Un triunghi cu laturile care este isoscel. Triunghi isoscel și echilateral

Acasă Această lecție va acoperi subiectul „Triunghiul isoscel și proprietățile sale”. Veți afla cum arată triunghiurile isoscele și echilaterale și cum sunt caracterizate. Demonstrați teorema despre egalitatea unghiurilor la bază triunghi isoscel

. Luați în considerare și teorema despre bisectoarea (mediană și altitudine) trasată la baza unui triunghi isoscel. La sfârșitul lecției, vei rezolva două probleme folosind definiția și proprietățile unui triunghi isoscel.Definiţie: Isoscel

se numește triunghi ale cărui două laturi sunt egale.

Orez. 1. Triunghi isoscel

AB = AC - laturi. BC - fundație.

. Luați în considerare și teorema despre bisectoarea (mediană și altitudine) trasată la baza unui triunghi isoscel. La sfârșitul lecției, vei rezolva două probleme folosind definiția și proprietățile unui triunghi isoscel.Aria unui triunghi isoscel este egală cu jumătate din produsul bazei și înălțimii sale. Echilateral

se numește triunghi în care toate cele trei laturi sunt egale.

Orez. 2. Triunghi echilateral

AB = BC = SA. Teorema 1:

Într-un triunghi isoscel, unghiurile de bază sunt egale. Dat:

AB = AC. Dovedi:

∠B =∠C.

Orez. 3. Desen pentru teoremă Dovada:

triunghi ABC = triunghi ACB după primul semn (două laturi egale și unghiul dintre ele). Din egalitatea triunghiurilor rezultă că toate elementele corespunzătoare sunt egale. Aceasta înseamnă ∠B = ∠C, care este ceea ce trebuia demonstrat. Teorema 2: Într-un triunghi isoscel bisectoare trasă la bază este median Şi.

Într-un triunghi isoscel, unghiurile de bază sunt egale.înălţime

AB = AC. AB = AC, ∠1 = ∠2.

ВD = DC, AD perpendicular pe BC.

Orez. 3. Desen pentru teoremă Orez. 4. Desen pentru teorema 2

triunghi ADB = triunghi ADC după primul semn (AD - general, AB = AC după condiție, ∠BAD = ∠DAC). Din egalitatea triunghiurilor rezultă că toate elementele corespunzătoare sunt egale. BD = DC deoarece se află opuse unghiurilor egale. Deci AD este mediana. De asemenea, ∠3 = ∠4, deoarece se află opuse laturi egale. Dar, în plus, sunt egale în total. Prin urmare, ∠3 = ∠4 = . Aceasta înseamnă că AD este înălțimea triunghiului, ceea ce trebuia să dovedim.

În singurul caz a = b = . În acest caz, dreptele AC și BD se numesc perpendiculare.

Deoarece bisectoarea, înălțimea și mediana sunt același segment, următoarele afirmații sunt de asemenea adevărate:

Altitudinea unui triunghi isoscel trasat la bază este mediana și bisectoarea.

Exemplul 1:Într-un triunghi isoscel, baza este jumătate din dimensiunea laturii, iar perimetrul este de 50 cm. Aflați laturile triunghiului.

Într-un triunghi isoscel, unghiurile de bază sunt egale. AB = AC, BC = AC. P = 50 cm.

Găsi: BC, AC, AB.

Soluţie:

Orez. 5. Desen de exemplu 1

Să notăm baza BC ca a, apoi AB = AC = 2a.

2a + 2a + a = 50.

5a = 50, a = 10.

Răspuns: BC = 10 cm, AC = AB = 20 cm.

Exemplul 2: Demonstrați că într-un triunghi echilateral toate unghiurile sunt egale.

Într-un triunghi isoscel, unghiurile de bază sunt egale. AB = BC = SA.

AB = AC.∠A = ∠B = ∠C.

Orez. 3. Desen pentru teoremă

Orez. 6. Desenul de exemplu

∠B = ∠C, deoarece AB = AC, și ∠A = ∠B, deoarece AC = BC.

Prin urmare, ∠A = ∠B = ∠C, care este ceea ce trebuia demonstrat.

