Volumul unei piramide isoscele. Formule pentru volumul unei piramide triunghiulare regulate. Exemple de rezolvare a problemelor
Acasă Una dintre cele mai simple cifrele volumetrice
este o piramidă triunghiulară, deoarece constă din cel mai mic număr de fețe din care se poate forma o figură în spațiu. În acest articol ne vom uita la formule care pot fi folosite pentru a găsi volumul unei piramide regulate triunghiulare.
Piramida triunghiulara Conform definiție generală
o piramidă este un poligon, ale cărui vârfuri sunt conectate la un punct care nu este situat în planul acestui poligon. Dacă acesta din urmă este un triunghi, atunci întreaga figură se numește piramidă triunghiulară.
Piramida în cauză este formată dintr-o bază (triunghi) și trei fețe laterale (triunghiuri). Punctul în care cele trei fețe laterale sunt conectate se numește vârful figurii. Perpendiculara de la acest vârf coborât la bază este înălțimea piramidei. Dacă punctul de intersecție al perpendicularei cu baza coincide cu punctul de intersecție al medianelor triunghiului de la bază, atunci vorbim de o piramidă regulată. În caz contrar, va fi înclinat. După cum s-a spus, baza piramidă triunghiulară poate fi un triunghi tip general
. Cu toate acestea, dacă este echilaterală, iar piramida în sine este dreaptă, atunci ei vorbesc despre o figură tridimensională obișnuită.
Orice piramidă triunghiulară are 4 fețe, 6 muchii și 4 vârfuri. Dacă lungimile tuturor marginilor sunt egale, atunci o astfel de figură se numește tetraedru.
Volumul unei piramide triunghiulare generale
Înainte de a scrie formula pentru volumul unei piramide triunghiulare regulate, dăm o expresie pentru această mărime fizică pentru o piramidă de tip general. Această expresie arată astfel: La subiect:
Inga Budkevich: biografia și filmografia actriței
Aici S o este aria bazei, h este înălțimea figurii. Această egalitate va fi valabilă pentru orice tip de bază de poligon piramidal, precum și pentru un con. Dacă la bază există un triunghi cu lungimea laturii a și înălțimea h o coborâtă pe el, atunci formula pentru volum se va scrie după cum urmează:
V = 1/6*a*h o *h.
Formule pentru volumul unei piramide triunghiulare regulate
O piramidă triunghiulară regulată are la bază un triunghi echilateral. Se știe că înălțimea acestui triunghi este legată de lungimea laturii sale prin egalitatea:
V = 1/6*a*h o *h = √3/12*a 2 *h.
Volumul unei piramide obișnuite cu o bază triunghiulară este o funcție de lungimea laturii bazei și de înălțimea figurii.
Din moment ce oricare poligon regulat poate fi înscris într-un cerc, a cărui rază va determina în mod unic lungimea laturii poligonului, atunci această formulă poate fi scrisă prin raza corespunzătoare r:
V = √3/4*h*r 2 .
Această formulă poate fi obținută cu ușurință din cea anterioară, dacă ținem cont că raza r a cercului circumscris prin lungimea laturii a a triunghiului este determinată de expresia:
Problema determinării volumului unui tetraedru
Vom arăta cum să folosiți formulele de mai sus atunci când rezolvăm probleme specifice de geometrie.
Se știe că un tetraedru are o lungime a muchiei de 7 cm Aflați volumul unei piramide-tetraedru triunghiulare obișnuite.
Amintiți-vă că un tetraedru este o piramidă triunghiulară regulată în care toate bazele sunt egale între ele. Pentru a utiliza formula pentru volumul unei piramide triunghiulare obișnuite, trebuie să calculați două cantități:
Înainte de a scrie formula pentru volumul unei piramide triunghiulare regulate, dăm o expresie pentru această mărime fizică pentru o piramidă de tip general. Această expresie arată astfel: Gara principală din Praga: adresă, descriere. Călătorind la Praga cu trenul
- lungimea laturii triunghiului;
- înălțimea figurii.
Prima cantitate este cunoscută din enunțul problemei:
Pentru a determina înălțimea, luați în considerare figura prezentată în figură.
