Soluție de trigonometrie. Rezolvarea ecuațiilor trigonometrice. Cum se rezolvă o ecuație trigonometrică

Acasă

Ecuațiile trigonometrice nu sunt un subiect ușor. Sunt prea diverse.) De exemplu, acestea:

sin 2 x + cos3x = ctg5x

sin(5x+π /4) = cot(2x-π /3)

sinx + cos2x + tg3x = ctg4x

Si altele asemenea... Dar acești monștri trigonometrici (și toți ceilalți) au două caracteristici comune și obligatorii. În primul rând - nu veți crede - există funcții trigonometrice în ecuații.) În al doilea rând: toate expresiile cu x sunt găsiteîn cadrul acestor aceleaşi funcţii. Și numai acolo! Dacă X apare undeva exterior, De exemplu, sin2x + 3x = 3, aceasta va fi deja o ecuație de tip mixt. Astfel de ecuații necesită abordare individuală

. Nu le vom lua în considerare aici. Nici în această lecție nu vom rezolva ecuații malefice.) Aici ne vom ocupa de cele mai simple ecuații trigonometrice. De ce? Da pentru ca solutia orice

ecuațiile trigonometrice sunt formate din două etape. În prima etapă, ecuația malefica este redusă la una simplă printr-o varietate de transformări. Pe a doua, această ecuație cea mai simplă este rezolvată. Altfel, în niciun caz.

Deci, dacă aveți probleme la a doua etapă, prima etapă nu are prea mult sens.)

Cum arată ecuațiile trigonometrice elementare?

sinx = a

cosx = a

tgx = a

ctgx = a Aici O reprezintă orice număr.

Orice.

Apropo, în interiorul unei funcții poate să nu existe un X pur, ci un fel de expresie, cum ar fi:

cos(3x+π /3) = 1/2

si altele asemenea. Acest lucru complică viața, dar nu afectează metoda de rezolvare a unei ecuații trigonometrice.

Cum se rezolvă ecuații trigonometrice?

Ecuațiile trigonometrice pot fi rezolvate în două moduri. Prima modalitate: folosind logica și cercul trigonometric. Vom privi aici această cale. A doua modalitate - folosirea memoriei și a formulelor - va fi discutată în lecția următoare.

Prima modalitate este clară, fiabilă și greu de uitat.) Este bună pentru rezolvarea ecuațiilor trigonometrice, a inegalităților și a tot felul de exemple nestandardizate complicate. Logica este mai puternică decât memoria!)

Includem logica elementară și capacitatea de a folosi cercul trigonometric. Nu știi cum? Totuși... Îți va fi greu în trigonometrie...) Dar nu contează. Aruncă o privire la lecțiile „Cercul trigonometric...... Ce este?” și „Măsurarea unghiurilor pe un cerc trigonometric”. Totul este simplu acolo. Spre deosebire de manuale...)

Oh, știi!? Și chiar ați stăpânit „Lucrarea practică cu cercul trigonometric”!? Felicitări. Acest subiect vă va fi apropiat și de înțeles.) Ceea ce este deosebit de plăcut este că cerc trigonometric nu contează ce ecuație rezolvi. Sinus, cosinus, tangent, cotangent - totul este la fel pentru el. Există un singur principiu de soluție.

Deci luăm orice bază ecuație trigonometrică. Cel putin asta:

cosx = 0,5

Trebuie să găsim X. Vorbind în limbaj uman, ai nevoie găsiți unghiul (x) al cărui cosinus este 0,5.

Cum am folosit anterior cercul? Am desenat un unghi pe el. În grade sau radiani. Și imediat a văzut funcţiile trigonometrice ale acestui unghi. Acum să facem invers. Să desenăm un cosinus pe cerc egal cu 0,5 și imediat vom vedea colţ. Rămâne doar să scrieți răspunsul.) Da, da!

Desenați un cerc și marcați cosinusul egal cu 0,5. Pe axa cosinusului, desigur. Ca aceasta:

Acum să desenăm unghiul pe care ni-l oferă acest cosinus. Treceți mouse-ul peste imagine (sau atingeți imaginea de pe tabletă) și vei vedea chiar acest colt X.

Cosinusul cărui unghi este 0,5?

x = π /3

cos 60°= cos( π /3) = 0,5

Unii oameni vor chicoti sceptici, da... Cum ar fi, a meritat să faci un cerc când totul este deja clar... Puteți, desigur, să chicotiți...) Dar adevărul este că acesta este un răspuns eronat. Sau mai bine zis, insuficient. Cunoscătorii de cerc înțeleg că există o grămadă de alte unghiuri aici care dau și un cosinus de 0,5.

Dacă întoarceți partea în mișcare OA viraj complet, punctul A va reveni la poziția inițială. Cu același cosinus egal cu 0,5. Aceste. unghiul se va schimba cu 360° sau 2π radiani și cosinus - nu. Noul unghi 60° + 360° = 420° va fi, de asemenea, o soluție pentru ecuația noastră, deoarece

Se pot face un număr infinit de astfel de revoluții complete... Și toate aceste unghiuri noi vor fi soluții la ecuația noastră trigonometrică. Și toate trebuie să fie scrise cumva ca răspuns. Toate. Altfel, decizia nu contează, da...)

