Exemplu de calcul a abaterii standard. Abaterea standard a formulei în excel. Eroarea maximă de eșantionare a observației, eroarea medie de eșantionare, procedura de calcul a acestora

Acasă Abaterea standard (sinonime:, abaterea standard, abaterea standard abatere pătrată ; termeni conexe:, abaterea standard spread standard

) - în teoria probabilităților și statistică, cel mai comun indicator al dispersării valorilor unei variabile aleatoare în raport cu așteptarea sa matematică. Cu matrice limitate de mostre de valori, în loc de așteptarea matematică, se folosește media aritmetică a setului de eșantioane.

• 1 / 5

  YouTube enciclopedic

  Abaterea standard se măsoară în unități de măsură ale variabilei aleatoare în sine și este utilizată la calcularea erorii standard a mediei aritmetice, la construirea intervalelor de încredere, la testarea statistică a ipotezelor, la măsurarea relației liniare dintre variabilele aleatoare. Definit ca rădăcina pătrată a varianței unei variabile aleatoare.

  Abatere standard:
  • s = n n − 1 σ 2 = 1 n − 1 ∑ i = 1 n (x i − x ¯) 2 ;

  (\displaystyle s=(\sqrt ((\frac (n)(n-1))\sigma ^(2)))=(\sqrt ((\frac (1)(n-1))\sum _( i=1)^(n)\left(x_(i)-(\bar (x))\right)^(2)));) Notă: Foarte des există discrepanțe în denumirile MSD (Root Mean Square Deviation) și STD (Standard Deviation) cu formulele lor. De exemplu, în modulul numPy al limbajului de programare Python, funcția std() este descrisă ca „abatere standard”, în timp ce formula reflectă abaterea standard (diviziunea la rădăcina eșantionului). În Excel, funcția STANDARDEVAL() este diferită (diviziunea la rădăcina lui n-1). Abaterea standard(estimarea abaterii standard a unei variabile aleatoare x:

  raportat la așteptările sale matematice bazate pe o estimare imparțială a varianței sale)

  s (\displaystyle s) σ = 1 n ∑ i = 1 n (x i − x ¯) 2 .(\displaystyle \sigma =(\sqrt ((\frac (1)(n))\sum _(i=1)^(n)\stanga(x_(i)-(\bar (x))\dreapta) ^(2))).) Unde - σ 2 (\displaystyle \sigma ^(2))- dispersie; x i (\displaystyle x_(i)) i

  x ¯ = 1 n ∑ i = 1 n x i = 1 n (x 1 + … + x n) .

  (\displaystyle (\bar (x))=(\frac (1)(n))\sum _(i=1)^(n)x_(i)=(\frac (1)(n))(x_ (1)+\ldots +x_(n)).)

  Trebuie remarcat faptul că ambele estimări sunt părtinitoare. În cazul general, este imposibil să se construiască o estimare imparțială. Cu toate acestea, estimarea bazată pe estimarea variației imparțiale este consecventă.

  În conformitate cu GOST R 8.736-2011, abaterea standard este calculată folosind a doua formulă a acestei secțiuni. Vă rugăm să verificați rezultatele.

  În conformitate cu GOST R 8.736-2011, abaterea standard este calculată folosind a doua formulă a acestei secțiuni. Vă rugăm să verificați rezultatele. (Regula trei sigma 3 σ (\displaystyle 3\sigma ) ) - aproape toate valorile unei variabile aleatoare distribuite normal se află în interval(x ¯ - 3 σ ; x ¯ + 3 σ) (\displaystyle \left((\bar (x))-3\sigma ;(\bar (x))+3\sigma \right)) . Mai strict - cu o probabilitate de aproximativ 0,9973, valoarea unei variabile aleatoare distribuite normal se află în intervalul specificat (cu condiția ca valoarea x ¯ (\displaystyle (\bar (x)))

  adevărat și nu obținut ca urmare a prelucrării probei). . Mai strict - cu o probabilitate de aproximativ 0,9973, valoarea unei variabile aleatoare distribuite normal se află în intervalul specificat (cu condiția ca valoarea Dacă valoarea adevărată este necunoscut, atunci nu trebuie să utilizațiσ (\displaystyle \sigma) , A s , A .

