Slide 19

scade monoton pe R Axa Ox este o asimptotă orizontală crește monoton pe R 8. Pentru orice valori reale ale lui x și y; a>0, a≠1; b>0, b≠1. 7. Asimptotă 6. Extrema 5. Monotonicitate 4. Par, impar 3. Intervale pentru compararea valorilor unei funcții cu unitatea 2. Interval de valori ale unei funcții 1 Domeniu de definire a unei funcții Proprietăți ale unei funcții exponențiale Inegalitățile exponențiale, tipurile și metodele lor de soluție Funcția exponențială nu are extreme Funcția nu este nici pară, nici impară (o funcție de formă generală).

Slide 20

Inegalitățile exponențiale, tipurile și metodele lor de rezolvare Sarcina nr. 1 Aflați domeniul de definire al funcției

Slide 21

Inegalitățile exponențiale, tipurile și metodele lor de rezolvare Sarcina nr. 2 Determinați valorile

Slide 22

Inegalitățile exponențiale, tipurile și metodele lor de rezolvare Sarcina nr. 3 Determinați tipul funcției crescătoare descrescătoare crescătoare descrescătoare

Slide 23

Introducerea de noi cunoștințe

Slide 24

Inegalitățile exponențiale, tipurile și metodele lor de soluție DEFINIȚIA celor mai simple inegalități exponențiale: Fie a un număr pozitiv dat nu egal cu unu și b un număr real dat. Atunci inegalitățile ax>b (ax≥b) și ax

Slide 25

Inegalitățile exponențiale, tipurile și metodele lor de rezolvare CUM SE numește rezolvarea unei inegalități? Soluția unei inegalități cu un x necunoscut este numărul x0, care, atunci când este substituit în inegalitate, produce o inegalitate numerică adevărată.

Slide 26

Inegalitățile exponențiale, tipurile și metodele lor de rezolvare CE ÎNSEAMNĂ a rezolva o inegalitate? Rezolvarea unei inegalități înseamnă a găsi toate soluțiile acesteia sau a arăta că nu există.

Slide 27

Să considerăm poziția relativă a graficului funcției y=ax, a>0, a≠1și dreapta y=b Inegalitățile exponențiale, tipurile și metodele lor de soluție y x y x y=b, b 0 y=b, b>. 0 0 1 0 1 x0 x0

Slide 28

Inegalitățile exponențiale, tipurile și metodele lor de soluție CONCLUZIA Nr. 1: Când b≤0, dreapta y=b nu intersectează graficul funcției y=ax, deoarece este situat sub curba y=ax, prin urmare inegalitățile ax>b(ax≥b) sunt satisfăcute pentru xR, iar inegalitățile ax

Slide 29

CONCLUZIA nr. 2: y x ​​​​0 x0 x1 y=b, b>0 x2 Inegalități exponențiale, tipurile și metodele lor de rezolvare Dacă a>1 și b > 0, atunci pentru fiecare x1 x0- sub linia dreaptă y=b . 1 Pentru b> 0, dreapta y = b intersectează graficul funcției y = ax într-un singur punct, a cărui abscisă este x0 = logab

Slide 30

CONCLUZIA nr. 2: y x ​​​​0 x0 x1 y=b, b>0 1 Inegalitățile exponențiale, tipurile și metodele lor de soluționare Dacă a>1 și b > 0, atunci pentru fiecare x1 >x0 punctul corespunzător al graficului lui funcția y=ax este situată deasupra dreptei y=b, iar pentru fiecare x2 0 dreapta y = b intersectează graficul funcției y = ax într-un singur punct, a cărui abscisă este x0 = logab x2

Slide 31

Cele mai simple inegalități exponențiale Inegalități exponențiale, tipurile și metodele lor de rezolvare

Slide 32

Inegalitățile exponențiale, tipurile și metodele lor de rezolvare Exemplul nr. 1.1 Răspuns: crește pe întregul domeniu de definiție, Soluție:

Slide 33

Inegalitățile exponențiale, tipurile și metodele lor de rezolvare Exemplul nr. 1.2 Soluție: Răspuns: scade pe întregul domeniu de definiție,

Slide 34

Inegalitățile exponențiale, tipurile și metodele lor de rezolvare Exemplul nr. 1.3 Soluție: Răspuns: crește pe întregul domeniu de definiție,

Slide 35

Inegalitățile exponențiale, tipurile și metodele lor de rezolvare Tipuri de inegalități exponențiale și metode de rezolvare a acestora 1) Inegalitățile exponențiale, reducându-se la cele mai simple, cresc pe întregul domeniu de definiție Exemplul nr. 1 Răspuns: Soluție:

Slide 36

Inegalitățile exponențiale, tipurile și metodele lor de rezolvare Exemplul nr. 1.4 Soluție: crește pe întregul domeniu de definiție, Răspuns:

Slide 37

Inegalitatile exponentiale, tipurile lor si metode de rezolvare Tipuri de inegalitati exponentiale si metode de rezolvare a acestora Inegalitati exponentiale, reduse la cel mai simplu Exemplul nr. 2 creste in intregul domeniu de definitie Raspuns: Solutie:

Slide 38

Inegalități exponențiale, tipurile lor și metode de rezolvare Tipuri de inegalități exponențiale și metode de rezolvare a acestora 2) Inegalități exponențiale, reducând la inegalități pătratice Exemplu Să revenim la variabila x crește pentru tot x din domeniul definiției Răspuns: Soluție:

Slide 39

Inegalitatile exponentiale, tipurile lor si metode de rezolvare Tipuri de inegalitati exponentiale si metode de rezolvare a acestora 3) Inegalitati exponentiale omogene de gradul I si II. Inegalități exponențiale omogene de gradul I Exemplul nr. 1 crește pe întregul domeniu de definiție Răspuns: Soluție:

Inegalitatile exponentiale, tipurile lor si metode de rezolvare Tipuri de inegalitati exponentiale si metode de rezolvare a acestora 4) Inegalitati exponentiale, reducand la inegalitati rationale Exemplu Sa revenim la variabila x creste pe intregul domeniu de definitie Raspuns: Solutie:

Slide 43

Inegalitatile exponentiale, tipurile lor si metode de rezolvare Tipuri de inegalitati exponentiale si metode de rezolvare a acestora 5) Inegalitati exponentiale nestandardizate Exemplu Solutie: Sa rezolvam fiecare afirmatie a multimii separat. Inegalitatea este egală cu agregat

Slide 44

Inegalități exponențiale, tipurile și metodele lor de rezolvare Tipuri de inegalități exponențiale și metode de rezolvare a acestora 5) Inegalități exponențiale nestandardizate Exemplu de răspuns: Soluție: Verificare Verificarea a arătat că x=1, x=3, x=1,5 sunt soluții la ecuație, iar x=2 nu este o soluție a ecuației. Aşa,

Slide 45

Consolidarea cunoștințelor

Ce inegalități se numesc exponențiale? Când o inegalitate exponențială are o soluție pentru orice valoare a lui x? Când o inegalitate exponențială nu are soluții? Ce tipuri de inegalități ați învățat în această lecție? Cum se rezolvă cele mai simple inegalități? Cum se rezolvă inegalitățile care se reduc la inegalități pătratice? Cum se rezolvă inegalitățile omogene? Cum se rezolvă inegalitățile care pot fi reduse la cele raționale?

Slide 46

Rezumatul lecției

Aflați ce au învățat studenții noi în această lecție Acordați note elevilor pentru munca lor în lecție cu comentarii detaliate

Slide 47

Teme pentru acasă

Manual pentru clasa a 10-a „Algebra și începuturile analizei” autor S.M Nikolsky Studiază paragrafele 6.4 și 6.6, rezolvă Nr. 6.31-6.35 și Nr. 6.45-6.50.

Slide 48

Inegalitățile exponențiale, tipurile și metodele lor de rezolvare

Algebra și începuturile analizei matematice. clasa a X-a. Manual. Nikolsky S.M. etc.

Nivelurile de bază și de profil

a 8-a ed. - M.: Educație, 2009. - 430 p.

Manualul respectă componentele federale ale standardului de stat educatie generala la matematică și conține material atât pentru bază, cât și pentru avansat nivel de profil. Puteți lucra cu el indiferent de ce manuale au studiat școlarii în anii precedenți.

Manualul are ca scop pregătirea studenților pentru intrarea în universități.

Format: djvu

Dimensiune: 15,2 MB

Urmăriți, descărcați:drive.google ; Rghost

Format: pdf

Dimensiune: 42,3 MB

Urmăriți, descărcați:drive.google ; Rghost

Nota: Calitatea PDF-ului este mai bună, aproape excelentă. Realizat din aceeași scanare, 150 dpi, color. Dar în DJVU iese puțin mai rău. Acesta este un caz în care dimensiunea contează.

