Tg este o funcție uniformă. Graficul funcțiilor pare și impare

Acasă

Ascundeți afișarea

Metode pentru specificarea unei funcții

Fie funcția dată de formula: y=2x^(2)-3. Prin atribuirea oricăror valori variabilei independente x, puteți calcula, folosind această formulă, valorile corespunzătoare ale variabilei dependente y. De exemplu, dacă x=-0,5, atunci, folosind formula, aflăm că valoarea corespunzătoare a lui y este y=2 \cdot (-0,5)^(2)-3=-2,5.

y

Folosind acest tabel, puteți vedea că pentru valoarea argumentului −1 va corespunde valoarea funcției −3; iar valoarea x=2 va corespunde cu y=0 etc. De asemenea, este important de știut că fiecare valoare de argument din tabel corespunde unei singure valori de funcție.

Mai multe funcții pot fi specificate folosind grafice. Cu ajutorul unui grafic se stabilește ce valoare a funcției se corelează cu o anumită valoare x. Cel mai adesea, aceasta va fi o valoare aproximativă a funcției.

Funcția pară și impară Funcția este chiar funcția

Funcția pară și impară , când f(-x)=f(x) pentru orice x din domeniul definiției. O astfel de funcție va fi simetrică față de axa Oy. funcţie ciudată

Funcția pară și impară , când f(-x)=-f(x) pentru orice x din domeniul definiției. O astfel de funcție va fi simetrică față de originea O (0;0) ., nici măcar nici ciudat si se numeste funcţie vedere generală

, când nu are simetrie față de axă sau origine.

Să examinăm următoarea funcție pentru paritate:

f(x)=3x^(3)-7x^(7) D(f)=(-\infty ; +\infty) cu un domeniu de definiție simetric relativ la origine. f(-x)= 3 \cdot (-x)^(3)-7 \cdot (-x)^(7)= -3x^(3)+7x^(7)= -(3x^(3)-7x^(7))=.

-f(x)

Aceasta înseamnă că funcția f(x)=3x^(3)-7x^(7) este impară.

Funcția periodică Funcția y=f(x) , în domeniul căreia egalitatea f(x+T)=f(x-T)=f(x) este valabilă pentru orice x, se numește functie periodica

cu perioada T \neq 0 .

Repetând graficul unei funcții pe orice segment al axei x care are lungimea T.

Intervalele în care funcția este pozitivă, adică f(x) > 0, sunt segmente ale axei absciselor care corespund punctelor graficului funcției situate deasupra axei absciselor. f(x) > 0 pe

(x_(1); x_(2)) \cup (x_(3); +\infty)< 0 - отрезки оси абсцисс, которые отвечают точкам графика функции, лежащих ниже оси абсцисс.

Intervale în care funcția este negativă, adică f(x)< 0 на (-\infty; x_(1)) \cup (x_(2); x_(3))

Funcție limitată

Mărginit de jos Se obișnuiește să se numească o funcție y=f(x), x \in X când există un număr A pentru care inegalitatea f(x) \geq A este valabilă pentru orice x \in X .

Un exemplu de funcție mărginită de mai jos: y=\sqrt(1+x^(2)) deoarece y=\sqrt(1+x^(2)) \geq 1 pentru orice x .

Mărginit de sus se apelează o funcție y=f(x), x \in X când există un număr B pentru care inegalitatea f(x) \neq B este valabilă pentru orice x \in X .

Un exemplu de funcție mărginită mai jos: y=\sqrt(1-x^(2)), x \in [-1;1] deoarece y=\sqrt(1+x^(2)) \neq 1 pentru orice x \in [-1;1] .

Limitat Se obișnuiește să se apeleze o funcție y=f(x), x \in X când există un număr K > 0 pentru care inegalitatea \left | f(x)\dreapta | \neq K pentru orice x \in X .

Exemplu de funcție limitată: y=\sin x este limitată pe întreg axa numerelor, pentru că \left | \sin x \right | \neq 1.