Triunghiul marcat ABC este un triunghi dreptunghic, unde unghiul ABC este de 90 o. Latura AC este ipotenuza iar lungimea ei este a. Folosind un raționament geometric simplu, putem arăta că latura BC are lungimea:
Rețineți că lungimea BC este raza cercului circumscris triunghiului.
h = AB = √(AC 2 - BC 2) = √(a 2 - a 2 /3) = a*√(2/3).
Acum puteți înlocui h și a în formula corespunzătoare pentru volum:
V = √3/12*a 2 *a*√(2/3) = √2/12*a 3 .
Astfel, am obținut formula pentru volumul unui tetraedru. Se poate observa că volumul depinde doar de lungimea marginii. Dacă substituim valoarea din condițiile problemei în expresie, atunci obținem răspunsul:
V = √2/12*7 3 ≈ 40,42 cm 3.
Dacă comparăm această valoare cu volumul unui cub având aceeași muchie, constatăm că volumul tetraedrului este de 8,5 ori mai mic. Acest lucru indică faptul că tetraedrul este o figură compactă care apare în unele substanțe naturale. De exemplu, molecula de metan are o formă tetraedrică, iar fiecare atom de carbon din diamant este conectat la alți patru atomi pentru a forma un tetraedru.
Problema piramidei omotetice
, sunt de asemenea asemănătoare (au un unghi ascuțit comun cu vârful DESPRE).
(formula pentru raza unui cerc circumscris folosind latura unui triunghi echilateral) 
.
| Sarcină | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
| Răspuns | b | O | b | O | b | V | V | V |
Teme pentru acasă: 1. Rezolvați problemele nr. 695v, nr. 697, nr. 690
2. Luați în considerare sarcinile de bază
Sarcina 1.
Demonstrați că dacă marginile laterale ale piramidei sunt egale (sau formează unghiuri egale cu planul bazei), atunci vârful piramidei este proiectat către centrul cercului circumscris bazei.
Demonstrați că dacă unghiurile diedrice de la baza piramidei sunt egale (sau egale cu înălțimile fețelor laterale trase din vârful piramidei), atunci vârful piramidei este proiectat în centrul cercului înscris în baza piramidei.
Înapoi Înainte
Atenţie! Previzualizările diapozitivelor au doar scop informativ și este posibil să nu reprezinte toate caracteristicile prezentării. Dacă sunteți interesat de această lucrare, vă rugăm să descărcați versiunea completă.
Obiectivele lecției.
Educațional: Deduceți o formulă pentru calcularea volumului unei piramide
Dezvoltare: pentru a dezvolta interesul cognitiv al studenților pentru disciplinele academice, capacitatea de a-și aplica cunoștințele în practică.
Educațional: cultivați atenția, acuratețea, lărgiți orizonturile elevilor.
Echipamente și materiale: computer, ecran, proiector, prezentare „Volumul Piramidei”.
1. Sondaj frontal. Diapozitive 2, 3
Ceea ce se numește piramidă, baza piramidei, nervuri, înălțime, axă, apotema. Care piramidă se numește regulată, tetraedră, trunchiată?
O piramidă este un poliedru format dintr-un plat poligon, puncte, care nu se află în planul acestui poligon și toate segmentele, conectând acest punct cu punctele poligonului.
Acest punct numit top piramide, iar un poligon plat este baza piramidei. Segmente care leagă vârful piramidei cu vârfurile bazei se numesc coaste . Înălţime piramide - perpendicular, coborât din vârful piramidei până în planul bazei. Apotema - înălțimea marginii laterale piramida corecta. Piramida, care la baza este corect n-gon, A baza de inaltime coincide cu centrul bazei numit corecta piramida n-gonală. Axă a unei piramide regulate este linia dreaptă care conține înălțimea acesteia. O piramidă triunghiulară obișnuită se numește tetraedru. Dacă piramida este intersectată de un plan paralel cu planul bazei, atunci aceasta va tăia piramida, asemănătoare dat. Partea rămasă se numește trunchi de piramidă.
2. Derivarea formulei de calcul al volumului piramidei V=SH/3 Slide 4, 5, 6
1. Fie SABC o piramidă triunghiulară cu vârful S și baza ABC.
2. Să adăugăm această piramidă la o prismă triunghiulară cu aceeași bază și înălțime.
3. Această prismă este compusă din trei piramide:
1) din această piramidă SABC.