Matematica poate face acest lucru simplu și elegant. Scrieți într-un singur răspuns scurt set infinit decizii. Iată cum arată ecuația noastră:

x = π /3 + 2π n, n ∈ Z

o voi descifra. Mai scrie semnificativ Este mai plăcut decât să desenezi prost niște litere misterioase, nu?)

π /3 - Acesta este același colț în care noi a văzut pe cerc şi determinat conform tabelului cosinus.

2π este o revoluție completă în radiani.

n - acesta este numărul celor complete, adică întreg rpm Este clar că n poate fi egal cu 0, ±1, ±2, ±3.... și așa mai departe. După cum este indicat de o scurtă intrare:

n ∈ Z

n aparține lui ( ∈ ) mulţime de numere întregi ( Z ). Apropo, în loc de scrisoare n literele pot fi bine folosite k, m, t etc.

Această notație înseamnă că puteți lua orice număr întreg n . Cel puțin -3, cel puțin 0, cel puțin +55. Ce vrei tu. Dacă înlocuiți acest număr în răspuns, veți obține un unghi specific, care va fi cu siguranță soluția ecuației noastre dure.)

Sau, cu alte cuvinte, x = π /3 este singura rădăcină a unei mulțimi infinite. Pentru a obține toate celelalte rădăcini, este suficient să adăugați orice număr de rotații complete la π /3 ( n ) în radiani. Aceste. 2πn radian.

Toate? Nu. Prelungesc în mod deliberat plăcerea. Pentru a ne aminti mai bine.) Am primit doar o parte din răspunsurile la ecuația noastră. Voi scrie această primă parte a soluției astfel:

x 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z

x 1 - nu doar o rădăcină, ci o serie întreagă de rădăcini, scrise într-o formă scurtă.

Dar există și unghiuri care dau și un cosinus de 0,5!

Să revenim la poza noastră din care am notat răspunsul. Iată-l:

Treceți mouse-ul peste imagine și vedem noi alt unghi care dă, de asemenea, un cosinus de 0,5. Cu ce ​​crezi că este egal? Triunghiurile sunt la fel... Da! El egal cu unghiul X , doar întârziat în direcția negativă. Acesta este colțul -X. Dar am calculat deja x. π /3 sau 60°. Prin urmare, putem scrie în siguranță:

x 2 = - π /3

Ei bine, desigur, adăugăm toate unghiurile care se obțin prin rotații complete:

x 2 = - π /3 + 2π n, n ∈ Z

Asta-i tot acum.) Pe cercul trigonometric noi a văzut(cine înțelege, desigur)) Toate unghiuri care dau un cosinus de 0,5. Și a notat pe scurt aceste unghiuri formă matematică. Răspunsul a rezultat în două serii infinite de rădăcini:

x 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z

x 2 = - π /3 + 2π n, n ∈ Z

Acesta este răspunsul corect.

Speranţă, principiul general de rezolvare a ecuaţiilor trigonometrice folosirea unui cerc este clară. Marcam pe cerc cosinusul (sinus, tangent, cotangent) din ecuația dată, desenează unghiurile corespunzătoare și notează răspunsul. Desigur, trebuie să ne dăm seama în ce colțuri suntem a văzut pe cerc. Uneori nu este atât de evident. Ei bine, am spus că aici este necesară logica.)

De exemplu, să ne uităm la o altă ecuație trigonometrică:

Vă rugăm să țineți cont de faptul că numărul 0,5 nu este singurul număr posibil în ecuații!) Este mai convenabil pentru mine să-l scriu decât rădăcinile și fracțiile.

Lucrăm după principiul general. Desenăm un cerc, marcam (pe axa sinusoidală, desigur!) 0,5. Desenăm simultan toate unghiurile corespunzătoare acestui sinus. Obținem această imagine:

Să ne ocupăm mai întâi de unghi X în primul trimestru. Amintim tabelul sinusurilor și determinăm valoarea acestui unghi. Este o chestiune simplă:

x = π /6

Ne amintim despre turele complete și, cu conștiința curată, notăm prima serie de răspunsuri:

x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z

Jumătate din treabă este făcută. Dar acum trebuie să stabilim al doilea colt... E mai complicat decât folosirea cosinusurilor, da... Dar logica ne va salva! Cum să determinați al doilea unghi prin x? Este ușor! Triunghiurile din imagine sunt aceleași, iar colțul roșu X egal cu unghiul X . Numai că se numără din unghiul π în direcția negativă. De aceea este roșu.) Și pentru răspuns avem nevoie de unghiul, calculat corect, din semiaxa pozitivă OX, adică. dintr-un unghi de 0 grade.