Funcția de creștere și scădere

Se obișnuiește să se vorbească despre o funcție care crește pe intervalul luat în considerare ca functie de crestere când valoare mai mare x va corespunde unei valori mai mari a funcției y=f(x) . Rezultă că luând două valori arbitrare ale argumentului x_(1) și x_(2) din intervalul luat în considerare, cu x_(1) > x_(2) , rezultatul va fi y(x_(1)) > y(x_(2)).

Se numește o funcție care scade pe intervalul luat în considerare funcția descrescătoare când o valoare mai mare a lui x corespunde unei valori mai mici a funcției y(x) . Rezultă că, luând două valori arbitrare ale argumentului x_(1) și x_(2) din intervalul luat în considerare, cu x_(1) > x_(2) , rezultatul va fi y(x_(1))< y(x_{2}) .

Funcția Rădăcini Se obișnuiește să se numească punctele în care funcția F=y(x) intersectează axa absciselor (se obțin prin rezolvarea ecuației y(x)=0).

a) Dacă pentru x > 0 chiar funcția crește, apoi scade cu x< 0

b) Când o funcție pară scade pentru x > 0, atunci crește pentru x< 0

c) Când o funcție impară crește la x > 0, atunci crește și la x< 0

d) Când o funcție impară scade pentru x > 0, atunci va scădea și pentru x< 0

Extreme ale funcției

Punctul minim al funcției y=f(x) se numește de obicei un punct x=x_(0) a cărui vecinătate va avea alte puncte (cu excepția punctului x=x_(0)), iar pentru acestea inegalitatea f(x) > f va fi atunci satisfăcut (x_(0)) . y_(min) - desemnarea funcției în punctul min.

Punctul maxim al funcției y=f(x) se numește de obicei un punct x=x_(0) a cărui vecinătate va avea alte puncte (cu excepția punctului x=x_(0)), iar pentru ele inegalitatea f(x) va fi apoi satisfăcută< f(x^{0}) . y_{max} - обозначение функции в точке max.

Condiție prealabilă

Conform teoremei lui Fermat: f"(x)=0 când funcția f(x) care este derivabilă în punctul x_(0) va avea un extrem în acest punct.

Stare suficientă

1. Când derivata își schimbă semnul de la plus la minus, atunci x_(0) va fi punctul minim;
2. x_(0) - va fi un punct maxim doar atunci când derivata își schimbă semnul din minus în plus la trecerea prin punctul staționar x_(0) .

Cea mai mare și cea mai mică valoare a unei funcții dintr-un interval

Etape de calcul:

1. Se caută derivata f"(x);
2. Se găsesc punctele staționare și critice ale funcției și se selectează cele aparținând segmentului;
3. Valorile funcției f(x) se găsesc în punctele și capetele staționare și critice ale segmentului. Cel mai mic dintre rezultatele obținute va fi cea mai mică valoare funcții, și mai mult - cel mai mare.

Pentru a face acest lucru, utilizați hârtie milimetrică sau un calculator grafic. Selectați orice număr de valori ale variabilelor independente x (\displaystyle x)și conectați-le la funcția pentru a calcula valorile variabilei dependente y (\displaystyle y). Trasează coordonatele găsite ale punctelor pe plan de coordonate, apoi conectați aceste puncte pentru a reprezenta grafic funcția.

• Înlocuiți valori numerice pozitive în funcție x (\displaystyle x)și valorile numerice negative corespunzătoare. De exemplu, având în vedere funcția . Înlocuiți următoarele valori în el x (\displaystyle x):
  • f (1) = 2 (1) 2 + 1 = 2 + 1 = 3 (\displaystyle f(1)=2(1)^(2)+1=2+1=3) (1, 3) ​​(\displaystyle (1,3)).
  • f (2) = 2 (2) 2 + 1 = 2 (4) + 1 = 8 + 1 = 9 (\displaystyle f(2)=2(2)^(2)+1=2(4)+1 =8+1=9). Avem un punct cu coordonate (2 , 9) (\displaystyle (2,9)).
  • f (− 1) = 2 (− 1) 2 + 1 = 2 + 1 = 3 (\displaystyle f(-1)=2(-1)^(2)+1=2+1=3). Avem un punct cu coordonate (− 1 , 3) ​​​​(\displaystyle (-1,3)).
  • f (− 2) = 2 (− 2) 2 + 1 = 2 (4) + 1 = 8 + 1 = 9 (\displaystyle f(-2)=2(-2)^(2)+1=2( 4)+1=8+1=9). Avem un punct cu coordonate (− 2 , 9) (\displaystyle (-2,9)).

