condiție, se cere să prezinte răspunsul doar în radiani sau doar în grade).

Acum te poți descurca mai mult sarcină dificilă:

Exemplul 7 *

Sunt date lungimile vectorilor și unghiul dintre ei. Găsiți unghiul dintre vectori,.

Sarcina nu este chiar atât de dificilă ca în mai mulți pași.
Să analizăm algoritmul de soluție:

1) În funcție de condiție, este necesar să găsiți unghiul dintre vectori și, prin urmare, trebuie să utilizați formula .

2) Găsiți produsul scalar (vezi Exemplele nr. 3, 4).

3) Aflați lungimea vectorului și lungimea vectorului (vezi Exemplele nr. 5, 6).

4) Sfârșitul soluției coincide cu Exemplul nr. 7 - cunoaștem numărul, ceea ce înseamnă că este ușor de găsit unghiul în sine:

O scurtă soluție și răspuns la sfârșitul tutorialului.

A doua secțiune a lecției se concentrează pe același produs punctual. Coordonatele. Va fi chiar mai ușor decât în ​​prima parte.

produsul punctual al vectorilor,
dat de coordonate în bază ortonormală

Răspuns:

Inutil să spun că a face cu coordonatele este mult mai plăcută.

Exemplul 14

Găsiți produsul scalar al vectorilor și, dacă

Acesta este un exemplu pentru o soluție do-it-yourself. Aici puteți folosi asociativitatea operației, adică nu numărați, ci mutați imediat triplul din produsul scalar și înmulțiți cu acesta ultimul. Soluție și răspuns la sfârșitul lecției.

La sfârșitul paragrafului, un exemplu provocator de calculare a lungimii unui vector:

Exemplul 15

Aflați lungimile vectorilor , dacă

Soluţie: din nou se sugerează modul din secțiunea anterioară:, dar există o altă cale:

Găsiți vectorul:

Și lungimea sa după formula trivială :

Produsul punctual este exclus aici!

Ca în afara afacerii, atunci când se calculează lungimea unui vector:
Stop. De ce să nu profitați de proprietatea evidentă a lungimii vectorului? Dar lungimea vectorului? Acest vector este de 5 ori mai lung decât vectorul. Direcția este opusă, dar nu contează, pentru că conversația este despre lungime. Evident, lungimea vectorului este egală cu produsul modul numere pe lungimea vectorului:
- semnul modulului „mănâncă” un posibil minus al numărului.

Prin urmare:

Răspuns:

Formula pentru cosinusul unghiului dintre vectori, care sunt date prin coordonate

acum avem informatii complete astfel încât formula derivată anterior pentru cosinusul unghiului dintre vectori exprima prin coordonatele vectorilor:

Cosinusul unghiului dintre vectorii planuluiși dat pe o bază ortonormală, exprimat prin formula:
.

Cosinusul unghiului dintre vectorii spațiali dat pe o bază ortonormală, exprimat prin formula:

Exemplul 16

Sunt date trei vârfuri ale triunghiului. Găsiți (unghiul vârfului).

Soluţie: Conform condiției, desenul nu este necesar să fie efectuat, dar totuși:

Unghiul necesar este marcat cu un arc verde. Amintiți-vă imediat desemnarea școlii a unghiului: - Atentie speciala pe in medie litera - acesta este vârful colțului de care avem nevoie. Pentru concizie, ar putea fi scris și simplu.

Din desen este destul de evident că unghiul triunghiului coincide cu unghiul dintre vectori și, cu alte cuvinte: .

Este indicat să înveți cum să efectuezi analiza efectuată mental.

Găsiți vectori:

Să calculăm produsul punctual:

Și lungimile vectorilor:

Cosinusul unghiului:

Aceasta este ordinea îndeplinirii sarcinii pe care o recomand ceainicurilor. Cititorii mai sofisticați pot scrie calcule „pe o singură linie”:

Iată un exemplu de valoare a cosinusului „proastă”. Valoarea rezultată nu este finală, așa că nu are rost să scapi de iraționalitatea la numitor.

