Cum se rezolvă o ecuație cu un grad. Rezolvarea de ecuații de putere exponențială, algoritmi și exemple

Acasă

Nivel de intrare Ecuații exponențiale. (2019)

Ghid cuprinzător Buna ziua! Astăzi vom discuta cu tine cum să rezolvi ecuațiile care pot fi fie elementare (și sper că, după ce am citit acest articol, aproape toate vor fi așa pentru tine), și cele care sunt de obicei date „pentru umplere”. Se pare că în sfârșit adorm. Dar voi încerca să fac tot posibilul pentru ca acum să nu ai probleme când te confrunți cu acest tip de ecuații. Nu mă voi mai bate în jurul tufișului, dar vă spun imediat un mic secret: astăzi vom studia

ecuații exponențiale. Înainte de a trece la analiza modalităților de a le rezolva, vă voi schița imediat o serie de întrebări (destul de mici) pe care ar trebui să le repetați înainte de a vă grăbi să atacați acest subiect. Deci, pentru cele mai bune rezultate, vă rog

1. repeta:
2. Proprietăţi şi

Soluție și ecuații

Repetat? Uimitor! Atunci nu vă va fi greu să observați că rădăcina ecuației este un număr. Înțelegi exact cum am făcut-o? Este adevărat? Atunci hai să continuăm. Acum răspunde la întrebarea mea, ce este egal cu a treia putere? Ai perfecta dreptate: . Ce putere a doi este opt? Așa este - al treilea! Deoarece. Ei bine, acum să încercăm să rezolvăm următoarea problemă: Lasă-mă să înmulțesc numărul cu el însuși o dată și să obțin rezultatul. Întrebarea este de câte ori m-am înmulțit singur? Desigur, puteți verifica acest lucru direct:

\begin(align) & 2=2 \\ & 2\cdot 2=4 \\ & 2\cdot 2\cdot 2=8 \\ & 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=16 \\ \end( alinia) Atunci poți trage concluzia că m-am înmulțit cu mine de ori. Cum altfel poți verifica asta? Iată cum: direct prin definiția gradului: . Dar, trebuie să recunoașteți, dacă aș întreba de câte ori trebuie să se înmulțească doi cu el însuși pentru a obține, să zicem, mi-ați spune: nu mă voi păcăli și nu mă voi înmulți singur până nu voi fi albastru la față. Și ar avea perfectă dreptate. Pentru că cum poți notează pe scurt toți pașii

(și concizia este sora talentului) unde – acestea sunt aceleași"ori"

, când înmulțiți singuri.

Cred că știți (și dacă nu știți, urgent, foarte urgent repetați diplomele!) că atunci problema mea va fi scrisă sub forma:

Cum puteți concluziona în mod rezonabil că: ecuație exponențială:

Și chiar l-am găsit rădăcină. Nu crezi că totul este complet banal? Eu cred exact la fel. Iată un alt exemplu pentru tine:

Dar ce să faci? La urma urmei, nu poate fi scrisă ca o putere a unui număr (rezonabil). Să nu disperăm și să observăm că ambele numere sunt perfect exprimate prin puterea aceluiași număr. Care? Dreapta: . Apoi ecuația inițială este transformată în forma:

Unde, așa cum ați înțeles deja, . Să nu mai amânăm și să scriem definiţie:

În cazul nostru: .

Aceste ecuații se rezolvă prin reducerea lor la forma:

urmată de rezolvarea ecuației

De fapt, în exemplul anterior am făcut exact asta: am obținut următoarele: Și am rezolvat cea mai simplă ecuație.

Pare a fi nimic complicat, nu? Să exersăm mai întâi pe cele mai simple exemple:

Vedem din nou că părțile dreaptă și stângă ale ecuației trebuie reprezentate ca puteri ale unui număr. Adevărat, în stânga s-a făcut deja acest lucru, dar în dreapta există un număr. Dar este în regulă, pentru că ecuația mea se va transforma miraculos în aceasta:

Ce a trebuit să folosesc aici? Ce regulă? Regula „grade în grade” care scrie:

Și dacă:

Înainte de a răspunde la această întrebare, să completăm următorul tabel:

Ne este ușor să observăm că cu cât mai puțin, cu atât valoare mai mică, dar cu toate acestea, toate aceste valori sunt mai mari decât zero. SI VA FI Intotdeauna ASA!!! Aceeași proprietate este valabilă PENTRU ORICE BAZĂ CU ORICE INDICATOR!! (pentru orice și). Atunci ce putem concluziona despre ecuație? Iată ce este: ea nu are rădăcini! La fel ca orice ecuație nu are rădăcini. Acum să exersăm și Să rezolvăm exemple simple:

Să verificăm:

1. Aici nu ți se va cere nimic în afară de cunoașterea proprietăților gradelor (pe care, de altfel, ți-am cerut să le repete!) De regulă, totul duce la cea mai mică bază: , . Atunci ecuația originală va fi echivalentă cu următoarea: Tot ce am nevoie este să folosesc proprietățile puterilor: La înmulțirea numerelor cu aceleași baze se adună puterile, iar la împărțire se scad. Apoi voi obține: Ei bine, acum cu conștiința curată voi trece de la ecuația exponențială la cea liniară: \begin(align)
& 2x+1+2(x+2)-3x=5 \\
& 2x+1+2x+4-3x=5 \\
&x=0. \\
\end(align)

2. În al doilea exemplu, trebuie să fim mai atenți: problema este că în partea stângă nu putem reprezenta același număr ca o putere. În acest caz, uneori este util reprezintă numere ca produs de puteri cu baze diferite, dar aceiași exponenți:

Partea stângă a ecuației va arăta astfel: Ce ne-a dat asta? Iată ce: Se pot înmulți numere cu baze diferite, dar aceiași exponenți.În acest caz, bazele sunt înmulțite, dar indicatorul nu se schimbă:

În situația mea, asta va da:

\begin(align)
& 4\cdot ((64)^(x))((25)^(x))=6400,\\
& 4\cdot (((64\cdot 25))^(x))=6400,\\
& ((1600)^(x))=\frac(6400)(4), \\
& ((1600)^(x))=1600, \\
&x=1. \\
\end(align)

Nu-i rău, nu?

