Cu ce ​​este egal Lg 0 02? Logaritm. Logaritm zecimal

Acasă

În cele ce urmează, logaritmul zecimal este denumit pur și simplu logaritm.

Logaritmul lui unu este zero. 10 , 100 , 1000 Logaritmi de numere 1 ,2 ,3 etc. egal

Logaritmul lui unu este zero. 0,1 ; 0,01 ; 0,001 Logaritmi de numere -1 , -2 , -3 etc., adică au atâtea pozitive câte zerouri sunt după unu.

etc., adică au tot atâtea negative câte zerouri sunt înainte de unu (inclusiv numere întregi zero). Logaritmii altor numere au o parte fracționară numită. mantisa Toată parte se numeste logaritmul.

caracteristică

Numerele mai mari decât unitățile au logaritmi pozitivi. Numerele pozitive mai mici de 1 au logaritmi negativi. De exemplu 2,.

log0,5=-0,30103, log0,005=-2,30103 Logaritmii negativi pentru o mai mare comoditate în găsirea unui logaritm după un număr și a unui număr după un logaritm nu sunt prezentați în cele de mai sus „ natural "forma și în" artificial ". Un logaritm negativ în formă artificială are mantisă pozitivă Şi.

caracterizare negativă De exemplu, log0,005=3,69897 . Această intrare înseamnă că.

log0,005=-3+0,69897=-2,30103

1 Pentru a converti un logaritm negativ dintr-o formă naturală într-una artificială, aveți nevoie de:
2 . Creșteți valoarea absolută a caracteristicilor sale cu una;
3 . Puneți numărul rezultat cu semnul minus deasupra;

. Toate cifrele mantisei, cu excepția ultimei cifre care nu sunt egale cu zero, se scad din nouă; Scădeți ultima cifră diferită de zero din zece. Diferențele rezultate sunt scrise în aceleași locuri ale mantisei unde se aflau cifrele scăzute. Zerourile finale rămân neatinse. . Exemplul 1 log0,05=-1,30103
1 duce la forma artificială: 1 . Valoarea absolută a caracteristicii 1 creste cu 2 ;
2 ; primim 2 . Scriem caracteristicile formei artificiale în formă
3 și separă-l cu o virgulă; 3 . Scădeți prima cifră a mantisei 9 creste cu 6 din 6 ; notează 9(=9-0) , 8(=9-1) , 9(=9-0) mantisă pozitivă 7(=10-3) .
pe primul loc după virgulă zecimală. În același mod, numerele apar în următoarele locuri

-1,30103=2,69897 .

Ca rezultat obținem: . -0,18350 Exemplul 2
1 reprezintă sub formă artificială: 0 . Creștem 1 pe 1 ;
2 , primim 1 ;
3 . Avem 1 ,8 ,3 . Scădeți prima cifră a mantisei 9 . Scăderea numerelor 5 . Scădeți prima cifră a mantisei 10 ; figura
; zeroul de la sfârșit rămâne neatins.

-0,18350=1,81650 .

Ca rezultat obținem:
1 Pentru a converti un logaritm negativ dintr-o formă artificială într-una naturală, aveți nevoie de:
2 . Scădeți valoarea absolută a caracteristicii sale cu una;
3 . Furnizați numărul rezultat cu un semn minus în stânga;

. Continuați cu cifrele mantisei ca în cazul trecerii de la o formă naturală la una artificială. . 4,689 00 Exemplul 3
1 . 4-1=3 ;
2 , primim -3 ;
3 prezent sub formă naturală: 6 ,8 mantisă pozitivă 9 . Scăderea numerelor 9 . Scădeți prima cifră a mantisei 10 ; două zerouri rămân neatinse.
; zeroul de la sfârșit rămâne neatins.

4,689 00=-3,311 00 .

1 Numerele negative nu au deloc logaritmi reali.
2 Toate egalitățile ulterioare sunt aproximative la o jumătate de unitate de la ultimul semn scris.

SECȚIUNEA XIII.

LOGARITMELE ȘI APLICAȚIILE LOR.

§ 2. Logaritmi zecimali.