Uniformitatea și ciudățenia unei funcții sunt una dintre principalele sale proprietăți, iar paritatea ocupă o parte impresionantă curs şcolarîn matematică. Determină în mare măsură comportamentul funcției și facilitează foarte mult construcția graficului corespunzător.

Să determinăm paritatea funcției. În general, funcția studiată este considerată chiar dacă pentru valori opuse ale variabilei independente (x) situate în domeniul său de definire, valorile corespunzătoare ale lui y (funcție) se dovedesc a fi egale.

Să dăm o definiție mai strictă. Luați în considerare o funcție f (x), care este definită în domeniul D. Va fi chiar dacă pentru orice punct x situat în domeniul definiției:

• -x (punctul opus) se află și el în acest domeniu,

• f(-x) = f(x).

Din definiția de mai sus rezultă condiția necesară domeniului de definire a unei astfel de funcții și anume simetria față de punctul O, care este originea coordonatelor, întrucât dacă un punct b este conținut în domeniul de definire al unui par funcția, atunci punctul corespunzător b se află și el în acest domeniu. Din cele de mai sus rezultă deci concluzia: funcția pare are o formă simetrică față de axa ordonatelor (Oy).

Cum se determină paritatea unei funcții în practică?

Fie specificat folosind formula h(x)=11^x+11^(-x). Urmând algoritmul care decurge direct din definiție, examinăm mai întâi domeniul său de definiție. Evident, este definit pentru toate valorile argumentului, adică prima condiție este îndeplinită.

Următorul pas este să înlocuiți argumentul (x) cu valoarea opusă (-x).
Primim:
h(-x) = 11^(-x) + 11^x.
Deoarece adunarea satisface legea comutativă (comutativă), este evident că h(-x) = h(x) și data dependenta functionala- chiar.

Să verificăm paritatea funcției h(x)=11^x-11^(-x). Urmând același algoritm, obținem că h(-x) = 11^(-x) -11^x. Scotând minusul, până la urmă avem
h(-x)=-(11^x-11^(-x))=- h(x). Prin urmare, h(x) este impar.

Apropo, trebuie amintit că există funcții care nu pot fi clasificate după aceste criterii nu se numesc nici pare, nici impare;

Chiar și funcțiile au o serie de proprietăți interesante:

• ca urmare a adăugării de funcții similare, ele obțin una par;
• ca urmare a scăderii unor astfel de funcții, se obține una par;
• chiar, de asemenea chiar;
• ca urmare a înmulțirii a două astfel de funcții se obține una par;
• ca urmare a înmulțirii funcțiilor pare și impare, se obține una impar;
• ca urmare a împărțirii funcțiilor pare și impare, se obține una impar;
• derivata unei astfel de funcții este impară;
• Dacă pătrați o funcție impară, obțineți una par.

Paritatea unei funcții poate fi folosită pentru a rezolva ecuații.

Pentru a rezolva o ecuație ca g(x) = 0, unde partea stângă a ecuației este o funcție pară, va fi suficient să-i găsiți soluțiile pentru valorile nenegative ale variabilei. Rădăcinile rezultate ale ecuației trebuie combinate cu numerele opuse. Una dintre ele este supusă verificării.

Acesta este, de asemenea, utilizat cu succes pentru a rezolva probleme non-standard cu un parametru.

De exemplu, există vreo valoare a parametrului a pentru care ecuația 2x^6-x^4-ax^2=1 va avea trei rădăcini?