Să găsim colțul în sine:

Dacă te uiți la desen, rezultatul este destul de plauzibil. Pentru verificare, unghiul poate fi măsurat și cu un raportor. Nu deteriorați capacul monitorului =)

Răspuns:

În răspuns, nu uitați că întrebat despre unghiul triunghiului(și nu despre unghiul dintre vectori), nu uitați să indicați răspunsul exact: și valoarea aproximativă a unghiului: găsit cu calculatorul.

Cei cărora le-a plăcut procesul pot calcula unghiurile și se pot asigura că egalitatea canonică este adevărată

Exemplul 17

Un triunghi este definit în spațiu de coordonatele vârfurilor sale. Aflați unghiul dintre laturile și

Acesta este un exemplu pentru o soluție do-it-yourself. Soluție completă și răspuns la sfârșitul tutorialului

O scurtă secțiune finală va fi dedicată proiecțiilor, în care produsul scalar este, de asemenea, „mixt”:

Proiecție de la vector la vector. Proiecția vectorului la axele de coordonate.
Cosinusurile de direcție ale unui vector

Luați în considerare vectorii și:

Proiectăm vectorul pe vector, pentru aceasta omitem de la începutul și sfârșitul vectorului perpendiculare pe vector (linii punctate verzi). Imaginează-ți că razele de lumină cad perpendicular pe vector. Apoi segmentul (linia roșie) va fi „umbra” vectorului. În acest caz, proiecția vectorului pe vector este LUNGIMEA segmentului. Adică PROIECȚIA ESTE UN NUMĂR.

Acest NUMĂR este notat după cum urmează: "vector mare" denotă un vector CARE proiect, „vector indice mic” denotă un vector PE care se proiectează.

Înregistrarea în sine arată astfel: „proiecția vectorului” a „pe vector” bh „”.

Ce se întâmplă dacă vectorul „bs” este „prea scurt”? Desenăm o linie dreaptă care conține vectorul „fi”. Și vectorul „a” va fi proiectat deja pe direcția vectorului „bh”, pur și simplu - pe linia dreaptă care conține vectorul „fi”. Același lucru se va întâmpla dacă vectorul „a” este amânat în al treizeci și zecelea regat - va fi totuși proiectat cu ușurință pe linia dreaptă care conține vectorul „bh”.

Dacă unghiulîntre vectori picant(ca in poza), atunci

Dacă vectori ortogonală, atunci (proiecția este un punct ale cărui dimensiuni sunt presupuse a fi zero).

Dacă unghiulîntre vectori prost(în figură, rearanjați mental săgeata vectorului), apoi (aceeași lungime, dar luată cu semnul minus).

Să amânăm acești vectori dintr-un punct:

Evident, atunci când vectorul se mișcă, proiecția lui nu se modifică

Instrucțiuni

Fie dați doi vectori nenuli pe plan, reprezentați grafic dintr-un punct: vector A cu coordonatele (x1, y1) B cu coordonatele (x2, y2). Injecţieîntre ele se notează θ. Pentru a găsi măsura gradului unghiului θ, trebuie să utilizați definiția produsului scalar.

Produsul scalar a doi vectori nenuli este un număr egal cu produsul dintre lungimile acestor vectori și cosinusul unghiului dintre ei, adică (A, B) = | A | * | B | * cos (θ) . Acum trebuie să exprimați cosinusul unghiului din data: cos (θ) = (A, B) / (| A | * | B |).

Produsul scalar poate fi găsit și prin formula (A, B) = x1 * x2 + y1 * y2, deoarece produsul a doi vectori nenuli este egal cu suma produselor vectorilor corespunzători. Dacă produsul scalar al vectorilor nenuli este egal cu zero, atunci vectorii sunt perpendiculari (unghiul dintre ei este de 90 de grade) și pot fi omise calcule suplimentare. Dacă produsul scalar al doi vectori este pozitiv, atunci unghiul dintre aceștia vectori ascuțit, iar dacă este negativ, unghiul este obtuz.

Acum calculați lungimile vectorilor A și B cu formulele: | A | = √ (x1² + y1²), | B | = √ (x2² + y2²). Lungimea unui vector este calculată ca rădăcină pătrată a sumei pătratelor coordonatelor sale.

