Pantă negativă. Ecuația unei tangente la graficul unei funcții. Ghidul cuprinzător (2019)

Acasă În capitolul anterior s-a arătat că prin alegerea unui anumit sistem de coordonate pe plan, putem proprietăți geometrice

, care caracterizează punctele dreptei luate în considerare, este exprimată analitic printr-o ecuație între coordonatele curente. Astfel obținem ecuația dreptei. Acest capitol va analiza ecuațiile în linie dreaptă.

Pentru a crea o ecuație pentru o linie dreaptă în coordonate carteziene, trebuie să stabiliți cumva condițiile care determină poziția acesteia față de axele de coordonate.

În primul rând, vom introduce conceptul de coeficient unghiular al unei linii, care este una dintre mărimile care caracterizează poziția unei linii pe un plan.

Să numim unghiul de înclinare al dreptei față de axa Ox unghiul cu care axa Ox trebuie rotită astfel încât să coincidă cu linia dată (sau să se dovedească a fi paralelă cu aceasta). Ca de obicei, vom lua în considerare unghiul ținând cont de semn (semnul este determinat de sensul de rotație: în sens invers acelor de ceasornic sau în sensul acelor de ceasornic). Deoarece o rotație suplimentară a axei Ox printr-un unghi de 180° o va alinia din nou cu linia dreaptă, unghiul de înclinare a liniei drepte față de axă nu poate fi ales fără ambiguitate (în cadrul unui termen, un multiplu de ).

Tangenta acestui unghi este determinată în mod unic (deoarece schimbarea unghiului nu schimbă tangenta acestuia).

Tangenta unghiului de înclinare a dreptei la axa Ox se numește coeficient unghiular al dreptei. Coeficientul unghiular caracterizează direcția dreptei (nu distingem aici între două direcții reciproc opuse ale dreptei). Dacă pantă linia este egală cu zero, atunci linia este paralelă cu axa x. Cu un coeficient unghiular pozitiv, unghiul de înclinare al dreptei față de axa Ox va fi acut (aici se consideră cel mai mic valoare pozitivă

unghi de înclinare) (Fig. 39); Mai mult, cu cât coeficientul unghiular este mai mare, cu atât este mai mare unghiul de înclinare a acestuia față de axa Ox. Dacă coeficientul unghiular este negativ, atunci unghiul de înclinare al dreptei față de axa Ox va fi obtuz (Fig. 40). Rețineți că o dreaptă perpendiculară pe axa Ox nu are un coeficient unghiular (tangenta unghiului nu există).

Colectarea și utilizarea informațiilor personale

Informațiile personale se referă la date care pot fi folosite pentru a identifica sau contacta o anumită persoană.

Vi se poate cere să furnizați informațiile dumneavoastră personale în orice moment când ne contactați.

Mai jos sunt câteva exemple de tipuri de informații personale pe care le putem colecta și cum putem folosi aceste informații.

Ce informații personale colectăm:

• Când trimiteți o cerere pe site, este posibil să colectăm diverse informații, inclusiv numele, numărul de telefon, adresa dvs e-mail etc.

Cum folosim informațiile dumneavoastră personale:

• Colectat de noi Informații personale ne permite să vă contactăm și să vă informăm despre oferte unice, promoții și alte evenimente și evenimente viitoare.
• Din când în când, putem folosi informațiile dumneavoastră personale pentru a trimite notificări și comunicări importante.
• De asemenea, putem folosi informații personale în scopuri interne, cum ar fi auditarea, analiza datelor și diverse studii pentru a îmbunătăți serviciile pe care le oferim și a vă oferi recomandări cu privire la serviciile noastre.
• Dacă participați la o tragere la sorți, la un concurs sau la o promoție similară, este posibil să folosim informațiile pe care le furnizați pentru a administra astfel de programe.

Dezvăluirea informațiilor către terți

Nu dezvăluim informațiile primite de la dumneavoastră către terți.

Excepții:

• Dacă este necesar - în conformitate cu legea, procedura judiciară, procedurile judiciare și/sau în baza cererilor sau solicitărilor publice din partea agentii guvernamentale pe teritoriul Federației Ruse - dezvăluie informațiile tale personale. De asemenea, putem dezvălui informații despre dumneavoastră dacă stabilim că o astfel de dezvăluire este necesară sau adecvată pentru securitate, aplicarea legii sau alte scopuri de importanță publică.
• În cazul unei reorganizări, fuziuni sau vânzări, putem transfera informațiile personale pe care le colectăm către terțul succesor aplicabil.

