Material pentru pregătirea pentru examenul unificat de stat (GIA) la algebră (clasa a 11-a) pe tema: Prezentare privind temele examenului unificat de stat pe derivata unei funcții

Acasă

1. Problema B9 oferă un grafic al unei funcții sau derivate din care trebuie să determinați una dintre următoarele mărimi:
2. Valoarea derivatei la un punct x 0,
3. Puncte maxime sau minime (puncte extreme),

Intervale de funcții crescătoare și descrescătoare (intervale de monotonitate).

Funcțiile și derivatele prezentate în această problemă sunt întotdeauna continue, făcând soluția mult mai ușoară. În ciuda faptului că sarcina aparține secțiunii de analiză matematică, chiar și cei mai slabi elevi o pot face, deoarece nu sunt necesare cunoștințe teoretice profunde aici.

Pentru a găsi valoarea derivatei, punctelor extreme și intervalelor de monotonitate, există algoritmi simpli și universali - toți vor fi discutați mai jos. Citiți cu atenție condițiile problemei B9 pentru a nu face greșeli stupide: uneori dați peste texte destul de lungi, dar conditii importante

, care influențează cursul deciziei, sunt puține.

Calculul valorii derivate. Metoda în două puncte

1. Dacă problemei i se dă un grafic al unei funcții f(x), tangentă la acest grafic la un punct x 0 și este necesar să se găsească valoarea derivatei în acest punct, se aplică următorul algoritm:
2. Găsiți două puncte „adecvate” pe graficul tangentei: coordonatele lor trebuie să fie întregi. Să notăm aceste puncte ca A (x 1 ; y 1) și B (x 2 ; y 2). Notați corect coordonatele - acesta este un punct cheie în soluție și orice greșeală aici va duce la un răspuns incorect.
3. Cunoscând coordonatele, este ușor de calculat incrementul argumentului Δx = x 2 − x 1 și incrementul funcției Δy = y 2 − y 1 .

În final, găsim valoarea derivatei D = Δy/Δx. Cu alte cuvinte, trebuie să împărțiți incrementul funcției cu incrementul argumentului - și acesta va fi răspunsul.

Să remarcăm încă o dată: punctele A și B trebuie căutate exact pe tangentă, și nu pe graficul funcției f(x), așa cum se întâmplă adesea. Linia tangentă va conține în mod necesar cel puțin două astfel de puncte - altfel problema nu va fi formulată corect.
Luați în considerare punctele A (−3; 2) și B (−1; 6) și găsiți incrementele:

Δx = x 2 − x 1 = −1 − (−3) = 2; Δy = y 2 − y 1 = 6 − 2 = 4.

Să aflăm valoarea derivatei: D = Δy/Δx = 4/2 = 2.

Luați în considerare punctele A (0; 3) și B (3; 0), găsiți incrementele:
Δx = x 2 − x 1 = 3 − 0 = 3; Δy = y 2 − y 1 = 0 − 3 = −3.

Acum găsim valoarea derivatei: D = Δy/Δx = −3/3 = −1.

Să aflăm valoarea derivatei: D = Δy/Δx = 4/2 = 2.

Luați în considerare punctele A (0; 2) și B (5; 2) și găsiți incrementele:
Δx = x 2 − x 1 = 5 − 0 = 5; Δy = y 2 − y 1 = 2 − 2 = 0.

Rămâne de găsit valoarea derivatei: D = Δy/Δx = 0/5 = 0.

Din ultimul exemplu, putem formula o regulă: dacă tangenta este paralelă cu axa OX, derivata funcției în punctul de tangență este zero. În acest caz, nici măcar nu trebuie să numărați nimic - doar uitați-vă la grafic.

Calculul punctelor maxime și minime

Uneori, în loc de graficul unei funcții, problema B9 oferă un grafic al derivatei și necesită găsirea punctului maxim sau minim al funcției. În această situație, metoda în două puncte este inutilă, dar există un alt algoritm și mai simplu. Mai întâi, să definim terminologia:

1. Punctul x 0 se numește punctul maxim al funcției f(x) dacă în vreo vecinătate a acestui punct este valabilă următoarea inegalitate: f(x 0) ≥ f(x).
2. Punctul x 0 se numește punctul minim al funcției f(x) dacă într-o vecinătate a acestui punct este valabilă următoarea inegalitate: f(x 0) ≤ f(x).