3. Nu-mi place când, în mod inutil, am doi termeni pe o parte a ecuației și niciunul pe cealaltă (uneori, desigur, acest lucru este justificat, dar acum nu este un astfel de caz). Voi muta termenul minus la dreapta:

Acum, ca și înainte, voi scrie totul în termeni de puteri a trei:

Adun gradele din stânga și obțin o ecuație echivalentă

Îi puteți găsi cu ușurință rădăcina:

4. Ca și în exemplul trei, termenul minus are loc în partea dreaptă!

În stânga mea, aproape totul este în regulă, în afară de ce? Da, „gradul greșit” al celor doi mă deranjează. Dar pot rezolva cu ușurință acest lucru scriind: . Eureka - în stânga toate bazele sunt diferite, dar toate gradele sunt la fel! Să ne înmulțim imediat!

Din nou, totul este clar: (dacă nu înțelegi cum am obținut în mod magic ultima egalitate, fă o pauză de un minut, respiră și citește din nou cu mare atenție proprietățile gradului. Cine a spus că poți sări peste un grad cu un exponent negativ? Ei bine, aici sunt cam același lucru ca nimeni). Acum voi primi:

\begin(align)
& ((2)^(4\left((x) -9 \right)))=((2)^(-1)) \\
& 4((x) -9)=-1 \\
& x=\frac(35)(4). \\
\end(align)

Iată câteva probleme pe care să le exersați, la care voi da doar răspunsurile (dar într-o formă „mixtă”). Rezolvă-le, verifică-le și tu și cu mine vom continua cercetările!

Gata? Răspunsuri ca aceasta:

1. orice număr

Bine, bine, glumeam! Iată câteva schițe de soluții (unele foarte scurte!)

Nu crezi că nu este o coincidență că o fracție din stânga este cealaltă „inversată”? Ar fi un păcat să nu profităm de asta:

Această regulă este foarte des folosită la rezolvarea ecuațiilor exponențiale, rețineți-o bine!

Atunci ecuația inițială va deveni astfel:

Hotărând asta ecuație pătratică, veți obține aceste rădăcini:

2. O altă soluție: împărțirea ambelor părți ale ecuației la expresia din stânga (sau dreapta). Împărțiți la ceea ce este în dreapta, apoi obținem:

Unde (de ce?!)

3. Nici nu vreau să mă repet, totul a fost deja „mestecat” atât de mult.

4. echivalent cu o ecuație pătratică, rădăcini

5. Trebuie să utilizați formula dată în prima problemă, apoi veți obține:

Ecuația s-a transformat într-o identitate banală care este adevărată pentru orice. Atunci răspunsul este orice număr real.

Ei bine, acum ai exersat rezolvarea ecuații exponențiale simple. Acum vreau să vă dau câteva exemple din viața reală care vă vor ajuta să înțelegeți de ce sunt necesare în principiu. Aici voi da două exemple. Unul dintre ele este destul de cotidian, dar celălalt este mai probabil să fie de interes științific mai degrabă decât practic.

Exemplul 1 (comercial) Lasă-ți ruble, dar vrei să le transformi în ruble. Banca vă oferă să luați acești bani de la dvs. la o rată anuală cu capitalizare lunară a dobânzii (cumulare lunară). Întrebarea este, pentru câte luni aveți nevoie să deschideți un depozit pentru a ajunge la suma finală necesară? O sarcină destul de banală, nu-i așa? Cu toate acestea, soluția sa este asociată cu construcția ecuației exponențiale corespunzătoare: Fie - suma inițială, - suma finală, - rata dobânzii pentru perioada, - numărul de perioade. Apoi:

În cazul nostru (dacă rata este anuală, atunci se calculează pe lună). De ce este împărțit la? Dacă nu știți răspunsul la această întrebare, amintiți-vă de subiectul „”! Atunci obținem această ecuație:

Această ecuație exponențială poate fi rezolvată numai folosind un calculator (s aspect sugerează acest lucru, iar acest lucru necesită cunoștințe de logaritmi, cu care ne vom familiariza puțin mai târziu), ceea ce voi face: ... Astfel, pentru a primi un milion, va trebui să facem un depozit pentru o lună ( nu foarte repede, nu?).

Exemplul 2 (mai degrabă științific).În ciuda „izolarii sale” sigure, vă recomand să-i acordați atenție: în mod regulat „alunecă la Examenul Unificat de Stat!! (problema este preluată din versiunea „reală”) În timpul dezintegrarii unui izotop radioactiv, masa acestuia scade conform legii, unde (mg) este masa inițială a izotopului, (min.) este timpul scurs de la momentul inițial, (min.) este timpul de înjumătățire. În momentul inițial de timp, masa izotopului este mg. Timpul său de înjumătățire este de min. După câte minute masa izotopului va fi egală cu mg? Este în regulă: luăm și substituim toate datele în formula propusă nouă:

Să împărțim ambele părți la, „în speranța” că în stânga vom obține ceva digerabil:

Ei bine, suntem foarte norocoși! Este în stânga, apoi să trecem la ecuația echivalentă:

Unde este min.