  . Astfel, regula de trei sigma este transformată în regula de trei

  Interpretarea valorii abaterii standard

  O valoare mai mare a abaterii standard arată o răspândire mai mare a valorilor în setul prezentat cu valoarea medie a setului; o valoare mai mică, în consecință, arată că valorile din set sunt grupate în jurul valorii medii. De exemplu, avem trei multimi numerice : (0, 0, 14, 14), (0, 6, 8, 14) și (6, 6, 8, 8). Toate cele trei seturi au valori medii egale cu 7 și, respectiv, abateri standard egale cu 7, 5 și 1. Ultimul set are o abatere standard mică, deoarece valorile din set sunt grupate în jurul valorii medii; primul set are cel mai mult mare valoare

  Într-un sens general, abaterea standard poate fi considerată o măsură a incertitudinii. De exemplu, în fizică, abaterea standard este utilizată pentru a determina eroarea unei serii de măsurători succesive a unei cantități. Această valoare este foarte importantă pentru determinarea plauzibilității fenomenului studiat în comparație cu valoarea prezisă de teorie: dacă valoarea medie a măsurătorilor diferă mult de valorile prezise de teorie (deviație standard mare), atunci valorile obținute sau metoda de obținere a acestora trebuie reverificate. identificate cu riscul de portofoliu.

  Clima

  Să presupunem că există două orașe cu aceeași temperatură medie zilnică maximă, dar unul este situat pe coastă, iar celălalt pe câmpie. Se știe că orașele situate pe coastă au multe temperaturi maxime diurne diferite, care sunt mai scăzute decât orașele situate în interior. Prin urmare, abaterea standard a temperaturilor maxime zilnice pentru un oraș de coastă va fi mai mică decât pentru un al doilea oraș, în ciuda faptului că valoarea medie a acestora este aceeași, ceea ce înseamnă, în practică, că probabilitatea ca temperatura maxima aerul fiecărei zile specifice a anului va diferi mai mult de valoarea medie, mai mare pentru un oraș situat în interiorul continentului.

  Sport

  Să presupunem că există mai multe echipe de fotbal care sunt evaluate în funcție de un set de parametri, de exemplu, numărul de goluri marcate și primite, șanse de gol etc. Cel mai probabil, cea mai bună echipă din această grupă va avea cele mai bune valori. pentru Mai mult parametrii. Cu cât abaterea standard a echipei pentru fiecare dintre parametrii prezentați este mai mică, cu atât rezultatul echipei este mai previzibil; Pe de altă parte, echipa cu mare valoare abaterea standard este dificil de prezis rezultatul, care, la rândul său, se explică prin dezechilibru, de exemplu, apărare puternică, dar cu un atac slab.

  Utilizarea abaterii standard a parametrilor echipei face posibilă, într-o măsură sau alta, să se prezică rezultatul unui meci între două echipe, evaluând punctele forte și punctele slabe comenzile și deci metodele alese de luptă.

  Acasă ((sinonime:, abaterea standard, abaterea standard, ; termeni conexe:, abaterea standard) - în teoria probabilităților și statistică cel mai comun indicator al dispersării valorilor unei variabile aleatoare în raport cu așteptarea sa matematică. De obicei, acești termeni înseamnă rădăcina pătrată a varianței unei variabile aleatoare, dar uneori pot însemna una sau alta versiune a estimării acestei valori.

  În literatură este de obicei notat cu litera greacă este necunoscut, atunci nu trebuie să utilizați(sigma).

  Bazele

  Abaterea standard este definită ca rădăcina pătrată a varianței unei variabile aleatoare: σ = D [ X ] (\displaystyle \sigma =(\sqrt (D[X]))).