Dacă ținem cont că variabila intră în ecuație în puteri pare, atunci este clar că înlocuind x cu - x ecuația dată nu se va schimba. Rezultă că, dacă un anumit număr este rădăcina lui, atunci numărul opus este și rădăcina. Concluzia este evidentă: rădăcinile unei ecuații care sunt diferite de zero sunt incluse în mulțimea soluțiilor sale în „perechi”.

Este clar că numărul în sine nu este 0, adică numărul de rădăcini ale unei astfel de ecuații poate fi doar par și, firește, pentru orice valoare a parametrului nu poate avea trei rădăcini.

Dar numărul de rădăcini ale ecuației 2^x+ 2^(-x)=ax^4+2x^2+2 poate fi impar și pentru orice valoare a parametrului. Într-adevăr, este ușor să verificați dacă setul de rădăcini ecuația dată conţine soluţii în perechi. Să verificăm dacă 0 este o rădăcină. Când o înlocuim în ecuație, obținem 2=2. Astfel, pe lângă cele „pereche”, 0 este și rădăcină, ceea ce dovedește numărul lor impar.

Care vă erau familiare într-o măsură sau alta. De asemenea, s-a remarcat acolo că stocul de proprietăți funcționale va fi completat treptat. Două proprietăți noi vor fi discutate în această secțiune.

Definiția 1.

Funcția y = f(x), x є X, este numită chiar dacă pentru orice valoare x din mulțimea X este valabilă egalitatea f (-x) = f (x).

Definiția 2.

Funcția y = f(x), x є X, se numește impară dacă pentru orice valoare x din mulțimea X este valabilă egalitatea f (-x) = -f (x).

Demonstrați că y = x 4 este o funcție pară.

Soluţie. Avem: f(x) = x 4, f(-x) = (-x) 4. Dar(-x) 4 = x 4. Aceasta înseamnă că pentru orice x este valabilă egalitatea f(-x) = f(x), adică. funcția este egală.

În mod similar, se poate dovedi că funcțiile y - x 2, y = x 6, y - x 8 sunt pare.

Demonstrați că y = x 3 ~ o funcție impară.

Soluţie. Avem: f(x) = x 3, f(-x) = (-x) 3. Dar (-x) 3 = -x 3. Aceasta înseamnă că pentru orice x este valabilă egalitatea f (-x) = -f (x), adică. functia este impara.

În mod similar, se poate dovedi că funcțiile y = x, y = x 5, y = x 7 sunt impare.

Am văzut deja de mai multe ori că termenii noi din matematică au cel mai adesea o origine „pământească”, adică. pot fi explicate cumva. Acesta este cazul atât cu funcțiile pare, cât și cu cele impare. Vezi: y - x 3, y = x 5, y = x 7 sunt funcții impare, în timp ce y = x 2, y = x 4, y = x 6 sunt funcții pare. Și, în general, pentru orice funcție de forma y = x" (mai jos vom studia în mod specific aceste funcții), unde n este un număr natural, putem concluziona: dacă n este un număr impar, atunci funcția y = x" este ciudat; dacă n este un număr par, atunci funcția y = xn este pară.

Există și funcții care nu sunt nici pare, nici impare. Astfel, de exemplu, este funcția y = 2x + 3. Într-adevăr, f(1) = 5 și f (-1) = 1. După cum puteți vedea, aici, așadar, nici identitatea f(-x) = f ( x), nici identitatea f(-x) = -f(x).

Deci, o funcție poate fi pară, impară sau nici una.

Studiind întrebarea dacă funcţie dată par sau impar se numește de obicei studiul unei funcții pentru paritate.

În definițiile 1 și 2 despre care vorbim despre valorile funcției în punctele x și -x. Aceasta presupune că funcția este definită atât în ​​punctul x, cât și în punctul -x. Aceasta înseamnă că punctul -x aparține domeniului de definire al funcției simultan cu punctul x. Dacă o mulțime numerică X, împreună cu fiecare dintre elementele sale x, conține și elementul opus -x, atunci X se numește mulțime simetrică. Să presupunem că (-2, 2), [-5, 5], (-oo, +oo) sunt mulțimi simetrice, în timp ce \).

