Proprietăți ale formulelor triunghiurilor similare. Semne de asemănare și egalitate de triunghiuri. Proprietățile triunghiurilor similare

În acest articol, vom lua în considerare conceptul de triunghiuri similare și alte concepte și teoreme legate de această definiție.

Definiția triunghiurilor similare

Vom lua în considerare următoarele două triunghiuri (Fig. 1).

Figura 1. Triunghiuri similare

Definiția 1

Două triunghiuri se numesc similare dacă unghiurile și toate unghiurile unui triunghi sunt, respectiv, egale cu unghiurile celuilalt și ale triunghiului, iar toate laturile similare ale acestor triunghiuri sunt proporționale, adică

\[\angle A=\angle A_1,\ \angle B=\angle B_1,\ \angle C=\angle C_1,\] \[\frac(AB)(A_1B_1)=\frac(BC)((B_1C) _1)=\frac(AC)(A_1C_1)\]

Denumire: $ABC\sim A_1B_1C_1$

Definiția 2

Numărul $k$ egal cu raportul laturilor similare ale unor figuri similare se numește coeficient de similitudine al acestor cifre.

Raportul ariei triunghiurilor similare

Următoarea teoremă privind raportul dintre ariile triunghiurilor similare este legată de acest concept. Să o luăm în considerare fără dovezi.

Teorema 1

Raportul ariilor a două triunghiuri similare este egal cu pătratul coeficientului de similitudine, adică

\[\frac(S_(ABC))(S_(A_1B_1C_1))=k^2\]

Semne de asemănare ale triunghiurilor

Prezentăm formulările a trei criterii pentru asemănarea triunghiurilor.

Teorema 2

: Dacă două unghiuri ale unui triunghi sunt, respectiv, egale cu două unghiuri ale celui de-al doilea triunghi, atunci astfel de triunghiuri sunt similare.

Adică dacă $\angle A=\angle A_1,\ \angle B=\angle B_1$, atunci triunghiurile $ABC$ și $A_1B_1C_1$ sunt similare (Fig. 2).

Figura 2. Primul semn al asemănării triunghiurilor

Teorema 3

Al doilea semn al egalității triunghiurilor: Dacă două laturi ale unui triunghi sunt proporționale cu laturile corespunzătoare ale celui de-al doilea triunghi și unghiurile dintre aceste laturi sunt egale, atunci aceste triunghiuri sunt similare.

Adică, dacă $\angle A=\angle A_1$ și $\frac(AB)(A_1B_1)=\frac(AC)(A_1C_1)$, atunci triunghiurile $ABC$ și $A_1B_1C_1$ sunt similare (Fig. 3) .

Figura 3. Al doilea semn al asemănării triunghiurilor

Teorema 4

Al treilea semn al asemănării triunghiurilor: Dacă cele trei laturi ale unui triunghi sunt proporționale cu cele trei laturi corespunzătoare ale celui de-al doilea triunghi, atunci astfel de triunghiuri sunt similare.

Adică, dacă $\frac(AB)(A_1B_1)=\frac(BC)((B_1C)_1)=\frac(AC)(A_1C_1)$, atunci triunghiurile $ABC$ și $A_1B_1C_1$ sunt similare.

Exemple de probleme pe conceptul de similitudine a triunghiurilor

Exemplul 1

Triunghiurile isoscele sunt similare dacă au

De-a lungul unui unghi ascuțit egal;

De-a lungul unui unghi obtuz egal;

Unghi drept egal.

Soluţie.

Fie triunghiuri isoscele $ABC$ și $A_1B_1C_1$ cu $\angle A=\angle A_1.$

Fie $\angle A=\angle A_1$ -- colțuri ascuțite triunghiuri. Atunci sunt două cazuri posibile:

a) $\angle A=\angle A_1$ - unghiuri la vârful acestor triunghiuri. Atunci, deoarece triunghiul $ABC$ este isoscel, atunci

\[\unghi B=\unghi C=\frac(180-\unghi A)(2)\]

Deoarece triunghiul $A_1B_1C_1$ este isoscel, atunci

\[\angle B_1=\angle C_1=\frac(180-A_1)(2)=\frac(180-\angle A)(2)=\angle B=\angle C\]

Adică $\angle B=\angle B_1,\ \ \angle C=\angle C_1$. După primul criteriu de similitudine, obținem că triunghiurile $ABC$ și $A_1B_1C_1$ sunt similare.

b) $\angle A=\angle A_1$ - unghiuri de la baza acestor triunghiuri. Deoarece triunghiurile sunt similare, unghiurile lor de bază sunt egale. Dar atunci cele două unghiuri corespunzătoare ale unui triunghi sunt egale cu cele două unghiuri corespunzătoare ale celui de-al doilea triunghi. Prin urmare, conform primului semn al asemănării triunghiurilor, triunghiurile sunt asemănătoare.