Protecția informațiilor personale

Luăm măsuri de precauție - inclusiv administrative, tehnice și fizice - pentru a vă proteja informațiile personale împotriva pierderii, furtului și utilizării greșite, precum și împotriva accesului, dezvăluirii, modificării și distrugerii neautorizate.

Respectarea vieții private la nivelul companiei

Pentru a ne asigura că informațiile dumneavoastră personale sunt în siguranță, comunicăm angajaților noștri standarde de confidențialitate și securitate și aplicăm strict practicile de confidențialitate.

Linia dreaptă y=f(x) va fi tangentă la graficul prezentat în figură în punctul x0 dacă trece prin punctul cu coordonatele (x0; f(x0)) și are un coeficient unghiular f"(x0). un astfel de coeficient, Cunoscând caracteristicile unei tangente, nu este dificil.

vei avea nevoie

• - carte de referinta matematica;
• - un creion simplu;
• - caiet;
• - raportor;
• - busolă;
• - stilou.

Instrucţiuni

Dacă valoarea f‘(x0) nu există, atunci fie nu există tangentă, fie rulează vertical. Având în vedere acest lucru, prezența unei derivate a funcției în punctul x0 se datorează existenței unei tangente neverticale tangente la graficul funcției în punctul (x0, f(x0)). În acest caz, coeficientul unghiular al tangentei va fi egal cu f "(x0). Astfel, devine clar sens geometric derivată – calculul pantei tangentei.

Desenați tangente suplimentare care ar fi în contact cu graficul funcției în punctele x1, x2 și x3 și, de asemenea, marcați unghiurile formate de aceste tangente cu axa x (acest unghi se numără în direcția pozitivă de la axă la linie tangentă). De exemplu, unghiul, adică α1, va fi ascuțit, al doilea (α2) va fi obtuz, iar al treilea (α3) va fi zero, deoarece linia tangentă este paralelă cu axa OX. În acest caz, tangenta unui unghi obtuz este negativă, tangenta unui unghi ascuțit este pozitivă, iar la tg0 rezultatul este zero.

Vă rugăm să rețineți

Determinați corect unghiul format de tangentă. Pentru a face acest lucru, utilizați un raportor.

Sfaturi utile

Două drepte înclinate vor fi paralele dacă coeficienții lor unghiulari sunt egali unul cu celălalt; perpendiculară dacă produsul coeficienților unghiulari ai acestor tangente este egal cu -1.

Surse:

• Tangenta la graficul unei functii

Cosinusul, ca și sinusul, este clasificat ca o funcție trigonometrică „directă”. Tangenta (împreună cu cotangenta) este clasificată ca o altă pereche numită „derivate”. Există mai multe definiții ale acestor funcții care fac posibilă găsirea tangentei dată de valoare cunoscută cosinus de aceeași valoare.

Instrucţiuni

Scădeți câtul unu cu cosinusul crescut unghi dat, și extrageți rădăcina pătrată din rezultat - aceasta va fi valoarea tangentei unghiului, exprimată prin cosinusul său: tan(α)=√(1-1/(cos(α))²). Vă rugăm să rețineți că în formulă cosinusul este la numitorul fracției. Imposibilitatea împărțirii la zero exclude utilizarea acestei expresii pentru unghiuri egale cu 90°, precum și pentru cele care diferă de această valoare prin numere care sunt multipli de 180° (270°, 450°, -90° etc.).

Există o modalitate alternativă de a calcula tangenta dintr-o valoare cunoscută a cosinusului. Poate fi folosit dacă nu există nicio restricție privind utilizarea altora. Pentru a implementa această metodă, determinați mai întâi valoarea unghiului dintr-o valoare cunoscută a cosinusului - acest lucru se poate face folosind funcția arc cosinus. Apoi calculați pur și simplu tangenta pentru unghiul valorii rezultate. ÎN vedere generală acest algoritm poate fi scris astfel: tg(α)=tg(arccos(cos(α))).

