Dezvoltare

Tăiați dreptunghiul dat ABCD în cifrele indicate. Olimpiade de matematică și probleme olimpiade

Acasă Sarcina 1:

(Un dreptunghi, ale cărui laturi sunt exprimate ca numere întregi, poate fi tăiat în figuri de formă (latura celulei din figură este egală cu unu). Demonstrați că poate fi tăiat în dreptunghiuri de 1 × 5.)

D.~Karpov Soluţie: Aria acestui dreptunghi este împărțită uniform la aria figurii indicate, adică la 5. Aria unui dreptunghi este egală cu produsul lungimilor laturilor. Deoarece lungimile laturilor sunt numere întregi și 5 este un număr prim, lungimea uneia dintre laturi trebuie să fie divizibilă cu 5. Să împărțim această latură și latura opusă în segmente de lungime 5, iar celelalte două laturi în segmente de lungime 1, după care conectăm punctele corespunzătoare din laturile opuse cu linii drepte. Sarcina 2:

(Rezolvați sistemul de ecuații în numere reale)

D.~Karpov A.~Khrabrov

Răspuns: sistemul are o soluție unică: a = b = c = d = 0. Adunând cele două ecuații ale sistemului, obținem ecuația 8a² + 9b² + 7c² + 4d² = 16ab + 8cd Din inegalitățile 2ab ≤ a² + b² și 2cd ≤ c² + d² rezultă că partea dreaptă a acestei ecuații nu este mai mare decât stânga, iar egalitatea poate fi obținută numai dacă b = 0, c = 0, a = b și c = d. Aceasta înseamnă că singura soluție posibilă pentru acest sistem este a = b = c = d = 0.

A doua opțiune este rezolvată într-un mod similar. Sarcina 3:

D.~KarpovÎn rombul ABCD, punctele E și F sunt luate pe laturile AB și, respectiv, BC, astfel încât CF/BF = BE/AE = 1994. S-a dovedit că DE = DF. Găsiți unghiul EDF.

Răspunsuri: în prima opțiune - 60, în a doua - 120.

Din condițiile problemei (în ambele versiuni) rezultă că BE = CF. Să trasăm pe latura AB un segment AK egal cu BE. Triunghiurile ADK și CDF sunt egale în ambele părți și unghi (AD = CD, AK = CF, ∠ DAK = ∠ DCF). Aceasta înseamnă că DK = DF = DE, adică triunghiul DKE este isoscel. În special, unghiurile DKE și DEK de la baza sa sunt egale. Prin urmare, triunghiurile ADK și BDE sunt egale (pe două laturi și unghi: AK = BE, DK = DE, ∠ DKA = ∠ DEB). Prin urmare, AD = BD, adică triunghiul ABD este echilateral. Prin urmare, ∠BAD = 60, ∠ABC = 120. Conform regulilor federației Sport-For-Razum, câștigătorul unui meci de fotbal este determinat printr-o serie de 129 de perechi de penalty-uri. Echipele fac pe rând penalizări. Dacă una dintre echipe asigură o victorie înainte de termen, atunci lovitura de pedeapsă se oprește, iar decizia de a încheia meciul se ia în momentul în care echipele au efectuat un număr egal de lovituri. Câte goluri a marcat echipa câștigătoare într-un astfel de meci dacă exact jumătate din toate loviturile au lovit poarta?

(Rezolvați sistemul de ecuații în numere reale)

D.~Karpov Lăsați echipa A să învingă echipa B într-un meci cu aceste reguli (poate asigurând o victorie timpurie). Aceasta înseamnă că, pentru orice rezultat imaginabil al penalty-urilor rămase (neexecutate), scorul echipei A ar fi mai mare decât al echipei B Să ne imaginăm că echipele au continuat să execute penalty-uri după sfârșitul meciului și au luat toate penalitățile rămase, fără ca echipa A să înscrie vreunul. mai multe goluri, iar echipa B nu a mai ratat niciodată. În acest caz, numărul total de goluri marcate de A va rămâne în continuare mai mare decât cele marcate de B (asta înseamnă cuvintele „victorie timpurie”). Cât mai poate fi? Doar cu 1 sau 2. Într-adevăr, dacă diferența ar fi fost mai mare de două, atunci victoria echipei A ar fi devenit inevitabilă și mai devreme, înainte de ultima pereche de penalty-uri.

Mai mult, observăm că în continuarea meciului pe care îl avem în vedere, exact jumătate din toate loviturile au lovit poarta. Astfel, din toate cele 129 de perechi de lovituri, exact jumătate au lovit poarta, adică exact 129. Aceste 129 de goluri sunt împărțite între A și B, astfel încât A are încă 1 sau 2. Acest lucru determină în mod clar numărul de goluri marcate de echipa A - 65.

