Transformarea expresiilor iraționale numerice Voi rezolva examenul. Conversia expresiilor raționale și iraționale

Acasă

Proprietățile rădăcinilor stau la baza următoarelor două transformări, numite aducerea lor sub semnul rădăcinii și scoaterea lor de sub semnul rădăcinii, pe care le considerăm acum.

Introducerea unui multiplicator sub semnul rădăcinii Introducerea unui multiplicator sub semn implică înlocuirea expresiei , unde B și C sunt niște numere sau expresii, iar n este, număr natural mai mare decât unul , identic expresie egală

, având forma sau .

De exemplu, o expresie irațională după introducerea unui factor de 2 sub semnul rădăcinii ia forma . Fundamente teoretice această transformare, regulile de implementare a acesteia, precum și soluții la diverse exemple tipice

dat în articol introducând un multiplicator sub semnul rădăcinii.

Eliminarea multiplicatorului de sub semnul rădăcină

O transformare, într-un anumit sens opusul introducerii unui factor sub semnul rădăcinii, este eliminarea factorului de sub semnul rădăcinii. Constă în reprezentarea rădăcinii ca produs pentru n impar sau ca produs pentru n par, unde B și C sunt niște numere sau expresii.

De exemplu, să revenim la paragraful anterior: expresia irațională, după eliminarea factorului de sub semnul rădăcinii, ia forma . Un alt exemplu: eliminarea factorului de sub semnul rădăcină din expresie dă produsul, care poate fi rescris ca . Pe ce se bazează această transformare și după ce reguli se realizează, vom analiza în articol separat

eliminând multiplicatorul de sub semnul rădăcină. Acolo vom oferi, de asemenea, soluții la exemple și vom enumera modalități de a reduce o expresie radicală la o formă convenabilă pentru înmulțire.

Conversia fracțiilor care conțin rădăcini Expresiile iraționale pot conține fracții cu rădăcini în numărător și numitor. Cu astfel de fracții puteți efectua oricare dintre elementele de bază.

transformări identitare ale fracțiilor

În primul rând, nimic nu vă împiedică să lucrați cu expresii la numărător și numitor. Ca exemplu, luați în considerare fracția. Expresia irațională din numărător este în mod evident identic cu , iar prin trecerea la proprietățile rădăcinilor, expresia din numitor poate fi înlocuită cu rădăcina . Ca rezultat, fracția originală este convertită în forma . .

În al treilea rând, uneori este posibil și recomandabil să reduceți o fracție. De exemplu, cum să-ți refuzi plăcerea de a reduce o fracție la expresia irațională, ca rezultat obținem .

Este clar că în multe cazuri, înainte de a reduce o fracție, trebuie factorizate expresiile din numărătorul și numitorul acesteia, ceea ce în cazuri simple se poate realiza prin formule de înmulțire prescurtate. Și uneori ajută la reducerea unei fracții prin înlocuirea unei variabile, ceea ce vă permite să treceți de la fracția originală cu iraționalitate la o fracție rațională, cu care este mai confortabil și mai familiar să lucrați.

De exemplu, să luăm expresia . Să introducem noi variabile și , în aceste variabile expresia originală are forma . După ce a efectuat la numărător

Transformările identice ale expresiilor sunt una dintre liniile semnificative curs şcolar matematică. Transformările identice sunt utilizate pe scară largă în rezolvarea ecuațiilor, inegalităților, sistemelor de ecuații și inegalităților. Pe lângă asta transformări identitare expresiile contribuie la dezvoltarea inteligenței, flexibilității și raționalității gândirii.

Materialele propuse sunt destinate elevilor de clasa a VIII-a și cuprind fundamentele teoretice ale transformărilor identice de rațional și expresii iraţionale, tipuri de sarcini pentru transformarea unor astfel de expresii și a textului testului.

1. Fundamentele teoretice ale transformărilor identitare

Expresiile din algebră sunt înregistrări formate din numere și litere legate prin semne de acțiune.

https://pandia.ru/text/80/197/images/image002_92.gif" width="77" height="21 src=">.gif" width="20" height="21 src="> – expresii algebrice.

În funcție de operații, se disting expresii raționale și iraționale.

Expresiile algebrice sunt numite raționale dacă sunt raportate la literele incluse în ele O, b, Cu, ... nu se efectuează alte operații decât adunarea, înmulțirea, scăderea, împărțirea și exponențiarea.

Expresiile algebrice care conțin operații de extragere a rădăcinii unei variabile sau de ridicare a unei variabile la o putere rațională care nu este un întreg sunt numite iraționale în raport cu această variabilă.

O transformare de identitate a unei expresii date este înlocuirea unei expresii cu alta care este identic egală cu aceasta într-o anumită mulțime.

Următoarele fapte teoretice stau la baza transformărilor identice ale expresiilor raționale și iraționale.

1. Proprietățile puterilor cu exponent întreg:

, n PE; O 1=O;

, n PE, O¹0; O 0=1, O¹0;

, O¹0;

, O¹0;

, O¹0;

, O¹0, b¹0;

, O¹0, b¹0.

2. Formule de înmulțire abreviate:

Unde O, b, Cu– orice numere reale;

Unde O¹0, X 1 și X 2 – rădăcinile ecuației .

3. Principala proprietate a fracțiilor și acțiunilor asupra fracțiilor:

, Unde b¹0, Cu¹0;

; ;

4. Definiția unei rădăcini aritmetice și proprietățile acesteia:

; , b#0; https://pandia.ru/text/80/197/images/image026_24.gif" width="84" height="32">; ; ,

Unde O, b- numere nenegative, n PE, n³2, m PE, m³2.

1. Tipuri de exerciții de conversie a expresiilor

Sunt diverse tipuri exerciţii privind transformările identice ale expresiilor. Primul tip: conversia care trebuie efectuată este specificată în mod explicit.

De exemplu.

1. Reprezentați-l ca polinom.

La efectuarea acestei transformări am folosit regulile de înmulțire și scădere a polinoamelor, formula de înmulțire abreviată și de reducere a termenilor similari.

2. Factorizați în: .

La efectuarea transformării, am folosit regula de a plasa factorul comun din paranteze și 2 formule de înmulțire prescurtate.

3. Reduceți fracția:

.

La efectuarea transformării, am folosit eliminarea factorului comun din paranteze, legile comutative și contractile, 2 formule de înmulțire abreviate și operații pe puteri.