Răspuns: Dovedit.

În lecția de astăzi ne-am uitat la un triunghi isoscel și i-am studiat proprietățile de bază. În lecția următoare vom rezolva probleme pe tema triunghiurilor isoscel, despre calculul ariei unui triunghi isoscel și echilateral.

1. Alexandrov A.D., Werner A.L., Ryzhik V.I. şi altele Geometrie 7. - M.: Educaţie.
2. Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B. şi alţii Geometrie 7. Ed. a V-a. - M.: Iluminismul.
3. Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Prasolova V.V. Geometrie 7 / V.F. Butozov, S.B. Kadomtsev, V.V. Prasolova, ed. Sadovnichego V.A. - M.: Educație, 2010.

1. Dicționare și enciclopedii despre academician ().
2. Festival idee pedagogică « Lecție deschisă» ().
3. Kaknauchit.ru ().

1. Nr 29. Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Prasolova V.V. Geometrie 7 / V.F. Butozov, S.B. Kadomtsev, V.V. Prasolova, ed. Sadovnichego V.A. - M.: Educație, 2010.

2. Perimetrul unui triunghi isoscel este de 35 cm, iar baza este de trei ori mai mică decât latura. Aflați laturile triunghiului.

3. Având în vedere: AB = BC. Demonstrați că ∠1 = ∠2.

4. Perimetrul unui triunghi isoscel este de 20 cm, una dintre laturile sale este de două ori mai mare decât cealaltă. Aflați laturile triunghiului. Câte soluții are problema?

Proprietățile unui triunghi isoscel sunt exprimate prin următoarele teoreme.

Teorema 1. Într-un triunghi isoscel, unghiurile de la bază sunt egale.

Teorema 2. Într-un triunghi isoscel, bisectoarea trasată la bază este mediana și altitudinea.

Teorema 3. Într-un triunghi isoscel, mediana trasată la bază este bisectoarea și altitudinea.

Teorema 4. Într-un triunghi isoscel, altitudinea trasată la bază este bisectoarea și mediana.

Să demonstrăm una dintre ele, de exemplu Teorema 2.5.

Dovada. Să considerăm un triunghi isoscel ABC cu baza BC și să demonstrăm că ∠ B = ∠ C. Fie AD bisectoarea triunghiului ABC (Fig. 1). Triunghiurile ABD și ACD sunt egale conform primului semn de egalitate al triunghiurilor (AB = AC prin condiție, AD este o latură comună, ∠ 1 = ∠ 2, deoarece AD ​​​​este o bisectoare). Din egalitatea acestor triunghiuri rezultă că ∠ B = ∠ C. Se demonstrează teorema.

Folosind teorema 1, se stabilește următoarea teoremă.

Teorema 5. Al treilea criteriu pentru egalitatea triunghiurilor. Dacă trei laturi ale unui triunghi sunt, respectiv, egale cu trei laturi ale altui triunghi, atunci astfel de triunghiuri sunt congruente (Fig. 2).

Comentariu. Propozițiile stabilite în exemplele 1 și 2 exprimă proprietățile bisectoarei perpendiculare a unui segment. Din aceste propuneri rezultă că bisectoarele perpendiculare pe laturile unui triunghi se intersectează într-un punct.

Exemplul 1. Demonstrați că un punct din plan echidistant de capetele unui segment se află pe bisectoarea perpendiculară pe acest segment.

Soluţie. Fie punctul M să fie echidistant de capetele segmentului AB (Fig. 3), adică AM = BM.

Atunci Δ AMV este isoscel. Să trasăm o dreaptă p prin punctul M și mijlocul O al segmentului AB. Prin construcție, segmentul MO este mediana triunghiului isoscel AMB și, prin urmare (Teorema 3), iar înălțimea, adică dreapta MO, este bisectoarea perpendiculară pe segmentul AB.

Exemplul 2. Demonstrați că fiecare punct al bisectoarei perpendiculare pe un segment este echidistant de capetele acestuia.

Soluţie. Fie p bisectoarea perpendiculară pe segmentul AB și punctul O punctul de mijloc al segmentului AB (vezi Fig. 3).