CUPRINS
CAPITOLUL I. RĂDĂCINI, PUTERI, LOGARITMMI
§ 1. Numerele reale 3
1.1. Conceptul de număr real 3
1.2. O mulțime de numere. Proprietăți numere reale. ... 10
1,3*. Metoda inducției matematice 16
1.4. Permutările 22
1.5. Locații 25
1.6. Combinații 27
1,7*. Dovada inegalităților numerice 30
1,8*. Divizibilitatea numerelor întregi 35
1,9*. Comparații modulo t 38
1,10*. Probleme cu numere întregi necunoscute 40
§ 2. Ecuații și inegalități raționale 44
2.1. Expresii raționale 44
2.2. Formule binomiale ale lui Newton, sume și diferențe de puteri. . 48
2,3*. Împărțirea polinoamelor cu un rest. Algoritmul euclidian... 53
2,4*. Teorema lui Bezout 57
2,5*. Rădăcina polinomului 60
2.6. Ecuații raționale 65
2.7. Sisteme de ecuații raționale 70
2.8. Metoda intervalului de rezolvare a inegalităților 75
2.9. Inegalități raționale 79
2.10. Inegalități nestricte 84
2.11. Sisteme de inegalități raționale 88
§ 3. Rădăcina gradului n 93
3.1. Conceptul de funcție și graficul acesteia 93
3.2. Funcția y = x" 96
3.3. Conceptul de rădăcină de gradul n 100
3.4. Rădăcinile gradelor pare și impare 102
3.5. Rădăcina aritmetică 106
3.6. Proprietățile rădăcinilor de gradul l 111
3,7*. Funcția y = nx (x > 0) 114
3,8*. Funcția y = nVx 117
3,9*. Rădăcină de gradul n de număr natural 119
§ 4. Puterea numărului pozitiv 122
4.1. Putere cu exponent rațional 122
4.2. Proprietățile gradelor cu exponent rațional 125
4.3. Conceptul de limită a secvenței 131
4,4*. Proprietățile limitelor 134
4.5. Progresie geometrică în scădere infinită. . . 137
4.6. Numărul e 140
4.7. Conceptul de grad cu exponent irațional.... 142
4.8. Funcția exponențială 144
§ 5. Logaritmi 148
5.1. Conceptul de logaritm 148
5.2. Proprietățile logaritmilor 151
5.3. Funcția logaritmică 155
5.4*. Logaritmi zecimali 157
5.5*. Funcții de putere 159
§ 6. Demonstrativ şi ecuații logaritmiceși inegalități. . 164
6.1. Cele mai simple ecuații exponențiale 164
6.2. Ecuații logaritmice simple 166
6.3. Ecuații reduse la cele mai simple prin înlocuirea necunoscutului 169
6.4. Cele mai simple inegalități exponențiale 173
6.5. Cele mai simple inegalități logaritmice 178
6.6. Inegalitățile reduse la cele mai simple prin înlocuirea necunoscutului 182
Informații istorice 187
CAPITOLUL II. FORMULE TRIGONOMETRICE. FUNCTII TRIGONOMETRICE
§ 7. Sinusul și cosinusul unui unghi 193
7.1. Conceptul de unghi 193
7.2. Măsura radianilor unghiului 200
7.3. Determinarea sinusului și cosinusului unui unghi 203
7.4. Formule de bază pentru sin a și cos a 211
7.5. Arcsine 216
7.6. Arccosinus 221
7,7*. Exemple de utilizare a arcsinusului și arccosinusului.... 225
7,8*. Formule pentru arcsinus și arccosinus 231
§ 8. Tangenta si cotangenta unghiului 233
8.1. Determinarea tangentei și cotangentei unui unghi 233
8.2. Formule de bază pentru tg a și ctg a 239
8.3. Arctangent 243
8,4*. Arc tangentă 246
8,5*. Exemple de utilizare a arctangentei și arccotangentelor. . 249
8,6*. Formule pentru arctangent și arccotangent 255
§ 9. Formule de adunare 258
9.1. Cosinusul diferenței și cosinusul sumei a două unghiuri 258
9.2. Formule pentru unghiuri suplimentare 262
9.3. Sinusul sumei și sinusul diferenței a două unghiuri 264
9.4. Suma și diferența de sinusuri și cosinusuri 266
9.5. Formule pentru unghiuri duble și jumătate 268
9,6*. Produsul sinusurilor și cosinusurilor 273
9,7*. Formule pentru tangente 275
§ 10. Funcții trigonometrice argument numeric 280
10.1. Funcția y = sin x 281
10.2. Funcția y = cos x 285
10.3. Funcția y = tg * 288
10.4. Funcția y = ctg x 292
§ 11. Ecuații și inegalități trigonometrice 295
11.1. Protozoare ecuații trigonometrice 295
11.2. Ecuații reduse la cele mai simple prin înlocuirea necunoscutului 299
11.3. Aplicarea formulelor trigonometrice de bază la rezolvarea ecuațiilor 303
11.4. Ecuații omogene 307
11,5*. Cele mai simple inegalități pentru sinus și cosinus.... 310
11,6*. Cele mai simple inegalități pentru tangentă și cotangentă. . . 315
11,7*. Inegalitățile reduse la cele mai simple prin înlocuirea necunoscutului 319
11,8*. Introducerea unghiului auxiliar 322
11,9*. Înlocuind necunoscutul t = sin x + cos x 327
Informații istorice 330
CAPITOLUL III. ELEMENTE DE TEORIA PROBABILITĂȚII
§ 12. Probabilitatea evenimentului 333
12.1. Conceptul de probabilitate a evenimentului 333
12.2. Proprietățile probabilităților de eveniment 338
§ 13*. Frecvenţă. Probabilitate condiționată 342
13,1*. Frecvența relativă a evenimentului 342
13,2*. Probabilitate condiționată. Evenimente independente 344
§ 14*. Așteptări matematice. Legea numerelor mari 348
14,1*. Așteptări matematice 348
14,2*. Experiență dificilă 353
14,3*. formula lui Bernoulli. Legea numerelor mari 355
Informații istorice 359
SARCINI DE REVIZUIRE 362
Index de subiecte 407
Răspunsuri 410

Locul de lucru, postul: - MOU-SOSH r.p. Pușkino, profesor

Regiunea: — Regiunea Saratov

Caracteristicile lecției (sesiunii) Nivel de studii: - studii medii (complete) generale

Publicul țintă: — Elev (elev)
Publicul țintă: — Profesor (profesor)

Clasa(e): – clasa a X-a

Subiect(e): – Algebră

Scopul lecției: - didactic: să perfecționeze tehnicile și metodele de bază de rezolvare a inegalităților logaritmice și exponențiale și să se asigure că toți elevii stăpânesc tehnicile algoritmice de bază pentru rezolvarea inegalităților exponențiale și logaritmice; dezvoltare: dezvoltarea gândirii logice, a memoriei, interes cognitiv, continuă formarea vorbirii matematice, dezvoltă capacitatea de analiză și comparație; educațional: pentru a preda designul estetic al notelor într-un caiet, capacitatea de a-i asculta pe ceilalți și capacitatea de a comunica, insufla acuratețe și muncă grea.

Tip de lecție: – Lecție de generalizare și sistematizare a cunoștințelor

Elevi la clasă (audiență): - 25

Scurtă descriere: - Rezolvarea inegalităților exponențiale și logaritmice este considerată una dintre temele complexe din matematică și presupune ca elevii să aibă cunoștințe teoretice bune, capacitatea de a le aplica în practică, necesită atenție, muncă asiduă și inteligență. Subiectul discutat în lecție este, de asemenea, prezentat la examene de admitere la universități și la examenele finale. Acest tip lecția se dezvoltă gândire logică, memoria, interesul cognitiv, contribuie la dezvoltarea abilitatii de a analiza, compara si asculta pe ceilalti.

Etapele lecției și conținutul acestora

Timp

(min)

activitate

profesori

student

1. Etapa organizatorica

organizatoric

Absentele sunt raportate.

2. Stabilirea obiectivelor

Astăzi, în lecție, vom continua să exersăm metodele și metodele de bază învățate pentru rezolvarea inegalităților exponențiale și logaritmice și, de asemenea, vom lua în considerare și alte modalități de rezolvare a inegalităților logaritmice și exponențiale: aceasta este trecerea la inegalitățile raționale prin înlocuirea necunoscutului, precum și un metoda de împărțire a ambelor părți ale inegalității la un număr pozitiv.

