Utilizarea vectorilor în viața de zi cu zi. Vectori în jocuri pe calculator

O pereche ordonată de puncte se numește vector. Primul punct se numește începutul vectorului, al doilea este sfârșitul vectorului. Distanța dintre începutul și sfârșitul unui vector se numește lungimea acestuia. Un vector al cărui început și sfârșit coincid se numește zero, lungimea lui este zero. Dacă lungimea unui vector este pozitivă, atunci acesta se numește diferit de zero. Un vector diferit de zero poate fi definit și ca un segment direcționat, de exemplu. un segment în care unul dintre punctele sale de limită este considerat primul (începutul vectorului), iar celălalt - al doilea (sfârșitul vectorului). Direcția vectorului zero este, desigur, nedefinită.

Un vector cu un început în punctul A și un sfârșit în punctul B este notat și reprezentat printr-o săgeată îndreptată spre capătul vectorului (Figura 1.1, a). Începutul unui vector se mai numește și punctul său de aplicare. Se spune că vectorul este \ săgeată verticală (AB) atașat la punctul A. Lungimea vectorului \ săgeată verticală (AB) sau \ vec (a) este egală cu lungimea segmentului AB sau a și se notează \ vline \, \ overrightarrow (AB) \, \ vline sau | \ vec (a) | ... Având în vedere această denumire, lungimea vectorului se mai numește și modul, valoarea absolută. Vector zero ca \ săgeată verticală (CC), notat cu simbolul \ vec (o) și este reprezentat printr-un singur punct (punctul C din figura 1.1, a). Un vector a cărui lungime este egală cu unu sau luat ca unul se numește vector unitar.

Vectorul diferit de zero AB, pe lângă segmentul direcționat, definește și raza AB (cu originea în punctul A) și linia dreaptă AB (Figura 1.1, a) care o conține.

Vectori coliniari

Doi vectori nenuli sunt numiți coliniari dacă aparțin fie unei linii drepte, fie a două drepte paralele, în caz contrar se numesc necoliniari. Coliniaritatea vectorilor se notează cu \ paralelă. Deoarece direcția vectorului nul este nedefinită, este considerată coliniară cu orice vector. Fiecare vector este coliniar cu el însuși.

Doi vectori coliniari nenuli se numesc direcționați identic (co-direcționați) dacă aparțin unor drepte paralele și capetele lor se află în același semiplan de la dreapta care trece prin originile lor (Figura 1.2, a); sau, dacă vectorii aparțin unei linii drepte, iar raza definită de un vector aparține în întregime razei definite de celălalt vector (Fig. 1.2.6). În caz contrar, vectorii coliniari sunt numiți direcționați opus (Figura 1.2, c, d). Vectorii orientați în mod egal și în direcția opusă sunt notați prin perechi de săgeți \susuri \săgeți în sus și \ în sus \ în jos respectiv. Vectorii coliniari, direcționați identic, se aplică oricărui număr de vectori.

Vectori coplanari

Trei vectori nenuli se numesc coplanari daca se afla in acelasi plan sau in planuri paralele (Figura 1.3, a), altfel se numesc necoplanari (Figura 1.3.6). Deoarece direcția vectorului nul este nedefinită, acesta este considerat coplanar cu oricare doi vectori. Vectorii coplanari se aplică oricărui număr de vectori.

Vectori egali

Se spune că doi vectori sunt egali dacă sunt:

a) coliniare, în mod egal direcționată;

b) au lungimi egale.

Toți vectorii zero sunt considerați egali între ei.

Această definiție a egalității vectorilor caracterizează așa-numiții vectori liberi. Acest vector liber poate fi transferat, fără a-și schimba direcția și lungimea, în orice punct din spațiu (amânat din orice punct), în timp ce vom primi vectori egali cu acesta. Astfel, un vector liber definește o întreagă clasă de vectori egali cu acesta, diferind doar în punctul de aplicare. Mai departe, vom lua în considerare, de regulă, vectorii liberi, în timp ce cuvântul „liber” va fi omis.

Observații 1.1.

1. Definiția egalității vectorilor poate fi formulată fără a folosi conceptul de lungime a unui vector. Doi vectori \ săgeată verticală (AB)și care nu se află pe o singură dreaptă se numesc egale dacă patrulaterul ABCD este un paralelogram (Figura 1.4, a). Vectori \ săgeată verticală (AB)și \ săgeată verticală (CD) aparținând aceleiași drepte sunt considerate egale dacă există un vector egal \ săgeată verticală (EF) neaparținând acestei linii (Fig. 1.4.6). Această definiție este echivalentă cu următoarea: doi vectori \ săgeată verticală (AB)și \ săgeată verticală (CD) se numesc egale dacă punctele medii ale segmentelor AD și AD coincid (fig. 1.4, c).

2. Relația de egalitate a vectorilor este o relație de echivalență. Într-adevăr, pentru relația de egalitate = (\ vec (a) = \ vec (b) - „vectorul \ vec (a) este egal cu vectorul \ vec (b)”) definit pe mulțimea de perechi ordonate \ langle \ vec (a), \ vec (b) \ rangle vectori, sunt îndeplinite următoarele condiții:

a) fiecare vector este egal cu el însuși (reflexivitate);

b) dacă vectorul \vec (a) este egal cu vectorul \vec (b), atunci vectorul \vec (b) este egal cu vectorul \vec (a) (simetrie);

c) dacă vectorul \vec (a) este egal cu vectorul \vec (b) și vectorul \vec (b) este egal cu vectorul \vec (c), atunci vectorul \vec (a) este egal cu vectorul \ vec (c) (tranzitivitatea).

Aceasta înseamnă că mulțimea de vectori este împărțită în clase disjunse (vezi Secțiunea B.3), adică. fiecare vector este asociat cu o întreagă clasă de vectori egali cu acesta, diferind doar în punctele de aplicare. Prin urmare, ei spun că un vector liber definește o clasă de vectori egali cu acesta.

3. Pentru orice punct A şi orice vector \ vec (a) există un punct unic B pentru care. Într-adevăr, dacă vectorul \vec (a) este diferit de zero, atunci singura dreaptă trece prin punctul A, paralel cu vectorul a (Figura 1.5, a), sau care îl conține (Figura 1.5, b). Există două puncte pe această dreaptă care sunt îndepărtate de punctul A la o distanță | \ vec (a) |> 0. Din aceste două puncte alegem un punct B pentru care vectorii \ săgeată verticală (AB)şi \ vec (a) se dovedesc a fi în aceeaşi direcţie. Prin construcție, obținem \ overrightarrow (AB) = \ vec (a)... Dacă vectorul \vec (a) este zero, atunci punctul necesar B coincide cu punctul dat A.

Astfel, orice vector \ vec (a) asociază fiecare punct A cu un punct unic B astfel încât \ overrightarrow (AB) = \ vec (a)... Această corespondență se numește transfer paralel. Prin urmare, un vector liber poate fi identificat cu un transfer paralel.

4. Construcţia, considerată la paragraful 3, se numeşte amânarea vectorului \vec (a) de la punctul A sau aplicarea vectorului \vec (a) până la punctul A.

Folosind această construcție, se pot da definiții echivalente ale coliniarității și coplanarității. Doi vectori nenuli sunt numiți coliniari dacă, după aplicarea lor într-un punct, se află pe aceeași linie dreaptă. Trei vectori nenuli sunt numiți coplanari dacă, după aplicarea lor într-un punct, se află în același plan.

5. Pe lângă vectorii liberi în aplicațiile de algebră vectorială, se folosesc vectori de alunecare, vectori asociați (aplicați) etc., care diferă de vectorii liberi prin definiția egalității. De exemplu, se spune că vectorii de alunecare sunt egali dacă se află pe aceeași linie dreaptă, au aceeași direcție și au lungimi egale. Cu alte cuvinte, spre deosebire de un vector liber, un vector de alunecare poate fi transferat fără a schimba direcția și lungimea, doar de-a lungul liniei drepte care conține acest vector. De exemplu, în mecanică, forța care acționează asupra unui corp absolut rigid este reprezentată de un vector de alunecare, iar viteza unghiulară este reprezentată de un vector liber. Forța care acționează asupra unui corp deformabil este un exemplu de așa-numit vector aplicat. O modificare a punctului de aplicare a forței va duce la o modificare a efectului acesteia asupra organismului.