Sarcina 5: Rezolvați ecuația în numere naturale:

D.~Karpov U ecuația dată există o soluție unică: x = 2, y = 1, z = 2 (în ambele versiuni). Că este o soluție rezultă din identitatea generală a² + (2a + 1) = (a + 1)²\, aplicată în prima versiune la a = 105, iar în a doua la a = 201.

Nu există alte soluții, deoarece dacă z > 2, atunci partea dreaptă a ecuației este divizibilă cu 8, dar stânga nu este, deoarece 105 x poate da restul 1 doar când este împărțit la 8 și 211 y - numai restul 1 și 3. Rămâne de observat că pentru z = 1 nu există nicio soluție, iar pentru z = 2 valorile y = 1 și x = 2 sunt determinate în mod unic.

În atenția tutorilor de matematică și a profesorilor de la diferite opțiuni și cluburi, este oferită o selecție de probleme de tăiere geometrică distractive și educative. Scopul unui tutor care folosește astfel de probleme în cursurile sale nu este doar să-l intereseze pe elev în combinații interesante și eficiente de celule și figuri, ci și să-și dezvolte simțul liniilor, unghiurilor și formelor. Setul de probleme se adresează în principal copiilor din clasele 4-6, deși este posibil să-l folosească chiar și cu elevii de liceu. Exercițiile solicită elevilor să aibă o concentrare ridicată și susținută a atenției și sunt perfecte pentru dezvoltarea și antrenamentul memoriei vizuale. Recomandat pentru profesorii de matematică care pregătesc elevii pentru examenele de admitere către școlile și clasele de matematică care impun cerințe deosebite nivelului gândirii independente și abilităților creative ale copilului. Nivelul sarcinilor corespunde nivelului olimpiadelor de intrare la liceu „școala a doua” (a doua școală de matematică), mica Facultate de Mecanică și Matematică a Universității de Stat din Moscova, școala Kurchatov etc.

Notă profesor de matematică:
În unele soluții la probleme, pe care le puteți vizualiza făcând clic pe indicatorul corespunzător, este indicat doar unul dintre exemplele posibile de tăiere. Recunosc pe deplin că s-ar putea să ajungeți cu o altă combinație corectă - nu trebuie să vă fie frică de asta. Verifică cu atenție soluția micuțului tău și dacă îndeplinește condițiile, atunci nu ezitați să vă asumați următoarea sarcină.

1) Încercați să tăiați figura prezentată în figură în 3 părți de formă egală:

: Formele mici sunt foarte asemănătoare cu litera T

2) Acum tăiați această figură în 4 părți de formă egală:

Sfat profesor de matematică: Este ușor de ghicit că figurile mici vor consta din 3 celule, dar nu există multe figuri cu trei celule. Există doar două tipuri de ele: un colț și un dreptunghi 1×3.

3) Tăiați această figură în 5 bucăți de formă egală:

Aflați numărul de celule care alcătuiesc fiecare astfel de cifră. Aceste cifre arată ca litera G.

4) Acum trebuie să tăiați o cifră de zece celule în 4 inegal dreptunghi (sau pătrat) unul față de celălalt.

Instrucțiuni pentru profesorul de matematică: Selectați un dreptunghi și apoi încercați să încărcați încă trei în celulele rămase. Dacă nu funcționează, schimbați primul dreptunghi și încercați din nou.

5) Sarcina devine mai complicată: trebuie să tăiați figura în 4 diferite ca formă figuri (nu neapărat dreptunghiuri).

Sfat profesor de matematică: desenați mai întâi separat toate tipurile de figuri de diferite forme (vor fi mai mult de patru) și repetați metoda de enumerare a opțiunilor ca în sarcina anterioară.
:

6) Tăiați această figură în 5 figuri din patru celule de forme diferite, astfel încât în fiecare dintre ele să fie pictată o singură celulă verde.

Sfat profesor de matematică:Încercați să începeți să tăiați de la marginea de sus a acestei figuri și veți înțelege imediat cum să procedați.
:

7) Pe baza sarcinii anterioare. Aflați câte cifre sunt în total diverse forme, format din exact patru celule? Figurile pot fi răsucite și răsucite, dar nu puteți ridica masa (de pe suprafața ei) pe care se află. Adică, cele două cifre date nu vor fi considerate egale, deoarece nu pot fi obținute una de la cealaltă prin rotație.