2) piramidele SCC 1 B 1.
3) și piramidele SCBB 1.
4. A doua și a treia piramidă au bazele egale CC 1 B 1 și B 1 BC și o înălțime totală trasă de la vârful S până la fața paralelogramului BB 1 C 1 C. Prin urmare, au volume egale.
5. Prima și a treia piramidă au, de asemenea, baze egale SAB și BB 1 S și înălțimi coincidente trasate de la vârful C la fața paralelogramului ABB 1 S. Prin urmare, au și volume egale.
Aceasta înseamnă că toate cele trei piramide au același volum. Deoarece suma acestor volume este egală cu volumul prismei, volumele piramidelor sunt egale cu SH/3.
Volumul oricărei piramide triunghiulare este egal cu o treime din produsul dintre suprafața bazei și înălțimea.
3. Consolidarea materialului nou. Rezolvarea exercițiilor.
1) Problemă № 33 din manualul de A.N. Pogorelova. Slide-urile 7, 8, 9
Pe partea bazei? și muchia laterală b, găsiți volumul unei piramide regulate a cărei bază se află:
1) triunghi,
2) patrulater,
3) hexagon.
Într-o piramidă obișnuită, înălțimea trece prin centrul unui cerc circumscris bazei. Apoi: (Anexă)
4. Informații istorice despre piramide. Slide-urile 15, 16, 17
Primul dintre contemporanii noștri care a stabilit o serie fenomene neobișnuite asociat cu piramida a fost savantul francez Antoine Bovy. În timp ce explora piramida Cheops în anii 30 ai secolului XX, el a descoperit că trupurile unor animale mici care au ajuns accidental în camera regală au fost mumificate. Bovey și-a explicat motivul pentru aceasta prin forma unei piramide și, după cum s-a dovedit, nu s-a înșelat. Lucrările sale au stat la baza cercetarea modernă, drept urmare, în ultimii 20 de ani, au apărut numeroase cărți și publicații care confirmă că energia piramidelor poate avea semnificație practică.
Misterul Piramidelor
Unii cercetători susțin că piramida conține o cantitate imensă de informații despre structura Universului, a sistemului solar și a omului, codificate în forma sa geometrică, sau mai exact, în forma unui octaedru, din care jumătate piramidă reprezintă. Piramida cu vârful în sus simbolizează viața, cu vârful în jos simbolizează moartea. altă lume. La fel ca componentele Stelei lui David (Magen David), unde triunghiul îndreptat în sus simbolizează ascensiunea către Mintea Superioară, Dumnezeu, iar triunghiul cu vârful în jos simbolizează coborârea sufletului pe Pământ, existența materială...
Valoarea digitală a codului cu care sunt criptate informațiile despre Univers în piramidă, numărul 365, nu a fost aleasă întâmplător. În primul rând, acesta este ciclul anual de viață al planetei noastre. De asemenea, numărul 365 este format din trei cifre 3, 6 și 5. Ce înseamnă acestea? Dacă în sistem solar Soarele trece la numărul 1, Mercur - 2, Venus - 3, Pământul - 4, Marte - 5, Jupiter - 6, Saturn - 7, Uranus - 8, Neptun - 9, Pluto - 10, apoi 3 este Venus, 6 - Jupiter și 5 – Marte. În consecință, Pământul este conectat într-un mod special cu aceste planete. Adăugând numerele 3, 6 și 5, obținem 14, dintre care 1 este Soarele și 4 este Pământul.
Numărul 14 are în general o semnificație globală: în special, structura mâinilor umane se bazează pe ea, număr total falangele degetelor fiecăruia dintre ele sunt tot 14. Acest cod este legat și de constelația Ursa Major, care include Soarele nostru, și în care a mai existat odată o altă stea care a distrus Phaethon, o planetă situată între Marte și Jupiter, după care a apărut în sistemul solar Pluto, iar caracteristicile celorlalte planete s-au schimbat.
Multe surse ezoterice susțin că umanitatea de pe Pământ a suferit deja de patru ori o catastrofă la nivel mondial. A treia rasă lemuriană a cunoscut știința divină a Universului, apoi această doctrină secretă a fost transmisă doar inițiaților. La începutul ciclurilor și semiciclurilor anului sideral, au construit piramide. Au fost aproape de a descoperi codul vieții. Civilizația Atlantidei a reușit în multe lucruri, dar la un anumit nivel de cunoaștere au fost oprite de o altă catastrofă planetară, însoțită de o schimbare de rase. Probabil, inițiații au vrut să ne transmită că piramidele conțin cunoștințe ale legilor cosmice...