După cum puteți vedea, ecuațiile exponențiale au aplicații foarte reale în practică. Acum vreau să vă arăt un alt mod (simplu) de a rezolva ecuațiile exponențiale, care se bazează pe scoaterea factorului comun din paranteze și apoi gruparea termenilor. Nu vă speriați de cuvintele mele, ați dat peste această metodă deja în clasa a VII-a când ați studiat polinoamele. De exemplu, dacă trebuie să factorizați expresia:

Să grupăm: primul și al treilea termen, precum și al doilea și al patrulea. Este clar că primul și al treilea sunt diferența de pătrate:

iar al doilea și al patrulea au un factor comun de trei:

Atunci expresia originală este echivalentă cu aceasta:

De unde să deduceți factorul comun nu mai este dificil:

Prin urmare,

Cam asta vom face atunci când rezolvăm ecuații exponențiale: căutați „comunalitate” între termeni și scoateți-o din paranteze, apoi - orice ar fi, cred că vom avea noroc =)) De exemplu:

În dreapta este departe de a fi o putere de șapte (am verificat!) Și în stânga - este puțin mai bine, poți, desigur, să „tai” factorul a din al doilea din primul termen și apoi să faci față cu ceea ce ai, dar hai să fim mai prudenți cu tine. Nu vreau să mă ocup de fracțiile care se formează inevitabil atunci când „selectez”, așa că nu ar trebui să-l scot mai degrabă? Atunci nu voi avea nicio fracție: după cum se spune, lupii sunt hrăniți și oile sunt în siguranță:

Calculați expresia dintre paranteze. Magic, magic, se dovedește că (în mod surprinzător, deși la ce să ne mai așteptăm?).

Apoi reducem ambele părți ale ecuației cu acest factor. Primim: , de la.

Iată un exemplu mai complicat (destul de puțin, într-adevăr):

Ce problemă! Nu avem un punct comun aici! Nu este complet clar ce să faci acum. Să facem ce putem: mai întâi, mutați „patru” într-o parte și „cinci” pe cealaltă:

Acum să scoatem „generalul” din stânga și din dreapta:

Deci ce acum? Care este beneficiul unui astfel de grup prost? La prima vedere nu se vede deloc, dar haideți să privim mai profund:

Ei bine, acum ne vom asigura că în stânga avem doar expresia c, iar în dreapta - orice altceva. Cum facem asta? Iată cum: Împărțim mai întâi ambele părți ale ecuației cu (deci scăpăm de exponentul din dreapta), apoi împărțim ambele părți cu (deci scăpăm de factorul numeric din stânga). În sfârșit obținem:

Incredibil! În stânga avem o expresie, iar în dreapta avem o expresie simplă. Atunci tragem imediat concluzia că

Iată un alt exemplu pe care să-l întăriți:

O să-i dau soluția pe scurt (fără să mă deranjez cu explicații), încercați să înțelegeți singur toate „subtilitățile” soluției.

Acum pentru consolidarea finală a materialului acoperit. Încercați să rezolvați singur următoarele probleme. Voi oferi doar scurte recomandări și sfaturi pentru a le rezolva:

1. Să scoatem factorul comun dintre paranteze: Unde:
2. Să prezentăm prima expresie sub forma: , împărțim ambele părți la și obținem asta
3. , apoi ecuația inițială este transformată în forma: Ei bine, acum un indiciu - caută unde tu și cu mine am rezolvat deja această ecuație!
4. Imaginați-vă cum, cum, ah, bine, apoi împărțiți ambele părți la, astfel încât să obțineți cea mai simplă ecuație exponențială.
5. Scoateți-l din paranteze.
6. Scoateți-l din paranteze.

ECUATII EXPONENTARE. NIVEL MEDIU

Presupun că după ce am citit primul articol, despre care se vorbea ce sunt ecuațiile exponențiale și cum să le rezolvi, ai însușit cunoștințele minime necesare pentru a rezolva cele mai simple exemple.

Acum mă voi uita la o altă metodă de rezolvare a ecuațiilor exponențiale, aceasta este

„metoda de introducere a unei noi variabile” (sau înlocuire). El rezolvă majoritatea problemelor „dificile” pe tema ecuațiilor exponențiale (și nu numai a ecuațiilor). Această metodă este una dintre cele mai frecvent utilizate în practică. În primul rând, vă recomand să vă familiarizați cu subiectul.

După cum ați înțeles deja din nume, esența acestei metode este să introduceți o astfel de schimbare a variabilei, încât ecuația dvs. exponențială să se transforme în mod miraculos într-una pe care o puteți rezolva cu ușurință. Tot ce vă rămâne după rezolvarea acestei „ecuații simplificate” este să faceți o „înlocuire inversă”: adică, întoarcerea de la înlocuit la înlocuit. Să ilustrăm ceea ce tocmai am spus cu un exemplu foarte simplu:

Exemplul 1:

Această ecuație este rezolvată folosind o „substituție simplă”, așa cum o numesc în mod disprețuitor matematicienii. De fapt, înlocuirea aici este cea mai evidentă. Nu trebuie decât să vezi asta

Apoi ecuația inițială se va transforma în aceasta:

Dacă ne imaginăm în plus cum, atunci este absolut clar ce trebuie înlocuit: desigur, . Ce devine atunci ecuația originală? Iată ce:

Îi poți găsi cu ușurință rădăcinile singur: . Ce ar trebui să facem acum? Este timpul să revenim la variabila inițială. Ce am uitat sa mentionez? Și anume: la înlocuirea unui anumit grad cu o variabilă nouă (adică la înlocuirea unui tip), voi fi interesat de doar rădăcini pozitive! Tu însuți poți răspunde cu ușurință de ce. Astfel, tu și eu nu suntem interesați, dar a doua rădăcină este destul de potrivită pentru noi:

Atunci de unde.

Răspuns:

După cum puteți vedea, în exemplul anterior, un înlocuitor ne-a cerut doar mâinile. Din păcate, acest lucru nu este întotdeauna cazul. Cu toate acestea, să nu trecem direct la lucrurile triste, ci să exersăm cu încă un exemplu cu o înlocuire destul de simplă

Exemplul 2.

