Evaluarea obiectelor după modelele lor matematice. Conceptul de model matematic. Elementele sale principale. Concepte de bază ale modelării matematice

Este posibil să urmăriți dinamica dezvoltării unui obiect, esența interioară a rapoartelor elementelor sale și diferitele stări în procesul de proiectare numai cu ajutorul modelelor care utilizează principiul analogiei dinamice, adică cu ajutorul modele matematice.

Model matematic este un sistem de relații matematice care descriu procesul sau fenomenul studiat. Pentru a compila un model matematic, puteți utiliza orice mijloace matematice - teoria mulțimilor, logica matematică, limbajul ecuațiilor diferențiale sau integrale. Procesul de compilare a unui model matematic se numește modelare matematică... Ca și alte tipuri de modele, un model matematic prezintă o problemă într-o formă simplificată și descrie numai proprietățile și modelele care sunt cele mai importante pentru un obiect sau proces dat. Modelul matematic permite analiza cantitativă cu mai multe fațete. Schimbând datele inițiale, criteriile, restricțiile, de fiecare dată puteți obține soluția optimă pentru condițiile date și puteți determina direcția ulterioară a căutării.

Crearea modelelor matematice necesită de la dezvoltatorii acestora, pe lângă cunoașterea metodelor formal-logice, o analiză amănunțită a obiectului studiat în vederea formulării riguroase a ideilor și regulilor de bază, precum și pentru a identifica o cantitate suficientă de date factice, statistice și de reglementare fiabile.

Trebuie remarcat faptul că toate modelele matematice utilizate în prezent se referă la prescriptiv... Scopul dezvoltării modelelor prescriptive este de a indica direcția de a găsi o soluție, în timp ce scopul dezvoltării descriind modele - o reflectare a proceselor reale ale gândirii umane.

Punctul de vedere este destul de răspândit că cu ajutorul matematicii se pot obține doar câteva date numerice asupra obiectului sau procesului studiat. „Desigur, multe discipline matematice au ca scop obținerea rezultatului numeric final. Dar a reduce metodele matematice doar la problema obținerii unui număr înseamnă a sărăci la nesfârșit matematica, a sărăci posibilitatea acelei arme puternice pe care cercetătorii o au astăzi în mână...

Un model matematic scris într-un anumit limbaj (de exemplu, ecuații diferențiale) reflectă anumite proprietăți ale proceselor fizice reale. În urma analizei modelelor matematice, obținem, în primul rând, idei calitative despre trăsăturile proceselor studiate, stabilim tipare care determină seria dinamică a stărilor secvențiale, avem ocazia de a prezice cursul procesului. și determinați-i caracteristicile cantitative.”

Modelele matematice sunt folosite în multe tehnici de modelare binecunoscute. Printre acestea se numără dezvoltarea de modele care descriu starea statică și dinamică a obiectului, modele de optimizare.

Un exemplu de modele matematice care descriu starea statică și dinamică a unui obiect pot fi diferite metode de calcul tradițional al structurilor. Procesul de calcul, prezentat sub forma unei secvențe de operații matematice (algoritm), ne permite să spunem că s-a întocmit un model matematic pentru a calcula o anumită structură.

V optimizare modelele au trei elemente:

Funcție obiectivă, reflectând criteriul de calitate acceptat;

Parametri reglabili;

Restricții impuse.

Toate aceste elemente trebuie descrise matematic sub formă de ecuații, condiții logice etc. Soluția problemei de optimizare este un proces de găsire a valorii minime (maxime) a funcției obiectiv, supus constrângerilor specificate. Rezultatul soluției este considerat optim dacă funcția obiectiv atinge valoarea sa extremă.

Un exemplu de model de optimizare este o descriere matematică a criteriului „lungimea legăturii” în metodologia de proiectare a variantelor clădirilor industriale.

Funcția obiectiv reflectă lungimea totală ponderată a tuturor conexiunilor funcționale, care ar trebui să se străduiască la minimum:

unde este valoarea greutății conexiunii elementului cu;

- lungimea conexiunii dintre si elemente;

- numarul total de elemente de amplasat.

Deoarece suprafețele elementelor amplasate ale incintei în toate variantele soluției de proiectare sunt egale, variantele diferă una de cealaltă doar prin distanțe diferite între elemente și amplasarea lor una față de alta. Prin urmare, în acest caz, coordonatele elementelor plasate pe planurile de etaj sunt parametrii reglabili.

Restricții impuse asupra aranjamentului elementelor (într-un loc prestabilit al planului, la perimetrul exterior, unul deasupra celuilalt etc.) și asupra lungimii legăturilor (valorile lungimii legăturilor dintre elementele și cele de-al doilea). sunt stabilite rigid, limitele minime sau maxime ale valorii sunt stabilite, limitele de modificare sunt valori stabilite) sunt scrise formal.

O variantă este considerată optimă (după acest criteriu) dacă valoarea funcției obiectiv calculată pentru această variantă este minimă.

Un fel de modele matematice - model economic si matematic- este un model al relaţiei dintre caracteristicile şi parametrii economici ai sistemului.

Un exemplu de modele economice și matematice este descrierea matematică a criteriilor de cost în metoda menționată mai sus de proiectare a variantelor clădirilor industriale. Modelele matematice obținute prin metodele statisticii matematice reflectă dependența costului cadrului, fundațiilor, terasamentelor clădirilor industriale cu un etaj și mai multe etaje și înălțimea, deschiderea și pasul acestora a structurilor portante.

Conform metodei de contabilizare a influenței factorilor aleatori asupra luării deciziilor, modelele matematice sunt împărțite în deterministe și probabiliste. Determinat modelul nu ține cont de influența factorilor aleatori în timpul funcționării sistemului și se bazează pe o reprezentare analitică a legilor funcționării. Probabilistic (stochastic) modelul ține cont de influența factorilor aleatori în timpul funcționării sistemului și se bazează pe statistici, i.e. evaluarea cantitativă a fenomenelor de masă, permițând luarea în considerare a neliniarității acestora, a dinamicii, a perturbațiilor aleatorii descrise de diferite legi de distribuție.

Folosind exemplele de mai sus, putem spune că modelul matematic care descrie criteriul „lungimea legăturilor” se referă la determinist, iar modelele matematice care descriu grupul de criterii „costuri” - la modele probabilistice.

Modele lingvistice, semantice și informaționale

Modelele matematice au un merit evident, deoarece cuantificarea aspectelor unei probleme oferă o idee clară a priorităților obiectivelor. Este important ca un specialist să poată justifica întotdeauna adoptarea unei decizii prin prezentarea datelor numerice corespunzătoare. Cu toate acestea, o descriere matematică completă a activităților proiectului este imposibilă, prin urmare, majoritatea sarcinilor rezolvate în etapa inițială a proiectării arhitecturale și a construcțiilor se referă la semi-structurat.

Una dintre caracteristicile sarcinilor semi-structurate este o descriere verbală a criteriilor folosite în ele. Introducerea criteriilor descrise în limbaj natural (astfel de criterii se numesc lingvistic), vă permite să utilizați metode mai puțin complexe pentru a găsi soluții optime de proiectare. Având în vedere aceste criterii, designerul ia o decizie pe baza unor expresii de scop familiare, incontestabile.

O descriere semnificativă a tuturor aspectelor problemei aduce sistematizarea în procesul de soluționare a acesteia, pe de o parte, și, pe de altă parte, facilitează foarte mult munca specialiștilor care, fără a studia secțiunile relevante ale matematicii, își pot rezolva mai rațional. probleme profesionale. În fig. 5.2 este dat model lingvistic descrierea posibilităților de creare a condițiilor de ventilație naturală în diferite opțiuni de planificare a soluțiilor de panificație.

Alte avantaje ale unei descrieri semnificative a problemei sunt următoarele:

Capacitatea de a descrie toate criteriile care determină eficacitatea soluției de proiectare. Totodată, este important ca în descriere să poată fi introduse concepte complexe, iar în câmpul de vedere al unui specialist, alături de factori cantitativi, măsurabili, se vor include și cei calitativi care nu sunt măsurabili. Astfel, în momentul luării unei decizii se vor folosi toate informațiile subiective și obiective;

Orez. 5.2 Descrierea conținutului criteriului „ventilație” sub forma unui model lingvistic

Capacitatea de a evalua fără ambiguitate gradul de realizare a scopului în opțiuni pentru un anumit criteriu pe baza formulării adoptate de experți, ceea ce asigură fiabilitatea informațiilor primite;

Capacitatea de a ține cont de incertitudinea asociată cunoașterii incomplete a tuturor consecințelor deciziilor luate, precum și de informații cu caracter predictiv.

Modelele semantice aparțin și modelelor care folosesc limbajul natural pentru a descrie obiectul cercetării.

Model semantic- exista o astfel de reprezentare a obiectului, care reflecta gradul de interconectare (proximitate) intre diverse parti constitutive, aspecte, proprietati ale obiectului. Interconexiunea este înțeleasă nu ca un aranjament spațial relativ, ci ca o conexiune prin sens.

Deci, în sens semantic, relația dintre coeficientul de iluminare naturală și zona de lumină a incintelor transparente va fi prezentată ca fiind mai apropiată decât relația dintre deschiderile ferestrelor și secțiunile oarbe ale peretelui adiacente acestora.

Setul de relații de conexiune arată ceea ce fiecare element și obiectul în ansamblu sunt alocate unui obiect. În același timp, modelul semantic reflectă, pe lângă gradul de conexiune a diverselor aspecte din obiect, și conținutul conceptelor. Conceptele exprimate în limbaj natural servesc drept modele elementare.

Construcția modelelor semantice se bazează pe principiile conform cărora conceptele și relațiile nu se modifică pe toată perioada de utilizare a modelului; conținutul unui concept nu trece în altul; legăturile dintre cele două concepte au o interacţiune egală şi nedirecţionată faţă de acestea.

Fiecare analiză a modelului are ca scop selectarea elementelor modelului care au o anumită calitate generală. Aceasta oferă o bază pentru construirea unui algoritm care ia în considerare doar conexiunile directe. La transformarea unui model într-un grafic nedirecționat, se caută o cale între două elemente care urmărește mișcarea de la un element la altul, folosind fiecare element o singură dată. Ordinea elementelor se numește șirul celor două elemente. Secvențele pot fi de lungimi diferite. Cele mai scurte dintre acestea se numesc relații de elemente. Secvența a două elemente există și dacă există o legătură directă între ele, dar în acest caz nu există nicio relație.

Ca exemplu de model semantic, vom oferi o descriere a aspectului unui apartament împreună cu legăturile de comunicare. Conceptul este sediul unui apartament. Conectarea directă înseamnă o conexiune funcțională a două încăperi, de exemplu printr-o ușă (vezi tabelul 5.1).

Transformarea modelului într-o formă de grafic nedirecționată vă permite să obțineți o succesiune de elemente (Figura 5.3).

Exemple de succesiune formată între elementul 2 (baie) și elementul 6 (cămară) sunt prezentate în tabel. 5.2. După cum puteți vedea din tabel, secvența 3 reprezintă raportul dintre aceste două elemente.

Tabelul 5.1

Descrierea amenajării apartamentului

Orez. 5.3 Descrierea soluției de planificare sub forma unui grafic nedirecționat

Etapele principale

Să discute și să justifice principalele abordări ale proiectării problemelor modelare matematică dispozitivele tehnice și procesele din ele, pare recomandabil să luăm în considerare mai întâi diagrama condiționată (Fig.1.1), care determină succesiunea de desfășurare a etapelor individuale ale procedurii generale Poziția inițială a acestei scheme este obiect tehnic(TO), prin care înțelegem un dispozitiv tehnic specific, unitatea sau ansamblul acestuia, un sistem de dispozitive, un proces, un fenomen sau o situație separată în orice sistem sau dispozitiv.

Orez. 1.1

În prima etapă, se face o tranziție informală de la TO considerat (dezvoltat sau existent) la acesta schema de decontare(PC). În același timp, în funcție de direcția experimentului de calcul și de scopul său final, ele subliniază acele proprietăți, condiții de funcționare și caracteristici de întreținere, care, împreună cu parametrii care le caracterizează, ar trebui să se reflecte în PC și, invers, ei argumentează ipotezele și simplificările care fac posibilă să nu se țină cont de acele calități în PC.Acela a cărui influență se presupune nesemnificativă în cazul în cauză. Uneori termenul este folosit în loc de PC model semnificativ * Atunci, și în unele cazuri - model conceptual.În disciplinele de inginerie consacrate (de exemplu, în rezistența materialelor, inginerie electrică și electronică), pe lângă informațiile descriptive (verbale), au fost dezvoltate tehnici și simboluri speciale ale unei imagini grafice vizuale pentru a caracteriza PC-ul. Pentru o serie de noi direcții în dezvoltarea tehnologiei, un astfel de simbolism este în stadiul de formare.