Informează subiectul lecției, data lecției, scopul lecției

Notează în caiete

3.Verificarea temelor

Cheamă 3 persoane la consiliu la cererea studenților și, în același timp, conduce o conversație frontală pe probleme teoretice

Patru oameni lucrează la consiliu, restul participă la un sondaj teoretic

Pentru teme, vi s-a cerut să rezolvați inegalitățile logaritmice și exponențiale la două niveluri de complexitate. Să vedem soluția pentru unele dintre ele pe tablă

6,49(a); 6.52(d) 6.56(b), 6.54(b).

4.Actualizarea cunoștințelor elevilor

Să ne amintim ce metode am discutat în ultima lecție.

Astăzi ne vom uita la inegalitățile care, după introducerea unei noi necunoscute, se transformă în inegalități raționale.

Pentru a face acest lucru, să ne amintim care este soluția unei inegalități raționale de forma A(x) / B(x)>0? Ce metodă se utilizează pentru a rezolva inegalitățile raționale?

5. Îmbunătățirea cunoștințelor și abilităților elevilor

xx

Exemplul 1)2 - 9 / (2 -1)0

3 min

x +0,5xx +0,5

3). 25- 710+4>0

3 min

5). Consolidarea lucrurilor noi.

Făcând exerciții la tablă

6.48(.g);6.58(b);6.59(b) -la consiliu 6.62(c)

Te ghidează să alegi metoda rațională solutii. monitorizează corectitudinea raționamentului și înregistrarea corectă a soluției la inegalitate. Oferă o notă pentru lucrare

Un student decide la consiliu. Restul notează soluția într-un caiet.

6) Muncă independentă diferențiată (sarcină pe ecran)

Nivelul 1:

Opțiunea 12 opțiunea

Nr.6.48(b); Nr.6.48(e);

Nr. 6.58(a); Nr. 6.58(c)

Nivelul 2:

Opțiunea 12 opțiunea

Nr.6.61(b); Nr.6.61(d);

Nr. 6.62(c); Nr. 6.62(d).

5 min

2 persoane lucrează individual pe o tablă laterală. Restul efectuează lucrări independente pe mai multe niveluri pe teren

7) Verificarea muncii independente

3 min

8) Tema pentru acasă (pe ecran)

Nivelul 1 clauza 6.6 nr. 6.48 (a.);

Nivelul 2: clauza 6.6 nr. 6.59(c); nr. 6.62 (a); nr. 158 (pag. 382); nr. 168 (a, b) (pag. 383);

2 min

explică teme pentru acasă, atrăgând atenția elevilor asupra faptului că sarcini similare au fost discutate în clasă.

Ultimele două sarcini au fost oferite la admiterea la Universitatea de Stat din Moscova și MTITF.

După ce ai ascultat cu atenție profesorul, notează-ți temele. Nivelul de dificultate îl alegi singur.

8) Rezumatul lecției: Rezolvarea inegalităților exponențiale și logaritmice este considerată unul dintre subiectele dificile curs şcolar matematică și cere elevilor să aibă cunoștințe teoretice bune, capacitatea de a le aplica în practică, necesită atenție, muncă asiduă, inteligență, tocmai din acest motiv inegalitățile discutate în lecție sunt duse la examenele de admitere la universități și la examenele finale. Astăzi la lecție toată lumea a lucrat foarte bine și a primit notele următoare

Mulțumesc tuturor.

2 min

Fișiere:
Dimensiunea fișierului: 6789120 octeți.

Mulți oameni cred că inegalitățile exponențiale sunt ceva complex și de neînțeles. Și că a învăța să le rezolvi este aproape o mare artă, pe care numai Aleșii sunt capabili să o înțeleagă...

Prostii complete! Inegalitățile exponențiale sunt ușoare. Și sunt întotdeauna rezolvate simplu. Ei bine, aproape întotdeauna.

Astăzi vom analiza acest subiect în interior și în exterior. Această lecție va fi foarte utilă pentru cei care abia încep să înțeleagă această secțiune a matematicii școlare. Să începem cu sarcini simpleși vom trece la probleme mai complexe. Nu vor fi lucruri dificile astăzi, dar ceea ce urmează să citiți va fi suficient pentru a rezolva majoritatea inegalităților la toate tipurile de teste și teste. munca independenta. Și la acest examen al tău.

Ca întotdeauna, să începem cu definiția. O inegalitate exponențială este orice inegalitate care conține o funcție exponențială. Cu alte cuvinte, poate fi întotdeauna redusă la o inegalitate a formei

\[((a)^(x)) \gt b\]

Unde rolul lui $b$ poate fi un număr obișnuit, sau poate ceva mai dur. Exemple? Da te rog:

\[\begin(align) & ((2)^(x)) \gt 4;\quad ((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2));\ quad ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16; \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0,01;\quad ((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac (4) )(x))). \\\end(align)\]

Cred că sensul este clar: există o funcție exponențială $((a)^(x))$, este comparată cu ceva și apoi i se cere să găsească $x$. În cazuri deosebit de clinice, în loc de variabila $x$, pot pune o funcție $f\left(x \right)$ și astfel pot complica puțin inegalitatea.

Desigur, în unele cazuri inegalitatea poate părea mai gravă. Aici, de exemplu:

\[((9)^(x))+8 \gt ((3)^(x+2))\]

Sau chiar asta:

În general, complexitatea unor astfel de inegalități poate fi foarte diferită, dar în cele din urmă ele încă se reduc la construcția simplă $((a)^(x)) \gt b$. Și ne vom da seama cumva de o astfel de construcție (în cazuri mai ales clinice, când nu ne vine nimic în minte, logaritmii ne vor ajuta). Prin urmare, acum vă vom învăța cum să rezolvați astfel de construcții simple.

Rezolvarea inegalităților exponențiale simple

Să luăm în considerare ceva foarte simplu. De exemplu, aceasta:

\[((2)^(x)) \gt 4\]

Evident, numărul din dreapta poate fi rescris ca o putere a doi: $4=((2)^(2))$. Astfel, inegalitatea originală poate fi rescrisă într-o formă foarte convenabilă:

\[((2)^(x)) \gt ((2)^(2))\]

Și acum mâinile mele sunt mâncărime să „tăiască” cele două din bazele puterilor pentru a obține răspunsul $x \gt 2$. Dar înainte de a tăia orice, să ne amintim puterile a doi:

\[((2)^(1))=2;\quad ((2)^(2))=4;\quad ((2)^(3))=8;\quad ((2)^( 4))=16;...\]

După cum vedem, decât număr mai mare este în exponent, cu atât numărul de ieșire este mai mare. „Mulțumesc, Cap!” – va exclama unul dintre elevi. Este diferit? Din păcate, se întâmplă. De exemplu:

\[((\left(\frac(1)(2) \right))^(1))=\frac(1)(2);\quad ((\left(\frac(1)(2) \ dreapta))^(2))=\frac(1)(4);\quad ((\left(\frac(1)(2) \right))^(3))=\frac(1)(8 );...\]

Și aici totul este logic: cu cât gradul este mai mare, cu atât numărul 0,5 este înmulțit cu el însuși (adică, împărțit la jumătate). Astfel, succesiunea de numere rezultată este în scădere, iar diferența dintre prima și a doua secvență este doar în bază:

• Dacă baza gradului $a \gt 1$, atunci pe măsură ce exponentul $n$ crește, va crește și numărul $((a)^(n))$;
• Și invers, dacă $0 \lt a \lt 1$, atunci pe măsură ce exponentul $n$ crește, numărul $((a)^(n))$ va scădea.

Rezumând aceste fapte, obținem cea mai importantă afirmație pe care se bazează întreaga soluție a inegalităților exponențiale:

Dacă $a \gt 1$, atunci inegalitatea $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ este echivalentă cu inegalitatea $x \gt n$. Dacă $0 \lt a \lt 1$, atunci inegalitatea $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ este echivalentă cu inegalitatea $x \lt n$.

Cu alte cuvinte, dacă baza mai mult de unul, îl puteți elimina pur și simplu - semnul inegalității nu se va schimba. Și dacă baza este mai mică de unu, atunci poate fi și eliminată, dar în același timp va trebui să schimbați semnul inegalității.

Vă rugăm să rețineți că nu am luat în considerare opțiunile $a=1$ și $a\le 0$. Pentru că în aceste cazuri apare incertitudinea. Să spunem cum se rezolvă o inegalitate de forma $((1)^(x)) \gt 3$? Unul pentru orice putere va da din nou unul - nu vom primi niciodată trei sau mai multe. Aceste. nu exista solutii.