Deoarece \(x^2\geqslant 0\) , atunci partea stângă a ecuației (*) este mai mare sau egală cu \(0+ \mathrm(tg)^2\,1\) .

Astfel, egalitatea (*) poate fi satisfăcută numai atunci când ambele părți ale ecuației sunt egale cu \(\mathrm(tg)^2\,1\) . Și asta înseamnă că \[\begin(cases) 2x^2+\mathrm(tg)^2\,1=\mathrm(tg)^2\,1 \\ \mathrm(tg)\,1\cdot \mathrm(tg)\ ,(\cos x)=\mathrm(tg)^2\,1 \end(cases) \quad\Leftrightarrow\quad \begin(cases) x=0\\ \mathrm(tg)\,(\cos x) =\mathrm(tg)\,1 \end(cases)\quad\Leftrightarrow\quad x=0\] Prin urmare, valoarea \(a=-\mathrm(tg)\,1\) ni se potrivește.

Răspuns:

\(a\in \(-\mathrm(tg)\,1;0\)\)

Sarcina 2 #3923

Nivel de activitate: Egal cu examenul de stat unificat

Găsiți toate valorile parametrului \(a\) , pentru fiecare dintre acestea graficul funcției \

simetric fata de origine.

Dacă graficul unei funcții este simetric față de origine, atunci o astfel de funcție este impară, adică \(f(-x)=-f(x)\) este valabilă pentru orice \(x\) din domeniul definiției a functiei. Astfel, este necesar să se găsească acele valori ale parametrilor pentru care \(f(-x)=-f(x).\)

\[\begin(aligned) &3\mathrm(tg)\,\left(-\dfrac(ax)5\right)+2\sin \dfrac(8\pi a+3x)4= -\left(3\ mathrm(tg)\,\left(\dfrac(ax)5\right)+2\sin \dfrac(8\pi a-3x)4\right)\quad \Rightarrow\quad -3\mathrm(tg)\ ,\dfrac(ax)5+2\sin \dfrac(8\pi a+3x)4= -\left(3\mathrm(tg)\,\left(\dfrac(ax)5\right)+2\ sin \dfrac(8\pi a-3x)4\right) \quad \Rightarrow\\ \Rightarrow\quad &\sin \dfrac(8\pi a+3x)4+\sin \dfrac(8\pi a- 3x)4=0 \quad \Rightarrow \quad2\sin \dfrac12\left(\dfrac(8\pi a+3x)4+\dfrac(8\pi a-3x)4\right)\cdot \cos \dfrac12 \left(\dfrac(8\pi a+3x)4-\dfrac(8\pi a-3x)4\right)=0 \quad \Rightarrow\quad \sin (2\pi a)\cdot \cos \ frac34 x=0 \end(aliniat)\]

Ultima ecuație trebuie să fie satisfăcută pentru toate \(x\) din domeniul lui \(f(x)\) , prin urmare, \(\sin(2\pi a)=0 \Rightarrow a=\dfrac n2, n\in\mathbb(Z)\).

Răspuns:

\(\dfrac n2, n\in\mathbb(Z)\)

Sarcina 3 #3069

Nivel de activitate: Egal cu examenul de stat unificat

Găsiți toate valorile parametrului \(a\) , pentru fiecare dintre ele ecuația \ are 4 soluții, unde \(f\) este o funcție periodică pară cu perioadă \(T=\dfrac(16)3\) definit pe întreaga linie numerică și \(f(x)=ax^2\) pentru \(0\leqslant x\leqslant \dfrac83.\)

(sarcină de la abonați)

Deoarece \(f(x)\) este o funcție pară, graficul său este simetric față de axa ordonatelor, prin urmare, atunci când \(-\dfrac83\leqslant x\leqslant 0\)\(f(x)=ax^2\) . Astfel, când \(-\dfrac83\leqslant x\leqslant \dfrac83\), iar acesta este un segment de lungime \(\dfrac(16)3\) , funcția \(f(x)=ax^2\) .