Deoarece unghiul este obtuz, se află la baza acestor triunghiuri. Similar itemului 1, a), obținem că sunt similare.

Deoarece unghiul este un unghi drept, se află la baza acestor triunghiuri. Similar itemului 1, a), obținem că sunt similare.

Exemplul 2

Triunghiurile $ABC$ și $A_1B_1C_1$ sunt similare dacă $AB=17,\ BC=30,\ \ AC=42,\ (\ A)_1B_1=34,\ (\ B)_1C_1=60,\ \ A_1C_1= 84 $?

Soluţie.

Aflați coeficientul de similitudine pentru fiecare pereche de laturi ale triunghiurilor:

\[\frac(AB)(A_1B_1)=\frac(17)(34)=\frac(1)(2)\] \[\frac(BC)((B_1C)_1)=\frac(30)( 60)=\frac(1)(2)\] \[\frac(AC)(A_1C_1)=\frac(42)(84)=\frac(1)(2)\]

Primim

\[\frac(AB)(A_1B_1)=\frac(BC)((B_1C)_1)=\frac(AC)(A_1C_1)=\frac(1)(2)\]

Prin urmare, conform celui de-al treilea criteriu de asemănare pentru triunghiuri, obținem că aceste triunghiuri sunt similare.

De regulă, două triunghiuri sunt considerate similare dacă au aceeași formă, chiar dacă sunt de dimensiuni diferite, rotite sau chiar inversate.

Reprezentarea matematică a două triunghiuri similare A 1 B 1 C 1 și A 2 B 2 C 2 prezentate în figură este scrisă după cum urmează:

∆A 1 B 1 C 1 ~ ∆A 2 B 2 C 2

Două triunghiuri sunt similare dacă:

1. Fiecare unghi al unui triunghi este egal cu unghiul corespunzător al altui triunghi:
∠A 1 = ∠A 2 , ∠B 1 = ∠B 2Și ∠C1 = ∠C2

2. Raporturile dintre laturile unui triunghi și laturile corespunzătoare ale altui triunghi sunt egale între ele:
$\frac(A_1B_1)(A_2B_2)=\frac(A_1C_1)(A_2C_2)=\frac(B_1C_1)(B_2C_2)$

3. Relații două părți a unui triunghi la laturile corespunzătoare ale altui triunghi sunt egale între ele și în același timp
unghiurile dintre aceste laturi sunt egale:
$\frac(B_1A_1)(B_2A_2)=\frac(A_1C_1)(A_2C_2)$ și $\angle A_1 = \angle A_2$
sau
$\frac(A_1B_1)(A_2B_2)=\frac(B_1C_1)(B_2C_2)$ și $\angle B_1 = \angle B_2$
sau
$\frac(B_1C_1)(B_2C_2)=\frac(C_1A_1)(C_2A_2)$ și $\angle C_1 = \angle C_2$

Triunghiuri similare nu trebuie confundate cu triunghiuri egale. Triunghiurile congruente au laturile corespunzătoare lungimii. Deci pentru triunghiuri egale:

$\frac(A_1B_1)(A_2B_2)=\frac(A_1C_1)(A_2C_2)=\frac(B_1C_1)(B_2C_2)=1$

De aici rezultă că toate triunghiuri egale Sunt asemănătoare. Cu toate acestea, nu toate triunghiurile similare sunt egale.

Deși notația de mai sus arată că pentru a afla dacă două triunghiuri sunt similare sau nu, trebuie să cunoaștem valorile celor trei unghiuri sau lungimile celor trei laturi ale fiecărui triunghi, pentru a rezolva probleme cu triunghiuri similare, este suficient pentru a cunoaște oricare trei dintre valorile de mai sus pentru fiecare triunghi. Aceste valori pot fi în diferite combinații:

1) trei unghiuri ale fiecărui triunghi (nu este necesar să se cunoască lungimile laturilor triunghiurilor).

Sau cel puțin 2 unghiuri ale unui triunghi trebuie să fie egale cu 2 unghiuri ale altui triunghi.
Deoarece dacă două unghiuri sunt egale, atunci și al treilea unghi va fi egal.(Valoarea celui de-al treilea unghi este 180 - unghi1 - unghi2)

2) lungimile laturilor fiecărui triunghi (nu este nevoie să cunoaștem unghiurile);

3) lungimile celor două laturi și unghiul dintre ele.