Logaritmul zecimal al numărului 1 este 0. Logaritmuri zecimale ale puterilor pozitive de 10, adică. numerele 10, 100, 1000,.... sunt în esență numere pozitive 1, 2, 3,...., deci în general logaritmul unui număr notat cu unu cu zerouri este egal cu numărul de zerouri. Logaritmuri zecimale ale puterilor negative de 10, i.e. fracțiile 0,1, 0,01, 0,001,.... sunt numere negative -1, -2, -3....., deci în general un logaritm zecimal cu un numărător de unu este egal cu numărul negativ de zerouri al numitorului.

Logaritmii tuturor celorlalte numere comensurabile sunt incomensurabile. Astfel de logaritmi sunt calculati aproximativ, de obicei cu o precizie de o sută de miimi și, prin urmare, sunt exprimați în fracții zecimale de cinci cifre; de exemplu, log 3 = 0,47712.

La prezentarea teoriei logaritmilor zecimali, se presupune că toate numerele sunt compuse în funcție de sistemul zecimal al unităților și fracțiilor lor, iar toți logaritmii sunt exprimați printr-o fracție zecimală care conține 0 numere întregi, cu o creștere sau descreștere a numărului întreg. Partea fracțională a unui logaritm se numește mantisă, iar întreaga creștere sau descreștere se numește ei caracteristică. Logaritmii numerelor mai mari decât unu sunt întotdeauna pozitivi și, prin urmare, au o caracteristică pozitivă; logaritmii numerelor mai mici decât unu sunt întotdeauna negativi, dar sunt reprezentați în așa fel încât mantisa lor să fie pozitivă, iar o caracteristică este negativă: de exemplu, log 500 = 0,69897 + 2 sau mai scurt 2,69897 și log 0,05 = 0, 69897-2, care pentru concizie este notat ca 2,69897, punând caracteristica în locul numerelor întregi, dar cu un semn deasupra. Astfel, logaritmul unui număr, mai mare decât unul, reprezintă suma aritmetică a unui număr întreg pozitiv și a unei fracții pozitive, iar logaritmul unui număr mai mic decât unu reprezintă suma algebrică a unui număr întreg negativ cu o fracție pozitivă.

Orice logaritm negativ poate fi redus la forma artificială indicată. De exemplu, avem log 3 / 5 = log 3 - log 5 = 0,47712-0,69897 = -0,22185. Pentru a converti acest logaritm adevărat într-o formă artificială, îi adăugăm 1 și, după adunarea algebrică, indicăm scăderea unuia pentru corecție.

Obținem log 3 / 5 = log 0,6 = (1-0,22185)-1 = 0,77815-1. Rezultă că mantisa 0,77815 este aceeași care corespunde numărătorului 6 al acestui număr, reprezentat în sistemul zecimal sub forma fracției 0,6.

În reprezentarea indicată a logaritmilor zecimal, mantisa și caracteristicile lor au proprietăți importante în legătură cu desemnarea numerelor care le corespund în sistemul zecimal. Pentru a explica aceste proprietăți, notăm următoarele. Să luăm ca tip principal de număr un număr arbitrar cuprins între 1 și 10 și, exprimându-l în sistem zecimal, să îl prezentăm sub forma a,b,c,d,e,f ...., Unde O există unul dintre cifre semnificative 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 și zecimale, b,c,d,e,f ....... sunt orice numere, între care pot fi zerouri. Datorită faptului că numărul luat este cuprins între 1 și 10, logaritmul său este cuprins între 0 și 1 și de aceea acest logaritm este format dintr-o mantisă fără caracteristică sau cu caracteristica 0. Să notăm acest logaritm sub forma 0 ,α β γ δ ε ...., Unde α, β ,γ ,δ, ε esenţa unor numere. Să înmulțim acum acest număr pe de o parte cu numerele 10, 100, 1000,.... și pe de altă parte cu numerele 0,1, 0,01, 0,001,... și să aplicăm teoremele asupra logaritmilor produsului iar coeficientul. Apoi obținem o serie de numere mai mari decât unu și o serie de numere mai mici decât unu cu logaritmii lor:

lg O ,bcde f ....= 0 ,α β γ δ ε ....

lg ab,cde f ....= 1 ,α β γ δ ε ....lg 0,abcde f ....= 1 ,α β γ δ ε ....

lg abc,de f ....= 2 ,α β γ δ ε ....lg 0,0abcde f ....= 2 ,α β γ δ ε ....

lg abcd,e f ....= 3 ,α β γ δ ε ....lg 0,00abcde f ....= 3 ,α β γ δ ε ....