Este clar că cel mai probabil va trebui să facem o înlocuire (aceasta este cea mai mică dintre puterile incluse în ecuația noastră), dar înainte de a introduce o înlocuire, ecuația noastră trebuie să fie „pregătită” pentru aceasta, și anume: , . Apoi puteți înlocui, ca rezultat obțin următoarea expresie:

Oh groază: o ecuație cubică cu formule absolut groaznice pentru a o rezolva (ei bine, vorbind în vedere generală). Dar să nu disperăm imediat, ci să ne gândim la ce ar trebui să facem. Îți voi sugera să înșeli: știm că pentru a obține un răspuns „frumos”, trebuie să-l obținem sub forma unei puteri de trei (de ce ar fi asta, eh?). Să încercăm să ghicim cel puțin o rădăcină a ecuației noastre (voi începe să ghicesc cu puteri de trei).

Prima presupunere. Nu o rădăcină. vai și ah...

.
Partea stângă este egală.
Partea dreapta:!
Mânca! Am ghicit prima rădăcină. Acum lucrurile vor deveni mai ușoare!

Știți despre schema de împărțire „colț”? Bineînțeles că da, îl folosești când împărți un număr la altul. Dar puțini oameni știu că același lucru se poate face cu polinoamele. Există o teoremă minunată:

Aplicând la situația mea, acest lucru îmi spune că este divizibil fără rest prin. Cum se realizează împărțirea? Iată cum:

Mă uit la ce monom ar trebui să înmulțesc pentru a obține Clearly, apoi:

Scăd expresia rezultată din, obțin:

Acum, cu ce trebuie să înmulțesc pentru a obține? Este clar că pe, atunci voi obține:

și din nou scădeți expresia rezultată din cea rămasă:

Ei bine, ultimul pas este înmulțirea cu și scăderea din expresia rămasă:

Ura, diviziunea s-a terminat! Ce am acumulat în privat? Desigur: .

Apoi am obținut următoarea extindere a polinomului original:

Să rezolvăm a doua ecuație:

Are rădăcini:

Apoi ecuația inițială:

are trei rădăcini:

Desigur, vom elimina ultima rădăcină, deoarece este mai mică decât zero. Și primele două după înlocuirea inversă ne vor da două rădăcini:

Raspuns: ..

Cu acest exemplu nu am vrut deloc să te sperii, mi-am propus să arăt că deși am avut destul inlocuire usoara, a condus însă la o ecuație destul de complexă, a cărei rezolvare a necesitat niște abilități speciale din partea noastră. Ei bine, nimeni nu este imun la asta. Dar înlocuirea în acest caz a fost destul de evidentă.

Iată un exemplu cu o înlocuire puțin mai puțin evidentă:

Nu este deloc clar ce ar trebui să facem: problema este că în ecuația noastră sunt două baze diferite iar o fundație nu poate fi obținută de la alta ridicând-o la orice grad (rezonabil, firesc). Totuși, ce vedem? Ambele baze diferă doar prin semn, iar produsul lor este diferența de pătrate egală cu unu:

Definiţie:

Astfel, numerele care sunt bazele în exemplul nostru sunt conjugate.

În acest caz, pasul inteligent ar fi înmulțiți ambele părți ale ecuației cu numărul conjugat.

De exemplu, pe, atunci partea stângă a ecuației va deveni egală cu, iar dreapta. Dacă facem o înlocuire, atunci ecuația noastră inițială va deveni astfel:

rădăcinile sale, atunci, și amintindu-ne asta, obținem asta.

Răspuns: , .

De regulă, metoda înlocuirii este suficientă pentru a rezolva majoritatea ecuațiilor exponențiale „școlare”. Următoarele sarcini sunt preluate din examenul de stat unificat C1 ( nivel crescut complexitate). Sunteți deja suficient de alfabetizat pentru a rezolva singur aceste exemple. Voi oferi doar înlocuirea necesară.

1. Rezolvați ecuația:
2. Găsiți rădăcinile ecuației:
3. Rezolvați ecuația: . Găsiți toate rădăcinile acestei ecuații care aparțin segmentului:

Și acum câteva explicații și răspunsuri scurte:

1. Aici este suficient să observăm că... Atunci ecuația inițială va fi echivalentă cu aceasta: Această ecuație rezolvat prin înlocuire. În final, sarcina ta se va reduce la rezolvarea unor probleme trigonometrice simple (în funcție de sinus sau cosinus). Vom analiza soluții la exemple similare în alte secțiuni.
2. Aici puteți face chiar și fără substituție: mutați doar subtraend la dreapta și reprezentați ambele baze prin puteri a două: , și apoi mergeți direct la ecuația pătratică.
3. A treia ecuație este, de asemenea, rezolvată destul de standard: să ne imaginăm cum. Apoi, înlocuind, obținem o ecuație pătratică: atunci,

   Știi deja ce este un logaritm, nu? Nu? Atunci citeste urgent subiectul!

   Prima rădăcină evident că nu aparține segmentului, dar a doua este neclară! Dar vom afla foarte curând! Din moment ce, atunci (aceasta este o proprietate a logaritmului!) Să comparăm:

   Scădem din ambele părți, atunci obținem:

   Partea stângă poate fi reprezentată ca:

   înmulțiți ambele părți cu:

   poate fi înmulțit cu, atunci

   Apoi compara:

   de atunci:

   Apoi a doua rădăcină aparține intervalului necesar

   Răspuns:

După cum puteți vedea, selectarea rădăcinilor ecuațiilor exponențiale necesită o cunoaștere destul de profundă a proprietăților logaritmilor, așa că vă sfătuiesc să fiți cât mai atenți când rezolvați ecuații exponențiale. După cum înțelegeți, în matematică totul este interconectat! După cum a spus profesorul meu de matematică: „matematica, ca și istoria, nu poate fi citită peste noapte”.