Pentru a găsi punctele maxime și minime pe graficul derivat, urmați acești pași:

1. Redesenați graficul derivat, eliminând toate informațiile inutile. După cum arată practica, datele inutile doar interferează cu decizia. Prin urmare, marchem zerourile derivatei pe axa de coordonate - și asta este tot.
2. Aflați semnele derivatei pe intervalele dintre zerouri. Dacă pentru un punct x 0 se știe că f'(x 0) ≠ 0, atunci sunt posibile doar două opțiuni: f'(x 0) ≥ 0 sau f'(x 0) ≤ 0. Semnul derivatei este ușor de determinat din desenul original: dacă graficul derivat se află deasupra axei OX, atunci f'(x) ≥ 0. Și invers, dacă graficul derivat se află sub axa OX, atunci f'(x) ≤ 0.
3. Verificăm din nou zerourile și semnele derivatei. Acolo unde semnul se schimbă de la minus la plus este punctul minim. În schimb, dacă semnul derivatei se schimbă de la plus la minus, acesta este punctul maxim. Numărarea se face întotdeauna de la stânga la dreapta.

Această schemă funcționează numai pentru funcții continue - nu există altele în problema B9.

Sarcină. Figura prezintă un grafic al derivatei funcției f(x) definită pe intervalul [−5; 5]. Aflați punctul minim al funcției f(x) pe acest segment.

Să scăpăm de informațiile inutile și să lăsăm doar granițele [−5; 5] și zerourile derivatei x = −3 și x = 2,5. De asemenea, notăm semnele:

Evident, în punctul x = −3 semnul derivatei se schimbă din minus în plus. Acesta este punctul minim.

Sarcină. Figura prezintă un grafic al derivatei funcției f(x) definită pe intervalul [−3; 7]. Aflați punctul maxim al funcției f(x) pe acest segment.

Să redesenăm graficul, lăsând doar limitele [−3; 7] și zerourile derivatei x = −1,7 și x = 5. Să notăm semnele derivatei pe graficul rezultat. Avem:

Evident, în punctul x = 5 semnul derivatei se schimbă de la plus la minus - acesta este punctul maxim.

Sarcină. Figura prezintă un grafic al derivatei funcției f(x), definită pe intervalul [−6; 4]. Aflați numărul de puncte maxime ale funcției f(x), aparţinând segmentului [−4; 3].

Din condițiile problemei rezultă că este suficient să se considere doar partea din grafic limitată de segmentul [−4; 3]. Prin urmare, construim un nou grafic pe care marchem doar limitele [−4; 3] și zerourile derivatei din interiorul acesteia. Și anume, punctele x = −3,5 și x = 2. Se obține:

Pe acest grafic există un singur punct maxim x = 2. În acest punct semnul derivatei se schimbă de la plus la minus.

O mică notă despre punctele cu coordonate care nu sunt întregi. De exemplu, în ultima problemă a fost considerat punctul x = −3,5, dar cu același succes putem lua x = −3,4. Dacă problema este compilată corect, astfel de modificări nu ar trebui să afecteze răspunsul, deoarece punctele „fără un loc fix de reședință” nu participă direct la rezolvarea problemei. Desigur, acest truc nu va funcționa cu puncte întregi.

Găsirea intervalelor de funcții crescătoare și descrescătoare

Într-o astfel de problemă, precum punctele maxime și minime, se propune utilizarea graficului derivat pentru a găsi zone în care funcția în sine crește sau scade. Mai întâi, să definim ce sunt creșterea și descreșterea:

1. Se spune că o funcție f(x) este în creștere pe un segment dacă pentru oricare două puncte x 1 și x 2 din acest segment este adevărată următoarea afirmație: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≤ f(x 2) . Cu alte cuvinte, cu cât valoarea argumentului este mai mare, cu atât valoarea funcției este mai mare.
2. O funcție f(x) se numește descrescătoare pe un segment dacă pentru oricare două puncte x 1 și x 2 din acest segment este adevărată următoarea afirmație: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≥ f(x 2). Aceste. valoare mai mare argumentul corespunde valorii mai mici a funcției.

Să formulăm condiții suficiente pentru creștere și scădere:

1. Pentru a functie continua f(x) a crescut pe segment, este suficient ca derivata sa în interiorul segmentului să fie pozitivă, adică. f’(x) ≥ 0.
2. Pentru ca o funcție continuă f(x) să scadă pe segment, este suficient ca derivata ei în interiorul segmentului să fie negativă, i.e. f’(x) ≤ 0.

Să acceptăm aceste afirmații fără dovezi. Astfel, obținem o schemă pentru găsirea intervalelor de creștere și descreștere, care este în multe privințe similară cu algoritmul de calcul al punctelor extreme:

1. Eliminați toate informațiile inutile. În graficul original al derivatei, ne interesează în primul rând zerourile funcției, așa că le vom lăsa doar pe acestea.
2. Marcați semnele derivatei la intervalele dintre zerouri. Unde f’(x) ≥ 0, funcția crește, iar unde f’(x) ≤ 0, ea scade. Dacă problema stabilește restricții asupra variabilei x, le marchem suplimentar pe un nou grafic.
3. Acum că știm comportamentul funcției și constrângerile, rămâne de calculat cantitatea necesară în problemă.

Sarcină. Figura prezintă un grafic al derivatei funcției f(x) definită pe intervalul [−3; 7,5]. Aflați intervalele de scădere ale funcției f(x). În răspunsul dvs., indicați suma numerelor întregi incluse în aceste intervale.