Exemplul 1.1. Având în vedere un triunghi ABC (Fig. 1.6), punctele L, M, N sunt punctele mijlocii ale laturilor sale. Pentru vectorii prezentați în fig. 1.6, indică coliniar, egal direcționat, direcționat opus, egal.

Soluţie. Prin teorema despre linia mediană triunghi, tragem concluzia că ML \ paralel AB, ~ LN \ paralel AC... Prin urmare vectori \ overrightarrow (AM), \ overrightarrow (MC), \ overrightarrow (NL)- coliniare (deoarece se află pe drepte una sau paralele), direcționate identic și au lungimi egale. Prin urmare, aceștia sunt vectori egali: \ overrightarrow (AM) = \ overrightarrow (MC) = \ overrightarrow (NL)... În mod similar, găsim

\ overrightarrow (AN) = \ overrightarrow (ML), \ quad \ overrightarrow (AN) \ uparrow \ downarrow \ overrightarrow (BN), \ quad \ overrightarrow (BN) \ uparrow \ downarrow \ overrightarrow (ML), \ quad \ overrightarrow (CL) \ uparrow \ downarrow \ overrightarrow (BL) \ ,.

Javascript este dezactivat în browserul dvs.
Pentru a face calcule, trebuie să activați controalele ActiveX!

DEFINIȚIE

Vector(din lat. " vector"-" rulment ") - un segment direcționat al unei linii drepte în spațiu sau pe un plan.

Grafic, un vector este reprezentat ca un segment de linie direcționată de o anumită lungime. Un vector, al cărui început este într-un punct, iar sfârșitul într-un punct, este notat ca (Fig. 1). De asemenea, un vector poate fi notat cu o literă mică, de exemplu,.

Dacă un sistem de coordonate este specificat în spațiu, atunci vectorul poate fi specificat în mod unic printr-un set de coordonate ale acestuia. Adică, un vector este înțeles ca un obiect care are o mărime (lungime), direcție și punct de aplicare (începutul vectorului).

Începuturile calculului vectorial au apărut în lucrările din 1831 în lucrările matematicianului, mecanicului, fizicianului, astronomului și topografului german Johann Karl Friedrich Gauss (1777-1855). Lucrări despre operații cu vectori au fost publicate de matematicianul, mecanicul și fizicianul teoretic irlandez, Sir William Rowan Hamilton (1805-1865) în cadrul calculului său cuaternion. Omul de știință a propus termenul de „vector” și a descris câteva operații pe vectori. Calculul vectorial a fost dezvoltat în continuare datorită lucrărilor asupra electromagnetismului realizate de fizicianul, matematicianul și mecanicul britanic James Clerk Maxwell (1831-1879). În anii 1880, a fost publicată cartea „Elementele de analiză vectorială” de către fizicianul, fizicochimistul, matematicianul și mecanicul american Josiah Willard Gibbs (1839-1903). Analiza vectorială modernă a fost descrisă în 1903 de omul de știință, inginer, matematician și fizician englez autodidact Oliver Heaviside (1850-1925).

DEFINIȚIE

Lungime sau modul vectorial este lungimea segmentului direcționat care definește vectorul. Este indicat ca.

Tipuri de bază de vectori

Vector zero este un vector al cărui punct de început și punct final coincid. Lungimea vectorului zero este zero.

Se numesc vectori paraleli cu o linie dreaptă sau care se află pe o singură dreaptă coliniare(fig. 2).

co-regizat dacă direcţiile lor sunt aceleaşi.

În figura 2, aceștia sunt vectori și. Co-directionalitatea vectorilor se noteaza astfel:.

Se numesc doi vectori coliniari îndreptat opus dacă direcţiile lor sunt opuse.

În figura 3, aceștia sunt vectori și. Desemnare:.

Definiție Se numește o colecție ordonată (x 1, x 2, ..., x n) n numere reale vector n-dimensional, și numerele x i (i =) - componente sau coordonate,

Exemplu. Dacă, de exemplu, o anumită fabrică de automobile trebuie să producă 50 de mașini, 100 de camioane, 10 autobuze, 50 de seturi de piese de schimb pentru mașini și 150 de seturi pentru camioaneși autobuze, programul de producție al acestei uzine poate fi scris ca un vector (50, 100, 10, 50, 150) cu cinci componente.

Notaţie. Vectorii sunt indicați cu litere mici aldine sau litere cu o bară sau săgeată în partea de sus, de exemplu, A sau... Cei doi vectori sunt numiți egal dacă au același număr de componente și componentele lor corespunzătoare sunt egale.

Componentele vectoriale nu pot fi schimbate, de exemplu (3, 2, 5, 0, 1)și (2, 3, 5, 0, 1) vectori diferiți.
Operații pe vectori. După produs X= (x 1, x 2, ..., x n) printr-un număr realλ se numeste vectorλ X= (λ x 1, λ x 2, ..., λ x n).

SumaX= (x 1, x 2, ..., x n) și y= (y 1, y 2, ..., y n) se numește vector x + y= (x 1 + y 1, x 2 + y 2, ..., x n + + y n).

Spațiul vectorilor. N -spațiu vectorial dimensional R n este definit ca multimea tuturor vectorilor n-dimensionali pentru care operatiile de inmultire prin numere reale si adaos.

Ilustrație economică. Ilustrarea economică a spațiului vectorial n-dimensional: spațiu al mărfurilor (bunuri). Sub marfă vom înțelege un bun sau un serviciu care a fost pus în vânzare la un anumit moment într-un anumit loc. Să presupunem că există un număr finit de elemente la îndemână, n; cantităţile fiecăruia dintre ele achiziţionate de consumator se caracterizează printr-un set de bunuri

X= (x 1, x 2, ..., x n),

unde x i desemnează cantitatea celui de-al i-lea bun cumpărat de consumator. Vom presupune că toate bunurile au proprietatea de divizibilitate arbitrară, astfel încât orice cantitate nenegativă din fiecare dintre ele poate fi cumpărată. Atunci toate seturile posibile de bunuri sunt vectori ai spațiului bunurilor C = ( X= (x 1, x 2, ..., x n) x i ≥ 0, i =).

Independență liniară. Sistem e 1 , e 2 , ... , e m vectori n-dimensionali se numesc dependent liniar dacă există astfel de numereλ 1, λ 2, ..., λ m , dintre care cel puțin unul este diferit de zero, astfel încât egalitateaλ 1 e 1 + λ 2 e 2 + ... + λ m e m = 0; in caz contrar acest sistem vectori se numește liniar independent, adică egalitatea indicată este posibilă numai în cazul în care toate . Sensul geometric dependența liniară a vectorilor în R 3, interpretate ca segmente dirijate, explicați următoarele teoreme.

Teorema 1. Un sistem format dintr-un vector este dependent liniar dacă și numai dacă acest vector este zero.

Teorema 2. Pentru ca doi vectori să fie liniar dependenți, este necesar și suficient ca aceștia să fie coliniari (paraleli).

Teorema 3 ... Pentru ca trei vectori să fie liniar dependenți, este necesar și suficient ca aceștia să fie coplanari (se află în același plan).

Triplete stânga și dreapta de vectori. Trei vectori necoplanari a, b, c numit dreapta dacă observatorul de la originea lor comună străbate capetele vectorilor a, b, cîn ordinea arătată, pare a fi în sensul acelor de ceasornic. In caz contrar a, b, c -a lăsat triplu... Toate tripletele de vectori din dreapta (sau stânga) sunt numite in aceeasi masura orientat.

Baza și coordonatele. Troica e 1, e 2 , e 3 vectori necoplanari în R 3 este numit bază, și vectorii înșiși e 1, e 2 , e 3 - de bază... Orice vector A poate fi extins în mod unic în ceea ce privește vectorii de bază, adică reprezentați sub formă

A= x 1 e 1 + x 2 e 2 + x 3 e 3, (1.1)

numerele x 1, x 2, x 3 din expansiunea (1.1) se numesc coordonateAîn bază e 1, e 2 , e 3 și sunt notate A(x 1, x 2, x 3).

Baza ortonormala. Dacă vectori e 1, e 2 , e 3 sunt perpendiculare perechi și lungimea fiecăruia dintre ele este egală cu unu, atunci baza se numește ortonormal, și coordonatele x 1, x 2, x 3 - dreptunghiular. Vectorii de bază ai bazei ortonormale vor fi notați cu i, j, k.

Vom presupune că în spațiu R 3 este selectat sistemul drept de coordonate carteziene dreptunghiulare (0, i, j, k}.