În continuare, luăm în considerare rezolvarea unor probleme cu triunghiuri similare. În primul rând, vom analiza problemele care pot fi rezolvate folosind direct regulile de mai sus, apoi vom discuta câteva probleme practice care pot fi rezolvate folosind metoda triunghiurilor similare.

Probleme practice cu triunghiuri similare

Exemplul #1: Arătați că cele două triunghiuri din figura de mai jos sunt similare.

Soluţie:
Deoarece lungimile laturilor ambelor triunghiuri sunt cunoscute, a doua regulă poate fi aplicată aici:

$\frac(PQ)(AB)=\frac(6)(2)=3$ $\frac(QR)(CB)=\frac(12)(4)=3$ $\frac(PR)(AC )=\frac(15)(5)=3$

Exemplul #2: Arătați că două triunghiuri date sunt similare și găsiți lungimile laturilor PQȘi relatii cu publicul.

Soluţie:
∠A = ∠PȘi ∠B = ∠Q, ∠C = ∠R(deoarece ∠C = 180 - ∠A - ∠B și ∠R = 180 - ∠P - ∠Q)

De aici rezultă că triunghiurile ∆ABC și ∆PQR sunt similare. Prin urmare:
$\frac(AB)(PQ)=\frac(BC)(QR)=\frac(AC)(PR)$

$\frac(BC)(QR)=\frac(6)(12)=\frac(AB)(PQ)=\frac(4)(PQ) \Rightarrow PQ=\frac(4\times12)(6) = 8$ și
$\frac(BC)(QR)=\frac(6)(12)=\frac(AC)(PR)=\frac(7)(PR) \Rightarrow PR=\frac(7\times12)(6) = 14$

Exemplul #3: Determinați lungimea ABîn acest triunghi.

Soluţie:

∠ABC = ∠ADE, ∠ACB = ∠AEDȘi ∠A comun => triunghiuri ΔABCȘi ΔADE Sunt asemănătoare.

$\frac(BC)(DE) = \frac(3)(6) = \frac(AB)(AD) = \frac(AB)(AB + BD) = \frac(AB)(AB + 4) = \frac(1)(2) \Rightarrow 2\time AB = AB + 4 \Rightarrow AB = 4$

Exemplul #4: Determinați lungimea AD(x) figură geometrică pe imagine.

Triunghiurile ∆ABC și ∆CDE sunt similare deoarece AB || DE și au un colț superior comun C.
Vedem că un triunghi este o versiune la scară a celuilalt. Cu toate acestea, trebuie să o demonstrăm matematic.

AB || DE, CD || AC și BC || UE
∠BAC = ∠EDC și ∠ABC = ∠DEC

Pe baza celor de mai sus și ținând cont de prezența unui unghi comun C, putem afirma că triunghiurile ∆ABC și ∆CDE sunt similare.

Prin urmare:
$\frac(DE)(AB) = \frac(7)(11) = \frac(CD)(CA) = \frac(15)(CA) \Rightarrow CA = \frac(15 \times 11)(7 ) = 23,57 USD
x = AC - DC = 23,57 - 15 = 8,57

Exemple practice

Exemplul #5: Fabrica folosește o bandă transportoare înclinată pentru a transporta produse de la nivelul 1 la nivelul 2, care se află la 3 metri deasupra nivelului 1, așa cum se arată în figură. Transportorul înclinat este deservit de la un capăt la nivelul 1 și de la celălalt capăt la o stație de lucru situată la o distanță de 8 metri de punctul de operare de la nivelul 1.

Fabrica vrea să modernizeze transportorul pentru a accesa noul nivel, care se află la 9 metri deasupra nivelului 1, menținând în același timp unghiul transportorului.

Determinați distanța la care trebuie să configurați o nouă stație de lucru pentru a permite transportorului să funcționeze la noul său capăt la nivelul 2. De asemenea, calculați distanța suplimentară pe care o va parcurge produsul atunci când trece la un nou nivel.

Soluţie:

Mai întâi, să etichetăm fiecare punct de intersecție cu o anumită literă, așa cum se arată în figură.

Pe baza raționamentului dat mai sus în exemplele anterioare, putem concluziona că triunghiurile ∆ABC și ∆ADE sunt similare. Prin urmare,

$\frac(DE)(BC) = \frac(3)(9) = \frac(AD)(AB) = \frac(8)(AB) \Rightarrow AB = \frac(8 \times 9)(3 ) = 24 m$
x = AB - 8 = 24 - 8 = 16 m

Astfel, noul punct trebuie instalat la o distanță de 16 metri de punctul existent.