Atunci când se dezvoltă noi TO, implementarea cu succes a primei etape depinde în mare măsură de nivelul profesional al inginerului, de potențialul creativ și de intuiția acestuia. Completitudinea și corectitudinea luării în considerare în PC a proprietăților TO, care sunt esențiale din punctul de vedere al scopului declarat al studiului, sunt principalele premise pentru obținerea unor rezultate fiabile ale modelării matematice în viitor. În schimb, o idealizare puternică a TO de dragul obținerii unui simplu PC poate devaloriza toate etapele ulterioare ale cercetării.

Trebuie să spun că pentru unele PC-uri tipice există bănci MM, ceea ce simplifică etapa a doua. Mai mult, același MM poate corespunde computerelor din diferite domenii. Cu toate acestea, atunci când se dezvoltă noi TO, adesea nu este posibil să se limiteze la utilizarea PC-urilor standard și a MM-urilor deja construite corespunzătoare acestora. Crearea de noi MM sau modificarea celor existente ar trebui să se bazeze pe un fundal matematic suficient de profund și pe competență în matematică ca limbaj universal al științei.

La a treia etapă se efectuează o analiză cantitativă calitativă și evaluativă a MM construit. În acest caz, pot fi identificate contradicții, a căror eliminare va necesita clarificarea sau revizuirea PC-ului (linia întreruptă în Fig. 1.1). Estimările cantitative pot da motive pentru simplificarea modelului prin excluderea din considerare a unor parametri, rapoarte sau componente individuale ale acestora, în ciuda faptului că influența factorilor descriși de acestea este luată în considerare în PC. În majoritatea cazurilor, luând ipoteze suplimentare cu privire la PC, este utilă construirea unei astfel de versiuni simplificate a MM, care să facă posibilă obținerea sau implicarea unei soluții exacte cunoscute. Această soluție poate fi apoi utilizată pentru comparație atunci când se testează rezultatele în fazele ulterioare. În unele cazuri, este posibil să se construiască mai multe MM-uri pentru același TO, care diferă în diferite niveluri de simplificare. În acest caz, ei vorbesc despre Ierarhia MM(cuvântul grecesc provine de la - sacru și - putere și în acest caz înseamnă ordonarea MM în funcție de complexitatea lor și completitudine).

Construcția ierarhiei MM este asociată cu diverse detalii ale proprietăților TO în studiu. Comparația rezultatelor studiului diferitelor MM poate extinde și îmbogăți semnificativ cunoștințele despre acest TO. În plus, o astfel de comparație permite să se evalueze fiabilitatea rezultatelor unui experiment computațional ulterior: dacă un MM mai simplu reflectă corect unele proprietăți ale TO, atunci rezultatele studierii acestor proprietăți ar trebui să fie apropiate de rezultatele obținute folosind un MM mai complet. și complexul MM.

Rezultatul analizei în această etapă este o alegere rezonabilă a unui MM TO funcțional, care este supusă unei analize cantitative detaliate suplimentare. Succesul în realizarea celei de-a treia etape, de regulă, depinde de profunzimea înțelegerii relației dintre componentele individuale ale MM cu proprietățile TO, care se reflectă în PC-ul său, ceea ce implică o combinație organică de matematică și inginerie. cunoștințe într-un domeniu specific.

A patra etapă constă într-o alegere rezonabilă a metodei de analiză cantitativă a MM, în dezvoltarea unui algoritm eficient pentru un experiment de calcul, iar a cincea etapă constă în crearea unui program funcțional care implementează acest algoritm prin intermediul tehnologiei informatice. . Pentru a desfășura cu succes a patra etapă, este necesar să stăpâniți arsenalul de metode moderne de matematică computațională, iar în modelarea matematică a TO destul de complexe, implementarea etapei a cincea necesită pregătire profesională în domeniul programării computerelor.

Rezultatele de calcul obținute în etapa a șasea (ca urmare a funcționării programului) trebuie în primul rând testate prin comparație cu datele analizei cantitative a versiunii simplificate a MM a TO considerată. Testarea poate dezvălui defecte atât în ​​program, cât și în algoritm și necesită îmbunătățirea programului sau modificări atât la algoritm, cât și la program. Analiza rezultatelor calculelor și interpretarea lor tehnică poate necesita ajustarea PC-ului și a MM-ului corespunzător. După eliminarea tuturor neajunsurilor identificate, triada „model – algoritm – program” poate fi folosită ca instrument de lucru pentru efectuarea unui experiment de calcul și elaborarea, pe baza informațiilor cantitative obținute, a unor recomandări practice care vizează îmbunătățirea TO, care este conținutul a șaptea etapă finală a „ciclului tehnologic” a modelării matematice.

Secvența de etape prezentată este generală și universală, deși în unele cazuri specifice poate fi ușor modificată. Dacă în dezvoltarea TO puteți utiliza PC-uri și MM-uri standard, atunci nu este nevoie să efectuați o serie de etape, iar în prezența unui pachet software adecvat, procesul unui experiment de calcul devine în mare măsură automatizat. Cu toate acestea, modelarea matematică a TO-urilor care nu au prototipuri apropiate, de regulă, este asociată cu realizarea tuturor etapelor „ciclului tehnologic” descris.

MODEL MATEMATIC

Din succesiunea pașilor principali modelare matematică(vezi Fig. 1.1) rezultă că rolul decisiv în ea îl joacă model matematic(MM) studiat obiect tehnic. Prin urmare, în primul rând, ar trebui să se acorde atenție principalelor proprietăți ale MM și cerințelor pentru acesta, precum și clasificării MM.

2.1. Conceptul de model matematic

Concept model matematic(MM), la fel ca o serie de alte concepte utilizate în modelare matematica, nu are o definiție formală strictă. Cu toate acestea, acestui concept este pus un conținut foarte specific, cu care, în special, aplicarea matematicii în practica ingineriei este strâns legată. Mai mult, discipline științifice precum mecanica, fizica și numeroasele lor secțiuni sunt, în esență, mulțimi ordonate de MM, a căror construcție este însoțită de o fundamentare teoretică a reflectării adecvate a acestor modele a proprietăților proceselor și fenomenelor luate în considerare. . Prin MM disciplinele științifice interacționează cu matematica.

Etapele de dezvoltare a multor direcții naturist-științifice în cunoașterea legilor naturii și în perfecționarea tehnologiei sunt construirea unei secvențe de MM din ce în ce mai precise și mai complete ale proceselor și fenomenelor studiate. Cu toate acestea, istoria științei cunoaște nu numai cazuri de rafinare consistentă a unuia sau altuia MM, ci și cazuri de respingere a unor MM din cauza discrepanțelor dintre rezultatele prezise de acestea și realitate.

MM care corespunde realității (adecvat) este, de regulă, o mare realizare științifică. Vă permite să efectuați un studiu detaliat al obiectului studiat și să oferiți o prognoză fiabilă a comportamentului acestuia în diferite condiții. Dar pentru adecvarea MM, este adesea necesar să se plătească prin complicația sa, care provoacă dificultăți în utilizarea sa. În acest caz, tehnologia computerelor moderne vine în ajutorul matematicii, extinzând semnificativ clasa MM, permițând o analiză cantitativă exhaustivă.

Aceleași MM-uri găsesc uneori aplicații complet diferite. Se știe, de exemplu, că legea atracției a două puncte materiale a lui Newton și legea interacțiunii a două sarcini electrice punctuale cu o alegere adecvată a unităților de măsură ale mărimilor fizice pot fi exprimate prin aceleași formule. Folosind același MM care conține ecuația Poisson

unde este operatorul diferențial Laplace și este funcția căutată și dată a poziției unui punct dintr-o anumită regiune V, este posibil să se studieze procesele în stare staționară de curgere a fluidului și de propagare a căldurii, distribuția potențialului electric, deformarea membranei, solicitările mecanice în timpul torsiunii barei, filtrarea uleiului în stratul purtător de ulei sau umiditatea în sol, răspândirea oricărei impurități aeropurtate sau epidemii în regiune. În fiecare dintre problemele enumerate, funcțiile capătă un sens propriu, dar legătura lor este descrisă de ecuația (2.1) comună acestor probleme.

Exemplele date caracterizează proprietatea universalitatea MM. Datorită acestei proprietăți, între diferite ramuri ale cunoașterii ia naștere o „înrudire” care accelerează dezvoltarea lor comună. O asemenea generalitate și universalitate a MM se explică prin faptul că în matematică se folosesc concepte fundamentale abstracte, puține la număr, dar foarte încăpătoare. în conținut.Acest lucru permite ca fapte specifice din cele mai diverse arii de cunoaștere să fie considerate ca o manifestare a acestor concepte și relații dintre ele.Setul de astfel de concepte și relații, exprimat folosind un sistem de simboluri și notații matematice și reflectând unele proprietăți ale obiectul studiat, se numește model matematic a acestui obiect. În acest caz, matematica acționează, în esență, în rolul limbajului universal al științei. Matematicianul francez Henri Poincaré (1854-1912) și-a definit universalitatea printr-o singură frază: „Matematica este arta de a numi diferite lucruri cu același nume”.

2.2. Structura modelului matematic

Într-un caz destul de general, cel obiect tehnic(TO) poate fi caracterizat cantitativ prin vectori extern internși parametrii de ieșire respectiv. Aceleași caracteristici fizice, mecanice sau informaționale ale TO în modele de diferite niveluri și conținut pot juca atât rolul parametrilor externi sau interni, cât și al parametrilor de ieșire.

De exemplu, pentru un amplificator electronic, parametrii de ieșire sunt câștigul, lățimea de bandă a semnalelor transmise, impedanța de intrare, disiparea puterii, parametrii externi sunt rezistența la sarcină și capacitatea, tensiunile de alimentare, temperatura ambiantă, iar parametrii interni sunt rezistențele rezistenței, capacitățile condensatorului. , și caracteristicile tranzistorului * 2 ... Dar dacă un singur tranzistor este considerat TO, atunci caracteristicile sale, cum ar fi tensiunea de deblocare și curentul colectorului, ar trebui deja atribuite parametrilor săi de ieșire, iar ca extern va fi necesar să se ia în considerare curenții și tensiunile stabilite de elementele amplificatorului care comută. Cu acesta.

La crearea unui TO, valorile parametrilor de ieșire sau intervalele de posibilă modificare a acestora sunt stipulate în termenii de referință pentru dezvoltarea TO, în timp ce parametrii externi caracterizează condițiile de funcționare a acestuia.

Într-un caz relativ simplu model matematic(MM) TO poate fi raportul

unde este funcția vectorială a argumentului vectorial. Modelul din forma (2.2) facilitează calcularea parametrilor de ieșire prin valorile date ale parametrilor externi și interni, de exemplu. rezolva asa-zisa problema directa.În practica inginerească, soluția unei probleme directe este adesea numită calcul de verificare. La crearea unui TO, devine necesar să se rezolve un așa-zis mai complex problema inversa: să-și găsească parametrii interni pe baza valorilor parametrilor externi și de ieșire determinate de atribuirea tehnică pentru proiectarea TO. În practica inginerească, soluția problemei inverse corespunde așa-numitului calcul de proiectare, adesea cu scopul de a optimiza parametrii interni pentru unele criteriul de optimitate. Cu toate acestea, atunci când se construiește un MM TO, funcția din (2.2) nu este de obicei cunoscută în prealabil și trebuie stabilită. Acesta este cel mai dificil așa-zis sarcina de identificare MM (de la cuvântul latin identifica - identific, căruia în acest caz i se dă sensul „recunosc”).

Problema de identificare poate fi rezolvată prin prelucrarea matematică a informațiilor despre un număr de astfel de stări TO, pentru fiecare dintre acestea fiind cunoscute valorile parametrilor de ieșire, interni și externi (de exemplu, măsurați experimental). O astfel de metodă implică utilizarea analizei de regresie. Dacă nu există informații despre parametrii interni sau structura internă a TO este prea complicată, atunci MM-ul unui astfel de TO este construit conform principiului cutie neagră- stabiliți relația dintre parametrii externi și de ieșire prin studierea răspunsului TO la influențele externe.