  Abaterea standard se măsoară în unități ale variabilei aleatoare în sine și este utilizată la calcularea erorii standard a mediei aritmetice, la construirea intervalelor de încredere, la testarea statistică a ipotezelor, la măsurarea relației liniare dintre variabilele aleatoare.

  În practică, când în loc de distribuția exactă a unei variabile aleatoare, este disponibil doar un eșantion, abaterea standard, ca și așteptarea matematică, este estimată (varianța eșantionului), iar acest lucru se poate face în moduri diferite. Termenii „abatere standard” și „deviație pătrată medie” sunt de obicei aplicați rădăcină pătrată de la varianța unei variabile aleatoare (determinată prin distribuția sa adevărată), dar uneori la diverse opțiuni estimări ale acestei valori pe baza eșantionului.

  În special, dacă Unde - σ 2 (\displaystyle \sigma ^(2)) elementul de selecție, x i (\displaystyle x_(i))- dimensiunea eșantionului, . Mai strict - cu o probabilitate de aproximativ 0,9973, valoarea unei variabile aleatoare distribuite normal se află în intervalul specificat (cu condiția ca valoarea- media aritmetică a eșantionului (media eșantionului - estimarea așteptării matematice a valorii):

  x ¯ = 1 n ∑ i = 1 n x i = 1 n (x 1 + … + x n) , (\displaystyle (\bar (x))=(\frac (1)(n))\sum _(i=1 )^(n)x_(i)=(\frac (1)(n))(x_(1)+\ldots +x_(n)),)

  atunci există două modalități principale de evaluare abaterea standard sunt scrise după cum urmează.

  Estimarea abaterii standard de la o estimare a variației părtinitoare (uneori numită simplu varianță eșantion):

  S = 1 n ∑ i = 1 n (x i − x ¯) 2 .

  (\displaystyle S=(\sqrt ((\frac (1)(n))\sum _(i=1)^(n)\left(x_(i)-(\bar (x))\right)^ (2))).)

  În conformitate cu GOST R 8.736-2011, abaterea standard este calculată folosind a doua formulă a acestei secțiuni. Vă rugăm să verificați rezultatele.

  În conformitate cu GOST R 8.736-2011, abaterea standard este calculată folosind a doua formulă a acestei secțiuni. Vă rugăm să verificați rezultatele.În plus, abaterea standard este așteptarea matematică a diferenței pătrate dintre valoarea reală a unei variabile aleatoare și estimarea acesteia pentru o metodă de estimare. Dacă estimarea este imparțială (media eșantionului este doar o estimare imparțială pentru o variabilă aleatorie), atunci această valoare este egală cu varianța acestei estimări. Regula trei sigma - () afirmă: probabilitatea ca orice variabilă aleatoare să se abate de la medie cu mai puțin de< 3 σ) ≥ 8 9 {\displaystyle P(|\xi -E\xi \mid <3\sigma)\geq {\frac {8}{9}}} .

  Clima

  Să presupunem că există două orașe cu aceeași temperatură medie zilnică maximă, dar unul este situat pe coastă, iar celălalt pe câmpie. Se știe că orașele situate pe coastă au multe temperaturi maxime diurne diferite, care sunt mai scăzute decât orașele situate în interior. Prin urmare, abaterea standard a temperaturilor maxime zilnice pentru un oraș de coastă va fi mai mică decât pentru al doilea oraș, în ciuda faptului că valoarea medie a acestei valori este aceeași, ceea ce înseamnă, în practică, că probabilitatea ca temperatura maximă a aerului pe orice zi a anului va fi mai mare, diferită de valoarea medie, mai mare pentru un oraș situat în interior.

  Sport

  Să presupunem că există mai multe echipe de fotbal care sunt evaluate pe un set de parametri, de exemplu, numărul de goluri marcate și primite, șanse de marcare etc. Cel mai probabil, cea mai bună echipă din această grupă va avea valori mai bune pe un număr mai mare de parametri. Cu cât abaterea standard a echipei pentru fiecare dintre parametrii prezentați este mai mică, cu atât rezultatul echipei este mai previzibil; Pe de altă parte, o echipă cu o abatere standard mare este dificil de prezis rezultatul, care la rândul său se explică printr-un dezechilibru, de exemplu, o apărare puternică, dar un atac slab.