Plasăm cursorul peste desen și vedem totul. Am scos primul colt ca sa nu complic poza. Unghiul care ne interesează (desenat în verde) va fi egal cu:

π - x

X știm asta π /6 . Prin urmare, al doilea unghi va fi:

π - π /6 = 5π /6

Din nou ne amintim despre adăugarea de revoluții complete și notăm a doua serie de răspunsuri:

x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z

Asta este. Un răspuns complet constă din două serii de rădăcini:

x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z

x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z

Ecuațiile tangente și cotangente pot fi rezolvate cu ușurință folosind același principiu general pentru rezolvarea ecuațiilor trigonometrice. Dacă, desigur, știi să desenezi tangenta și cotangenta pe un cerc trigonometric.

În exemplele de mai sus, am folosit valoarea tabelului sinus și cosinus: 0,5. Aceste. unul dintre acele semnificații pe care le cunoaște elevul obligat. Acum să ne extindem capacitățile la toate celelalte valori. Decide, deci decide!)

Deci, să presupunem că trebuie să rezolvăm această ecuație trigonometrică:

Nu există o astfel de valoare a cosinusului în tabelele scurte. Ignorăm cu răceală acest fapt teribil. Desenați un cerc, marcați 2/3 pe axa cosinusului și desenați unghiurile corespunzătoare. Primim această imagine.

Să ne uităm, mai întâi, la unghiul din primul sfert. Dacă am ști cu ce este x, am scrie imediat răspunsul! Nu știm... Eșec!? Calm! Matematica nu-și lasă oamenii în necaz! Ea a venit cu arc cosinus pentru acest caz. Nu stiu? Degeaba. Aflați, este mult mai ușor decât credeți. Nu există o singură vrajă complicată despre „funcțiile trigonometrice inverse” pe acest link... Acest lucru este de prisos în acest subiect.

Dacă știți, spuneți-vă: „X este un unghi al cărui cosinus este egal cu 2/3”. Și imediat, pur prin definiția arccosinusului, putem scrie:

Ne amintim despre revoluțiile suplimentare și notăm cu calm prima serie de rădăcini a ecuației noastre trigonometrice:

x 1 = arccos 2/3 + 2π n, n ∈ Z

A doua serie de rădăcini pentru al doilea unghi este aproape automat scrisă. Totul este la fel, doar X (arccos 2/3) va fi cu minus:

x 2 = - arccos 2/3 + 2π n, n ∈ Z

Și asta este! Acesta este răspunsul corect. Chiar mai ușor decât cu valorile din tabel. Nu este nevoie să vă amintiți nimic.) Apropo, cei mai atenți vor observa că această imagine arată soluția prin arc cosinus în esență, nu diferă de imagine pentru ecuația cosx = 0,5.

Asta e corect! Principiul general De aceea este comun! Am desenat în mod deliberat două imagini aproape identice. Cercul ne arată unghiul X prin cosinusul său. Dacă este un cosinus tabular sau nu, este necunoscut tuturor. Ce fel de unghi este acesta, π /3 sau ce este arccosinus - asta depinde de noi să decidem.

Același cântec cu sine. De exemplu:

Desenați din nou un cerc, marcați sinusul egal cu 1/3, desenați unghiurile. Aceasta este imaginea pe care o obținem:

Și din nou imaginea este aproape aceeași ca pentru ecuație sinx = 0,5.Începem din nou de la colț în primul sfert. Cu ce ​​este X egal dacă sinusul său este 1/3? Nicio întrebare!

Acum primul pachet de rădăcini este gata:

x 1 = arcsin 1/3 + 2π n, n ∈ Z

Să ne ocupăm de al doilea unghi. În exemplul cu o valoare de tabel de 0,5, aceasta a fost egală cu:

π - x

Va fi exact la fel și aici! Doar x este diferit, arcsin 1/3. Şi ce dacă!? Puteți nota în siguranță al doilea pachet de rădăcini:

x 2 = π - arcsin 1/3 + 2π n, n ∈ Z

Acesta este un răspuns complet corect. Deși nu pare foarte cunoscut. Dar e clar, sper.)

Așa se rezolvă ecuațiile trigonometrice folosind un cerc. Această cale este clară și de înțeles. El este cel care salvează în ecuații trigonometrice cu selecția rădăcinilor pe un interval dat, în inegalități trigonometrice - acestea sunt în general rezolvate aproape întotdeauna în cerc. Pe scurt, în orice sarcini care sunt puțin mai dificile decât cele standard.

Să aplicăm cunoștințele în practică?)

Rezolvarea ecuațiilor trigonometrice:

În primul rând, mai simplu, direct din această lecție.

Acum e mai complicat.

Sugestie: aici va trebui să vă gândiți la cerc. Personal.)

Și acum sunt simple în exterior... Se mai numesc și cazuri speciale.

sinx = 0

sinx = 1

cosx = 0

cosx = -1

Sugestie: aici trebuie să vă dați seama într-un cerc unde sunt două serii de răspunsuri și unde există unul... Și cum să scrieți unul în loc de două serii de răspunsuri. Da, astfel încât să nu se piardă o singură rădăcină dintr-un număr infinit!)

Ei bine, foarte simplu):

sinx = 0,3

cosx = π

tgx = 1,2

ctgx = 3,7

Sugestie: aici trebuie să știți ce sunt arcsinus și arccosinus? Ce este arctangent, arccotangent? Cel mai mult definiții simple. Dar nu trebuie să vă amintiți nicio valoare din tabel!)