Modul teoretic de a construi MM este de a stabili o conexiune între y, NSși g sub formă ecuația operatorului

L (u (z)) = 0,(2.3)

Unde L- oarecare operator (în cazul general, neliniar), O - element zero al spațiului în care acționează acest operator, z este vectorul variabilelor independente, incluzând în general coordonatele de timp și spațiale și și- vector variabile de fază, inclusiv acei parametri ai TO care îi caracterizează starea. Dar chiar dacă este posibil să obținem soluția (2.3) și să găsiți dependența u (z) pe z, atunci este departe de a fi întotdeauna posibil să se reprezinte MM TO în mod explicit în raport cu vectorul la forma (2.2). Prin urmare, (2.3) este cea care determină, în cazul general, structura MM TO, iar (2.2) este un caz particular mai simplu al unui astfel de model.

2.3. Proprietățile modelelor matematice

Din cele spuse mai devreme, rezultă că în studiul realului sau al imaginabilului obiect tehnic(CA) i se aplică metode matematice model matematic(MM). Această aplicație va fi eficientă dacă proprietățile MM îndeplinesc anumite cerințe. Să luăm în considerare principalele acestor proprietăți.

Completitudine MM ne permite să reflectăm suficient cu exactitate acele caracteristici și trăsături de întreținere care ne interesează din punctul de vedere al scopului stabilit de a efectua experiment de calcul. De exemplu, modelul poate descrie destul de complet procesele care au loc în obiect, dar nu reflectă indicatorii de ansamblu, de masă sau de cost. Deci, rezistor MM sub forma unei formule binecunoscute U = legea IR Ohm posedă proprietatea de completitudine numai din punctul de vedere al stabilirii unei legături între scăderea tensiunii electrice U pe rezistor, este rezistenta R iar curentul care circulă prin el cu o forță I, dar nu oferă nicio informație despre dimensiunea, greutatea, rezistența la căldură, costul și alte caracteristici ale rezistorului, în raport cu care acesta nu este complet. Remarcăm în trecere că în MM considerat rezistenţa R rezistența acționează ca ea parametru intern, pe când dacă este dat U, atunci eu voi parametru de ieșire, A U- parametru extern, si invers.

PrecizieMM face posibilă asigurarea unei coincidențe acceptabile a realului și găsit folosind valori MM ale parametrilor de ieșire TO care alcătuiesc vectorul

Fie valoarea găsită folosind MM și valoarea reală a i-lea parametru de ieșire. Atunci eroarea relativă a lui MM în raport cu acest parametru va fi egală cu

Ca estimare scalară pentru vector

puteți accepta oricare dintre normele sale, de exemplu

Deoarece parametrii de ieșire ai TO folosind MM sunt legați de parametrii săi externi și interni, adică ca o caracteristică cantitativă a preciziei modelului acestui TO, aceasta va depinde de coordonatele vectorilor. NSși y .

adecvarea MM este capacitatea lui MM de a descrie parametrii de ieșire ai TO cu o eroare relativă de cel mult o anumită valoare specificată . Fie, pentru unele valori nominale așteptate ale parametrilor externi ai TO, care alcătuiesc vectorul x nom, din condiția căilor minime pentru rezolvarea problemei optimizării finite-dimensionale se găsesc valorile parametrilor interni care alcătuiesc vectorul g nomși furnizarea valorii minime e min a erorii relative a lui MM. Apoi, pentru un vector fix δ, se poate construi mulțimea

numit zona de adecvare dat MM. Este clar că la, și cu cât valoarea specificată este mai mare, cu atât aria de adecvare a MM este mai largă, adică acest MM este aplicabil într-o gamă mai largă de posibile modificări ale parametrilor externi ai TO.

Într-un sens mai general, adecvarea MM este înțeleasă ca o descriere corectă calitativă și destul de exactă cantitativă a exact acele caracteristici ale TO care sunt importante în acest caz particular. Un model care este adecvat în selectarea unor caracteristici poate fi inadecvat în selectarea altor caracteristici ale aceluiași TO. Într-un număr de domenii aplicate care nu sunt încă suficient de pregătite pentru utilizarea metodelor matematice cantitative, MM sunt în principal de natură calitativă. Această situație este tipică, de exemplu, pentru sferele biologice și sociale, în care legile cantitative nu se pretează întotdeauna unei formalizări matematice stricte. În astfel de cazuri, sub adecvarea MM este firesc să înțelegem doar descrierea calitativă corectă a comportamentului obiectelor studiate sau a sistemelor acestora. Economie MM sunt estimate prin costul resurselor de calcul (timp și memorie calculator) necesare pentru implementarea MM pe un computer. Aceste costuri depind de numărul de operații aritmetice la utilizarea modelului, de dimensiunea spațiului variabilelor de fază, de caracteristicile calculatorului utilizat și de alți factori. Evident, cerințele pentru economie, precizie ridicată și o gamă suficient de largă de adecvare MM sunt contradictorii și în practică pot fi satisfăcute numai pe baza unui compromis rezonabil. Proprietatea economică a MM este adesea asociată cu simplitatea sa. Mai mult, o analiză cantitativă a unor versiuni simplificate de MM poate fi efectuată fără implicarea tehnologiei computerizate moderne. Cu toate acestea, rezultatele sale pot avea doar o valoare limitată în etapa de depanare a unui algoritm sau a unui program de calculator (vezi 1.2 și Fig. 1.1), dacă simplificarea MM nu este în concordanță cu schema de proiectare ATUNCI.

Robustitate MM(din cuvântul englez robust - strong, stable) caracterizează stabilitatea acestuia în raport cu erorile datelor inițiale, capacitatea de a nivela aceste erori și de a preveni influența lor excesivă asupra rezultatului unui experiment de calcul. Motivele pentru robustețea scăzută a MM pot fi nevoia ca analiza cantitativă a acestuia să scadă aproape unele de altele valori aproximative ale cantităților sau împărțirea la o valoare mică a modulului, precum și utilizarea funcțiilor în MM care se schimbă rapid în interval în care valoarea argumentului este cunoscută cu precizie scăzută. Uneori, dorința de a crește completitudinea MM duce la scăderea robusteței acestuia datorită introducerii unor parametri suplimentari, cunoscuți cu precizie redusă sau incluși în relații prea aproximative.

Productivitate MM asociat cu capacitatea de a avea date sursă suficient de fiabile. Dacă sunt rezultatul măsurătorilor, atunci precizia măsurării lor ar trebui să fie mai mare decât pentru acei parametri obținuți folosind MM. În caz contrar, MM va fi neproductiv și utilizarea sa pentru analiza unui TO specific devine lipsită de sens. Poate fi folosit doar pentru a evalua caracteristicile unei anumite clase de TO cu date inițiale ipotetice.

Vizibilitate MM este o proprietate dezirabilă, dar opțională. Cu toate acestea, utilizarea MM și modificarea acestuia sunt simplificate dacă componentele sale (de exemplu, termenii individuali ai ecuațiilor) au un sens clar și semnificativ. Acest lucru face de obicei posibilă prezicerea provizorie a rezultatelor unui experiment de calcul și facilitează controlul corectitudinii acestora.

În cele ce urmează, exemple specifice vor ilustra proprietățile menționate mai sus ale MM (vezi 3 și 6).

2.4. Structural și funcțional

Diverse caracteristici și simptome modele matematice(MM) stau la baza tipizării (sau clasificării). Printre astfel de semne se distinge natura proprietăților afișate. obiect tehnic(TO), gradul de detaliere a acestora, metode de obținere și prezentare a MM.

Una dintre caracteristicile esențiale ale clasificării este asociată cu reflectarea în MM a anumitor caracteristici TO. Dacă MM afișează dispozitivul TO și conexiunile dintre elementele sale constitutive, atunci este numit model matematic structural. Dacă MM reflectă procesele fizice, mecanice, chimice sau informaționale care au loc în TO, atunci se numește modele matematice funcționale. Este clar că pot exista MM-uri combinate care descriu atât operarea, cât și dispozitivul TO. Este firesc să numiți astfel de MM-uri modele matematice structurale și funcționale.

MM-urile structurale sunt împărțite în topologicși geometric constituind două niveluri Ierarhia MM de acest tip. Primul reflectă compoziția TO și relația dintre elementele sale. Este recomandabil să se aplice MM topologic în stadiul inițial al studiului unui TO, care este complex ca structură, constând dintr-un număr mare de elemente, în primul rând pentru a clarifica și clarifica relația lor. Acest MM are forma grafice, tabele, matrice, liste etc., iar construcția acesteia este de obicei precedată de dezvoltarea unei diagrame structurale TO.

MM geometric, pe lângă informațiile prezentate în MM topologic, conține informații despre forma și dimensiunile TO și elementele sale, despre poziția relativă a acestora. MM geometric include de obicei un set de ecuații pentru linii și suprafețe și relații algebrice care determină apartenența zonelor spațiului la corpul TO sau la elementele acestuia. Un astfel de MM este uneori specificat de coordonatele unui set de puncte, prin care interpolarea poate fi utilizată pentru a construi liniile sau suprafețele de delimitare. Limitele zonei sunt stabilite și în mod cinematic: linia - ca traiectorie a mișcării punctului și suprafața - ca urmare a deplasării liniei. Este posibil să se reprezinte forma și dimensiunea unei zone printr-un set de fragmente tipice de configurație destul de simplă. Această metodă este tipică, de exemplu, pentru metoda elementelor finite, care este utilizată pe scară largă în modelare matematică.

MM-urile geometrice sunt utilizate în proiectarea întreținerii, elaborarea documentației tehnice și a proceselor tehnologice pentru fabricarea pieselor (de exemplu, pe mașini-unelte cu comandă numerică).

MM-urile funcționale constau în relații care se leagă între ele variabile de fază, acestea. intern externși parametrii de ieșire ATUNCI. Funcționarea TO complex poate fi adesea descrisă numai cu ajutorul unui set de reacții ale acestuia la unele influențe (semnale) de intrare cunoscute (sau date). Acest tip de MM funcțional este denumit cutie neagrăși se numește de obicei model matematic de simulare, adică doar imită manifestările exterioare ale funcționării TO, fără a dezvălui sau descrie esența proceselor care au loc în acesta. MM-urile simulate sunt utilizate pe scară largă în cibernetica tehnică, o direcție științifică care studiază sistemele de control pentru TO complexe.

În ceea ce privește forma de prezentare, simularea MM este un exemplu model matematic algoritmic,întrucât conexiunea în ea între parametrii externi și de ieșire ai TO poate fi descrisă numai sub forma unui algoritm adecvat pentru implementare sub forma unui program de calculator. Pe această bază, o clasă mai largă de MM atât funcționale, cât și structurale este clasificată drept algoritmică. Dacă conexiunile dintre parametrii TO pot fi exprimate într-o formă analitică, atunci vorbesc despre modele analitice matematice. Atunci când construiesc o ierarhie de MM-uri ale aceluiași TO, aceștia se străduiesc de obicei să se asigure că o versiune simplificată a MM (vezi 1.2) este prezentată într-o formă analitică care permite o soluție exactă care ar putea fi folosită pentru comparație atunci când se testează rezultatele obținute folosind mai multe variante complete și deci mai complexe ale MM.

Este clar că MM-ul unui TO specific sub formă de prezentare poate include semne atât de MM analitic, cât și algoritmic. Mai mult, în stadiul cercetării cantitative a unui MM analitic destul de complex și efectuarea experiment de calcul pe baza acestuia se dezvoltă un algoritm, care este implementat sub forma unui program de calculator, adică. în procesul de modelare matematică, MM-ul analitic este convertit într-un MM algoritmic.

2.5. Teoretic și empiric

Pe calea primirii modele matematice(MM) împărțit la teoreticși empiric... Primele sunt obținute ca urmare a studierii proprietăților obiect tehnic(TO) și procesele care au loc în acesta, iar acestea din urmă sunt rezultatul prelucrării rezultatelor observării manifestărilor externe ale acestor proprietăți și procese. Una dintre modalitățile de a construi MM empiric este de a efectua cercetări experimentale legate de măsurare variabile de fază ASTA și în generalizarea ulterioară a rezultatelor acestor măsurători în formă algoritmică sau sub formă de dependențe analitice. Prin urmare, MM-ul empiric sub formă de prezentare poate conține caracteristici precum algoritmic, deci si model analitic matematic. Astfel, construcția unui MM empiric se reduce la soluție sarcini de identificare.

Când construiesc MM teoretic, ei se străduiesc în primul rând să folosească legile fundamentale cunoscute de conservare a unor substanțe precum masa, sarcina electrică, energia, momentul și momentul unghiular. De asemenea, atrage relaţii constitutive(numit si ecuații de stare),în rolul căruia poate fi așa-numitul legi fenomenologice(de exemplu, ecuația Clapeyron- Mendeleev averi gaz perfect, legea lui Ohm despre legătura dintre puterea curentului în conductor și scăderea tensiunii electrice, legea lui Hooke privind relația dintre deformare și solicitarea mecanică într-un material liniar elastic, legea lui Fourier privind relația dintre gradientul de temperatură într-un corp și densitatea fluxului de căldură etc.).