  Utilizarea abaterii standard a parametrilor de echipă face posibilă, într-o măsură sau alta, prezicerea rezultatului unui meci între două echipe, evaluând punctele forte și punctele slabe ale echipelor și, prin urmare, metodele alese de luptă.

  Exemplu de calcul a abaterii standard a punctajelor elevilor

  Să presupunem că grupul care ne interesează (populația generală) este o clasă de opt elevi care sunt notați pe un sistem de 10 puncte. Deoarece estimăm întregul grup și nu un eșantion din acesta, putem folosi abaterea standard pe baza unei estimări părtinitoare a varianței. Pentru a face acest lucru, luăm rădăcina pătrată a mediei aritmetice a pătratelor abaterilor valorilor de la valoarea lor medie.

  Fiți notele elevilor din clasă după cum urmează:

  2 , 4 , 4 , 4 , 5 , 5 , 7 , 9. (\displaystyle 2,\ 4,\ 4,\ 4,\ 5,\ 5,\ 7,\ 9.)

  Atunci scorul mediu este:

  μ = 2 + 4 + 4 + 4 + 5 + 5 + 7 + 9 8 = 5 (\displaystyle \mu =(\frac (2+4+4+4+5+5+7+9)(8)) =5)

  Să calculăm abaterile pătrate ale notelor elevilor față de nota medie.

  Valorile obținute din experiență conțin inevitabil erori dintr-o mare varietate de motive. Printre acestea, ar trebui să se facă distincția între erorile sistematice și aleatorii. Erorile sistematice sunt cauzate de motive care acționează într-un mod foarte specific și pot fi întotdeauna eliminate sau luate în considerare destul de precis. Erorile aleatorii sunt cauzate de un număr foarte mare de cauze individuale care nu pot fi explicate cu acuratețe și care acționează în moduri diferite în fiecare măsurătoare individuală. Aceste erori nu pot fi excluse complet; pot fi luate în considerare doar în medie, pentru care este necesar să se cunoască legile care guvernează erorile aleatorii.

  Vom nota cu A mărimea măsurată, iar eroarea aleatorie în măsurare cu x. Deoarece eroarea x poate lua orice valoare, este o variabilă aleatoare continuă, care este pe deplin caracterizată de legea sa de distribuție.

  Cea mai simplă și care reflectă cel mai exact realitatea (în marea majoritate a cazurilor) este așa-numita legea distribuției normale a erorilor:

  Această lege de distribuție poate fi obținută din diverse premise teoretice, în special din cerința ca cea mai probabilă valoare a unei mărimi necunoscute pentru care se obține o serie de valori cu același grad de precizie prin măsurare directă este media aritmetică a aceste valori. Se numește cantitatea 2 dispersie a acestei legi normale.

  Media aritmetică

  Determinarea dispersiei din datele experimentale. Dacă pentru orice valoare A, n valori a i sunt obținute prin măsurare directă cu același grad de precizie și dacă erorile valorii A sunt supuse legii distribuției normale, atunci cea mai probabilă valoare a lui A va fi medie aritmetică:

  a - medie aritmetică,
  
  a i - valoare măsurată la pasul i.

  Abaterea valorii observate (pentru fiecare observatie) a i a valorii A de la medie aritmetică: a i - a.

  Pentru a determina varianța legii distribuției normale a erorilor în acest caz, utilizați formula:

  2 - dispersie,
  a - medie aritmetică,
  n - numărul de măsurători ale parametrilor,
  

  Abaterea standard

  Abaterea standard arată abaterea absolută a valorilor măsurate de la medie aritmetică. În conformitate cu formula pentru măsurarea preciziei unei combinații liniare eroare pătrată medie Media aritmetică este determinată de formula:

  , Unde

  
  a - medie aritmetică,
  n - numărul de măsurători ale parametrilor,
  a i - valoare măsurată la pasul i.