Sfat profesor de matematică: Studiați soluția la problema anterioară și încercați să vă imaginați diverse prevederi aceste cifre la întoarcere. Nu este greu de ghicit că răspunsul la problema noastră va fi numărul 5 sau mai mult. (De fapt, chiar mai mult de șase). Sunt descrise 7 tipuri de figuri.

8) Tăiați un pătrat de 16 celule în 4 bucăți de formă egală, astfel încât fiecare dintre cele patru bucăți să aibă exact o celulă verde.

Sfat profesor de matematică: Aspectul figurilor mici nu este un pătrat sau un dreptunghi, sau chiar un colț de patru celule. Deci, în ce forme ar trebui să încercați să tăiați?

9) Tăiați figura ilustrată în două părți, astfel încât părțile rezultate să poată fi pliate într-un pătrat.

Sugestie pentru profesor de matematică: Există 16 celule în total, ceea ce înseamnă că pătratul va avea dimensiunea de 4x4. Și cumva trebuie să umpleți fereastra din mijloc. Cum să faci asta? Ar putea exista un fel de schimbare? Apoi, deoarece lungimea dreptunghiului este egală cu un număr impar de celule, tăierea ar trebui să se facă nu cu o tăietură verticală, ci de-a lungul unei linii întrerupte. Astfel încât partea superioară să fie tăiată pe o parte a celulei din mijloc, iar partea inferioară pe cealaltă.

10) Tăiați un dreptunghi de 4x9 în două bucăți, astfel încât bucățile rezultate să poată fi pliate într-un pătrat.

Sfat profesor de matematică: Există 36 de celule în total în dreptunghi. Prin urmare, pătratul va avea dimensiunea de 6x6. Deoarece partea lungă este formată din nouă celule, trei dintre ele trebuie tăiate. Cum va decurge această tăiere?

11) Crucea a cinci celule prezentată în figură trebuie tăiată (puteți tăia singuri celulele) în bucăți din care să poată fi pliat un pătrat.

Sfat profesor de matematică: Este clar că, indiferent de modul în care tăiem de-a lungul liniilor celulelor, nu vom obține un pătrat, deoarece există doar 5 celule. Aceasta este singura sarcină în care este permisă tăierea nu prin celule. Totuși, ar fi totuși bine să-i lăsați drept ghid. de exemplu, merită remarcat faptul că trebuie să înlăturăm cumva adânciturile pe care le avem - și anume, în colțurile interioare ale crucii noastre. Cum să faci asta? De exemplu, tăierea unor triunghiuri proeminente din colțurile exterioare ale crucii...

a) Tăiați un triunghi aleatoriu în mai multe bucăți, astfel încât să le puteți plia într-un dreptunghi.
b) Tăiați un dreptunghi aleatoriu în mai multe bucăți, astfel încât să le puteți plia într-un pătrat.
c) Tăiați două pătrate arbitrare în mai multe bucăți, astfel încât să poată fi pliate într-un pătrat mare.

Sfat 1

b) Mai întâi, dintr-un dreptunghi arbitrar, faceți un dreptunghi astfel încât raportul dintre latura sa mai mare și latura sa mai mică să nu depășească patru.

c) Folosiți teorema lui Pitagora.

Sfat 2

a) Desenați înălțimea sau linia mediană.

b) Așezați dreptunghiul pe pătratul care trebuie obținut și trasați o „diagonală”.

c) Atașați pătratele unul de celălalt, măsurați un segment pe latura pătratului mai mare, egal cu lungimea pătrat mai mic, apoi conectați-l la vârfurile „opuse” ale fiecăruia dintre pătrate (vezi Fig. 1).

Soluţie

a) Fie dat un triunghi arbitrar ABC. Să tragem o linie de mijloc MN paralel cu laterala AB, iar în triunghiul rezultat CMN coboara inaltimea CD. În plus, să-l coborâm la linia dreaptă MN perpendiculare A.K.Şi B.L.. Atunci este ușor de observat că ∆ AKM = ∆CDMși ∆ BLN = ∆CDN Cum triunghiuri dreptunghiulare, pentru care perechea de laturi și perechea de unghiuri corespunzătoare sunt egale.

De aici vine metoda de tăiere. triunghi dat iar apoi rearanjarea pieselor. Și anume, să facem tăieturi de-a lungul segmentelor MNŞi CD. După aceea vom rearanja triunghiurile CDMŞi CDNîn locul triunghiurilor AKMŞi BLNîn consecință, așa cum se arată în fig. 2. Avem un dreptunghi AKLB, așa cum se cere în problemă.

