Ecuația unei drepte care trece prin 2. Ecuația unei drepte care trece prin două puncte date: exemple, soluții

Acasă

Linia care trece prin punctul K(x 0 ; y 0) și paralelă cu dreapta y = kx + a se găsește prin formula:

y - y 0 = k(x - x 0) (1) unde k - pantă

direct.
Formula alternativa:

O dreaptă care trece prin punctul M 1 (x 1 ; y 1) și paralelă cu dreapta Ax+By+C=0 este reprezentată prin ecuație

A(x-x1)+B(y-y1)=0. (2) ;Scrieți o ecuație pentru o dreaptă care trece prin punctul K( ) paralelă cu dreapta y = .

js-script
Exemplul nr. 1. Scrieți o ecuație pentru o dreaptă care trece prin punctul M 0 (-2,1) și în același timp:
a) paralel cu dreapta 2x+3y -7 = 0;
b) perpendicular pe dreapta 2x+3y -7 = 0. Soluţie
. Să reprezentăm ecuația cu panta sub forma y = kx + a. Pentru a face acest lucru, mutați toate valorile cu excepția y în partea dreaptă: 3y = -2x + 7 . Apoi împărțiți partea dreaptă cu un factor de 3. Se obține: y = -2/3x + 7/3
Să găsim ecuația NK care trece prin punctul K(-2;1), paralelă cu dreapta y = -2 / 3 x + 7 / 3
Înlocuind x 0 = -2, k = -2 / 3, y 0 = 1 obținem:
y-1 = -2 / 3 (x-(-2))
sau

y = -2 / 3 x - 1 / 3 sau 3y + 2x +1 = 0
b) perpendicular pe dreapta 2x+3y -7 = 0. Exemplul nr. 2. Scrieți ecuația unei drepte paralele cu dreapta 2x + 5y = 0 și formând împreună cu axele de coordonate un triunghi a cărui aria este 5.
;
.
. Deoarece liniile sunt paralele, ecuația dreptei dorite este 2x + 5y + C = 0. Aria unui triunghi dreptunghic, unde a și b sunt catetele sale. Să găsim punctele de intersecție ale liniei dorite cu axele de coordonate: Deci, A(-C/2,0), B(0,-C/5). Să o înlocuim în formula pentru zonă:

. Obținem două soluții: 2x + 5y + 10 = 0 și 2x + 5y – 10 = 0.
Exemplul nr. 3. Scrieți o ecuație pentru o dreaptă care trece prin punctul (-2; 5) și paralelă cu dreapta 5x-7y-4=0.

Soluţie. Această linie dreaptă poate fi reprezentată prin ecuația y = 5 / 7 x – 4 / 7 (aici a = 5 / 7). Ecuația dreptei dorite este y – 5 = 5 / 7 (x – (-2)), adică. 7(y-5)=5(x+2) sau 5x-7y+45=0.

Exemplul nr. 4. După ce am rezolvat exemplul 3 (A=5, B=-7) folosind formula (2), găsim 5(x+2)-7(y-5)=0.
Exemplul nr. 5. Scrieți o ecuație pentru o dreaptă care trece prin punctul (-2;5) și paralelă cu dreapta 7x+10=0.

Soluţie. Aici A=7, B=0. Formula (2) dă 7(x+2)=0, adică. x+2=0. Formula (1) nu este aplicabilă, deoarece această ecuație nu poate fi rezolvată în raport cu y (această linie dreaptă este paralelă cu axa ordonatelor). Ecuaţie parabole este. Există mai multe opțiuni pentru a construi această ecuație. Totul depinde de ce parametri sunt prezentați în enunțul problemei.

Instrucţiuni

O parabolă este o curbă care seamănă cu un arc în forma sa și este un grafic functie de putere. Indiferent de caracteristicile unei parabole, aceasta este egală. O astfel de funcție este numită par pentru toate valorile argumentului din definiție, atunci când semnul argumentului se schimbă, valoarea nu se schimbă: f (-x) = f (x) Începeți cu cea mai simplă funcție: y = x^2. Din aspectul său putem concluziona că este atât pozitiv, cât și negativ valori negative argumentul x. Punctul în care x=0 și, în același timp, y =0 este considerat punct.