Ca de obicei, să redesenăm graficul și să marchem limitele [−3; 7.5], precum și zerourile derivatei x = −1.5 și x = 5.3. Apoi notăm semnele derivatei. Avem:

Deoarece derivata este negativă pe intervalul (− 1,5), acesta este intervalul funcției descrescătoare. Rămâne să însumăm toate numerele întregi care se află în acest interval:
−1 + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 14.

Sarcină. Figura prezintă un grafic al derivatei funcției f(x), definită pe intervalul [−10; 4]. Aflați intervalele de creștere ale funcției f(x). În răspunsul dvs., indicați lungimea celui mai mare dintre ele.

Să scăpăm de informațiile inutile. Să lăsăm doar limitele [−10; 4] și zerourile derivatei, dintre care au fost patru de data aceasta: x = −8, x = −6, x = −3 și x = 2. Să marchem semnele derivatei și să obținem următoarea imagine:

Suntem interesați de intervalele funcției crescătoare, i.e. astfel încât f’(x) ≥ 0. Există două astfel de intervale pe grafic: (−8; −6) și (−3; 2). Să le calculăm lungimile:
l 1 = − 6 − (−8) = 2;
l 2 = 2 − (−3) = 5.

Deoarece trebuie să găsim lungimea celui mai mare dintre intervale, notăm valoarea l 2 = 5 ca răspuns.

Arătând legătura dintre semnul derivatei și natura monotonității funcției.

Vă rugăm să fiți extrem de atenți la următoarele. Uite, programul CE ți se dă! Funcția sau derivata ei

Dacă se oferă un grafic al derivatei, atunci ne vor interesa doar semnele și zerourile funcției. În principiu, nu ne interesează niciun „deal” sau „gold”!

Sarcina 1.

Figura prezintă un grafic al unei funcții definite pe interval. Determinați numărul de puncte întregi la care derivata funcției este negativă.

Soluţie:

În figură, zonele cu funcție descrescătoare sunt evidențiate în culoare:

Aceste regiuni descrescătoare ale funcției conțin 4 valori întregi.

Sarcina 2.

Figura prezintă un grafic al unei funcții definite pe interval. Aflați numărul de puncte la care tangenta la graficul funcției este paralelă sau coincide cu dreapta.

Soluţie:

Odată ce tangenta la graficul unei funcții este paralelă (sau coincide) cu o dreaptă (sau, care este același lucru), având pantă , egal cu zero, atunci tangenta are un coeficient unghiular .

Aceasta înseamnă, la rândul său, că tangenta este paralelă cu axa, deoarece panta este tangenta unghiului de înclinare a tangentei la axă.

Prin urmare, găsim puncte extreme (puncte maxime și minime) pe grafic - tocmai în aceste puncte funcțiile tangente la grafic vor fi paralele cu axa.

Există 4 astfel de puncte.

Sarcina 3.

Figura prezintă un grafic al derivatei unei funcții definite pe interval. Aflați numărul de puncte la care tangenta la graficul funcției este paralelă sau coincide cu dreapta.

Soluţie:

Deoarece tangenta la graficul unei funcții este paralelă (sau coincide) cu o dreaptă care are o pantă, atunci tangenta are și o pantă.

Aceasta, la rândul său, înseamnă că la punctele de atingere.

Prin urmare, ne uităm la câte puncte de pe grafic au o ordonată egală cu .

După cum puteți vedea, există patru astfel de puncte.

Sarcina 4.

Figura prezintă un grafic al unei funcții definite pe interval. Aflați numărul de puncte la care derivata funcției este 0.

Soluţie:

Derivata este egala cu zero la punctele extreme. Avem 4 dintre ele:

Sarcina 5.

Figura prezintă un grafic al unei funcții și unsprezece puncte pe axa x:. În câte dintre aceste puncte derivata funcției este negativă?

Soluţie:

La intervale de funcție descrescătoare, derivata sa ia valori negative. Și funcția scade la puncte. Există 4 astfel de puncte.

Sarcina 6.

Figura prezintă un grafic al unei funcții definite pe interval. Aflați suma punctelor extreme ale funcției.

Soluţie:

Puncte extreme– acestea sunt punctele maxime (-3, -1, 1) și punctele minime (-2, 0, 3).

Suma punctelor extreme: -3-1+1-2+0+3=-2.

Sarcina 7.

Figura prezintă un grafic al derivatei unei funcții definite pe interval. Aflați intervalele de creștere ale funcției. În răspunsul dvs., indicați suma punctelor întregi incluse în aceste intervale.

Soluţie:

Figura evidențiază intervalele în care derivata funcției este nenegativă.

Nu există puncte întregi pe intervalul crescător mic pe intervalul crescător există patru valori întregi: , , și .

Suma lor:

Sarcina 8.