Produs vectorial. Produs vectorial A pe vector b se numeste vector c, care este determinată de următoarele trei condiții:

1. Lungimea vectorului c este numeric egală cu aria unui paralelogram construit pe vectori Ași b, adică
c= | a || b | păcat ( A^b).

2. Vector c perpendicular pe fiecare dintre vectori Ași b.

3. Vectori A, bși c luate în ordinea indicată dintr-un triplet din dreapta.

Pentru produs vectorial c se introduce notaţia c =[ab] sau
c = a × b.

Dacă vectori Ași b coliniar, apoi păcat ( a ^ b) = 0 și [ ab] = 0, în special, [ aa] = 0. Produse vectoriale ale vectorilor unitari: [ ij]=k, [jk] = i, [ki]=j.

Dacă vectori Ași b dat în bază i, j, k coordonate A(a 1, a 2, a 3), b(b 1, b 2, b 3), atunci

Munca mixta. Dacă produsul încrucișat a doi vectori Ași b scalar înmulțit cu al treilea vector c, atunci se numește un astfel de produs de trei vectori munca mixtași este notat cu simbolul A b c.

Dacă vectori a, bși cîn bază i, j, k date de coordonatele lor
A(a 1, a 2, a 3), b(b 1, b 2, b 3), c(c 1, c 2, c 3), atunci

.

Produsul mixt are o interpretare geometrică simplă - este un scalar egal în valoare absolută cu volumul unui paralelipiped construit pe acești trei vectori.

Dacă vectorii formează un triplet din dreapta, atunci produsul lor mixt este un număr pozitiv egal cu volumul indicat; dacă cei trei a, b, c - stânga, atunci a b c<0 и V = - a b c, prin urmare V =| a b c |.

Coordonatele vectorilor întâlniți în problemele din primul capitol se presupune că sunt date în raport cu baza ortonormală dreaptă. Vector unitar codirecțional cu vector A, notat cu simbolul A O. Simbol r=OM notat cu vectorul raza punctului M, simbolurile a, AB sau| a |, | AB |modulele vectorilor Ași AB.

Exemplu 1.2. Găsiți unghiul dintre vectori A= 2m+4nși b= m-n, Unde mși n - vectori unitari si unghiul dintre mși n este egal cu 120 p.

Soluţie... Avem: cos φ = ab/ ab, ab =(2m+4n) (m-n) = 2m 2 - 4n 2 +2mn=
= 2 - 4 + 2cos120 o = - 2 + 2 (-0,5) = -3; a = ; A 2 = (2m+4n) (2m+4n) =
= 4m 2 +16mn+16n 2 = 4 + 16 (-0,5) + 16 = 12, deci a =. b = ; b 2 =
= (m-n)(m-n) = m 2 -2mn+n 2 = 1-2 (-0,5) +1 = 3, deci b =. În fine, avem: cosφ = = -1/2, φ = 120 o.

Exemplul 1.3.Cunoașterea vectorilor AB(-3, -2,6) și î.Hr(-2,4,4), calculați lungimea înălțimii AD a triunghiului ABC.

Soluţie... Notând aria triunghiului ABC prin S, obținem:
S = 1/2 î.Hr. Atunci AD = 2S / BC, BC = = = 6,
S = 1/2 | AB ×AC |. AC = AB + BC, deci vectorul AC are coordonate
. .

Exemplu 1.4 ... Sunt dați doi vectori A(11,10,2) și b(4,0,3). Găsiți vectorul unitar c, ortogonală la vectori Ași bși direcționat astfel încât triplul ordonat al vectorilor a, b, c avea dreptate.

Soluţie.Notăm coordonatele vectorului cîn raport cu baza ortonormală dreaptă dată în termeni de x, y, z.

În măsura în care c ⊥ a, c ⊥b, atunci ca= 0, cb= 0. După condiția problemei, se cere ca c = 1 și a b c >0.

Avem un sistem de ecuații pentru găsirea x, y, z: 11x + 10y + 2z = 0,4x + 3z = 0, x 2 + y 2 + z 2 = 0.

Din prima și a doua ecuație a sistemului, obținem z = -4/3 x, y = -5/6 x. Înlocuind y și z în a treia ecuație, vom avea: x 2 = 36/125, de unde
x =± ... Folosind condiția a b c> 0, obținem inegalitatea

Ținând cont de expresiile pentru z și y, rescriem inegalitatea rezultată sub forma: 625/6 x> 0, de unde rezultă că x> 0. Deci, x =, y = -, z = -.

VECTOR
În fizică și matematică, un vector este o mărime care se caracterizează prin valoarea și direcția sa numerică. În fizică, există multe cantități importante care sunt vectori, de exemplu, forța, poziția, viteza, accelerația, cuplul, impulsul, puterea câmpurilor electrice și magnetice. Ele pot fi contrastate cu alte cantități precum masa, volumul, presiunea, temperatura și densitatea, care pot fi descrise prin numărul obișnuit, și sunt numite „scalari”. Notația vectorială este utilizată atunci când se lucrează cu valori care nu pot fi specificate complet folosind numere obișnuite. De exemplu, dorim să descriem poziția unui obiect relativ la un anumit punct. Putem spune câți kilometri de la un punct la un obiect, dar nu putem determina complet locația acestuia până când nu cunoaștem direcția în care se află. Astfel, locația unui obiect este caracterizată prin valoare numerică (distanța în kilometri) și direcție. Grafic, vectorii sunt reprezentați ca segmente de linie dreaptă direcționată de o anumită lungime, ca în Fig. 1. De exemplu, pentru a reprezenta grafic o forță de cinci kilograme, trebuie să desenați un segment de linie dreaptă lung de cinci unități în direcția forței. Săgeata indică faptul că forța acționează de la A la B; dacă forța a acționat de la B la A, atunci am scrie sau Pentru comoditate, vectorii sunt de obicei notați cu majuscule aldine (A, B, C și așa mai departe); vectorii A și -A au valori numerice egale, dar de sens opus. Valoarea numerică a vectorului A se numește modul sau lungime și se notează cu A sau | A |. Această cantitate este, desigur, un scalar. Un vector al cărui început și sfârșit coincid se numește zero și este notat cu O.

Doi vectori sunt numiți egali (sau liberi) dacă modulele și direcțiile lor coincid. În mecanică și fizică, această definiție, totuși, trebuie utilizată cu prudență, deoarece două forțe egale aplicate în puncte diferite ale corpului în cazul general vor duce la rezultate diferite... În acest sens, vectorii sunt clasificați în „legați” sau „alunecatori”, după cum urmează: Vectorii legați au puncte fixe de aplicare. De exemplu, un vector rază indică poziția unui punct în raport cu o origine fixă. Vectorii înrudiți sunt considerați egali dacă nu numai că au aceleași module și direcții, dar au și un punct comun de aplicare. Vectorii de alunecare sunt vectori egali situati pe o linie dreapta.
Adăugarea vectorilor. Ideea de a adăuga vectori a apărut din faptul că putem găsi un singur vector care are același efect ca și ceilalți doi vectori împreună. Dacă, pentru a ajunge la un anumit punct, trebuie să mergem mai întâi A kilometri într-o direcție și apoi B kilometri în cealaltă direcție, atunci am putea ajunge la punctul final după depăşirea de C kilometri în a treia direcţie (fig. 2). În acest sens, putem spune că

A + B = C.
Vectorul C se numește „vector de rezultat” A și B, este dat de construcția prezentată în figură; pe vectorii A și B se construiește un paralelogram ca pe laturi, iar C este diagonala care leagă începutul A și sfârșitul B. Din fig. 2 arată că adăugarea vectorilor este „comutativă”, adică. A + B = B + A. În mod similar, puteți adăuga mai mulți vectori, conectându-i în serie cu un „lanț continuu”, așa cum se arată în fig. 3 pentru trei vectori D, E și F. Din fig. 3 mai arată că

(D + E) + F = D + (E + F), adică. adăugarea vectorilor este asociativă. Puteți adăuga orice număr de vectori, iar vectorii nu trebuie să se afle în același plan. Scăderea vectorilor este reprezentată ca adunare cu un vector negativ. De exemplu, A - B = A + (-B), unde, așa cum a fost definit anterior, -B este un vector egal cu B în modul, dar opus în direcție. Această regulă de adunare poate fi acum utilizată ca un criteriu real pentru a verifica dacă o anumită cantitate este un vector sau nu. Mișcările sunt de obicei supuse termenilor acestei reguli; același lucru se poate spune despre viteze; forțele se adună în același mod, așa cum se poate vedea din „triunghiul forțelor”. Cu toate acestea, unele cantități atât cu valori numerice, cât și cu direcții nu respectă această regulă, prin urmare nu pot fi considerate vectori. Un exemplu sunt rotațiile finite.
Înmulțirea unui vector cu un scalar. Produsul lui mA sau Am, unde m (m # 0) este un scalar și A este un vector diferit de zero, este definit ca un alt vector care este de m ori mai lung decât A și are aceeași direcție ca A dacă numărul m este pozitiv, iar invers, dacă m negativ, așa cum se arată în fig. 4, unde m este 2 și, respectiv, -1/2. Mai mult, 1A = A, i.e. vectorul nu se modifică atunci când este înmulțit cu 1. Valoarea -1A este un vector egal cu A în lungime, dar opus în direcție, de obicei scris ca -A. Dacă A este un vector zero și (sau) m = 0, atunci mA este un vector zero. Înmulțirea este distributivă, adică.