De regulă, toate Dificultatea în rezolvarea problemelor C1 este tocmai alegerea rădăcinilor ecuației. Să exersăm cu încă un exemplu:

Este clar că ecuația în sine este rezolvată destul de simplu. Făcând o înlocuire, reducem ecuația noastră inițială la următoarea:

Mai întâi să ne uităm la prima rădăcină. Să comparăm și: de atunci. (proprietatea unei funcții logaritmice, at). Atunci este clar că prima rădăcină nu aparține intervalului nostru. Acum a doua rădăcină: . Este clar că (din moment ce funcția la este în creștere). Rămâne de comparat și...

de atunci, în acelaşi timp. În acest fel, pot „conduce un cuier” între și. Acest cui este un număr. Prima expresie este mai mică, iar a doua este mai mare. Atunci a doua expresie este mai mare decât prima și rădăcina aparține intervalului.

Raspuns: .

În cele din urmă, să ne uităm la un alt exemplu de ecuație în care înlocuirea este destul de nestandard:

Să începem imediat cu ce se poate face și ce - în principiu, se poate face, dar este mai bine să nu o facem. Îți poți imagina totul prin puterile lui trei, doi și șase. La ce va duce asta? Nu va duce la nimic: un amestec de grade, dintre care unele vor fi destul de greu de scăpat. Atunci de ce este nevoie? Să observăm că a Și ce ne va oferi asta? Și faptul că putem reduce soluția acestui exemplu la soluția unei ecuații exponențiale destul de simple! Mai întâi, să ne rescriem ecuația ca:

Acum să împărțim ambele părți ale ecuației rezultate la:

Eureka! Acum putem înlocui, obținem:

Ei bine, acum este rândul tău să rezolvi problemele demonstrative și le voi face doar comentarii scurte, astfel încât să nu te încurci calea cea dreaptă! Noroc!

1. Cel mai dificil! Este atât de greu să vezi un înlocuitor aici! Dar, cu toate acestea, acest exemplu poate fi rezolvat complet folosind evidenţiind un pătrat complet. Pentru a o rezolva, este suficient să rețineți că:

Atunci iată înlocuitorul tău:

(Rețineți că aici, în înlocuitorul nostru, nu putem elimina rădăcină negativă!!! de ce crezi?)

Acum, pentru a rezolva exemplul, trebuie să rezolvi doar două ecuații:

Ambele pot fi rezolvate printr-o „înlocuire standard” (dar al doilea într-un exemplu!)

2. Observați asta și faceți o înlocuire.

3. Descompuneți numărul în factori coprimi și simplificați expresia rezultată.

4. Împărțiți numărătorul și numitorul fracției la (sau, dacă preferați) și faceți înlocuirea sau.

5. Observați că numerele și sunt conjugate.

ECUAȚII EXPONENTARE. NIVEL AVANSAT

În plus, să ne uităm la un alt mod - rezolvarea ecuațiilor exponențiale folosind metoda logaritmului. Nu pot spune că rezolvarea ecuațiilor exponențiale folosind această metodă este foarte populară, dar în unele cazuri doar aceasta ne poate conduce la decizia corectă ecuația noastră. Este folosit în special pentru a rezolva așa-numitul „ ecuații mixte„: adică cele în care apar funcții de diferite tipuri.

De exemplu, o ecuație de forma:

în cazul general, poate fi rezolvată doar luând logaritmi ale ambelor părți (de exemplu, la bază), în care ecuația inițială se va transforma în următoarea:

Să ne uităm la următorul exemplu:

Este clar că conform ODZ al funcției logaritmice, ne interesează doar. Cu toate acestea, acest lucru rezultă nu numai din ODZ al logaritmului, ci și din încă un motiv. Cred că nu vă va fi greu să ghiciți care este.

Să luăm logaritmul ambelor părți ale ecuației noastre la bază:

După cum puteți vedea, luarea logaritmului ecuației noastre originale ne-a condus rapid la răspunsul corect (și frumos!). Să exersăm cu încă un exemplu:

Nici aici nu este nimic greșit: să luăm logaritmul ambelor părți ale ecuației la bază, apoi obținem:

Să facem un înlocuitor:

Totuși, am omis ceva! Ai observat unde am greșit? La urma urmei, atunci:

care nu satisface cerința (gândiți-vă de unde a venit!)

Răspuns:

Încercați să scrieți soluția ecuațiilor exponențiale de mai jos:

Acum compară decizia ta cu aceasta:

1. Să logaritmăm ambele părți la bază, ținând cont de faptul că:

(a doua rădăcină nu este potrivită pentru noi din cauza înlocuirii)

2. Logaritmul la bază:

Să transformăm expresia rezultată în următoarea formă:

ECUAȚII EXPONENTARE. SCURTĂ DESCRIERE ȘI FORMULE DE BAZĂ

Ecuație exponențială

Ecuația de formă:

numit cea mai simplă ecuație exponențială.

Proprietățile grade

Abordări ale soluției

• Reducere la aceeași bază
• Reducere la același exponent
• Înlocuire variabilă
• Simplificarea expresiei și aplicarea uneia dintre cele de mai sus.

Universitatea de Stat din Belgorod

DEPARTAMENT algebră, teoria numerelor și geometrie

Subiect: Ecuații de putere exponențială și inegalități.

teză student al Facultății de Fizică și Matematică

Supraveghetor stiintific:

______________________________

Revizor: ________________________________

________________________

Belgorod. 2006

Introducere			3
Subiect eu.	Analiza literaturii pe tema de cercetare.
Subiect II.	Funcțiile și proprietățile lor utilizate în rezolvarea ecuațiilor exponențiale și a inegalităților.
	I.1.	Funcția de putereși proprietățile sale.
	I.2.	Funcția exponențială și proprietățile acesteia.
Subiect III.	Rezolvarea ecuațiilor de putere exponențială, algoritm și exemple.
Subiect IV.	Rezolvarea inegalităților exponențiale, plan de soluții și exemple.
Subiect V.	Experiență în conducerea cursurilor cu școlari pe tema: „Rezolvarea ecuațiilor și inegalităților exponențiale”.
V. 1.	Material educativ.
V. 2.	Probleme pentru rezolvare independentă.
Concluzie.	Concluzii și sugestii.
Lista literaturii folosite.
Aplicații

Introducere.