4. Îndepărtați factorul de sub semnul rădăcină dacă O³0, b³0, Cu³0: https://pandia.ru/text/80/197/images/image036_17.gif" width="432" height="27">

Am folosit regulile pentru acțiunile asupra rădăcinilor și definirea modulului unui număr.

5. Eliminați iraționalitatea în numitorul unei fracții. .

Al doilea tip exercițiile sunt exerciții în care este indicată clar transformarea principală care trebuie efectuată. În astfel de exerciții, cerința este de obicei formulată în una dintre următoarele forme: simplificați expresia, calculați. La efectuarea unor astfel de exerciții este necesar în primul rând să identificăm care și în ce ordine transformări trebuie efectuate astfel încât expresia să ia o formă mai compactă decât cea dată, sau să se obțină un rezultat numeric.

De exemplu

6. Simplificați expresia:

Soluţie:

.

S-au folosit reguli pentru operarea fracțiilor algebrice și a formulelor de înmulțire abreviate.

7. Simplificați expresia:

.

Dacă O³0, b³0, O¹ b.

Am folosit formule de înmulțire prescurtate, reguli de adunare a fracțiilor și de înmulțire a expresiilor iraționale, identitatea https://pandia.ru/text/80/197/images/image049_15.gif" width="203" height="29">.

Am folosit operația de selectare a unui pătrat complet, identitatea https://pandia.ru/text/80/197/images/image053_11.gif" width="132 height=21" height="21">, dacă .

Dovada:

Deoarece , atunci și sau sau sau , adică .

Am folosit condiția și formula pentru suma cuburilor.

Trebuie avut în vedere că condițiile care leagă variabilele pot fi specificate și în exercițiile din primele două tipuri.

De exemplu.

10. Aflați dacă .

Expresiile care conțin un semn radical (rădăcină) sunt numite iraționale.

O rădăcină aritmetică a unei puteri naturale $n$ a unui număr nenegativ a este un număr nenegativ care, atunci când este ridicat la puterea $n$, produce numărul $a$.

$(√^n(a))^n=a$

În notația $√^n(a)$, „a” se numește număr radical, $n$ este exponentul rădăcinii sau radicalului.

Proprietățile $n$-a rădăcini pentru $a≥0$ și $b≥0$:

1. Rădăcina produsului este egală cu produsul rădăcinilor

$√^n(a∙b)=√^n(a)∙√^n(b)$

Calculați $√^5(5)∙√^5(625)$

Rădăcina unui produs este egală cu produsul rădăcinilor și invers: produsul rădăcinilor cu același exponent rădăcină este egal cu rădăcina produsului expresiilor radicalilor

$√^n(a)∙√^n(b)=√^n(a∙b)$

$√^5{5}∙√^5{625}=√^5{5∙625}=√^5{5∙5^4}=√^5{5^5}=5$

2. Rădăcina unei fracții este o rădăcină separată de numărător și o rădăcină separată de numitor

$√^n((a)/(b))=(√^n(a))/(√^n(b))$, pentru $b≠0$

3. Când o rădăcină este ridicată la o putere, expresia radicală este ridicată la această putere

$(√^n(a))^k=√^n(a^k)$

4. Dacă $a≥0$ și $n,k$ sunt numere naturale mai mari decât $1$, atunci egalitatea este adevărată.

$√^n(√^k(a))=√^(n∙k)a$

5. Dacă indicatorii rădăcinii și expresiei radicalului sunt înmulțiți sau împărțiți cu același număr natural, atunci valoarea rădăcinii nu se va modifica.

$√^(n∙m)a^(k∙m)=√^n(a^k)$

6. Rădăcina unui grad impar poate fi extrasă din numere pozitive și negative, iar rădăcina unui grad par - numai din cele pozitive.

7. Orice rădăcină poate fi reprezentată ca o putere cu un exponent fracționar (rațional).

$√^n(a^k)=a^((k)/(n))$

Găsiți valoarea expresiei $(√(9∙√^11(s)))/(√^11(2048∙√s))$ pentru $s>0$

Rădăcina produsului este egală cu produsul rădăcinilor

$(√(9∙√^11(e)))/(√^11(2048∙√s))=(√9∙√(√^11(e)))/(√^11(2048)∙ √^11(√с))$

Putem extrage imediat rădăcini din numere

$(√9∙√(√^11(e)))/(√^11(2048)∙√^11(√s))=(3∙√(√^11(e)))/(2∙ √^11(√с))$

$√^n(√^k(a))=√^(n∙k)a$

$(3∙√(√^11(e)))/(2∙√^11(√s))=(3∙√^22(e))/(2∙√^22(e))$

Reducem rădăcinile de $22$ ale lui $с$ și obținem $(3)/(2)=1,5$

Răspuns: 1,5 USD

Dacă pentru un radical cu exponent par nu cunoaștem semnul expresiei radicalului, atunci la extragerea rădăcinii iese modulul expresiei radicalului.

Găsiți valoarea expresiei $√((с-7)^2)+√((с-9)^2)$ la $7< c < 9$

Dacă nu există niciun indicator deasupra rădăcinii, înseamnă că lucrăm cu rădăcină pătrată. Indicatorul său este doi, adică. sincer. Dacă pentru un radical cu exponent par nu cunoaștem semnul expresiei radicalului, atunci la extragerea rădăcinii iese modulul expresiei radicalului.

$√((с-7)^2)+√((с-9)^2)=|c-7|+|c-9|$

Să determinăm semnul expresiei sub semnul modulului pe baza condiției $7< c < 9$

Pentru a verifica, luați orice număr dintr-un interval dat, de exemplu, $8$

Să verificăm semnul fiecărui modul

$8-9<0$, при раскрытии модуля пользуемся правилом: модуль положительного числа равен самому себе, отрицательного числа - равен противоположному значению. Так как у второго модуля знак отрицательный, при раскрытии меняем знак перед модулем на противоположный.