Răspunsurile sunt, desigur, o mizerie):

x 1= arcsin0,3 + 2π n, n ∈ Z
x 2= π - arcsin0,3 + 2

Nu merge totul? Se întâmplă. Citește din nou lecția. Numai gânditor(există un cuvânt atât de învechit...) Și urmați linkurile. Legăturile principale sunt despre cerc. Fără ea, trigonometria este ca și cum ai traversa drumul legat la ochi. Uneori funcționează.)

Daca va place acest site...

Apropo, mai am câteva site-uri interesante pentru tine.)

Puteți exersa rezolvarea exemplelor și puteți afla nivelul dvs. Testare cu verificare instantanee. Să învățăm - cu interes!)

Vă puteți familiariza cu funcțiile și derivatele.

Cursul video „Obțineți un A” include toate subiectele necesare pentru succes promovarea examenului de stat unificat la matematică pentru 60-65 de puncte. Complet toate problemele 1-13 Examinare de stat unificată de profilîn matematică. De asemenea, potrivit pentru promovarea examenului de stat unificat de bază la matematică. Dacă vrei să promovezi examenul de stat unificat cu 90-100 de puncte, trebuie să rezolvi partea 1 în 30 de minute și fără greșeli!

Curs de pregătire pentru Examenul Unificat de Stat pentru clasele 10-11, precum și pentru profesori. Tot ce aveți nevoie pentru a rezolva partea 1 a examenului de stat unificat la matematică (primele 12 probleme) și problema 13 (trigonometrie). Și asta înseamnă mai mult de 70 de puncte la examenul de stat unificat și nici un student cu 100 de puncte, nici un student la științe umaniste nu se pot descurca fără ele.

Toată teoria necesară. Căi rapide soluții, capcane și secrete ale examenului de stat unificat. Au fost analizate toate sarcinile curente ale părții 1 din Banca de activități FIPI. Cursul respectă pe deplin cerințele Examenului de stat unificat 2018.

Cursul contine 5 subiecte mari, 2,5 ore fiecare. Fiecare subiect este dat de la zero, simplu și clar.

Sute de sarcini de examen de stat unificat. Probleme cu cuvinte și teoria probabilității. Algoritmi simpli și ușor de reținut pentru rezolvarea problemelor. Geometrie. Teorie, material de referință, analiza tuturor tipurilor de sarcini de examinare unificată de stat. Stereometrie. Soluții complicate, cheat sheets utile, dezvoltarea imaginației spațiale. Trigonometrie de la zero la problema 13. Înțelegerea în loc de înghesuială. Explicații clare ale conceptelor complexe. Algebră. Rădăcini, puteri și logaritmi, funcție și derivată. O bază pentru rezolvarea problemelor complexe din partea 2 a examenului de stat unificat.

Când rezolvi multe probleme matematice , în special cele care apar înainte de clasa a 10-a, este clar definită ordinea acțiunilor efectuate care vor duce la obiectiv. Astfel de probleme includ, de exemplu, liniare și ecuații pătratice, liniară și inegalități pătratice, ecuații fracționale și ecuații care se reduc la pătratice. Principiul rezolvării cu succes a fiecăreia dintre problemele menționate este următorul: trebuie să stabiliți ce tip de problemă rezolvați, să vă amintiți succesiunea necesară de acțiuni care vor duce la rezultatul dorit, adică. răspundeți și urmați acești pași.

Este evident că succesul sau eșecul în rezolvarea unei anumite probleme depinde în principal de cât de corect este determinat tipul de ecuație care se rezolvă, cât de corect este reprodusă succesiunea tuturor etapelor rezolvării acesteia. Desigur, este necesar să aveți abilități pentru a performa transformări identitareși de calcul.

Situația este diferită cu ecuații trigonometrice. Nu este deloc greu de stabilit faptul că ecuația este trigonometrică. Apar dificultăți la determinarea succesiunii de acțiuni care ar duce la răspunsul corect.

De aspect ecuație, uneori este dificil de determinat tipul acesteia. Și fără a cunoaște tipul de ecuație, este aproape imposibil să o alegeți pe cea potrivită dintre câteva zeci de formule trigonometrice.

Pentru a rezolva o ecuație trigonometrică, trebuie să încercați:

1. aduceți toate funcțiile incluse în ecuație la „aceleași unghiuri”;
2. aduceți ecuația la „funcții identice”;
3. factorizează partea stângă a ecuației etc.

Să luăm în considerare metode de bază pentru rezolvarea ecuațiilor trigonometrice.

I. Reducerea la cele mai simple ecuații trigonometrice

Diagrama soluției

Pasul 1. Expres functie trigonometrica prin componente cunoscute.

Pasul 2. Găsiți argumentul funcției folosind formulele:

cos x = a; x = ±arccos a + 2πn, n ЄZ.

sin x = a; x = (-1) n arcsin a + πn, n Є Z.

tan x = a; x = arctan a + πn, n Є Z.

ctg x = a; x = arcctg a + πn, n Є Z.