Mai jos sunt toate opțiunile principale pentru construirea acestei funcții și a acesteia. Ca prim exemplu, mai jos considerăm o funcție de forma: f(x)=x^2+a, unde a este un număr întreg Pentru a construi un grafic al acestei funcții, este necesar să se deplaseze graficul lui funcția f(x) de a unități. Un exemplu este funcția y=x^2+3, unde de-a lungul axei y funcția este deplasată cu două unități. Dacă este dată o funcție cu semnul opus, de exemplu y=x^2-3, atunci graficul ei este deplasat în jos de-a lungul axei y.

Un alt tip de funcție căruia i se poate da o parabolă este f(x)=(x +a)^2. În astfel de cazuri, graficul, dimpotrivă, se deplasează de-a lungul axei absciselor (axa x) cu o unitate. De exemplu, putem considera funcțiile: y=(x +4)^2 și y=(x-4)^2. În primul caz, în care există o funcție cu semnul plus, graficul este deplasat de-a lungul axei x la stânga, iar în al doilea caz - la dreapta. Toate aceste cazuri sunt prezentate în figură.

Ecuația unei drepte care trece prin două puncte. În articol" " Ți-am promis să te uiți la a doua modalitate de a rezolva problemele prezentate de găsire a derivatei, având în vedere un grafic al unei funcții și o tangentă la acest grafic. Vom discuta despre această metodă în , nu rata! De ce in urmatoarea?

Faptul este că formula pentru ecuația unei linii drepte va fi folosită acolo. Desigur, am putea pur și simplu să arătăm această formulă și să vă sfătuim să o învățați. Dar este mai bine să explici de unde provine (cum este derivat). Acest lucru este necesar! Dacă îl uitați, îl puteți restaura rapidnu va fi dificil. Totul este prezentat mai jos în detaliu. Deci, avem plan de coordonate sunt doua puncte A(x 1;y 1) și B(x 2;y 2), se trasează o linie dreaptă prin punctele indicate:

Iată formula directă în sine:

*Adică, când înlocuim coordonatele specifice ale punctelor, obținem o ecuație de forma y=kx+b.

**Dacă pur și simplu „memorezi” această formulă, atunci există o probabilitate mare de a te confunda cu indicii atunci când X. În plus, indicii pot fi desemnați în diferite moduri, de exemplu:

De aceea este important să înțelegem sensul.

Acum derivarea acestei formule. Este foarte simplu!

Triunghiurile ABE și ACF sunt similare în colț ascuțit(primul semn de asemănare triunghiuri dreptunghiulare). Rezultă din aceasta că rapoartele elementelor corespunzătoare sunt egale, adică:

Acum pur și simplu exprimăm aceste segmente prin diferența dintre coordonatele punctelor:

Desigur, nu va exista nicio eroare dacă scrieți relațiile elementelor într-o ordine diferită (principalul este să mențineți consistența):

Rezultatul va fi aceeași ecuație a dreptei. Asta e tot!

Adică, indiferent de modul în care sunt desemnate punctele în sine (și coordonatele lor), prin înțelegerea acestei formule veți găsi întotdeauna ecuația unei linii drepte.

Formula poate fi derivată folosind proprietățile vectorilor, dar principiul derivării va fi același, deoarece vom vorbi despre proporționalitatea coordonatelor acestora. În acest caz, funcționează aceeași similitudine a triunghiurilor dreptunghiulare. După părerea mea, concluzia descrisă mai sus este mai clară)).

Vizualizați rezultatul utilizând coordonatele vectoriale >>>

Să fie construită o dreaptă pe planul de coordonate care trece prin două puncte date A(x 1;y 1) și B(x 2;y 2). Să marchem un punct arbitrar C pe dreapta cu coordonatele ( x; y). De asemenea, notăm doi vectori:

Se știe că pentru vectorii aflați pe drepte paralele (sau pe aceeași linie), coordonatele lor corespunzătoare sunt proporționale, adică:

— notăm egalitatea rapoartelor coordonatelor corespunzătoare:

Să ne uităm la un exemplu:

Aflați ecuația unei drepte care trece prin două puncte cu coordonatele (2;5) și (7:3).

Nici măcar nu trebuie să construiți linia dreaptă în sine. Aplicam formula:

Este important să înțelegeți corespondența atunci când stabiliți raportul. Nu poți greși dacă scrii:

Răspuns: y=-2/5x+29/5 merge y=-0,4x+5,8

Pentru a vă asigura că ecuația rezultată este găsită corect, asigurați-vă că verificați - înlocuiți coordonatele datelor în starea punctelor în ea. Ecuațiile ar trebui să fie corecte.

Asta e tot. Sper că materialul ți-a fost de folos.

Salutări, Alexandru.