Combinarea considerațiilor teoretice de natură calitativă cu prelucrarea rezultatelor observării manifestărilor externe ale proprietăților TO supus studiului conduce la un tip mixt de MM, denumit semiempiric. La construirea unui astfel de MM, se folosesc prevederile de bază ale teoriei dimensiunilor, inclusiv așa-numita teoremă P (teorema Pi *): dacă între NS parametrii care caracterizează obiectul studiat, există o dependență care are o semnificație fizică, atunci această dependență poate fi reprezentată ca o dependență între = NS- La combinaţiile lor adimensionale, unde La- numarul de unitati de masura independente prin care se pot exprima dimensiunile acestor parametri. în care NS determină numărul de combinații adimensionale independente (neexprimabile unele prin altele), numite de obicei criterii de similitudine.

Obiectele pentru care valorile criteriilor de similaritate corespunzătoare sunt egale sunt considerate similare. De exemplu, orice triunghi este determinat în mod unic de lungimile a, b iar din partea sa, adică n = 3, a k= 1. Prin urmare, conform teoremei, mulțimea unor astfel de triunghiuri poate fi specificată prin valori = n - k= 2 criterii de similitudine. Rapoartele adimensionale ale lungimilor laturilor pot fi alese ca astfel de criterii: b /Ași s/a sau oricare alte două relații independente. Deoarece unghiurile unui triunghi sunt legate în mod unic de rapoartele laturilor și sunt cantități adimensionale, mulțimea unor astfel de triunghiuri poate fi determinată de egalitatea celor două unghiuri corespunzătoare sau de egalitatea unghiului și raportul dintre lungimile laturile adiacente acestuia. Toate opțiunile de mai sus corespund caracteristicilor binecunoscute ale asemănării triunghiurilor.

Pentru aplicarea cu succes a teoremei P la construcția modelelor TO, este necesar să existe un set complet de parametri care descriu obiectul studiat, iar alegerea acestor parametri ar trebui să se bazeze pe o analiză calitativă motivată a acelor proprietăți și caracteristici ale TO, a căror influență este semnificativă în acest caz particular. Rețineți că o astfel de analiză este necesară pentru orice metodă de construire a unui MM și vom ilustra această poziție cu exemple.

Exemplul 2.1. Luați în considerare binecunoscutul schema de proiectare pendul matematic (Fig. 2.1) sub forma unui punct material cu o masă suspendată pe o tijă fără greutate de lungime constantă, care se poate roti liber în jurul unei axe orizontale care trece prin punctul O. Abaterea pendulului printr-un unghi față de poziția sa verticală

echilibrul va duce la o creștere a energiei potențiale a unui punct material cu o cantitate unde este accelerația datorată gravitației. Dacă, după deformare, pendulul începe să se miște, atunci în absența rezistenței, în virtutea legii conservării energiei, va efectua oscilații susținute față de poziția de echilibru (punctul Aîn fig. 2.1). La trecerea de poziția de echilibru, viteza v punctul material este cel mai mare în valoare absolută, deoarece în această poziție energia cinetică a acestui punct este egală, deci

Să fie necesar să se stabilească o dependență perioada T de oscilaţii pendul (adică cel mai mic interval de timp după care pendulul revine într-o poziție fixă ​​care nu coincide cu poziția de echilibru) din parametrii (parametrul v ar trebui exclusă din luare în considerare, deoarece a fost posibil să fie exprimată prin parametrii de mai sus). Dimensiunile [.] Dintre cei patru parametri indicați și perioada T de oscilații pot fi exprimate prin k = 3 unități standard independente: [T] = s, [t] = kg, [l]= ms, = 0 și [g] = m/s 2. Prin urmare, în virtutea teoremei P din NS= 5 parametri, se pot realiza combinatii adimensionale, iar unghiul, fiind adimensional, este unul dintre ele. A doua combinație adimensională nu reușește să includă masa m punct material, deoarece unitatea de măsură a masei (kg) este inclusă numai în dimensiunea masei. Prin urmare, cantitatea m nu este un argument pentru dependența căutată, care poate fi stabilită și la construirea MM-ului teoretic al pendulului luat în considerare (vezi Exemplul 5.12). După excluderea parametrului m avem n = 4 și k = 2, adică din nou n = 2, astfel încât împreună cu parametrul adimensional, restul

Exemplul 2.3. Lăsați curgerea unui fluid incompresibil să curgă în jurul unui solid fix de o formă dată, având o dimensiune caracteristică și o temperatură constantă To (Fig. 2.3). Viteză v iar temperatura T w> T0 a lichidului la o valoare mare (comparativ cu eu) distanța față de corp păstrează valori constante. Necesar pentru o poziție fixă ​​a corpului față de direcția vectorului v viteza, aflați cantitatea de căldură Q transferată pe unitatea de timp dintr-un lichid într-un corp și numită flux de caldura.

Procesul de transfer de căldură este localizat la suprafața corpului și depinde nu numai de parametrii enumerați, ci și de capacitatea termică volumetrică. cuși coeficientul de conductivitate termică a lichidului, deoarece acești parametri caracterizează capacitatea lichidului de a furniza energie termică și de a o transfera la suprafața corpului. Furnizarea de energie termică a corpului depinde și de distribuția vitezei fluidului la suprafața acestuia. În cazul unui fluid ideal (nevâscos), acesta este determinat în mod unic de poziția fixă ​​a corpului față de vectorul v, iar pentru un fluid vâscos depinde și de raportul dintre forțele de vâscozitate și inerție, caracterizat prin: coeficient de viscozitate , numit cinematicși măsurată în m 2 / s.

Cu valori relativ apropiate ale lui T și To, este firesc să presupunem că fluxul de căldură depinde nu de fiecare dintre aceste temperaturi, ci de diferența lor. Apoi, în cazul unui fluid ideal, avem n = 6 parametri dimensionali, ale căror dimensiuni pot fi exprimate în termeni de k = 4 unități standard independente: [l] = m, [v] = Domnișoară,

K, [Q] = J / s = W = n m / s, [s] = J / (m 3 K) = kg / (m s 2 K), = W / (m K) = kg m / ( s 3 K), unde J (joule) și W (watt) sunt unități de energie (muncă) și respectiv putere, iar K (kelvin) este o unitate pentru măsurarea temperaturii la scară absolută. În virtutea teoremei P, din acești parametri este posibil să se compună numai n = n - k = 2 combinații independente fără dimensiuni, de exemplu și . Ca urmare, ajungem la dependență funcțională

înființată în 1915 de J.W. Strett.

Atitudine q = Q/S numita suprafata medie S suprafata corpului densitatea fluxului termicși se măsoară în W/m2. Deoarece pentru corpuri similare geometric, (2.7) poate fi reprezentată sub forma

unde Ki este criteriul termic al lui Kirpichev iar Pe este criteriul lui Peclet. Intensitatea transferului de căldură pe suprafața corpului este de obicei caracterizată de medie coeficient de transfer termic -, măsurată în W/ (m 2 K). Apoi, în loc de (2.8) obținem

unde Nu este criteriul (numărul) Nusselt. Forma funcției din (2.7) - (2.9) nu poate fi stabilită în cadrul teoriei dimensiunilor și trebuie determinată prin prelucrarea rezultatelor experimentale, deși în unele cazuri simple este posibil să se construiască MM-uri teoretice ale transferului de căldură. proces.

În cazul unui fluid vâscos, avem n = 7 parametri dimensionali ale căror dimensiuni pot fi încă exprimate în termeni de k = 4 unități de măsură independente, adică numărul de combinaţii independente adimensionale este . La cele considerate mai sus, ar trebui să se adauge orice combinație fără dimensiuni care include un nou parametru și. Această combinație poate fi selectată, de exemplu, sub forma sau . În primul caz, se numește criteriul (numărul) lui Reynoldsși notăm Re = , iar în al doilea - criteriu (număr) Prandtlși notăm Pg = . Criteriul Prandtl caracterizează doar proprietățile fluidului, iar criteriul Reynolds - relația dintre forțele de inerție și forțele de frecare vâscoase. Ca rezultat, în loc de (2.9) obținem

Deoarece Pe = RePr, în cazul unui lichid vâscos, criteriul Nusselt poate fi reprezentat printr-o funcție a oricăror două dintre cele trei argumente Pe, Re, Pr.

Este clar că în prezența a trei sau mai multe combinații adimensionale de parametri, construcția unui MM semiempiric devine mult mai complicată. În acest caz, se distinge de obicei așa-numitul criteriu determinabil (în exemplul 2.3, este Ki sau Nu), iar criteriile rămase sunt denumite determinante și se efectuează mai multe serii de măsurători experimentale pentru a stabili dependența funcțională a criteriul fiind determinat pe două sau mai multe determinante, considerate ca argumente ale funcției dorite (în (2.10) acestea sunt funcții). În fiecare serie de măsurători, parametrii dimensionali sunt modificați astfel încât valoarea doar unuia dintre criteriile definitorii se modifică. Apoi, prelucrarea rezultatelor unei astfel de serii de măsurători face posibilă dezvăluirea dependenței funcționale a criteriului determinat de unul dintre argumentele cu valori fixe ale restului. Ca urmare, într-un anumit interval de variație a valorilor criteriilor definitorii, este posibilă construirea funcției dorite cu un anumit grad de aproximare, adică rezolvați problema identificării unui MM semiempiric.

De observat că aplicarea teoremei la MM analitic, prezentată sub formă de ecuații, permite reducerea acestora la o formă adimensională și reducerea numărului de parametri care caracterizează TO studiat. Aceasta simplifică analiza calitativă și vă permite să evaluați influența factorilor individuali chiar înainte de analiza cantitativă (vezi D.2.2). În plus, forma adimensională a MM face posibilă prezentarea rezultatelor analizei sale cantitative într-o formă mai compactă.

2.6. Caracteristicile modelelor funcționale

Una dintre trăsăturile proeminente model matematic funcțional(MM) este prezența sau absența variabilelor aleatoare printre parametrii săi. În prezența unor astfel de cantități, se numește MM stocastică, iar în lipsa lor - determinat.

Nu toți parametrii sunt reali obiecte tehnice(TO) poate fi caracterizat prin valori bine definite. Prin urmare, MM-ul unui astfel de TO, strict vorbind, ar trebui clasificat ca stocastic. De exemplu, dacă TO în studiu este un produs produs în masă și acesta parametri interni poate lua valori aleatorii în limitele toleranțelor stabilite față de valorile nominale, atunci parametrii de ieșire ATUNCI vor fi variabile aleatorii. Valorile pot fi și aleatorii parametri externi atunci când TO este expus unor factori precum rafale de vânt, pulsații turbulente, semnale pe fond de zgomot etc.

Pentru analiza MM stocastică este necesară utilizarea metodelor teoriei probabilităților, proceselor stocastice și statisticii matematice. Totuși, principala dificultate în utilizarea lor este asociată de obicei cu faptul că caracteristicile probabilistice ale variabilelor aleatoare (așteptări matematice, varianțe, legi de distribuție) nu sunt adesea cunoscute sau cunoscute cu o acuratețe scăzută, de exemplu. MM nu îndeplinește cerința pentru ductivitate MM.În astfel de cazuri, este mai eficient să se utilizeze MM, care este mai grosier decât stocastic, dar și mai stabil în raport cu nefiabilitatea datelor inițiale, adică. satisface mai mult cerinţa robusteţe.

O caracteristică esențială a clasificării MM este capacitatea lor de a descrie modificarea parametrilor TO în timp. MM de schimb de căldură între corp și mediu considerat în Exemplul 2.4 ia în considerare o astfel de schimbare și este denumită nestaționare(sau evolutiv) modele matematice. Dacă, în acest caz, influența proprietăților inerțiale ale TO se reflectă în MM, atunci se numește de obicei dinamic. Spre deosebire de aceasta, se numește MM, care nu ia în considerare variația în timp a parametrilor TO static. MM considerate în exemplele 2.2 și 2.3 sunt statice. În ciuda mișcării fluxului de aer și a fluidului care curge în jurul profilului aripii și, respectiv, a corpului încălzit, toți parametrii care caracterizează aceste procese rămân constanți în timp.