Figura prezintă un grafic al derivatei unei funcții definite pe interval. Aflați intervalele de creștere ale funcției. În răspunsul dvs., indicați lungimea celui mai mare dintre ele.

Soluţie:

În figură, toate intervalele la care derivata este pozitivă sunt evidențiate color, ceea ce înseamnă că funcția în sine crește pe aceste intervale.

Lungimea celui mai mare dintre ele este de 6.

Sarcina 9.

Figura prezintă un grafic al derivatei unei funcții definite pe interval. În ce punct de pe segment face cea mai mare valoare.

Soluţie:

Să vedem cum se comportă graficul pe segment, care este ceea ce ne interesează doar semnul derivatului .

Semnul derivatei pe este minus, deoarece graficul acestui segment este sub axă.

Rezolvarea problemelor din partea B a examenului unificat de stat la matematică

Soluţie. Punctele maxime corespund punctelor în care semnul derivatei se schimbă de la plus la minus. Figura prezintă un grafic al derivatei funcției f(x) definită pe intervalul (−10; 8). Aflați numărul de puncte maxime ale funcției f(x) pe intervalul [−9;6].

Soluţie. Punctele maxime corespund punctelor în care semnul derivatei se schimbă de la plus la minus. Pe segmentul [−9;6] funcția are două puncte maxime x = − 4 și x = 4. Răspuns: 2. Figura prezintă un grafic al derivatei funcției f(x) definită pe intervalul (−10; 8). Aflați numărul de puncte maxime ale funcției f(x) pe intervalul [−9;6].

Soluţie. Figura prezintă un grafic al funcției y=f(x), definită pe intervalul (−1; 12). Determinați numărul de puncte întregi la care derivata funcției este negativă. Derivata unei functii este negativa la acele intervale la care functia scade.

Soluţie. Figura prezintă un grafic al funcției y=f(x), definită pe intervalul (−1; 12). Determinați numărul de puncte întregi la care derivata funcției este negativă. Derivata funcției este negativă pe acele intervale la care funcția scade, adică pe intervalele (0,5; 3), (6; 10) și (11; 12). Acestea conțin punctele întregi 1, 2, 7, 8 și 9. Sunt 5 puncte în total. Raspuns: 5.

Figura prezintă un grafic al derivatei funcției f(x), definită pe intervalul (−10; 4). Aflați intervalele de scădere ale funcției f(x). În răspunsul dvs., indicați lungimea celui mai mare dintre ele. Soluţie. Intervalele în care funcția f(x) scade corespund intervalelor în care derivata funcției este negativă.

Figura prezintă un grafic al derivatei funcției f(x), definită pe intervalul (−10; 4). Aflați intervalele de scădere ale funcției f(x). În răspunsul dvs., indicați lungimea celui mai mare dintre ele. Soluţie. Intervalele descrescătoare ale funcției f(x) corespund intervalelor la care derivata funcției este negativă, adică intervalul (−9; −6) de lungime 3 și intervalul (−2; 3) de lungime. 5. Lungimea celui mai mare dintre ele este de 5. Răspuns: 5.

Figura prezintă un grafic al derivatei funcției f(x) definită pe intervalul (−7; 14). Aflați numărul de puncte maxime ale funcției f(x) pe intervalul [−6; 9]. Soluţie. Punctele maxime corespund punctelor în care semnul derivat se schimbă de la pozitiv la negativ.

Figura prezintă un grafic al derivatei funcției f(x) definită pe intervalul (−7; 14). Aflați numărul de puncte maxime ale funcției f(x) pe intervalul [−6; 9]. Soluţie. Punctele maxime corespund punctelor în care semnul derivat se schimbă de la pozitiv la negativ. Pe segmentul [−6; 9] funcția are un punct maxim x = 7. Răspuns: 1.

Figura prezintă un grafic al derivatei funcției f(x), definită pe intervalul (−8; 6). Aflați intervalele de creștere ale funcției f(x). În răspunsul dvs., indicați lungimea celui mai mare dintre ele. Soluţie. Intervalele de creștere ale funcției f(x) corespund intervalelor la care derivata funcției este pozitivă.

Figura prezintă un grafic al derivatei funcției f(x), definită pe intervalul (−8; 6). Aflați intervalele de creștere ale funcției f(x). În răspunsul dvs., indicați lungimea celui mai mare dintre ele. Soluţie. Intervalele de creștere ale funcției f(x) corespund intervalelor la care derivata funcției este pozitivă, adică intervalelor (−7; −5), (2; 5). Cel mai mare dintre ele este intervalul (2; 5), a cărui lungime este de 3.

Figura prezintă un grafic al derivatei funcției f(x) definită pe intervalul (−7; 10). Aflați numărul de puncte minime ale funcției f(x) pe intervalul [−3; 8]. Soluţie. Punctele minime corespund punctelor în care semnul derivatei se schimbă de la minus la plus.