Înlocuiți valorile găsite ale produsului scalar și ale lungimii vectoriale în formula pentru unghiul obținut la pasul 2, adică cos (θ) = (x1 * x2 + y1 * y2) / (√ (x1² + y1²) + √ (x2² + y2²)). Acum, cunoscând valoarea, să găsim gradul de măsură a unghiului dintre vectori trebuie să folosiți tabelul Bradis sau să luați de aici: θ = arccos (cos (θ)).

Dacă vectorii A și B sunt specificați în spațiul tridimensional și au coordonatele (x1, y1, z1) și respectiv (x2, y2, z2), atunci când se află cosinusul unui unghi, se adaugă încă o coordonată. În acest caz, cosinusul este: cos (θ) = (x1 * x2 + y1 * y2 + z1 * z2) / (√ (x1² + y1² + z1²) + √ (x2² + y2² + z2²)).

Sfaturi utile

Dacă doi vectori nu sunt reprezentați din același punct, atunci pentru a găsi unghiul dintre ei prin translație paralelă, trebuie să combinați începuturile acestor vectori.
Unghiul dintre doi vectori nu poate fi mai mare de 180 de grade.

Surse:

• cum se calculează unghiul dintre vectori
• Unghiul dintre linie și plan

Pentru a rezolva multe probleme, atât aplicate, cât și teoretice, din fizică și algebră liniară, este necesar să se calculeze unghiul dintre vectori. Această sarcină aparent simplă poate provoca o mulțime de dificultăți dacă nu înțelegeți clar esența produsului punct și ce valoare apare ca urmare a acestui produs.

Instrucțiuni

Unghiul dintre vectori în vector spațiu liniar Este unghiul minim la care vectorii sunt co-direcționați. Unul dintre vectori este desenat în jurul punctului său de pornire. Din definiție devine evident că valoarea unghiului nu poate depăși 180 de grade (vezi pasul).

În acest caz, se presupune pe bună dreptate că, într-un spațiu liniar, atunci când se efectuează un transfer paralel de vectori, unghiul dintre ei nu se schimbă. Prin urmare, pentru calculul analitic al unghiului, orientarea spațială a vectorilor nu contează.

Rezultatul produsului scalar este un număr, altfel un scalar. Amintiți-vă (acest lucru este important de știut) pentru a evita erorile în calculele ulterioare. Formula pentru produsul punctual situat pe un plan sau într-un spațiu vectorial are forma (vezi figura pentru pas).

Dacă vectorii sunt localizați în spațiu, atunci calculați în același mod. Singurul lucru va fi apariția termenului în dividend - acesta este termenul pentru solicitant, i.e. a treia componentă a vectorului. În consecință, atunci când se calculează modulul vectorilor, trebuie luată în considerare și componenta z, apoi pentru vectorii aflați în spațiu, ultima expresie este transformată după cum urmează (vezi Figura 6 până la pas).

Un vector este un segment de linie cu o direcție dată. Unghiul dintre vectori are o semnificație fizică, de exemplu, atunci când se află lungimea proiecției vectorului pe o axă.

Instrucțiuni

Unghiul dintre doi vectori non-zero folosind calculul produsului punctual. Prin definiție, produsul este egal cu produsul dintre lungimi și unghiul dintre ele. Pe de altă parte, produsul scalar pentru doi vectori a cu coordonate (x1; y1) și b cu coordonate (x2; y2) se calculează: ab = x1x2 + y1y2. Dintre aceste două moduri, produsul punctual este ușor unghiul dintre vectori.

Aflați lungimile sau modulele vectorilor. Pentru vectorii noștri a și b: | a | = (x1² + y1²) ^ 1/2, | b | = (x2² + y2²) ^ 1/2.

Aflați produsul scalar al vectorilor înmulțind coordonatele lor în perechi: ab = x1x2 + y1y2. Din definiția produsului scalar ab = | a | * | b | * cos α, unde α este unghiul dintre vectori. Atunci obținem că x1x2 + y1y2 = | a | * | b | * cos α. Atunci cos α = (x1x2 + y1y2) / (| a | * | b |) = (x1x2 + y1y2) / ((x1² + y1²) (x2² + y2²)) ^ 1/2.