Dacă modificarea parametrilor TO are loc atât de lent încât la momentul stabilit considerat această modificare poate fi neglijată, atunci se vorbește despre model matematic cvasistatic. De exemplu, în procesele mecanice care se desfășoară încet, forțele inerțiale pot fi neglijate, la o rată scăzută de schimbare a temperaturii - inerția termică a corpului și cu un curent care se schimbă lent în circuitul electric - inductanța elementelor acestui circuit. Modele matematice staţionare descrie TO, în care așa-numitul procese stabilite, acestea. procese în care parametrii de ieşire care ne interesează sunt constanţi în timp. Cele stabilite includ procese periodice,în care unii dintre parametrii de ieșire rămân neschimbați, în timp ce alții suferă fluctuații. De exemplu, MM-ul unui pendul matematic (vezi exemplul 2.1) este staționar în raport cu timpul independent perioadăși jumătate de interval de oscilații, deşi punctul material se mişcă în timp relativ la poziţia de echilibru.

Dacă parametrii de ieșire TO care ne interesează se modifică lent și la momentul stabilit considerat o astfel de modificare poate fi neglijată, atunci vorbim de model matematic cvasi-staționar. La descrierea unor procese, un MM non-staționar poate fi transformat într-unul cvasi-staționar prin alegerea corespunzătoare a sistemului de coordonate. De exemplu, în sudarea cu arc electric, câmpul de temperatură din tablele de oțel sudate în vecinătatea unui electrod care se mișcă cu viteză constantă într-un sistem de coordonate fix este descris de un MM nestaționar și într-un sistem de coordonate în mișcare asociat cu electrodul, un MM cvasi-staționar.

O proprietate importantă a MM din punctul de vedere al analizei ulterioare este liniaritatea sa. V ATUNCI parametrii săi sunt legați prin relații liniare. Aceasta înseamnă că atunci când orice parametru extern (sau intern) TO se modifică, MM-ul liniar prezice o modificare liniară a parametrului de ieșire în funcție de acesta, iar când doi sau mai mulți parametri se modifică, adăugarea influențelor lor, de exemplu. un astfel de MM are proprietatea suprapunere(de la cuvântul latin superpositio - suprapunere). Dacă MM nu are proprietatea de suprapunere, atunci se numește neliniară.

Un număr mare de metode matematice au fost dezvoltate pentru analiza cantitativă a MM liniară, în timp ce posibilitățile de analiză a MM neliniare sunt asociate în principal cu metodele matematicii computaționale. Pentru a utiliza metode analitice pentru a studia MM TO neliniar, acesta este de obicei liniarizat, i.e. relaţiile neliniare dintre parametrii sunt înlocuite cu unele liniare aproximative şi aşa-numitele model matematic linearizat considerat A. Deoarece liniarizarea este asociată cu introducerea unor erori suplimentare, atunci rezultatele analizei modelului liniarizat ar trebui tratate cu o oarecare prudență. Faptul este că liniarizarea MM poate duce la pierderea sau distorsiunea semnificativă a proprietăților reale ale TO. Luarea în considerare a efectelor neliniare în MM este deosebit de importantă, de exemplu, atunci când se descrie o modificare a formelor de mișcare sau a pozițiilor de echilibru ale TO, când mici modificări ale parametrilor externi pot provoca modificări calitative ale stării sale.

Fiecare parametru TO poate fi de două tipuri - modificându-se continuu într-un anumit interval al valorilor sale sau luând doar câteva valori discrete. Este posibilă și o situație intermediară, când într-o zonă parametrul ia toate valorile posibile, iar în cealaltă - doar discrete. În acest sens, există continuu, discretși modele matematice mixte.În cursul analizei, MM-urile de aceste tipuri pot fi convertite unele în altele, dar în timpul unei astfel de conversii, îndeplinirea cerinței ar trebui monitorizată adecvarea lui MM considerat A.

2.7. Ierarhizarea modelelor matematice și formele de prezentare a acestora

În modelarea matematică, un lucru destul de complex obiect tehnic(Atunci) descrie-i comportamentul ca unul model matematic(MM), de regulă, eșuează, iar dacă s-ar construi un astfel de MM, atunci ar fi prea complex pentru o analiză cantitativă. Prin urmare, astfel de TO sunt de obicei aplicate principiul de descompunere. Constă în împărțirea condiționată a TO în blocuri și elemente separate, mai simple, care să permită studiul lor independent, urmată de luarea în considerare a influenței reciproce a blocurilor și elementelor unul asupra celuilalt. La rândul său, principiul descompunerii poate fi aplicat fiecărui bloc selectat până la nivelul elementelor destul de simple. În acest caz, există Ierarhia MM blocuri și elemente interconectate.

Nivelurile ierarhice se disting și pentru tipurile individuale de MM. De exemplu, printre modele matematice structurale LA un nivel superior al ierarhiei includ modele topologice matematice,și la un nivel inferior, caracterizat prin TO mai detaliat, - modele geometrice matematice.

Printre modele matematice funcționale nivelurile ierarhice reflectă gradul de detaliu în descrierea proceselor care au loc în TO, blocurile sau elementele acestuia. Din acest punct de vedere, se disting de obicei trei niveluri principale: micro-, macro- și meta-nivel.

Modele matematice la micronivel descrie procesele din sistemele cu parametri distribuiți (în sisteme continue), A modele matematice la nivel macro- în sistemele cu parametrii concentrați (în sisteme discrete).În primul dintre ele variabile de fază poate depinde atât de timp, cât și de coordonatele spațiale și, în al doilea rând, doar de timp.

Dacă într-un MM de nivel macro numărul variabilelor de fază este de ordinul 10 4 -10 5, atunci o analiză cantitativă a unui astfel de MM devine greoaie și necesită resurse de calcul semnificative. În plus, cu un număr atât de mare de variabile de fază, este dificil să distingem caracteristicile esențiale ale TO și caracteristicile comportamentului său. În acest caz, prin combinarea și extinderea elementelor TO complex, se urmărește reducerea numărului de variabile de fază prin excluderea din considerare. parametri interni elemente, limitându-ne doar la descrierea relaţiilor reciproce dintre elementele lărgite. Această abordare este tipică pentru modele matematice ale nivelului metalic.

MM al metanivelului se referă de obicei la cel mai înalt nivel al ierarhiei, MM al macronivelului - la mijloc și MM al micronivelului - la cel mai de jos. Cea mai comună formă de prezentare model matematic dinamic (evolutiv). micronivelul este formularea unei probleme de valoare limită pentru ecuațiile diferențiale ale fizicii matematice. Această formulare include ecuații cu diferențe parțiale și condiții la limită. La rândul lor, condițiile la limită cuprind condițiile inițiale - distribuțiile variabilelor de fază căutate la un anumit moment de timp, luate ca fiind inițială, în regiunea spațială, a cărei configurație corespunde TO considerat sau elementului său - și condiţiile de limită la limitele acestei regiuni. La reprezentarea MM este recomandabil să se utilizeze variabile adimensionale (independente și căutate) și coeficienții ecuațiilor, reducând numărul de parametri care caracterizează TO considerat (vezi E.2.2).

Micro-level MM este numit unidimensional, bidimensional sau tridimensional, dacă variabilele de fază căutate depind de una, două sau, respectiv, trei coordonate spațiale. Ultimele două tipuri de MM sunt combinate în modele matematice multidimensionale de micronivel. MM-ul unidimensional al micronivelului, în care variabilele de fază sunt independente de timp, are o reprezentare sub forma unui sistem de ODE-uri cu condiții la limită date (în cel mai simplu caz al unei variabile de fază, un astfel de MM include doar una ODE și condiții la limită).

Deoarece o problemă de valoare la limită care conține ecuații diferențiale parțiale și condiții la limită poate fi asociată cu o formulare integrală, micronivelul MM poate fi reprezentat și în formă integrală. În anumite condiții, forma integrală a problemei valorii la limită poate fi redusă la o formulare variațională sub forma unei funcționale care poate fi considerată pe un anumit set de funcții care conțin funcția dorită. În acest caz, ei vorbesc despre forma variațională a modelului nivel micro. Funcția căutată dispare variația funcționalului, adică. este al lui punct staționar.

Construcția formei funcționale și variaționale corespunzătoare a modelului de micronivel se bazează de obicei pe un principiu variațional semnificativ din punct de vedere fizic al mecanicii sau electrodinamicii unui mediu continuu (de exemplu, pe principiul energiei potențiale minime a unui sistem continuu într-un echilibru). poziţia sau pe principiul timpului minim de tranzit al unui fascicul de lumină între două puncte mediul optic eterogen). În acest caz, punctul staționar al funcționalului corespunde valorii sale extreme (în special, minimă) pe setul admisibil de funcții. Această formă a modelului la nivel micro, numită variație extremă, permite, prin compararea valorilor funcționalei pe oricare două funcții din mulțimea admisibilă, să se estimeze în sens integral apropierea acestor funcții de cea dorită. Această proprietate a formei variaționale extreme a modelului este importantă în analiza calitativă a MM și în compararea diferitelor soluții aproximative ale problemei corespunzătoare valorii la limită *.

Dacă sunt îndeplinite unele constrângeri, puteți construi forma variațională duală a modelului micronivel, inclusiv o pereche de funcționale care ating în același punct staționar valori extreme alternative egale (minim și maxim). Această formă de MM face posibilă, prin diferența dintre valorile acestor Funcționale, calculate pentru o anumită funcție din mulțimea admisibilă, să se estimeze cantitativ eroarea care apare atunci când această funcție este selectată ca fiind cea necesară.

Principala formă de MM dinamică (evolutivă) a macronivelului sunt ODE-urile sau sistemele lor împreună cu condițiile inițiale date. Variabilele independente în astfel de MM vor fi timpul, iar cele căutate sunt variabilele de fază care caracterizează starea TO (de exemplu, deplasările, vitezele și accelerațiile elementelor dispozitivelor mecanice, precum și forțele și momentele aplicate acestor elemente). ; presiunea și debitul lichidului sau gazului în conductă; tensiunile și puterea curentului în circuitele electrice etc.). În unele cazuri, MM-ul macronivelului poate fi reprezentat în formă integrală folosind Principiul lui Hamilton- Ostrogradsky sau variațională extremă Principiul lui Hamilton.

Dacă evoluția TO este determinată de starea sa nu numai la momentul curent al timpului t, ci și la un moment anterior t - τ, atunci MM-ul macronivelului include ODE al formei

în raport cu funcţia cerută u (t). Astfel de EDO sunt numite ecuații întârziate și, respectiv, neutre și sunt denumite ca ecuații diferențiale-funcționale *(DFU) (sau ecuații diferențiale cu argument deviant). Cele mai răspândite DFU și sistemele lor sunt prezentate în sistemele MM de control și reglare automată. În plus, DFU-urile sunt utilizate în modele de procese biologice și economice.

Răspunsul întârziat al TO la o schimbare a stării sale poate fi determinat de mai mult de un interval de timp. Apoi DFU va include nu una, ci mai multe întârzieri discrete. Într-un caz mai general, întârzierea poate fi continuă în timp, ceea ce duce, de exemplu, pt model matematic liniar la ecuația integro-diferențială(IMU) al formularului

Funcția presetată K (t, r) se numește nucleul acestui IMU, iar TO considerată se spune că are memorie, întrucât evoluția sa depinde de întreaga istorie a modificărilor stării TO.

V model matematic static nivelul macro nu include timpul. Prin urmare, include doar o ecuație finită (în general neliniară) sau un sistem de astfel de ecuații (în special, un sistem de ecuații algebrice liniare - SLAE). Au aceeași formă cvasistatic, staționarși modele matematice cvasi-staţionare nivel macro.

Dacă pentru TO considerat este posibil să se distingă o proprietate importantă sau o combinație a unor astfel de proprietăți (fiabilitatea, durabilitatea, greutatea, costul, oricare dintre calitatea definitorie a TO parametrii de ieșire) iar pentru a stabili legătura lor cu variabilele de fază folosind o funcţie reală, atunci putem vorbi despre optimizarea TO după criteriul exprimat de această funcţie. Se numește funcție țintă, deoarece valorile sale caracterizează măsura (sau gradul) de realizare a unui anumit obiectiv de îmbunătățire a TO în conformitate cu criteriul selectat.

Datorită disponibilității limitate a resurselor într-o situație reală, au sens doar acele valori extreme ale funcției obiectiv care se realizează în zona posibilelor modificări ale variabilelor de fază TO, de obicei limitate de un sistem de inegalități. Aceste inegalități, împreună cu funcția obiectiv și MM TO static sub forma unei ecuații neliniare finite sau sisteme de astfel de ecuații, sunt incluse în formularea matematică a problemei de optimizare TO după criteriul selectat, care se numește (în caz general) o problemă de programare neliniară. Într-un caz anume model matematic liniar ATUNCI sub formă de SLAE, funcțiile obiective liniare și inegalitățile vorbesc despre o problemă de programare liniară. Astfel de probleme sunt de obicei abordate atunci când se iau în considerare problemele de conținut tehnic și economic. Problema de optimizare a unui TO descrisă de un MM dinamic (evolutiv) al macronivelului se referă la clasa problemelor de control optim.