Pasul 3. Găsiți variabila necunoscută.

Exemplu.

2 cos(3x – π/4) = -√2.

Soluţie.

1) cos(3x – π/4) = -√2/2.

2) 3x – π/4 = ±(π – π/4) + 2πn, n Є Z;

3x – π/4 = ±3π/4 + 2πn, n Є Z.

3) 3x = ±3π/4 + π/4 + 2πn, n Є Z;

x = ±3π/12 + π/12 + 2πn/3, n Є Z;

x = ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

Răspuns: ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

II. Înlocuire variabilă

Diagrama soluției

Pasul 1. Reduceți ecuația la forma algebrică relativ la una din funcţiile trigonometrice.

Pasul 2. Notați funcția rezultată prin variabila t (dacă este necesar, introduceți restricții asupra t).

Pasul 3. Scrieți și rezolvați ecuația algebrică rezultată.

Pasul 4. Faceți o înlocuire inversă.

Pasul 5. Rezolvați cea mai simplă ecuație trigonometrică.

Exemplu.

2cos 2 (x/2) – 5sin (x/2) – 5 = 0.

Soluţie.

1) 2(1 – sin 2 (x/2)) – 5sin (x/2) – 5 = 0;

2sin 2 (x/2) + 5sin (x/2) + 3 = 0.

2) Fie sin (x/2) = t, unde |t| ≤ 1.

3) 2t 2 + 5t + 3 = 0;

t = 1 sau e = -3/2, nu satisface condiția |t| ≤ 1.

4) sin(x/2) = 1.

5) x/2 = π/2 + 2πn, n Є Z;

x = π + 4πn, n Є Z.

Răspuns: x = π + 4πn, n Є Z.

III. Metoda de reducere a ordinii ecuațiilor

Diagrama soluției

Pasul 1.Înlocui ecuația dată liniar, folosind formulele de reducere a gradului:

sin 2 x = 1/2 · (1 – cos 2x);

cos 2 x = 1/2 · (1 + cos 2x);

tg 2 x = (1 – cos 2x) / (1 + cos 2x).

Pasul 2. Rezolvați ecuația rezultată folosind metodele I și II.

Exemplu.

cos 2x + cos 2 x = 5/4.

Soluţie.

1) cos 2x + 1/2 · (1 + cos 2x) = 5/4.

2) cos 2x + 1/2 + 1/2 · cos 2x = 5/4;

3/2 cos 2x = 3/4;

2x = ±π/3 + 2πn, n Є Z;

x = ±π/6 + πn, n Є Z.

Răspuns: x = ±π/6 + πn, n Є Z.

IV. Ecuații omogene

Diagrama soluției

Pasul 1. Reduceți această ecuație la forma

a) a sin x + b cos x = 0 (ecuația omogenă de gradul I)

sau la vedere

b) a sin 2 x + b sin x · cos x + c cos 2 x = 0 (ecuația omogenă de gradul doi).

Pasul 2.Împărțiți ambele părți ale ecuației la

a) cos x ≠ 0;

b) cos 2 x ≠ 0;

și obțineți ecuația pentru tan x:

a) a tan x + b = 0;

b) a tan 2 x + b arctan x + c = 0.

Pasul 3. Rezolvați ecuația folosind metode cunoscute.

Exemplu.

5sin 2 x + 3sin x cos x – 4 = 0.

Soluţie.

1) 5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4(sin 2 x + cos 2 x) = 0;

5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4sin² x – 4cos 2 x = 0;

sin 2 x + 3sin x · cos x – 4cos 2 x = 0/cos 2 x ≠ 0.

2) tg 2 x + 3tg x – 4 = 0.

3) Fie tg x = t, atunci

t 2 + 3t – 4 = 0;

t = 1 sau t = -4, ceea ce înseamnă

tg x = 1 sau tg x = -4.

Din prima ecuație x = π/4 + πn, n Є Z; din a doua ecuaţie x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

Răspuns: x = π/4 + πn, n Є Z; x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

V. Metoda de transformare a unei ecuații folosind formule trigonometrice

Diagrama soluției

Pasul 1. Folosind tot felul de formule trigonometrice, reduceți această ecuație la o ecuație rezolvată prin metodele I, II, III, IV.

Pasul 2. Rezolvați ecuația rezultată folosind metode cunoscute.

Exemplu.

sin x + sin 2x + sin 3x = 0.

Soluţie.

1) (sin x + sin 3x) + sin 2x = 0;

2sin 2x cos x + sin 2x = 0.

2) sin 2x (2cos x + 1) = 0;

sin 2x = 0 sau 2cos x + 1 = 0;

Din prima ecuație 2x = π/2 + πn, n Є Z; din a doua ecuație cos x = -1/2.

Avem x = π/4 + πn/2, n Є Z; din a doua ecuație x = ±(π – π/3) + 2πk, k Є Z.

Ca rezultat, x = π/4 + πn/2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

Răspuns: x = π/4 + πn/2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

Abilitatea și deprinderea de a rezolva ecuații trigonometrice este foarte important, dezvoltarea lor necesită un efort semnificativ, atât din partea elevului, cât și din partea profesorului.