Există, de asemenea, o opțiune exotică folosind definiția cosinusului și tangentei prin unghiurile ascuțite ale unui triunghi dreptunghic. În această definiție, cosinusul corespunde raportului dintre lungimea catetei adiacent unghiului luat în considerare și lungimea ipotenuzei. Cunoscând valoarea cosinusului, puteți selecta lungimile corespunzătoare ale acestor două laturi. De exemplu, dacă cos(α) = 0,5, atunci adiacentul poate fi luat egal cu 10 cm, iar ipotenuza - 20 cm. Numerele specifice nu contează aici - veți obține numere identice și corecte cu orice valori care au aceleași. Apoi, folosind teorema lui Pitagora, determinați lungimea laturii lipsă - piciorul opus. Va fi egal rădăcină pătrată din diferența dintre lungimile ipotenuzei pătrate și catetul cunoscut: √(20²-10²)=√300. Prin definiție, tangentei corespunde raportului dintre lungimile catetelor opuse și adiacente (√300/10) - calculați-o și obțineți valoarea tangentei găsită folosind definiție clasică cosinus.

Surse:

• formula cosinus prin tangentă

Unul dintre funcții trigonometrice, notată cel mai adesea prin literele tg, deși se găsesc și denumirile tan. Cel mai simplu mod de a reprezenta tangenta este ca raport sinus unghi la cosinusul său. Este periodic ciudat și nu functie continua, al cărui ciclu este egal cu numărul Pi, iar punctul de întrerupere corespunde cu jumătate din acest număr.

Derivata unei funcții este unul dintre subiectele dificile în programa școlară. Nu fiecare absolvent va răspunde la întrebarea ce este un derivat.

Acest articol explică într-un mod simplu și clar ce este un derivat și de ce este necesar.. Nu ne vom strădui acum pentru rigoare matematică în prezentare. Cel mai important lucru este să înțelegeți sensul.

Să ne amintim definiția:

Derivata este rata de schimbare a unei functii.

Figura prezintă grafice a trei funcții. Care crezi că crește mai repede?

Răspunsul este evident - al treilea. Are cea mai mare rată de schimbare, adică cea mai mare derivată.

Iată un alt exemplu.

Kostya, Grisha și Matvey au primit locuri de muncă în același timp. Să vedem cum s-au schimbat veniturile lor în cursul anului:

Graficul arată totul deodată, nu-i așa? Venitul lui Kostya s-a dublat în șase luni. Și venitul lui Grisha a crescut, dar doar puțin. Și venitul lui Matvey a scăzut la zero. Condițiile de pornire sunt aceleași, dar rata de schimbare a funcției, adică derivat, - diferit. În ceea ce privește Matvey, derivatul său de venit este în general negativ.

Intuitiv, estimăm cu ușurință rata de schimbare a unei funcții. Dar cum facem asta?

Ceea ce ne uităm cu adevărat este cât de abrupt urcă (sau jos) graficul unei funcții. Cu alte cuvinte, cât de repede se schimbă y pe măsură ce x se schimbă? Evident, aceeași funcție poate avea în puncte diferite sens diferit derivat - adică se poate schimba mai repede sau mai lent.

Derivata unei functii se noteaza .

Vă vom arăta cum să-l găsiți folosind un grafic.

A fost desenat un grafic al unei anumite funcții. Să luăm un punct cu o abscisă pe el. Să desenăm o tangentă la graficul funcției în acest punct. Vrem să estimăm cât de abrupt crește graficul unei funcții. O valoare convenabilă pentru aceasta este tangenta unghiului tangentei.

Derivata unei functii intr-un punct este egala cu tangentei unghiului tangentei desenat la graficul functiei in acest punct.

Vă rugăm să rețineți că ca unghi de înclinare al tangentei luăm unghiul dintre tangentă și direcția pozitivă a axei.

Uneori, elevii întreabă ce este o tangentă la graficul unei funcții. Aceasta este o linie dreaptă care are un singur punct comun cu graficul din această secțiune și așa cum se arată în figura noastră. Arată ca o tangentă la un cerc.