P.S: V-as fi recunoscator daca mi-ati spune despre site pe retelele de socializare.

Lăsați dreapta să treacă prin punctele M 1 (x 1; y 1) și M 2 (x 2; y 2). Ecuația unei drepte care trece prin punctul M 1 are forma y-y 1 = k (x - x 1), (10,6)

Unde k - coeficient încă necunoscut.

Deoarece linia dreaptă trece prin punctul M 2 (x 2 y 2), coordonatele acestui punct trebuie să îndeplinească ecuația (10.6): y 2 -y 1 = k (x 2 - x 1).

De aici găsim Înlocuirea valorii găsite k în ecuația (10.6), obținem ecuația unei drepte care trece prin punctele M 1 și M 2:

Se presupune că în această ecuație x 1 ≠ x 2, y 1 ≠ y 2

Dacă x 1 = x 2, atunci linia dreaptă care trece prin punctele M 1 (x 1,y I) și M 2 (x 2,y 2) este paralelă cu axa ordonatelor. Ecuația sa este x = x 1 .

Dacă y 2 = y I, atunci ecuația dreptei poate fi scrisă ca y = y 1, dreapta M 1 M 2 este paralelă cu axa absciselor.

Ecuația unei drepte în segmente

Fie ca linia dreaptă să intersecteze axa Ox în punctul M 1 (a;0) și axa Oy în punctul M 2 (0;b). Ecuația va lua forma:
aceste.
. Această ecuație se numește ecuația unei drepte în segmente, deoarece numerele a și b indică segmentele pe care linia le decupează pe axele de coordonate.

Ecuația unei drepte care trece printr-un punct dat perpendicular pe un vector dat

Să găsim ecuația dreptei care trece prin acest punct Mo (x O; y o) este perpendicular pe vectorul dat diferit de zero n = (A; B).

Să luăm un punct arbitrar M(x; y) pe linie și să considerăm vectorul M 0 M (x - x 0; y - y o) (vezi Fig. 1). Deoarece vectorii n și M o M sunt perpendiculari, produsul lor scalar este egal cu zero: adică

A(x - xo) + B(y - yo) = 0. (10.8)

Ecuația (10.8) se numește ecuația unei drepte care trece printr-un punct dat perpendicular pe un vector dat .

Vectorul n= (A; B), perpendicular pe dreapta, se numește normal vector normal al acestei linii .

Ecuația (10.8) poate fi rescrisă ca Ah + Wu + C = 0 , (10.9)

unde A și B sunt coordonatele vectorului normal, C = -Ax o - Vu o este termenul liber. Ecuația (10.9) Există ecuație generală direct(vezi fig. 2).

Fig.1 Fig.2

Ecuații canonice ale dreptei

,

Unde
- coordonatele punctului prin care trece linia, și
- vector de direcție.

Curbe de ordinul doi Cerc

Un cerc este mulțimea tuturor punctelor planului echidistante de un punct dat, care se numește centru.

Ecuația canonică a unui cerc de rază R centrat într-un punct
:

În special, dacă centrul mizei coincide cu originea coordonatelor, atunci ecuația va arăta astfel:

Elipsă

O elipsă este un set de puncte dintr-un plan, suma distanțelor de la fiecare dintre acestea la două puncte date. Şi , care se numesc focare, este o mărime constantă
, mai mare decât distanța dintre focare
.

Ecuația canonică a unei elipse ale cărei focare se află pe axa Ox, iar originea coordonatelor în mijlocul dintre focare are forma
G de o lungimea semi-axei ​​majore; b – lungimea semiaxei minore (Fig. 2).

Să fie date două puncte M(X 1 ,U 1) și N(X 2,y 2). Să găsim ecuația dreptei care trece prin aceste puncte.

Deoarece această linie trece prin punct M, atunci conform formulei (1.13) ecuația sa are forma

U – Y 1 = K(X–x 1),

Unde K– coeficient unghiular necunoscut.

Valoarea acestui coeficient este determinată din condiția ca linia dreaptă dorită să treacă prin punct N, ceea ce înseamnă că coordonatele sale satisfac ecuația (1.13)

Y 2 – Y 1 = K(X 2 – X 1),

De aici puteți găsi panta acestei linii:

,

Sau după conversie

(1.14)

Formula (1.14) determină Ecuația unei drepte care trece prin două puncte M(X 1, Y 1) și N(X 2, Y 2).