Putem adăuga orice număr de vectori, iar ordinea termenilor nu afectează rezultatul. Este adevărat și invers: orice vector este descompus în două sau mai multe „componente”, adică. în doi sau mai mulți vectori, care, atunci când sunt adăugați, vor da vectorul original ca rezultat. De exemplu, în Fig. 2, A și B sunt componentele C. Multe operații matematice cu vectori sunt simplificate dacă vectorul este descompus în trei componente în trei direcții reciproc perpendiculare. Să alegem un sistem de coordonate carteziene cu axele Ox, Oy și Oz, așa cum se arată în Fig. 5. Prin sistem de coordonate dreapta, înțelegem că axele x, y și z sunt situate ca mari, indice și degetele mijlocii mana dreapta... Dintr-un sistem de coordonate pentru dreapta, puteți oricând obține un alt sistem de coordonate pentru dreapta rotindu-l în consecință. În fig. 5, este prezentată descompunerea vectorului A în trei componente, iar Ele se adună la vectorul A, deoarece

Prin urmare,

De asemenea, s-ar putea adăuga mai întâi și obține și apoi adăuga la proiecțiile vectorului A pe trei axe de coordonate, notate Ax, Ay și Az sunt numite „componente scalare” ale vectorului A:

unde a, b și g sunt unghiurile dintre A și cele trei axe de coordonate. Acum introducem trei vectori de lungime unitară i, j și k (vectori unitari), având aceeași direcție cu axele corespunzătoare x, y și z. Atunci, dacă Ax este înmulțit cu i, atunci produsul rezultat este un vector egal cu și

Doi vectori sunt egali dacă și numai dacă componentele lor scalare corespunzătoare sunt egale. Astfel, A = B dacă și numai dacă Ax = Bx, Ay = By, Az = Bz. Doi vectori pot fi adăugați prin adăugarea componentelor lor:

În plus, după teorema lui Pitagora:

Funcții liniare. Expresia aA + bB, unde a și b sunt scalari, se numește funcție liniară a vectorilor A și B. Este un vector în același plan cu A și B; dacă A și B nu sunt paralele, atunci când a și b se schimbă, vectorul aA + bB se va deplasa pe întregul plan (Fig. 6). Dacă A, B și C nu se află toate în același plan, atunci vectorul aA + bB + cC (a, b și c se schimbă) se mișcă în spațiu. Să presupunem că A, B și C sunt vectori unitari i, j și k. Vectorul ai se află pe axa x; vectorul ai + bj se poate deplasa de-a lungul întregului plan xy; vectorul ai + bj + ck se poate mișca în spațiu.

S-ar putea alege patru vectori reciproc perpendiculari i, j, k și l și defini vectorul cu patru dimensiuni ca mărime A = Axi + Ayj + Azk + Awl
cu lungimea

dar se poate continua până la cinci, șase sau orice număr de dimensiuni. Deși este imposibil de vizualizat un astfel de vector, aici nu apar dificultăți matematice. O astfel de înregistrare este adesea utilă; de exemplu, starea unei particule în mișcare este descrisă de un vector cu șase dimensiuni P (x, y, z, px, py, pz), ale cărui componente sunt poziția sa în spațiu (x, y, z) și impulsul (px, py, pz). Acest spațiu se numește „spațiu de fază”; dacă luăm în considerare două particule, atunci spațiul fazelor este de 12 dimensiuni, dacă trei, atunci 18 și așa mai departe. Numărul de dimensiuni poate fi mărit la nesfârșit; totuși, cantitățile cu care ne vom ocupa se comportă aproape în același mod ca cele pe care le vom lua în considerare în restul acestui articol, și anume vectorii tridimensionali.
Înmulțirea a doi vectori. Regula de adunare vectorială a fost obținută prin studierea comportamentului cantităților reprezentate de vectori. Nu sunt motive aparente, prin care doi vectori nu au putut fi înmulțiți în niciun fel, dar această înmulțire va avea sens numai dacă este posibil să-și arate consistența matematică; în plus, este de dorit ca lucrarea să aibă un anumit sens fizic... Există două moduri de a multiplica vectorii care îndeplinesc aceste condiții. Rezultatul unuia dintre ei este un scalar, un astfel de produs se numește „produs punctual” sau „produs interior” a doi vectori și se scrie ABB sau (A, B). O altă înmulțire are ca rezultat un vector numit „produs vectorial” sau „produs exterior” și se scrie A * B sau []. Produsele punctuale au semnificație fizică pentru una, două sau trei dimensiuni, în timp ce produsele vectoriale sunt definite doar pentru trei dimensiuni.
Produse scalare. Dacă sub acţiunea unei forţe F, punctul în care se aplică se deplasează pe o distanţă r, atunci munca efectuată este egală cu produsul lui r şi componenta F pe direcţia r. Această componentă este egală cu F cos bF, rc, unde bF, rc este unghiul dintre F și r, adică. Munca efectuata = Fr cos bF, rc. Acesta este un exemplu de justificare fizică a produsului scalar definit pentru oricare doi vectori A, B prin intermediul formulei
A * B = AB cos bA, Bc.
Deoarece toate mărimile din partea dreaptă a ecuației sunt scalare, atunci A * B = B * A; prin urmare, înmulțirea scalară este comutativă. Înmulțirea scalară are și proprietatea de distributivitate: A * (B + C) = A * B + A * C. Dacă vectorii A și B sunt perpendiculari, atunci cos bA, Bc este egal cu zero și, prin urmare, A * B = 0, chiar dacă nici A și nici B nu sunt egali cu zero. De aceea nu putem împărți prin vector. Să presupunem că am împărțit ambele părți ale ecuației A * B = A * C la A. Acest lucru ar da B = C, iar dacă s-ar putea face împărțirea, atunci această egalitate ar fi singura rezultat posibil... Totuși, dacă rescriem ecuația A * B = A * C ca A * (B - C) = 0 și ne amintim că (B - C) este un vector, atunci este clar că (B - C) nu este neapărat zero și, prin urmare, B nu trebuie să fie egal cu C. Aceste rezultate contradictorii arată că diviziunea vectorială este imposibilă. Produs scalar oferă o altă modalitate de a scrie valoarea numerică (modulul) unui vector: A * A = AA * cos 0 ° = A2;
prin urmare

Produsul punctual poate fi scris în alt mod. Pentru a face acest lucru, amintiți-vă că: A = Ax i + Ayj + Azk. observa asta

Atunci,

Deoarece ultima ecuație conține x, y și z ca indice, ecuația aparent depinde de sistemul de coordonate ales. Cu toate acestea, nu este cazul, așa cum se poate vedea din definiție, care este independentă de axele de coordonate selectate.
Opere de artă vectorială. Un vector sau produs extern al vectorilor este un vector al cărui modul este egal cu produsul modulelor lor cu sinusul unui unghi perpendicular pe vectorii inițiali și formând împreună cu ei triplul drept. Acest produs este cel mai ușor de introdus luând în considerare relația dintre viteză și viteza unghiulară. Primul este un vector; vom arăta acum că acesta din urmă poate fi interpretat și ca vector. Viteza unghiulară a unui corp în rotație se determină după cum urmează: selectați orice punct de pe corp și trageți o perpendiculară din acest punct pe axa de rotație. Atunci viteza unghiulară a corpului este numărul de radiani cu care această linie s-a rotit pe unitatea de timp. Dacă viteza unghiulară este un vector, aceasta trebuie să aibă o valoare numerică și o direcție. Valoarea numerică este exprimată în radiani pe secundă, direcția poate fi aleasă de-a lungul axei de rotație, o puteți determina direcționând vectorul în direcția în care s-ar mișca șurubul dreptaci la rotirea cu corpul. Luați în considerare rotația unui corp în jurul unei axe fixe. Dacă instalăm această axă în interiorul unui inel, care la rândul său este fixat pe o axă introdusă în interiorul altui inel, putem roti corpul în interiorul primului inel cu o viteză unghiulară w1 și apoi facem inelul interior (și corpul) să se rotească la un viteza unghiulara w2. Figura 7 ilustrează punctul; săgețile circulare arată direcțiile de rotație. Acest corp este o sferă solidă cu centrul O și raza r.