Să considerăm un punct arbitrar M situat pe dreapta p. Să desenăm segmentele AM ​​și BM. Triunghiurile AOM și BOM sunt egale, deoarece unghiurile lor la vârful O sunt drepte, cateta OM este comună, iar cateta OA este egală cu cateta OB prin condiție. Din egalitatea triunghiurilor AOM și BOM rezultă că AM = BM.

Exemplul 3.În triunghiul ABC (vezi fig. 4) AB = 10 cm, BC = 9 cm, AC = 7 cm; în triunghi DEF DE = 7 cm, EF = 10 cm, FD = 9 cm.

Comparați triunghiurile ABC și DEF. Găsiți în consecință unghiuri egale.

Soluţie. Aceste triunghiuri sunt egale conform celui de-al treilea criteriu. În mod corespunzător, unghiuri egale: A și E (se află opuse laturi egale BC și FD), B și F (se află opuse laturi egale AC și DE), C și D (se află opuse laturi egale AB și EF).

Exemplul 4.În figura 5, AB = DC, BC = AD, ∠B = 100°.

Găsiți unghiul D.

Soluţie. Luați în considerare triunghiurile ABC și ADC. Ele sunt egale conform celui de-al treilea criteriu (AB = DC, BC = AD prin condiție și latura AC este comună). Din egalitatea acestor triunghiuri rezultă că ∠ B = ∠ D, dar unghiul B este egal cu 100°, ceea ce înseamnă că unghiul D este egal cu 100°.

Exemplul 5.Într-un triunghi isoscel ABC cu baza AC, unghiul exterior la vârful C este de 123°. Aflați dimensiunea unghiului ABC. Dați răspunsul în grade.

Soluție video.

Definiția 7. Orice triunghi ale cărui două laturi sunt egale se numește isoscel.
Două laturi egale se numesc laterale, a treia se numește bază.
Definiția 8. Dacă toate cele trei laturi ale unui triunghi sunt egale, atunci triunghiul se numește echilateral.
Este un tip special de triunghi isoscel.
Teorema 18. Înălțimea unui triunghi isoscel, coborât la bază, este în același timp bisectoarea unghiului dintre laturile egale, mediana și axa de simetrie a bazei.
Dovada. Să coborâm înălțimea până la baza triunghiului isoscel. Ea îl va împărți în două triunghiuri dreptunghice egale (de-a lungul catetei și ipotenuzei). Unghiurile A și C sunt egale, iar înălțimea împarte baza în jumătate și va fi axa de simetrie a întregii figuri luate în considerare.
Această teoremă poate fi formulată și după cum urmează:
Teorema 18.1. Mediana unui triunghi isoscel, coborât la bază, este și bisectoarea unghiului dintre laturile egale, înălțimea și axa de simetrie a bazei.
Teorema 18.2. Bisectoarea unui triunghi isoscel, coborât la bază, este simultan înălțimea, mediana și axa de simetrie a bazei.
Teorema 18.3. Axa de simetrie a unui triunghi isoscel este simultan bisectoarea unghiului dintre laturile egale, mediana și altitudinea.
Dovada acestor corolare rezultă și din egalitatea triunghiurilor în care este împărțit un triunghi isoscel.

Teorema 19. Unghiurile de la baza unui triunghi isoscel sunt egale.
Dovada. Să coborâm înălțimea până la baza triunghiului isoscel. Îl va împărți în două triunghiuri dreptunghice egale (de-a lungul catetei și ipotenuzei), ceea ce înseamnă că unghiurile corespunzătoare sunt egale, adică. ∠ A=∠ C
Criteriile pentru un triunghi isoscel provin din teorema 1 și corolarele sale și din teorema 2.
Teorema 20. Dacă două dintre cele patru linii indicate (înălțimea, mediana, bisectoarea, axa de simetrie) coincid, atunci triunghiul va fi isoscel (ceea ce înseamnă că toate cele patru linii vor coincide).
Teorema 21. Dacă oricare două unghiuri ale unui triunghi sunt egale, atunci acesta este isoscel.