„...bucuria de a vedea și de a înțelege...”

A. Einstein.

În această lucrare, am încercat să transmit experiența mea de profesor de matematică, să transmit cel puțin într-o oarecare măsură atitudinea mea față de predarea ei - un efort uman în care știința matematică, pedagogia, didactica, psihologia și chiar filozofia se împletesc în mod surprinzător.

Am avut ocazia să lucrez cu copii și absolvenți, cu copii la polii dezvoltării intelectuale: cei care erau înscriși la psihiatru și care erau cu adevărat interesați de matematică.

A trebuit să rezolv multe sarcini metodologice. Voi încerca să vorbesc despre cele pe care am reușit să le rezolv. Dar și mai eșuate, și chiar și în cele care par a fi rezolvate, apar noi întrebări.

Dar și mai importante decât experiența în sine sunt reflecțiile și îndoielile profesorului: de ce este exact așa, această experiență?

Și vara este diferită acum, iar dezvoltarea educației a devenit mai interesantă. „Sub Jupiters” astăzi nu este o căutare a unui sistem optim mitic de predare „toată lumea și totul”, ci copilul însuși. Dar apoi – de necesitate – profesorul.

ÎN curs şcolar algebră și început de analiză, clasele 10 - 11, cu promovarea examenului de stat unificat pe curs liceu iar la examenele de admitere la universități există ecuații și inegalități care conțin o necunoscută în bază și exponenți - acestea sunt ecuații și inegalități exponențiale.

Ei primesc puțină atenție la școală, practic nu există teme pe această temă în manuale. Cu toate acestea, stăpânirea metodologiei de rezolvare a acestora, mi se pare, este foarte utilă: crește abilitățile mentale și creative ale elevilor, iar în fața noastră se deschid orizonturi complet noi. La rezolvarea problemelor, elevii dobândesc primele abilități munca de cercetare, cultura lor matematică este îmbogățită, abilitățile lor de a gândire logică. Elevii dezvoltă calități de personalitate precum determinarea, stabilirea de obiective și independența, care le vor fi utile în viața ulterioară. Și, de asemenea, există repetarea, extinderea și asimilarea profundă a materialului educațional.

Am început să lucrez la acest subiect pentru cercetarea tezei, scriindu-mi lucrările de curs. În cursul căreia am studiat și analizat în profunzime literatura de specialitate pe această temă, am identificat cea mai potrivită metodă de rezolvare a ecuațiilor și inegalităților exponențiale.

Constă în faptul că, pe lângă abordarea general acceptată la rezolvarea ecuațiilor exponențiale (baza este luată mai mare decât 0) și la rezolvarea acelorași inegalități (baza este luată mai mare de 1 sau mai mare de 0, dar mai mică de 1) , sunt luate în considerare și cazurile când bazele sunt negative, egale cu 0 și 1.

Analiza scrisului lucrări de examen elevii arată că lipsa de acoperire a problemei de valoare negativă argumentarea funcției exponențiale în manualele școlare le provoacă o serie de dificultăți și duce la erori. Și au probleme și în stadiul de sistematizare a rezultatelor obținute, unde, din cauza trecerii la o ecuație - o consecință sau o inegalitate - o consecință, pot apărea rădăcini străine. Pentru a elimina erorile, folosim un test folosind ecuația sau inegalitatea originală și un algoritm pentru rezolvarea ecuațiilor exponențiale sau un plan pentru rezolvarea inegalităților exponențiale.

Pentru a se asigura că studenții sunt capabili să-și promoveze cu succes absolvirea și examene de admitere, cred că este necesar să se acorde mai multă atenție rezolvării ecuațiilor exponențiale și inegalităților la cursuri, sau suplimentar la opțiuni și cluburi.

Astfel subiect , al meu teza este definită după cum urmează: „Ecuații și inegalități exponențiale ale puterii”.

Goluri a acestei lucrări sunt:

1. Analizați literatura pe această temă.

2. Oferiți o analiză completă a soluției ecuațiilor exponențiale și inegalităților.

3. Furnizați un număr suficient de exemple de diferite tipuri pe această temă.

4. Verificați la orele de clasă, opționale și de club cum vor fi percepute metodele propuse de rezolvare a ecuațiilor exponențiale și a inegalităților. Oferă recomandări adecvate pentru studierea acestui subiect.

Subiect Cercetarea noastră este de a dezvolta o metodologie pentru rezolvarea ecuațiilor exponențiale și a inegalităților.

Scopul și subiectul studiului au necesitat rezolvarea următoarelor probleme:

1. Studiați literatura pe tema: „Ecuații și inegalități exponențiale ale puterii.”

2. Stăpânește tehnicile de rezolvare a ecuațiilor exponențiale și a inegalităților.

3. Selectați materialul de instruire și dezvoltați un sistem de exerciții la diferite niveluri pe tema: „Rezolvarea ecuațiilor exponențiale și a inegalităților”.

Pe parcursul cercetării tezei au fost analizate peste 20 de lucrări privind utilizarea diferitelor metode de rezolvare a ecuațiilor și inegalităților exponențiale. De aici ajungem.

Planul tezei:

Introducere.

Capitolul I. Analiza literaturii pe tema de cercetare.

Capitolul II. Funcțiile și proprietățile lor utilizate în rezolvarea ecuațiilor exponențiale și a inegalităților.