Când luăm în considerare aceste egalități, sunt relevate următoarele proprietăți și caracteristici ale mantisei:

Proprietatea Mantisei. Mantisa depinde de locația și tipul cifrelor întrerupte ale numărului, dar nu depinde deloc de locul virgulei în desemnarea acestui număr. Mantisele logaritmilor de numere având un raport zecimal, adică cei al căror raport multiplu este egal cu orice putere pozitivă sau negativă de zece sunt la fel.

Proprietate caracteristică. Caracteristica depinde de rangul celor mai mari unități sau fracții zecimale ale unui număr, dar nu depinde deloc de tipul de cifre din desemnarea acestui număr.

Dacă numim numerele O ,bcde f ...., ab,cde f ...., abc,de f .... numere de cifre pozitive - prima, a doua, a treia, etc., cifră a numărului 0,abcde f .... vom lua în considerare zero și cifrele numerelor 0,0abcde f ...., 0,00abcde f ...., 0.000abcde f .... dacă exprimăm numere negative minus unu, minus doi, minus trei etc., atunci putem spune în general că caracteristica logaritmului oricărui număr zecimal este cu unu mai mică decât numărul care indică cifra

101. Știind că log 2 = 0,30103, găsiți logaritmii numerelor 20,2000, 0,2 și 0,00002.

101. Știind că log 3=0,47712, găsiți logaritmii numerelor 300, 3000, 0,03 și 0,0003.

102. Știind că log 5 = 0,69897, găsiți logaritmii numerelor 2,5, 500, 0,25 și 0,005.

102. Știind că log 7 = 0,84510, găsiți logaritmii numerelor 0,7, 4,9, 0,049 și 0,0007.

103. Cunoscând log 3=0,47712 și log 7=0,84510, găsiți logaritmii numerelor 210, 0,021, 3/7, 7/9 și 3/49.

103. Cunoscând log 2=0,30103 și log 7=0,84510, găsiți logaritmii numerelor 140, 0,14, 2/7, 7/8 și 2/49.

104. Cunoscând log 3 = 0,47712 și log 5 = O,69897, găsiți logaritmii numerelor 1,5, 3 / 5, 0,12, 5 / 9 și 0,36.

104. Cunoscând log 5 = 0,69897 și log 7 = 0,84510, găsiți logaritmii numerelor 3,5, 5 / 7, 0,28, 5 / 49 și 1,96.

Logaritmurile zecimale ale numerelor exprimate în cel mult patru cifre se găsesc direct din tabele, iar din tabele se găsește mantisa logaritmului dorit, iar caracteristica este stabilită în funcție de rangul numărului dat.

Dacă numărul conține mai mult de patru cifre, atunci găsirea logaritmului este însoțită de un calcul suplimentar. Regula este: pentru a găsi logaritmul unui număr care conține mai mult de patru cifre, trebuie să găsiți în tabele numărul indicat de primele patru cifre și să scrieți mantisa corespunzătoare acestor patru cifre; apoi înmulțiți diferența tabulară a mantisei cu numărul format din cifrele aruncate, în produs, aruncați atâtea cifre din dreapta câte au fost aruncate în numărul dat și adăugați rezultatul la ultimele cifre ale mantisei găsite; pune caracteristica în conformitate cu rangul numărului dat.

Când un număr este căutat folosind un logaritm dat și acest logaritm este conținut în tabele, atunci cifrele numărului căutat sunt găsite direct din tabele, iar rangul numărului este determinat în conformitate cu caracteristicile logaritmului dat.