Și deoarece structura este alcătuită din triunghiuri dreptunghiulare, putem calcula distanța de călătorie a produsului după cum urmează:

$AE = \sqrt(AD^2 + DE^2) = \sqrt(8^2 + 3^2) = 8,54 m$

În mod similar, $AC = \sqrt(AB^2 + BC^2) = \sqrt(24^2 + 9^2) = 25,63 m$
care este distanța pe care parcurge produsul acest moment la intrarea în nivelul existent.

y = AC - AE = 25,63 - 8,54 = 17,09 m
Aceasta este distanța suplimentară pe care trebuie să o parcurgă un produs pentru a atinge un nou nivel.

Exemplul #6: Steve vrea să-și viziteze prietenul care s-a mutat recent casă nouă. Harta rutiera Indicațiile către casa lui Steve și prietenul său, împreună cu distanțele cunoscute de Steve, sunt prezentate în figură. Ajută-l pe Steve să ajungă la casa prietenului său în cel mai scurt drum.

Soluţie:

O foaie de parcurs poate fi reprezentată geometric în următoarea formă, așa cum se arată în imagine.

Vedem că triunghiurile ∆ABC și ∆CDE sunt similare, prin urmare:
$\frac(AB)(DE) = \frac(BC)(CD) = \frac(AC)(CE)$

Declarația de sarcină precizează că:

AB = 15 km, AC = 13,13 km, CD = 4,41 km și DE = 5 km

Folosind aceste informații, putem calcula următoarele distanțe:

$BC = \frac(AB \times CD)(DE) = \frac(15 \times 4.41)(5) = 13.23 km$
$CE = \frac(AC \times CD)(BC) = \frac(13,13 \times 4,41)(13,23) = 4,38 km$

Steve poate ajunge la casa prietenului său folosind următoarele rute:

A -> B -> C -> E -> G, distanta totala este de 7,5+13,23+4,38+2,5=27,61 km

F -> B -> C -> D -> G, distanta totala este de 7,5+13,23+4,41+2,5=27,64 km

F -> A -> C -> E -> G, distanta totala este de 7,5+13,13+4,38+2,5=27,51 km

F -> A -> C -> D -> G, distanța totală este de 7,5+13,13+4,41+2,5=27,54 km

Prin urmare, ruta #3 este cea mai scurtă și poate fi oferită lui Steve.

Exemplul 7:
Trisha vrea să măsoare înălțimea casei, dar nu are instrumentele potrivite. Ea a observat că în fața casei crește un copac și a decis să-și folosească ingeniozitatea și cunoștințele de geometrie dobândite la școală pentru a determina înălțimea clădirii. Ea a măsurat distanța de la copac până la casă, rezultatul a fost de 30 m. Apoi a stat în fața copacului și a început să se îndepărteze până când marginea de sus a clădirii a fost vizibilă deasupra vârfului copacului. Trisha a marcat locul și a măsurat distanța de la acesta până la copac. Aceasta distanta a fost de 5 m.

Înălțimea copacului este de 2,8 m, iar înălțimea ochilor lui Trisha este de 1,6 m. Ajută-l pe Trisha să determine înălțimea clădirii.

Soluţie:

Reprezentarea geometrică a problemei este prezentată în figură.

Mai întâi folosim similaritatea triunghiurilor ∆ABC și ∆ADE.

$\frac(BC)(DE) = \frac(1.6)(2.8) = \frac(AC)(AE) = \frac(AC)(5 + AC) \Rightarrow 2.8 \times AC = 1.6 \times (5 + AC) = 8 + 1,6 \times AC$

$(2,8 - 1,6) \time AC = 8 \Rightarrow AC = \frac(8)(1,2) = 6,67$

Apoi putem folosi similaritatea triunghiului ΔACB și ΔAFG sau ΔADE și ΔAFG. Să alegem prima variantă.

$\frac(BC)(FG) = \frac(1.6)(H) = \frac(AC)(AG) = \frac(6.67)(6.67 + 5 + 30) = 0.16 \Rightarrow H = \frac(1.6) )(0,16) = 10 m$

Triunghiuri similare Se spune că două triunghiuri sunt similare dacă unghiurile unuia sunt, respectiv, egale cu unghiurile celuilalt, iar laturile corespunzătoare sunt proporționale. Coeficientul de proporționalitate se numește coeficient de similitudine. Astfel, triunghiul ABC este similar cu triunghiul A 1 B 1 C 1 dacă A = A 1, B = B 1, C = C 1 și unde k este coeficientul de similitudine.