Dispozitivele speciale sub formă de piramide neutralizează radiațiile electromagnetice negative asupra unei persoane de la un computer, televizor, frigider și alte aparate electrocasnice.
Una dintre cărți descrie un caz în care o piramidă instalată în habitaclu al unei mașini a redus consumul de combustibil și a redus conținutul de CO din gazele de eșapament.
Semințele culturilor de grădină păstrate în piramide au avut o germinație și un randament mai bun. Publicațiile recomandau chiar înmuierea semințelor în apă piramidală înainte de însămânțare.
S-a descoperit că piramidele au un efect benefic asupra mediului. Eliminați zonele patogene din apartamente, birouri și cabane de vară, creând o aură pozitivă.
Cercetătorul olandez Paul Dickens, în cartea sa, oferă exemple despre proprietățile vindecătoare ale piramidelor. El a observat că cu ajutorul lor poți ameliora durerile de cap, durerile articulare, poți opri sângerarea de la mici tăieturi și că energia piramidelor stimulează metabolismul și întărește sistemul imunitar.
Unele publicații moderne notează că medicamentele păstrate într-o piramidă scurtează cursul tratamentului, iar materialul de pansament, saturat cu energie pozitivă, favorizează vindecarea rănilor.
Cremele și unguentele cosmetice își îmbunătățesc efectul.
Băuturile, inclusiv cele alcoolice, își îmbunătățesc gustul, iar apa conținută în vodcă 40% devine vindecătoare. Adevărat, pentru a încărca o sticlă standard de 0,5 litri cu energie pozitivă, vei avea nevoie de o piramidă înaltă.
Într-una articol de ziar vorbește despre ce se întâmplă dacă depozitezi bijuterii sub piramidă se autocurăță și capătă o strălucire deosebită, iar pietrele prețioase și semiprețioase acumulează bioenergie pozitivă și apoi o eliberează treptat.
Potrivit oamenilor de știință americani, produsele alimentare, precum cerealele, făina, sarea, zahărul, cafeaua, ceaiul, după ce se află în piramidă, își îmbunătățesc gustul, iar țigările ieftine devin similare cu omologii lor nobili.
Acest lucru poate să nu fie relevant pentru mulți, dar într-o piramidă mică, lamele vechi de ras se ascuți, iar într-o piramidă mare apa nu îngheață la -40 de grade Celsius.
Potrivit majorității cercetătorilor, toate acestea sunt dovada existenței energiei piramidale.
De-a lungul celor 5000 de ani de existență, piramidele au devenit un fel de simbol, personificând dorința omului de a ajunge la culmea cunoașterii.
5. Rezumând lecția.
Lista literaturii folosite.
1) http://schools.techno.ru
2) Pogorelov A.V Geometrie 10-11, editura Prosveshchenie.
3) Enciclopedia „Arborele cunoașterii” Marshall K.
Caracteristica principală a oricărui figură geometricăîn spațiu este volumul său. În acest articol ne vom uita la ce este o piramidă cu un triunghi la bază și vom arăta, de asemenea, cum să găsim volumul unei piramide triunghiulare - obișnuită, plină și trunchiată.
Ce este asta - o piramidă triunghiulară?
Toată lumea a auzit despre piramidele egiptene antice, dar ele sunt patruunghiulare obișnuite, nu triunghiulare. Să explicăm cum să obțineți o piramidă triunghiulară.
Să luăm un triunghi arbitrar și să conectăm toate vârfurile sale cu un singur punct situat în afara planului acestui triunghi. Figura rezultată va fi numită o piramidă triunghiulară. Este prezentat în figura de mai jos.
După cum puteți vedea, figura în cauză este formată din patru triunghiuri, care în cazul general sunt diferite. Fiecare triunghi este laturile piramidei sau fața acesteia. Această piramidă este adesea numită tetraedru, adică o figură tridimensională tetraedrică.