Din motive negative, totul este și mai interesant. De exemplu, luați în considerare această inegalitate:

\[((\left(-2 \right))^(x)) \gt 4\]

La prima vedere, totul este simplu:

Corect? Dar nu! Este suficient să înlocuiți câteva numere pare și câteva impare în loc de $x$ pentru a vă asigura că soluția este incorectă. Aruncă o privire:

\[\begin(align) & x=4\Rightarrow ((\left(-2 \right))^(4))=16 \gt 4; \\ & x=5\Rightarrow ((\left(-2 \right))^(5))=-32 \lt 4; \\ & x=6\Rightarrow ((\left(-2 \right))^(6))=64 \gt 4; \\ & x=7\Rightarrow ((\left(-2 \right))^(7))=-128 \lt 4. \\\end(align)\]

După cum puteți vedea, semnele se alternează. Dar există și puteri fracționale și alte prostii. Cum, de exemplu, ați ordona să calculați $((\left(-2 \right))^(\sqrt(7)))$ (minus doi la puterea lui șapte)? În nici un caz!

Prin urmare, pentru certitudine, presupunem că în toate inegalitățile exponențiale (și ecuațiile, apropo, de asemenea) $1\ne a \gt 0$. Și apoi totul este rezolvat foarte simplu:

\[((a)^(x)) \gt ((a)^(n))\Rightarrow \left[ \begin(align) & x \gt n\quad \left(a \gt 1 \right), \\ & x \lt n\quad \left(0 \lt a \lt 1 \right). \\\end(aliniere) \dreapta.\]

În general, amintiți-vă încă o dată regula principală: dacă baza într-o ecuație exponențială este mai mare decât unu, o puteți elimina pur și simplu; iar dacă baza este mai mică de unu, poate fi, de asemenea, îndepărtată, dar semnul inegalității se va schimba.

Exemple de soluții

Deci, să ne uităm la câteva inegalități exponențiale simple:

\[\begin(align) & ((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2)); \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0,01; \\ & ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16; \\ & ((0,2)^(1+((x)^(2))))\ge \frac(1)(25). \\\end(align)\]

Sarcina principală în toate cazurile este aceeași: reducerea inegalităților la cea mai simplă formă $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$. Este exact ceea ce vom face acum cu fiecare inegalitate și, în același timp, vom repeta proprietățile gradelor și ale funcțiilor exponențiale. Deci, hai să mergem!

\[((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2))\]

Ce poți face aici? Ei bine, în stânga avem deja o expresie orientativă - nimic nu trebuie schimbat. Dar în dreapta sunt niște porcării: o fracție și chiar o rădăcină în numitor!

Cu toate acestea, să ne amintim regulile de lucru cu fracții și puteri:

\[\begin(align) & \frac(1)(((a)^(n)))=((a)^(-n)); \\ & \sqrt[k](a)=((a)^(\frac(1)(k))). \\\end(align)\]

Ce înseamnă? În primul rând, putem scăpa cu ușurință de fracțiune transformând-o într-o putere cu exponent negativ. Și în al doilea rând, deoarece numitorul are o rădăcină, ar fi bine să-l transformăm într-o putere - de data aceasta cu un exponent fracționar.

Să aplicăm secvențial aceste acțiuni în partea dreaptă a inegalității și să vedem ce se întâmplă:

\[\frac(1)(\sqrt(2))=((\left(\sqrt(2) \right))^(-1))=((\left(((2)^(\frac() 1)(3))) \right))^(-1))=((2)^(\frac(1)(3)\cdot \left(-1 \right)))=((2)^ (-\frac(1)(3)))\]

Nu uitați că atunci când ridicați un grad la o putere, exponenții acestor grade se adună. Și, în general, atunci când lucrezi cu ecuații exponențialeși inegalități este absolut necesar să cunoașteți cel puțin cele mai simple reguli de lucru cu grade:

\[\begin(align) & ((a)^(x))\cdot ((a)^(y))=((a)^(x+y)); \\ & \frac(((a)^(x)))(((a)^(y)))=((a)^(x-y)); \\ & ((\left(((a)^(x)) \right))^(y))=((a)^(x\cdot y)). \\\end(align)\]

De fapt, tocmai am aplicat ultima regulă. Prin urmare, inegalitatea noastră inițială va fi rescrisă după cum urmează:

\[((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2))\Rightarrow ((2)^(x-1))\le ((2)^(-\ frac(1)(3)))\]

Acum scăpăm de cele două de la bază. Deoarece 2 > 1, semnul inegalității va rămâne același:

\[\begin(align) & x-1\le -\frac(1)(3)\Rightarrow x\le 1-\frac(1)(3)=\frac(2)(3); \\ & x\in \left(-\infty ;\frac(2)(3) \right]. \\\end(align)\]

Asta e solutia! Principala dificultate nu este deloc în funcția exponențială, ci în transformarea competentă a expresiei originale: trebuie să o aduceți cu atenție și rapid la forma sa cea mai simplă.

Luați în considerare a doua inegalitate:

\[((0,1)^(1-x)) \lt 0,01\]

Da, da. Fracțiile zecimale ne așteaptă aici. După cum am spus de multe ori, în orice expresii cu puteri ar trebui să scapi de zecimale - aceasta este adesea singura modalitate de a vedea o soluție rapidă și simplă. Aici vom scăpa de:

\[\begin(align) & 0.1=\frac(1)(10);\quad 0.01=\frac(1)(100)=((\left(\frac(1)(10) \ right))^ (2)); \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0,01\Rightarrow ((\left(\frac(1)(10) \right))^(1-x)) \lt ( (\left(\frac(1)(10) \right))^(2)). \\\end(align)\]

Aici avem din nou cea mai simplă inegalitate și chiar și cu o bază de 1/10, i.e. mai putin de unul. Ei bine, eliminăm bazele, schimbând simultan semnul de la „mai puțin” la „mai mult”, și obținem:

\[\begin(align) & 1-x \gt 2; \\ & -x \gt 2-1; \\ & -x \gt 1; \\& x \lt -1. \\\end(align)\]

Am primit răspunsul final: $x\in \left(-\infty ;-1 \right)$. Vă rugăm să rețineți: răspunsul este tocmai o mulțime, și în niciun caz o construcție de forma $x \lt -1$. Pentru că formal, o astfel de construcție nu este deloc o mulțime, ci o inegalitate față de variabila $x$. Da, este foarte simplu, dar nu este răspunsul!

Notă importantă. Această inegalitate ar putea fi rezolvată într-un alt mod - prin reducerea ambelor părți la o putere cu o bază mai mare decât unu. Aruncă o privire:

\[\frac(1)(10)=((10)^(-1))\Rightarrow ((\left(((10)^(-1)) \right))^(1-x)) \ lt ((\left(((10)^(-1)) \right))^(2))\Rightarrow ((10)^(-1\cdot \left(1-x \right))) \lt ((10)^(-1\cdot 2))\]

După o astfel de transformare, vom obține din nou o inegalitate exponențială, dar cu o bază de 10 > 1. Aceasta înseamnă că putem tăia pur și simplu zece - semnul inegalității nu se va schimba. Primim:

\[\begin(align) & -1\cdot \left(1-x \right) \lt -1\cdot 2; \\ & x-1 \lt -2; \\ & x \lt -2+1=-1; \\ & x \lt -1. \\\end(align)\]

După cum puteți vedea, răspunsul a fost exact același. În același timp, ne-am ferit de nevoia de a schimba semnul și, în general, ne-am amintit orice regulă.

\[((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16\]

Cu toate acestea, nu lăsați acest lucru să vă sperie. Indiferent de ce se află în indicatori, tehnologia de rezolvare a inegalității în sine rămâne aceeași. Prin urmare, să remarcăm mai întâi că 16 = 2 4. Să rescriem inegalitatea inițială ținând cont de acest fapt:

\[\begin(align) & ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt ((2)^(4)); \\ & ((x)^(2))-7x+14 \lt 4; \\ & ((x)^(2))-7x+10 \lt 0. \\\end(align)\]

Ura! Avem cele obișnuite inegalitatea pătratică! Semnul nu s-a schimbat nicăieri, deoarece baza este doi - un număr mai mare decât unu.

Zerurile unei funcții pe linia numerică

Aranjam semnele functiei $f\left(x \right)=((x)^(2))-7x+10$ - evident, graficul acesteia va fi o parabolă cu ramuri în sus, deci vor exista „plusuri”. ” pe laterale. Ne interesează regiunea în care funcția este mai mică decât zero, adică. $x\in \left(2;5 \right)$ este răspunsul la problema inițială.