  Coeficientul de variație

  Coeficientul de variație caracterizează măsura relativă a abaterii valorilor măsurate de la medie aritmetică:

  , Unde

  V - coeficient de variație,
  - abaterea standard,
  a - medie aritmetică.

  Cu cât valoarea este mai mare coeficient de variație, cu cât este relativ mai mare dispersia și uniformitatea mai mică a valorilor studiate. Dacă coeficient de variație mai puțin de 10%, atunci variabilitatea seriei de variații este considerată a fi nesemnificativă, de la 10% la 20% este considerată medie, mai mult de 20% și mai puțin de 33% este considerată semnificativă și dacă coeficient de variație depășește 33%, aceasta indică eterogenitatea informațiilor și necesitatea excluderii celor mai mari și mai mici valori.

  Abaterea liniară medie

  Unul dintre indicatorii amplorii și intensității variației este abaterea liniară medie(modul de abatere medie) de la media aritmetică. Abaterea liniară medie calculat prin formula:

  , Unde

  _
  a - abaterea liniară medie,
  a - medie aritmetică,
  n - numărul de măsurători ale parametrilor,
  a i - valoare măsurată la pasul i.

  Pentru a verifica conformitatea valorilor studiate cu legea distribuției normale, se utilizează relația indicator de asimetrie la greşeala şi atitudinea lui indicator de curtoză spre greşeala lui.

  Indicator de asimetrie

  Indicator de asimetrie(A) și eroarea sa (m a) se calculează folosind următoarele formule:

  , Unde

  A - indicator de asimetrie,
  - abaterea standard,
  a - medie aritmetică,
  n - numărul de măsurători ale parametrilor,
  a i - valoare măsurată la pasul i.

  Indicator de kurtoză

  Indicator de kurtoză(E) și eroarea acesteia (m e) se calculează folosind următoarele formule:

  , Unde

  În testarea statistică a ipotezelor, atunci când se măsoară o relație liniară între variabile aleatoare.

  Abaterea standard se măsoară în unități de măsură ale variabilei aleatoare în sine și este utilizată la calcularea erorii standard a mediei aritmetice, la construirea intervalelor de încredere, la testarea statistică a ipotezelor, la măsurarea relației liniare dintre variabilele aleatoare. Definit ca rădăcina pătrată a varianței unei variabile aleatoare.

  (\displaystyle s=(\sqrt ((\frac (n)(n-1))\sigma ^(2)))=(\sqrt ((\frac (1)(n-1))\sum _( i=1)^(n)\left(x_(i)-(\bar (x))\right)^(2)));)(estimarea abaterii standard a variabilei aleatoare Floor, pereții din jurul nostru și tavanul, Abaterea standard raportat la așteptările sale matematice bazate pe o estimare imparțială a varianței sale):

  unde este dispersia; - Podeaua, pereții din jurul nostru și tavanul, σ 2 (\displaystyle \sigma ^(2)) al-lea element al selecției; - dimensiunea probei; - media aritmetică a eșantionului:

  Trebuie remarcat faptul că ambele estimări sunt părtinitoare. În cazul general, este imposibil să se construiască o estimare imparțială. Cu toate acestea, estimarea bazată pe estimarea variației imparțiale este consecventă.

  În conformitate cu GOST R 8.736-2011, abaterea standard este calculată folosind a doua formulă a acestei secțiuni. Vă rugăm să verificați rezultatele.

  În conformitate cu GOST R 8.736-2011, abaterea standard este calculată folosind a doua formulă a acestei secțiuni. Vă rugăm să verificați rezultatele.() - aproape toate valorile unei variabile aleatoare distribuite normal se află în interval. Mai strict - cu o încredere de nu mai puțin de 99,7%, valoarea unei variabile aleatoare distribuite normal se află în intervalul specificat (cu condiția ca valoarea să fie adevărată și să nu fie obținută ca urmare a procesării eșantionului).