Găsiți unghiul α folosind tabelele Bradis.

Videoclipuri similare

Notă

Produsul scalar este o caracteristică scalară a lungimii vectorilor și a unghiului dintre ei.

Planul este unul dintre conceptele originale în geometrie. Un plan este o suprafață pentru care afirmația este adevărată - orice linie care leagă două dintre punctele sale aparține în întregime acestei suprafețe. Planurile sunt de obicei notate cu literele grecești α, β, γ etc. Două planuri se intersectează întotdeauna într-o linie dreaptă care aparține ambelor plane.

Instrucțiuni

Luați în considerare semiplanurile α și β formate la intersecție. Unghiul format dintr-o dreaptă a și două semiplane α și β de un unghi diedru. În acest caz, semiplanele care formează unghiul diedru de către fețe, linia dreaptă a de-a lungul căreia se intersectează planele se numește muchia unghiului diedru.

Unghiul diedru, ca și unghiul plan, în grade. Pentru a face un unghi diedric este necesar să selectați pe fața sa un punct arbitrar O. În ambele, prin punctul O sunt trase două raze a. Unghiul format AOB se numește unghiul liniar al unghiului diedru a.

Deci, să fie dat un vector V = (a, b, c) și un plan A x + B y + C z = 0, unde A, B și C sunt coordonatele normalei N. Atunci cosinusul unghiului α între vectorii V și N este egal cu: сos α = (a A + b B + c C) / (√ (a² + b² + c²) √ (A² + B² + C²)).

Pentru a calcula valoarea unghiului în grade sau radiani, trebuie să calculați funcția inversă cosinusului din expresia rezultată, i.e. cosinus invers: α = arccos ((a A + b B + c C) / (√ (a² + b² + c²) √ (A² + B² + C²))).

Exemplu: găsiți injecţieîntre vector(5, -3, 8) și avion dat de ecuație generală 2 x - 5 y + 3 z = 0 Rezolvare: notează coordonatele vectorului normal al planului N = (2, -5, 3). Înlocuiește totul valori cunoscuteîn formula de mai sus: cos α = (10 + 15 + 24) / √3724 ≈ 0,8 → α = 36,87 °.

Videoclipuri similare

Alcătuiți egalitatea și izolați cosinusul de ea. Conform unei formule, produsul scalar al vectorilor este egal cu lungimile lor înmulțite între ele și cu cosinusul colţ, iar pe de altă parte - suma produselor coordonatelor de-a lungul fiecărei axe. Echivalând ambele formule, putem concluziona că cosinusul colţ ar trebui să fie egal cu raportul dintre suma produselor coordonatelor și produsul lungimilor vectorilor.

Notați egalitatea rezultată. Pentru a face acest lucru, trebuie să desemnați ambii vectori. Să presupunem că sunt date într-un sistem cartezian 3D și punctele lor de plecare într-o grilă de coordonate. Direcția și mărimea primului vector vor fi date de punctul (X₁, Y₁, Z₁), al doilea - (X₂, Y₂, Z₂) și notează unghiul cu litera γ. Apoi, lungimile fiecăruia dintre vectori pot, de exemplu, prin teorema lui Pitagora pentru, formate din proiecțiile lor pe fiecare dintre axele de coordonate: √ (X₁² + Y₁² + Z₁²) și √ (X₂² + Y₂² + Z₂²). Înlocuiți aceste expresii în formula formulată în pasul anterior și obțineți egalitate: cos (γ) = (X₁ * X₂ + Y₁ * Y₂ + Z₁ * Z₂) / (√ (X₁² + Y₁² + Z₁²) * √ (X₂² + Y₂²) + Z22)).

Folosiți faptul că suma pătratului sinusuluiși a sinusului din colţ o cantitate dă întotdeauna una. Prin urmare, ridicând rezultatul obținut în pasul anterior pentru ko sinusului pătrat și scăzut din unu și apoi