Pe lângă laturi, piramida are și margini (sunt 6) și vârfuri (din 4).
cu baza triunghiulara
O figură care este obținută folosind un triunghi arbitrar și un punct în spațiu va fi o piramidă înclinată neregulată în cazul general. Acum imaginați-vă că triunghiul original are laturile identice, iar un punct din spațiu este situat exact deasupra centrului său geometric la o distanță h de planul triunghiului. Piramida construită folosind aceste date inițiale va fi corectă.
Evident, numărul de muchii, laturi și vârfuri ale unei piramide triunghiulare regulate va fi același cu cel al unei piramide construite dintr-un triunghi arbitrar.
Cu toate acestea figura corectă are unele caracteristici distinctive:
- înălțimea lui trasă din vârf va intersecta exact baza la centrul geometric (punctul de intersecție al medianelor);
- suprafata laterala O astfel de piramidă este formată din trei triunghiuri identice, care sunt isoscele sau echilaterale.
O piramidă triunghiulară obișnuită nu este doar un obiect geometric pur teoretic. Unele structuri din natură au forma sa, de exemplu rețeaua cristalină de diamant, unde un atom de carbon este conectat la patru dintre aceiași atomi prin legături covalente, sau o moleculă de metan, unde vârfurile piramidei sunt formate din atomi de hidrogen.
piramidă triunghiulară
Puteți determina volumul absolut oricărei piramide cu un n-gon arbitrar la bază folosind următoarea expresie:
Aici simbolul S o denotă aria bazei, h este înălțimea figurii desenate la baza marcată din vârful piramidei.
Deoarece aria unui triunghi arbitrar este egală cu jumătate din produsul lungimii laturii sale a de apotema h a căzută pe această parte, formula pentru volumul unei piramide triunghiulare poate fi scrisă în urmatoarea forma:
V = 1/6 × a × h a × h
Pentru tipul general, determinarea înălțimii nu este o sarcină ușoară. Pentru a o rezolva, cea mai simplă modalitate este să folosiți formula pentru distanța dintre un punct (vertex) și un plan (bază triunghiulară), reprezentată de ecuație vedere generală.
Pentru cea corectă, are un aspect specific. Aria bazei (a unui triunghi echilateral) pentru aceasta este egală cu:
Înlocuind-o în expresia generală pentru V, obținem:
V = √3/12 × a 2 × h
Un caz special este situația în care toate laturile unui tetraedru se dovedesc a fi triunghiuri echilaterale identice. În acest caz, volumul său poate fi determinat numai pe baza cunoașterii parametrului marginii sale a. Expresia corespunzătoare arată astfel:
Piramida trunchiată
Dacă partea superioară care conține vârful este tăiată dintr-o piramidă triunghiulară obișnuită, obțineți o figură trunchiată. Spre deosebire de cel original, acesta va fi format din două baze triunghiulare echilaterale și trei trapeze isoscele.
Fotografia de mai jos arată cum arată o piramidă triunghiulară trunchiată obișnuită făcută din hârtie.
Pentru a determina volumul unei piramide triunghiulare trunchiate, trebuie să cunoașteți cele trei caracteristici liniare ale acesteia: fiecare dintre laturile bazelor și înălțimea figurii, egală cu distanța dintre bazele superioare și inferioare. Formula corespunzătoare pentru volum este scrisă după cum urmează:
V = √3/12 × h × (A 2 + a 2 + A × a)
Aici h este înălțimea figurii, A și a sunt lungimile părților mari (inferioare) și mici (superioare). triunghiuri echilaterale respectiv.
Rezolvarea problemei
Pentru a face informațiile din articol mai clare pentru cititor, vom arăta cu un exemplu clar cum să folosiți unele dintre formulele scrise.
Fie volumul piramidei triunghiulare de 15 cm 3 . Se știe că cifra este corectă. Este necesar să se găsească apotema a b a marginii laterale dacă se știe că înălțimea piramidei este de 4 cm.
Deoarece volumul și înălțimea figurii sunt cunoscute, puteți utiliza formula adecvată pentru a calcula lungimea laturii bazei acesteia. Avem:
V = √3/12 × a 2 × h =>
a = 12 × V / (√3 × h) = 12 × 15 / (√3 × 4) = 25,98 cm
a b = √(h 2 + a 2 / 12) = √(16 + 25,98 2 / 12) = 8,5 cm
Lungimea calculată a apotemului figurii s-a dovedit a fi mai mare decât înălțimea acesteia, ceea ce este valabil pentru orice tip de piramidă.
