Găsiți unghiul dintre liniile drepte dintr-un plan. Găsirea unghiului dintre liniile drepte

Acasă Unghi

între drepte în spațiu vom numi oricare dintre unghiurile adiacente formate din două drepte trasate printr-un punct arbitrar paralel cu datele.

Să fie date două drepte în spațiu:

Evident, unghiul φ dintre drepte poate fi luat ca unghi între vectorii lor de direcție și . Deoarece , folosind formula pentru cosinusul unghiului dintre vectori obținem

Condițiile de paralelism și perpendicularitate a două drepte sunt echivalente cu condițiile de paralelism și perpendicularitate ale vectorilor lor de direcție și: Două drepte paralel dacă și numai dacă coeficienții lor corespunzători sunt proporționali, i.e. l dacă și numai dacă coeficienții lor corespunzători sunt proporționali, i.e. 1 paralelă .

Condițiile de paralelism și perpendicularitate a două drepte sunt echivalente cu condițiile de paralelism și perpendicularitate ale vectorilor lor de direcție și: 2 dacă și numai dacă sunt paralele perpendicular

dacă şi numai dacă suma produselor coeficienţilor corespunzători este egală cu zero: . U

obiectiv între linie și plan Să fie drept d
Să fie drept- nu perpendicular pe planul θ; Să fie drept′− proiecția unei linii
la planul θ; Să fie drept Cel mai mic unghi dintre liniile drepte Să fie dreptŞi „vom suna.
unghiul dintre o linie dreaptă și un plan Să fie drept,θ)
Să o notăm ca φ=( Să fie drept Dacă Să fie drept⊥θ, atunci (

,θ)=π/2→Oi→j k
→− sistem de coordonate dreptunghiular.

θ: Ecuația plană:+Topor+De+Cz=0

D Să fie drept[Presupunem că linia dreaptă este definită de un punct și un vector de direcție: 0,M→]
p Vector→(n,O,B)⊥θ
C Vector Apoi rămâne de aflat unghiul dintre vectori M→ și Vector→,M→).

→, să-l notăm ca γ=(<π/2 , то искомый угол φ=π/2−γ .

Dacă unghiul γ

Dacă unghiul este γ>π/2, atunci unghiul dorit este φ=γ−π/2

sinφ=sin(2π−γ)=cosγ

sinφ=sin(γ−2π)=−cosγ Apoi, unghiul dintre linie dreaptă și plan

poate fi calculat folosind formula: sinφ=∣cosγ∣=∣ ∣ 1+Ap 2+Bp 3∣ ∣ √n 2+O 2+B 2√M 21+M 22+M 23

Cp Întrebarea 29.

Conceptul de formă pătratică. Definitivitatea semnelor formelor pătratice. Forma pătratică j (x 1, x 2, …, x n) n variabile reale x 1, x 2, …, x n
, (1)

se numește sumă a formei Unde a ij Unde = – unele numere numite coeficienți. Fără a pierde generalitatea, putem presupune că.

a ji Forma pătratică se numește valabil, Unde Dacă Î GR. Matrice de formă pătratică
se numește matrice formată din coeficienții săi. Forma pătratică (1) corespunde singurei matrice simetrice Adică A T = A . Prin urmare, forma pătratică (1) poate fi scrisă sub forma matriceală j () = X x T Ah , Unde = (. Prin urmare, forma pătratică (1) poate fi scrisă sub forma matriceală j ( 1 . Prin urmare, forma pătratică (1) poate fi scrisă sub forma matriceală j ( 2 … x T). (2)

x n

Și, invers, fiecărei matrice simetrice (2) îi corespunde o formă pătratică unică până la notarea variabilelor. Rangul formei pătratice se numește rangul matricei sale. Forma pătratică se numește dacă matricea sa este nesingulară O. (amintim că matricea O se numeşte nedegenerat dacă determinantul său nu este egal cu zero). În caz contrar, forma pătratică este degenerată.

definit pozitiv(sau strict pozitiv) dacă

j ( . Prin urmare, forma pătratică (1) poate fi scrisă sub forma matriceală j () > 0 , pentru oricine . Prin urmare, forma pătratică (1) poate fi scrisă sub forma matriceală j ( = (. Prin urmare, forma pătratică (1) poate fi scrisă sub forma matriceală j ( 1 , . Prin urmare, forma pătratică (1) poate fi scrisă sub forma matriceală j ( 2 , …, x T), cu excepţia . Prin urmare, forma pătratică (1) poate fi scrisă sub forma matriceală j ( = (0, 0, …, 0).