Figura prezintă un grafic al derivatei funcției f(x) definită pe intervalul (−7; 10). Aflați numărul de puncte minime ale funcției f(x) pe intervalul [−3; 8]. Soluţie. Punctele minime corespund punctelor în care semnul derivatei se schimbă de la minus la plus. Pe segmentul [−3; 8] funcția are un punct minim x = 2. Răspuns: 1.

Figura prezintă un grafic al derivatei funcției f(x) definită pe intervalul (−16; 4). Aflați numărul de puncte extreme ale funcției f(x) pe intervalul [−14; 2]. Soluţie. Punctele extreme corespund punctelor în care semnul derivatei se modifică - zerourile derivatei afișate pe grafic. Derivata dispare în punctele −13, −11, −9, −7. Pe segmentul [−14; 2] funcția are 4 puncte extreme. Raspuns: 4.

Figura prezintă un grafic al funcției y=f(x) definită pe intervalul (−2; 12). Aflați suma punctelor extreme ale funcției f(x). Soluţie. Funcția specificată are maxime la punctele 1, 4, 9, 11 și minime la punctele 2, 7, 10. Prin urmare, suma punctelor extreme este 1 + 4 + 9 + 11 + 2 + 7 + 10 = 44. Răspuns: 44.

Figura prezintă un grafic al funcției y=f(x) și o tangentă la aceasta în punctul cu abscisa x 0. Aflați valoarea derivatei funcției f(x) în punctul x 0 .

Figura prezintă un grafic al funcției y=f(x) și o tangentă la aceasta în punctul cu abscisa x 0. Aflați valoarea derivatei funcției f(x) în punctul x 0 . Soluţie. Valoarea derivatei în punctul de tangență este egală cu panta tangentei, care la rândul ei este egală cu tangentei unghiului de înclinare a acestei tangente la axa absciselor. Să construim un triunghi cu vârfuri în punctele A (2; −2), B (2; 0), C (−6; 0). Unghiul de înclinare al tangentei la axa absciselor va fi egal cu unghiul, adiacent unghiului ACB

În figura se prezintă un grafic al funcției y = f(x) și o tangentă la acest grafic în punctul de abscisă egal cu 3. Aflați valoarea derivatei acestei funcții în punctul x = 3. Pentru a rezolva folosim sens geometric derivată: valoarea derivatei unei funcții într-un punct este egală cu panta tangentei la graficul acestei funcții desenat în acel punct. Unghiul tangentei este egal cu tangenta unghiului dintre tangentă și direcția pozitivă a axei x (tg α). Unghiul α = β, ca unghiuri transversale cu drepte paralele y=0, y=1 și o secanta-tangentă. Pentru triunghiul ABC

Figura prezintă graficul funcției y=f(x) și tangenta la aceasta în punctul cu abscisa x 0. Aflați valoarea derivatei funcției f(x) în punctul x 0 .

Figura prezintă graficul funcției y=f(x) și tangenta la aceasta în punctul cu abscisa x 0. Aflați valoarea derivatei funcției f(x) în punctul x 0 . După proprietățile tangentei y=f ′ (x 0)⋅x+b, b=const Figura arată că tangenta la funcția f(x) în punctul x 0 trece prin punctele (-3;2). ), (5,4). Prin urmare, putem crea un sistem de ecuații

Surse http://reshuege.ru/

În continuare, în clasă, este recomandabil să luați în considerare sarcina cheie: în conformitate cu graficul dat al derivatului, elevii trebuie să vină cu (desigur, cu ajutorul profesorului) diverse intrebari, legat de proprietățile funcției în sine. Desigur, aceste probleme sunt discutate, corectate dacă este necesar, rezumate, înregistrate într-un caiet, după care începe etapa de rezolvare a acestor sarcini. Aici este necesar să ne asigurăm că elevii nu numai că dau răspunsul corect, ci sunt capabili să-l argumenteze (demonstreze), folosind definițiile, proprietățile și regulile adecvate.
Să dăm un exemplu de astfel de sarcină: pe tablă (de exemplu, folosind un proiector), elevilor li se prezintă un grafic al derivatului 10 sarcini au fost formulate pe baza acesteia (întrebările nu sunt în întregime corecte sau au fost respinse duplicate);
Funcția y = f(x) este definită și continuă pe intervalul [–6; 6].
Folosind graficul derivatei y = f"(x), determinați:

1) numărul de intervale ale funcției crescătoare y = f(x);
2) lungimea intervalului funcției descrescătoare y = f(x);
3) numărul de puncte extreme ale funcției y = f(x);
4) punctul maxim al funcției y = f(x);
5) punctul critic (staționar) al funcției y = f(x), care nu este un punct extremum;
6) abscisa punctului grafic la care funcția y = f(x) ia cea mai mare valoare pe segment;
7) abscisa punctului grafic în care ia funcția y = f(x). cea mai mică valoare pe segmentul [–2; 2];
8) numărul de puncte de pe graficul funcției y = f(x), la care tangenta este perpendiculară pe axa Oy;
9) numărul de puncte de pe graficul funcției y = f(x), la care tangenta formează un unghi de 60° cu direcția pozitivă a axei Ox;
10) abscisa punctului grafic al funcției y = f(x), la care panta tangentei ia cea mai mică valoare.
Răspuns: 1) 2; 2) 2; 3) 2; 4) –3; 5) –5; 6) 4; 7) –1; 8) 3; 9) 4; 10) –2.
Pentru a consolida abilitățile de a studia proprietățile unei funcții, elevii pot lua acasă o sarcină legată de citirea aceluiași grafic, dar într-un caz este un grafic al unei funcții, iar în celălalt, un grafic al derivatei acesteia.