MM-ul metalnivelului este caracterizat de aceleași tipuri de ecuații ca și pentru MM-ul macronivelului, dar aceste ecuații includ variabile de fază care descriu starea elementelor mărite ale complexului TO. Dacă este definită legea tranziției continue a TO de la o stare la alta, atunci aparatul funcțiilor de transfer * este adesea folosit pentru a analiza MM-ul meta-nivelului și atunci când se iau în considerare stările TO la momente discrete, ODE-urile și lor. sistemele se transformă în ecuații diferențiale pentru valorile variabilelor de fază în aceste momente. În cazul unei mulţimi discrete de stări TO se foloseşte şi aparatul logicii matematice şi mașini cu stări finite.

Definirea unui model matematic și modelare matematică.

Principalele etape ale modelării matematice.

Proprietățile modelelor matematice.

Cerințe pentru modele matematice.

Clasificarea modelelor.

Ierarhia MM și formele de prezentare

Probleme cu valoarea limită în proiectarea obiectelor tehnice

Tipuri de conexiuni între subsisteme de natură fizică diferită

MM la nivel micro

MM la nivel macro

principalele prevederi pentru obţinerea modelelor matematice ale obiectelor tehnice la nivel macro.

Metoda de obtinere a modelelor functionale

Metoda de obtinere a ecuatiilor topologice

Metoda elementului finit.

Metoda diferențelor finite.

Metode ale elementelor de limită.

Analogii ale ecuațiilor componentelor.

Analogii ale ecuațiilor topologice.

Obţinerea de diagrame echivalente de obiecte tehnice.

Aproximarea datelor tabelare. Metoda celor mai mici pătrate.

1. Aproximare internă. Metoda Ritz-Galerkin

   Metodă tabelară pentru obținerea modelelor matematice ale sistemelor.

   Metoda nodala de obtinere a modelelor matematice ale sistemelor.

   Metoda de rotație Jacobi

   Metode de rezolvare a sistemelor de ecuații algebrice liniare și neliniare.

   Analiza domeniului de frecventa.

   Comparația metodelor este finităXelemente și distanță între capăttei

   Modele matematice ale dispozitivelor discrete.

   Analiza multivariată.

   Modele matematice ale obiectelor tehnice la nivel meta. Modele matematice ale sistemelor de aşteptare.

   Modelarea prin simulare a QS

   Modele geometrice.

   Metode și algoritmi pentru grafică pe computer.

   Software și complexe metodologice pentru modelare geometrică și grafică pe computer

1. Definirea unui model matematic și modelare matematică

Modelul matematic al obiectului modelării este un sistem de elemente matematice (numere, variabile, ecuații, inegalități, mulțimi, matrici, grafice etc.) și relațiile dintre acestea, reflectând în mod adecvat unele proprietăți ale obiectului care sunt esențiale din punctul de vedere al unui inginer, pentru rezolvarea uneia sau a unei alte sarcini.

Modelare - studiul obiectelor de cunoaștere pe modelele acestora; construirea și studiul modelelor de obiecte și fenomene din viața reală (sisteme vii și neînsuflețite, structuri inginerești, diferite procese - fizice, chimice, biologice, sociale) și obiecte în curs de construcție (pentru a determina, clarifica caracteristicile acestora, raționaliza metodele de construcție a acestora). , etc.)...

Obiectele de modelare trebuie înțelese după cum urmează:

1. Sisteme tehnologice (TS) - secțiuni de mașini-unelte universale, linii automate, sisteme flexibile de producție (FPS).

2. Procese tehnologice (TP).

3. Procese fizice (FP).

Modelele matematice sunt dezvoltate pentru:

1. Descrieri ale FP, TP, TS.

2. Cercetare FP, TP, TS.

3. Proiectare TP, TS.

4. Optimizarea în timpul proiectării TP, TS și organizarea TS.

5. Construirea sistemelor de proiectare asistată de calculator.

Tipul, compoziția, complexitatea unui model matematic depinde de ce obiect descrie și în ce scop este dezvoltat.

În general, modelul matematic al obiectului se scrie:

unde este vectorul parametrilor de ieșire,

- vectorul parametrilor interni,

- vector al parametrilor externi (de intrare),

2. Principalele etape ale modelării matematice

Procesul de modelare matematică, adică studiul unui fenomen cu ajutorul lui M. m., poate fi subdivizat în 4 etape.

Prima etapă este formularea legilor care leagă principalele obiecte ale modelului. Această etapă necesită o cunoaștere amplă a faptelor legate de fenomenele studiate și o pătrundere profundă în relația lor. Această etapă se încheie cu înregistrarea în termeni matematici a calităților formulate, a ideilor despre legăturile dintre obiectele modelului.

A doua etapă este studiul problemelor matematice la care este condusă MM.Problema principală aici este soluționarea problemei directe, adică obținerea, în urma analizei modelului, a datelor de ieșire (consecințe teoretice) pt. compararea ulterioară a acestora cu rezultatele observaţiilor fenomenelor studiate. În această etapă, un rol important îl joacă aparatul matematic necesar analizei teoriei matematice, iar tehnologia computerizată este un instrument puternic pentru obținerea de cantități, informații de ieșire ca urmare a rezolvării unor probleme matematice complexe. Adesea problemele matematice care apar pe baza teoriei matematice a diferitelor fenomene sunt aceleași (de exemplu, problema principală a programării liniare reflectă situații de altă natură). Acest lucru oferă motive pentru a considera astfel de probleme matematice tipice ca un obiect independent, făcând abstracție de la fenomenele studiate.

A treia etapă este de a afla dacă modelul ipotetic adoptat îndeplinește criteriul practicii, adică de a clarifica întrebarea dacă rezultatele observației sunt în acord cu consecințele teoretice ale modelului în limitele acurateței observației. Dacă modelul a fost complet definit - au fost dați toți parametrii săi - atunci determinarea abaterilor consecințelor teoretice din observații dă soluția problemei directe cu estimarea ulterioară a abaterilor. Dacă abaterile depășesc acuratețea observațiilor, atunci modelul nu poate fi acceptat. Adesea, la construirea unui model, unele dintre caracteristicile acestuia rămân nedefinite. Problemele în care caracteristicile modelului (parametric, funcţional) sunt determinate în aşa fel încât informaţia de ieşire să fie comparabilă în acurateţea observaţiilor cu rezultatele observaţiilor fenomenelor studiate se numesc probleme inverse. Dacă M.M. este de așa natură încât pentru orice alegere de caracteristici aceste condiții nu pot fi îndeplinite, atunci modelul este nepotrivit pentru studiul fenomenelor luate în considerare. Aplicarea criteriului de practică la evaluarea lui M. m. Permite tragerea unei concluzii despre corectitudinea prevederilor care stau la baza modelului (ipotetic) de studiat. Această metodă este singura metodă de studiere a fenomenelor macro și microlumii care ne sunt inaccesibile direct.

A patra etapă este analiza ulterioară a modelului în legătură cu acumularea de date privind fenomenele studiate și modernizarea modelului. În procesul dezvoltării științei și tehnologiei, datele despre fenomenele studiate sunt din ce în ce mai rafinate, și vine un moment în care concluziile obținute pe baza M.M.-ului existent nu corespund cunoștințelor noastre despre fenomen. Astfel, devine necesară construirea unui M. nou, mai perfect de m.

Formarea conceptelor teoretice bazate pe cercetări în domeniul științelor naturale, care au servit drept bază pentru informații pentru studiul proceselor naturale din ecosistemele acvatice și dezvoltarea modelării matematice ca direcție științifică independentă

Concepte de bază și definiții

1.2.1. Model(măsură franceză, eșantion):

- un set de obiecte (celule spatio-temporale - statii, sectiuni, matrice etc.), care descriu orice parametri ai fenomenului studiat;

Un anumit set de obiecte ale căror proprietăți și relațiile dintre care satisfac un anumit sistem de axiome;

Măsură, eșantion, normă - un analog (schemă, structură, sistem de semne) al unui anumit fragment de realitate naturală (sau socială).

(din dicționar, lăsați-i să găsească: metodă, tehnică, metodologie).

1.2.2. După clasă modelele in sine sunt:

- fizică;

- matematică;

- sociale.

In schimb modele matematice bazate pe principiul implementării poate:

- determinat - care se construiesc pe baza unor regularităţi exprimate matematic care descriu procese fizice şi chimice din obiectul modelării. Ei permit fără echivoc determinați valoarea variabilelor;

- statistic - sunt construite pe baza datelor experimentale și reprezintă un sistem de relații care leagă valorile parametrilor de intrare și de ieșire;

- stocastică (sau imitație) - sunt construite pe baza unor idei probabiliste despre procesele din obiectul cercetării și vă permit să simulați comportamentul acestuia prin calcularea funcțiilor de distribuție a probabilității variabilelor care caracterizează proprietățile investigate.

Imitaţie- imitație.

Stochastic- aleatoriu, probabilistic.

Principiu- o idee călăuzitoare, o regulă de bază de activitate.

Datorită eforturilor clasicilor științelor naturale moderne, în cursul istoriei dezvoltării sale, s-a format un model calitativ al lumii înconjurătoare. Deci, V.I. Vernadsky a pus bazele doctrinei materiei vii și geochimiei marine, A.P. Vinogradov a început să studieze compoziția chimică a microorganismelor, N.M. Knipovich a fost un pionier în cercetarea piscicolă a mărilor și apelor sălmare, S.V. Bruevich a dezvoltat metode analitice pentru lucrările hidrochimice marine, a formulat bazele hidrochimiei, biohidrochimiei și dinamicii chimice a mărilor, L.A. Zenkevich a studiat fauna și productivitatea apelor mării, A.B. Skopintsev a început cercetarea materiei biogene și organice (MO) în corpurile de apă și cursurile de apă, G.G. Vinberg a abordat problemele formării productivității biologice a mărilor.

Aceste lucrări au servit ca fundament metodologic și teoretic care a început în întreaga lume din a doua jumătate a secolului XX. cercetarea regulată a stării ecologice a ecosistemelor marine, a caracteristicilor hidrochimice ale formării bazei de materie primă și a bioproductivității apelor naturale; modele de dezvoltare a proceselor chimice și biologice de transformare și dezintegrare a OM; mecanismele de regenerare a substraturilor biogene în legătură cu studiul condițiilor de rotație și circulație a substanțelor în biosferă [Leonov, 1999], precum și metodele de sistematizare și analiză a informațiilor obținute [Fashchuk, 1997; Fashchuk şi colab., 1997].

Potrivit celebrului matematician, academicianul I.M. Yagloma : „Nivelul de maturitate al unei anumite discipline este determinat în mare măsură de gradul de utilizare a aparatului matematic din aceasta, de conținutul „modelelor matematice” inerente disciplinei și de concluziile deductive strâns legate de acestea...”... Până în a doua jumătate a secolului al XX-lea. ecologia marina sa „maturat” ca știință într-o asemenea măsură încât modelarea matematică a stării ecosistemelor marine a devenit o direcție științifică independentă în știința naturii. În cadrul său, Oceanul Mondial este considerat un sistem dinamic complex de procese fizice, chimice, biologice, geologice și de altă natură.

Dezvoltarea tehnologiei informatice și a aparatului de matematică aplicată a condus la dezvoltarea intensivă a modelelor matematice ale ecosistemelor marine, ceea ce a făcut posibilă sistematizarea cunoștințelor dobândite în diverse domenii ale științei marine pentru a prezice și controla starea corpurilor de apă marine. . În acest sens, modelele matematice ale ecosistemelor marine, împreună cu observațiile de teren pe mare, pot fi considerate ca fundamentul unei înțelegeri științifice a naturii oceanului. Construirea și utilizarea modelelor matematice servește ca mijloc de analiză sistematică a condițiilor de funcționare a ecosistemelor marine.

1.4.1. Pe baza abordării metodologice a modelării proceselor și fenomenelor naturale, se disting următoarele tipuri de modele: empiric, semiempiric și teoretic.

Modele empirice descrie prin dependențe matematice a relației dintre parametrii individuali ai stării mediului și factorii externi care acționează asupra lor.

Modele teoretice se bazează pe un larg material faptic obținut ca urmare a cercetării fundamentale a elementelor individuale ale ecosistemului, a proceselor de transformare a materiei și energiei, a legilor care guvernează modificările parametrilor chimici și biologici etc.