Matrice O forma patratică definită pozitivă j ( . Prin urmare, forma pătratică (1) poate fi scrisă sub forma matriceală j () se mai numește și definit pozitiv. Prin urmare, o formă pătratică definită pozitivă corespunde unei matrice definite pozitive unice și invers.

Forma pătratică (1) se numește definit negativ(sau strict negativ) dacă

j ( . Prin urmare, forma pătratică (1) poate fi scrisă sub forma matriceală j () < 0, для любого . Prin urmare, forma pătratică (1) poate fi scrisă sub forma matriceală j ( = (. Prin urmare, forma pătratică (1) poate fi scrisă sub forma matriceală j ( 1 , . Prin urmare, forma pătratică (1) poate fi scrisă sub forma matriceală j ( 2 , …, x T), cu excepția . Prin urmare, forma pătratică (1) poate fi scrisă sub forma matriceală j ( = (0, 0, …, 0).

În mod similar ca mai sus, o matrice de formă pătratică definită negativă se mai numește și definită negativă.

În consecință, forma pătratică definită pozitivă (negativă) j ( . Prin urmare, forma pătratică (1) poate fi scrisă sub forma matriceală j () atinge valoarea minimă (maximă) j ( X*) = 0 la X* = (0, 0, …, 0).

Rețineți că cele mai multe Formele pătratice nu sunt definite de semn, adică nu sunt nici pozitive, nici negative. Astfel de forme pătratice dispar nu numai la originea sistemului de coordonate, ci și în alte puncte.

Când Vector> 2, sunt necesare criterii speciale pentru a verifica semnul unei forme pătratice. Să ne uităm la ele.

Minori majori forma pătratică se numesc minore:

adică sunt minori de ordinul 1, 2, ..., Vector matrici O, situat în colțul din stânga sus, ultimul dintre ele coincide cu determinantul matricei O.

Criteriul de certitudine pozitivă (criteriul Sylvester)

. Prin urmare, forma pătratică (1) poate fi scrisă sub forma matriceală j () = X a fost pozitiv definitiv, este necesar și suficient ca toți minorii majori ai matricei O au fost pozitive, adică: M 1 > 0, Presupunem că linia dreaptă este definită de un punct și un vector de direcție: 2 > 0, …, M n > 0. Criteriul certitudinii negative Pentru forma pătratică j ( . Prin urmare, forma pătratică (1) poate fi scrisă sub forma matriceală j () = X a fost negativ definit, este necesar și suficient ca principalii săi minori de ordin par să fie pozitivi și de ordin impar - negativi, adică: M 1 < 0, Presupunem că linia dreaptă este definită de un punct și un vector de direcție: 2 > 0, M 3 < 0, …, (–1)n

Definiţie. Dacă sunt date două drepte y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2, atunci unghi ascuțitîntre aceste linii drepte va fi definită ca

Două drepte sunt paralele dacă k 1 = k 2. Două drepte sunt perpendiculare dacă k 1 = -1/ k 2.

Teorema. Dreptele Ax + Bу + C = 0 și A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 sunt paralele când coeficienții A 1 = λA, B 1 = λB sunt proporționali. Dacă și C 1 = λC, atunci liniile coincid. Coordonatele punctului de intersecție a două drepte se găsesc ca soluție a sistemului de ecuații ale acestor drepte.

Ecuația unei drepte care trece printr-un punct dat

Perpendicular pe o dreaptă dată

Definiţie. O dreaptă care trece prin punctul M 1 (x 1, y 1) și perpendiculară pe dreapta y = kx + b este reprezentată de ecuația:

Distanța de la punct la linie

Teorema. Dacă este dat un punct M(x 0, y 0), atunci distanța până la dreapta Ax + Bу + C = 0 este determinată ca

.

Dovada. Fie punctul M 1 (x 1, y 1) să fie baza unei perpendiculare coborâte din punctul M la o dreaptă dată. Atunci distanța dintre punctele M și M 1:

(1)

Coordonatele x 1 și y 1 pot fi găsite prin rezolvarea sistemului de ecuații:

A doua ecuație a sistemului este ecuația dreptei care trece prin punct dat M 0 este perpendiculară pe o dreaptă dată. Dacă transformăm prima ecuație a sistemului în forma:

A(x – x 0) + B(y – y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

apoi, rezolvand, obtinem:

Înlocuind aceste expresii în ecuația (1), găsim:

Teorema a fost demonstrată.