În cele din urmă, luați în considerare o altă inegalitate:

\[(((0,2)^(1+((x)^(2))))\ge \frac(1)(25)\]

Din nou vedem o funcție exponențială cu o fracție zecimală la bază. Să transformăm această fracție într-o fracție comună:

\[\begin(align) & 0.2=\frac(2)(10)=\frac(1)(5)=((5)^(-1))\Rightarrow \\ & \Rightarrow ((0 ,2) )^(1+((x)^(2))))=((\left(((5)^(-1)) \right))^(1+((x)^(2) )) )=((5)^(-1\cdot \left(1+((x)^(2)) \right)))\end(align)\]

În acest caz, am folosit observația dată mai devreme - am redus baza la numărul 5 > 1 pentru a simplifica soluția noastră ulterioară. Să facem același lucru cu partea dreaptă:

\[\frac(1)(25)=((\left(\frac(1)(5) \right))^(2))=((\left(((5)^(-1)) \ dreapta))^(2))=((5)^(-1\cdot 2))=((5)^(-2))\]

Să rescriem inegalitatea inițială ținând cont de ambele transformări:

\[((0,2)^(1+((x)^(2))))\ge \frac(1)(25)\Rightarrow ((5)^(-1\cdot \left(1+) ((x)^(2))\dreapta)))\ge ((5)^(-2))\]

Bazele de pe ambele părți sunt aceleași și depășesc unul. Nu există alți termeni la dreapta și la stânga, așa că pur și simplu „tașăm” cei cinci și obținem o expresie foarte simplă:

\[\begin(align) & -1\cdot \left(1+((x)^(2)) \right)\ge -2; \\ & -1-((x)^(2))\ge -2; \\ & -((x)^(2))\ge -2+1; \\ & -((x)^(2))\ge -1;\quad \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ & ((x)^(2))\le 1. \\\end(align)\]

Aici trebuie să fii mai atent. Mulți studenți le place să extragă pur și simplu rădăcină pătrată de ambele părți ale inegalității și scrieți ceva de genul $x\le 1\Rightarrow x\in \left(-\infty ;-1 \right]$. În niciun caz nu ar trebui să faceți acest lucru, deoarece rădăcina unui pătrat exact este modul, și în niciun caz variabila originală:

\[\sqrt(((x)^(2)))=\left| x\dreapta|\]

Cu toate acestea, lucrul cu module nu este cea mai plăcută experiență, nu-i așa? Deci nu vom lucra. În schimb, pur și simplu mutăm toți termenii la stânga și rezolvăm inegalitatea obișnuită folosind metoda intervalului:

$\begin(align) & ((x)^(2))-1\le 0; \\ & \left(x-1 \right)\left(x+1 \right)\le 0 \\ & ((x)_(1))=1;\quad ((x)_(2)) =-1; \\\end(align)$

Marcam din nou punctele obținute pe linia numerică și ne uităm la semnele:

Deoarece rezolvăm o inegalitate nestrictă, toate punctele din grafic sunt umbrite. Prin urmare, răspunsul va fi: $x\in \left[ -1;1 \right]$ nu este un interval, ci un segment.

În general, aș dori să observ că nu este nimic complicat în ceea ce privește inegalitățile exponențiale. Semnificația tuturor transformărilor pe care le-am efectuat astăzi se rezumă la un algoritm simplu:

• Găsiți baza la care vom reduce toate gradele;
• Efectuați cu atenție transformările pentru a obține o inegalitate de forma $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$. Desigur, în loc de variabilele $x$ și $n$ pot fi mult mai multe funcții complexe, dar sensul nu se va schimba;
• Tăiați bazele gradelor. În acest caz, semnul de inegalitate se poate schimba dacă baza $a \lt 1$.

De fapt, acesta este un algoritm universal pentru rezolvarea tuturor acestor inegalități. Și tot ceea ce vă vor spune despre acest subiect este doar tehnici și trucuri specifice care vor simplifica și accelera transformarea. Vom vorbi despre una dintre aceste tehnici acum :)

Metoda raționalizării

Să luăm în considerare un alt set de inegalități:

\[\begin(align) & ((\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))^(x+7)) \gt ((\text( )\!\!\pi \!\!\text( ))^(((x)^(2))-3x+2)); \\ & ((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1; \\ & ((\left(\frac(1)(3) \right))^(((x)^(2))+2x)) \gt ((\left(\frac(1)(9)) \dreapta))^(16-x)); \\ & ((\left(3-2\sqrt(2) \right))^(3x-((x)^(2)))) \lt 1. \\\end(align)\]

Deci, ce este atât de special la ei? Sunt ușoare. Deși, oprește-te! Este numărul π ridicat la o anumită putere? Ce prostie?

Cum se ridică numărul $2\sqrt(3)-3$ la o putere? Sau $3-2\sqrt(2)$? Scriitorii cu probleme au băut, evident, prea mult Hawthorn înainte de a se așeza la muncă :)

De fapt, nu este nimic înfricoșător în aceste sarcini. Permiteți-mi să vă reamintesc: o funcție exponențială este o expresie de forma $((a)^(x))$, unde baza $a$ este orice număr pozitiv, cu excepția unuia. Numărul π este pozitiv - știm deja asta. Numerele $2\sqrt(3)-3$ și $3-2\sqrt(2)$ sunt de asemenea pozitive - acest lucru este ușor de observat dacă le compari cu zero.

Se pare că toate aceste inegalități „înfricoșătoare” sunt rezolvate cu nimic diferit de cele simple discutate mai sus? Și sunt rezolvate în același mod? Da, este absolut corect. Cu toate acestea, folosind exemplul lor, aș dori să iau în considerare o tehnică care economisește mult timp pentru munca independentă și examene. Vom vorbi despre metoda raționalizării. Deci, atentie:

Orice inegalitate exponențială de forma $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ este echivalentă cu inegalitatea $\left(x-n \right)\cdot \left(a-1 \ dreapta) \gt 0 $.

Asta e toată metoda :) Te-ai gândit că va exista un alt joc? Nimic de genul! Dar acest fapt simplu, scris literalmente într-o singură linie, ne va simplifica foarte mult munca. Aruncă o privire:

\[\begin(matrix) ((\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))^(x+7)) \gt ((\text( )\!\!\pi\ !\!\text( ))^(((x)^(2))-3x+2)) \\ \Downarrow \\ \left(x+7-\left(((x)^(2)) -3x+2 \right) \right)\cdot \left(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \right) \gt 0 \\\end(matrix)\]

Deci nu mai există funcții exponențiale! Și nu trebuie să vă amintiți dacă semnul se schimbă sau nu. Dar apare noua problema: ce să faci cu multiplicatorul nenorocit \[\left(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \right)\]? Nu știm despre ce este vorba valoarea exacta numerele π. Cu toate acestea, căpitanul pare să sugereze ceea ce este evident:

\[\text( )\!\!\pi\!\!\text( )\aprox 3.14... \gt 3\Rightarrow \text( )\!\!\pi\!\!\text( )- 1\gt 3-1=2\]

În general, valoarea exactă a lui π nu ne privește cu adevărat - este important doar pentru noi să înțelegem că, în orice caz, $\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \gt 2 $, t .e. aceasta este o constantă pozitivă și putem împărți ambele părți ale inegalității cu aceasta:

\[\begin(align) & \left(x+7-\left(((x)^(2))-3x+2 \right) \right)\cdot \left(\text( )\!\! \pi\!\!\text( )-1 \right) \gt 0 \\ & x+7-\left(((x)^(2))-3x+2 \right) \gt 0; \\ & x+7-((x)^(2))+3x-2 \gt 0; \\ & -((x)^(2))+4x+5 \gt 0;\quad \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ & ((x)^(2))-4x-5 \lt 0; \\ & \left(x-5 \right)\left(x+1 \right) \lt 0. \\\end(align)\]

După cum puteți vedea, la un moment dat a trebuit să împărțim cu minus unu - și semnul inegalității s-a schimbat. La final, am extins trinomul pătratic folosind teorema lui Vieta - este evident că rădăcinile sunt egale cu $((x)_(1))=5$ și $((x)_(2))=-1$ . Apoi totul este rezolvat folosind metoda clasică a intervalului:

Toate punctele sunt eliminate deoarece inegalitatea originală este strictă. Ne interesează regiunea cu valori negative, deci răspunsul este $x\in \left(-1;5 \right)$. Asta e solutia :)

Să trecem la următoarea sarcină:

\[((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1\]

Totul aici este în general simplu, deoarece există o unitate în dreapta. Și ne amintim că unu este orice număr ridicat la puterea zero. Chiar dacă acest număr este expresie irațională, stând la bază în stânga:

\[\begin(align) & ((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1=((\left(2) \sqrt(3)-3 \right))^(0)); \\ & ((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt ((\left(2\sqrt(3)-3) \dreapta))^(0)); \\\end(align)\]