Articolul a fost publicat cu sprijinul forumului de administratori de sistem și programatori. Pe „CyberForum.ru” veți găsi forumuri despre astfel de subiecte precum programare, computere, discuții software, programare web, știință, electronică și electrocasnice, carieră și afaceri, recreere, oameni și societate, cultură și artă, casă și economie, mașini , motociclete și multe altele. Pe forum puteți obține ajutor gratuit. Puteți afla mai multe pe site-ul web, care se află la: http://www.cyberforum.ru/differential-equations/.

Funcția y = f(x) este definită și continuă pe intervalul [–6; 5]. Imaginea arată:
a) graficul funcției y = f(x);
b) graficul derivatei y = f"(x).
Determinați din program:
1) puncte minime ale funcției y = f(x);
2) numărul de intervale ale funcției descrescătoare y = f(x);
3) abscisa punctului grafic al funcției y = f(x), la care ia cea mai mare valoare pe segment;
4) numărul de puncte din graficul funcției y = f(x), la care tangenta este paralelă cu axa Ox (sau coincide cu aceasta).
Răspunsuri:
a) 1) –3; 2; 4; 2) 3; 3) 3; 4) 4;
b) 1) –2; 4,6;2) 2; 3) 2; 4) 5.
Pentru a efectua controlul, puteți organiza munca în perechi: fiecare elev pregătește în prealabil un grafic derivat pe un card pentru partenerul său și mai jos oferă 4-5 întrebări pentru a determina proprietățile funcției. În timpul lecțiilor, ei schimbă carduri, completează sarcinile propuse, după care toată lumea verifică și evaluează munca partenerului lor.

Buna ziua! Să ajungem la următorul examen de stat unificat cu pregătire sistematică de înaltă calitate și perseverență în măcinarea granitului științei!!! ÎNExistă o sarcină de concurs la sfârșitul postării, fii primul! Într-unul din articolele din această secțiune, tu și cu mine, în care s-a dat graficul funcției și s-au pus diverse întrebări referitoare la extreme, intervale de creștere (scădere) și altele.

În acest articol vom lua în considerare problemele incluse în examenul de stat unificat la matematică, în care este dat un grafic al derivatei unei funcții și se pun următoarele întrebări:

1. În ce punct al unui segment dat funcția ia cea mai mare (sau cea mai mică) valoare.

2. Aflați numărul de puncte maxime (sau minime) ale funcției aparținând unui segment dat.

3. Aflați numărul de puncte extreme ale funcției aparținând unui segment dat.

4. Aflați punctul extrem al funcției aparținând segmentului dat.

5. Aflați intervalele funcției crescătoare (sau descrescătoare) și indicați în răspuns suma punctelor întregi incluse în aceste intervale.

6. Aflați intervalele de creștere (sau scădere) ale funcției. În răspunsul dvs., indicați lungimea celui mai mare dintre aceste intervale.

7. Aflați numărul de puncte la care tangenta la graficul funcției este paralelă sau coincide cu o dreaptă de forma y = kx + b.

8. Aflați abscisa punctului în care tangenta la graficul funcției este paralelă cu axa absciselor sau coincide cu aceasta.

S-ar putea să apară și alte întrebări, dar nu vă vor crea dificultăți dacă înțelegeți și (sunt furnizate link-uri către articole care oferă informațiile necesare soluției, recomand să le repetați).

Informații de bază (pe scurt):

1. Derivata la intervale crescatoare are semn pozitiv.

Dacă derivata la un anumit punct dintr-un anumit interval are valoare pozitivă, atunci graficul funcției crește pe acest interval.

2. La intervale descrescătoare, derivata are semn negativ.

Dacă derivata la un anumit punct dintr-un anumit interval are valoare negativă, atunci graficul funcției scade pe acest interval.

3. Derivata in punctul x este egala cu panta tangentei trasate la graficul functiei in acelasi punct.

4. În punctele de extremum (maximum-minim) ale funcției, derivata este egală cu zero. Tangenta la graficul funcției în acest punct este paralelă cu axa x.

Acest lucru trebuie înțeles și amintit clar!!!