  Dacă valoarea adevărată este necunoscută, atunci ar trebui să folosim nu, ci podeaua, pereții din jurul nostru și tavanul, , A. Astfel, regula de trei sigma se transformă în regula de trei etaj, pereții din jurul nostru și tavan, , A .

  . Astfel, regula de trei sigma este transformată în regula de trei

  O valoare mare a abaterii standard arată o răspândire mare a valorilor în setul prezentat cu valoarea medie a setului; o valoare mică, în consecință, arată că valorile din set sunt grupate în jurul valorii medii.

  De exemplu, avem trei seturi de numere: (0, 0, 14, 14), (0, 6, 8, 14) și (6, 6, 8, 8). Toate cele trei seturi au valori medii egale cu 7 și, respectiv, abateri standard egale cu 7, 5 și 1. Ultimul set are o abatere standard mică, deoarece valorile din set sunt grupate în jurul valorii medii; primul set are cea mai mare valoare a abaterii standard - valorile din cadrul setului diferă foarte mult de valoarea medie.

  Într-un sens general, abaterea standard poate fi considerată o măsură a incertitudinii. De exemplu, în fizică, abaterea standard este folosită pentru a determina eroarea unei serii de măsurători succesive a unei cantități. Această valoare este foarte importantă pentru determinarea plauzibilității fenomenului studiat în comparație cu valoarea prezisă de teorie: dacă valoarea medie a măsurătorilor diferă mult de valorile prezise de teorie (deviație standard mare), atunci valorile obținute sau metoda de obținere a acestora trebuie reverificate.

  Aplicație practică

  În practică, abaterea standard vă permite să determinați cât de mult pot diferi valorile dintr-un set față de valoarea medie.

  Clima

  Să presupunem că există două orașe cu aceeași temperatură medie zilnică maximă, dar unul este situat pe coastă, iar celălalt este în interior. Se știe că orașele situate pe coastă au multe temperaturi maxime diurne diferite, care sunt mai scăzute decât orașele situate în interior. Prin urmare, abaterea standard a temperaturilor maxime zilnice pentru un oraș de coastă va fi mai mică decât pentru al doilea oraș, în ciuda faptului că valoarea medie a acestei valori este aceeași, ceea ce înseamnă, în practică, că probabilitatea ca temperatura maximă a aerului pe orice zi a anului va fi mai mare diferită de valoarea medie, mai mare pentru un oraș situat în interior.

  Sport

  Să presupunem că există mai multe echipe de fotbal care sunt evaluate pe un set de parametri, de exemplu, numărul de goluri marcate și primite, șanse de marcare etc. Cel mai probabil, cea mai bună echipă din această grupă va avea valori mai bune pe un număr mai mare de parametri. Cu cât abaterea standard a echipei pentru fiecare dintre parametrii prezentați este mai mică, cu atât rezultatul echipei este mai previzibil; Pe de altă parte, o echipă cu o abatere standard mare este dificil de prezis rezultatul, care la rândul său se explică printr-un dezechilibru, de exemplu, o apărare puternică, dar un atac slab.

  Utilizarea abaterii standard a parametrilor de echipă face posibilă, într-o măsură sau alta, prezicerea rezultatului unui meci între două echipe, evaluând punctele forte și punctele slabe ale echipelor și, prin urmare, metodele alese de luptă.

  Analiza tehnica

  Vezi de asemenea

  Literatură

  Acest articol este propus spre ștergere. O explicație a motivelor și discuția corespunzătoare pot fi găsite pe pagină Wikipedia: De șters/17 decembrie 2012. În timp ce procesul de discuție nu este finalizat, puteți încerca să îmbunătățiți articolul, dar ar trebui să vă abțineți de la redenumirea sau ștergerea conținutului, consultați ghidul de acțiuni ulterioare pentru mai multe detalii. Nu eliminați semnul pentru ștergere până la sfârșitul discuției. Administratori: linkuri aici, istoric (ultima modificare), jurnalele, ștergerea.

  * Borovikov, V. STATISTICA. Arta analizei datelor pe computer: Pentru profesioniști / V. Borovikov. - Sankt Petersburg. : Peter, 2003. - 688 p. - ISBN 5-272-00078-1.