Ei bine, hai să raționalizăm:

\[\begin(align) & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot \left(2\sqrt(3)-3-1 \right) \lt 0; \\ & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot \left(2\sqrt(3)-4 \right) \lt 0; \\ & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot 2\left(\sqrt(3)-2 \right) \lt 0. \\\end(align)\ ]

Tot ce rămâne este să descoperi semnele. Factorul $2\left(\sqrt(3)-2 \right)$ nu conține variabila $x$ - este doar o constantă și trebuie să aflăm semnul acesteia. Pentru a face acest lucru, rețineți următoarele:

\[\begin(matrix) \sqrt(3) \lt \sqrt(4)=2 \\ \Downarrow \\ 2\left(\sqrt(3)-2 \right) \lt 2\cdot \left(2 -2 \right)=0 \\\end(matrice)\]

Se pare că al doilea factor nu este doar o constantă, ci o constantă negativă! Și la împărțirea la ea, semnul inegalității originale se schimbă în opus:

\[\begin(align) & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot 2\left(\sqrt(3)-2 \right) \lt 0; \\ & ((x)^(2))-2x-0 \gt 0; \\ & x\left(x-2 \right) \gt 0. \\\end(align)\]

Acum totul devine complet evident. Rădăcinile trinomului pătrat din dreapta sunt: ​​$((x)_(1))=0$ și $((x)_(2))=2$. Le marchem pe linia numerică și ne uităm la semnele funcției $f\left(x \right)=x\left(x-2 \right)$:

Ne interesează intervalele marcate cu semnul plus. Rămâne doar să scrieți răspunsul:

Să trecem la următorul exemplu:

\[((\left(\frac(1)(3) \right)))^(((x)^(2))+2x)) \gt ((\left(\frac(1)(9) \ dreapta))^(16-x))\]

Ei bine, totul este complet evident aici: bazele conțin puteri de același număr. Prin urmare, voi scrie totul pe scurt:

\[\begin(matrix) \frac(1)(3)=((3)^(-1));\quad \frac(1)(9)=\frac(1)(((3)^( 2)))=((3)^(-2)) \\ \În jos \\ ((\left(((3)^(-1)) \right))^(((x)^(2) )+2x)) \gt ((\left(((3)^(-2)) \right))^(16-x)) \\\end(matrice)\]

\[\begin(align) & ((3)^(-1\cdot \left(((x)^(2))+2x \right))) \gt ((3)^(-2\cdot \ stânga(16-x \dreapta))); \\ & ((3)^(-((x)^(2))-2x)) \gt ((3)^(-32+2x)); \\ & \left(-((x)^(2))-2x-\left(-32+2x \right) \right)\cdot \left(3-1 \right) \gt 0; \\ & -((x)^(2))-2x+32-2x \gt 0; \\ & -((x)^(2))-4x+32 \gt 0;\quad \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ & ((x)^(2))+4x-32 \lt 0; \\ & \left(x+8 \right)\left(x-4 \right) \lt 0. \\\end(align)\]

După cum puteți vedea, în timpul procesului de transformare a trebuit să înmulțim cu un număr negativ, așa că semnul de inegalitate s-a schimbat. La final, am aplicat din nou teorema lui Vieta pentru a factoriza trinomul pătratic. Ca urmare, răspunsul va fi următorul: $x\in \left(-8;4 \right)$ - oricine poate verifica acest lucru prin trasarea unei linii numerice, marcarea punctelor și numărarea semnelor. Între timp, vom trece la ultima inegalitate din „setul” nostru:

\[((\left(3-2\sqrt(2) \right))^(3x-((x)^(2)))) \lt 1\]

După cum puteți vedea, la bază există din nou un număr irațional, iar în dreapta este din nou o unitate. Prin urmare, rescriem inegalitatea noastră exponențială după cum urmează:

\[((\left(3-2\sqrt(2) \right))^(3x-((x)^(2)))) \lt ((\left(3-2\sqrt(2)) \ dreapta))^(0))\]

Aplicam rationalizarea:

\[\begin(align) & \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot \left(3-2\sqrt(2)-1 \right) \lt 0; \\ & \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot \left(2-2\sqrt(2) \right) \lt 0; \\ & \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot 2\left(1-\sqrt(2) \right) \lt 0. \\\end(align)\ ]

Cu toate acestea, este destul de evident că $1-\sqrt(2) \lt 0$, deoarece $\sqrt(2)\aproximativ 1,4... \gt 1$. Prin urmare, al doilea factor este din nou o constantă negativă, prin care ambele părți ale inegalității pot fi împărțite:

\[\begin(matrix) \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot 2\left(1-\sqrt(2) \right) \lt 0 \\ \Downarrow \ \\end(matrice)\]

\[\begin(align) & 3x-((x)^(2))-0 \gt 0; \\ & 3x-((x)^(2)) \gt 0;\quad \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ & ((x)^(2))-3x \lt 0; \\ & x\left(x-3 \right) \lt 0. \\\end(align)\]

Mutați-vă la altă bază

O problemă separată la rezolvarea inegalităților exponențiale este căutarea bazei „corecte”. Din păcate, nu este întotdeauna evident la prima vedere asupra unei sarcini ce să ia ca bază și ce să facă în funcție de gradul acestei baze.

Dar nu vă faceți griji: aici nu există magie sau tehnologie „secretă”. În matematică, orice abilitate care nu poate fi algoritmizată poate fi dezvoltată cu ușurință prin practică. Dar pentru aceasta va trebui să rezolvați probleme de diferite niveluri de complexitate. De exemplu, așa:

\[\begin(align) & ((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac(4)(x))); \\ & ((\left(\frac(1)(3) \right))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x)); \\ & ((\left(0,16 \right))^(1+2x))\cdot ((\left(6,25 \right))^(x))\ge 1; \\ & ((\left(\frac(27)(\sqrt(3)) \right))^(-x)) \lt ((9)^(4-2x))\cdot 81. \\\ sfârşitul (alinierea)\]

Dificil? Înfricoșător? E mai ușor decât să lovești un pui pe asfalt! Să încercăm. Prima inegalitate:

\[((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac(4)(x)))\]

Ei bine, cred că totul este clar aici:

Rescriem inegalitatea originală, reducând totul la baza două:

\[((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((2)^(\frac(8)(x)))\Rightarrow \left(\frac(x)(2)- \frac(8)(x) \right)\cdot \left(2-1 \right) \lt 0\]

Da, da, ați auzit bine: tocmai am aplicat metoda de raționalizare descrisă mai sus. Acum trebuie să lucrăm cu atenție: avem o inegalitate fracțională-rațională (aceasta este una care are o variabilă la numitor), așa că înainte de a echivala ceva cu zero, trebuie să aducem totul la un numitor comun și să scăpăm de factorul constant .

\[\begin(align) & \left(\frac(x)(2)-\frac(8)(x) \right)\cdot \left(2-1 \right) \lt 0; \\ & \left(\frac(((x)^(2))-16)(2x) \right)\cdot 1 \lt 0; \\ & \frac(((x)^(2))-16)(2x) \lt 0. \\\end(align)\]

Acum folosim metoda intervalului standard. Zerourile numeratorului: $x=\pm 4$. Numitorul ajunge la zero numai atunci când $x=0$. Există trei puncte în total care trebuie marcate pe linia numerică (toate punctele sunt fixate deoarece semnul inegalității este strict). Primim:

După cum ați putea ghici, umbrirea marchează acele intervale la care ia expresia din stânga valori negative. Prin urmare, răspunsul final va include două intervale simultan:

Capetele intervalelor nu sunt incluse în răspuns deoarece inegalitatea inițială a fost strictă. Nu este necesară verificarea suplimentară a acestui răspuns. În acest sens, inegalitățile exponențiale sunt mult mai simple decât cele logaritmice: fără ODZ, fără restricții etc.

Să trecem la următoarea sarcină:

\[((\left(\frac(1)(3) \right)))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x))\]

Nici aici nu există probleme, deoarece știm deja că $\frac(1)(3)=((3)^(-1))$, deci întreaga inegalitate poate fi rescrisă după cum urmează:

\[\begin(align) & ((\left(((3)^(-1)) \right))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x ))\Rightarrow ((3)^(-\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x)); \\ & \left(-\frac(3)(x)-\left(2+x \right) \right)\cdot \left(3-1 \right)\ge 0; \\ & \left(-\frac(3)(x)-2-x \right)\cdot 2\ge 0;\quad \left| :\stânga(-2 \dreapta) \dreapta. \\ & \frac(3)(x)+2+x\le 0; \\ & \frac(((x)^(2))+2x+3)(x)\le 0. \\\end(align)\]

Vă rugăm să rețineți: în a treia linie am decis să nu pierd timpul cu fleacuri și să împart imediat totul la (−2). Minul a intrat în prima paranteză (acum sunt plusuri peste tot), iar două au fost reduse cu un factor constant. Este exact ceea ce ar trebui să faceți atunci când pregătiți afișaje reale pe independent și teste— nu este nevoie să descriem fiecare acțiune și transformare.