Modele semi-empirice reprezintă o sinteză a primelor două, iar majoritatea modelelor dezvoltate pot fi atribuite acestei categorii.

1.4.2. În funcție de metoda de implementare, modelele sunt împărțite în:

- determinat(folosesc dependențe funcționale pentru a lega variabile);

- stocastică (construit pe baza unor relații statistice). Primele dintre ele sunt folosite mai des, deoarece admit un număr infinit de componente și nu țin cont de fluctuațiile aleatorii ale parametrilor mediului acvatic. Sunt convenabile din punctul de vedere al interpretării rezultatelor [Aizatullin, Lebedev, 1977].

- stocastic-determinist, în care în prima etapă se caută soluția în mod determinist, iar apoi, folosind metoda testelor statistice, se modelează variabilitatea diferiților parametri și se investighează răspunsul soluției la această variabilitate.

1.4.3. Depinde de asupra acurateței descrierii obiectului modelele pot fi clasificate în imitaţie (limitate la bazine sau zone specifice și dezvoltate pentru sarcini specifice de cercetare) și calitate (folosite pentru a clarifica modelele generale de dezvoltare și analiza proceselor, acestea sunt uneori numite și teoretic). V imitaţie modelele se străduiesc să țină cont de maximum de detalii, iar în calitate - minim (dar cel mai important), prin urmare, pentru cei din urmă, principala problemă este alegerea variabilelor prioritare [Smith, 1976].

După o altă clasificare imitaţie (sunt și stocastice) modelele sunt modele construite pe baza unor idei probabiliste despre procesele din obiectul cercetării și care permit modelarea comportamentului acestuia.

1.4.4. După modul de reprezentare (descriere) a structurii spațiale, modelele se împart în:

- punct(sau zero-dimensionale) cu parametrii concentrați, în care valorile caracteristicilor de stare sunt luate ca medie pentru întregul volum de apă, adică corpul de apă este considerat ca un punct (de exemplu, ca o stație oceanologică medie).

Potrivit manualului lui Sovetov și Yakovlev: „un model (lat. Modulus - măsură) este un obiect substitut pentru obiectul original, care oferă studiul unora dintre proprietățile originalului”. (p. 6) „Înlocuirea unui obiect cu altul pentru a obține informații despre cele mai importante proprietăți ale obiectului original folosind obiectul model se numește modelare”. (p. 6) „Prin modelare matematică înțelegem procesul de stabilire a corespondenței unui obiect real dat a unui obiect matematic, numit model matematic, și studiul acestui model, care face posibilă obținerea caracteristicilor obiectului real. în considerare. Tipul modelului matematic depinde atât de natura obiectului real, cât și de sarcinile de studiu a obiectului și de fiabilitatea și acuratețea necesară pentru rezolvarea acestei probleme.

În cele din urmă, cea mai concisă definiție a unui model matematic: „O ecuație care exprimă o idee».

Clasificarea modelului

Clasificarea formală a modelelor

Clasificarea formală a modelelor se bazează pe clasificarea instrumentelor matematice utilizate. Deseori construite sub formă de dihotomii. De exemplu, unul dintre seturile populare de dihotomii:

etc. Fiecare model construit este liniar sau neliniar, determinist sau stocastic, ... Firește, sunt posibile și tipuri mixte: într-o privință, concentrate (din punct de vedere al parametrilor), în alta, modele distribuite etc.

Clasificarea după modul în care este prezentat obiectul

Odată cu clasificarea formală, modelele diferă prin modul în care este reprezentat un obiect:

• Modele structurale sau funcționale

Modele structurale reprezintă un obiect ca un sistem cu dispozitiv și mecanism propriu de funcționare. Modele funcționale nu utilizați astfel de reprezentări și reflectă doar comportamentul (funcționarea) perceput extern al obiectului. În expresia lor extremă, sunt numite și modele „cutie neagră”. Sunt posibile și tipuri combinate de modele, uneori denumite „ cutie gri».

Conținut și modele formale

Aproape toți autorii care descriu procesul de modelare matematică indică faptul că mai întâi se construiește o structură ideală specială, model semnificativ... Nu există o terminologie stabilită aici, iar alți autori numesc acest obiect ideal model conceptual , model speculativ sau premodel... În acest caz, se numește construcția matematică finală model formal sau pur şi simplu un model matematic obţinut ca urmare a formalizării unui model semnificativ (pre-model) dat. Construcția unui model semnificativ poate fi realizată folosind un set de idealizări gata făcute, ca în mecanică, unde arcuri ideale, corpuri rigide, penduluri ideale, medii elastice etc. oferă elemente structurale gata făcute pentru o modelare semnificativă. Cu toate acestea, în domeniile de cunoaștere în care nu există teorii formalizate complet finalizate (de vârf în fizică, biologie, economie, sociologie, psihologie și majoritatea altor domenii), crearea de modele semnificative devine mult mai complicată.

Clasificarea substanțială a modelelor

Nicio ipoteză în știință nu este dovedită o dată pentru totdeauna. Richard Feynman a spus foarte clar:

„Avem întotdeauna posibilitatea de a respinge o teorie, dar, observați, nu putem dovedi niciodată că este corectă. Să presupunem că ați înaintat o ipoteză de succes, ați calculat unde duce aceasta și ați aflat că toate consecințele ei sunt confirmate experimental. Înseamnă asta că teoria ta este corectă? Nu, înseamnă pur și simplu că nu ai reușit să o infirmi.”

Dacă se construiește un model de primul tip, atunci aceasta înseamnă că este recunoscut temporar ca adevărat și este posibil să se concentreze asupra altor probleme. Totuși, acesta nu poate fi un punct în cercetare, ci doar o pauză temporară: statutul unui model de primul tip nu poate fi decât temporar.

Tip 2: Model fenomenologic (se comportă de parcă…)

Modelul fenomenologic conține un mecanism de descriere a fenomenului. Cu toate acestea, acest mecanism nu este suficient de convingător, nu poate fi suficient confirmat de datele disponibile sau nu este de acord cu teoriile existente și cunoștințele acumulate despre obiect. Prin urmare, modelele fenomenologice au statut de soluții temporare. Se crede că răspunsul este încă necunoscut și este necesar să se continue căutarea „mecanismelor adevărate”. Peierls se referă la al doilea tip, de exemplu, modelul caloric și modelul cuarc al particulelor elementare.

Rolul modelului în cercetare se poate schimba în timp, se poate întâmpla ca noi date și teorii să confirme modelele fenomenologice și să fie promovate la statutul de ipoteză. De asemenea, noile cunoștințe pot intra treptat în conflict cu modele ipotetice de primul tip, iar acestea pot fi traduse în al doilea. Astfel, modelul cuarcilor trece treptat în categoria ipotezelor; atomismul în fizică a apărut ca o soluție temporară, dar odată cu cursul istoriei a trecut în primul tip. Dar modelele eterice și-au făcut drum de la tipul 1 la tipul 2, iar acum sunt în afara științei.

Ideea simplificării este foarte populară atunci când construiești modele. Dar simplificarea este diferită. Peierls identifică trei tipuri de simplificări de modelare.

Tip 3: Apropiere (considerăm ceva foarte mare sau foarte mic)

Dacă este posibil să se construiască ecuații care să descrie sistemul studiat, aceasta nu înseamnă că acestea pot fi rezolvate chiar și cu ajutorul unui calculator. Tehnica general acceptată în acest caz este utilizarea aproximărilor (modele de tip 3). Printre ei modele de răspuns liniar... Ecuațiile sunt înlocuite cu unele liniare. Un exemplu standard este legea lui Ohm.

Și aici este tipul 8, utilizat pe scară largă în modelele matematice ale sistemelor biologice.

Tip 8: Demonstrarea posibilității (principalul lucru este de a arăta consistența internă a posibilității)

Acestea sunt și experimente de gândire. cu entităţi imaginare, demonstrând că presupus fenomenîn concordanță cu principiile de bază și consecventă intern. Aceasta este principala diferență față de modelele Type 7, care dezvăluie contradicții ascunse.

Unul dintre cele mai cunoscute astfel de experimente este geometria lui Lobachevsky (Lobachevsky a numit-o „geometrie imaginară”). Un alt exemplu este producerea în masă a modelelor formale - cinetice de oscilații chimice și biologice, autowave etc. Paradoxul Einstein - Podolsky - Rosen a fost conceput ca un model de tip 7 pentru a demonstra inconsecvența mecanicii cuantice. Într-un mod complet neplanificat, de-a lungul timpului, s-a transformat într-un model de tip 8 - o demonstrație a posibilității de teleportare cuantică a informațiilor.

Exemplu

Luați în considerare un sistem mecanic format dintr-un arc atașat la un capăt și o greutate de masă atașată la capătul liber al arcului. Vom presupune că sarcina se poate deplasa numai în direcția axei arcului (de exemplu, mișcarea are loc de-a lungul tijei). Să construim un model matematic al acestui sistem. Vom descrie starea sistemului prin distanța de la centrul sarcinii până la poziția sa de echilibru. Să descriem interacțiunea dintre arc și sarcina folosind legea lui Hooke() atunci vom folosi a doua lege a lui Newton pentru a o exprima sub forma unei ecuații diferențiale:

unde înseamnă a doua derivată de timp:.

Ecuația rezultată descrie modelul matematic al sistemului fizic considerat. Acest model este numit „oscilator armonic”.

Conform clasificării formale, acest model este liniar, determinist, dinamic, concentrat, continuu. În procesul de construire, am făcut multe ipoteze (despre absența forțelor externe, absența frecării, mici abateri etc.), care în realitate ar putea să nu fie îndeplinite.

În raport cu realitatea, acesta este cel mai adesea un model de tip 4. simplificare("Omitem unele detalii pentru claritate"), deoarece unele caracteristici universale esențiale (de exemplu, disiparea) sunt omise. După o anumită aproximare (să zicem, atâta timp cât abaterea sarcinii de la echilibru este mică, cu frecare scăzută, pentru nu prea mult timp și în anumite alte condiții), un astfel de model descrie destul de bine un sistem mecanic real, deoarece factorii eliminați au un efect neglijabil asupra comportamentului său... Cu toate acestea, modelul poate fi rafinat luând în considerare unii dintre acești factori. Acest lucru va duce la un nou model cu un domeniu de aplicare mai larg (deși din nou limitat).

Cu toate acestea, atunci când modelul este rafinat, complexitatea cercetării sale matematice poate crește semnificativ și poate face modelul practic inutil. Adesea, un model mai simplu permite o investigare mai bună și mai profundă a sistemului real decât un model mai complex (și, formal, „mai corect”).

Dacă aplicăm modelul oscilatorului armonic la obiecte care sunt departe de fizică, statutul său semnificativ poate fi diferit. De exemplu, atunci când se aplică acest model la populațiile biologice, cel mai probabil ar trebui să fie clasificat ca tip 6 analogie("Să luăm în considerare doar câteva dintre caracteristici").

Modele dure și moi

Oscilatorul armonic este un exemplu de așa-numit model „hard”. Se obține ca urmare a unei puternice idealizări a unui sistem fizic real. Pentru a rezolva problema aplicabilității sale, este necesar să înțelegem cât de importanți sunt factorii pe care i-am neglijat. Cu alte cuvinte, este necesar să se investigheze modelul „moale”, care se obține printr-o mică perturbare a celui „dur”. Poate fi dat, de exemplu, de următoarea ecuație:

Iată o anumită funcție, care poate lua în considerare forța de frecare sau dependența coeficientului de rigiditate a arcului de gradul de extindere a acestuia, este un parametru mic. Nu ne interesează forma explicită a funcției momentan. Dacă demonstrăm că comportamentul modelului soft nu diferă fundamental de comportamentul modelului hard (indiferent de forma explicită a factorilor perturbatori, dacă aceștia sunt suficient de mici), problema se va reduce la studiul rigidului. model. În caz contrar, aplicarea rezultatelor obținute în studiul modelului rigid va necesita cercetări suplimentare. De exemplu, soluția ecuației oscilatorului armonic sunt funcții de formă, adică oscilații cu amplitudine constantă. Rezultă de aici că un oscilator real va oscila un timp infinit de lung cu o amplitudine constantă? Nu, deoarece luând în considerare un sistem cu frecare arbitrar de mică (prezentă întotdeauna într-un sistem real), obținem oscilații amortizate. Comportamentul sistemului s-a schimbat dramatic.

Dacă un sistem își păstrează comportamentul calitativ la mici perturbări, se spune că este stabil din punct de vedere structural. Un oscilator armonic este un exemplu de sistem instabil structural (negru). Cu toate acestea, acest model poate fi aplicat studiului proceselor pe intervale de timp limitate.