  Indicatori statistici
  Descriptiv statistici	Continuu date Factorul de forfecare Medie (aritmetică, geometrică, armonică) Interval de mod median Variaţie Clasament · Abaterea standard· Coeficient de variație · Quantila (Decil, Percentila/Percentila/Centila) Momente Așteptări · Variație · Asimism · Kurtoză Discret date Frecvență · Tabel de urgență
  Statistic ieșire și examinare ipoteze	Statistic concluzie Interval de încredere (probabilitate frecventistă) Interval de credibilitate (inferență bayesiană) Meta-analiză de semnificație statistică Planificare experiment Populație · Proiectarea eșantionării · Eșantionarea zonei · Replicare · Clustering · Sensibilitate și specificitate Dimensiunea eșantionului Puterea statistică · Măsurarea efectului · Eroare standard Evaluare generală estimarea soluției bayesiene ·

  Pătratul mediu sau abaterea standard este un indicator statistic care evaluează cantitatea de fluctuație a unui eșantion numeric în jurul valorii sale medii. Aproape întotdeauna, majoritatea valorilor sunt distribuite în plus sau minus o abatere standard de la medie.

  Definiţie

  Abaterea standard este rădăcina pătrată a mediei aritmetice a sumei abaterilor pătrate de la medie. Strict și matematic, dar absolut de neînțeles. Aceasta este o descriere verbală a formulei de calcul a abaterii standard, dar pentru a înțelege semnificația acestui termen statistic, să înțelegem totul în ordine.

  Imaginați-vă un poligon de tragere, o țintă și o săgeată. Lunetistul trage la o țintă standard, unde lovirea centrului dă 10 puncte, în funcție de distanța de la centru numărul de puncte scade, iar lovirea zonelor extreme dă doar 1 punct. Lovitura fiecărui trăgător este o valoare întreagă aleatorie între 1 și 10. O țintă plină de gloanțe este o ilustrare perfectă a distribuției unei variabile aleatorii.

  Aşteptare

  Trăgătorul nostru începător a exersat mult timp tragerea și a observat că a lovit diferite valori cu o anumită probabilitate. Să zicem, pe baza unui număr mare de lovituri, a aflat că lovește 10 cu o probabilitate de 15%. Valorile rămase și-au primit probabilitățile:

  • 9 - 25 %;
  • 8 - 20 %;
  • 7 - 15 %;
  • 6 - 15 %;
  • 5 - 5 %;
  • 4 - 5 %.

  Acum se pregătește să mai facă o lovitură. Ce valoare este cel mai probabil să o lovească? Așteptările matematice ne vor ajuta să răspundem la această întrebare. Cunoscând toate aceste probabilități, putem determina rezultatul cel mai probabil al loviturii. Formula de calcul a așteptărilor matematice este destul de simplă. Să notăm valoarea loviturii ca C și probabilitatea ca p. Așteptările matematice vor fi egale cu suma produsului valorilor corespunzătoare și probabilitățile acestora:

  Să definim așteptările pentru exemplul nostru:

  • M = 10 × 0,15 + 9 × 0,25 + 8 × 0,2 + 7 × 0,15 + 6 × 0,15 + 5 × 0,05 + 4 × 0,05
  • M = 7,75

  Deci, este cel mai probabil ca trăgătorul să lovească zona de 7 puncte. Această zonă va fi cea mai puternică lovită, ceea ce este un rezultat excelent al celor mai frecvente lovituri. Pentru orice variabilă aleatoare, valoarea așteptată înseamnă cea mai comună valoare sau centrul tuturor valorilor.

  Dispersia

  Dispersia este un alt indicator statistic care ilustrează răspândirea unei valori. Ținta noastră este dens ciuruită de gloanțe, iar dispersia ne permite să exprimăm acest parametru numeric. Dacă așteptările matematice arată centrul fotografiilor, atunci dispersia este răspândirea lor. În esență, dispersia înseamnă așteptarea matematică a abaterilor valorilor de la valoarea așteptată, adică pătratul mediu al abaterilor. Fiecare valoare este pătrată astfel încât abaterile să fie doar pozitive și să nu se anuleze reciproc în cazul numerelor identice cu semne opuse.