Dacă acest logaritm nu este conținut în tabele, atunci căutarea numărului este însoțită de un calcul suplimentar. Regula este: pentru a găsi numărul corespunzător unui logaritm dat, a cărui mantise nu este conținută în tabele, trebuie să găsiți cea mai apropiată mantisă mai mică și să notați cifrele numărului care îi corespunde; apoi înmulțiți diferența dintre mantisa dată și cea găsită cu 10 și împărțiți produsul la diferența tabelată; adăugați cifra rezultată a coeficientului la dreapta cifrelor scrise ale numărului, motiv pentru care obțineți setul de cifre dorit; Rangul numărului trebuie determinat în conformitate cu caracteristicile logaritmului dat.

105. Aflați logaritmii numerelor 8, 141, 954, 420, 640, 1235, 3907, 3010, 18.43, 2.05, 900.1, 0.73, 0.0028, 0.10000, 5.

105. Aflați logaritmul numerelor 15.154, 837, 510, 5002,1309-, 8900, 8.315, 790.7, 0.09, 0.6745, 0.000745, 0.000.04207, 0.04207

106. Găsiți logaritmii numerelor 2174.6, 1445.7, 2169.5, 8437.2, 46.472, 6.2853, 0.7893B, 0.054294, 631.074, 2.795.756, 2.795.756, 80.2853, 0.7893B

K

107. Găsiți numerele corespunzătoare logaritmilor 3.16227, 3.59207, 2.93318, 0.41078, 1.60065, 2.756.86, 3.23528, 1.79692. 4,87800 5,14613.

107. Aflați numerele corespunzătoare logaritmilor 3.07372, 3.69205, 1.64904, 2.16107, 0.70364, 1.31952, 4.30814, 3.00087, 2.68.9597, 2.68.957

108. Aflați numărul corespunzător logaritmilor 3.57686, 3.16340, 2.40359, 1.09817, 4.49823, 2.83882, 1.50060, 3.30056, 1.17112, 4.2.

108. Aflați numerele corespunzătoare logaritmilor 3,33720, 3,09875, 0,70093, 4,04640, 2,94004, 1,41509, 2,32649, 4,14631, 3,05,390

Logaritmii pozitivi ai numerelor mai mari decât unu sunt sume aritmetice caracteristicile lor și mantisele. Prin urmare, operațiile cu ele sunt efectuate conform regulilor aritmetice obișnuite.

Logaritmii negativi ai numerelor mai mici de unu sunt sumele algebrice ale unei caracteristici negative și ale unei mantise pozitive. Prin urmare, operațiunile cu acestea sunt efectuate conform regulilor algebrice, care sunt completate cu instrucțiuni speciale referitoare la reducerea logaritmilor negativi la forma lor normală. Forma normală a unui logaritm negativ este una în care caracteristica este un întreg negativ și mantisa este o fracție proprie pozitivă.

Pentru a converti un logaritm reflectiv adevărat în forma sa artificială normală, trebuie să creșteți valoarea absolută a termenului său întreg cu una și să faceți rezultatul o caracteristică negativă; apoi adăugați toate cifrele termenului fracționar la 9, iar ultima la 10 și faceți rezultatul o mantisă pozitivă. De exemplu, -2,57928 = 3,42072.

Pentru a converti forma normală artificială a unui logaritm în forma sa adevărată valoare negativă, trebuie să reduceți caracteristica negativă cu unul și să faceți din rezultat un termen întreg al sumei negative; apoi adăugați toate cifrele mantisei la 9, iar ultima la 10 și faceți din rezultat un termen fracțional de aceeași sumă negativă. De exemplu: 4,57406= -3,42594.

109. Convertiți logaritmii în formă artificială -2,69537, -4, 21283, -0,54225, -1,68307, -3,53820, -5,89990.

109. Convertiți logaritmii în formă artificială -3,21729, -1,73273, -5,42936, -0,51395, -2,43780, -4,22990.

110. Găsiți adevăratele valori ale logaritmilor 1.33278, 3.52793, 2.95426, 4.32725, 1.39420, 5.67990.

110. Aflați valorile adevărate ale logaritmilor 2.45438, 1.73977, 3.91243, 5.12912, 2.83770, 4.28990.

Regulile pentru operațiile algebrice cu logaritmi negativi sunt exprimate după cum urmează:

Pentru a aplica un logaritm negativ în forma sa artificială, trebuie să aplicați mantisa și să scădeți valoarea absolută a caracteristicii. Dacă un număr întreg pozitiv apare din adăugarea mantiselor, atunci trebuie să-l atribuiți caracteristicii rezultatului, făcându-i corecția corespunzătoare. De exemplu,

3,89573 + 2 ,78452 = 1 1 ,68025 = 2,68025

1 ,54978 + 2 ,94963=3 1 ,49941=2 ,49941.