$|c-7|+|c-9|=(с-7)-(с-9)=с-7-с+9=2$

Proprietățile puterilor cu exponent rațional:

1. La înmulțirea puterilor cu aceleași baze, baza rămâne aceeași, iar exponenții se adună.

$a^n∙a^m=a^(n+m)$

2. La ridicarea unui grad la o putere, baza rămâne aceeași, dar exponenții sunt înmulțiți

$(a^n)^m=a^(n∙m)$

3. Când ridicați un produs la o putere, fiecare factor este ridicat la această putere

$(a∙b)^n=a^n∙b^n$

4. La ridicarea unei fracții la o putere, numărătorul și numitorul se ridică la această putere

Articolul dezvăluie semnificația expresiilor iraționale și transformărilor cu acestea. Să luăm în considerare însuși conceptul de expresii iraționale, de transformare și de expresii caracteristice.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Ce sunt expresiile iraționale?

Când introducem rădăcinile la școală, studiem conceptul de expresii iraționale. Astfel de expresii sunt strâns legate de rădăcini.

Definiția 1

Expresii iraționale sunt expresii care au rădăcină. Adică acestea sunt expresii care au radicali.

Pe baza acestei definiții, avem că x - 1, 8 3 3 6 - 1 2 3, 7 - 4 3 (2 + 3) , 4 a 2 d 5: d 9 2 a 3 5 - toate acestea sunt expresii ale unui tip irațional.

Considerând expresia x · x - 7 · x + 7 x + 3 2 · x - 8 3 constatăm că expresia este rațională. Expresiile raționale includ polinoame și fracții algebrice. Cele iraționale includ lucrul cu expresii logaritmice sau expresii radicale.

Principalele tipuri de transformări ale expresiilor iraționale

Când se calculează astfel de expresii, este necesar să se acorde atenție DZ. Adesea necesită transformări suplimentare sub formă de paranteze deschise, aducând membri similari, grupări etc. La baza unor astfel de transformări se află operațiile cu numere. Transformările expresiilor iraționale respectă o ordine strictă.

Exemplul 1

Transformă expresia 9 + 3 3 - 2 + 4 · 3 3 + 1 - 2 · 3 3 .

Soluţie

Este necesar să înlocuiți numărul 9 cu o expresie care conține rădăcina. Atunci obținem asta

81 + 3 3 - 2 + 4 3 3 + 1 - 2 3 3 = = 9 + 3 3 - 2 + 4 3 3 + 1 - 2 3 3

Expresia rezultată are termeni similari, deci să efectuăm reducerea și gruparea. Primim

9 + 3 3 - 2 + 4 3 3 + 1 - 2 3 3 = = 9 - 2 + 1 + 3 3 + 4 3 3 - 2 3 3 = = 8 + 3 3 3
Răspuns: 9 + 3 3 - 2 + 4 3 3 + 1 - 2 3 3 = 8 + 3 3 3

Exemplul 2

Prezentați expresia x + 3 5 2 - 2 · x + 3 5 + 1 - 9 ca un produs a două iraționale folosind formule de înmulțire abreviate.

Soluții

x + 3 5 2 - 2 x + 3 5 + 1 - 9 = = x + 3 5 - 1 2 - 9

Reprezentăm 9 sub forma 3 2 și aplicăm formula pentru diferența de pătrate:

x + 3 5 - 1 2 - 9 = x + 3 5 - 1 2 - 3 2 = = x + 3 5 - 1 - 3 x + 3 5 - 1 + 3 = = x + 3 5 - 4 x + 3 5 + 2

Rezultatul transformărilor identice a condus la produsul a două expresii raționale care trebuiau găsite.

Răspuns:

x + 3 5 2 - 2 x + 3 5 + 1 - 9 = = x + 3 5 - 4 x + 3 5 + 2

Puteți efectua o serie de alte transformări care se aplică expresiilor iraționale.

Conversia unei expresii radicale

Important este că expresia de sub semnul rădăcinii poate fi înlocuită cu una care este identic cu aceasta. Această afirmație face posibil să se lucreze cu o expresie radicală. De exemplu, 1 + 6 poate fi înlocuit cu 7 sau 2 · a 5 4 - 6 cu 2 · a 4 · a 4 - 6 . Sunt identic egali, deci înlocuirea are sens.

Când nu există un 1 diferit de a, unde o inegalitate de forma a n = a 1 n este validă, atunci o astfel de egalitate este posibilă numai pentru a = a 1. Valorile unor astfel de expresii sunt egale cu orice valori ale variabilelor.

Utilizarea proprietăților rădăcină

Proprietățile rădăcinilor sunt folosite pentru a simplifica expresiile. Pentru a aplica proprietatea a · b = a · b, unde a ≥ 0, b ≥ 0, atunci din forma irațională 1 + 3 · 12 poate deveni identic egal cu 1 + 3 · 12. Proprietate. . . un n k n 2 n 1 = un n 1 · n 2 · , . . . , · n k , unde a ≥ 0 înseamnă că x 2 + 4 4 3 poate fi scris sub forma x 2 + 4 24 .

Există câteva nuanțe la conversia expresiilor radicale. Dacă există o expresie, atunci - 7 - 81 4 = - 7 4 - 81 4 nu o putem scrie, deoarece formula a b n = a n b n servește numai pentru a nenegativ și b pozitiv. Dacă proprietatea este aplicată corect, atunci rezultatul va fi o expresie de forma 7 4 81 4 .

Pentru transformarea corectă se folosesc transformări ale expresiilor iraționale folosind proprietățile rădăcinilor.

Proprietățile rădăcinilor stau la baza următoarelor două transformări, numite aducerea lor sub semnul rădăcinii și scoaterea lor de sub semnul rădăcinii, pe care le considerăm acum.

Definiția 3

Așezați sub semnul rădăcinii- înseamnă înlocuirea expresiei B · C n, iar B și C sunt niște numere sau expresii, unde n este un număr natural mai mare decât 1, cu o expresie egală care arată ca B n · C n sau - B n · C n.

Dacă simplificăm expresia formei 2 x 3, atunci după ce o adăugăm la rădăcină, obținem acel 2 3 x 3. Astfel de transformări sunt posibile numai după un studiu detaliat al regulilor de introducere a unui multiplicator sub semnul rădăcinii.

dat în articol introducând un multiplicator sub semnul rădăcinii.

Dacă există o expresie de forma B n · C n , atunci se reduce la forma B · C n , unde există n impar , care iau forma B · C n cu n par , B și C fiind unele numere și expresii.

Adică, dacă luăm o expresie irațională de forma 2 3 x 3, eliminăm factorul de sub rădăcină, atunci obținem expresia 2 x 3. Sau x + 1 2 · 7 va avea ca rezultat o expresie de forma x + 1 · 7, care are o altă notație de forma x + 1 · 7.