Multe probleme de stereometrie, fizică etc. sunt asociate cu rezolvarea ecuațiilor trigonometrice Procesul de rezolvare a unor astfel de probleme întruchipează multe dintre cunoștințele și abilitățile care sunt dobândite prin studiul elementelor de trigonometrie.

Ecuațiile trigonometrice ocupă un loc important în procesul de învățare a matematicii și în dezvoltarea personală în general.

Mai ai întrebări? Nu știi cum să rezolvi ecuații trigonometrice?
Pentru a primi ajutor de la un tutor -.
Prima lecție este gratuită!

blog.site, atunci când copiați materialul integral sau parțial, este necesar un link către sursa originală.

Când rezolvi multe probleme matematice, în special cele care apar înainte de clasa a 10-a, este clar definită ordinea acțiunilor efectuate care vor duce la obiectiv. Astfel de probleme includ, de exemplu, ecuații liniare și pătratice, inegalități liniare și pătratice, ecuații fracționale și ecuații care se reduc la cele pătratice. Principiul rezolvării cu succes a fiecăreia dintre problemele menționate este următorul: trebuie să stabiliți ce tip de problemă rezolvați, să vă amintiți succesiunea necesară de acțiuni care vor duce la rezultatul dorit, adică. răspundeți și urmați acești pași.

Este evident că succesul sau eșecul în rezolvarea unei anumite probleme depinde în principal de cât de corect este determinat tipul de ecuație care se rezolvă, cât de corect este reprodusă succesiunea tuturor etapelor rezolvării acesteia. Desigur, în acest caz este necesar să aveți abilitățile de a efectua transformări și calcule identice.

Situația este diferită cu ecuații trigonometrice. Nu este deloc greu de stabilit faptul că ecuația este trigonometrică. Apar dificultăți la determinarea succesiunii de acțiuni care ar duce la răspunsul corect.

Este uneori dificil să-i determinați tipul pe baza apariției unei ecuații. Și fără a cunoaște tipul de ecuație, este aproape imposibil să o alegeți pe cea potrivită dintre câteva zeci de formule trigonometrice.

Pentru a rezolva o ecuație trigonometrică, trebuie să încercați:

1. aduceți toate funcțiile incluse în ecuație la „aceleași unghiuri”;
2. aduceți ecuația la „funcții identice”;
3. factorizează partea stângă a ecuației etc.

Să luăm în considerare metode de bază pentru rezolvarea ecuațiilor trigonometrice.

I. Reducerea la cele mai simple ecuații trigonometrice

Diagrama soluției

Pasul 1. Exprimați o funcție trigonometrică în termeni de componente cunoscute.

Pasul 2. Găsiți argumentul funcției folosind formulele:

cos x = a; x = ±arccos a + 2πn, n ЄZ.

sin x = a; x = (-1) n arcsin a + πn, n Є Z.

tan x = a; x = arctan a + πn, n Є Z.

ctg x = a; x = arcctg a + πn, n Є Z.

Pasul 3. Găsiți variabila necunoscută.

Exemplu.

2 cos(3x – π/4) = -√2.

Soluţie.

1) cos(3x – π/4) = -√2/2.

2) 3x – π/4 = ±(π – π/4) + 2πn, n Є Z;

3x – π/4 = ±3π/4 + 2πn, n Є Z.

3) 3x = ±3π/4 + π/4 + 2πn, n Є Z;

x = ±3π/12 + π/12 + 2πn/3, n Є Z;

x = ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

Răspuns: ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

II. Înlocuire variabilă

Diagrama soluției

Pasul 1. Reduceți ecuația la formă algebrică în raport cu una dintre funcțiile trigonometrice.

Pasul 2. Notați funcția rezultată prin variabila t (dacă este necesar, introduceți restricții asupra t).

Pasul 3. Scrieți și rezolvați ecuația algebrică rezultată.

Pasul 4. Faceți o înlocuire inversă.

Pasul 5. Rezolvați cea mai simplă ecuație trigonometrică.

Exemplu.

2cos 2 (x/2) – 5sin (x/2) – 5 = 0.

Soluţie.

1) 2(1 – sin 2 (x/2)) – 5sin (x/2) – 5 = 0;

2sin 2 (x/2) + 5sin (x/2) + 3 = 0.

2) Fie sin (x/2) = t, unde |t| ≤ 1.

3) 2t 2 + 5t + 3 = 0;

t = 1 sau e = -3/2, nu satisface condiția |t| ≤ 1.

4) sin(x/2) = 1.

5) x/2 = π/2 + 2πn, n Є Z;

x = π + 4πn, n Є Z.

Răspuns: x = π + 4πn, n Є Z.

III. Metoda de reducere a ordinii ecuațiilor

Diagrama soluției

Pasul 1.Înlocuiți această ecuație cu una liniară, folosind formula de reducere a gradului:

sin 2 x = 1/2 · (1 – cos 2x);

cos 2 x = 1/2 · (1 + cos 2x);

tg 2 x = (1 – cos 2x) / (1 + cos 2x).