Rețineți că această metodă nu va funcționa dacă unul dintre colțuri TAXI sau C.B.A.- contondent. Acest lucru se întâmplă deoarece în acest caz înălțimea CD nu se află în interiorul triunghiului CMN. Dar acest lucru nu este prea înfricoșător: dacă tragem linia de mijloc paralelă cu cea mai lungă latură a triunghiului original, atunci în triunghiul tăiat vom coborî înălțimea din unghiul obtuz și cu siguranță se va afla în interiorul triunghiului.

b) Fie dat un dreptunghi ABCD, ale căror laturi ADŞi AB egal oŞi bîn consecință, și o > b. Apoi, aria pătratului pe care vrem să o obținem în final ar trebui să fie egală cu ab. Prin urmare, lungimea laturii pătratului este √ ab, care este mai mic decât AD, dar mai mult decât AB.

Să construim un pătrat APQR, egal cu cel cerut, astfel încât punctul Bîntins pe întindere AP, și punct R- pe segment AD. Lasă P.D. intersectează segmentele B.C.Şi QR la puncte MŞi N respectiv. Atunci este ușor de observat că triunghiurile P.B.M., PADŞi NRD sunt asemănătoare și, în plus, B.P. = (√ab – b) Și R.D. = (o – √ab). Mijloace,

Prin urmare, ∆ P.B.M. = ∆NRD pe două laturi și unghiul dintre ele. De asemenea, este ușor să deduceți egalitățile de aici PQ = M.C.Şi NQ = CD, ceea ce înseamnă ∆ PQN = ∆MCD de asemenea pe ambele părți și unghiul dintre ele.

Din toate considerentele de mai sus, urmează metoda de tăiere. Mai exact, mai întâi punem deoparte pe laterale ADŞi B.C. segmente ARŞi CM., ale căror lungimi sunt egale cu √ ab(despre cum se construiesc segmente de forma √ ab, consultați problema „Poligoane regulate” - bara laterală din secțiunea „Soluție”). Apoi, restabilim perpendiculara pe segment AD la punct R. Acum nu mai rămâne decât să tăiați triunghiurile MCDŞi NRDși rearanjați-le așa cum se arată în Fig. 3.

Rețineți că pentru ca această metodă să fie utilizată, este necesar ca punctul M s-a găsit în interiorul segmentului B.K.(altfel nu tot triunghiul NRD cuprinse în interiorul unui dreptunghi ABCD). Adică este necesar ca

Dacă această condiție nu este îndeplinită, atunci trebuie mai întâi să faceți acest dreptunghi mai larg și mai scurt. Pentru a face acest lucru, trebuie doar să o tăiați în jumătate și să aranjați piesele așa cum se arată în Fig. 4. Este clar că după o astfel de operație raportul dintre latura mai mare și latura mai mică va scădea de patru ori. Ceea ce înseamnă că o faci suficient număr mare ori, în final vom obține un dreptunghi la care tăierea din Fig. 3.

c) Se consideră două pătrate date ABCDŞi DPQR, punându-le unul lângă altul astfel încât să se intersecteze de-a lungul lateral CD pătrat mai mic și avea un vârf comun D. Vom presupune că P.D. = oŞi AB = bși, după cum am menționat deja, o > b. Apoi pe lateral D.R. pătrat mai mare putem considera un astfel de punct M, Ce DL. = AB. Conform teoremei lui Pitagora.

Lăsați liniile care trec prin puncte BŞi Q paralele cu liniile drepte MQŞi B.M. respectiv, se intersectează în punct N. Apoi patrulaterul BMQN este un paralelogram și, deoarece toate laturile sale sunt egale, este un romb. Dar ∆ BAM = ∆MRQ pe trei laturi, de unde rezulta (avand in vedere ca colturile BAMŞi MRQ drept) că . Astfel, BMQN- pătrat. Și întrucât zona sa este ( o 2 + b 2), atunci acesta este exact pătratul pe care trebuie să-l obținem.

Pentru a trece la tăiere, rămâne de observat că ∆ BAM = ∆MRQ = ∆BCN = ∆NPQ. După aceasta, ceea ce trebuie făcut devine evident: trebuie să tăiați triunghiurile BAMŞi MRQși rearanjați-le așa cum se arată în fig. 5.

Postfaţă

După rezolvarea problemelor propuse, cititorul se poate gândi la următoarea întrebare: când este chiar posibil să tăiați un poligon dat cu linii drepte într-un număr finit de bucăți din care este compus un alt poligon dat? După ce s-a gândit puțin, va înțelege că cel puțin este necesar ca ariile acestor poligoane să fie egale. Astfel, întrebarea inițială se transformă în următoarea: este adevărat că dacă două poligoane au aceeași zonă, atunci unul dintre ele poate fi tăiat în bucăți din care se adaugă al doilea (această proprietate a două poligoane se numește echiparitate)? Se dovedește că așa este într-adevăr și așa ne spune teorema Bolyai-Gerwin, dovedită în anii 30 ai secolului al XIX-lea. Mai precis, formularea sa este următoarea.