Orez. 7. O SFERĂ CENTRATĂ O, se rotește cu o viteză unghiulară w1 în interiorul unui inel BC, care, la rândul său, se rotește în interiorul unui inel DE cu o viteză unghiulară w2. Sfera se rotește cu o viteză unghiulară, egal cu suma vitezele unghiulare și toate punctele de pe linia POP „se află într-o stare de repaus instantaneu.

Să dăm acestui corp mișcarea, care este suma a două viteze unghiulare diferite. Această mișcare este destul de dificil de vizualizat, dar este destul de evident că corpul nu se mai rotește în jurul unei axe fixe. Cu toate acestea, puteți spune în continuare că se rotește. Pentru a arăta acest lucru, să alegem un punct P de pe suprafața corpului, care în momentul de față este situat pe un cerc mare care leagă punctele în care două axe intersectează suprafața sferei. Aruncați perpendicularele din P pe axă. Aceste perpendiculare devin razele PJ și PK ale cercurilor PQRS și, respectiv, PTUW. Să desenăm o linie dreaptă POPў care trece prin centrul sferei. Acum punctul P, în momentul de timp considerat, se mișcă simultan de-a lungul cercurilor care se ating de punctul P. Într-un interval de timp mic Dt, P se deplasează pe o distanță

Această distanță este zero dacă

În acest caz, punctul P se află într-o stare de repaus instantaneu și, în același mod, toate punctele de pe linia POP. „Restul sferei va fi în mișcare (cercurile de-a lungul cărora se mișcă alte puncte, nu se ating, ci intersectează). POPў este astfel instantaneu axa de rotație a sferei, la fel cum o roată care rulează de-a lungul drumului în fiecare moment în timp se rotește în jurul punctului său cel mai de jos. Care este viteza unghiulară a sferei? Pentru simplitate, alegem punctul A la care axa w1 intersectează suprafața.În momentul în care luăm în considerare , se mișcă în timp Dt la o distanță

În jurul unui cerc cu raza r sin w1. Prin definiție, viteza unghiulară

Din această formulă și relație (1), obținem

Cu alte cuvinte, dacă notați o valoare numerică și alegeți direcția vitezei unghiulare așa cum este descris mai sus, atunci aceste mărimi sunt adăugate ca vectori și pot fi considerate ca atare. Acum puteți introduce produsul încrucișat; considerăm un corp care se rotește cu o viteză unghiulară w. Să alegem orice punct P de pe corp și orice origine a coordonatelor O, care se află pe axa de rotație. Fie r un vector îndreptat de la O la P. Punctul P se mișcă într-un cerc cu viteza V = w r sin (w, r). Vectorul viteză V este tangent la cerc și indică în direcția prezentată în fig. opt.

Această ecuație dă dependența vitezei V a unui punct de combinația a doi vectori w și r. Folosim acest raport pentru a determina noul fel produs și scrieți: V = w * r. Deoarece rezultatul unei astfel de înmulțiri este un vector, acest produs se numește produs vectorial. Pentru oricare doi vectori A și B, dacă A * B = C, atunci C = AB sin bA, Bc și direcția vectorului C este astfel încât să fie perpendicular pe planul care trece prin A și B și să fie punctat în direcția coincide cu direcția de mișcare a șurubului dextrogiro dacă este paralel cu C și se rotește de la A la B. Cu alte cuvinte, putem spune că A, B și C, în această ordine, formează setul din dreapta de axe de coordonate . Produsul vectorial este anticomutativ; vectorul B * A are același modul ca A * B, dar îndreptat în sens invers: A * B = -B * A. Acest produs este distributiv, dar nu asociativ; se poate dovedi asta

Să vedem cum este scris produsul încrucișat în termeni de componente și vectori unitari. În primul rând, pentru orice vector A, A * A = AA sin 0 = 0.
Prin urmare, în cazul vectorilor unitari, i * i = j * j = k * k = 0 și i * j = k, j * k = i, k * i = j. Atunci,

Această egalitate poate fi scrisă și ca determinant:

Dacă A * B = 0, atunci fie A sau B este 0, fie A și B sunt coliniari. Astfel, ca și în cazul produsului scalar, împărțirea cu un vector nu este posibilă. Valoarea A * B este egală cu aria unui paralelogram cu laturile A și B. Este ușor de văzut, deoarece B sin bA, Bc este înălțimea sa și A este baza. Există multe alte mărimi fizice care sunt produse vectoriale. Unul dintre cele mai importante produse vectoriale apare în teoria electromagnetismului și se numește vectorul Poyting P. Acest vector este dat astfel: P = E * H, unde E și H sunt vectorii câmpului electric și respectiv magnetic. Vectorul P poate fi considerat ca un flux dat de energie în wați pe metru pătrat în orice punct. Iată mai multe exemple: momentul forței F (cuplul) relativ la originea coordonatelor care acționează asupra unui punct al cărui vector rază r este definit ca r * F; o particulă situată în punctul r, cu masa m și viteza V, are moment unghiular mr * V față de origine; forța care acționează asupra unei particule care poartă o sarcină electrică q printr-un câmp magnetic B cu viteza V este qV * B.
Lucrări triple. Din trei vectori, putem forma următoarele produse triple: vector (A * B) * C; vector (A * B) * C; scalar (A * B) * C. Primul tip este produsul vectorului C și scalarului A * B; despre astfel de lucrări am vorbit deja. Al doilea tip se numește produs dublu vector; vectorul A * B este perpendicular pe planul în care se află A și B și, prin urmare, (A * B) * C este un vector situat în planul A și B și perpendicular pe C. Prin urmare, în general, (A * B) * C nu este egal cu A * (B * C). Scriind A, B și C în termeni de coordonatele (componentele) lor de-a lungul axelor x, y și z și înmulțind, puteți arăta că A * (B * C) = B * (A * C) - C * (A * B). Al treilea tip de produs, care apare la calcularea unei rețele în fizica stării solide, este numeric egal cu volumul unui paralelipiped cu muchiile A, B, C. Deoarece (A * B) * C = A * (B * C) , semnele înmulțirilor scalare și vectoriale pot fi schimbate, iar piesa este adesea scrisă ca (ABC). Acest produs este egal cu determinantul

Rețineți că (A B C) = 0 dacă toți cei trei vectori se află în același plan sau dacă A = 0 sau (și) B = 0 sau (și) C = 0.
DIFERENȚIAREA VECTORULUI
Să presupunem că vectorul U este o funcție a unei variabile scalare t. De exemplu, U poate fi un vector cu rază desenat de la origine la un punct în mișcare, iar t poate fi timpul. Fie că t se modifică cu o cantitate mică Dt, ceea ce va duce la o modificare a lui U cu DU. Acest lucru este prezentat în Fig. 9. Raportul DU / Dt este un vector îndreptat în aceeași direcție cu DU. Putem defini derivata lui U în raport cu t as

cu condiția ca o astfel de limită să existe. Pe de altă parte, puteți reprezenta U ca sumă a componentelor de-a lungul a trei axe și puteți scrie

Dacă U este vectorul rază r, atunci dr / dt este viteza punctului, exprimată în funcție de timp. Diferențiând din nou în timp, obținem o accelerație. Să presupunem că un punct se mișcă de-a lungul curbei prezentate în fig. 10. Fie s distanța parcursă de un punct de-a lungul curbei. Pe parcursul unui interval de timp mic Dt, punctul va acoperi distanța Ds de-a lungul curbei; poziția vectorului rază se va schimba în Dr. Prin urmare, Dr / Ds este un vector direcționat ca Dr. Mai departe

Vector Dr - schimba vectorul rază.