1) Fie \(a>0\) . Apoi graficul funcției \(f(x)\) va arăta astfel:


Atunci, pentru ca ecuația să aibă 4 soluții, este necesar ca graficul \(g(x)=|a+2|\cdot \sqrtx\) să treacă prin punctul \(A\) :


Prin urmare, \[\dfrac(64)9a=|a+2|\cdot \sqrt8 \quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin(gathered)\begin(aligned) &9(a+2)=32a\\ &9(a +2)=-32a\end(aliniat)\end(adunat)\dreapta. \quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin(gathered)\begin(aligned) &a=\dfrac(18)(23)\\ &a=-\dfrac(18)(41) \end(aligned) \end( adunat)\ corect.\] Deoarece \(a>0\) , atunci \(a=\dfrac(18)(23)\) este potrivit.

2) Fie \(a<0\) . Тогда картинка окажется симметричной относительно начала координат:


Este necesar ca graficul \(g(x)\) să treacă prin punctul \(B\) : \[\dfrac(64)9a=|a+2|\cdot \sqrt(-8) \quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin(gathered)\begin(aligned) &a=\dfrac(18)(23 )\\ &a=-\dfrac(18)(41) \end(aliniat) \end(adunat)\right.\] Din moment ce \(a<0\) , то подходит \(a=-\dfrac{18}{41}\) .

3) Cazul în care \(a=0\) nu este potrivit, de atunci \(f(x)=0\) pentru toate \(x\) , \(g(x)=2\sqrtx\) și ecuația va avea doar 1 rădăcină.

Răspuns:

\(a\în \left\(-\dfrac(18)(41);\dfrac(18)(23)\right\)\)

Sarcina 4 #3072

Nivel de activitate: Egal cu examenul de stat unificat

Găsiți toate valorile lui \(a\) , pentru fiecare dintre ele ecuația \

are cel puțin o rădăcină.

(sarcină de la abonați)

Să rescriem ecuația sub forma \ și luați în considerare două funcții: \(g(x)=7\sqrt(2x^2+49)\) și \(f(x)=3|x-7a|-6|x|-a^2+7a\ ).
Funcția \(g(x)\) este pară și are un punct minim \(x=0\) (și \(g(0)=49\) ).
Funcția \(f(x)\) pentru \(x>0\) este descrescătoare, iar pentru \(x<0\) – возрастающей, следовательно, \(x=0\) – точка максимума.
Într-adevăr, când \(x>0\) al doilea modul se va deschide pozitiv (\(|x|=x\) ), prin urmare, indiferent de modul în care se va deschide primul modul, \(f(x)\) va fi egal la \( kx+A\) , unde \(A\) este expresia lui \(a\) iar \(k\) este egal fie cu \(-9\) fie cu \(-3\) . Când \(x<0\) наоборот: второй модуль раскроется отрицательно и \(f(x)=kx+A\) , где \(k\) равно либо \(3\) , либо \(9\) .
Să găsim valoarea lui \(f\) în punctul maxim: \

Pentru ca ecuația să aibă cel puțin o soluție, este necesar ca graficele funcțiilor \(f\) și \(g\) să aibă cel puțin un punct de intersecție. Prin urmare, aveți nevoie de: \ \\]

Răspuns:

\(a\în \(-7\)\cup\)

Sarcina 5 #3912

Nivel de activitate: Egal cu examenul de stat unificat

Găsiți toate valorile parametrului \(a\) , pentru fiecare dintre ele ecuația \

are șase soluții diferite.