Eliminarea multiplicatorului de sub rădăcină este necesară pentru a simplifica expresia și pentru a o converti rapid.

eliminând multiplicatorul de sub semnul rădăcină. Acolo vom oferi, de asemenea, soluții la exemple și vom enumera modalități de a reduce o expresie radicală la o formă convenabilă pentru înmulțire.

O expresie irațională poate fi fie un număr natural, fie o fracție. Pentru a converti expresii fracționale, acordați o atenție deosebită numitorului său. Dacă luăm o fracție de forma (2 + 3) x 4 x 2 + 5 3, atunci numărătorul va lua forma 5 x 4 și, folosind proprietățile rădăcinilor, aflăm că numitorul va deveni x 2 + 5 6. Fracția inițială poate fi scrisă ca 5 x 4 x 2 + 5 6.

Este necesar să se acorde atenție faptului că este necesar să se schimbe doar semnul numărătorului sau doar al numitorului. Înțelegem asta

X + 2 x - 3 x 2 + 7 4 = x + 2 x - (- 3 x 2 + 7 4) = x + 2 x 3 x 2 - 7 4

Reducerea unei fracții este folosită cel mai adesea la simplificare. Înțelegem asta

3 · x + 4 3 - 1 · x x + 4 3 - 1 3 se reduce cu x + 4 3 - 1 . Obținem expresia 3 x x + 4 3 - 1 2.

Înainte de reducere, este necesar să se efectueze transformări care simplifică expresia și fac posibilă factorizarea unei expresii complexe. Formulele de înmulțire prescurtate sunt cel mai des folosite.

Dacă luăm o fracție de forma 2 · x - y x + y, atunci este necesar să introducem noi variabile u = x și v = x, atunci expresia dată își va schimba forma și va deveni 2 · u 2 - v 2 u + v. Numătorul ar trebui descompus în polinoame conform formulei, apoi obținem asta

2 · u 2 - v 2 u + v = 2 · (u - v) · u + v u + v = 2 · u - v . După efectuarea înlocuirii inverse, ajungem la forma 2 x - y, care este egală cu cea inițială.

Reducerea la un nou numitor este permisă, atunci este necesară înmulțirea numărătorului cu un factor suplimentar. Dacă luăm o fracție de forma x 3 - 1 0, 5 · x, atunci o reducem la numitorul x. pentru a face acest lucru, trebuie să înmulțiți numărătorul și numitorul cu expresia 2 x, apoi obținem expresia x 3 - 1 0, 5 x = 2 x x x 3 - 1 0, 5 x 2 x = 2 x x 3 - 1 x .

Reducerea fracțiilor sau aducerea altora similare este necesară doar pentru ODZ-ul fracției specificate. Când înmulțim numărătorul și numitorul cu o expresie irațională, constatăm că scăpăm de iraționalitatea din numitor.

Scăparea de iraționalitate în numitor

Când o expresie scapă de rădăcina din numitor prin transformare, se numește scăpare de iraționalitate. Să ne uităm la exemplul unei fracții de forma x 3 3. După ce scăpăm de iraționalitate, obținem o nouă fracție de forma 9 3 x 3.

Trecerea de la rădăcini la puteri

Tranzițiile de la rădăcini la puteri sunt necesare pentru transformarea rapidă a expresiilor iraționale. Dacă luăm în considerare egalitatea a m n = a m n , putem observa că utilizarea sa este posibilă atunci când a este un număr pozitiv, m este un număr întreg și n este un număr natural. Dacă luăm în considerare expresia 5 - 2 3, atunci avem dreptul să o scriem ca 5 - 2 3. Aceste expresii sunt echivalente.

Când rădăcina conține un număr negativ sau un număr cu variabile, atunci formula a m n = a m n nu este întotdeauna aplicabilă. Dacă trebuie să înlocuiți astfel de rădăcini (- 8) 3 5 și (- 16) 2 4 cu puteri, atunci obținem că - 8 3 5 și - 16 2 4 prin formula a m n = a m n nu lucrăm cu negativ a. Pentru a analiza în detaliu tema expresiilor radicale și simplificările acestora, este necesar să studiem articolul despre trecerea de la rădăcini la puteri și înapoi. Trebuie amintit că formula a m n = a m n nu este aplicabilă pentru toate expresiile de acest tip. A scăpa de iraționalitate contribuie la simplificarea în continuare a expresiei, la transformarea și soluționarea acesteia.

Dacă observați o eroare în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter

Expresii iraționale și transformările lor

Ultima dată ne-am amintit (sau am învățat, în funcție de cine) despre ce este vorba , a învățat cum să extragă astfel de rădăcini, a sortat proprietățile de bază ale rădăcinilor bucată cu bucată și a rezolvat exemple simple cu rădăcini.

Această lecție va fi o continuare a celei anterioare și va fi dedicată transformărilor unei mari varietăți de expresii care conțin tot felul de rădăcini. Astfel de expresii sunt numite iraţional. Aici vor apărea expresii cu litere, condiții suplimentare, eliminarea iraționalității în fracții și câteva tehnici avansate de lucru cu rădăcini. Tehnicile care vor fi discutate în această lecție vor deveni o bază bună pentru rezolvarea problemelor USE (și nu numai) de aproape orice nivel de complexitate. Deci, să începem.

În primul rând, voi duplica aici formulele și proprietățile de bază ale rădăcinilor. Pentru a nu sari de la subiect la subiect. Iată-le:

la

Trebuie să cunoașteți aceste formule și să le puteți aplica. Și în ambele direcții - atât de la stânga la dreapta, cât și de la dreapta la stânga. Pe ele se bazează soluția la majoritatea sarcinilor cu rădăcini de orice grad de complexitate. Să începem cu cel mai simplu lucru deocamdată - cu aplicarea directă a formulelor sau a combinațiilor acestora.

Aplicare ușoară a formulelor

În această parte, vor fi luate în considerare exemple simple și inofensive - fără litere, condiții suplimentare și alte trucuri. Cu toate acestea, chiar și în ele, de regulă, există opțiuni. Și cu cât exemplul este mai sofisticat, cu atât există mai multe astfel de opțiuni. Iar studentul neexperimentat se confruntă cu problema principală - de unde să înceapă? Răspunsul aici este simplu - Dacă nu știi de ce ai nevoie, fă ce poți. Atâta timp cât acțiunile tale sunt în pace și armonie cu regulile matematicii și nu le contrazice.) De exemplu, această sarcină:

Calcula:

Chiar și într-un exemplu atât de simplu, există mai multe căi posibile către răspuns.