Pasul 2. Rezolvați ecuația rezultată folosind metodele I și II.

Exemplu.

cos 2x + cos 2 x = 5/4.

Soluţie.

1) cos 2x + 1/2 · (1 + cos 2x) = 5/4.

2) cos 2x + 1/2 + 1/2 · cos 2x = 5/4;

3/2 cos 2x = 3/4;

2x = ±π/3 + 2πn, n Є Z;

x = ±π/6 + πn, n Є Z.

Răspuns: x = ±π/6 + πn, n Є Z.

IV. Ecuații omogene

Diagrama soluției

Pasul 1. Reduceți această ecuație la forma

a) a sin x + b cos x = 0 (ecuația omogenă de gradul I)

sau la vedere

b) a sin 2 x + b sin x · cos x + c cos 2 x = 0 (ecuația omogenă de gradul doi).

Pasul 2.Împărțiți ambele părți ale ecuației la

a) cos x ≠ 0;

b) cos 2 x ≠ 0;

și obțineți ecuația pentru tan x:

a) a tan x + b = 0;

b) a tan 2 x + b arctan x + c = 0.

Pasul 3. Rezolvați ecuația folosind metode cunoscute.

Exemplu.

5sin 2 x + 3sin x cos x – 4 = 0.

Soluţie.

1) 5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4(sin 2 x + cos 2 x) = 0;

5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4sin² x – 4cos 2 x = 0;

sin 2 x + 3sin x · cos x – 4cos 2 x = 0/cos 2 x ≠ 0.

2) tg 2 x + 3tg x – 4 = 0.

3) Fie tg x = t, atunci

t 2 + 3t – 4 = 0;

t = 1 sau t = -4, ceea ce înseamnă

tg x = 1 sau tg x = -4.

Din prima ecuație x = π/4 + πn, n Є Z; din a doua ecuaţie x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

Răspuns: x = π/4 + πn, n Є Z; x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

V. Metoda de transformare a unei ecuații folosind formule trigonometrice

Diagrama soluției

Pasul 1. Folosind toate formulele trigonometrice posibile, reduceți această ecuație la o ecuație rezolvată prin metodele I, II, III, IV.

Pasul 2. Rezolvați ecuația rezultată folosind metode cunoscute.

Exemplu.

sin x + sin 2x + sin 3x = 0.

Soluţie.

1) (sin x + sin 3x) + sin 2x = 0;

2sin 2x cos x + sin 2x = 0.

2) sin 2x (2cos x + 1) = 0;

sin 2x = 0 sau 2cos x + 1 = 0;

Din prima ecuație 2x = π/2 + πn, n Є Z; din a doua ecuație cos x = -1/2.

Avem x = π/4 + πn/2, n Є Z; din a doua ecuație x = ±(π – π/3) + 2πk, k Є Z.

Ca rezultat, x = π/4 + πn/2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

Răspuns: x = π/4 + πn/2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

Abilitatea și deprinderea de a rezolva ecuații trigonometrice este foarte important, dezvoltarea lor necesită un efort semnificativ, atât din partea elevului, cât și din partea profesorului.

Multe probleme de stereometrie, fizică etc. sunt asociate cu rezolvarea ecuațiilor trigonometrice Procesul de rezolvare a unor astfel de probleme întruchipează multe dintre cunoștințele și abilitățile care sunt dobândite prin studiul elementelor de trigonometrie.

Ecuațiile trigonometrice ocupă un loc important în procesul de învățare a matematicii și în dezvoltarea personală în general.

Mai ai întrebări? Nu știi cum să rezolvi ecuații trigonometrice?
Pentru a obține ajutor de la un tutor, înregistrați-vă.
Prima lecție este gratuită!

site-ul web, atunci când copiați materialul integral sau parțial, este necesar un link către sursă.

Rezolvarea ecuațiilor trigonometrice simple.

Rezolvarea ecuațiilor trigonometrice de orice nivel de complexitate se reduce în cele din urmă la rezolvarea celor mai simple ecuații trigonometrice. Și în asta cel mai bun ajutor din nou se dovedește a fi un cerc trigonometric.

Să ne amintim definițiile cosinusului și sinusului.

Cosinusul unui unghi este abscisa (adică coordonatele de-a lungul axei) a unui punct de pe cercul unitar corespunzător unei rotații printr-un unghi dat.

Sinusul unui unghi este ordonata (adică coordonata de-a lungul axei) a unui punct de pe cercul unitar corespunzător unei rotații printr-un unghi dat.

Direcția pozitivă a mișcării pe cercul trigonometric este în sens invers acelor de ceasornic. O rotație de 0 grade (sau 0 radiani) corespunde unui punct cu coordonate (1;0)

Folosim aceste definiții pentru a rezolva ecuații trigonometrice simple.

1. Rezolvați ecuația

Această ecuație este satisfăcută de toate valorile unghiului de rotație care corespund punctelor din cerc a căror ordonată este egală cu .