Orez. 3. Desen pentru teoremă Similar cu demonstrația teoremei directe, dar folosind al doilea criteriu pentru egalitatea triunghiurilor. Centrul de greutate, centrele cercului circumscris și cercului și punctul de intersecție al altitudinilor unui triunghi isoscel se află toate pe axa sa de simetrie, adică. deasupra.
Un triunghi echilateral este isoscel pentru fiecare pereche de laturi. Datorită egalității tuturor laturilor sale, toate cele trei unghiuri ale unui astfel de triunghi sunt egale. Considerând că suma unghiurilor oricărui triunghi este egală cu două unghiuri drepte, vedem că fiecare dintre unghiurile unui triunghi echilateral este egal cu 60°. În schimb, pentru a vă asigura că toate laturile unui triunghi sunt egale, este suficient să verificați că două dintre cele trei unghiuri ale sale sunt egale cu 60°.
Teorema 22 . Într-un triunghi echilateral, toate punctele remarcabile coincid: centrul de greutate, centrele cercurilor înscrise și circumscrise, punctul de intersecție al altitudinilor (numit ortocentrul triunghiului).
Teorema 23 . Dacă două dintre cele patru puncte indicate coincid, atunci triunghiul va fi echilateral și, în consecință, toate cele patru puncte numite vor coincide.
Într-adevăr, un astfel de triunghi se va dovedi, conform celui precedent, isoscel față de orice pereche de laturi, adică. echilateral. Un triunghi echilateral se mai numește și triunghi regulat.
Aria unui triunghi isoscel este egală cu jumătate din produsul pătratului laturii și sinusul unghiului dintre laturi

Luați în considerare această formulă pentru un triunghi echilateral, atunci unghiul alfa va fi egal cu 60 de grade. Apoi formula se va schimba în aceasta: Teorema d1

Orez. 3. Desen pentru teoremă. Într-un triunghi isoscel, medianele trasate pe laturi sunt egale.
Fie ABC un triunghi isoscel (AC = BC), AK și BL medianele sale. Atunci triunghiurile AKB și ALB sunt egale conform celui de-al doilea criteriu de egalitate a triunghiurilor. Au latura comună AB, laturile AL și BK sunt egale cu jumătățile laturilor laterale ale unui triunghi isoscel, iar unghiurile LAB și KBA sunt egale cu unghiurile de bază ale unui triunghi isoscel. Deoarece triunghiurile sunt congruente, laturile lor AK și LB sunt egale. Dar AK și LB sunt medianele unui triunghi isoscel desenat pe laturile sale laterale. Teorema d2

Orez. 3. Desen pentru teoremă. Într-un triunghi isoscel, bisectoarele trasate pe laturile laterale sunt egale.
Fie ABC un triunghi isoscel (AC = BC), AK și BL bisectoarele sale. Triunghiurile AKB și ALB sunt egale conform celui de-al doilea criteriu de egalitate a triunghiurilor. Au latura AB în comun, unghiurile LAB și KBA sunt egale cu unghiurile de bază ale unui triunghi isoscel, iar unghiurile LBA și KAB sunt egale cu jumătate din unghiurile de bază ale unui triunghi isoscel. Deoarece triunghiurile sunt congruente, laturile lor AK și LB - bisectoarele triunghiului ABC - sunt congruente. Teorema a fost demonstrată. Teorema d3

Orez. 3. Desen pentru teoremă Fie ABC un triunghi isoscel (AC = BC), AK și BL altitudinile sale. Atunci unghiurile ABL și KAB sunt egale, deoarece unghiurile ALB și AKB sunt unghiuri drepte, iar unghiurile LAB și ABK sunt egale cu unghiurile de bază ale unui triunghi isoscel. În consecință, triunghiurile ALB și AKB sunt egale conform celui de-al doilea criteriu pentru egalitatea triunghiurilor: au o latură comună AB, unghiurile KAB și LBA sunt egale conform celor de mai sus, iar unghiurile LAB și KBA sunt egale cu unghiurile de bază ale unui triunghi isoscel. Dacă triunghiurile sunt congruente, laturile lor AK și BL sunt de asemenea congruente. Q.E.D.