Primul este să înmulți pur și simplu rădăcinile cu prima proprietate și să extragi rădăcina din rezultat:

A doua opțiune este aceasta: nu o atingem, lucrăm cu . Scoatem multiplicatorul de sub semnul rădăcinii și apoi - conform primei proprietăți. Ca aceasta:

Poți decide cât vrei. În oricare dintre opțiuni, răspunsul este unu - opt. De exemplu, îmi este mai ușor să înmulțesc 4 și 128 și să obțin 512, iar rădăcina cubică poate fi extrasă cu ușurință din acest număr. Dacă cineva nu își amintește că 512 este 8 cuburi, atunci nu contează: poți scrie 512 ca 2 9 (primele 10 puteri a lui doi, sper că îți amintești?) și folosind formula pentru rădăcina puterii :

Un alt exemplu.

Calculați: .

Dacă lucrați conform primei proprietăți (punând totul sub o singură rădăcină), veți obține un număr mare, din care apoi poate fi extrasă rădăcina - de asemenea, nu zahăr. Și nu este un fapt că va fi extras exact.) Prin urmare, este util aici să eliminați factorii de sub rădăcină în număr. Și profitați la maximum de:

Și acum totul este bine:

Tot ce rămâne este să scrieți opt și doi sub o singură rădăcină (conform primei proprietăți) și treaba este gata. :)

Acum să adăugăm câteva fracții.

Calcula:

Exemplul este destul de primitiv, dar are și opțiuni. Puteți folosi multiplicatorul pentru a transforma numărătorul și a-l reduce cu numitorul:

Sau puteți utiliza imediat formula pentru împărțirea rădăcinilor:

După cum vedem, așa și ăla – totul este corect.) Dacă nu te împiedici pe jumătate și greșești. Deși unde pot greși aici...

Să ne uităm acum la ultimul exemplu din temele ultimei lecții:

Simplifica:

Un set complet de neimaginat de rădăcini și chiar imbricate. Ce ar trebuii să fac? Principalul lucru este să nu-ți fie frică! Aici observăm mai întâi sub rădăcini numerele 2, 4 și 32 - puterile a doi. Primul lucru de făcut este să reduceți toate numerele la doi: la urma urmei, cu cât sunt mai multe numere identice din exemplu și cu cât sunt mai puține diferite, cu atât este mai ușor.) Să începem separat cu primul factor:

Numărul poate fi simplificat prin reducerea celor două sub rădăcină cu cele patru în exponentul rădăcinii:

Acum, conform rădăcinii lucrării:

.

În număr le scoatem pe cele două ca semn rădăcină:

Și ne ocupăm de expresia folosind rădăcina formulei rădăcinii:

Deci, primul factor va fi scris astfel:

Rădăcinile cuibărite au dispărut, numerele au devenit mai mici, ceea ce este deja plăcut. Doar că rădăcinile sunt diferite, dar deocamdată o vom lăsa așa. Dacă este necesar, le vom converti în aceleași. Să luăm al doilea factor.)

Transformăm cel de-al doilea factor într-un mod similar, folosind formula rădăcinii produsului și rădăcinii rădăcinii. Acolo unde este necesar, reducem indicatorii folosind a cincea formulă:

Lipim totul în exemplul original și obținem:

Am obținut produsul unui grup întreg de rădăcini complet diferite. Ar fi bine să le aducem pe toate la un singur indicator și apoi vom vedea. Ei bine, este foarte posibil. Cel mai mare dintre exponenții rădăcinii este 12, iar toți ceilalți - 2, 3, 4, 6 - sunt divizori ai numărului 12. Prin urmare, vom reduce toate rădăcinile conform celei de-a cincea proprietăți la un exponent - 12:

Numărăm și obținem:

Nu am primit un număr frumos, dar e în regulă. Am fost întrebați simplifica expresie, nu conta. Simplificat? Cu siguranţă! Iar tipul de răspuns (întreg sau nu) nu mai joacă niciun rol aici.

Unele formule de adunare/scădere și de înmulțire prescurtată

Din pacate, formule generale pentru adunarea și scăderea rădăcinilor nu la matematică. Cu toate acestea, în sarcini se găsesc adesea aceste acțiuni cu rădăcini. Aici este necesar să înțelegem că orice rădăcină sunt exact aceleași simboluri matematice ca literele din algebră.) Și aceleași tehnici și reguli se aplică rădăcinilor ca și literelor - paranteze de deschidere, aducând altele asemănătoare, formule de înmulțire abreviate etc. p.

De exemplu, este clar pentru toată lumea că . Exact la fel identic Rădăcinile pot fi adăugate/scăzute una la alta destul de ușor:

Dacă rădăcinile sunt diferite, atunci căutăm o modalitate de a le face la fel - prin adăugarea/scăderea unui multiplicator sau folosind a cincea proprietate. Dacă nu este simplificat în niciun fel, atunci poate că transformările sunt mai viclene.

Să ne uităm la primul exemplu.

Găsiți sensul expresiei: .

Toate cele trei rădăcini, deși cubice, sunt din diferit numere. Ele nu sunt extrase pur și se adaugă/scad una de la alta. Prin urmare, utilizarea formulelor generale nu funcționează aici. Ce ar trebuii să fac? Să scoatem factorii din fiecare rădăcină. În orice caz, nu va fi mai rău.) În plus, nu există, de fapt, alte opțiuni:

Prin urmare, .

Asta e soluția. Aici ne-am mutat de la rădăcini diferite la aceleași cu ajutorul eliminând multiplicatorul de sub rădăcină. Și apoi pur și simplu au adus altele asemănătoare.) Noi decidem mai departe.

Găsiți valoarea unei expresii:

Cu siguranță nu poți face nimic cu rădăcina lui șaptesprezece. Lucrăm conform primei proprietăți - facem o rădăcină din produsul a două rădăcini:

Acum să aruncăm o privire mai atentă. Ce se află sub rădăcina noastră mare cubică? Diferența este de... Ei bine, desigur! Diferența de pătrate:

Acum nu mai rămâne decât să extragem rădăcina: .