Să facem înlocuirea \((\sqrt2)^(x^3-3x^2+4)=t\) , \(t>0\) . Apoi ecuația va lua forma \ Vom scrie treptat condițiile în care ecuația inițială va avea șase soluții.
Rețineți că ecuația pătratică \((*)\) poate avea maximum două soluții. Orice ecuație cubică \(Ax^3+Bx^2+Cx+D=0\) nu poate avea mai mult de trei soluții. Prin urmare, dacă ecuația \((*)\) are două soluții diferite (pozitive!, deoarece \(t\) trebuie să fie mai mare decât zero) \(t_1\) și \(t_2\) , atunci, făcând inversul substituție, obținem: \[\left[\begin(gathered)\begin(aligned) &(\sqrt2)^(x^3-3x^2+4)=t_1\\ &(\sqrt2)^(x^3-3x^2 +4)=t_2\end(aliniat)\end(adunat)\dreapta.\] Deoarece orice număr pozitiv poate fi reprezentat ca \(\sqrt2\) într-o oarecare măsură, de exemplu, \(t_1=(\sqrt2)^(\log_(\sqrt2) t_1)\), atunci prima ecuație a mulțimii va fi rescrisă sub formă \ După cum am spus deja, orice ecuație cubică nu are mai mult de trei soluții, prin urmare, fiecare ecuație din mulțime nu va avea mai mult de trei soluții. Aceasta înseamnă că întregul set nu va avea mai mult de șase soluții.
Aceasta înseamnă că pentru ca ecuația inițială să aibă șase soluții, ecuația pătratică \((*)\) trebuie să aibă două soluții diferite, iar fiecare ecuație cubică rezultată (din mulțime) trebuie să aibă trei soluții diferite (și nu o singură soluție de o ecuație ar trebui să coincidă cu oricare - prin decizia celei de-a doua!)
Evident, dacă ecuația pătratică \((*)\) are o singură soluție, atunci nu vom obține șase soluții pentru ecuația originală.

Astfel, planul de soluție devine clar. Să notăm punct cu punct condițiile care trebuie îndeplinite.

1) Pentru ca ecuația \((*)\) să aibă două soluții diferite, discriminantul ei trebuie să fie pozitiv: \

2) De asemenea, este necesar ca ambele rădăcini să fie pozitive (deoarece \(t>0\) ). Dacă produsul a două rădăcini este pozitiv și suma lor este pozitivă, atunci rădăcinile în sine vor fi pozitive. Prin urmare, aveți nevoie de: \[\begin(cases) 12-a>0\\-(a-10)>0\end(cases)\quad\Leftrightarrow\quad a<10\]

Astfel, ne-am furnizat deja două rădăcini pozitive diferite \(t_1\) și \(t_2\) .

3) Să ne uităm la această ecuație \ Pentru ce \(t\) va avea trei soluții diferite?
Se consideră funcția \(f(x)=x^3-3x^2+4\) .
Poate fi factorizat: \ Prin urmare, zerourile sale sunt: ​​\(x=-1;2\) .
Dacă găsim derivata \(f"(x)=3x^2-6x\) , atunci obținem două puncte extreme \(x_(max)=0, x_(min)=2\) .
Prin urmare, graficul arată astfel:


Vedem că orice linie orizontală \(y=k\) , unde \(0 \(x^3-3x^2+4=\log_(\sqrt2) t\) a avut trei soluții diferite, este necesar ca \(0<\log_ {\sqrt2}t<4\) .
Astfel, aveți nevoie de: \[\begin(cases) 0<\log_{\sqrt2}t_1<4\\ 0<\log_{\sqrt2}t_2<4\end{cases}\qquad (**)\] Să observăm imediat că, dacă numerele \(t_1\) și \(t_2\) sunt diferite, atunci numerele \(\log_(\sqrt2)t_1\) și \(\log_(\sqrt2)t_2\) vor fi diferit, ceea ce înseamnă ecuațiile \(x^3-3x^2+4=\log_(\sqrt2) t_1\)Şi \(x^3-3x^2+4=\log_(\sqrt2) t_2\) va avea rădăcini diferite.
Sistemul \((**)\) poate fi rescris după cum urmează: \[\begin(cases) 1