  D[X] = M − (M[X]) 2

  Să calculăm răspândirea fotografiilor pentru cazul nostru:

  • M = 10 2 × 0,15 + 9 2 × 0,25 + 8 2 × 0,2 + 7 2 × 0,15 + 6 2 × 0,15 + 5 2 × 0,05 + 4 2 × 0,05
  • M = 62,85
  • D[X] = M − (M[X]) 2 = 62,85 − (7,75) 2 = 2,78

  Deci abaterea noastră este 2,78. Aceasta înseamnă că din zona de pe țintă cu o valoare de 7,75, găurile de glonț sunt întinse cu 2,78 puncte. Cu toate acestea, în forma sa pură, valoarea varianței nu este utilizată - rezultatul este pătratul valorii, în exemplul nostru este un punct pătrat, dar în alte cazuri ar putea fi kilograme pătrate sau dolari pătrați. Dispersia ca valoare pătrată nu este informativă, deci reprezintă un indicator intermediar pentru determinarea abaterii standard - eroul articolului nostru.

  Abaterea standard

  Pentru a converti variația în puncte semnificative, kilograme sau dolari, folosim abaterea standard, care este rădăcina pătrată a variației. Să o calculăm pentru exemplul nostru:

  S = sqrt(D) = sqrt(2,78) = 1,667

  Am primit punctele și acum le putem folosi pentru a ne conecta cu așteptările matematice. Rezultatul cel mai probabil al loviturii în acest caz ar fi exprimat ca 7,75 plus sau minus 1,667. Acest lucru este suficient pentru a răspunde, dar putem spune și că este aproape sigur că trăgătorul va lovi zona țintă între 6.08 și 9.41.

  Deviația standard sau sigma este un indicator informativ care ilustrează răspândirea unei valori în raport cu centrul acesteia. Cu cât sigma este mai mare, cu atât este mai mare răspândirea eșantionului. Acesta este un coeficient bine studiat și regula interesantă a trei sigma este cunoscută pentru distribuția normală. S-a stabilit că 99,7% din valorile unei cantități distribuite normal se află în regiunea de plus sau minus trei sigma din media aritmetică.

  Să ne uităm la un exemplu

  Volatilitatea perechii valutare

  Se știe că metodele statisticii matematice sunt utilizate pe scară largă pe piața valutară. Multe terminale de tranzacționare au instrumente încorporate pentru calcularea volatilității unui activ, ceea ce demonstrează o măsură a volatilității prețului unei perechi valutare. Desigur, piețele financiare au propriile lor specificități pentru calcularea volatilității, cum ar fi prețurile de deschidere și de închidere ale burselor de valori, dar, de exemplu, putem calcula sigma pentru ultimele șapte lumânări zilnice și estimam aproximativ volatilitatea săptămânală.

  Perechea valutară liră/yen este considerată pe bună dreptate cel mai volatil activ de pe piața Forex. Să presupunem că, teoretic, în cursul săptămânii, prețul de închidere al Bursei de Valori din Tokyo a luat următoarele valori:

  145, 147, 146, 150, 152, 149, 148.

  Să introducem aceste date în calculator și să calculăm sigma egală cu 2,23. Aceasta înseamnă că, în medie, yenul japonez s-a schimbat cu 2,23 yeni în fiecare zi. Dacă totul ar fi atât de grozav, comercianții ar câștiga milioane din astfel de mișcări.

  Concluzie

  Abaterea standard este utilizată în analiza statistică a probelor numerice. Acesta este un coeficient util pentru evaluarea răspândirii datelor, deoarece două seturi cu aparent aceeași valoare medie pot fi complet diferite în răspândirea valorilor. Utilizați calculatorul nostru pentru a găsi mici mostre de sigma.