Primul semn de similitudine Teorema. (Primul semn de asemănare.) Dacă două unghiuri ale unui triunghi sunt egale cu două unghiuri ale altui triunghi, atunci astfel de triunghiuri sunt similare. Dovada. Fie în triunghiuri ABC și A 1 B 1 C 1 A = A 1, B= B 1. Atunci C= C 1. Să demonstrăm că. Să trasăm segmentul A 1 B „egal cu AB pe grinda A 1 B 1 și să tragem o linie dreaptă B” C „paralelă cu B 1 C 1. Triunghiurile A 1 B” C „ și ABC sunt egale (conform cu al doilea criteriu pentru egalitatea triunghiurilor).Conform teoremei segmentelor proporționale, egalitatea are loc Prin urmare, avem egalitate, se demonstrează că are loc egalitatea triunghiurile sunt asemănătoare.

Întrebarea 1 Ce triunghiuri se numesc asemănătoare? Răspuns: Se spune că două triunghiuri sunt similare dacă unghiurile unuia sunt, respectiv, egale cu unghiurile celuilalt, iar laturile corespunzătoare sunt proporționale.

Întrebarea 2 Formulați triunghiuri. Primul semn de asemănare Răspuns: Dacă două unghiuri ale unui triunghi sunt egale cu două unghiuri ale altui triunghi, atunci astfel de triunghiuri sunt similare.

Întrebarea 3 Sunt două: a) triunghi echilateral; b) triunghiuri isoscele; c) triunghiuri dreptunghiulare isoscele? Răspuns: a) Da; b) nu; c) da.

Exercițiul 4 Desenați un triunghi A'B'C' asemănător cu triunghi dat ABC, cu un factor de asemănare de 0,5. Răspuns:

Exerciţiul 5 Laturile unui triunghi sunt 5 cm, 8 cm şi 10 cm.Aflaţi laturile unui triunghi similar dacă coeficientul de asemănare este: a) 0,5; b) 2. Răspuns: a) 2,5 cm, 4 cm și 5 cm; b) 10 cm, 16 cm și 20 cm.

Exercițiul 6 Sunt triunghiuri dreptunghiulare asemănătoare dacă unul dintre ele are un unghi de 40 o, iar celălalt 50 o? Răspuns: Da.

Exercițiul 7 Două triunghiuri sunt similare. Două unghiuri ale unui triunghi sunt egale cu 55 o și 80 o. Găsiți cel mai mic unghi al celui de-al doilea triunghi. Raspuns: 45 o.

Exercițiul 8 În triunghiuri similare ABC și A 1 B 1 C 1 AB \u003d 8 cm, BC \u003d 10 cm, A 1 B 1 \u003d 5,6 cm, A 1 C 1 \u003d 10,5 cm. Găsiți AC și B 1 C 1 .Răspuns: AC=15cm, B 1 C 1=7cm.

Exercițiul 9 Triunghiuri ABC și A 1 B 1 C 1 A \u003d A 1, B \u003d B 1, AB \u003d 5 m, BC \u003d 7 m, A 1 B 1 \u003d 10 m, A 1 C 1 \u003d 8 m. Aflați laturile de rest ale triunghiurilor. Răspuns: AC = 4 m, B 1 C 1 = 14 m.

Exercițiul 10 Laturile unui triunghi sunt legate ca 5: 3: 7. Aflați laturile unui triunghi asemănător cu acesta, în care: a) perimetrul este de 45 cm; b) latura mai mica este de 5 cm; c) latura cea mai mare este de 7 cm; d) diferența dintre laturile mai mari și cele mai mici este de 2 cm Răspuns: a) 15 cm, 9 cm, 21 cm; b) 8 cm, 5 cm, 11 cm; c) 5 cm, 3 cm, 7 cm; d) 2,5 cm, 1,5 cm, 3,5 cm.

Exercițiul 11 ​​În figură, indicați toate triunghiurile similare. Răspuns: a) ABC, FEC, DBE; b) ABC, GFC, AGD, FBE; c) ABC, CDA, AEB, BEC; d) AOB, COD; e) ABC și FGC; ADC și FEC; DBC și EGC.

Exercițiul 12 Două triunghiuri isoscele au unghiuri egale între laturi. Latura și baza unui triunghi au 17 cm, respectiv 10 cm, baza celuilalt este de 8 cm. Aflați latura lui. Raspuns: 13,6 cm.