Graficul derivat „derutează” mulți oameni. Unii oameni îl confundă din greșeală cu graficul funcției în sine. Prin urmare, în astfel de clădiri, unde vezi că este dat un grafic, concentrează-ți imediat atenția în condiția asupra a ceea ce este dat: graficul funcției sau graficul derivatei funcției?

Dacă este un grafic al derivatei unei funcții, atunci tratați-l ca pe o „reflecție” a funcției în sine, care pur și simplu vă oferă informații despre acea funcție.

Luați în considerare sarcina:

Figura prezintă un grafic y =f„(X)- derivata unei functii f(X), definit pe intervalul (–2;21).

Vom răspunde la următoarele întrebări:

1. În ce punct al segmentului se află funcția f(X) ia cea mai mare valoare.

Pe un interval dat, derivata unei funcții este negativă, ceea ce înseamnă că funcția pe acest interval scade (descrește de la limita stângă a intervalului la dreapta). Astfel, cea mai mare valoare a funcției este atinsă pe marginea stângă a segmentului, adică la punctul 7.

Raspuns: 7

2. În ce punct al segmentului se află funcția f(X)

Din acest grafic derivat putem spune următoarele. Pe un interval dat, derivata funcției este pozitivă, ceea ce înseamnă că funcția pe acest interval crește (crește de la limita stângă a intervalului la dreapta). Astfel, cea mai mică valoare a funcției se realizează pe marginea din stânga a segmentului, adică în punctul x = 3.

Raspuns: 3

3. Aflați numărul maxim de puncte ale funcției f(X)

Punctele maxime corespund punctelor în care semnul derivat se schimbă de la pozitiv la negativ. Să luăm în considerare unde se schimbă semnul în acest fel.

Pe segmentul (3;6) derivata este pozitivă, pe segmentul (6;16) este negativă.

Pe segmentul (16;18) derivata este pozitivă, pe segmentul (18;20) este negativă.

Astfel, pe un segment dat funcția are două puncte maxime x = 6 și x = 18.

Raspuns: 2

4. Aflați numărul de puncte minime ale funcției f(X), aparținând segmentului.

Punctele minime corespund punctelor în care semnul derivatei se schimbă de la negativ la pozitiv. Derivata noastră este negativă pe intervalul (0;3) și pozitivă pe intervalul (3;4).

Astfel, pe segment funcția are un singur punct minim x = 3.

*Atenție când scrieți răspunsul - se înregistrează numărul de puncte, nu valoarea x poate fi făcută din cauza neatenției;

Raspuns: 1

5. Aflați numărul de puncte extreme ale funcției f(X), aparținând segmentului.

Vă rugăm să rețineți ce trebuie să găsiți cantitate puncte extremum (acestea sunt ambele puncte maxime și minime).

Punctele extreme corespund punctelor în care semnul derivatei se modifică (de la pozitiv la negativ sau invers). În graficul dat în condiție, acestea sunt zerourile funcției. Derivata dispare la punctele 3, 6, 16, 18.

Astfel, funcția are 4 puncte extreme pe segment.

Raspuns: 4

6. Aflați intervalele funcției crescătoare f(X)

Intervale de creştere a acestei funcţii f(X) corespund intervalelor la care derivata sa este pozitivă, adică intervalele (3;6) și (16;18). Vă rugăm să rețineți că limitele intervalului nu sunt incluse în acesta (paranteze rotunde - limitele nu sunt incluse în interval, paranteze drepte - incluse). Aceste intervale conțin puncte întregi 4, 5, 17. Suma lor este: 4 + 5 + 17 = 26

Raspuns: 26

7. Aflați intervalele funcției descrescătoare f(X) la un interval dat. În răspunsul dvs., indicați suma punctelor întregi incluse în aceste intervale.

Intervalele descrescătoare ale unei funcții f(X) corespund intervalelor la care derivata functiei este negativa. În această problemă, acestea sunt intervalele (–2;3), (6;16), (18:21).

Aceste intervale conțin următoarele puncte întregi: –1, 0, 1, 2, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 19, 20. Suma lor este:

(–1) + 0 + 1 + 2 + 7 + 8 + 9 + 10 +

11 + 12 + 13 + 14 + 15 + 19 + 20 = 140

Raspuns: 140

*Acordați atenție condiției: dacă limitele sunt incluse sau nu în interval. Dacă sunt incluse limite, atunci în intervalele luate în considerare în procesul de soluționare trebuie să se țină seama și de aceste limite.

8. Aflați intervalele funcției crescătoare f(X)

Intervale de creștere a funcției f(X) corespund intervalelor la care derivata functiei este pozitiva. Le-am indicat deja: (3;6) și (16:18). Cel mai mare dintre ele este intervalul (3;6), lungimea sa este de 3.

Raspuns: 3

9. Aflați intervalele funcției descrescătoare f(X). În răspunsul dvs., indicați lungimea celui mai mare dintre ele.

Intervalele descrescătoare ale unei funcții f(X) corespund intervalelor la care derivata functiei este negativa. Le-am indicat deja; acestea sunt intervalele (–2;3), (6;16), (18;21), lungimile lor sunt respectiv 5, 10, 3.