Să-l găsim. Ne amintim că tangentei unui unghi ascuțit în triunghi dreptunghic egal cu raportul dintre latura opusă și latura adiacentă. Din triunghi:

Am găsit derivata folosind un grafic fără să știm măcar formula funcției. Astfel de probleme se găsesc adesea în examenul de stat unificat la matematică sub numărul.

Există o altă relație importantă. Amintiți-vă că linia dreaptă este dată de ecuație

Mărimea din această ecuație se numește panta unei drepte. Este egală cu tangenta unghiului de înclinare a dreptei la axă.

.

Înțelegem asta

Să ne amintim această formulă. Exprimă semnificația geometrică a derivatei.

Derivata unei functii intr-un punct este egala cu panta tangentei trasate la graficul functiei in acel punct.

Cu alte cuvinte, derivata este egală cu tangentei unghiului tangentei.

Am spus deja că aceeași funcție poate avea derivate diferite în puncte diferite. Să vedem cum este legată derivata de comportamentul funcției.

Să desenăm un grafic al unei funcții. Lăsați această funcție să crească în unele zone și să scadă în altele și în ritmuri diferite. Și lasă această funcție să aibă puncte maxime și minime.

La un moment dat funcția crește. Se formează tangenta la graficul desenat în punct unghi ascuțit; cu direcția pozitivă a axei. Aceasta înseamnă că derivata din punct este pozitivă.

În momentul în care funcția noastră scade. Tangenta în acest punct formează un unghi obtuz; cu direcția pozitivă a axei. Deoarece tangenta unui unghi obtuz este negativă, derivata din punct este negativă.

Iată ce se întâmplă:

Dacă o funcție este în creștere, derivata ei este pozitivă.

Dacă scade, derivata sa este negativă.

Ce se va întâmpla la punctele maxime și minime? Vedem ca in punctele (punctul maxim) si (punctul minim) tangenta este orizontala. Prin urmare, tangentei tangentei în aceste puncte este zero, iar derivata este, de asemenea, zero.

Punct - punct maxim. În acest moment, creșterea funcției este înlocuită cu o scădere. În consecință, semnul derivatei se schimbă în punctul „plus” în „minus”.

În punctul - punctul minim - derivata este, de asemenea, zero, dar semnul său se schimbă de la „minus” la „plus”.

Concluzie: folosind derivata, putem afla tot ce ne intereseaza despre comportamentul unei functii.

Dacă derivata este pozitivă, atunci funcția crește.

Dacă derivata este negativă, atunci funcția scade.

În punctul maxim, derivata este zero și își schimbă semnul din „plus” în „minus”.

La punctul minim, derivata este, de asemenea, zero și își schimbă semnul din minus în plus.

Să scriem aceste concluzii sub forma unui tabel:

Să facem două mici precizări. Veți avea nevoie de unul dintre ele când rezolvați problema. Un altul - în primul an, cu un studiu mai serios al funcțiilor și derivatelor.

Este posibil ca derivata unei funcții la un moment dat să fie egală cu zero, dar funcția nu are nici un maxim, nici un minim în acest punct. Acesta este așa-numitul :

Într-un punct, tangenta la grafic este orizontală, iar derivata este zero. Cu toate acestea, înainte de punct funcția a crescut - și după punct continuă să crească. Semnul derivatului nu se schimbă - rămâne pozitiv așa cum a fost.

De asemenea, se întâmplă ca în punctul de maxim sau minim derivata să nu existe. Pe grafic, aceasta corespunde unei ruperi ascuțite, când este imposibil să desenați o tangentă într-un punct dat.

Cum să găsiți derivata dacă funcția este dată nu de un grafic, ci de o formulă? În acest caz se aplică

Panta este dreaptă. În acest articol ne vom uita la problemele legate de planul de coordonate incluse în examenul de stat unificat la matematică. Acestea sunt sarcini pentru:

— determinarea coeficientului unghiular al unei drepte atunci când se cunosc două puncte prin care aceasta trece;
— determinarea abscisei sau ordonatei punctului de intersecție a două drepte pe un plan.

Care este abscisa și ordonata unui punct a fost descris în această secțiune. În ea am luat în considerare deja câteva probleme legate de planul de coordonate. Ce trebuie să înțelegeți pentru tipul de problemă luată în considerare? Puțină teorie.

Ecuația unei linii pe plan de coordonate are forma:

Unde k – aceasta este panta dreptei.