Exercițiul 13 Într-un triunghi cu latura a și înălțimea h coborâte pe el, este înscris un pătrat astfel încât două dintre vârfurile sale să se afle pe această latură a triunghiului, iar celelalte două să se afle pe celelalte două laturi ale triunghiului. Găsiți latura pătratului. Răspuns: .

Exercițiul 14 Rombul ADEF este înscris în triunghiul ABC astfel încât să aibă un unghi comun, iar vârful E să fie pe latura BC. Aflați latura rombului dacă AB = c și AC = b. Răspuns: .

Exercițiul 15 Este posibil să intersectezi un triunghi cu o linie dreaptă, nu paralelă cu baza, astfel încât să tăiem un triunghi similar din acesta? In ce caz este imposibil? Răspuns: Este posibil dacă triunghiul nu este echilateral.

Exercițiul 16 Fie AC și BD coarde circulare care se intersectează în punctul E. Demonstrați că triunghiurile ABE și CDE sunt similare. Dovada: Unghiul A al triunghiului ABE egal cu unghiul D triunghiuri CDE, ca unghiuri înscrise bazate pe un arc de cerc. În mod similar, unghiul B este egal cu unghiul C. Prin urmare, triunghiurile ABE și CDE sunt similare la primul criteriu.

Exercițiul 17 În figura AE = 3, BE = 6, CE = 2. Aflați DE. Raspuns: 4.

Exercițiul 18 În imagine AB = 8, BE = 6, DE = 4. Aflați CD-ul. Răspuns: .

Exercițiul 19 În figura CE = 2, DE = 5, AE = 4. Aflați BE. Raspuns: 10.

Exercițiul 20 În figura CE = 4, CD = 10, AE = 6. Aflați AB. Raspuns: 15.

Exercițiul 21 În figura DL este bisectoarea triunghiului DEF înscris într-un cerc. DL intersectează cercul în punctul K, care este conectat prin segmente de linie la vârfurile E și F ale triunghiului. Găsiți triunghiuri similare. Răspuns: DEK și DLF, DEK și ELK, DLF și ELK, DFK și DLE, DFK și FLK, DLE și FLK.

Exercițiul 22 Un triunghi unghiular ABC este înscris într-un cerc, AH este înălțimea acestuia, AD este diametrul cercului care intersectează latura BC în punctul M. Punctul D este legat de vârfurile B și C ale triunghiului. Găsiți triunghiuri similare. Răspuns: ABH și ADC, ACH și ADB, ABM și CDM, BMD și AMC.

Exercițiul 23 Demonstrați că produsul segmentelor oricărei coarde trasate printr-un punct interior al unui cerc este egal cu produsul segmentelor cu diametrul trase prin același punct. Soluţie. Să fie dat un cerc cu centrul în punctul O, coarda AB și diametrul CD se intersectează în punctul E. Să demonstrăm că triunghiurile ACE și DBE sunt similare. Prin urmare, înseamnă

Exercițiul 24 Se trasează două drepte prin punctul exterior E al cercului și intersectează cercul în punctele A, C și, respectiv, B, D. Demonstrați că triunghiurile ADE și BCE sunt similare. Dovada: Unghiul D al triunghiului ADE este egal cu unghiul C al triunghiului BCE, ca unghiuri înscrise pe baza unui arc de cerc. Unghiul E al acestor triunghiuri este comun. Prin urmare, triunghiurile ADE și BCE sunt similare în prima trăsătură.

Exercițiul 25 Se trasează două drepte prin punctul exterior E al cercului, intersectând cercul în punctele A, C și, respectiv, B, D. Demonstrați că AE·CE = BE·DE. Dovada: Triunghiurile ADE și BCE sunt similare. Deci AE: DE = BE: CE. Prin urmare, AE CE = BE DE.

Exercițiul 26 În figură, AE = 9, BE = 8, CE = 24. Aflați DE. Raspuns: 27.

Exercițiul 27 Se trasează o dreaptă prin punctul exterior E al cercului, intersectând cercul în punctele A și B și o tangentă EC (C este punctul de contact). Demonstrați că triunghiurile EAC și ECB sunt similare. Dovada. Triunghiurile EAC și ECB au unghiul comun E. Unghiurile ACE și CBE sunt egale, la fel ca și unghiurile bazate pe aceeași coardă. Prin urmare, triunghiurile EAC și ECB sunt similare.