este vectorul unitar tangent la curbă. Acest lucru poate fi văzut din faptul că, pe măsură ce punctul Q se apropie de punctul P, PQ se apropie de tangentă și Dr se apropie de Ds. Formulele de diferențiere a unui produs sunt similare cu formulele de diferențiere a unui produs de funcții scalare; totuși, deoarece produsul încrucișat este anticomutativ, ordinea înmulțirii trebuie păstrată. Asa de,

Astfel, vedem că dacă vectorul este o funcție a unei variabile scalare, atunci putem reprezenta derivata în același mod ca și în cazul unei funcții scalare.
Câmpuri vectoriale și scalare. Gradient.În fizică, de multe ori trebuie să ai de-a face cu mărimi vectoriale sau scalare care se schimbă de la un punct la altul o zonă dată... Astfel de zone sunt numite „câmpuri”. De exemplu, un scalar poate fi temperatura sau presiunea; vectorul poate fi viteza unui fluid în mișcare sau câmpul electrostatic al unui sistem de sarcini. Dacă am ales un sistem de coordonate, atunci orice punct P (x, y, z) din zona dată corespunde unui vector cu rază r (= xi + yj + zk) și, de asemenea, valorii mărimii vectoriale U (r) sau scalar f (r) asociat acestuia. Să presupunem că U și f sunt definite în mod unic în domeniu; acestea. fiecărui punct îi corespunde una și o singură cantitate U sau f, deși puncte diferite pot avea, desigur sensuri diferite... Să presupunem că vrem să descriem viteza cu care U și f se schimbă pe măsură ce ne deplasăm în această zonă. Derivatele parțiale simple precum dU / dx și df / dy nu ni se potrivesc, deoarece depind de axele de coordonate specifice alese. Cu toate acestea, este posibil să se introducă un operator diferenţial vectorial, independent de alegerea axelor de coordonate; acest operator se numește „gradient”. Să presupunem că avem de-a face cu un câmp scalar f. În primul rând, luați în considerare ca exemplu hartă de contur regiuni ale tarii. În acest caz f este înălțimea deasupra nivelului mării; liniile de contur conectează puncte cu aceeași valoare f. Când se deplasează pe oricare dintre aceste linii, f nu se schimbă; dacă ne deplasăm perpendicular pe aceste drepte, atunci viteza de modificare a lui f va fi maximă. Putem asocia fiecare punct cu un vector care indică mărimea și direcția variației maxime a vitezei f; o astfel de hartă și unii dintre acești vectori sunt prezentate în Fig. 11. Dacă facem acest lucru pentru fiecare punct al câmpului, atunci obținem un câmp vectorial asociat câmpului scalar f. Acesta este câmpul unui vector numit „gradient” f, care este scris ca grad f sau Cf (simbolul C este numit și „nabla”).

În cazul celor trei dimensiuni, liniile de contur devin suprafețe. O mică deplasare Dr (= iDx + jDy + kDz) duce la o modificare a f, care se scrie ca

unde punctele indică termeni de ordine superioară. Această expresie poate fi scrisă ca un produs punctual

Împărțim părțile din dreapta și din stânga acestei egalități cu Ds și lăsăm Ds să tindă spre zero; atunci

unde dr / ds este vectorul unitar în direcția aleasă. Expresia din paranteze este un vector în funcție de punctul selectat. Astfel, df/ds are o valoare maximă, când dr/ds indică în aceeași direcție, expresia dintre paranteze este gradientul. În acest fel,

este un vector egal ca mărime și care coincide în direcția cu viteza maxima modificări în f în raport cu coordonatele. Gradientul f este adesea scris ca

Aceasta înseamnă că operatorul C există singur. În multe cazuri se comportă ca un vector și este de fapt un „operator diferențial vectorial” – unul dintre cei mai importanți operatori diferențiali din fizică. În ciuda faptului că С conține vectori unitari i, j și k, semnificația sa fizică nu depinde de sistemul de coordonate ales. Care este relația dintre Cf și f? În primul rând, să presupunem că f determină potențialul în orice punct. Pentru orice deplasare mică Dr, valoarea lui f se va schimba cu

Dacă q este o cantitate (de exemplu, masă, sarcină) mutată la Dr, atunci munca efectuată prin mutarea q la Dr este egală cu

Deoarece Dr - deplasare, apoi qСf - forță; -Cf - tensiune (forța pe unitate de cantitate) asociată cu f. De exemplu, fie U potențialul electrostatic; atunci E este intensitatea câmpului electric, dată de formula E = -CU. Să presupunem că U este creat de o sarcină electrică punctiformă în q coulombi, plasată la origine. Valoarea U în punctul P (x, y, z) cu vectorul rază r este dată de formula

Unde e0 este constanta dielectrică a spațiului liber. De aceea

de unde rezultă că E acţionează în direcţia r şi valoarea lui este q / (4pe0r3). Cunoscând câmpul scalar, puteți determina câmpul vectorial asociat. Este posibil și opusul. Din punct de vedere al prelucrării matematice, câmpurile scalare sunt mai ușor de operat decât cele vectoriale, deoarece sunt specificate de o funcție de coordonate, în timp ce un câmp vectorial necesită trei funcții, corespunzătoare componentelor unui vector în trei direcții. Astfel, se pune întrebarea: având în vedere un câmp vectorial, putem scrie câmpul scalar asociat?
Divergenta si rotorul. Am văzut rezultatul lui C care acționează asupra unei funcții scalare. Ce se întâmplă dacă C este aplicat unui vector? Există două posibilități: fie U (x, y, z) un vector; atunci putem forma produsele vectoriale și scalare după cum urmează:

Prima dintre aceste expresii este un scalar numit divergenta U (notata cu divU); al doilea este un vector numit rotorul U (notat cu rotU). Aceste funcții diferențiale, divergența și rotorul, sunt utilizate pe scară largă în fizica matematică. Imaginați-vă că U este un vector și că acesta și primele sale derivate sunt continue într-o regiune. Fie P un punct din această regiune înconjurat de o mică suprafață închisă S care delimitează volumul DV. Fie n un vector unitar perpendicular pe această suprafață în fiecare punct (n își schimbă direcția atunci când se deplasează în jurul suprafeței, dar are întotdeauna o unitate de lungime); lasă n arăta spre exterior. Să arătăm asta

Aici S indică faptul că aceste integrale sunt preluate pe întreaga suprafață, da este un element al suprafeței S. Pentru simplitate, vom alege o formă convenabilă S sub forma unui mic paralelipiped (așa cum se arată în Fig. 12) cu laturile Dx , Dy și Dz; punctul P este centrul paralelipipedului. Să calculăm mai întâi integrala din ecuația (4) de-a lungul unei fețe a paralelipipedului. Pentru fața frontală n = i (vectorul unitar este paralel cu axa x); Da = DyDz. Contribuţia la integrală din faţa frontală este

Pe partea opusă n = -i; această faţă contribuie la integrală

Folosind teorema lui Taylor, obținem contribuția totală a două fețe

Rețineți că DxDyDz = DV. În mod similar, puteți calcula contribuția celorlalte două perechi de fețe. Integrala completă este

iar dacă punem DV (r) 0, atunci termenii de ordin superior dispar. Conform formulei (2), expresia dintre paranteze este divU, ceea ce demonstrează egalitatea (4). Egalitatea (5) poate fi demonstrată în același mod. Să folosim din nou Fig. 12; atunci contribuţia de la faţa frontală la integrală va fi egală cu

Și, folosind teorema lui Taylor, aflăm că contribuția totală la integrală de la două fețe are forma

acestea. aceștia sunt doi termeni din expresia pentru rotU din ecuația (3). Ceilalți patru termeni se vor obține după luarea în considerare a contribuțiilor celorlalte patru fețe. Ce înseamnă, în esență, aceste rapoarte? Luați în considerare egalitatea (4). Să presupunem că U este viteza (a unui lichid, de exemplu). Atunci nЧU da = Un da, unde Un este componenta normala vectorul U la suprafață. Prin urmare, Un da ​​este volumul de lichid care curge prin da pe unitatea de timp și este volumul de lichid care curge prin S pe unitatea de timp. Prin urmare,

Viteza de expansiune a unei unități de volum în jurul punctului P. Prin urmare, divergența și-a primit numele; arată viteza cu care fluidul se extinde de la (adică diverge de la) P. Pentru a explica semnificația fizică a rotorului U, considerăm o altă integrală de suprafață pe un volum mic cilindric de înălțime h care înconjoară punctul P; suprafețele plan-paralele pot fi orientate în orice direcție pe care o alegem. Fie k vectorul unitar perpendicular pe fiecare suprafață și fie aria fiecărei suprafețe DA; apoi volumul total DV = hDA (Fig. 13). Luați în considerare acum integrala