Teorema Bolyai-Gerwin. Două poligoane au dimensiuni egale dacă și numai dacă sunt egale ca mărime.

Ideea din spatele dovezii acestui rezultat remarcabil este următoarea. În primul rând, vom demonstra nu afirmația teoremei în sine, ci faptul că fiecare dintre aceste două poligoane de dimensiuni egale poate fi tăiat în bucăți, din care se formează un pătrat de aceeași zonă. Pentru a face acest lucru, mai întâi împărțim fiecare dintre poligoane în triunghiuri (această diviziune se numește triangulaţie). Și apoi vom transforma fiecare triunghi într-un pătrat (de exemplu, folosind metoda descrisă la punctele a) și b) ale acestei probleme). Rămâne să adunăm din cantitate mare pătrate mici unul mare - putem face acest lucru datorită punctului c).

O întrebare similară pentru politopi constituie una dintre celebrele probleme ale lui David Hilbert (a treia), prezentată de acesta într-o discuție la II. Congresul Internațional matematicieni la Paris în 1900. Este caracteristic că răspunsul la acesta a fost negativ. Deja o examinare a două dintre cele mai simple poliedre, cum ar fi un cub și un tetraedru obișnuit, arată că niciunul dintre ele nu poate fi tăiat într-un număr finit de părți, astfel încât să se formeze altul din ele. Și aceasta nu este o coincidență - o astfel de tăiere pur și simplu nu există.

Soluția celei de-a treia probleme a lui Hilbert a fost obținută de unul dintre studenții săi, Max Dehn, deja în 1901. Dehn a descoperit o cantitate invariantă care nu s-a schimbat atunci când poliedrele au fost tăiate în bucăți și pliate în forme noi. Cu toate acestea, această valoare sa dovedit a fi diferită pentru unele poliedre (în special, cubul și tetraedrul obișnuit). Ultima împrejurare indică clar faptul că aceste poliedre nu sunt echivalente.

Remarcile de deschidere ale profesorului:

Mic fundal istoric: Mulți oameni de știință au fost interesați de problemele de tăiere încă din cele mai vechi timpuri. Deciziile multora sarcini simple pentru tăiere au fost găsite de grecii antici și chinezi, dar primul tratat sistematic pe această temă aparține condeiului lui Abul-Vef. Geometrii au început să rezolve serios problemele de tăiere a figurilor în cel mai mic număr de piese și apoi de a construi o altă figură la începutul secolului al XX-lea. Unul dintre fondatorii acestei secțiuni a fost faimosul fondator de puzzle Henry E. Dudeney.

În zilele noastre, iubitorii de puzzle-uri sunt dornici să rezolve problemele de tăiere deoarece nu există o metodă universală de rezolvare a unor astfel de probleme, iar oricine se angajează să le rezolve își poate demonstra pe deplin ingeniozitatea, intuiția și capacitatea de gândire creativă. (În timpul lecției, vom indica doar unul dintre exemplele posibile de tăiere. Se poate presupune că elevii pot ajunge la o altă combinație corectă - nu trebuie să vă temeți de aceasta).

Această lecție ar trebui să se desfășoare sub formă lectie practica. Împărțiți participanții la cerc în grupuri de 2-3 persoane. Furnizați fiecărei grupe cifre pregătite în prealabil de către profesor. Elevii au o riglă (cu diviziuni), un creion și foarfece. Este permisă numai tăieturi drepte cu ajutorul foarfecelor. După ce tăiați o figură în bucăți, trebuie să faceți o altă figură din aceleași părți.

Sarcini de tăiere:

1). Încercați să tăiați figura prezentată în figură în 3 părți de formă egală:

Sugestie: Formele mici seamănă mult cu litera T.

2). Acum tăiați această figură în 4 părți de formă egală:

Sugestie: este ușor de ghicit că figurile mici vor consta din 3 celule, dar nu există multe figuri cu trei celule. Există doar două tipuri: colț și dreptunghi.

3). Împărțiți figura în două părți egale și utilizați părțile rezultate pentru a forma o tablă de șah.

Sugestie: Sugerați să începeți sarcina din a doua parte, ca și cum ați obține o tablă de șah. Amintiți-vă ce formă are o tablă de șah (pătrat). Numărați numărul disponibil de celule în lungime și lățime. (Amintiți-vă că ar trebui să fie 8 celule).