Exercițiul 28 Se trasează o dreaptă prin punctul exterior E al cercului, intersectând cercul în punctele A și B și o tangentă EC (C este punctul de contact). Demonstrați că produsul segmentelor AE și BE ale secantei este egal cu pătratul segmentului CE al tangentei. Dovada. Triunghiurile EAC și ECB sunt similare. Prin urmare, AE: CE = CE: BE, deci AE BE = CE 2.

Exercițiul 30 Înălțimile AA 1 și BB 1 sunt desenate în triunghiul ABC Demonstrați că triunghiurile A 1 AC și B 1 BC sunt similare. Dovada. Triunghiurile A 1 AC și B 1 BC sunt dreptunghiulare și au un unghi comun C. Prin urmare, sunt similare în două unghiuri.

Exercițiul 31 Demonstrați că în triunghi dreptunghic perpendiculară a scăzut din unghi drept pe ipotenuză, este media geometrică a proiecțiilor catetelor pe ipotenuză. (Media geometrică a două numere pozitive a și b este un număr pozitiv c al cărui pătrat este egal cu ab, adică c =). Rezolvare: Triunghiurile ADC și CDB sunt similare. Prin urmare, fie CD 2 = AD BD, adică CD este media geometrică a AD și BD.

Exercițiul 32 În triunghiul ABC, punctul H este punctul de intersecție al înălțimilor, punctul O este centrul cercului circumscris. Demonstrați că lungimea segmentului CH este de două ori distanța de la punctul O la dreapta AB. Rezolvare: Fie B 1, C 1 punctele medii ale laturilor AC și AB ale triunghiului ABC. Triunghiurile HBC și OB 1 C 1 sunt similare, BC = 2 B 1 C 1. Prin urmare, CH = 2 OC 1.

Teorema 1. Primul semn al asemănării triunghiurilor. Dacă două unghiuri ale unui triunghi sunt, respectiv, egale cu două unghiuri ale altuia, atunci astfel de triunghiuri sunt similare.

Dovada. Fie ABC și $A_1B_1C_1$ triunghiuri cu $\angle A = \angle A_1 ; \angle B = \angle B_1$ , și deci $\angle C = \angle C_1$ . Să demonstrăm că $\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1$ (Fig. 1).

Să punem un segment $BA_2$ egal cu segmentul $A_1B_1$ pe BA din punctul B și să tragem o linie prin punctul $A_2$ paralelă cu dreapta AC. Această linie va intersecta BC la un moment dat $С_2$ . Triunghiurile $A_1B_1C_1\text( și )A_2BC_2$ sunt egale: $A_1B_1 = A_2B$ prin construcție, $\angle B = \angle B_1$ prin presupunere și $\angle A_1 = \angle A_2$ , deoarece $\angle A_1 = \angle A$ prin condiție și $\angle A = \angle A_2$ ca unghiuri corespunzătoare. De Lema 1 despre triunghiuri similare avem: $\triangle A_2BC_2 \sim \triangle ABC$ , și deci $\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1$ . Teorema a fost demonstrată.

Teoremele 2 și 3 sunt stabilite în mod similar.

Teorema 2. Al doilea semn al asemănării triunghiurilor. Dacă două laturi ale unui triunghi sunt, respectiv, proporționale cu două laturi ale altui triunghi și unghiurile dintre aceste laturi sunt egale, atunci triunghiurile sunt similare.

Teorema 3. Al treilea semn al asemănării triunghiurilor. Dacă trei laturi ale unui triunghi sunt proporționale cu trei laturi ale altui triunghi, atunci astfel de triunghiuri sunt similare.

Teorema 1 implică următoarele.

Corolar 1. În triunghiuri similare, laturile similare sunt proporționale cu înălțimi similare, adică cu acele înălțimi care sunt coborâte pe laturi similare.

Exemplul 1 Sunt două triunghiuri echilaterale similare?

Soluţie. Deoarece într-un triunghi echilateral fiecare unghi interior este de 60° ( corolarul 3), atunci cele două triunghiuri echilaterale sunt similare în primul semn.

Exemplul 2În triunghiurile ABC și $A_1B_1C_1$ se știe că $\angle A = \angle A_1 ; \angle B = \angle B_1 ; AB = 5 m, BC = 7 m, A_1B_1 = 10 m, A_1C_1 = 8 m. Aflați laturile necunoscute ale triunghiurilor.