În continuare, intră în joc metoda familiară a intervalelor. Zerouri ale numărătorului: dar nu există. Pentru că discriminantul va fi negativ. La rândul său, numitorul este resetat la zero numai la $x=0$ - ca în ultima dată. Ei bine, este clar că la dreapta lui $x=0$ va lua fracția valori pozitive, iar în stânga sunt negative. Deoarece ne interesează valorile negative, răspunsul final este: $x\in \left(-\infty ;0 \right)$.

\[((\left(0,16 \right))^(1+2x))\cdot ((\left(6,25 \right))^(x))\ge 1\]

Ce ar trebui să faci cu fracțiile zecimale din inegalitățile exponențiale? Așa este: scapă de ele, transformându-le în altele obișnuite. Aici vom traduce:

\[\begin(align) & 0.16=\frac(16)(100)=\frac(4)(25)\Rightarrow ((\left(0.16 \right))^(1+2x)) =((\ stânga(\frac(4)(25) \right))^(1+2x)); \\ & 6,25=\frac(625)(100)=\frac(25)(4)\Rightarrow ((\left(6,25 \right))^(x))=((\left(\ frac(25)) (4)\dreapta))^(x)). \\\end(align)\]

Deci, ce am obținut în bazele funcțiilor exponențiale? Și avem două numere reciproc inverse:

\[\frac(25)(4)=((\left(\frac(4)(25) \right))^(-1))\Rightarrow ((\left(\frac(25)(4) \ dreapta))^(x))=((\left(((\left(\frac(4)(25) \right))^(-1)) \right))^(x))=((\ stânga(\frac(4)(25) \dreapta))^(-x))\]

Astfel, inegalitatea originală poate fi rescrisă după cum urmează:

\[\begin(align) & ((\left(\frac(4)(25) \right))^(1+2x))\cdot ((\left(\frac(4)(25) \right) )^(-x))\ge 1; \\ & ((\left(\frac(4)(25) \right))^(1+2x+\left(-x \right)))\ge ((\left(\frac(4)(25) \dreapta))^(0)); \\ & ((\left(\frac(4)(25) \right))^(x+1))\ge ((\left(\frac(4)(25) \right))^(0) ). \\\end(align)\]

Desigur, la înmulțirea puterilor cu aceeași bază, exponenții acestora se adună, ceea ce s-a întâmplat în a doua linie. În plus, am reprezentat unitatea din dreapta, tot ca putere în baza 4/25. Rămâne doar să raționalizezi:

\[((\left(\frac(4)(25) \right))^(x+1))\ge ((\left(\frac(4)(25) \right))^(0)) \Rightarrow \left(x+1-0 \right)\cdot \left(\frac(4)(25)-1 \right)\ge 0\]

Rețineți că $\frac(4)(25)-1=\frac(4-25)(25) \lt 0$, adică. al doilea factor este o constantă negativă, iar la împărțirea la acesta, semnul inegalității se va schimba:

\[\begin(align) & x+1-0\le 0\Rightarrow x\le -1; \\ & x\în \left(-\infty ;-1 \right]. \\\end(align)\]

În cele din urmă, ultima inegalitate din „mulțimea” actuală:

\[((\left(\frac(27)(\sqrt(3)) \right))^(-x)) \lt ((9)^(4-2x))\cdot 81\]

În principiu, ideea soluției de aici este de asemenea clară: toate funcțiile exponențiale incluse în inegalitate trebuie reduse la baza „3”. Dar pentru asta va trebui să te chinui puțin cu rădăcini și puteri:

\[\begin(align) & \frac(27)(\sqrt(3))=\frac((((3)^(3)))(((3)^(\frac(1)(3)) ))=((3)^(3-\frac(1)(3)))=((3)^(\frac(8)(3))); \\ & 9=((3)^(2));\quad 81=((3)^(4)). \\\end(align)\]

Luând în considerare aceste fapte, inegalitatea inițială poate fi rescrisă după cum urmează:

\[\begin(align) & ((\left(((3)^(\frac(8)(3))) \right))^(-x)) \lt ((\left(((3)) ^(2))\dreapta))^(4-2x))\cdot ((3)^(4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(8-4x))\cdot ((3)^(4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(8-4x+4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(4-4x)). \\\end(align)\]

Atenție la rândurile 2 și 3 ale calculelor: înainte de a face ceva cu inegalitatea, asigurați-vă că o aduceți la forma despre care am vorbit încă de la începutul lecției: $((a)^(x)) \ lt ((a)^(n))$. Atâta timp cât aveți niște factori stângaci, constante suplimentare etc. în stânga sau în dreapta, nu poate fi efectuată nicio raționalizare sau „radiere” a terenurilor! Nenumărate sarcini au fost finalizate incorect din cauza neînțelegerii acestui fapt simplu. Eu însumi observ constant această problemă cu studenții mei când abia începem să analizăm inegalitățile exponențiale și logaritmice.

Dar să revenim la sarcina noastră. Să încercăm de data asta să facem fără raționalizare. Să ne amintim: baza gradului este mai mare decât unu, astfel încât triplele pot fi pur și simplu tăiate - semnul inegalității nu se va schimba. Primim:

\[\begin(align) & -\frac(8x)(3) \lt 4-4x; \\ & 4x-\frac(8x)(3) \lt 4; \\ & \frac(4x)(3) \lt 4; \\ & 4x \lt 12; \\ & x \lt 3. \\\end(align)\]

Asta este. Răspuns final: $x\in \left(-\infty ;3 \right)$.

Izolarea unei expresii stabile și înlocuirea unei variabile

În concluzie, propun rezolvarea a încă patru inegalități exponențiale, care sunt deja destul de dificile pentru elevii nepregătiți. Pentru a le face față, trebuie să vă amintiți regulile de lucru cu grade. În special, scoaterea din paranteze a factorilor comuni.

Dar cel mai important lucru este să înveți să înțelegi ce anume poate fi scos dintre paranteze. O astfel de expresie se numește stabilă - poate fi notată printr-o nouă variabilă și astfel scăpați de funcția exponențială. Deci, să ne uităm la sarcini:

\[\begin(align) & ((5)^(x+2))+((5)^(x+1))\ge 6; \\ & ((3)^(x))+((3)^(x+2))\ge 90; \\ & ((25)^(x+1,5))-((5)^(2x+2)) \gt 2500; \\ & ((\left(0,5 \right))^(-4x-8))-((16)^(x+1,5)) \gt 768. \\\end(align)\]

Să începem de la prima linie. Să scriem separat această inegalitate:

\[((5)^(x+2))+((5)^(x+1))\ge 6\]

Rețineți că $((5)^(x+2))=((5)^(x+1+1))=((5)^(x+1))\cdot 5$, deci mâna dreaptă partea poate fi rescrisa:

Rețineți că nu există alte funcții exponențiale cu excepția $((5)^(x+1))$ în inegalitate. Și, în general, variabila $x$ nu apare nicăieri altundeva, așa că să introducem o nouă variabilă: $((5)^(x+1))=t$. Obținem următoarea construcție:

\[\begin(align) & 5t+t\ge 6; \\&6t\ge 6; \\ & t\ge 1. \\\end(align)\]

Revenim la variabila originală ($t=((5)^(x+1))$), și în același timp ne amintim că 1=5 0 . Avem:

\[\begin(align) & ((5)^(x+1))\ge ((5)^(0)); \\ & x+1\ge 0; \\ & x\ge -1. \\\end(align)\]

Asta e solutia! Răspuns: $x\în \left[ -1;+\infty \right)$. Să trecem la a doua inegalitate:

\[((3)^(x))+((3)^(x+2))\ge 90\]

Totul este la fel aici. Rețineți că $((3)^(x+2))=((3)^(x))\cdot ((3)^(2))=9\cdot ((3)^(x))$ . Apoi partea stângă poate fi rescrisă:

\[\begin(align) & ((3)^(x))+9\cdot ((3)^(x))\ge 90;\quad \left| ((3)^(x))=t\dreapta. \\&t+9t\ge 90; \\ & 10t\ge 90; \\ & t\ge 9\Rightarrow ((3)^(x))\ge 9\Rightarrow ((3)^(x))\ge ((3)^(2)); \\ & x\ge 2\Rightarrow x\in \left[ 2;+\infty \right). \\\end(align)\]

Cam așa trebuie să elaborezi o soluție pentru teste reale și muncă independentă.

Ei bine, hai să încercăm ceva mai complicat. De exemplu, iată inegalitatea:

\[((25)^(x+1,5))-((5)^(2x+2)) \gt 2500\]

Care este problema aici? În primul rând, bazele funcțiilor exponențiale din stânga sunt diferite: 5 și 25. Totuși, 25 = 5 2, deci primul termen poate fi transformat:

\[\begin(align) & ((25)^(x+1.5))=((\left((((5)^(2)) \right))^(x+1.5))= ((5) ^(2x+3)); \\ & ((5)^(2x+3))=((5)^(2x+2+1))=((5)^(2x+2))\cdot 5. \\\end(align) )\]

După cum puteți vedea, la început am adus totul la aceeași bază, apoi am observat că primul termen poate fi redus cu ușurință la al doilea - trebuie doar să extindeți exponentul. Acum puteți introduce în siguranță o nouă variabilă: $((5)^(2x+2))=t$, iar întreaga inegalitate va fi rescrisă după cum urmează:

\[\begin(align) & 5t-t\ge 2500; \\&4t\ge 2500; \\ & t\ge 625=((5)^(4)); \\ & ((5)^(2x+2))\ge ((5)^(4)); \\ & 2x+2\ge 4; \\&2x\ge 2; \\ & x\ge 1. \\\end(align)\]

Și din nou, fără dificultăți! Răspuns final: $x\in \left[ 1;+\infty \right)$. Să trecem la inegalitatea finală în lecția de astăzi:

\[((\left(0,5 \right))^(-4x-8))-((16)^(x+1,5)) \gt 768\]

Primul lucru la care ar trebui să acordați atenție este, desigur, zecimal la baza gradului I. Este necesar să scăpați de el și, în același timp, să aduceți toate funcțiile exponențiale la aceeași bază - numărul „2”:

\[\begin(align) & 0.5=\frac(1)(2)=((2)^(-1))\Rightarrow ((\left(0.5 \right))^(-4x- 8))= ((\left(((2)^(-1)) \right))^(-4x-8))=((2)^(4x+8)); \\ & 16=((2)^(4))\Rightarrow ((16)^(x+1,5))=((\left(((2)^(4)) \right))^( x+ 1,5))=((2)^(4x+6)); \\ & ((2)^(4x+8))-((2)^(4x+6)) \gt 768. \\\end(align)\]

Grozav, am făcut primul pas – totul a dus la aceeași fundație. Acum trebuie să selectați o expresie stabilă. Rețineți că $((2)^(4x+8))=((2)^(4x+6+2))=((2)^(4x+6))\cdot 4$. Dacă introducem o nouă variabilă $((2)^(4x+6))=t$, atunci inegalitatea originală poate fi rescrisă după cum urmează:

\[\begin(align) & 4t-t \gt 768; \\ & 3t \gt 768; \\ & t \gt 256=((2)^(8)); \\ & ((2)^(4x+6)) \gt ((2)^(8)); \\ & 4x+6 \gt 8; \\ & 4x \gt 2; \\ & x \gt \frac(1)(2)=0,5. \\\end(align)\]

Desigur, poate apărea întrebarea: cum am descoperit că 256 = 2 8? Din păcate, aici trebuie doar să cunoști puterile lui doi (și în același timp puterile lui trei și cinci). Ei bine, sau împărțiți 256 la 2 (puteți împărți, deoarece 256 este un număr par) până când obținem rezultatul. Va arata cam asa:

\[\begin(align) & 256=128\cdot 2= \\ & =64\cdot 2\cdot 2= \\ & =32\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =16\cdot 2 \cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =8\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =4\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =((2)^(8)).\end(align )\]

Același lucru este valabil și cu trei (numerele 9, 27, 81 și 243 sunt gradele sale) și cu șapte (numerele 49 și 343 ar fi, de asemenea, bine de reținut). Ei bine, cele cinci au și grade „frumoase” pe care trebuie să le știi:

\[\begin(align) & ((5)^(2))=25; \\ & ((5)^(3))=125; \\ & ((5)^(4))=625; \\ & ((5)^(5))=3125. \\\end(align)\]

Desigur, dacă doriți, toate aceste numere pot fi restaurate în mintea voastră prin simpla înmulțire succesivă între ele. Totuși, atunci când trebuie să rezolvați mai multe inegalități exponențiale, iar fiecare următoare este mai dificilă decât cea anterioară, atunci ultimul lucru la care doriți să vă gândiți este puterile unor numere. Și în acest sens, aceste probleme sunt mai complexe decât inegalitățile „clasice” care sunt rezolvate prin metoda intervalului.

Sper că această lecție te-a ajutat să stăpânești acest subiect. Dacă ceva nu este clar, întrebați în comentarii. Și ne vedem la următoarele lecții :)

Tema 6. Ecuații și inegalități exponențiale și logaritmice (11 ore)
Subiectul lecției. Inegalități reduse la cele mai simple prin înlocuirea necunoscutului.
Scopul lecției: Dezvoltarea abilităților de rezolvare a inegalităților exponențiale și logaritmice, prin reducerea acestora la cele mai simple, prin înlocuirea necunoscutului.
Sarcini:
Educativ: repetați și consolidați cunoștințele pe tema „rezolvarea celor mai simple inegalități exponențiale și logaritmice”, învățați să rezolvați inegalitățile logaritmice și exponențiale folosind metoda substituției.
Dezvoltare: pentru a dezvolta capacitatea elevului de a identifica două tipuri de inegalități și de a determina modalități de rezolvare a acestora (gândire logică și intuitivă, justificarea judecăților, clasificare, comparație), de a dezvolta abilități de autocontrol și autotestare, capacitatea de a se mișca în funcție de la un algoritm dat, evaluați și corectați rezultatul.
Educațional: continuă să dezvolte astfel de calități ale elevilor precum: capacitatea de a se asculta unii pe alții; capacitatea de a exercita controlul reciproc și stima de sine.
Tip de lecție: combinată.
Manual Algebră clasa a 10-a S.M. Nikolsky, M.K. Potapov, N.N. Reshetnikov, A.V. Shevkin
Progresul lecției
Moment organizatoric.
Verificarea temelor.
Actualizarea cunoștințelor de bază.
Frontal:
1. Ce inegalități se numesc cele mai simple inegalități exponențiale?
2. Explicați sensul rezolvării inegalităților exponențiale simple.
3. Ce inegalități se numesc cele mai simple inegalități logaritmice?
4. Explicați sensul rezolvării inegalităților logaritmice simple.
Cu scris pe tablă (1 elev fiecare):
Rezolvați inegalitățile
2x<1160,3х<103log2x>5log15x>-2Explicarea materialului nou și armarea lui pas cu pas.
1.1. Explicarea noului material.
1. Rezolvați inegalitatea:
2x2-3x<14Пусть х2-3х=t, тогда
2t<142t<2-2т. к. основание 2>1, atunci
t<-2Обратная замена:
x2-3x<-2х2-3х+2<0Нахдим его корни: x1=1, x2=2Отмечаем эти точки на координатной прямой и выясняем знак выражения x2−3x+2 на каждом из полученных интервалов.
Ne interesează semnul „−−”.
Răspuns:x∈(1;2)
2. Rezolvați inegalitatea

1.2. Consolidare pas cu pas.
Nr. 6.49(a, c).
Nr. 6.52(d).
a) 74x2-9x+6>74x2-9x+6>14x2-9x+5>0x1=5/4 x2=1
Răspuns: -∞;1∪54;+∞в) (13)5х2-4х-3>95х2-4х-3<-25х2-4х-1<0x1=-15 x2=1
Răspuns: -15;1d) log5x2-2x-3<1
log5x2-2x-3 00<х2-2х-3<5х2-2х-3<5х2-2х-3>0 x2-2x-8<0х2-2х-3>0

Răspuns: -2;-1∪3;42.1. Explicarea noului material.
3. Rezolvați inegalitatea

Atunci 1 inegalitate are sens pentru tot x, iar a doua

2.2. Consolidare pas cu pas.
Rezolvați inegalitatea nr. 6.56(c)
3.1. Explicarea noului material.
4. Rezolvați inegalitatea

3.2. Consolidare pas cu pas.
Rezolvați inegalitatea nr. 6.60(a)
Rezumând lecția.
Reflecţie.
Teme pentru acasă.
P. 6.6
nr. 6.49 (b, d)
nr. 6.52 (a, b)
nr. 6.56 (d)
nr. 6.60 (b)

Fișiere atașate