Integrandul este produsul scalar triplu menționat anterior. Acest produs va fi zero pe suprafețele plane unde k și n sunt paralele. Pe o suprafață curbată

Unde ds este un element de curbă așa cum se arată în fig. 13. Comparând aceste egalități cu relația (5), obținem că

Presupunem în continuare că U este viteza. Care, în acest caz, va fi egală cu viteza unghiulară medie a fluidului în jurul lui k? Este evident că

dacă DA nu este 0. Această expresie este maximă când k și rotU sunt îndreptate în aceeași direcție; aceasta înseamnă că rotU este un vector egal cu dublul vitezei unghiulare a fluidului în punctul P. Dacă fluidul se rotește în raport cu P, atunci rotU № 0, iar vectorii U se vor roti în jurul lui P. De aici și numele rotorului. Teorema divergenței (teorema Ostrogradskii - Gauss) este o generalizare a formulei (4) pentru volume finite. Ea susține că pentru un volum V delimitat de o suprafață închisă S,

Introducere

Putem spune cu încredere că puțini oameni se gândesc la faptul că vectorii ne înconjoară peste tot și ne ajută în Viata de zi cu zi... Luați în considerare o situație: un tip a avut o întâlnire cu o fată la două sute de metri de casa lui. Se vor găsi unul pe altul? Bineînțeles că nu, deoarece tânărul a uitat să indice principalul lucru: direcția, adică din punct de vedere științific, vectorul. În plus, în procesul de lucru la acest proiect, voi da mai multe exemple de vectori la fel de interesante.

În general, cred că matematica este o știință interesantă, în cunoașterea căreia nu există limite. Nu întâmplător am ales tema vectorilor, m-a interesat foarte mult faptul că conceptul de „vector” depășește cu mult sfera unei științe, și anume matematica, și ne înconjoară aproape peste tot. Astfel, toată lumea ar trebui să știe ce este un vector, așa că cred că acest subiect este foarte relevant. În psihologie, biologie, economie și multe alte științe, este folosit conceptul de „vector”. Voi vorbi despre asta mai detaliat mai târziu.

Obiective a acestui proiect sunt dobândirea de abilități în lucrul cu vectori, capacitatea de a vedea neobișnuit în obișnuit, dezvoltarea unei atitudini atente față de lumea din jur.

Istoria conceptului de vector

Vectorul este unul dintre conceptele fundamentale ale matematicii moderne. Evoluția conceptului de vector a fost realizată datorită utilizării pe scară largă a acestui concept în diverse domenii ale matematicii, mecanicii, precum și în tehnologie.

Vector relativ nou concept matematic... Termenul „vector” în sine a apărut pentru prima dată în 1845 de către matematicianul și astronomul irlandez William Hamilton (1805 - 1865) în lucrarea sa privind construcția sistemelor numerice care generalizează numerele complexe. Hamilton mai deține termenul „scalar”, „produs scalar”, „produs vectorial”. Aproape concomitent cu el, cercetările în aceeași direcție, dar din alt punct de vedere, au fost conduse de matematicianul german Hermann Grassmann (1809 - 1877). Englezul William Clifford (1845 - 1879) a reușit să combine două abordări în cadru teorie generală, care include calculul vectorial obișnuit. Și forma finală pe care a luat-o în lucrările fizicianului și matematicianului american Josiah Willard Gibbs (1839 - 1903), care în 1901 a publicat un manual amplu despre analiza vectorială.

Sfârșitul trecutului și începutul secolului actual au fost marcate de dezvoltarea extinsă a calculului vectorial și a aplicațiilor sale. Au fost create algebra vectorială și analiza vectorială, teoria generală a spațiului vectorial. Aceste teorii au fost folosite în construcția relativității speciale și generale, care joacă exclusiv rol importantîn fizica modernă.

Conceptul de vector apare atunci când trebuie să ai de-a face cu obiecte care sunt caracterizate prin mărime și direcție. De exemplu, unele mărimi fizice, cum ar fi forța, viteza, accelerația etc., sunt caracterizate nu numai de o valoare numerică, ci și de o direcție. În acest sens, este convenabil să se reprezinte mărimile fizice indicate ca segmente direcționate. Conform cerințelor program nouîn matematică și fizică, conceptul de vector a devenit unul dintre conceptele principale curs şcolar matematică.

Vectori în matematică

Un vector este un segment de linie direcționat care are un început și un sfârșit.

Un vector cu un început în punctul A și un sfârșit în punctul B este de obicei notat AB. Vectorii pot fi indicați și prin litere mici latine cu o săgeată (uneori o liniuță) deasupra lor, de exemplu.

Un vector în geometrie este asociat în mod natural cu transferul (transferul paralel), ceea ce clarifică în mod evident originea numelui său (vector latin, rulment). Într-adevăr, fiecare segment direcționat definește în mod unic un fel de translație paralelă a unui plan sau spațiu: să zicem, vectorul AB determină în mod natural translația în care punctul A merge la punctul B și invers, translația paralelă, în care A merge la B, determină în sine singurul segment direcţional AB.

Lungimea vectorului AB este lungimea segmentului AB, de obicei se notează AB. Rolul zero între vectori este jucat de vectorul zero, al cărui început și sfârșit coincid; lui, spre deosebire de alți vectori, nu i se atribuie nicio direcție.

Doi vectori sunt numiți coliniari dacă se află pe drepte paralele sau pe o singură dreaptă. Doi vectori sunt numiți co-direcționali dacă sunt coliniari și direcționați în aceeași direcție, dirijați opus dacă sunt coliniari și direcționați în direcții diferite.

Operații pe vectori

Modulul vectorial

Modulul vectorului AB este numărul egal cu lungimea segmentul AB. Este desemnat ca AB. Prin coordonate se calculează astfel:

Adăugarea vectorului

În reprezentarea în coordonate, vectorul sumă se obține prin însumarea coordonatelor corespunzătoare ale termenilor:

) (\ displaystyle (\ vec (a)) + (\ vec (b)) = (a_ (x) + b_ (x), a_ (y) + b_ (y), a_ (z) + b_ (z) ))

Sunt folosite reguli (metode) diferite pentru a construi geometric vectorul sumă (\ displaystyle (\ vec (c)) = (\ vec (a)) + (\ vec (b))) c =, dar toate dau același rezultat . Folosirea acestei sau acelei reguli este justificată de problema rezolvată.

Regula triunghiului

Regula triunghiului rezultă cel mai firesc din înțelegerea vectorului ca o translație. Este clar că rezultatul aplicării succesive a două cratime (\ displaystyle (\ vec (a))) și (\ displaystyle (\ vec (b))) la un moment dat va fi același cu aplicarea unei cratime (\ displaystyle ( \ vec (a )) + (\ vec (b))) care se potrivește cu această regulă. Pentru a adăuga doi vectori (\ displaystyle (\ vec (a))) și (\ displaystyle (\ vec (b))) conform regulii triunghiului, ambii acești vectori sunt translați paralel cu ei înșiși, astfel încât începutul unuia dintre ei coincide cu sfârșitul celuilalt. Apoi vectorul sumei este specificat de a treia latură a triunghiului rezultat, iar începutul său coincide cu începutul primului vector, iar sfârșitul cu sfârșitul celui de-al doilea vector.

Această regulă poate fi generalizată direct și natural pentru adăugarea oricărui număr de vectori, trecând în regula liniei întrerupte:

Regula poligonului

Începutul celui de-al doilea vector coincide cu sfârșitul primului, începutul celui de-al treilea coincide cu sfârșitul celui de-al doilea și așa mai departe, suma vectorilor (\ displaystyle n) este un vector, începutul coincide cu începutul primului și sfârșitul care coincide cu sfârșitul (\ displaystyle n) - th (adică este reprezentat ca un segment de linie direcționată care închide o polilinie). Denumită și regula poliliniei.

Regula paralelogramului

Pentru a adăuga doi vectori (\ displaystyle (\ vec (a))) și (\ displaystyle (\ vec (b))) conform regulii paralelogramului, ambii vectori sunt translați paralel cu ei înșiși, astfel încât originile lor să coincidă. Atunci vectorul sumei este dat de diagonala paralelogramului construit pe ele, plecând de la originea lor comună.