II.1. Funcția de putere și proprietățile acesteia.

II.2. Funcția exponențială și proprietățile acesteia.

Capitolul III. Rezolvarea ecuațiilor de putere exponențială, algoritm și exemple.

Capitolul IV. Rezolvarea inegalităților exponențiale, plan de soluții și exemple.

Capitolul V. Experiența de a conduce cursuri cu școlari pe această temă.

1.Material de instruire.

2. Sarcini pentru soluție independentă.

Concluzie. Concluzii și sugestii.

Lista literaturii folosite.

Capitolul I analizează literatura de specialitate

Ce este o ecuație exponențială? Exemple.

Deci, o ecuație exponențială... O nouă expoziție unică în expoziția noastră generală cu o mare varietate de ecuații!) Așa cum este aproape întotdeauna cazul, cuvântul cheie al oricărui termen matematic nou este adjectivul corespunzător care îl caracterizează. Deci este aici. Cuvânt cheieîn termenul „ecuație exponențială” este cuvântul "indicativ". Ce înseamnă? Acest cuvânt înseamnă că necunoscutul (x) este localizat în ceea ce privește orice grade.Și numai acolo! Acest lucru este extrem de important.

De exemplu, așa ecuații simple:

3 x +1 = 81

5 x + 5 x +2 = 130

4 2 2 x -17 2 x +4 = 0

Sau chiar acești monștri:

2 sin x = 0,5

Vă rugăm să acordați atenție imediat la un lucru important: motive grade (de jos) - doar numere. Dar în indicatori grade (mai sus) - o mare varietate de expresii cu un X. Absolut orice.) Totul depinde de ecuația specifică. Dacă, brusc, x apare în altă parte în ecuație, în plus față de indicator (să zicem, 3 x = 18 + x 2), atunci o astfel de ecuație va fi deja o ecuație tip mixt. Astfel de ecuații nu au reguli clare pentru rezolvarea lor. Prin urmare, nu le vom lua în considerare în această lecție. Spre bucuria elevilor.) Aici vom lua în considerare doar ecuaţiile exponenţiale în forma lor „pură”.

În general, nu toate și nu întotdeauna ecuațiile exponențiale pure pot fi rezolvate clar. Dar, printre toată varietatea bogată de ecuații exponențiale, există anumite tipuri care pot și ar trebui rezolvate. Aceste tipuri de ecuații sunt pe care le vom lua în considerare. Și cu siguranță vom rezolva exemplele.) Așa că haideți să ne simțim confortabil și să plecăm! Ca și în shooterele pe computer, călătoria noastră se va desfășura prin niveluri.) De la elementar la simplu, de la simplu la intermediar și de la intermediar la complex. Pe parcurs, te va aștepta și un nivel secret - tehnici și metode de rezolvare a exemplelor non-standard. Cei despre care nu citești cel mai mult manualele școlare... Ei bine, la sfârșit, desigur, șeful final te așteaptă sub formă de teme.)

Nivelul 0. Care este cea mai simplă ecuație exponențială? Rezolvarea ecuațiilor exponențiale simple.

În primul rând, să ne uităm la câteva lucruri elementare sincere. Trebuie să începi de undeva, nu? De exemplu, această ecuație:

2 x = 2 2

Chiar și fără teorii, după logica simplă și bunul simț Este clar că x = 2. Nu există altă cale, nu? Nicio altă semnificație a lui X nu este potrivită... Și acum să ne îndreptăm atenția asupra dosarul deciziei această ecuație exponențială grozavă:

2 x = 2 2

X = 2

Ce sa întâmplat cu noi? Și s-au întâmplat următoarele. De fapt l-am luat și... pur și simplu am aruncat aceleași baze (doi)! Complet aruncat afară. Și, vestea bună este că ne-am lovit de ochi de taur!

Da, într-adevăr, dacă într-o ecuație exponențială există stânga și dreapta identic numere în orice putere, atunci aceste numere pot fi aruncate și pur și simplu echivalează exponenții. Matematica permite.) Și apoi puteți lucra separat cu indicatorii și puteți rezolva o ecuație mult mai simplă. Grozav, nu?

Iată ideea cheie pentru rezolvarea oricărei ecuații exponențiale (da, exact oricare!): folosind transformări identice, este necesar să se asigure că părțile stânga și dreapta ale ecuației sunt identic numere de bază în diferite puteri. Și apoi puteți elimina în siguranță aceleași baze și echivalați exponenții. Și lucrați cu o ecuație mai simplă.

Acum să ne amintim de regula de fier: este posibil să se elimine baze identice dacă și numai dacă numerele din stânga și din dreapta ecuației au numere de bază într-o izolare splendidă.

Ce înseamnă, într-o izolare splendidă? Aceasta înseamnă fără vecini și coeficienți. Lasă-mă să explic.

De exemplu, în Eq.

3 3 x-5 = 3 2 x +1

Trei nu pot fi eliminate! De ce? Pentru că în stânga nu avem doar un singur trei la grad, dar lucru 3·3 x-5. În plus, trei interferează: coeficientul, înțelegi.)

Același lucru se poate spune despre ecuație

5 3 x = 5 2 x +5 x

Și aici, toate bazele sunt aceleași - cinci. Dar în dreapta nu avem o singură putere de cinci: există o sumă de puteri!

Pe scurt, avem dreptul de a elimina baze identice numai atunci când ecuația noastră exponențială arată așa și numai așa:

of (x) = a g (x)

Acest tip de ecuație exponențială se numește cel mai simplu. Sau, științific, canonic . Și indiferent de ce ecuație întortocheată avem în fața noastră, o vom reduce, într-un fel sau altul, tocmai la această formă (canonică) cea mai simplă. Sau, în unele cazuri, să totalitate ecuatii de acest tip. Atunci cea mai simplă ecuație a noastră poate fi rescrisă în formă generală astfel:

F(x) = g(x)

Asta e tot. Aceasta ar fi o conversie echivalentă. În acest caz, f(x) și g(x) pot fi absolut orice expresii cu un x. Tot ceea ce.