Calcula:

Aici va trebui să arătați ingeniozitate matematică.) Ne gândim aproximativ după cum urmează: „Deci, în exemplu, produsul rădăcinilor. Sub o rădăcină este diferența, iar sub cealaltă este suma. Foarte asemănătoare cu formula diferenței de pătrate. Dar... Rădăcinile sunt diferite! Prima este pătrată, iar a doua este de gradul al patrulea... Ar fi bine să le facem la fel. Conform celei de-a cincea proprietăți, puteți face cu ușurință o a patra rădăcină dintr-o rădăcină pătrată. Pentru a face acest lucru, este suficient să pătrundeți expresia radicală.”

Dacă te-ai gândit la același lucru, atunci ești la jumătatea drumului spre succes. Absolut corect! Să transformăm primul factor într-o a patra rădăcină. Ca aceasta:

Acum, nu mai este nimic de făcut, dar va trebui să vă amintiți formula pentru pătratul diferenței. Doar atunci când este aplicat pe rădăcini. Şi ce dacă? De ce sunt rădăcinile mai rele decât alte numere sau expresii?! Construim:

„Hmm, ei bine, l-au ridicat, deci ce? Hreanul nu este mai dulce decât ridichea. Stop! Și dacă le scoți pe cele patru de sub rădăcină? Atunci va apărea aceeași expresie ca sub a doua rădăcină, doar cu un minus, și tocmai asta încercăm să realizăm!”

Corect! Să luăm patru:

.

Și acum - o chestiune de tehnologie:

Așa se descurcă exemplele complexe.) Acum este timpul să exersăm cu fracțiile.

Calcula:

Este clar că numărătorul trebuie convertit. Cum? Folosind formula pătratului sumei, desigur. Avem alte variante? :) O pătram, scoatem factorii, reducem indicatorii (unde este necesar):

Wow! Am obținut exact numitorul fracției noastre.) Aceasta înseamnă că întreaga fracție este în mod evident egală cu unu:

Un alt exemplu. Abia acum pe o altă formulă pentru înmulțirea prescurtată.)

Calcula:

Este clar că pătratul diferenței trebuie folosit în practică. Scriem separat numitorul și - să mergem!

Scoatem factorii de sub rădăcini:

Prin urmare,

Acum totul rău este superb redus și rezultă:

Ei bine, să trecem la următorul nivel. :)

Scrisori și condiții suplimentare

Expresiile literale cu rădăcini sunt un lucru mai complicat decât expresiile numerice și sunt o sursă inepuizabilă de erori enervante și foarte grave. Să închidem această sursă.) Erorile apar din cauza faptului că astfel de sarcini implică adesea numere și expresii negative. Ele ne sunt fie date direct în sarcină, fie ascunse în scrisori și condiții suplimentare. Și în procesul de lucru cu rădăcini, trebuie să ne amintim constant că în rădăcini chiar gradul atât sub rădăcină însăși cât și ca urmare a extragerii rădăcinii ar trebui să existe expresie nenegativă. Formula cheie în sarcinile acestui paragraf va fi a patra formulă:

Nu există întrebări cu rădăcini de grade impare - totul este întotdeauna extras, atât pozitiv, cât și negativ. Iar minusul, dacă este ceva, este adus înainte. Să ajungem direct la rădăcini chiar grade.) De exemplu, o sarcină atât de scurtă.

Simplifica: , Dacă .

S-ar părea că totul este simplu. Se va dovedi a fi doar X.) Dar de ce atunci condiția suplimentară? În astfel de cazuri, este util să estimați cu cifre. Pur pentru mine.) Dacă, atunci x este evident un număr negativ. Minus trei, de exemplu. Sau minus patruzeci. Lasă . Poți ridica minus trei la a patra putere? Cu siguranţă! Rezultatul este 81. Este posibil să extrageți a patra rădăcină a lui 81? De ce nu? Poate! Primești trei. Acum să analizăm întregul nostru lanț:

Ce vedem? Intrarea a fost un număr negativ, iar rezultatul era deja pozitiv. Era minus trei, acum este plus trei.) Să revenim la litere. Fără îndoială, modulo va fi exact X, dar numai X însuși este minus (prin condiție!), iar rezultatul extracției (datorită rădăcinii aritmetice!) trebuie să fie plus. Cum să obții un plus? Foarte simplu! Pentru a face acest lucru, puneți un minus în fața unui număr evident negativ.) Și soluția corectă arată astfel:

Apropo, dacă am folosi formula, atunci, amintindu-ne definiția unui modul, am obține imediat răspunsul corect. Din moment ce

|x| = -x la x<0.

Scoateți factorul din semnul rădăcină: , Unde .

Prima privire este asupra expresiei radicale. Totul este OK aici. În orice caz, nu va fi negativ. Să începem extragerea. Folosind formula pentru rădăcina unui produs, extragem rădăcina fiecărui factor:

Nu cred că este nevoie să explic de unde provin modulele.) Acum să analizăm fiecare dintre module.

Multiplicator | o | îl lăsăm neschimbat: nu avem nicio condiție pentru scrisoareo. Nu știm dacă este pozitiv sau negativ. Următorul modul |b 2 | poate fi omis cu siguranță: în orice caz, expresiab 2 nenegativ. Dar despre |c 3 | - există deja o problemă aici.) Dacă, atunci c 3 <0. Стало быть, модуль надо раскрыть cu un minus: | c 3 | = - c 3 . În total, soluția corectă ar fi:

Și acum - problema inversă. Nu este cel mai ușor, te avertizez imediat!

Introduceți un multiplicator sub semnul rădăcinii: .

Dacă notați imediat soluția astfel

atunci tu a căzut într-o capcană. Acest decizie greșită! Ce s-a întâmplat?

Să aruncăm o privire mai atentă asupra expresiei de sub rădăcină. Sub rădăcina gradului al patrulea, după cum știm, ar trebui să existe nenegativ expresie. Altfel, rădăcina nu are sens.) Prin urmare Și aceasta, la rândul său, înseamnă că și, prin urmare, ea însăși este, de asemenea, nepozitivă: .