În cazul special când punctele M(O, 0), N(0, B), O ¹ 0, B¹ 0, se află pe axele de coordonate, ecuația (1.14) va lua o formă mai simplă

Ecuația (1.15) numit Ecuația unei drepte în segmente, Aici OŞi B se notează segmentele tăiate printr-o linie dreaptă pe axe (Figura 1.6).

Figura 1.6

Exemplul 1.10. Scrieți o ecuație pentru o dreaptă care trece prin puncte M(1, 2) și B(3, –1).

. Conform (1.14), ecuația dreptei dorite are forma

2(Y – 2) = -3(X – 1).

Transferând toți termenii în partea stângă, obținem în sfârșit ecuația dorită

3X + 2Y – 7 = 0.

Exemplul 1.11. Scrieți o ecuație pentru o dreaptă care trece printr-un punct M(2, 1) și punctul de intersecție al liniilor X+ Y - 1 = 0, X – y+ 2 = 0.

. Vom găsi coordonatele punctului de intersecție al dreptelor rezolvând împreună aceste ecuații

Dacă adunăm aceste ecuații termen cu termen, obținem 2 X+ 1 = 0, de unde . Înlocuind valoarea găsită în orice ecuație, găsim valoarea ordonatei U:

Acum să scriem ecuația dreptei care trece prin punctele (2, 1) și:

sau .

Prin urmare sau –5( Y – 1) = X – 2.

Obținem în sfârșit ecuația dreptei dorite în formă X + 5Y – 7 = 0.

Exemplul 1.12. Aflați ecuația dreptei care trece prin puncte M(2.1) și N(2,3).

Folosind formula (1.14), obținem ecuația

Nu are sens deoarece al doilea numitor este zero. Din condițiile problemei reiese clar că abscisele ambelor puncte au aceeași valoare. Aceasta înseamnă că linia dreaptă dorită este paralelă cu axa OY iar ecuația sa este: x = 2.

Comentariu . Dacă, la scrierea ecuației unei linii folosind formula (1.14), unul dintre numitori se dovedește a fi egal cu zero, atunci ecuația dorită poate fi obținută prin echivalarea numărătorului corespunzător cu zero.

Să luăm în considerare și alte moduri de a defini o linie pe un plan.

1. Fie un vector diferit de zero perpendicular pe dreapta dată L, și punct M 0(X 0, Y 0) se află pe această linie (Figura 1.7).

Figura 1.7

Să notăm M(X, Y) orice punct de pe o dreaptă L. Vectori și Ortogonală. Folosind condițiile de ortogonalitate ale acestor vectori, obținem sau O(X – X 0) + B(Y – Y 0) = 0.

Am obținut ecuația unei drepte care trece printr-un punct M 0 este perpendicular pe vector. Acest vector se numește Vector normal la o linie dreaptă L. Ecuația rezultată poate fi rescrisă ca

Oh + Wu + CU= 0, unde CU = –(OX 0 + De 0), (1.16),

Unde OŞi ÎN– coordonatele vectorului normal.

Obținem ecuația generală a dreptei în formă parametrică.

2. O linie dreaptă pe un plan poate fi definită după cum urmează: fie un vector diferit de zero paralel cu dreapta dată Lși punct M 0(X 0, Y 0) se află pe această linie. Să luăm din nou un punct arbitrar M(X, y) pe o linie dreaptă (Figura 1.8).

Figura 1.8

Vectori și coliniare.

Să notăm condiția de coliniaritate a acestor vectori: , unde T– un număr arbitrar numit parametru. Să scriem această egalitate în coordonate:

Aceste ecuații se numesc Ecuații parametrice Direct. Să excludem parametrul din aceste ecuații T:

Aceste ecuații pot fi scrise altfel sub formă

. (1.18)

Ecuația rezultată se numește Ecuația canonică a dreptei. Vectorul este numit Vectorul direcție este drept .

Comentariu . Este ușor de observat că if este vectorul normal al liniei L, atunci vectorul său de direcție poate fi vectorul deoarece , adică .

Exemplul 1.13. Scrieți ecuația unei drepte care trece printr-un punct M 0(1, 1) paralel cu linia 3 X + 2U– 8 = 0.

b) perpendicular pe dreapta 2x+3y -7 = 0. . Vectorul este vectorul normal la liniile date și dorite. Să folosim ecuația unei drepte care trece printr-un punct M 0 cu un vector normal dat 3( X –1) + 2(U– 1) = 0 sau 3 X + 2у– 5 = 0. Am obținut ecuația dreptei dorite.