Soluţie. Triunghiurile definite de condiția problemei sunt similare după primul semn de asemănare. Din asemănarea triunghiurilor rezultă: $$ \frac(AB)(A_1B_1) = \frac(BC)(B_1C_1) = \frac(AC)(A_1C_1) \,\,\, (1) $$ Înlocuirea în egalitate (1) date din starea problemei, obținem: $$ \frac(5)(10) = \frac(7)(B_1C_1) = \frac(AC)(8) \,\,\, (2) ) $$ Din egalitate (2 ) faceți două proporții $$ \frac(5)(10) = \frac(7)(B_1C_1) \\ \frac(5)(10) = \frac(AC)(8) \ \ \text( de unde )B_1C_1 = 14 (m), AC = 4 (m). $$

Exemplul 3 Unghiurile B și $B_1$ ale triunghiurilor ABC și $A_1B_1C_1$ sunt egale. Laturile AB și BC ale triunghiului ABC sunt de 2,5 ori mai lungi decât laturile $A_1B_1$ și $B_1C_1$ ale triunghiului $A_1B_1C_1$. Găsiți AC și $A_1C_1$ dacă suma lor este de 4,2 m.

Soluţie. Fie că figura 2 corespunde stării problemei.

Din condiția problemei: $$ 1) \angle B = \angle B_1 ; \\ 2) \frac(AB)(A_1B_1) = \frac(BC)(B_1C_1) = 2,5 \\ 3) AC + A_1C_1 = 4,2 m. $$ Prin urmare $\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1$. Din asemănarea acestor triunghiuri rezultă $$ \frac(AC)(A_1C_1) = 2.5\text( , sau )AC = 2.5\bullet A_1C_1 $$ Deoarece AC = 2.5 A 1 C 1 , atunci AC + A 1 C 1 \ u003d 2,5 A 1 C 1 + A 1 C 1 \u003d 4,2, de unde A 1 C 1 \u003d 1,2 (m), AC \u003d 3 (m).

Exemplul 4 Triunghiurile ABC și A 1 B 1 C 1 sunt similare dacă AB = 3 cm, BC = 5 cm, AC = 7 cm, A 1 B 1 = 4,5 cm, B 1 C 1 = 7,5 cm, A 1 C 1 \u003d 10,5 cm?

Soluţie. Avem: $$ \frac(AB)(A_1B_1) = \frac(3)(4,5) = \frac(1)(1,5) \\ \frac(BC)(B_1C_1) = \frac(5) ) (7,5) = \frac(1)(1,5) \\ \frac(AC)(A_1C_1) = \frac(7)(10,5) = \frac(1)(1,5) $ $ Prin urmare, triunghiurile sunt similare la al treilea criteriu.

Exemplul 5 Demonstrați că medianele unui triunghi se intersectează într-un punct, care împarte fiecare mediană într-un raport de 2:1, numărând de la vârf.

Soluţie. Luați în considerare un triunghi arbitrar ABC. Fie ca litera O să desemneze punctul de intersecție al medianelor sale $AA_1\text( și )BB_1$ și desenați linia de mijloc$A_1B_1$ din acest triunghi (fig.3).

Segmentul $A_1B_1$ este paralel cu latura AB, deci $\angle 1 = \angle2 \text( and ) \angle 3 = \angle 4 $. Prin urmare, triunghiurile AOB și $A_1OB_1$ sunt similare în două unghiuri și, prin urmare, laturile lor sunt proporționale: $$ \frac(AO)(A_1O) = \frac(BO)(B_1O) = \frac(AB)(A_1B_1) $ $

Dar $AB = 2A_1B_1$ , deci $AO = 2A_1O$ și $BO = 2B_1O$ .

În mod similar, se dovedește că punctul de intersecție al medianelor $BB_1\text( și )CC_1) împarte fiecare dintre ele în raport 2:1, numărând de sus și, prin urmare, coincide cu punctul O.

Deci, toate cele trei mediane ale triunghiului ABC se intersectează în punctul O și îl împart într-un raport de 2: 1, numărând de sus.

Cometariu. Mai devreme sa observat că bisectoarele unui triunghi se intersectează într-un punct, bisectoarele perpendiculare pe laturile triunghiului se intersectează într-un punct. Pe baza ultimei afirmații, se stabilește că înălțimile triunghiului (sau prelungirile acestora) se intersectează într-un punct. Aceste trei puncte și punctul de intersecție al medianelor sunt numite puncte remarcabile ale triunghiului.

Exemplul 6 Proiectorul lumineaza complet ecranul A, inaltime de 90 cm, situat la o distanta de 240 cm. La ce distanta in cm de proiector trebuie plasat ecranul B, inaltime de 150 cm, astfel incat sa fie complet iluminat daca setarile proiectorului raman neschimbate.

Soluție video.