Și greșeala aici este că introducem la rădăcină nepozitiv număr: gradul al patrulea îl transformă în nenegativși se obține rezultatul greșit - în stânga există un minus deliberat, iar în dreapta există deja un plus. Și se aplică la rădăcină chiar grad doar avem dreptul nenegativ numere sau expresii. Și lăsați minusul, dacă există unul, în fața rădăcinii.) Cum putem identifica un factor nenegativ în număr, știind că ea în sine este complet negativă? Da, exact la fel! Pune un minus.) Și ca să nu se schimbe nimic, compensează-l cu un alt minus. Ca aceasta:

Și acum deja nenegativ Introducem cu calm numărul (-b) sub rădăcină conform tuturor regulilor:

Acest exemplu arată clar că, spre deosebire de alte ramuri ale matematicii, în rădăcini răspunsul corect nu decurge întotdeauna automat din formule. Trebuie să te gândești și să iei personal decizia corectă.) Ar trebui să fii mai atent cu semnele de intrare ecuații și inegalități iraționale.

Să ne uităm la următoarea tehnică importantă atunci când lucrați cu rădăcini - scăpând de iraționalitate.

Eliminarea iraționalității în fracții

Dacă expresia conține rădăcini, atunci, permiteți-mi să vă reamintesc, o astfel de expresie se numește exprimare cu iraționalitate. În unele cazuri, poate fi util să scăpați de această iraționalitate (adică rădăcini). Cum poți elimina rădăcina? Rădăcina noastră dispare când... ridicată la putere. Cu un indicator fie egal cu indicatorul rădăcină, fie cu un multiplu al acestuia. Dar, dacă ridicăm rădăcina la o putere (adică înmulțim rădăcina cu ea însăși de numărul necesar de ori), atunci expresia se va schimba. Nu e bine.) Cu toate acestea, la matematică există subiecte în care înmulțirea este destul de nedureroasă. În fracții, de exemplu. Conform proprietății de bază a unei fracții, dacă numărătorul și numitorul sunt înmulțite (împărțite) cu același număr, valoarea fracției nu se va modifica.

Să presupunem că ni se dă această fracție:

Este posibil să scapi de rădăcina din numitor? Poate! Pentru a face acest lucru, rădăcina trebuie tăiată în cuburi. Ce ne lipsește la numitor pentru un cub plin? Ne lipsește un multiplicator, adică.. Deci înmulțim numărătorul și numitorul fracției cu

Rădăcina din numitor a dispărut. Dar... a apărut la numărător. Nimic nu se poate face, așa este soarta.) Acest lucru nu mai este important pentru noi: ni s-a cerut să eliberăm numitorul de rădăcini. Eliberat? Fără îndoială.)

Apropo, cei care sunt deja confortabili cu trigonometria ar putea fi atenți la faptul că în unele manuale și tabele, de exemplu, desemnează diferit: undeva și undeva. Întrebarea este - ce este corect? Răspuns: totul este corect!) Dacă ghiciți asta– acesta este pur și simplu rezultatul eliberării de iraționalitate în numitorul fracției. :)

De ce ar trebui să ne eliberăm de iraționalitate în fracțiuni? Ce diferență are - rădăcina este la numărător sau la numitor? Calculatorul va calcula oricum totul.) Ei bine, pentru cei care nu se despart de un calculator, practic nu există nicio diferență... Dar chiar și bazând pe un calculator, puteți acorda atenție faptului că împărțiți pe întreg numărul este întotdeauna mai convenabil și mai rapid decât pornit iraţional. Și voi păstra tăcerea despre împărțirea într-o coloană.)

Următorul exemplu va confirma doar cuvintele mele.

Cum putem elimina aici rădăcina pătrată a numitorului? Dacă numărătorul și numitorul sunt înmulțite cu expresia, atunci numitorul va fi pătratul sumei. Suma pătratelor primului și celui de-al doilea număr ne va da doar numere fără rădăcini, ceea ce este foarte plăcut. Totuși... va apărea produs dublu primul număr la al doilea, unde rădăcina lui trei va rămâne în continuare. Nu canalizează. Ce ar trebuii să fac? Ține minte o altă formulă minunată pentru înmulțirea prescurtată! Acolo unde nu există produse duble, ci doar pătrate:

O expresie care, atunci când este înmulțită cu o anumită sumă (sau diferență), produce diferența de pătrate, numit și expresie conjugată. În exemplul nostru, expresia conjugată va fi diferența. Deci înmulțim numărătorul și numitorul cu această diferență:

Ce pot spune? Ca urmare a manipulărilor noastre, nu numai că rădăcina numitorului a dispărut, dar fracția a dispărut cu totul! :) Chiar și cu un calculator, scăderea rădăcinii lui trei dintr-un trei este mai ușor decât calcularea unei fracții cu rădăcina la numitor. Un alt exemplu.

Eliberați-vă de iraționalitate în numitorul unei fracții:

Cum să ieși din asta? Formulele pentru înmulțirea abreviată cu pătrate nu funcționează imediat - nu va fi posibilă eliminarea completă a rădăcinilor din cauza faptului că de data aceasta rădăcina noastră nu este pătrată, ci cub. Este necesar ca rădăcina să fie ridicată cumva într-un cub. Prin urmare, trebuie folosită una dintre formulele cu cuburi. Care? Să ne gândim la asta. Numitorul este suma. Cum putem obține cubul rădăcinii? Înmulțiți cu diferență parțială la pătrat! Deci, vom aplica formula suma de cuburi. Aceasta:

Ca o avem trei, iar ca calitate b– rădăcină cubă a cinci:

Și din nou fracția a dispărut.) Asemenea situații, când, eliberată de iraționalitate în numitorul unei fracții, fracția în sine dispare complet împreună cu rădăcinile, apar foarte des. Cum vă place acest exemplu!

Calcula:

Încercați doar să adăugați aceste trei fracții! Fara erori! :) Un numitor comun merită. Dacă am încerca să ne eliberăm de iraționalitatea din numitorul fiecărei fracții? Ei bine, hai să încercăm:

Wow, ce interesant! Toate fracțiile au dispărut! Complet. Și acum exemplul poate fi rezolvat în două moduri:

Simplu și elegant. Și fără calcule lungi și plictisitoare. :)

De aceea trebuie să se poată face operația de eliberare de iraționalitate în fracții. În astfel de exemple sofisticate, este singurul lucru care salvează, da.) Desigur, nimeni nu a anulat atenția. Există sarcini în care ți se cere să scapi de iraționalitate numărător. Aceste sarcini nu sunt diferite de cele luate în considerare, doar numărătorul este șters de la rădăcini.)