Pentru a scădea un logaritm negativ în forma sa artificială, trebuie să scădeți mantisa și să adăugați valoarea absolută a caracteristicii. Dacă mantisa scăzută este mare, atunci trebuie să faceți o ajustare a caracteristicii minuendului pentru a separa o unitate pozitivă de minuend. De exemplu,

2,53798-3 ,84582=1 1 ,53798-3 ,84582 = 4,69216,

2 ,22689-1 ,64853=3 1 ,22689-1 ,64853=2 ,57836.

Pentru a multiplica un logaritm negativ cu un număr întreg pozitiv, trebuie să-i înmulțiți separat caracteristica și mantisa. Dacă, atunci când înmulțiți mantisa, este identificat un număr întreg pozitiv, atunci trebuie să îl atribuiți caracteristicii rezultatului, făcându-i o modificare adecvată. De exemplu,

2 ,53729 5=10 2 ,68645=8 ,68645.

Când înmulțiți un logaritm negativ cu o cantitate negativă, trebuie să înlocuiți multiplicandul cu valoarea sa adevărată.

Pentru a împărți un logaritm negativ la un număr întreg pozitiv, trebuie să-i separați separat caracteristica și mantisa. Dacă caracteristica dividendului nu este exact divizibilă de divizor, atunci trebuie să-i faceți o modificare, astfel încât să includeți mai multe unități pozitive în mantisă și să faceți din caracteristică un multiplu al divizorului. De exemplu,

3 ,79432: 5=5 2 ,79432: 5=1 ,55886.

Când împărțiți un logaritm negativ la o cantitate negativă, trebuie să înlocuiți dividendul cu valoarea sa adevărată.

Efectuați următoarele calcule folosind tabele logaritmice și verificați rezultatele în cele mai simple cazuri folosind metode obișnuite:

174. Determinați volumul unui con a cărui generatoare este de 0,9134 picioare și a cărui rază de bază este de 0,04278 picioare.

175. Calculați al 15-lea termen al unei progresii multiple, primul termen al căruia este 2 3 / 5 și numitorul este 1,75.

175. Calculați primul termen al unei progresii multiple, al 11-lea termen al căruia este egal cu 649,5 și numitorul este 1,58.

176. Determinați numărul de factori O , O 3 , O 5 r . Găsiți așa ceva O , în care produsul a 10 factori este egal cu 100.

176. Determinați numărul de factori. O 2 , O 6 , O 10 ,.... astfel încât produsul lor să fie egal cu numărul dat r . Găsiți așa ceva O , în care produsul a 5 factori este egal cu 10.

177. Numitorul progresiei multiple este 1,075, suma celor 10 termeni ai săi este 2017,8. Găsiți primul termen.

177. Numitorul progresiei multiple este 1,029, suma celor 20 de termeni ai săi este 8743,7. Găsiți al douăzecilea termen.

178 . Exprimați numărul de termeni dintr-o progresie multiplă dat fiind primul termen O , ultimul și numitorul q , iar apoi, alegerea aleatorie a valorilor numerice o mantisă pozitivă u , ridica q astfel încât n

178. Exprimați numărul de termeni ai unei progresii multiple având în vedere primul termen O , ultimul Şi și numitorul q Şi mantisă pozitivă q , ridica O astfel încât n a fost un număr întreg.

179. Determinați numărul de factori astfel încât produsul lor să fie egal cu r . Cum trebuie să fie r pentru a O =0,5 și b =0,9 numărul de factori a fost 10.

179. Determinați numărul de factori astfel încât produsul lor să fie egal r . Cum trebuie să fie r pentru a O =0,2 și b =2 numărul de factori a fost 10.

180. Exprimați numărul de termeni dintr-o progresie multiplă dat fiind primul termen O , voi urma Şi și produsul tuturor membrilor r , și apoi, selectarea aleatorie a valorilor numerice O Şi r , ridica Şi iar apoi numitorul q astfel încât Şi a fost un număr întreg.