Subiectul lecției

Triunghi isoscel

Scopul lecției

Prezentați elevilor un triunghi isoscel;
Continuați să vă dezvoltați abilitățile în construirea triunghiurilor dreptunghiulare;
Extindeți cunoștințele elevilor despre proprietățile triunghiurilor isoscele;
Consolidarea cunoștințelor teoretice la rezolvarea problemelor.

Obiectivele lecției

Să fie capabil să formuleze, să demonstreze și să utilizeze teorema despre proprietățile unui triunghi isoscel în procesul de rezolvare a problemelor;
Continuați să dezvoltați percepția conștientă material educațional, gândire logică, abilități de autocontrol și stima de sine;
Apel interes cognitiv la lecțiile de matematică;
Încurajează activitatea, curiozitatea și organizarea.

Planul de lecție

1. Concepte generaleși definițiile unui triunghi isoscel.
2. Proprietățile unui triunghi isoscel.
3. Semne ale unui triunghi isoscel.
4. Întrebări și sarcini.

Triunghi isoscel

Un triunghi isoscel este un triunghi care are două laturi egale, numite laturile unui triunghi isoscel, iar a treia latură a sa se numește bază.

Vârful unei figuri date este cel situat opus bazei sale.

Unghiul care se află opus bazei se numește unghiul vârf al acestui triunghi, iar celelalte două unghiuri se numesc unghiurile de bază ale unui triunghi isoscel.

Tipuri de triunghiuri isoscele

Un triunghi isoscel, ca și alte figuri, poate avea diferite tipuri. Printre triunghiurile isoscele se numără acute, dreptunghiulare, obtuze și echilaterale.

Un triunghi ascuțit are toate unghiurile ascuțite.
Un triunghi dreptunghic are un unghi drept la vârf și unghiuri ascuțite la bază.
Un unghi obtuz are un unghi obtuz la vârf, iar unghiurile de la bază sunt acute.
Un obiect echilateral are toate unghiurile și laturile sale egale.

Proprietățile unui triunghi isoscel

Unghiurile opuse în raport cu laturile egale ale unui triunghi isoscel sunt egale între ele;

Bisectoarele, medianele și altitudinile trasate din unghiuri opuse laturilor egale ale unui triunghi sunt egale între ele.

Bisectoarea, mediana și înălțimea, îndreptate și trase la baza triunghiului, coincid una cu cealaltă.

Centrele cercurilor înscrise și circumscrise se află la altitudinea, bisectoare și mediană (acestea coincid) trase la bază.

Unghiurile opuse laturilor egale ale unui triunghi isoscel sunt întotdeauna acute.

Aceste proprietăți ale unui triunghi isoscel sunt utilizate în rezolvarea problemelor.

Teme pentru acasă

1. Definiți un triunghi isoscel.
2. Ce este special la acest triunghi?
3. Cum diferă un triunghi isoscel de un triunghi dreptunghic?
4. Numiți proprietățile unui triunghi isoscel pe care îl cunoașteți.
5. Credeți că este posibil în practică să verificați egalitatea unghiurilor la bază și cum să faceți acest lucru?

Exercita

Acum haideți să realizăm un scurt sondaj și să aflăm cum ați învățat noul material.

Ascultă cu atenție întrebările și răspunde dacă următoarea afirmație este adevărată:

1. Un triunghi poate fi considerat isoscel dacă cele două laturi ale sale sunt egale?
2. O bisectoare este un segment care leagă vârful unui triunghi cu mijlocul laturii opuse?
3. Este o bisectoare un segment care bisectează un unghi care leagă un vârf cu un punct de pe latura opusă?

Sfaturi pentru rezolvarea problemelor triunghiului isoscel:

1. Pentru a determina perimetrul unui triunghi isoscel, este suficient să înmulțiți lungimea laturii cu 2 și să adăugați acest produs cu lungimea bazei triunghiului.
2. Dacă în problemă se cunosc perimetrul și lungimea bazei unui triunghi isoscel, atunci pentru a afla lungimea laturii este suficient să scădem lungimea bazei din perimetru și să împărțiți diferența găsită la 2.
3. Și pentru a găsi lungimea bazei unui triunghi isoscel, cunoscând atât perimetrul, cât și lungimea laturii, trebuie doar să înmulți latura cu două și să scădem acest produs din perimetrul triunghiului nostru.