Regula paralelogramului este deosebit de convenabilă atunci când este nevoie de a descrie vectorul sumei aplicat imediat în același punct în care sunt aplicați ambii termeni - adică de a descrie toți cei trei vectori având o origine comună.

Scăderea vectorilor

Pentru a obține diferența în formă de coordonate, scădeți coordonatele corespunzătoare ale vectorilor:

‚(\ Displaystyle (\ vec (a)) - (\ vec (b)) = (a_ (x) -b_ (x), a_ (y) -b_ (y), a_ (z) -b_ (z) ))

Pentru a obține vectorul de diferență (\ displaystyle (\ vec (c)) = (\ vec (a)) - (\ vec (b))), capetele vectorului sunt unite și vectorul (\ displaystyle (\ vec (c)) )) începe la sfârșit (\ displaystyle (\ vec (b))) și sfârșitul este (\ displaystyle (\ vec (a))). Scris folosind puncte vectoriale, AC-AB = BC (\ displaystyle (\ overrightarrow (AC)) - (\ overrightarrow (AB)) = (\ overrightarrow (BC))).

Înmulțirea unui vector cu un număr

Înmulțirea unui vector (\ displaystyle (\ vec (a))) cu un număr (\ displaystyle \ alpha 0) dă un vector co-direcțional (\ displaystyle \ alpha) de ori mai lung. Înmulțirea unui vector (\ displaystyle (\ vec (a))) cu un număr (\ displaystyle \ alpha, dă un vector direcționat opus, care este (\ displaystyle \ alpha) de ori mai lung. Un vector înmulțește un număr sub formă de coordonate prin înmulțirea tuturor coordonate după acest număr:

(\ displaystyle \ alpha (\ vec (a)) = (\ alpha a_ (x), \ alpha a_ (y), \ alpha a_ (z)))

Produsul punctual al vectorilorScalar

Produsul scalar este numărul care se obține prin înmulțirea unui vector cu un vector. Se gaseste prin formula:

Produsul punctual poate fi găsit și prin lungimea vectorilor și unghiul dintre ei. Aplicarea vectorilor în științe conexe Vectori în fizică Vectori - Unealtă puternică matematica si fizica. Legile de bază ale mecanicii și electrodinamicii sunt formulate în limbajul vectorilor. Pentru a înțelege fizica, trebuie să înveți cum să lucrezi cu vectori. În fizică, ca și în matematică, un vector este o mărime care se caracterizează prin valoarea și direcția sa numerică. În fizică, există multe cantități importante care sunt vectori, de exemplu, forța, poziția, viteza, accelerația, cuplul, impulsul, puterea câmpurilor electrice și magnetice. Vectori în literatură Să ne amintim fabula lui Ivan Andreevich Krylov despre cum „o lebădă, un rac și o știucă au început să ducă o căruță cu bagajele lor”. fabula afirmă că „lucrurile sunt încă acolo”, cu alte cuvinte, că rezultanta tuturor forțelor aplicate vagonului de forțe este egală cu zero. Și forța, după cum știți, este o mărime vectorială. Vectori în chimie

Adesea, chiar și marii oameni de știință au exprimat ideea că reactie chimica este un vector. De fapt, orice fenomen poate fi rezumat sub conceptul de „vector”. Un vector este o expresie a unei acțiuni sau fenomen care are o direcționalitate clară în spațiu și în condiții specifice, reflectată de mărimea sa. Direcția vectorului în spațiu este determinată de unghiurile formate între vector și axele de coordonate, iar lungimea (magnitudinea) vectorului este determinată de coordonatele începutului și sfârșitului său.

Cu toate acestea, afirmația că o reacție chimică este un vector a fost până acum imprecisă. Cu toate acestea, această afirmație se bazează pe următoarea regulă: „Orice reacție chimică i se răspunde printr-o ecuație simetrică a unei drepte în spațiu cu coordonatele curente sub formă de cantități de substanțe (moli), mase sau volume”.

Toate reacțiile chimice directe trec prin origine. Nu este dificil să exprimăm vreo linie dreaptă în spațiu prin vectori, dar întrucât linia dreaptă a unei reacții chimice trece prin originea sistemului de coordonate, se poate presupune că vectorul unei reacții chimice directe este situat pe linia dreaptă. în sine și se numește vector cu rază. Originea acestui vector coincide cu originea sistemului de coordonate. Astfel, putem concluziona: orice reacție chimică este caracterizată de poziția vectorului său în spațiu. Vectori în biologie

Vector (în genetică) - o moleculă acid nucleic este cel mai adesea ADN folosit în inginerie genetică pentru a transfera material genetic într-o altă celulă.

Vectori în economie

Algebra liniară este una dintre ramurile matematicii superioare. Elementele sale sunt utilizate pe scară largă în rezolvarea diverselor probleme de natură economică. Printre acestea, conceptul de vector ocupă un loc important.

Un vector este o succesiune ordonată de numere. Numerele din vector, ținând cont de poziția lor după număr în succesiune, se numesc componente ale vectorului. Rețineți că vectorii pot fi considerați elemente de orice natură, inclusiv cele economice. Să presupunem că o anumită fabrică de textile trebuie să producă într-un schimb 30 de seturi de lenjerie de pat, 150 de prosoape, 100 de halate, atunci programul de producție al acestei fabrici poate fi reprezentat ca un vector, unde tot ceea ce trebuie să producă fabrica este un trei. -vector dimensional.

Vectori în psihologie

Astăzi există o cantitate mare surse de informare pentru autocunoaștere, direcții de psihologie și auto-dezvoltare. Și nu este greu de observat că o direcție atât de neobișnuită precum psihologia sistem-vector câștigă din ce în ce mai multă popularitate, există 8 vectori în ea.

Vectori în viața de zi cu zi

Am observat că vectori, pe lângă științele exacte, mă întâlnesc în fiecare zi. Deci, de exemplu, în timp ce mă plimbam în parc, am observat că molidul, se pare, poate fi considerat ca un exemplu de vector în spațiu: partea sa inferioară este începutul vectorului, iar vârful copacului este capătul vectorului. Și semnele cu o imagine vectorială atunci când vizităm magazine mari ne ajută să găsim rapid un anumit departament și să economisim timp.

Vectori în semne trafic rutier

În fiecare zi, plecând din casă, devenim utilizatori ai drumului ca pieton sau ca șofer. În zilele noastre, aproape fiecare familie are o mașină, ceea ce, desigur, nu poate decât să afecteze siguranța tuturor participanților la drum. Și, pentru a evita incidentele pe drum, ar trebui să respectați toate regulile de circulație. Dar nu uitați că în viață totul este interconectat și, chiar și în cele mai simple indicatoare rutiere prescriptive, vedem săgeți direcționale de mișcare, în matematică numite vectori. Aceste săgeți (vectori) ne arată direcțiile de mișcare, direcțiile de mișcare, părțile laterale ale ocolului și multe altele. Toate aceste informații pot fi citite pe indicatoarele rutiere de pe marginea drumului.

Concluzie

Conceptul de bază de „vector”, pe care l-am luat în considerare la lecțiile de matematică de la școală, stă la baza studiului în secțiunile de chimie generală, biologie generală, fizica si alte stiinte. Văd nevoia de vectori în viață, care ajută la găsirea obiectului potrivit, economisește timp, îndeplinesc o funcție prescriptivă în semnele de circulație.

concluzii

Fiecare persoană se confruntă în mod constant cu vectori în viața de zi cu zi.

Avem nevoie de vectori pentru a studia nu numai matematica, ci și alte științe.

Toată lumea ar trebui să știe ce este un vector.

Surse de

Bashmakov M.A. Ce este un vector? Ed. a II-a, Sr. - M .: Kvant, 1976.-221s.

Vygodsky M. Ya. Manual de matematică elementară.-ed. a III-a, Şters. - M .: Nauka, 1978.-186s.

Gusyatnikov P.B. Algebră vectorială în exemple și probleme, ed. a II-a, P. - M .: facultate, 1985.-302s.

V.V. Zaitsev Matematică elementară. Repetă curs.-ed. a III-a, Sr. - M .: Nauka, 1976.-156s.

Coxeter G.S. Noi întâlniri cu geometria.-ed. a II-a, Erased. - M .: Nauka, 1978.-324p.

A. V. Pogorelov Geometrie analitică.- Ed. a III-a, Şters. - M .: Kvant, 1968.-235s.