Exemplu. Să se determine unghiul dintre drepte: y = -3 x + 7; y = 2 x + 1.

k1 = -3; k2 = 2; tgφ = ; φ= p /4.

Exemplu. Arătați că dreptele 3x – 5y + 7 = 0 și 10x + 6y – 3 = 0 sunt perpendiculare.

Soluţie. Găsim: k 1 = 3/5, k 2 = -5/3, k 1* k 2 = -1, prin urmare, dreptele sunt perpendiculare.

Exemplu. Sunt date vârfurile triunghiului A(0; 1), B (6; 5), C (12; -1). Găsiți ecuația înălțimii desenată din vârful C.

Soluţie. Găsim ecuația laturii AB: ; 4 x = 6 y – 6;

2 x – 3 y + 3 = 0;

Ecuația de înălțime necesară are forma: Ax + By + C = 0 sau y = kx + b. k = . Atunci y = . Deoarece altitudinea trece prin punctul C, apoi coordonatele lui satisfac această ecuație: de unde b = 17. Total: .

Răspuns: 3 x + 2 y – 34 = 0.

Ecuația unei drepte care trece printr-un punct dat într-o direcție dată. Ecuația unei drepte care trece prin două puncte date. Unghiul dintre două linii drepte. Condiția de paralelism și perpendicularitate a două drepte. Determinarea punctului de intersecție a două drepte

1. Ecuația unei drepte care trece printr-un punct dat n(x 1 , y 1) într-o direcție dată, determinată de pantă j,

y - y 1 = j(x - x 1). (1)

Această ecuație definește un creion de linii care trec printr-un punct n(x 1 , y 1), care se numește centrul fasciculului.

2. Ecuația unei drepte care trece prin două puncte: n(x 1 , y 1) și O(x 2 , y 2), scris astfel:

Coeficientul unghiular al unei drepte care trece prin două puncte date este determinat de formula

3. Unghiul dintre liniile drepte n Cel mai mic unghi dintre liniile drepte O este unghiul cu care trebuie rotită prima linie dreaptă nîn jurul punctului de intersecție al acestor linii în sens invers acelor de ceasornic până când acesta coincide cu a doua linie O. Dacă două drepte sunt date de ecuații cu pantă

y = j 1 x + O 1 ,

y = j 2 x + O 2 , (4)

atunci unghiul dintre ele este determinat de formula

Trebuie remarcat faptul că la numărătorul fracției, panta primei linii se scade din panta celei de-a doua drepte.

Dacă ecuațiile unei drepte sunt date în vedere generală

n 1 x + O 1 y + B 1 = 0,

n 2 x + O 2 y + B 2 = 0, (6)

unghiul dintre ele este determinat de formula

4. Condiții pentru paralelismul a două linii:

a) Dacă dreptele sunt date de ecuațiile (4) cu un coeficient unghiular, atunci condiția necesară și suficientă pentru paralelismul lor este egalitatea coeficienților lor unghiulari:

j 1 = j 2 . (8)

b) Pentru cazul în care dreptele sunt date prin ecuații în forma generală (6), o condiție necesară și suficientă pentru paralelismul lor este ca coeficienții pentru coordonatele curente corespunzătoare din ecuațiile lor să fie proporționali, i.e.

5. Condiții pentru perpendicularitatea a două drepte:

a) În cazul în care dreptele sunt date de ecuațiile (4) cu un coeficient unghiular, o condiție necesară și suficientă pentru perpendicularitatea lor este ca acestea pante sunt inverse ca mărime și opuse ca semn, adică

Această condiție poate fi scrisă și în formă

j 1 j 2 = -1. (11)

b) Dacă ecuațiile de drepte sunt date în forma generală (6), atunci condiția pentru perpendicularitatea lor (necesară și suficientă) este să satisfacă egalitatea

n 1 n 2 + O 1 O 2 = 0. (12)

6. Coordonatele punctului de intersecție a două drepte se găsesc prin rezolvarea sistemului de ecuații (6). Liniile (6) se intersectează dacă și numai dacă

1. Scrieți ecuațiile dreptelor care trec prin punctul M, dintre care una este paralelă și cealaltă perpendiculară pe dreapta dată l.

unghiul dintre planuri

Se consideră două plane α 1 și α 2, definite, respectiv, de ecuațiile:

Sub unghiîntre două plane vom înţelege unul dintre unghiurile diedrice formate de aceste plane. Este evident că unghiul dintre vectorii normali și planele α 1 și α 2 este egal cu unul dintre unghiurile diedrice adiacente indicate sau . De aceea . Deoarece Cel mai mic unghi dintre liniile drepte , Asta

.

Exemplu. Determinați unghiul dintre plane x+2y-3z+4=0 și 2 x+3y+z+8=0.

Condiție pentru paralelismul a două plane.

Două plane α 1 și α 2 sunt paralele dacă și numai dacă vectorii lor normali sunt paraleli și, prin urmare .

Deci, două plane sunt paralele între ele dacă și numai dacă coeficienții coordonatelor corespunzătoare sunt proporționale:

sau

Condiția de perpendicularitate a planurilor.

Este clar că două plane sunt perpendiculare dacă și numai dacă vectorii lor normali sunt perpendiculari și, prin urmare, sau .

Astfel, .

Exemple.

DREPT ÎN SPAȚIU.

ECUAȚIE VECTORALĂ PENTRU O LINIE.

ECUATII DIRECTE PARAMETRICE

Poziția unei linii în spațiu este complet determinată prin specificarea oricăruia dintre punctele sale fixe M 1 și un vector paralel cu această dreaptă.

Se numeste un vector paralel cu o dreapta ghiduri vector al acestei linii.

Deci, lăsați linia dreaptă dacă și numai dacă coeficienții lor corespunzători sunt proporționali, i.e. trece printr-un punct M 1 (x 1 , y 1 , z 1), situată pe o dreaptă paralelă cu vectorul .

Luați în considerare un punct arbitrar M(x,y,z) pe o linie dreaptă. Din figură este clar că .

Vectori și sunt coliniare, deci există un astfel de număr t, ce , unde este multiplicatorul t poate lua orice valoare numerică în funcție de poziția punctului Presupunem că linia dreaptă este definită de un punct și un vector de direcție: pe o linie dreaptă. Factor t numit parametru. După ce au desemnat vectorii de rază ai punctelor M 1 și M respectiv, prin și , obținem . Această ecuație se numește vector ecuația unei linii drepte. Arată că pentru fiecare valoare a parametrului t corespunde vectorului raza unui punct M, întins pe o linie dreaptă.

Să scriem această ecuație sub formă de coordonate. Rețineți că, si de aici

Ecuațiile rezultate se numesc parametrice ecuațiile unei linii drepte.

La modificarea unui parametru t se schimbă coordonatele x, y Cel mai mic unghi dintre liniile drepte zși punct M se deplasează în linie dreaptă.

ECUAȚII CANONICE ALE DIRECTULUI

Lasă M 1 (x 1 , y 1 , z 1) – un punct situat pe o linie dreaptă dacă și numai dacă coeficienții lor corespunzători sunt proporționali, i.e., Și este vectorul său de direcție. Să luăm din nou un punct arbitrar pe linie M(x,y,z)și luați în considerare vectorul .

Este clar că vectorii sunt, de asemenea, coliniari, deci coordonatele lor corespunzătoare trebuie să fie proporționale, prin urmare,

– canonic ecuațiile unei linii drepte.

Nota 1. Rețineți că ecuațiile canonice ale dreptei pot fi obținute din cele parametrice prin eliminarea parametrului t. Într-adevăr, din ecuațiile parametrice obținem sau .

Exemplu. Scrieți ecuația dreptei în formă parametrică.

Să notăm , de aici x = 2 + 3t, y = –1 + 2t, z = 1 –t.

Nota 2. Fie linia dreaptă perpendiculară pe una dintre axele de coordonate, de exemplu axa Bou. Atunci vectorul direcție al dreptei este perpendicular Bou, prin urmare, m=0. În consecință, ecuațiile parametrice ale dreptei vor lua forma

Excluzând parametrul din ecuații t, obținem ecuațiile dreptei în forma

Totuși, și în acest caz, suntem de acord să scriem formal ecuațiile canonice ale dreptei în forma . Astfel, dacă numitorul uneia dintre fracții este zero, aceasta înseamnă că linia dreaptă este perpendiculară pe axa de coordonate corespunzătoare.

Similar cu ecuațiile canonice corespunde unei drepte perpendiculare pe axele Bou Cel mai mic unghi dintre liniile drepte Oi sau paralel cu axa Oz.

Exemple.

ECUAȚII GENERALE ALE LINEILOR DREPTĂ CA LINII DE INTERSECȚIE A DOUA PLANURI

Prin fiecare linie dreaptă din spațiu există nenumărate avioane. Oricare două dintre ele, intersectându-se, îl definesc în spațiu. În consecință, ecuațiile oricăror două astfel de planuri, considerate împreună, reprezintă ecuațiile acestei drepte.

În general, oricare două plane neparalele date de ecuațiile generale

determinați linia dreaptă a intersecției lor. Aceste ecuații se numesc ecuații generale direct.

Exemple.

Construiți o dreaptă dată de ecuații

Pentru a construi o linie dreaptă, este suficient să găsiți oricare dintre punctele sale. Cel mai simplu mod este să selectați punctele de intersecție ale liniei cu planuri de coordonate. De exemplu, punctul de intersecție cu planul xOy obţinem din ecuaţiile dreptei, presupunând z= 0:

După ce am rezolvat acest sistem, găsim ideea Presupunem că linia dreaptă este definită de un punct și un vector de direcție: 1 (1;2;0).

În mod similar, presupunând y= 0, obținem punctul de intersecție al dreptei cu planul xOz:

Din ecuațiile generale ale unei linii drepte se poate trece la ecuațiile ei canonice sau parametrice. Pentru a face acest lucru, trebuie să găsiți un punct M 1 pe o dreaptă și vectorul direcție al unei drepte.

Coordonatele punctului M 1 obținem din acest sistem de ecuații, dând uneia dintre coordonate o valoare arbitrară. Pentru a găsi vectorul direcție, rețineți că acest vector trebuie să fie perpendicular pe ambii vectori normali Cel mai mic unghi dintre liniile drepte . Prin urmare, dincolo de vectorul direcție al dreptei dacă și numai dacă coeficienții lor corespunzători sunt proporționali, i.e. puteți lua produsul vectorial al vectorilor normali:

.

Exemplu. Duce ecuații generale direct la forma canonică.

Să găsim un punct situat pe o linie. Pentru a face acest lucru, alegem în mod arbitrar una dintre coordonate, de exemplu, y= 0 și rezolvați sistemul de ecuații:

Vectorii normali ai planurilor care definesc dreapta au coordonate Prin urmare, vectorul direcție va fi drept

. Prin urmare, dacă și numai dacă coeficienții lor corespunzători sunt proporționali, i.e.: .

unghiul dintre drepte

Acasăîntre drepte în spațiu vom numi oricare dintre unghiurile adiacente formate din două drepte trasate printr-un punct arbitrar paralel cu datele.

între drepte în spațiu vom numi oricare dintre unghiurile adiacente formate din două drepte trasate printr-un punct arbitrar paralel cu datele.

Evident, unghiul φ dintre drepte poate fi luat ca unghi între vectorii lor de direcție și . Deoarece , folosind formula pentru cosinusul unghiului dintre vectori obținem

O. Să fie date două drepte Aceste linii drepte, așa cum este indicat în capitolul 1, formează diverse unghiuri pozitive și negative, care pot fi fie acute, fie obtuze. Cunoscând unul dintre aceste unghiuri, putem găsi cu ușurință oricare altul.

Apropo, pentru toate aceste unghiuri valoarea numerică a tangentei este aceeași, diferența poate fi doar în semn

Ecuații de linii. Numerele sunt proiecțiile vectorilor de direcție ai primei și celei de-a doua drepte. Unghiul dintre acești vectori este egal cu unul dintre unghiurile formate de drepte. Prin urmare, problema se rezumă la determinarea unghiului dintre vectori

Pentru simplitate, putem fi de acord că unghiul dintre două drepte este înțeles ca un unghi pozitiv acut (ca, de exemplu, în Fig. 53).

Atunci tangenta acestui unghi va fi întotdeauna pozitivă. Astfel, dacă există un semn minus în partea dreaptă a formulei (1), atunci trebuie să îl renunțăm, adică să salvăm doar valoarea absolută.

Exemplu. Determinați unghiul dintre liniile drepte

Conform formulei (1) avem

Cu. Dacă se indică care dintre laturile unghiului este începutul și care este sfârșitul lui, atunci, numărând întotdeauna direcția unghiului în sens invers acelor de ceasornic, putem extrage ceva mai mult din formula (1). După cum se vede ușor din fig. 53, semnul obținut în partea dreaptă a formulei (1) va indica ce fel de unghi - acut sau obtuz - se formează a doua linie dreaptă cu prima.

(Într-adevăr, din Fig. 53 vedem că unghiul dintre primul și al doilea vector de direcție este fie egal cu unghiul dorit dintre liniile drepte, fie diferă de acesta cu ±180°.)

d. Dacă liniile sunt paralele, atunci vectorii lor de direcție sunt paraleli Aplicând condiția de paralelism a doi vectori, obținem!

Aceasta este o condiție necesară și suficientă pentru paralelismul a două linii.

Exemplu. Direct

sunt paralele deoarece

e. Dacă liniile sunt perpendiculare, atunci vectorii lor de direcție sunt și ei perpendiculari. Aplicând condiția de perpendicularitate a doi vectori, obținem condiția de perpendicularitate a două drepte și anume

Exemplu. Direct

sunt perpendiculare datorită faptului că

În legătură cu condițiile de paralelism și perpendicularitate, vom rezolva următoarele două probleme.

f. Desenați o dreaptă printr-un punct paralel cu dreapta dată

Soluția se realizează așa. Deoarece linia dorită este paralelă cu aceasta, atunci pentru vectorul său de direcție îl putem lua pe aceeași cu cea a dreptei date, adică un vector cu proiecțiile A și B. Și atunci ecuația dreptei dorite se va scrie în forma (§ 1)

Exemplu. Ecuația unei drepte care trece prin punctul (1; 3) paralel cu dreapta

va fi urmatorul!

g. Desenați o dreaptă printr-un punct perpendicular pe dreapta dată

Aici nu mai este potrivit să luăm vectorul cu proiecțiile A și ca vector de ghidare, dar este necesar să luăm vectorul perpendicular pe acesta. Prin urmare, proiecțiile acestui vector trebuie alese în funcție de condiția de perpendicularitate a ambilor vectori, adică în funcție de condiția

Această condiție poate fi îndeplinită în nenumărate moduri, deoarece aici există o ecuație cu două necunoscute

Exemplu. Ecuația unei drepte care trece prin punctul (-7; 2) într-o dreaptă perpendiculară

vor fi următoarele (după formula a doua)!

h. În cazul în care liniile sunt date prin ecuații de forma

Va fi util pentru fiecare student care se pregătește pentru examenul de stat unificat la matematică să repete subiectul „Găsirea unui unghi între linii drepte”. După cum arată statisticile, la trecerea testului de certificare, sarcinile din această secțiune de stereometrie provoacă dificultăți pentru cantitati mari elevilor. În același timp, sarcinile care necesită găsirea unghiului dintre liniile drepte se găsesc în Examenul de stat unificat atât pentru nivel de profil. Aceasta înseamnă că toată lumea ar trebui să le poată rezolva.

Repere

Există 4 tipuri în spațiu poziție relativă Drept Ele pot coincide, se intersectează, pot fi paralele sau se intersectează. Unghiul dintre ele poate fi acut sau drept.

Pentru a găsi unghiul dintre linii în Examenul de stat unificat sau, de exemplu, în rezolvare, școlarii din Moscova și alte orașe pot folosi mai multe moduri de a rezolva problemele din această secțiune de stereometrie. Puteți finaliza sarcina folosind construcții clasice. Pentru a face acest lucru, merită să învățați axiomele și teoremele de bază ale stereometriei. Elevul trebuie să fie capabil să raționeze logic și să creeze desene pentru a aduce sarcina la o problemă planimetrică.

De asemenea, puteți utiliza metoda vectorului de coordonate folosind formule, reguli și algoritmi simpli. Principalul lucru în acest caz este să efectuați corect toate calculele. Perfecționați-vă abilitățile în rezolvarea problemelor din stereometrie și din alte domenii curs şcolar te va ajuta proiect educațional„Șkolkovo”.