Sarcini:

1. Printre triunghiurile din figură, identificați unul suplimentar și explicați alegerea dvs.:

2. Determinați care dintre triunghiurile prezentate în figură sunt isoscele, denumiți bazele și laturile lor și calculați, de asemenea, perimetrul.

3. Perimetrul unui triunghi isoscel este de 21 cm Aflați laturile acestui triunghi dacă unul dintre ele este cu 3 cm mai mare.

4. Se știe că dacă latura laterală și unghiul opus bazei unui triunghi isoscel sunt egale cu latura laterală și unghiul altuia, atunci aceste triunghiuri vor fi egale. Demonstrează această afirmație.

5. Gândiți-vă și spuneți dacă vreun triunghi isoscel este echilateral? Și orice triunghi echilateral va fi isoscel?

6. Dacă laturile unui triunghi isoscel au 4 m și 5 m, atunci care va fi perimetrul acestuia? Câte soluții poate avea această problemă?

7. Dacă unul dintre unghiurile unui triunghi isoscel este egal cu 91 de grade, atunci cu ce sunt egale celelalte unghiuri?

8. Gândiți-vă și răspundeți, ce unghiuri ar trebui să aibă un triunghi pentru ca acesta să fie atât dreptunghiular, cât și isoscel?

Câți dintre voi știu ce este triunghiul lui Pascal? Problema construirii triunghiului lui Pascal este adesea solicitată să testeze abilitățile de bază de programare. În general, triunghiul lui Pascal se referă la combinatorie și teoria probabilității. Deci, ce fel de triunghi este acesta?

Triunghiul lui Pascal este un triunghi aritmetic infinit sau un tabel în formă de triunghi care se formează folosind coeficienți binomi. Cu cuvinte simple, vârful și laturile acestui triunghi sunt unități, iar el însuși este umplut cu sumele celor două numere care sunt situate deasupra. Un astfel de triunghi poate fi pliat la infinit, dar dacă îl conturăm, vom obține un triunghi isoscel cu linii simetrice față de axa lui verticală.

Gândește-te unde viata de zi cu zi Ați întâlnit vreodată triunghiuri isoscele? Nu este adevărat, acoperișurile caselor și vechi structuri arhitecturale seamănă mult cu ei? Îți amintești care este baza piramidelor egiptene? Unde ai mai întâlnit triunghiuri isoscele?

Din cele mai vechi timpuri, triunghiurile isoscele i-au ajutat pe greci și egipteni în determinarea distanțelor și înălțimii. De exemplu, grecii antici îl foloseau pentru a determina de la distanță până la o navă pe mare. Și egiptenii antici au determinat înălțimea piramidelor lor pe baza lungimii umbrei aruncate, deoarece... era un triunghi isoscel.

Din cele mai vechi timpuri, oamenii au apreciat deja frumusețea și caracterul practic al acestei figuri, deoarece formele triunghiurilor ne înconjoară peste tot. Deplasându-ne prin diferite sate, vedem acoperișurile caselor și ale altor clădiri care ne amintesc de un triunghi isoscel când intrăm într-un magazin, vedem pachete de mâncare și sucuri în formă de triunghi și chiar și unele fețe umane au forma unui; triunghi. Această cifră este atât de populară încât o poți vedea la fiecare pas.

Subiecte > Matematică > Matematică clasa a VII-a

În care două laturi sunt egale ca lungime. Laturile egale se numesc laterale, iar ultima latură inegală se numește bază. Prin definiție, un triunghi regulat este și isoscel, dar inversul nu este adevărat.

Terminologie

Dacă un triunghi are două laturi egale, atunci aceste laturi se numesc laturi, iar a treia latură se numește bază. Unghiul format de laturi se numeste unghiul de vârf, iar unghiurile, a căror latură este baza, se numesc colțurile de la bază.