Lungimea celui mai mare este de 10.

Raspuns: 10

10. Aflați numărul de puncte în care tangenta la graficul funcției f(X) paralel cu sau coincide cu linia dreaptă y = 2x + 3.

Valoarea derivatei în punctul de tangență este egală cu panta tangentei. Deoarece tangenta este paralelă cu dreapta y = 2x + 3 sau coincide cu aceasta, coeficienții lor unghiulari sunt egali cu 2. Aceasta înseamnă că este necesar să găsim numărul de puncte la care y′(x 0) = 2. Din punct de vedere geometric, acesta corespunde numărului de puncte de intersecție a graficului derivat cu linia dreaptă y = 2. Există 4 astfel de puncte pe acest interval.

Raspuns: 4

11. Aflați punctul extrem al funcției f(X), aparținând segmentului.

Punctul extremum al unei funcții este punctul în care derivata sa este egală cu zero, iar în vecinătatea acestui punct derivata își schimbă semnul (de la pozitiv la negativ sau invers). Pe segment, graficul derivatului intersectează axa x, derivata își schimbă semnul din negativ în pozitiv. Prin urmare, punctul x = 3 este un punct extremum.

Raspuns: 3

12. Aflați abscisele punctelor în care tangentele la graficul y = f (x) sunt paralele cu axa absciselor sau coincid cu aceasta. În răspunsul dvs., indicați cel mai mare dintre ele.

Tangenta la graficul y = f (x) poate fi paralelă cu axa absciselor sau coincide cu aceasta, numai în punctele în care derivata este egală cu zero (acestea pot fi puncte extreme sau puncte staționare în vecinătatea cărora derivata nu nu-i schimba semnul). Acest grafic arată că derivata este zero la punctele 3, 6, 16, 18. Cel mai mare este 18.

Vă puteți structura raționamentul astfel:

Valoarea derivatei în punctul de tangență este egală cu panta tangentei. Deoarece tangenta este paralelă sau coincide cu axa x, panta ei este 0 (într-adevăr, tangenta unui unghi de zero grade este zero). Prin urmare, căutăm punctul în care panta este egală cu zero și, prin urmare, derivata este egală cu zero. Derivata este egală cu zero în punctul în care graficul său intersectează axa x, iar acestea sunt punctele 3, 6, 16,18.

Raspuns: 18

Figura prezintă un grafic y =f„(X)- derivata unei functii f(X), definit pe intervalul (–8;4). În ce punct al segmentului [–7;–3] este funcția f(X) ia cea mai mică valoare.

Figura prezintă un grafic y =f„(X)- derivata unei functii f(X), definit pe intervalul (–7;14). Aflați numărul maxim de puncte ale funcției f(X), aparținând segmentului [–6;9].

Figura prezintă un grafic y =f„(X)- derivata unei functii f(X), definit pe intervalul (–18;6). Aflați numărul de puncte minime ale funcției f(X), aparținând segmentului [–13;1].

Figura prezintă un grafic y =f„(X)- derivata unei functii f(X), definit pe intervalul (–11; –11). Aflați numărul de puncte extreme ale funcției f(X), aparținând segmentului [–10; –10].

Figura prezintă un grafic y =f„(X)- derivata unei functii f(X), definit pe intervalul (–7;4). Aflați intervalele funcției crescătoare f(X). În răspunsul dvs., indicați suma punctelor întregi incluse în aceste intervale.

Figura prezintă un grafic y =f„(X)- derivata unei functii f(X), definit pe intervalul (–5;7). Aflați intervalele funcției descrescătoare f(X). În răspunsul dvs., indicați suma punctelor întregi incluse în aceste intervale.

Figura prezintă un grafic y =f„(X)- derivata unei functii f(X), definit pe intervalul (–11;3). Aflați intervalele funcției crescătoare f(X). În răspunsul dvs., indicați lungimea celui mai mare dintre ele.

F Figura prezintă un grafic

Condițiile problemei sunt aceleași (pe care le-am considerat). Aflați suma a trei numere:

1. Suma pătratelor extremelor funcției f (x).

2. Diferența dintre pătratele sumei punctelor maxime și suma punctelor minime ale funcției f (x).

3. Numărul de tangente la f (x) paralele cu dreapta y = –3x + 5.

Primul care va da răspunsul corect va primi un premiu stimulativ de 150 de ruble. Scrieți răspunsurile dvs. în comentarii. Dacă acesta este primul tău comentariu pe blog, acesta nu va apărea imediat, ci puțin mai târziu (nu vă faceți griji, este înregistrată ora în care a fost scris comentariul).

Mult succes pentru tine!

Salutări, Alexander Krutitsikh.

P.S: V-as fi recunoscator daca mi-ati spune despre site pe retelele de socializare.