Exemple mai complexe

Rămâne să luăm în considerare câteva tehnici speciale de lucru cu rădăcinile și să exersăm descurcarea, nu cele mai simple exemple. Și atunci informațiile primite vor fi suficiente pentru a rezolva sarcini cu rădăcini de orice nivel de complexitate. Deci - mergeți mai departe.) În primul rând, să ne dăm seama ce să facem cu rădăcinile imbricate atunci când formula rădăcină de la rădăcină nu funcționează. De exemplu, iată un exemplu.

Calcula:

Rădăcina este sub rădăcină... Mai mult, sub rădăcini este suma sau diferența. Prin urmare, formula pentru rădăcina rădăcinii (cu înmulțirea exponenților) este aici nu merge. Deci trebuie făcut ceva expresii radicale: Pur și simplu nu avem alte opțiuni. În astfel de exemple, cel mai adesea rădăcina mare este criptată pătrat perfect o anumită sumă. Sau diferențe. Și rădăcina unui pătrat poate fi deja extrasă perfect! Și acum sarcina noastră este să o decriptăm.) O astfel de decriptare se realizează frumos sistem de ecuații. Acum vei vedea totul pentru tine.)

Deci, sub prima rădăcină avem această expresie:

Dacă nu ai ghicit bine? Să verificăm! O pătratăm folosind formula pentru pătratul sumei:

Așa e.) Dar... De unde am luat această expresie? Din cer?

Nu.) O să o coborâm un pic mai jos sincer. Folosind pur și simplu această expresie, arăt exact cum scriitorii de sarcini criptează astfel de pătrate. :) Ce este 54? Acest suma pătratelor primului și celui de-al doilea număr. Și, atenție, deja fără rădăcini! Și rădăcina rămâne înăuntru produs dublu, care în cazul nostru este egal cu . Prin urmare, dezlegarea unor astfel de exemple începe cu căutarea produsului dublu. Dacă te descurci cu selecția obișnuită. Și, apropo, despre semne. Totul este simplu aici. Dacă există un plus înainte de dublu, atunci pătratul sumei. Dacă este un minus, atunci diferențele.) Avem un plus – adică pătratul sumei.) Și acum – metoda analitică promisă de decodare. Prin sistem.)

Așadar, sub rădăcina noastră există în mod clar agățat expresia (a+b) 2, iar sarcina noastră este să găsim oŞi b. În cazul nostru, suma pătratelor dă 54. Deci scriem:

Acum dublați produsul. O avem. Deci o scriem:

Avem acest sistem:

Rezolvăm prin metoda obișnuită de substituție. Exprimăm din a doua ecuație, de exemplu, și o înlocuim în prima:

Să rezolvăm prima ecuație:

Primit biquadratic ecuația relativăo . Calculăm discriminantul:

Mijloace,

Avem cât patru valori posibileo. Nu ne este frică. Acum vom elimina toate lucrurile inutile.) Dacă acum calculăm valorile corespunzătoare pentru fiecare dintre cele patru valori găsite, vom obține patru soluții pentru sistemul nostru. Iată-le:

Și aici întrebarea este - care soluție este potrivită pentru noi? Să ne gândim la asta. Soluțiile negative pot fi eliminate imediat: la pătrare, minusurile se vor „arde”, iar întreaga expresie radicală în ansamblu nu se va schimba.) Primele două opțiuni rămân. Le puteți alege complet arbitrar: rearanjarea termenilor încă nu schimbă suma.) Fie, de exemplu, , a .

În total, avem pătratul următoarei sume sub rădăcină:

Totul este clar.)

Nu degeaba descriu procesul de decizie atât de detaliat. Pentru a clarifica modul în care are loc decriptarea.) Dar există o problemă. Metoda analitică de decodare, deși fiabilă, este foarte lungă și greoaie: trebuie să rezolvi o ecuație biquadratică, să obții patru soluții la sistem și apoi să te gândești totuși la care să alegi... Deranjant? Sunt de acord, e deranjant. Această metodă funcționează impecabil în majoritatea acestor exemple. Cu toate acestea, de foarte multe ori vă puteți economisi multă muncă și puteți găsi ambele numere în mod creativ. Prin selecție.) Da, da! Acum, folosind exemplul celui de-al doilea termen (a doua rădăcină), voi arăta o modalitate mai ușoară și mai rapidă de a izola pătratul complet sub rădăcină.

Deci acum avem această rădăcină: .

Să gândim așa: „Sub rădăcină este cel mai probabil un pătrat complet criptat. Odată ce există un minus înainte de dublu, înseamnă pătratul diferenței. Suma pătratelor primului și celui de-al doilea număr ne dă numărul 54. Dar ce fel de pătrate sunt acestea? 1 și 53? 49 și 5 ? Sunt prea multe opțiuni... Nu, este mai bine să începeți să descurcați cu produsul dublu. Noastrepoate fi scris ca . Produs Times dublat, apoi le aruncăm imediat pe cele două. Apoi candidații pentru acest rol a și b rămân 7 și . Dacă e 14 și/2 ? Este posibil. Dar întotdeauna începem cu ceva simplu!” Deci, să , un . Să le verificăm pentru suma pătratelor:

A funcționat! Aceasta înseamnă că expresia noastră radicală este de fapt pătratul diferenței:

Iată o modalitate ușoară de a evita să te încurci cu sistemul. Nu funcționează întotdeauna, dar în multe dintre aceste exemple este destul de suficient. Deci, sub rădăcini există pătrate complete. Tot ce rămâne este să extragi corect rădăcinile și să calculezi exemplul:

Acum să ne uităm la o sarcină și mai nestandard pe rădăcini.)

Demonstrați că numărul A– întreg, dacă .

Nimic nu este extras direct, rădăcinile sunt încorporate, și chiar de grade diferite... Un coșmar! Cu toate acestea, sarcina are sens.) Prin urmare, există o cheie pentru a o rezolva.) Și cheia aici este aceasta. Luați în considerare egalitatea noastră

Cum ecuația relativă O. Da, da! Ar fi bine să scapi de rădăcini. Rădăcinile noastre sunt cubice, așa că să cubăm ambele părți ale ecuației. Conform formulei cubul sumei:

Cuburile și rădăcinile cubice se anulează reciproc, iar sub fiecare rădăcină mare luăm o paranteză din pătrat și prăbușim produsul diferenței și sumei într-o diferență de pătrate:

Separat, calculăm diferența de pătrate sub rădăcini: