Vârful unei piramide patruunghiulare. Piramidă. Piramida corectă
piramida regulata
În această lecție ne vom familiariza cu conceptul de piramidă și îi vom da o definiție. Luați în considerare un poligon...A 1 A 2 A n , care se află în planul α și punctul P , care se află în planul α și punctul, care nu se află în planul α (Fig. 1). Să conectăm punctele cu vârfuri, … A 1 A 2 A 1, A 2, A 3 . Primim n triunghiuri:, A 1 A 2 R A 2 A 3 R
și așa mai departe. Definiţie . Poliedru RA 1 A 2 ...A n . Primim, alcătuită din Luați în considerare un poligon...A 1 A 2-pătrat . PrimimŞi triunghiuri, RA 1 A 2 …RA 2 A 3 RA n A n . Primim-1 este numit
-piramida cărbunelui. Orez. 1.
Orez. 1 Luați în considerare o piramidă patruunghiulară PABCD
(Fig. 2). R
- vârful piramidei. ABCD
- baza piramidei. RA
- coasta laterala. AB
- coasta de baza. (Fig. 2). Din punct de vedere să scăpăm perpendiculara RN la planul de bază ABCD
. Perpendiculara desenată este înălțimea piramidei.
Orez. 2
Suprafața completă a piramidei este formată din suprafața laterală, adică aria tuturor fețelor laterale și aria bazei:
S plin = S lateral + S principal
- O piramidă se numește corectă dacă: temelia sa -;
- poligon regulat
segmentul care leagă vârful piramidei de centrul bazei este înălțimea acesteia. Explicație folosind un exemplu de corect
piramida patruunghiulara Luați în considerare o piramidă patruunghiulară Luați în considerare o piramidă patruunghiulară obișnuită
(Fig. 2).(Fig. 3). la planul de bază- vârful piramidei. Baza piramidei - un patrulater regulat, adică un pătrat. Punct DESPRE , punctul de intersecție al diagonalelor, este centrul pătratului. Mijloace, RO
este înălțimea piramidei.
Orez. 3 Explicaţie : în corect n
Într-un triunghi, centrul cercului înscris și centrul cercului circumscris coincid. Acest centru se numește centrul poligonului. Uneori se spune că vârful este proiectat în centru. Se numește înălțimea feței laterale a unei piramide regulate trasă din vârful acesteia apotema si este desemnat.
h a 1. totul coaste laterale
ale unei piramide regulate sunt egale;
2. Fețele laterale sunt triunghiuri isoscele egale.
Vom da o dovadă a acestor proprietăți folosind exemplul unei piramide patruunghiulare obișnuite.: Dat PABCD
la planul de bază- piramida patruunghiulara regulata,
, punctul de intersecție al diagonalelor, este centrul pătratului. Mijloace,- pătrat,
- inaltimea piramidei.:
1. Dovedi
2.∆ABP = ∆BCP =∆CDP =∆DAP Vezi Fig. 4.
Orez. 4
Dovada.
, punctul de intersecție al diagonalelor, este centrul pătratului. Mijloace,- inaltimea piramidei. Adică drept , punctul de intersecție al diagonalelor, este centrul pătratului. Mijloace, perpendicular pe plan ABC, și deci direct SA, VO, SO-pătrat DO culcat în ea. Deci triunghiuri ROA, ROV, ROS, ROD- dreptunghiular.
Luați în considerare un pătrat la planul de bază. Din proprietățile unui pătrat rezultă că AO = VO = CO = DO.
Apoi triunghiurile dreptunghiulare ROA, ROV, ROS, ROD picior , punctul de intersecție al diagonalelor, este centrul pătratului. Mijloace,- general si picioare SA, VO, SO-pătrat DO sunt egale, ceea ce înseamnă că aceste triunghiuri sunt egale pe două laturi. Din egalitatea triunghiurilor rezultă egalitatea segmentelor, RA = PB = RS = PD. Punctul 1 a fost dovedit.
Segmente - coasta laterala.Şi Soare sunt egale pentru că sunt laturile aceluiași pătrat, RA = PB = RS. Deci triunghiuri AVRŞi VSR - isoscel și egal pe trei laturi.
Într-un mod similar găsim că triunghiurile ABP, VCP, CDP, DAP sunt isoscele și egale, așa cum este necesar să se dovedească la paragraful 2.
Aria suprafeței laterale a unei piramide regulate este egală cu jumătate din produsul dintre perimetrul bazei și apotema:
Pentru a demonstra acest lucru, să alegem o piramidă triunghiulară obișnuită.
Vom da o dovadă a acestor proprietăți folosind exemplul unei piramide patruunghiulare obișnuite.: RAVS- piramida triunghiulara regulata.
AB = BC = AC.
, punctul de intersecție al diagonalelor, este centrul pătratului. Mijloace,- înălțime.
- inaltimea piramidei.: 
. Vezi fig. 5.
Orez. 5
Dovada.
RAVS- piramida triunghiulara regulata. Adică - coasta laterala.= AC = BC. Lasă - un patrulater regulat, adică un pătrat. Punct- centrul triunghiului ABC, Atunci , punctul de intersecție al diagonalelor, este centrul pătratului. Mijloace, este înălțimea piramidei. La baza piramidei se află un triunghi echilateral ABC. Rețineți că 
.
Triunghiuri RAV, RVS, RSA- triunghiuri isoscele egale (după proprietate). U piramidă triunghiulară trei fețe laterale: RAV, RVS, RSA. Aceasta înseamnă că aria suprafeței laterale a piramidei este:
Partea S = 3S RAW
Teorema a fost demonstrată.
Raza unui cerc înscris la baza unei piramide patrulatere obișnuite este de 3 m, înălțimea piramidei este de 4 m Aflați aria suprafeței laterale a piramidei.
Vom da o dovadă a acestor proprietăți folosind exemplul unei piramide patruunghiulare obișnuite.: piramidă patruunghiulară regulată la planul de bază,
la planul de bază- piramida patruunghiulara regulata,
r= 3 m,
, punctul de intersecție al diagonalelor, este centrul pătratului. Mijloace,- inaltimea piramidei,
, punctul de intersecție al diagonalelor, este centrul pătratului. Mijloace,= 4 m.
Găsi: partea S. Vezi fig. 6.
Orez. 6
Soluţie.
Conform teoremei dovedite, .
Să găsim mai întâi partea laterală a bazei - coasta laterala.. Știm că raza unui cerc înscris la baza unei piramide patruunghiulare regulate este de 3 m.
Apoi, m.
Aflați perimetrul pătratului la planul de bază cu latura de 6 m:
Luați în considerare un triunghi BCD. Lasă M- mijlocul lateral DC. Deoarece - un patrulater regulat, adică un pătrat. Punct- mijloc BD, Asta 
(m).
Triunghi DPC- isoscel. M- mijloc DC. adica RM- mediana, și deci înălțimea în triunghi DPC. Apoi RM- apotema piramidei.
, punctul de intersecție al diagonalelor, este centrul pătratului. Mijloace,- inaltimea piramidei. Apoi, drept , punctul de intersecție al diagonalelor, este centrul pătratului. Mijloace, perpendicular pe plan ABC, și deci direct OM, culcat în ea. Să găsim apotema RM dintr-un triunghi dreptunghic ROM.
Acum putem găsi suprafata laterala piramide:
Răspuns: 60 m2.
Raza cercului circumscris bazei unei piramide triunghiulare regulate este egală cu m Aria suprafeței laterale este de 18 m2. Aflați lungimea apotemului.
Vom da o dovadă a acestor proprietăți folosind exemplul unei piramide patruunghiulare obișnuite.: ABCP- piramida triunghiulara regulata,
AB = BC = SA,
R= m,
Latura S = 18 m2.
Găsi: . Vezi fig. 7.
Orez. 7
Soluţie.
Într-un triunghi dreptunghic ABC Este dată raza cercului circumscris. Să găsim o parte - coasta laterala. acest triunghi folosind legea sinusurilor.
Cunoscând latura unui triunghi regulat (m), găsim perimetrul acestuia.
Prin teorema de pe suprafața laterală a unei piramide regulate, unde si este desemnat- apotema piramidei. Apoi:
Răspuns: 4 m.
Deci, ne-am uitat la ce este o piramidă, ce este o piramidă obișnuită și am demonstrat teorema despre suprafața laterală a unei piramide obișnuite. În lecția următoare ne vom familiariza cu piramida trunchiată.
Referințe
- Geometrie. Clasele 10-11: manual pentru elevi institutii de invatamant(de bază și niveluri de profil) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - Ed. a 5-a, rev. si suplimentare - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 p.: ill.
- Geometrie. Clasa 10-11: Manual pentru învățământul general institutii de invatamant/ Sharygin I.F. - M.: Gutarda, 1999. - 208 p.: ill.
- Geometrie. Nota a 10-a: Manual pentru instituţiile de învăţământ general cu aprofundare şi studiu de specialitate matematică /E. V. Potoskuev, L. I. Zvalich. - Ed. a VI-a, stereotip. - M.: Butard, 008. - 233 p.: ill.
- Portalul de internet „Yaklass” ()
- Portalul de internet „Festival idei pedagogice„Primul septembrie” ()
- Portalul de internet „Slideshare.net” ()
Teme pentru acasă
- Poate un poligon regulat să fie baza unei piramide neregulate?
- Demonstrați că muchiile disjunse ale unei piramide regulate sunt perpendiculare.
- Aflați valoarea unghiului diedrului de pe latura bazei unei piramide patruunghiulare regulate dacă apotema piramidei este egală cu latura bazei acesteia.
- RAVS- piramida triunghiulara regulata. Construiți unghiul liniar al unghiului diedric de la baza piramidei.
Ipoteză: credem că perfecţiunea formei piramidei se datorează legilor matematice inerente formei acesteia.
Ţintă: studiind piramida ca corp geometric, pentru a explica perfectiunea formei sale.
Sarcini:
1. Dă definiție matematică piramidă.
2. Studiați piramida ca corp geometric.
3. Înțelegeți ce cunoștințe matematice au încorporat egiptenii în piramidele lor.
Întrebări private:
1. Ce este o piramidă ca corp geometric?
2. Cum poate fi explicată din punct de vedere matematic forma unică a piramidei?
3. Ce explică minunile geometrice ale piramidei?
4. Ce explică perfecțiunea formei piramidei?
Definiția piramidei.
PIRAMIDĂ (din greacă pyramis, gen. pyramidos) - un poliedru a cărui bază este un poligon, iar fețele rămase sunt triunghiuri având un vârf comun (desen). Pe baza numărului de colțuri ale bazei, piramidele sunt clasificate ca triunghiulare, patrulatere etc.
PIRAMIDĂ - o structură monumentală care are forma geometrică a unei piramide (uneori și în trepte sau în formă de turn). Piramidele sunt numele dat mormintelor gigantice ale vechilor faraoni egipteni din mileniul III-II î.Hr. e., precum și vechile socluri ale templului american (în Mexic, Guatemala, Honduras, Peru), asociate cu cultele cosmologice.
Este posibil ca cuvânt grecesc„Piramidă” provine din expresia egipteană per-em-us, adică dintr-un termen care înseamnă înălțimea piramidei. Remarcabilul egiptolog rus V. Struve credea că grecescul „puram...j” provine din vechiul egiptean „p”-mr”.
Din istorie. După ce am studiat materialul din manualul „Geometrie” de către autorii lui Atanasyan. Butuzov și alții, am aflat că: Un poliedru compus dintr-un n-gon A1A2A3 ... Un și n triunghiuri PA1A2, PA2A3, ..., PAnA1 se numește piramidă. Poligonul A1A2A3...An este baza piramidei, iar triunghiurile PA1A2, PA2A3,..., PAnA1 sunt fețele laterale ale piramidei, P este vârful piramidei, segmentele PA1, PA2,.. ., PAn sunt marginile laterale.
Cu toate acestea, această definiție a unei piramide nu a existat întotdeauna. De exemplu, matematicianul grec antic, autorul tratatelor teoretice de matematică care au ajuns până la noi, Euclid, definește o piramidă ca fiind o figură solidă delimitată de planuri care converg de la un plan la un punct.
Dar această definiție a fost criticată deja în vremuri străvechi. Deci Heron a propus următoarea definiție a unei piramide: „Este o figură delimitată de triunghiuri care converg într-un punct și a cărei bază este un poligon.”
Grupul nostru, comparând aceste definiții, a ajuns la concluzia că nu au o formulare clară a conceptului de „fundație”.
Am examinat aceste definiții și am găsit definiția lui Adrien Marie Legendre, care în 1794 în lucrarea sa „Elementele de geometrie” definește o piramidă astfel: „O piramidă este o figură solidă formată din triunghiuri care converg într-un punct și se termină pe diferite laturi ale o bază plată.”
Ni se pare că ultima definiție oferă o idee clară despre piramidă, deoarece vorbește despre faptul că baza este plată. O altă definiție a piramidei a apărut într-un manual din secolul al XIX-lea: „o piramidă este un unghi solid intersectat de un plan”.
Piramida ca corp geometric.
Că. O piramidă este un poliedru, una dintre ale cărui fețe (bază) este un poligon, fețele rămase (laturile) sunt triunghiuri care au un vârf comun (vârful piramidei).
Se numește perpendiculara trasată din vârful piramidei pe planul bazei înălţimeh piramide.
Pe lângă piramida arbitrară, există piramida corecta la baza căruia se află un poligon regulat şi trunchi de piramidă.
În figură există o piramidă PABCD, ABCD este baza sa, PO este înălțimea sa.
Zonă suprafata intreaga piramida este suma ariilor tuturor fețelor sale.
Sfull = Sside + Smain, Unde Latura– suma suprafețelor fețelor laterale.
Volumul piramidei se gaseste prin formula:
V=1/3Sbas. h, unde Sbas. - suprafata de baza, h- înălțime.
 |
|
Apotema ST este înălțimea feței laterale a unei piramide obișnuite.
Aria feței laterale a unei piramide regulate este exprimată astfel: Sside. =1/2P h, unde P este perimetrul bazei, h- inaltimea fetei laterale (apotema unei piramide regulate). Dacă piramida este intersectată de planul A’B’C’D’, paralel cu baza, atunci:
1) nervurile laterale și înălțimea sunt împărțite de acest plan în părți proporționale;
2) în secțiune transversală se obține un poligon A’B’C’D’, asemănător bazei;
https://pandia.ru/text/78/390/images/image017_1.png" width="287" height="151">
Bazele unei piramide trunchiate– poligoane similare ABCD și A`B`C`D`, fețele laterale sunt trapeze.
Înălţime trunchi de piramidă - distanța dintre baze.
Volum trunchiat piramida se gaseste dupa formula:
V=1/3 h(S + https://pandia.ru/text/78/390/images/image019_2.png" align="left" width="91" height="96"> Suprafața laterală a unei piramide trunchiate obișnuite se exprimă astfel: Sside = ½(P+P') h, unde P și P’ sunt perimetrele bazelor, h- înălțimea feței laterale (apotema unui piram trunchiat obișnuit
Secțiuni ale unei piramide.
Secțiunile unei piramide prin planuri care trec prin vârful ei sunt triunghiuri.
O secțiune care trece prin două margini laterale neadiacente ale unei piramide se numește secțiune diagonală.
Dacă secțiunea trece printr-un punct de pe marginea laterală și pe partea bazei, atunci urma sa până în planul bazei piramidei va fi această parte.
O secțiune care trece printr-un punct situat pe fața piramidei și o urmă de secțiune dată pe planul de bază, apoi construcția trebuie efectuată după cum urmează:
· găsiți punctul de intersecție al planului unei fețe date și urma secțiunii piramidei și desemnați-o;
construiți o linie dreaptă care trece prin punct datși punctul de intersecție rezultat;
· repetați acești pași pentru fețele următoare.
, care corespunde raportului catetelor unui triunghi dreptunghic 4:3. Acest raport al picioarelor corespunde binecunoscutului triunghi dreptunghic cu laturile 3:4:5, care se numește triunghiul „perfect”, „sacru” sau „egiptean”. Potrivit istoricilor, a fost dat triunghiul „egiptean”. sens magic. Plutarh a scris că egiptenii au comparat natura universului cu un triunghi „sacru”; au asemănat simbolic piciorul vertical cu soțul, baza cu soția și ipotenuza cu ceea ce se naște din ambele.
Pentru un triunghi 3:4:5, egalitatea este adevărată: 32 + 42 = 52, care exprimă teorema lui Pitagora. Nu această teoremă au vrut să o perpetueze preoții egipteni ridicând o piramidă bazată pe triunghiul 3:4:5? Este greu de găsit un exemplu mai reușit pentru a ilustra teorema lui Pitagora, care era cunoscută egiptenilor cu mult înainte de descoperirea ei de către Pitagora.
Astfel, genialii creatori ai piramidelor egiptene au căutat să uimească descendenții îndepărtați cu profunzimea cunoștințelor lor și au reușit acest lucru alegând-o pe cea „de aur” ca „idee geometrică principală” pentru piramida lui Keops. triunghi dreptunghic, iar pentru piramida lui Khafre - triunghiul „sacru” sau „egiptean”.
Foarte des în cercetările lor, oamenii de știință folosesc proprietățile piramidelor cu proporții ale raportului de aur.
În matematică dicţionar enciclopedic Este dată următoarea definiție a Secțiunii de Aur - aceasta este o diviziune armonică, diviziune în raport extrem și mediu - împărțind segmentul AB în două părți, astfel încât partea sa mai mare AC să fie media proporțională între întregul segment AB și partea mai mica NE.
Determinarea algebrică a secțiunii de aur a unui segment AB = a reduce la rezolvarea ecuației a: x = x: (a – x), din care x este aproximativ egal cu 0,62a. Raportul x poate fi exprimat ca fracții 2/3, 3/5, 5/8, 8/13, 13/21...= 0,618, unde 2, 3, 5, 8, 13, 21 sunt numere Fibonacci.
Construcția geometrică a Secțiunii de Aur a segmentului AB se realizează astfel: în punctul B se restabilește perpendiculara pe AB, pe ea este așezat segmentul BE = 1/2 AB, A și E sunt conectate, DE = BE este concediat și, în final, AC = AD, atunci egalitatea AB este satisfăcută: CB = 2:3.
Raportul de aur este adesea folosit în opere de artă, arhitectură și se găsește în natură. Exemple vii sunt sculptura lui Apollo Belvedere, Partenonul. În timpul construcției Partenonului s-a folosit raportul dintre înălțimea clădirii și lungimea acesteia și acest raport este de 0,618. Obiectele din jurul nostru oferă, de asemenea, exemple ale raportului de aur, de exemplu, legăturile multor cărți au un raport lățime-lungime apropiat de 0,618. Având în vedere dispunerea frunzelor pe tulpina comună a plantelor, puteți observa că între fiecare două perechi de frunze a treia este situată la Raportul de Aur (diapozitive). Fiecare dintre noi „poartă” Raportul de Aur cu noi „în mâinile noastre” - acesta este raportul dintre falangele degetelor.
Datorită descoperirii mai multor papirusuri matematice, egiptologii au aflat câte ceva despre sistemele egiptene antice de calcul și măsurare. Sarcinile cuprinse în ele erau rezolvate de către cărturari. Unul dintre cele mai faimoase este Papirusul matematic Rhind. Studiind aceste probleme, egiptologii au învățat cum s-au ocupat egiptenii antici cu diferitele cantități care apăreau la calcularea măsurilor de greutate, lungime și volum, care implicau adesea fracții, precum și modul în care gestionau unghiurile.
Vechii egipteni foloseau o metodă de calcul a unghiurilor bazată pe raportul dintre înălțimea și baza unui triunghi dreptunghic. Ei exprimau orice unghi în limbajul unui gradient. Gradientul pantei a fost exprimat ca un raport de număr întreg numit „seced”. În Mathematics in the Age of the Pharaohs, Richard Pillins explică: „Seked-ul unei piramide regulate este înclinarea oricăreia dintre cele patru fețe triunghiulare față de planul bazei, măsurată prin al n-lea număr de unități orizontale per unitate verticală de ridicare. . Astfel, această unitate de măsură este echivalentă cu cotangentei noastre moderne a unghiului de înclinare. Prin urmare, cuvântul egiptean „seced” este legat de al nostru cuvânt modern"gradient"".
Cheia numerică a piramidelor constă în raportul dintre înălțimea lor și bază. ÎN în termeni practici- acesta este cel mai simplu mod de a realiza șabloanele necesare pentru verificare constantă unghiul corect de înclinare pe tot parcursul construcției piramidei.
Egiptologii ar fi bucuroși să ne convingă că fiecare faraon tânjea să-și exprime individualitatea, de aici și diferențele de unghiuri de înclinare pentru fiecare piramidă. Dar ar putea exista un alt motiv. Poate că toți au vrut să întruchipeze diferite asociații simbolice, ascunse în proporții diferite. Cu toate acestea, unghiul piramidei lui Khafre (bazat pe triunghi (3:4:5) apare în cele trei probleme prezentate de piramide din Papirusul matematic Rhind). Deci această atitudine era bine cunoscută vechilor egipteni.
Pentru a fi corect față de egiptologii care susțin că egiptenii antici nu cunoșteau triunghiul 3:4:5, lungimea ipotenuzei 5 nu a fost niciodată menționată. Dar probleme de matematicăîntrebările referitoare la piramide sunt întotdeauna decise pe baza celui de-al doilea unghi - raportul dintre înălțime și bază. Deoarece lungimea ipotenuzei nu a fost niciodată menționată, s-a ajuns la concluzia că egiptenii nu au calculat niciodată lungimea celei de-a treia laturi.
Raporturile înălțime-bază folosite în piramidele din Giza erau, fără îndoială, cunoscute egiptenilor antici. Este posibil ca aceste relații pentru fiecare piramidă să fi fost alese în mod arbitrar. Cu toate acestea, acest lucru contrazice importanța acordată simbolismului numerelor în toate tipurile de egiptean arte frumoase. Este foarte probabil ca astfel de relații să fie semnificative, deoarece exprimau idei religioase specifice. Cu alte cuvinte, întregul complex Giza a fost subordonat unui design coerent menit să reflecte o anumită temă divină. Acest lucru ar explica de ce designerii au ales unghiuri diferite pentru cele trei piramide.
În Misterul lui Orion, Bauval și Gilbert au prezentat dovezi convingătoare care leagă piramidele din Giza de constelația Orion, în special stelele din Centura lui Orion. Aceeași constelație este prezentă în mitul lui Isis și Osiris și există motive pentru a vedea fiecare piramidă. reprezentarea uneia dintre cele trei zeități principale - Osiris, Isis și Horus.
MIRACURI „GEOMETRICE”.
Printre grandioasele piramide ale Egiptului ocupă un loc aparte Marea Piramidă a faraonului Keops (Khufu). Înainte de a începe să analizăm forma și dimensiunea piramidei Keops, ar trebui să ne amintim ce sistem de măsuri au folosit egiptenii. Egiptenii aveau trei unități de lungime: un „cot” (466 mm), care era egal cu șapte „palme” (66,5 mm), care, la rândul lor, era egal cu patru „degete” (16,6 mm).
Să analizăm dimensiunile piramidei Keops (Fig. 2), urmând argumentele date în minunata carte a savantului ucrainean Nikolai Vasyutinsky „Proporția de aur” (1990).
Majoritatea cercetătorilor sunt de acord că lungimea laturii bazei piramidei, de exemplu, GF egal cu L= 233,16 m Această valoare corespunde aproape exact la 500 de „coate”. Respectarea deplină a 500 de „coturi” va avea loc dacă lungimea „cotului” este considerată egală cu 0,4663 m.
Înălțimea piramidei ( H) este estimată de cercetători în mod variat de la 146,6 la 148,2 m Și în funcție de înălțimea acceptată a piramidei, toate relațiile elementelor sale geometrice se modifică. Care este motivul diferențelor de estimări ale înălțimii piramidei? Cert este că, strict vorbind, piramida lui Keops este trunchiată. Platforma sa superioară măsoară astăzi aproximativ 10 ´ 10 m, dar acum un secol avea 6 ´ 6 m Evident, vârful piramidei a fost demontat și nu corespunde cu cel inițial.
Atunci când se evaluează înălțimea piramidei, este necesar să se țină cont de un astfel de factor fizic precum „proiectul” structurii. Pe o perioadă lungă de timp, sub influența presiunii colosale (atingând 500 de tone la 1 m2 de suprafață inferioară), înălțimea piramidei a scăzut față de înălțimea inițială.
Care a fost înălțimea inițială a piramidei? Această înălțime poate fi recreată prin găsirea „ideei geometrice” de bază a piramidei.
Figura 2.
În 1837, colonelul englez G. Wise a măsurat unghiul de înclinare al fețelor piramidei: s-a dovedit a fi egal o= 51°51". Această valoare este încă recunoscută de majoritatea cercetătorilor de astăzi. Valoarea unghiului specificată corespunde tangentei (tg o), egal cu 1,27306. Această valoare corespunde raportului dintre înălțimea piramidei AC la jumătatea bazei sale C.B.(Fig.2), adică A.C. / C.B. = H / (L / 2) = 2H / L.
Și aici, cercetătorii au avut o mare surpriză!.png" width="25" height="24">= 1.272. Comparând această valoare cu valoarea tg o= 1,27306, vedem că aceste valori sunt foarte apropiate unele de altele. Dacă luăm unghiul o= 51°50”, adică reduceți-l cu doar un minut de arc, apoi valoarea o va deveni egal cu 1,272, adică va coincide cu valoarea. De remarcat că în 1840 G. Wise și-a repetat măsurătorile și a clarificat că valoarea unghiului o=51°50".
Aceste măsurători i-au condus pe cercetători la următoarea ipoteză foarte interesantă: triunghiul ACB al piramidei lui Keops s-a bazat pe relația AC / C.B. = = 1,272!
Luați în considerare acum triunghiul dreptunghic ABC, în care raportul picioarelor A.C. / C.B.= (Fig. 2). Dacă acum lungimile laturilor dreptunghiului ABC desemnat prin x, y, z, și, de asemenea, să ia în considerare faptul că raportul y/x= , apoi în conformitate cu teorema lui Pitagora, lungimea z poate fi calculat folosind formula:
Dacă acceptăm x = 1, y= https://pandia.ru/text/78/390/images/image027_1.png" width="143" height="27">
Figura 3. Triunghi dreptunghic „de aur”.
Un triunghi dreptunghic în care laturile sunt legate ca t:de aur" triunghi dreptunghic.
Apoi, dacă luăm ca bază ipoteza că „ideea geometrică” principală a piramidei lui Cheops este un triunghi dreptunghic „de aur”, atunci de aici putem calcula cu ușurință înălțimea „proiectului” a piramidei lui Cheops. Este egal cu:
H = (L/2) ´ = 148,28 m.
Să derivăm acum câteva alte relații pentru piramida lui Keops, care decurg din ipoteza „de aur”. În special, vom găsi raportul dintre zona exterioară a piramidei și zona bazei sale. Pentru a face acest lucru, luăm lungimea piciorului C.B. pe unitate, adică: C.B.= 1. Dar apoi lungimea laturii bazei piramidei GF= 2 și aria bazei EFGH va fi egal SEFGH = 4.
Să calculăm acum aria feței laterale a piramidei Keops SD. De la înălțime AB triunghi AEF egal cu t, atunci aria feței laterale va fi egală cu SD = t. Apoi, aria totală a tuturor celor patru fețe laterale ale piramidei va fi egală cu 4 t, iar raportul dintre suprafața totală exterioară a piramidei și aria bazei va fi egal cu raportul de aur! Asta este - principalul mister geometric al piramidei lui Keops!
Grupul de „miracole geometrice” din piramida lui Keops include proprietăți reale și exagerate ale relațiilor dintre diferitele dimensiuni din piramidă.
De regulă, ele sunt obținute în căutarea anumitor „constante”, în special, numărul „pi” (numărul lui Ludolfo), egal cu 3,14159...; baza logaritmilor naturali „e” (numărul Neperovo), egală cu 2,71828...; numărul „F”, numărul „secțiunii de aur”, egal cu, de exemplu, 0,618... etc.
Puteti numi, de exemplu: 1) Proprietatea lui Herodot: (Inaltime)2 = 0,5 art. de bază x Apothem; 2) Proprietatea lui V. Pret: Inaltime: 0,5 art. baza = rădăcina pătrată a lui „F”; 3) Proprietatea lui M. Eist: Perimetrul bazei: 2 Inaltime = "Pi"; într-o interpretare diferită - 2 linguri. de bază : Înălțime = „Pi”; 4) Proprietatea lui G. Muchia: Raza cercului înscris: 0,5 art. de bază = "F"; 5) Proprietatea lui K. Kleppisch: (Art. principal.)2: 2(Art. principal. x Apothem) = (Art. principal. W. Apothema) = 2(Art. principal. x Apothem) : ((2 art. principal. . principal X Apothem) + (v. principal)2). Și așa mai departe. Puteți veni cu multe astfel de proprietăți, mai ales dacă conectați două piramide adiacente. De exemplu, ca „Proprietățile lui A. Arefyev” se poate menționa că diferența dintre volumele piramidei lui Keops și piramidei lui Khafre este egală cu dublul volumului piramidei lui Mikerin...
Multe prevederi interesanteÎn special, construcția piramidelor conform „raportului de aur” este descrisă în cărțile lui D. Hambidge „Simetria dinamică în arhitectură” și M. Gick „Estetica proporției în natură și artă”. Să ne amintim că „raportul de aur” este împărțirea unui segment într-un astfel de raport încât partea A este de atâtea ori mai mare decât partea B, de câte ori A este mai mic decât întregul segment A + B. Raportul A/B în acest caz, este egal cu numărul „F” == 1.618 .. Utilizarea „raportului de aur” este indicată nu numai în piramidele individuale, ci și în întregul complex de piramide de la Giza.
Cel mai curios lucru, însă, este că una și aceeași piramidă a lui Cheops pur și simplu „nu poate” conține atât de multe proprietăți minunate. Luând o anumită proprietate una câte una, aceasta poate fi „montată”, dar toate nu se potrivesc deodată - nu coincid, se contrazic. Prin urmare, dacă, de exemplu, la verificarea tuturor proprietăților, luăm inițial aceeași parte a bazei piramidei (233 m), atunci înălțimile piramidelor cu proprietăți diferite vor fi și ele diferite. Cu alte cuvinte, există o anumită „familie” de piramide care sunt similare în exterior cu Keops, dar corespund proprietăți diferite. Rețineți că nu există nimic deosebit de miraculos în proprietățile „geometrice” - multe apar pur automat, din proprietățile figurii în sine. Un „miracol” ar trebui considerat doar ceva ce era în mod clar imposibil pentru egiptenii antici. Aceasta, în special, include miracole „cosmice”, în care măsurătorile piramidei Cheops sau ale complexului piramidal de la Giza sunt comparate cu unele măsurători astronomice și sunt indicate numere „pare”: de un milion de ori mai puțin, de un miliard de ori mai puțin și asa mai departe. Să luăm în considerare câteva relații „cosmice”.
Una dintre afirmații este: „dacă împărțiți latura bazei piramidei la lungimea exactă a anului, obțineți exact 10 milioane de parte din axa pământului”. Calculați: împărțiți 233 la 365, obținem 0,638. Raza Pământului este de 6378 km.
O altă afirmație este de fapt opusă celei anterioare. F. Noetling a subliniat că dacă folosim „cotul egiptean” inventat de el însuși, atunci partea piramidei va corespunde „cea mai precisă durată a anului solar, exprimată la cea mai apropiată miliardime dintr-o zi” - 365.540. 903.777.
Afirmația lui P. Smith: „Înălțimea piramidei este exact o miliardime din distanța de la Pământ la Soare”. Deși înălțimea luată de obicei este de 146,6 m, Smith a considerat-o ca 148,2 m. Conform măsurătorilor radar moderne, semi-axa majoră a orbitei pământului este de 149.597.870 + 1,6 km. Aceasta este distanța medie de la Pământ la Soare, dar la periheliu este cu 5.000.000 de kilometri mai mică decât la afeliu.
O ultima afirmatie interesanta:
„Cum putem explica că masele piramidelor lui Keops, Khafre și Mykerinus se relaționează între ele, ca și masele planetelor Pământ, Venus și Marte?” Să calculăm. Masele celor trei piramide sunt: Khafre - 0,835; Keops - 1.000; Mikerin - 0,0915. Raporturile maselor celor trei planete: Venus - 0,815; Pământ - 1.000; Marte - 0,108.
Deci, în ciuda scepticismului, remarcăm armonia binecunoscută a construcției enunțurilor: 1) înălțimea piramidei, ca o linie „mergând în spațiu”, corespunde distanței de la Pământ la Soare; 2) partea bazei piramidei, cea mai apropiată „de substrat”, adică de Pământ, este responsabilă pentru raza pământului și circulația pământului; 3) volumele piramidei (citește - mase) corespund raportului dintre masele planetelor cele mai apropiate de Pământ. Un „cifr” similar poate fi urmărit, de exemplu, în limbajul albinelor analizat de Karl von Frisch. Cu toate acestea, ne vom abține de la a comenta această problemă pentru moment.
FORMA DE PIRAMIDĂ
Celebra formă tetraedrică a piramidelor nu a apărut imediat. Sciții au făcut înmormântări sub formă de dealuri de pământ - movile. Egiptenii au construit „dealuri” din piatră – piramide. Acest lucru s-a întâmplat pentru prima dată după unificarea Egiptului de Sus și de Jos, în secolul 28 î.Hr., când fondatorul celei de-a treia dinastii, faraonul Djoser (Zoser), s-a confruntat cu sarcina de a întări unitatea țării.
Și aici, potrivit istoricilor, rol important„Noul concept de îndumnezeire” al regelui a jucat un rol în întărirea puterii centrale. Deși înmormântările regale se distingeau printr-o splendoare mai mare, ele, în principiu, nu diferă de mormintele nobililor de curte, erau aceleași structuri - mastabas. Deasupra camerei cu sarcofagul care conținea mumia a fost turnat un deal dreptunghiular de pietre mici, unde s-a ridicat apoi o mică clădire din blocuri mari de piatră - o „mastaba” (în arabă - „bancă”). Faraonul Djoser a ridicat prima piramidă pe locul mastabei predecesorului său, Sanakht. A fost treptă și a fost o etapă vizibilă de tranziție de la o formă arhitecturală la alta, de la o mastaba la o piramidă.
În acest fel, înțeleptul și arhitectul Imhotep, care mai târziu a fost considerat un vrăjitor și identificat de greci cu zeul Asclepius, l-a „crescut” pe faraon. Parcă s-au ridicat șase mastaba la rând. Mai mult, prima piramidă a ocupat o suprafață de 1125 x 115 metri, cu o înălțime estimată de 66 de metri (conform standardelor egiptene - 1000 de „palmii”). La început, arhitectul a plănuit să construiască o mastaba, dar nu alungită, ci în plan pătrat. Ulterior a fost extins, dar din moment ce prelungirea a fost făcută mai jos, părea că sunt două trepte.
Această situație nu l-a mulțumit pe arhitect, iar pe platforma superioară a uriașei mastabe plate, Imhotep a mai așezat trei, scăzând treptat spre vârf. Mormântul era situat sub piramidă.
Mai multe piramide trepte sunt cunoscute, dar mai târziu constructorii au trecut la construirea de piramide tetraedrice care ne sunt mai familiare. De ce, totuși, nu triunghiular sau, să zicem, octogonal? Un răspuns indirect este dat de faptul că aproape toate piramidele sunt orientate perfect de-a lungul celor patru direcții cardinale și, prin urmare, au patru laturi. În plus, piramida era o „casă”, carcasa unei camere funerare pătraunghiulare.
Dar ce a determinat unghiul de înclinare al fețelor? În cartea „Principiul proporțiilor” un întreg capitol este dedicat acestui lucru: „Ce ar fi putut determina unghiurile de înclinare ale piramidelor”. În special, se indică faptul că „imaginea spre care gravitează marile piramide ale Vechiului Regat este un triunghi cu unghi drept la vârf.
În spațiu, acesta este un semi-octaedru: o piramidă în care marginile și laturile bazei sunt egale, fețele sunt triunghiuri echilaterale„. Anumite considerații sunt date cu privire la acest subiect în cărțile lui Hambidge, Gick și alții.
Care este avantajul unghiului semi-octaedru? Conform descrierilor făcute de arheologi și istorici, unele piramide s-au prăbușit sub propria greutate. Ceea ce era necesar era un „unghi de durabilitate”, un unghi care era cel mai sigur din punct de vedere energetic. Pur empiric, acest unghi poate fi luat din unghiul vârfului într-o grămadă de nisip uscat care se prăbușește. Dar pentru a obține date exacte, trebuie să utilizați un model. Luând patru bile bine fixate, trebuie să plasați o a cincea pe ele și să măsurați unghiurile de înclinare. Cu toate acestea, puteți face o greșeală aici, așa că un calcul teoretic vă ajută: ar trebui să conectați centrele bilelor cu linii (mental). Baza va fi un pătrat cu latura egală cu dublul razei. Pătratul va fi doar baza piramidei, a cărei lungime a marginilor va fi, de asemenea, egală cu dublul razei.
Astfel, un pachet strâns de bile precum 1:4 ne va oferi un semi-octaedru obișnuit.
Cu toate acestea, de ce multe piramide, care gravitează spre o formă similară, nu o păstrează totuși? Piramidele probabil îmbătrânesc. Contrar celebrului zical:
„Totul în lume se teme de timp, iar timpul îi este frică de piramide”, clădirile piramidelor trebuie să îmbătrânească, nu numai procesele de intemperii exterioare pot și ar trebui să apară în ele, ci și procesele de „contracție” internă, care pot determină ca piramidele să devină mai joase. Contracția este posibilă și pentru că, așa cum a relevat lucrările lui D. Davidovits, egiptenii antici au folosit tehnologia de a face blocuri din așchii de var, cu alte cuvinte, din „beton”. Tocmai procese similare ar putea explica motivul distrugerii Piramidei Medum, situată la 50 km sud de Cairo. Are 4600 de ani, dimensiunile bazei sunt 146 x 146 m, inaltimea este de 118 m. „De ce este atât de desfigurat?” se întreabă V. Zamarovsky „Referințele obișnuite la efectele distructive ale timpului și „utilizarea pietrei pentru alte clădiri” nu sunt potrivite.
La urma urmei, majoritatea blocurilor și plăcilor sale de parament au rămas pe loc până în ziua de azi, în ruine la poalele sale." După cum vom vedea, o serie de prevederi ne fac chiar să credem că și celebra Piramidă a lui Keops "s-a zvârlit". în orice caz, în toate imaginile antice, piramidele sunt ascuțite...
Forma piramidelor ar fi putut fi generată și prin imitație: niște mostre naturale, „perfecțiune miraculoasă”, să zicem, niște cristale sub formă de octaedru.
Cristale similare ar putea fi cristale de diamant și aur. Caracteristică număr mare semne „suprapuse” pentru concepte precum Faraon, Soare, Aur, Diamant. Peste tot - nobil, genial (strălucitor), grozav, impecabil și așa mai departe. Asemănările nu sunt întâmplătoare.
Cultul solar, după cum se știe, a format o parte importantă a religiei Egiptul antic. „Indiferent cum traducem numele celei mai mari piramide”, notează unul dintre ajutoare moderne- „Firmamentul lui Khufu” sau „firmamentul lui Khufu”, însemna că regele este soarele Dacă Khufu, în strălucirea puterii sale, și-a imaginat că este al doilea soare, atunci fiul său Djedef-Ra a devenit. primul dintre regii egipteni care s-a autointitulat „fiul lui Ra”, adică fiul Soarelui. Soarele aproape tuturor popoarelor era simbolizat de „metalul solar”, aur. „Un disc mare de aur strălucitor” - așa au numit egiptenii lumina zilei noastre. Egiptenii cunoșteau perfect aurul, cunoșteau formele sale native, unde cristalele de aur pot apărea sub formă de octaedre.
Cât de interesant este „formulare de exemplu” aici și „ piatra soarelui„- diamant. Numele de diamant a venit tocmai din lumea arabă, „almas” este cel mai dur, cel mai dur, indestructibil. Vechii egipteni cunoșteau destul de bine diamantul și proprietățile sale. Potrivit unor autori, au folosit chiar și tuburi de bronz cu diamant. freze pentru găurire.
În prezent, principalul furnizor de diamante este Africa de Sud, dar Africa de Vest este și ea bogată în diamante. Teritoriul Republicii Mali este chiar numit „Țara diamantelor”. Între timp, pe teritoriul Mali locuiesc dogonii, alături de care susținătorii ipotezei paleo-vizitei pun multe speranțe (vezi mai jos). Diamantele nu ar fi putut fi motivul contactelor vechilor egipteni cu această regiune. Cu toate acestea, într-un fel sau altul, este posibil ca tocmai prin copierea octaedrelor de diamant și cristale de aur, egiptenii antici să-i îndumnezeeze pe faraoni, „indestructibili” ca diamantul și „străluciți” ca aurul, fiii Soarelui, comparabili doar la cele mai minunate creații ale naturii.
Concluzie:
După ce am studiat piramida ca corp geometric, făcând cunoștință cu elementele și proprietățile sale, ne-am convins de validitatea opiniei despre frumusețea formei piramidei.
În urma cercetărilor noastre, am ajuns la concluzia că egiptenii, după ce au adunat cele mai valoroase cunoștințe matematice, le-au întruchipat într-o piramidă. Prin urmare, piramida este cu adevărat cea mai perfectă creație a naturii și a omului.
LISTA REFERINȚELOR UTILIZATE
„Geometrie: manual. pentru clasele 7 – 9. educatie generala instituţii\ etc. - ed. a IX-a - M.: Educaţie, 1999
Istoria matematicii în școală, M: „Prosveshchenie”, 1982.
Geometrie clasele 10-11, M: „Iluminism”, 2000
Peter Tompkins „Secretele Marii Piramide a lui Keops”, M: „Tsentropoligraf”, 2005.
Resurse de internet
http://veka-i-mig. *****/
http://tambov. *****/vjpusk/vjp025/rabot/33/index2.htm
http://www. *****/enc/54373.html
Introducere
Când am început să studiem figurile stereometrice, am atins subiectul „Piramida”. Ne-a plăcut acest subiect pentru că piramida este foarte des folosită în arhitectură. Și de la noi viitoare profesie arhitect, inspirat de această figură, credem că ne poate împinge spre proiecte mărețe.
Rezistența structurilor arhitecturale este cea mai importantă calitate a acestora. Legarea rezistenței, în primul rând, cu materialele din care sunt create și, în al doilea rând, cu caracteristicile soluțiilor de proiectare, se dovedește că rezistența unei structuri este direct legată de forma geometrică care este de bază pentru aceasta.
Cu alte cuvinte, despre care vorbim despre acea figură geometrică care poate fi considerată ca model al formei arhitecturale corespunzătoare. Se dovedește că formă geometrică determină şi rezistenţa unei structuri arhitecturale.
Din cele mai vechi timpuri, piramidele egiptene au fost considerate cele mai durabile structuri arhitecturale. După cum știți, au forma unor piramide patruunghiulare obișnuite.
Această formă geometrică este cea care oferă cea mai mare stabilitate datorită suprafeței mari de bază. Pe de altă parte, forma piramidei asigură că masa scade pe măsură ce înălțimea deasupra solului crește. Aceste două proprietăți sunt cele care fac piramida stabilă și, prin urmare, puternică în condițiile gravitației.
Scopul proiectului: învață ceva nou despre piramide, aprofundează-ți cunoștințele și găsește aplicații practice.
Pentru a atinge acest obiectiv, a fost necesar să se rezolve următoarele sarcini:
· Aflați informații istorice despre piramidă
· Considerați piramida ca figură geometrică
· Găsiți aplicații în viață și arhitectură
· Găsiți asemănările și diferențele dintre piramidele situate în diferite părți Sveta
Partea teoretică
Începutul geometriei piramidei a fost pus în Egiptul Antic și Babilonul, dar a fost dezvoltat activ în Grecia antică. Primul care a stabilit volumul piramidei a fost Democrit, iar Eudox din Cnidus a dovedit-o. Vechiul matematician grec Euclid a sistematizat cunoștințele despre piramidă în volumul XII al „Elementelor” sale și, de asemenea, a derivat prima definiție a unei piramide: o figură solidă delimitată de planuri care converg de la un plan la un punct.
Mormintele faraonilor egipteni. Cele mai mari dintre ele - piramidele lui Keops, Khafre și Mikerin din El Giza - au fost considerate una dintre cele șapte minuni ale lumii în antichitate. Construcția piramidei, în care grecii și romanii au văzut deja un monument al mândriei fără precedent a regilor și a cruzimii care a condamnat întregul popor al Egiptului la o construcție fără sens, a fost cel mai important act de cult și trebuia să exprime, aparent, identitatea mistică a țării și a conducătorului ei. Populația țării a lucrat la construcția mormântului în perioada anului lipsită de muncă agricolă. O serie de texte mărturisesc atenția și grija pe care regii înșiși (deși dintr-o perioadă mai târziu) le-au acordat construcției mormântului lor și a constructorilor acestuia. Se știe și despre onorurile speciale de cult care au fost acordate piramidei în sine.
Concepte de bază
Piramidă se numește poliedru a cărui bază este un poligon, iar fețele rămase sunt triunghiuri care au un vârf comun.
Apotema- inaltimea fetei laterale a unei piramide regulate, trasa din varful acesteia;
Fețe laterale- triunghiuri întâlnite la un vârf;
Coaste laterale- laturile comune ale fetelor laterale;
Vârful piramidei- un punct care leagă nervurile laterale și care nu se află în planul bazei;
Înălţime- un segment perpendicular trasat prin vârful piramidei până la planul bazei acesteia (capetele acestui segment sunt vârful piramidei și baza perpendicularei);
Secțiunea diagonală a unei piramide- sectiune a piramidei care trece prin varful si diagonala bazei;
Baza- un poligon care nu aparține vârfului piramidei.
Proprietățile de bază ale unei piramide obișnuite
Marginile laterale, fețele laterale și respectiv apotemele sunt egale.
Unghiurile diedrice de la bază sunt egale.
Unghiurile diedrice la marginile laterale sunt egale.
Fiecare punct de înălțime este echidistant de toate vârfurile bazei.
Fiecare punct de înălțime este echidistant de toate fețele laterale.
Formule piramidale de bază
Aria suprafeței laterale și totale a piramidei.
Aria suprafeței laterale a unei piramide (plină și trunchiată) este suma ariilor tuturor fețelor sale laterale, aria suprafeței totale este suma ariilor tuturor fețelor sale.
Teoremă: Aria suprafeței laterale a unei piramide regulate este egală cu jumătate din produsul perimetrului bazei și apotema piramidei.
p- perimetrul de bază;
h- apotema.
Aria suprafețelor laterale și complete ale unei piramide trunchiate.
p 1, p 2 - perimetrele de bază;
h- apotema.
(Fig. 2).- suprafața totală a unei piramide trunchiate obișnuite;
partea S- zona suprafeței laterale a unei piramide trunchiate regulate;
S1 + S2- suprafata de baza
Volumul piramidei
Formă volumul ula este folosit pentru piramide de orice fel.
H- inaltimea piramidei.
Colțurile piramidei
Unghiurile formate de fața laterală și baza piramidei se numesc unghiuri diedrice la baza piramidei.
Un unghi diedru este format din două perpendiculare.
Pentru a determina acest unghi, de multe ori trebuie să utilizați teorema celor trei perpendiculare.
Se numesc unghiurile formate de marginea laterală și proiecția acesteia pe planul bazei unghiuri dintre marginea laterală și planul bazei.
Unghiul format din două margini laterale se numește unghi diedru la marginea laterală a piramidei.
Unghiul format din două muchii laterale ale unei fețe ale piramidei se numește unghiul din vârful piramidei.
Secțiuni piramidale
Suprafața unei piramide este suprafața unui poliedru. Fiecare dintre fețele sale este un plan, prin urmare secțiunea unei piramide definită de un plan de tăiere este o linie întreruptă constând din linii drepte individuale.
Secțiune diagonală
Secțiunea unei piramide printr-un plan care trece prin două margini laterale care nu se află pe aceeași față se numește secțiune diagonală piramide.
Secțiuni paralele
Teorema:
Dacă piramida este intersectată de un plan paralel cu baza, atunci marginile laterale și înălțimile piramidei sunt împărțite de acest plan în părți proporționale;
Secțiunea acestui plan este un poligon asemănător bazei;
Zonele secțiunii și ale bazei sunt legate între ele ca pătratele distanțelor lor de la vârf.
Tipuri de piramide
Piramida corectă– o piramidă a cărei bază este un poligon regulat, iar vârful piramidei este proiectat în centrul bazei.
Pentru o piramidă obișnuită:
1. coastele laterale sunt egale
2. feţele laterale sunt egale
3. apotemele sunt egale
4. unghiurile diedrice la bază sunt egale
5. unghiurile diedrice la marginile laterale sunt egale
6. fiecare punct de înălțime este echidistant de toate vârfurile bazei
7. fiecare punct de înălțime este echidistant de toate marginile laterale
Piramida trunchiată- parte a piramidei cuprinsă între baza sa și un plan de tăiere paralel cu baza.
Baza și secțiunea corespunzătoare a unei piramide trunchiate se numesc bazele unei piramide trunchiate.
Se numește perpendiculară trasată din orice punct al unei baze pe planul alteia înălțimea unei trunchi de piramidă.
Sarcini
nr. 1. Într-o piramidă patruunghiulară obișnuită, punctul O este centrul bazei, SO=8 cm, BD=30 cm Aflați muchia laterală SA.
Rezolvarea problemelor
nr. 1. Într-o piramidă obișnuită, toate fețele și marginile sunt egale.
Luați în considerare OSB: OSB este un dreptunghi dreptunghiular, deoarece.
SB2 =SO2 +OB2
SB2 =64+225=289
Piramida în arhitectură
O piramidă este o structură monumentală sub forma unei piramide geometrice regulate obișnuite, în care laturile converg într-un punct. După scopul lor funcțional, piramidele în antichitate erau locuri de înmormântare sau de cult. Baza unei piramide poate fi triunghiulară, pătraunghiulară sau în formă de poligon cu un număr arbitrar de vârfuri, dar cea mai comună versiune este baza pătraunghiulară.
Există un număr considerabil de piramide construite culturi diferite Lumea anticăîn principal ca temple sau monumente. Piramidele mari includ piramidele egiptene.
Peste tot Pământul puteți vedea structuri arhitecturale sub formă de piramide. Clădirile piramidale amintesc de cele mai vechi timpuri și arată foarte frumos.
Piramidele egiptene sunt cele mai mari monumente de arhitectură ale Egiptului Antic, inclusiv una dintre „Șapte minuni ale lumii”, Piramida lui Keops. De la picior până în vârf ajunge la 137,3 m, iar înainte de a pierde vârful, înălțimea sa era de 146,7 m.
Clădirea postului de radio din capitala Slovaciei, asemănătoare cu o piramidă inversată, a fost construită în 1983. Pe lângă birouri și spații de servicii, în interiorul volumului există un spațiu destul de spațios. sala de concerte, care are unul dintre cele mai mari organe din Slovacia.
Luvru, care „este tăcut și maiestuos, ca o piramidă”, a suferit multe schimbări de-a lungul secolelor înainte de a deveni cel mai mare muzeu pace. S-a născut ca cetate, ridicată de Filip Augustus în 1190, care a devenit curând reședință regală. În 1793 palatul a devenit muzeu. Colecțiile sunt îmbogățite prin legaturi sau achiziții.
Aici puteți găsi informații de bază despre piramide și formule și concepte aferente. Toate sunt studiate cu un tutore de matematică în pregătirea pentru examenul de stat unificat.
Luați în considerare un plan, un poligon 
, culcat în el și un punct S, nu întins în el. Să conectăm S la toate vârfurile poligonului. Poliedrul rezultat se numește piramidă. Segmentele se numesc coaste laterale. 
Poligonul se numește bază, iar punctul S este vârful piramidei. În funcție de numărul n, piramida se numește triunghiulară (n=3), pătrangulară (n=4), pentagonală (n=5) și așa mai departe. Un nume alternativ pentru o piramidă triunghiulară este tetraedru. Înălțimea unei piramide este perpendiculara care coboară din vârful ei până în planul bazei. 
O piramidă se numește regulată dacă un poligon regulat, iar baza altitudinii piramidei (baza perpendicularei) este centrul acesteia.
Comentariul tutorelui:
Nu confundați conceptele de „piramidă obișnuită” și „tetraedru obișnuit”. Într-o piramidă obișnuită, marginile laterale nu sunt neapărat egale cu marginile bazei, dar într-un tetraedru obișnuit, toate cele 6 margini sunt egale. Aceasta este definiția lui. Este ușor de demonstrat că egalitatea implică faptul că centrul P al poligonului coincide cu o înălțime de bază, deci un tetraedru obișnuit este o piramidă obișnuită.
Ce este o apotema?
Apotema unei piramide este înălțimea feței sale laterale. Dacă piramida este regulată, atunci toate apotemele ei sunt egale. Reversul nu este adevărat. 
Un tutore de matematică despre terminologia sa: 80% din munca cu piramide este construită prin două tipuri de triunghiuri:
1) Conținând apotema SK și înălțimea SP
2) Conținând marginea laterală SA și proiecția ei PA 
Pentru a simplifica referințele la aceste triunghiuri, este mai convenabil ca un profesor de matematică să îl numească pe primul dintre ele apotemal, iar al doilea costal. Din păcate, această terminologie nu o veți găsi în niciunul dintre manuale, iar profesorul trebuie să o introducă unilateral.
Formula pentru volumul unei piramide:
1) 
, unde este aria bazei piramidei și este înălțimea piramidei
2), unde este raza sferei înscrise și este aria suprafeței totale a piramidei.
3) 
, unde MN este distanța dintre oricare două muchii care se încrucișează și este aria paralelogramului format din punctele de mijloc ale celor patru muchii rămase.
Proprietatea bazei înălțimii unei piramide:
Punctul P (vezi figura) coincide cu centrul cercului înscris la baza piramidei dacă este îndeplinită una dintre următoarele condiții:
1) Toate apotemele sunt egale
2) Toate fețele laterale sunt înclinate în mod egal față de bază
3) Toate apotemele sunt înclinate în mod egal față de înălțimea piramidei
4) Înălțimea piramidei este înclinată în mod egal față de toate fețele laterale
Comentariul profesorului de matematică: Vă rugăm să rețineți că toate punctele au un lucru în comun proprietate generală: într-un fel sau altul, fețele laterale sunt implicate peste tot (apotemele sunt elementele lor). Prin urmare, tutorele poate oferi o formulare mai puțin precisă, dar mai convenabilă pentru învățare: punctul P coincide cu centrul cercului înscris, baza piramidei, dacă există informații egale despre fețele sale laterale. Pentru a dovedi, este suficient să arătăm că toate triunghiurile apotemelor sunt egale.
Punctul P coincide cu centrul unui cerc circumscris lângă baza piramidei dacă una dintre cele trei condiții este adevărată:
1) Toate marginile laterale sunt egale
2) Toate nervurile laterale sunt înclinate în mod egal față de bază
3) Toate nervurile laterale sunt înclinate în mod egal pe înălțime