Proprietăți

• Unghiurile opuse laturilor egale ale unui triunghi isoscel sunt egale între ele. Bisectoarele, medianele și altitudinile trasate din aceste unghiuri sunt de asemenea egale.
• Bisectoarea, mediana, înălțimea și bisectoarea perpendiculară desenate pe bază coincid una cu cealaltă. Centrele cercurilor înscrise și circumscrise se află pe această linie.

Lasă o- lungimea a două laturi egale ale unui triunghi isoscel, b- lungimea celei de-a treia laturi, h- înălțimea unui triunghi isoscel

• $a\; =\; \backslash frac\; b\; (2\; \backslash cos\; \backslash alpha)$(o consecință a teoremei cosinusului);
• $b\; =\; a\; \backslash sqrt\; (2\; (1\; -\; \backslash cos\; \backslash beta))$(o consecință a teoremei cosinusului);
• $b\; =\; 2a\; \backslash sin\; \backslash frac\; \backslash beta\; 2$;
• $b\; =\; 2a\backslash cos\backslash alpha$(teorema proiecției)

Raza cercului poate fi exprimată în șase moduri, în funcție de care sunt cunoscuți doi parametri ai triunghiului isoscel:

• $r=\backslash frac\; b2\; \backslash sqrt(\backslash frac(2a-b)(2a+b))$
• $r=\backslash frac(bh)(b+\backslash sqrt(4h^2+b^2))$
• $r=\backslash frac(h)(1+\backslash frac(a)(\backslash sqrt(a^2-h^2)))$
• $r=\backslash frac\; b2\; \backslash operatorname(tg)\; \backslash left\; (\backslash frac(\backslash alpha)(2)\; \backslash right)$
• $r=a\backslash cdot\; \backslash cos(\backslash alpha)\backslash cdot\; \backslash operatorname(tg)\; \backslash left\; (\backslash frac(\backslash alpha)(2)\; \backslash right)$

Unghiuri poate fi exprimat în următoarele moduri:

• $\backslash alpha\; =\; \backslash frac\; (\backslash pi\; -\; \backslash beta)\; 2;$
• $\backslash beta\; =\; \backslash pi\; -\; 2\backslash alpha;$
• $\backslash alpha\; =\; \backslash arcsin\; \backslash frac\; a\; (2R),\; \backslash beta\; =\; \backslash arcsin\; \backslash frac\; b\; (2R)$(teorema sinusului).
• Unghiul poate fi găsit și fără $(\backslash pi)$ median $R$. Un triunghi este împărțit în jumătate de mediana sa și primit Se calculează unghiurile a două triunghiuri dreptunghice egale:

$y\; =\; \backslash cos\backslash alpha\; =\backslash frac\; (b)(c),\; \backslash arccos\; y\; =\; x$

Perimetru Un triunghi isoscel se găsește în următoarele moduri:

• $P\; =\; 2a\; +\; b$(prin definiție);
• $P\; =\; 2R\; (2\; \backslash sin\; \backslash alpha\; +\; \backslash sin\; \backslash beta)$(un corolar al teoremei sinusului).

Pătrat triunghiul se găsește în următoarele moduri:

$S\; =\; \backslash frac\; 1\; 2bh;$

$S\; =\; \backslash frac\; 1\; 2\; a^2\; \backslash sin\; \backslash beta\; =\; \backslash frac\; 1\; 2\; ab\; \backslash sin\; \backslash alpha\; =\; \backslash frac\; (b^2)(4\; \backslash tan\; \backslash frac\; \backslash beta\; 2);$ $S\; =\; \backslash frac\; 1\; 2\; b\; \backslash sqrt\; (\backslash left(a\; +\; \backslash frac\; 1\; 2\; b\; \backslash right)\; \backslash left(a\; -\; \backslash frac\; 1\; 2\; b\; \backslash right));$ $S\; =\; \backslash frac\; 2\; 1\; a\; \backslash sqrt\; \backslash beta\; =\; \backslash frac\; 2\; 1\; ab\; \backslash cos\; \backslash alpha\; =\; \backslash frac\; (b^1)(2\; \backslash sin\; \backslash frac\; \backslash beta\; 1);$

Vezi de asemenea

Scrieți o recenzie despre articolul „Triunghi isoscel”