Momentul următor! Panta unei drepte este egală cu tangenta unghiului de înclinare a dreptei. Acesta este unghiul dintre o linie dată și axăOh.

Variază de la 0 la 180 de grade.

Adică dacă reducem ecuația unei linii drepte la formă y = kx + b, atunci putem determina întotdeauna coeficientul k (coeficientul de pantă).

De asemenea, dacă pe baza condiției putem determina tangenta unghiului de înclinare a dreptei, atunci vom găsi astfel coeficientul unghiular al acesteia.

Următorul punct teoretic!Ecuația unei drepte care trece prin două puncte date.Formula arată astfel:

Să luăm în considerare problemele (asemănătoare cu problemele de la banca deschisa sarcini):

Aflați panta dreptei care trece prin punctele cu coordonatele (–6;0) și (0;6).

În această problemă, cel mai rațional mod de rezolvare este să găsiți tangentei unghiului dintre axa x și dreapta dată. Se știe că este egală cu panta. Să considerăm un triunghi dreptunghic format dintr-o dreaptă și axele x și oy:

Tangenta unui unghi dintr-un triunghi dreptunghic este raportul dintre latura opusă și latura adiacentă:

*Ambele picioare sunt egale cu șase (acestea sunt lungimile lor).

Desigur, această problemă poate fi rezolvată folosind formula pentru găsirea ecuației unei drepte care trece prin două puncte date. Dar aceasta va fi o soluție mai lungă.

Raspuns: 1

Aflați panta dreptei care trece prin punctele cu coordonatele (5;0) și (0;5).

Punctele noastre au coordonatele (5;0) și (0;5). Mijloace,

Să punem formula în formă y = kx + b

Am constatat că panta k = – 1.

Răspuns: -1

Drept o trece prin puncte cu coordonatele (0;6) și (8;0). Drept b trece prin punctul cu coordonatele (0;10) și este paralel cu dreapta o b cu ax Oh.

În această problemă puteți găsi ecuația dreptei o, determinați panta pentru aceasta. La linie dreaptă b panta va fi aceeași deoarece sunt paralele. În continuare puteți găsi ecuația dreptei b. Și apoi, înlocuind valoarea y = 0, găsiți abscisa. DAR!

În acest caz, este mai ușor să folosiți proprietatea de similitudine a triunghiurilor.

Triunghiurile dreptunghiulare formate din aceste linii (paralele) și axe de coordonate sunt similare, ceea ce înseamnă că rapoartele laturilor lor corespunzătoare sunt egale.

Abscisa necesară este de 40/3.

Raspuns: 40/3

Drept o trece prin puncte cu coordonatele (0;8) și (–12;0). Drept b trece prin punctul cu coordonatele (0; –12) și este paralel cu dreapta o. Aflați abscisa punctului de intersecție al dreptei b cu ax Oh.

Pentru această problemă, cel mai rațional mod de a o rezolva este utilizarea proprietății de asemănare a triunghiurilor. Dar o vom rezolva într-un mod diferit.

Știm punctele prin care trece linia O. Putem scrie o ecuație pentru o dreaptă. Formula pentru ecuația unei drepte care trece prin două puncte date are forma:

După condiție, punctele au coordonatele (0;8) și (–12;0). Mijloace,

Să-l aducem în minte y = kx + b:

Am acel colț k = 2/3.

*Coeficientul unghiular poate fi găsit prin tangenta unghiului într-un triunghi dreptunghic cu catetele 8 și 12.

Se știe că liniile paralele au coeficienți de unghi egali. Aceasta înseamnă că ecuația dreptei care trece prin punctul (0;-12) are forma:

Găsiți valoarea b putem înlocui abscisa și ordonata în ecuația:

Astfel, linia dreaptă arată astfel:

Acum, pentru a găsi abscisa dorită a punctului de intersecție al dreptei cu axa x, trebuie să înlocuiți y = 0:

Raspuns: 18

Aflați ordonata punctului de intersecție a axei Ohși o dreaptă care trece prin punctul B(10;12) și paralelă cu o dreaptă care trece prin origine și punctul A(10;24).

Să găsim ecuația unei drepte care trece prin puncte cu coordonatele (0;0) și (10;24).