Astfel, am stabilit că ambele rădăcini ale ecuației \((*)\) trebuie să se afle în intervalul \((1;4)\) . Cum se scrie această condiție?
Nu vom scrie rădăcinile în mod explicit.
Se consideră funcția \(g(t)=t^2+(a-10)t+12-a\) . Graficul său este o parabolă cu ramuri în sus, care are două puncte de intersecție cu axa x (am notat această condiție în paragraful 1)). Cum ar trebui să arate graficul său, astfel încât punctele de intersecție cu axa x să fie în intervalul \((1;4)\)? Aşa:


În primul rând, valorile \(g(1)\) și \(g(4)\) ale funcției în punctele \(1\) și \(4\) trebuie să fie pozitive, iar în al doilea rând, vârful parabola \(t_0\ ) trebuie să fie și ea în intervalul \((1;4)\) . Prin urmare, putem scrie sistemul: \[\begin(cases) 1+a-10+12-a>0\\ 4^2+(a-10)\cdot 4+12-a>0\\ 1<\dfrac{-(a-10)}2<4\end{cases}\quad\Leftrightarrow\quad 4\(a\) are întotdeauna cel puțin o rădăcină \(x=0\) . Aceasta înseamnă că pentru a îndeplini condițiile problemei este necesar ca ecuația \

avea patru rădăcini diferite, diferite de zero, reprezentând, împreună cu \(x=0\), o progresie aritmetică.

Rețineți că funcția \(y=25x^4+25(a-1)x^2-4(a-7)\) este pară, ceea ce înseamnă că dacă \(x_0\) este rădăcina ecuației \( (*)\ ) , atunci \(-x_0\) va fi și rădăcina acestuia. Atunci este necesar ca rădăcinile acestei ecuații să fie numere ordonate crescător: \(-2d, -d, d, 2d\) (atunci \(d>0\)). Atunci aceste cinci numere vor forma o progresie aritmetică (cu diferența \(d\)).

Pentru ca aceste rădăcini să fie numerele \(-2d, -d, d, 2d\) , este necesar ca numerele \(d^(\,2), 4d^(\,2)\) să fie rădăcinile lui ecuația \(25t^2 +25(a-1)t-4(a-7)=0\) . Apoi, conform teoremei lui Vieta:

Să rescriem ecuația sub forma \ și luați în considerare două funcții: \(g(x)=20a-a^2-2^(x^2+2)\) și \(f(x)=13|x|-2|5x+12a|\) .
Funcția \(g(x)\) are un punct maxim \(x=0\) (și \(g_(\text(top))=g(0)=-a^2+20a-4\)):
\(g"(x)=-2^(x^2+2)\cdot \ln 2\cdot 2x\). Derivată zero: \(x=0\) . Când \(x<0\) имеем: \(g">0\) , pentru \(x>0\) : \(g"<0\) .
Funcția \(f(x)\) pentru \(x>0\) este în creștere, iar pentru \(x<0\) – убывающей, следовательно, \(x=0\) – точка минимума.
Într-adevăr, când \(x>0\) primul modul se va deschide pozitiv (\(|x|=x\)), prin urmare, indiferent de modul în care se va deschide al doilea modul, \(f(x)\) va fi egal la \( kx+A\) , unde \(A\) este expresia lui \(a\) , iar \(k\) este egal fie cu \(13-10=3\) fie cu \(13+10 =23\) . Când \(x<0\) наоборот: первый модуль раскроется отрицательно и \(f(x)=kx+A\) , где \(k\) равно либо \(-3\) , либо \(-23\) .
Să găsim valoarea lui \(f\) în punctul minim: \

Pentru ca ecuația să aibă cel puțin o soluție, este necesar ca graficele funcțiilor \(f\) și \(g\) să aibă cel puțin un punct de intersecție. Prin urmare, aveți nevoie de: \ Rezolvând acest set de sisteme, obținem răspunsul: \\]

Răspuns:

\(a\în \(-2\)\cup\)