Note

Extras care caracterizează triunghiul isoscel

Marya Dmitrievna, deși le era frică de ea, era privită la Sankt Petersburg ca un biscuit și de aceea, din cuvintele rostite de ea, au observat doar un cuvânt grosolan și și l-au repetat în șoaptă unul altuia, presupunând că acest cuvânt conţinea toată sarea celor spuse.
Prințul Vasily, în ultima vreme mai ales uitând de multe ori ce spunea și repetând același lucru de o sută de ori, vorbea ori de câte ori i se întâmpla să-și vadă fiica.
„Helene, j"ai un mot a vous dire, i-a spus, luând-o deoparte și trăgând-o de mână. „J”ai eu vent de certains projets relatifs a... Vous savez. Eh bien, ma chere enfant, vous savez que mon c?ur de pere se rejouit do vous savoir... Vous avez tant souffert... Mais, chere enfant... ne consultez que votre c?ur. C"est tout ce que je vous dis. [Helen, trebuie să-ți spun ceva. Am auzit despre unele specii referitoare la... știi. Ei bine, dragul meu copil, știi că inima tatălui tău se bucură că tu... Ai îndurat atât de mult... Dar, dragă copilă... Fă cum îți spune inima ta.] - Și, ascunzând mereu aceeași entuziasm, și-a lipit obrazul de obrazul fiicei sale.
Bilibin, care nu și-a pierdut reputația cea mai inteligentă persoanăși fiind prietenul dezinteresat al lui Helen, unul dintre acei prieteni pe care femeile strălucitoare le au întotdeauna, prieteni ai bărbaților care nu se pot transforma niciodată în rolul de iubiți, Bilibin i-a exprimat odată într-un petit comite [cercul intim] prietenei sale Helen punctul său de vedere asupra acestui ansamblu. materie.
- Ecoutez, Bilibine (Helen a numit întotdeauna prieteni ca Bilibine pe numele de familie) - și și-a atins mâna inelată albă de mâneca fracului lui. – Dites moi comme vous diriez a une s?ur, que dois je faire? Lequel des deux? [Ascultă, Bilibin: spune-mi, cum i-ai spune surorii tale, ce ar trebui să fac? Care dintre cele două?]
Bilibin și-a adunat pielea deasupra sprâncenelor și a gândit cu un zâmbet pe buze.
„Vous ne me prenez pas en taken aback, you save”, a spus el. - Comme veritable ami j"ai pense et repense a votre affaire. Voyez vous. Si vous epousez le prince (era un tânăr)," a îndoit degetul, "vous perdez pour toujours la chance d"epouser l"autre, et puis vous me contentez la Cour vous epousant, [Nu mă vei lua prin surprindere, știi, că mă gândesc de mult la treaba ta: dacă te căsătorești cu un prinț va pierde pentru totdeauna ocazia de a fi soția altuia și, în plus, instanța va fi nemulțumită, la urma urmei, aici este implicată rudenia.) Și dacă te căsătorești cu bătrânul conte, atunci vei face fericire ultimele zile el, iar apoi... nu va mai fi umilitor pentru prinț să se căsătorească cu văduva unui nobil.] - și Bilibin își slăbi pielea.
– Voila un veritable ami! – spuse Helen radiantă, atingând încă o dată mâneca lui Bilibip cu mâna. – Mais c"est que j"aime l"un et l"autre, je ne voudrais pas leur faire de chagrin. Je donnerais ma vie pour leur bonheur a tous deux, [Iată un prieten adevărat! Dar îi iubesc pe amândoi și nu aș vrea să supăr pe nimeni. Pentru fericirea amândurora, aș fi gata să-mi sacrific viața.] - a spus ea.
Bilibin ridică din umeri, exprimând că nici măcar el nu mai putea scăpa de o asemenea durere.
„Une maitresse femme! Voila ce qui s"appelle poser carrement la question. Elle voudrait epouser tous les trois a la fois", ["Bravo femeie! Așa se cheamă cu fermitate a pune întrebarea. Ar vrea să fie soția tuturor trei în același timp timpul.”] – gândi Bilibin.