Formula pentru ecuația unei drepte care trece prin două puncte date are forma:

Punctele noastre au coordonatele (0;0) și (10;24). Mijloace,

Să-l aducem în minte y = kx + b

Coeficienții unghiului dreptelor paralele sunt egali. Aceasta înseamnă că ecuația dreptei care trece prin punctul B(10;12) are forma:

Sens b Să aflăm înlocuind coordonatele punctului B(10;12) în această ecuație:

Obținem ecuația dreptei:

Pentru a afla ordonata punctului de intersecție a acestei drepte cu axa Oh trebuie înlocuite în ecuația găsită X= 0:

* Cea mai simplă soluție. Folosind translația paralelă, deplasăm această linie în jos de-a lungul axei Oh la punctul (10;12). Deplasarea are loc cu 12 unități, adică punctul A(10;24) „mutat” în punctul B(10;12) și punctul O(0;0) „mutat” în punctul (0;–12). Aceasta înseamnă că linia dreaptă rezultată va intersecta axa Ohîn punctul (0;–12).

Ordonata necesară este –12.

Răspuns: –12

Aflați ordonata punctului de intersecție al dreptei date de ecuație

3x + 2у = 6, cu axa Oi.

Coordonata punctului de intersecție a unei linii date cu o axă Oh are forma (0; la). Să înlocuim abscisa în ecuație X= 0 și găsiți ordonata:

Ordonata punctului de intersecție a dreptei cu axa Oh este egal cu 3.

*Sistemul este rezolvat:

Raspuns: 3

Aflați ordonata punctului de intersecție al dreptelor date de ecuații

3x + 2y = 6Şi y = – x.

Când sunt date două drepte, iar întrebarea este despre găsirea coordonatelor punctului de intersecție al acestor drepte, se rezolvă un sistem de ecuații:

În prima ecuație înlocuim - Xîn loc de la:

Ordonata este egală cu minus șase.

Răspuns: – 6

Aflați panta dreptei care trece prin punctele cu coordonatele (–2;0) și (0;2).

Aflați panta dreptei care trece prin punctele cu coordonatele (2;0) și (0;2).

Linia a trece prin puncte cu coordonatele (0;4) și (6;0). Linia b trece prin punctul cu coordonatele (0;8) și este paralelă cu dreapta a. Aflați abscisa punctului de intersecție al dreptei b cu axa Ox.

Aflați ordonata punctului de intersecție al axei oy și a dreptei care trece prin punctul B (6;4) și paralelă cu dreapta care trece prin origine și punctul A (6;8).

1. Este necesar să se înțeleagă clar că coeficientul unghiular al unei drepte este egal cu tangenta unghiului de înclinare a dreptei. Acest lucru vă va ajuta să rezolvați multe probleme de acest tip.

2. Trebuie înțeleasă formula pentru găsirea unei drepte care trece prin două puncte date. Cu ajutorul lui, veți găsi întotdeauna ecuația unei drepte dacă sunt date coordonatele celor două puncte ale sale.

3. Amintiți-vă că pantele dreptelor paralele sunt egale.

4. După cum înțelegeți, în unele probleme este convenabil să folosiți testul de asemănare a triunghiului. Problemele se rezolvă practic oral.

5. Problemele în care sunt date două drepte și se cere găsirea abscisei sau ordonatei punctului de intersecție a acestora pot fi rezolvate grafic. Adică, construiți-le pe un plan de coordonate (pe o foaie de hârtie într-un pătrat) și determinați vizual punctul de intersecție. *Dar această metodă nu este întotdeauna aplicabilă.

6. Și în sfârșit. Dacă sunt date o dreaptă și coordonatele punctelor sale de intersecție cu axele de coordonate, atunci în astfel de probleme este convenabil să găsiți coeficientul unghiular prin găsirea tangentei unghiului în triunghiul dreptunghic format. Cum să „vezi” acest triunghi cu diferite poziții ale liniilor drepte pe plan este prezentat schematic mai jos:

>> Unghi drept de la 0 la 90 de grade<<

>> Unghi drept de la 90 la 180 de grade<<

Asta e tot. Mult succes pentru tine!

Salutări, Alexandru.

P.S: V-as fi recunoscator daca mi-ati spune despre site pe retelele de socializare.