Să marchem un punct cu ordonată pe axa ordonatelor:

Desenați o linie orizontală paralelă cu axa x până când se intersectează cu cercul. Obținem două puncte situate pe cerc și având o ordonată. Aceste puncte corespund unghiurilor de rotație în și radiani:

Dacă, lăsând punctul corespunzător unghiului de rotație pe radian, ocolim un cerc complet, atunci vom ajunge la un punct corespunzător unghiului de rotație pe radian și având aceeași ordonată. Adică, acest unghi de rotație satisface și ecuația noastră. Putem face câte revoluții „în gol” ne dorim, revenind la același punct, iar toate aceste valori ale unghiului ne vor satisface ecuația. Numărul de rotații „în gol” va fi notat cu litera (sau). Deoarece putem face aceste revoluții atât în ​​direcții pozitive, cât și în direcții negative, (sau) poate lua orice valoare întreagă.

Adică, prima serie de soluții la ecuația originală are forma:

, , - set de numere întregi (1)

În mod similar, a doua serie de soluții are forma:

, Unde , . (2)

După cum probabil ați ghicit, această serie de soluții se bazează pe punctul de pe cerc corespunzător unghiului de rotație cu .

Aceste două serii de soluții pot fi combinate într-o singură intrare:

Dacă luăm (adică chiar) în această intrare, atunci vom obține prima serie de soluții.

Dacă luăm (adică impar) în această intrare, atunci obținem a doua serie de soluții.

2. Acum să rezolvăm ecuația

Deoarece aceasta este abscisa unui punct de pe cercul unitar obtinut prin rotirea printr-un unghi, marcam punctul cu abscisa pe axa:

Desenați o linie verticală paralelă cu axa până când se intersectează cu cercul. Vom obține două puncte situate pe cerc și având o abscisă. Aceste puncte corespund unghiurilor de rotație în și radiani. Amintiți-vă că atunci când ne mișcăm în sensul acelor de ceasornic obținem un unghi de rotație negativ:

Să notăm două serii de soluții:

,

,

(Ajungem la punctul dorit mergând de la cercul complet principal, adică.

Să combinăm aceste două serii într-o singură intrare:

3. Rezolvați ecuația

Linia tangentă trece prin punctul cu coordonatele (1,0) ale cercului unitar paralel cu axa OY

Să marchem un punct pe el cu o ordonată egală cu 1 (căutăm tangenta a cărei unghiuri este egală cu 1):

Să conectăm acest punct la originea coordonatelor cu o linie dreaptă și să marchem punctele de intersecție ale dreptei cu cercul unitar. Punctele de intersecție ale dreptei și ale cercului corespund unghiurilor de rotație pe și:

Deoarece punctele corespunzătoare unghiurilor de rotație care satisfac ecuația noastră se află la o distanță de radiani unul de celălalt, putem scrie soluția astfel:

4. Rezolvați ecuația

Linia cotangentelor trece prin punctul cu coordonatele cercului unitar paralel cu axa.

Să marchem un punct cu abscisă -1 pe linia cotangenților:

Să conectăm acest punct la originea dreptei și să o continuăm până când se intersectează cu cercul. Această linie dreaptă va intersecta cercul în puncte corespunzătoare unghiurilor de rotație în și radiani:

Deoarece aceste puncte sunt separate unul de celălalt printr-o distanță egală cu , putem scrie soluția generală a acestei ecuații după cum urmează:

În exemplele date care ilustrează soluția celor mai simple ecuații trigonometrice, s-au folosit valori tabelare ale funcțiilor trigonometrice.

Totuși, dacă partea dreaptă a ecuației conține o valoare netabelară, atunci înlocuim valoarea în soluția generală a ecuației:

SOLUȚII SPECIALE:

Să marchem punctele de pe cerc a cărui ordonată este 0:

Să marchem un singur punct pe cerc a cărui ordonată este 1:

Să marchem un singur punct pe cerc a cărui ordonată este egală cu -1:

Deoarece se obișnuiește să se indice valorile cele mai apropiate de zero, scriem soluția după cum urmează:

Să marchem punctele cercului a cărui abscisă este egală cu 0:

5.
Să marchem un singur punct pe cerc a cărui abscisă este egală cu 1:

Să marchem un singur punct pe cerc a cărui abscisă este egală cu -1:

Și exemple puțin mai complexe:

1.

Sinusul este egal cu unu dacă argumentul este egal cu

Argumentul sinusului nostru este egal, deci obținem:

Împărțiți ambele părți ale egalității la 3:

Răspuns:

2.

Cosinusul este zero dacă argumentul cosinusului este

Argumentul cosinusului nostru este egal cu , deci obținem:

Să exprimăm , pentru a face acest lucru ne deplasăm mai întâi la dreapta cu semnul opus:

Să simplificăm partea dreaptă:

Împărțiți ambele părți la -2:

Rețineți că semnul din fața termenului nu se schimbă, deoarece k poate lua orice valoare întreagă.

Răspuns:

Și, în sfârșit, urmăriți tutorialul video „Selectarea rădăcinilor într-o ecuație trigonometrică folosind cerc trigonometric"

Aceasta încheie conversația noastră despre rezolvarea ecuațiilor trigonometrice simple. Data viitoare vom vorbi despre cum să decidem.