Versatilitatea modelelor

Cele mai importante modele matematice au de obicei o proprietate importantă universalitate: fenomene reale fundamental diferite pot fi descrise de același model matematic. De exemplu, un oscilator armonic descrie nu numai comportamentul unei sarcini pe un arc, ci și alte procese oscilatorii, adesea de o natură complet diferită: mici oscilații ale unui pendul, oscilații ale nivelului unui lichid într-un vas în formă de sau o modificare a intensității curentului într-un circuit oscilator. Astfel, studiind un model matematic, studiem deodată o întreagă clasă de fenomene descrise de acesta. Acest izomorfism al legilor, exprimat prin modele matematice în diferite segmente ale cunoștințelor științifice, este isprava lui Ludwig von Bertalanffy de a crea o „Teorie generală a sistemelor”.

Probleme directe și inverse de modelare matematică

Există multe probleme asociate modelării matematice. În primul rând, este necesar să se vină cu schema de bază a obiectului modelat, să o reproducă în cadrul idealizărilor acestei științe. Deci, un vagon se transformă într-un sistem de plăci și corpuri mai complexe din materiale diferite, fiecare material fiind stabilit ca idealizare mecanică standard (densitate, module elastice, caracteristici standard de rezistență), după care se întocmesc ecuații, pe parcurs. unele detalii sunt aruncate ca nesemnificative, se fac calcule, se compară cu măsurătorile, modelul este rafinat și așa mai departe. Cu toate acestea, pentru dezvoltarea tehnologiilor de modelare matematică, este utilă dezasamblarea acestui proces în principalele sale elemente constitutive.

În mod tradițional, există două clase principale de probleme asociate modelelor matematice: directe și inverse.

Sarcina directă: structura modelului și toți parametrii săi sunt considerați cunoscuți, sarcina principală este de a efectua un studiu al modelului pentru a extrage cunoștințe utile despre obiect. Ce sarcină statică va rezista podul? Cum va reacționa la o sarcină dinamică (de exemplu, la marșul unei companii de soldați sau la trecerea unui tren cu viteze diferite), cum va depăși un avion bariera sonoră, dacă se va destrăma de flutter - acestea sunt exemple tipice de sarcină directă. Stabilirea corectă a problemei directe (a pune întrebarea corectă) necesită abilități speciale. Dacă nu se pun întrebările potrivite, podul se poate prăbuși, chiar dacă s-a construit un model bun pentru comportamentul său. Așadar, în 1879, în Marea Britanie, s-a prăbușit un pod metalic peste Tay, ai cărui proiectanți au construit un model al podului, l-au calculat pentru un factor de siguranță de 20 de ori pentru sarcina utilă, dar au uitat de vânturile care suflau constant în acele locuri. Și după un an și jumătate, s-a prăbușit.

În cel mai simplu caz (ecuația unui oscilator, de exemplu) problema directă este foarte simplă și se reduce la o soluție explicită a acestei ecuații.

Problemă inversă: sunt cunoscute multe modele posibile, trebuie să alegeți un model specific pe baza datelor suplimentare despre obiect. De cele mai multe ori, structura modelului este cunoscută și trebuie determinați niște parametri necunoscuți. Informațiile suplimentare pot consta în date empirice suplimentare sau în cerințele pentru obiect ( provocare de proiectare). Date suplimentare pot veni independent de procesul de rezolvare a problemei inverse ( supraveghere pasivă) sau să fie rezultatul unui experiment special planificat ( supraveghere activă).

Unul dintre primele exemple de soluție virtuoasă a problemei inverse cu utilizarea cât mai deplină posibilă a datelor disponibile a fost metoda de restabilire a forțelor de frecare din oscilațiile amortizate observate, construită de I. Newton.

Un alt exemplu este statistica matematică. Sarcina acestei științe este de a dezvolta metode de înregistrare, descriere și analiză a datelor observaționale și experimentale cu scopul de a construi modele probabilistice ale fenomenelor aleatorii de masă. Acestea. setul de modele posibile este limitat la modele probabilistice. În sarcinile specifice, setul de modele este mai limitat.

Sisteme de simulare pe calculator

Pentru a sprijini modelarea matematică, au fost dezvoltate sisteme de matematică pe computer, de exemplu, Maple, Mathematica, Mathcad, MATLAB, VisSim etc. Acestea vă permit să creați modele formale și bloc ale proceselor și dispozitivelor atât simple, cât și complexe și să modificați cu ușurință parametrii modelului în timpul modelare. Modele bloc sunt reprezentate prin blocuri (cel mai adesea grafice), ale căror seturi și conexiuni sunt stabilite de diagrama modelului.

Exemple suplimentare

Modelul Malthus

Rata de creștere este proporțională cu dimensiunea actuală a populației. Este descris de ecuația diferențială

unde este un parametru determinat de diferența dintre fertilitate și mortalitate. Soluția acestei ecuații este funcția exponențială. Dacă natalitatea depășește rata mortalității (), dimensiunea populației crește la nesfârșit și foarte rapid. Este clar că, în realitate, acest lucru nu se poate întâmpla din cauza resurselor limitate. Când se atinge un anumit volum critic al populației, modelul încetează să fie adecvat, deoarece nu ține cont de resursele limitate. Modelul logistic, care este descris de ecuația diferențială Verhulst, poate servi ca o rafinare a modelului Malthus

unde este dimensiunea populației „de echilibru”, la care natalitatea este exact compensată de rata mortalității. Mărimea populației într-un astfel de model tinde spre o valoare de echilibru, iar acest comportament este stabil din punct de vedere structural.

Sistem prădător-pradă

Să presupunem că pe un anumit teritoriu trăiesc două feluri de animale: iepuri (care se hrănesc cu plante) și vulpi (care se hrănesc cu iepuri). Să fie numărul de iepuri, numărul de vulpi. Folosind modelul Malthus cu modificările necesare, ținând cont de consumul de iepuri de către vulpi, ajungem la următorul sistem, care poartă numele modele Lotki - Volterra:

Acest sistem are o stare de echilibru când numărul de iepuri și vulpi este constant. Abaterea de la această stare duce la fluctuații ale numărului de iepuri și vulpi, analoge cu fluctuațiile oscilatorului armonic. Ca și în cazul oscilatorului armonic, acest comportament nu este stabil din punct de vedere structural: o mică modificare a modelului (de exemplu, ținând cont de resursele limitate necesare iepurilor) poate duce la o schimbare calitativă a comportamentului. De exemplu, o stare de echilibru poate deveni stabilă, iar fluctuațiile numerelor se vor estompa. Este posibilă și situația inversă, când orice mică abatere de la poziția de echilibru va duce la consecințe catastrofale, până la dispariția completă a uneia dintre specii. Modelul Volterra-Lotka nu oferă un răspuns la întrebarea care dintre aceste scenarii este realizat: aici sunt necesare cercetări suplimentare.

Note (editare)

1. „O reprezentare matematică a realității” (Encyclopaedia Britanica)
2. Novik I.B., Despre problemele filozofice ale modelării cibernetice. M., Cunoașterea, 1964.
3. B. Ya. Sovietici, S. A. Yakovlev, Modelare de sistem: manual. pentru universități - ed. a III-a, rev. si adauga. - M .: Mai sus. shk., 2001 .-- 343 p. ISBN 5-06-003860-2
4. Samarskiy A.A., Mihailov A.P. Modelare matematică. Idei. Metode. Exemple. - Ed. a II-a, Rev. - M .: Fizmatlit, 2001. - ISBN 5-9221-0120-X
5. Myshkis A.D., Elemente de teoria modelelor matematice. - Ed. a 3-a, Rev. - M .: KomKniga, 2007 .-- 192 s ISBN 978-5-484-00953-4
6. Sevostyanov, A.G. Modelarea proceselor tehnologice: manual / A.G. Sevostyanov, P.A. Sevostianov. - M .: Industria ușoară și alimentară, 1984 .-- 344 p.
7. Wikționar: model matematic
8. CliffsNotes.com. Glosarul Științelor Pământului. 20 septembrie 2010
9. Model Reduction and Coarse-Graining Approaches for Multiscale Phenomenas, Springer, seria Complexity, Berlin-Heidelberg-New York, 2006. XII + 562 p. ISBN 3-540-35885-4
10. „O teorie este considerată liniară sau neliniară, în funcție de faptul că este un aparat matematic liniar sau neliniar și de ce fel de modele matematice liniare sau neliniare folosește. … Fără negarea acestuia din urmă. Un fizician modern, dacă ar fi recreat o definiție a unei esențe atât de importante precum neliniaritatea, cel mai probabil, ar fi acționat diferit și, preferând neliniaritatea ca fiind cel mai important și mai răspândit dintre cele două opuse, ar fi definit liniaritatea ca „nu neliniaritate”. ." Danilov Yu.A., Prelegeri despre dinamica neliniară. O introducere elementară. Sinergetice: de la trecut la seria viitor. Ediția 2. - M .: URSS, 2006 .-- 208 p. ISBN 5-484-00183-8
11. „Sistemele dinamice modelate printr-un număr finit de ecuații diferențiale obișnuite sunt numite sisteme concentrate sau puncte. Ele sunt descrise folosind un spațiu de fază cu dimensiuni finite și sunt caracterizate de un număr finit de grade de libertate. Unul și același sistem în condiții diferite poate fi considerat fie concentrat, fie distribuit. Modelele matematice ale sistemelor distribuite sunt ecuații diferențiale parțiale, ecuații integrale sau ecuații obișnuite cu un argument întârziat. Numărul de grade de libertate ale unui sistem distribuit este infinit și este necesară o cantitate infinită de date pentru a-i determina starea.” Anischenko V.S., Sisteme dinamice, Jurnal educațional Soros, 1997, nr.11, p. 77-84.
12. „În funcție de natura proceselor studiate în sistemul S, toate tipurile de modelare pot fi împărțite în deterministă și stocastică, statică și dinamică, discretă, continuă și discret-continuă. Modelarea deterministă prezintă procese deterministe, adică procese în care se presupune absența oricăror influențe aleatorii; modelarea stocastică afișează procese și evenimente probabilistice. ... Modelarea statică este folosită pentru a descrie comportamentul unui obiect în orice moment în timp, în timp ce modelarea dinamică reflectă comportamentul unui obiect în timp. Modelarea discretă servește pentru a descrie procesele care se presupune că sunt discrete, respectiv, modelarea continuă vă permite să reflectați procesele continue în sisteme, iar modelarea discret-continuă este utilizată pentru cazurile în care doriți să evidențiați prezența atât a proceselor discrete, cât și a celor continue. B. Ya. Sovietici, S. A. Yakovlev ISBN 5-06-003860-2
13. De obicei, modelul matematic reflectă structura (dispozitivul) obiectului simulat, proprietățile și interrelațiile componentelor acestui obiect care sunt esențiale în scopuri de cercetare; un astfel de model se numește structural. Dacă modelul reflectă doar modul în care funcționează un obiect - de exemplu, cum reacționează la influențele externe - atunci se numește funcțional sau, la figurat, o cutie neagră. Sunt posibile și modele combinate. Myshkis A.D. ISBN 978-5-484-00953-4
14. „O etapă inițială evidentă, dar cea mai importantă a construirii sau alegerii unui model matematic este obținerea cât mai clară a unei idei despre obiectul modelat și clarificarea modelului său semnificativ pe baza discuțiilor informale. Nu trebuie să economisiți timp și efort în această etapă, succesul întregului studiu depinde în mare măsură de acesta. Nu s-a întâmplat de mai multe ori ca munca semnificativă petrecută pentru rezolvarea unei probleme matematice să se dovedească a fi ineficientă sau chiar irosită din cauza atenției insuficiente acordate acestei părți a problemei.” Myshkis A.D., Elemente de teoria modelelor matematice. - Ed. a 3-a, Rev. - M .: KomKniga, 2007 .-- 192 s ISBN 978-5-484-00953-4, p. 35.
15. « Descrierea modelului conceptual al sistemului. La această sub-etapă de construire a unui model al sistemului: a) modelul conceptual M este descris în termeni și concepte abstracte; b) se face o descriere a modelului folosind scheme matematice standard; c) ipotezele și ipotezele sunt în cele din urmă acceptate; d) se fundamentează alegerea procedurii de aproximare a proceselor reale în construcția modelului.” B. Ya. Sovietici, S. A. Yakovlev, Modelare de sistem: manual. pentru universități - ed. a III-a, rev. si adauga. - M .: Mai sus. shk., 2001 .-- 343 p. ISBN 5-06-003860-2, p. 93.
16. Blekhman I.I., Myshkis A.D.,