160. Exprimați numărul de termeni ai unei progresii multiple având în vedere primul termen O , ultimul și și produsul tuturor termenilor r , și apoi, selectarea aleatorie a valorilor numerice Şi mantisă pozitivă r , ridica O iar apoi numitorul q astfel încât n a fost un număr întreg.

Rezolvați următoarele ecuații, acolo unde este posibil - fără ajutorul tabelelor și, unde nu, cu tabele:

Ei iau adesea numărul zece. Se numesc logaritmi de numere bazate pe baza zece zecimal. Când se efectuează calcule cu logaritmul zecimal, este obișnuit să se opereze cu semnul lg, nu jurnal; în acest caz, numărul zece, care definește baza, nu este indicat. Da, să înlocuim log 10 105 la simplificat lg105; O log 10 2. Creștem lg2.

Pentru logaritmi zecimali sunt tipice aceleași caracteristici pe care le au logaritmii cu o bază mai mare decât unu. Și anume, logaritmii zecimali sunt caracterizați exclusiv pentru numere pozitive. Logaritmii zecimale ale numerelor mai mari decât unu sunt pozitive, iar cele ale numerelor mai mici decât unu sunt negative; dintre două numere nenegative, logaritmul zecimal mai mare este echivalent cu cel mai mare etc. În plus, logaritmii zecimali au caracteristici distinctiveși caracteristici particulare care explică de ce este confortabil să preferați numărul zece ca bază a logaritmilor.

Înainte de a examina aceste proprietăți, să ne familiarizăm cu următoarele formulări.

Parte întreagă a logaritmului zecimal al unui număr O este numit se numeste logaritmul, iar cel fracționar este Logaritmii altor numere au o parte fracționară numită acest logaritm.

Caracteristicile logaritmului zecimal al unui număr O este indicată ca , iar mantisa ca (lg O}.

Să luăm, să zicem, log 2 ≈ 0,3010 În consecință = 0, (log 2) ≈ 0,3010.

La fel pentru log 543,1 ≈2,7349. În consecință, = 2, (log 543,1)≈ 0,7349.

Calculul logaritmilor zecimali ai numerelor pozitive din tabele este utilizat pe scară largă.

Caracteristicile logaritmilor zecimali.

Primul semn al logaritmului zecimal. un număr întreg nenegativ reprezentat de un unu urmat de zerouri este un număr întreg pozitiv egal cu numărul de zerouri din înregistrarea numărului selectat .

Să luăm log 100 = 2, log 1 00000 = 5.

În general vorbind, dacă

Că O= 10n , din care obținem

lg a = lg 10 n = n lg 10 =n.

Al doilea semn. Logaritmul zece al unei zecimale pozitive, afișat ca unul cu zerouri la început, este - n, Unde n- numărul de zerouri în reprezentarea acestui număr, ținând cont de numere întregi zero.

Să luăm în considerare , log 0,001 = - 3, log 0,000001 = -6.

În general vorbind, dacă

,

Că o= 10-n si se dovedeste

lga= lg 10n =-n log 10 =-n

Al treilea semn. Caracteristica logaritmului zecimal al unui număr nenegativ mai mare decât unu este egală cu numărul de cifre din partea întreagă a acestui număr, excluzând unul.

Să rezolvăm acest semn 1) Caracteristica logaritmului lg 75,631 este egală cu 1.

Într-adevăr, 10< 75,631 < 100. Из этого можно сделать вывод

lg 10< lg 75,631 < lg 100,

1 < lg 75,631 < 2.

De aici rezultă,

log 75,631 = 1 +b,

Deplasarea unui punct zecimal într-o fracție zecimală la dreapta sau la stânga este echivalentă cu operația de înmulțire a acestei fracții cu o putere de zece cu un exponent întreg n(pozitiv sau negativ). Și, prin urmare, atunci când punctul zecimal dintr-o fracție zecimală pozitivă este deplasat la stânga sau la dreapta, mantisa logaritmului zecimal al acestei fracții nu se schimbă.

Deci, (log 0,0053) = (log 0,53) = (log 0,0000053).