O piramidă este un poliedru cu un poligon la bază. Toate fețele, la rândul lor, formează triunghiuri care converg la un singur vârf. Piramidele sunt triunghiulare, patrulatere și așa mai departe. Pentru a determina ce piramidă se află în fața ta, este suficient să numeri numărul de unghiuri de la baza acesteia. Definiția „înălțimii unei piramide” se găsește foarte des în problemele de geometrie din programa școlară. În acest articol vom încerca să luăm în considerare moduri diferite locația ei.
Părți ale piramidei
Fiecare piramidă este formată din următoarele elemente:
- fețele laterale, care au trei colțuri și converg la vârf;
- apotema reprezintă înălțimea care coboară de la vârful ei;
- vârful piramidei este punctul care face legătura coaste laterale, dar nu se află în planul bazei;
- baza este un poligon pe care nu se află vârful;
- înălțimea unei piramide este un segment care intersectează vârful piramidei și formează un unghi drept cu baza acesteia.
Cum se află înălțimea unei piramide dacă este cunoscut volumul acesteia
Prin formula V = (S*h)/3 (în formula V este volumul, S este aria bazei, h este înălțimea piramidei) aflăm că h = (3*V)/ S. Pentru a consolida materialul, să rezolvăm imediat problema. Baza triunghiulară este de 50 cm 2 , în timp ce volumul ei este de 125 cm 3 . Înălțimea piramidei triunghiulare este necunoscută, ceea ce trebuie să găsim. Totul este simplu aici: introducem datele în formula noastră. Obținem h = (3*125)/50 = 7,5 cm.
Cum se află înălțimea unei piramide dacă lungimea diagonalei și marginile ei sunt cunoscute
După cum ne amintim, înălțimea piramidei formează un unghi drept cu baza sa. Aceasta înseamnă că înălțimea, muchia și jumătatea diagonalei formează împreună. Mulți, desigur, își amintesc de teorema lui Pitagora. Cunoscând două dimensiuni, nu va fi greu să găsiți a treia cantitate. Să ne amintim binecunoscută teoremă a² = b² + c², unde a este ipotenuza, iar în cazul nostru marginea piramidei; b - primul picior sau jumătate din diagonală și, respectiv, c - al doilea picior, sau înălțimea piramidei. Din această formulă c² = a² - b².
Acum problema: într-o piramidă obișnuită diagonala este de 20 cm, când lungimea marginii este de 30 cm. Trebuie să găsiți înălțimea. Rezolvăm: c² = 30² - 20² = 900-400 = 500. Prin urmare, c = √ 500 = aproximativ 22,4.
Cum să aflați înălțimea unei piramide trunchiate
Este un poligon cu o secțiune transversală paralelă cu baza. Înălțimea unei piramide trunchiate este segmentul care leagă cele două baze ale acesteia. Înălțimea poate fi găsită pentru o piramidă obișnuită dacă sunt cunoscute lungimile diagonalelor ambelor baze, precum și marginea piramidei. Fie diagonala bazei mai mari d1, în timp ce diagonala bazei mai mici este d2, iar muchia are lungimea l. Pentru a găsi înălțimea, puteți coborî înălțimile din cele două puncte superioare opuse ale diagramei până la baza acesteia. Vedem că avem două triunghi dreptunghic, rămâne de găsit lungimile picioarelor lor. Pentru a face acest lucru, scădem pe cea mai mică din diagonala mai mare și împărțim la 2. Așa că vom găsi un catet: a = (d1-d2)/2. După care, conform teoremei lui Pitagora, tot ce trebuie să facem este să găsim al doilea picior, care este înălțimea piramidei.
Acum să ne uităm la toată chestia asta în practică. Avem o sarcină în față. O piramidă trunchiată are un pătrat la bază, lungimea diagonală a bazei mai mari este de 10 cm, în timp ce cea mai mică este de 6 cm, iar marginea este de 4 cm. În primul rând, găsim un picior: a = (10-6)/2 = 2 cm Un picior este egal cu 2 cm, iar ipotenuza este de 4 cm. 4 = 12, adică h = √12 = aproximativ 3,5 cm.