Poate că un student deosebit de curios se va întreba: de ce naiba aruncăm atât de ușor și pur și simplu aceleași baze din stânga și din dreapta și echivalăm exponenții? Intuiția este intuiție, dar ce se întâmplă dacă, într-o ecuație și dintr-un motiv oarecare, această abordare se dovedește a fi incorectă? Este întotdeauna legal să arunci aceleași motive? Din păcate, pentru un răspuns matematic riguros la aceasta intrebare interesanta trebuie să te scufunzi destul de adânc și serios în teorie generală comportamentul dispozitivului și al funcției. Și puțin mai specific - în fenomen monotonie strictă.În special, monotonie strictă functie exponentialay= un x. Deoarece funcția exponențială și proprietățile ei sunt cele care stau la baza soluției ecuațiilor exponențiale, da.) Un răspuns detaliat la această întrebare va fi dat într-o lecție specială separată dedicată rezolvării ecuațiilor complexe non-standard folosind monotonitatea diferitelor funcții.)

Explicarea acestui punct în detaliu acum nu ar face decât să sufle mințile școlarului obișnuit și să-l sperie din timp cu o teorie seacă și grea. nu voi face asta.) Deoarece principalul nostru în acest moment sarcina - invata sa rezolvi ecuatii exponentiale! Cele mai simple! Prin urmare, să nu ne facem încă griji și să aruncăm cu îndrăzneală aceleași motive. Acest Can, credeți-mă pe cuvânt!) Și apoi rezolvăm ecuația echivalentă f(x) = g(x). De regulă, mai simplu decât exponențialul original.

Se presupune, desigur, că în momentul de față oamenii știu deja să rezolve cel puțin , și ecuații, fără x-uri în exponenți.) Pentru cei care încă nu știu cum, nu ezitați să închideți această pagină, urmați linkurile relevante. și completați vechile goluri. Altfel o sa va fie greu, da...

Nu vorbesc despre ecuații iraționale, trigonometrice și alte ecuații brutale care pot apărea și în procesul de eliminare a fundațiilor. Dar nu vă alarmați, nu vom lua în considerare cruzimea totală în termeni de grade deocamdată: este prea devreme. Ne vom antrena doar pe cele mai simple ecuații.)

Acum să ne uităm la ecuațiile care necesită un efort suplimentar pentru a le reduce la cele mai simple. De dragul distincției, să le numim ecuații exponențiale simple. Deci, să trecem la următorul nivel!

Nivelul 1. Ecuații exponențiale simple. Să recunoaștem gradele! Indicatori naturali.

Regulile cheie în rezolvarea oricăror ecuații exponențiale sunt reguli de abordare a diplomelor. Fără aceste cunoștințe și abilități nimic nu va funcționa. Vai. Deci, dacă există probleme cu diplomele, atunci mai întâi ești binevenit. În plus, vom avea nevoie și de . Aceste transformări (două dintre ele!) stau la baza rezolvării tuturor ecuațiilor matematice în general. Și nu numai demonstrative. Deci, cine a uitat, aruncați o privire și pe link: nu le pun doar acolo.

Dar numai operațiunile cu puteri și transformări de identitate nu sunt suficiente. De asemenea, sunt necesare observație personală și ingeniozitate. Avem nevoie de aceleași motive, nu-i așa? Așa că examinăm exemplul și le căutăm într-o formă explicită sau deghizată!

De exemplu, această ecuație:

3 2 x – 27 x +2 = 0

Prima privire la temeiuri. Sunt... diferiti! Trei și douăzeci și șapte. Dar este prea devreme pentru a intra în panică și a dispera. Este timpul să ne amintim asta

27 = 3 3

Numerele 3 și 27 sunt rude după grad! Și cei apropiați.) Prin urmare, avem tot dreptul să scriem:

27 x +2 = (3 3) x+2

Acum să ne conectăm cunoștințele despre acţiuni cu grade(si te-am avertizat!). Există o formulă foarte utilă acolo:

(a m) n = a mn

Dacă îl puneți acum în acțiune, funcționează grozav:

27 x +2 = (3 3) x+2 = 3 3(x +2)

Exemplul original arată acum astfel:

3 2 x – 3 3(x +2) = 0

Grozav, bazele gradelor s-au nivelat. Asta ne-am dorit. Jumătate din bătălie este încheiată.) Și acum lansăm transformarea de bază a identității - mutați 3 3(x +2) la dreapta. Nimeni nu a anulat operațiile elementare ale matematicii, da.) Obținem:

3 2 x = 3 3(x +2)

Ce ne oferă acest tip de ecuație? Și faptul că acum ecuația noastră este redusă la forma canonică: în stânga și în dreapta sunt aceleași numere (trei) în puteri. Mai mult, ambii trei sunt într-o izolare splendidă. Simțiți-vă liber să eliminați triplele și să obțineți:

2x = 3(x+2)

Rezolvăm asta și obținem:

X = -6

Asta este. Acesta este răspunsul corect.)

Acum să ne gândim la soluție. Ce ne-a salvat în acest exemplu? Cunoașterea puterilor celor trei ne-a salvat. Cum anume? Noi identificate numărul 27 conține un trei criptat! Acest truc (codificarea aceleiași baze sub numere diferite) este unul dintre cele mai populare în ecuațiile exponențiale! Doar dacă nu este cel mai popular. Da, și în același mod, de altfel. Acesta este motivul pentru care observația și capacitatea de a recunoaște puterile altor numere în numere sunt atât de importante în ecuațiile exponențiale!

Sfaturi practice:

Trebuie să cunoașteți puterile numerelor populare. In fata!

Desigur, oricine poate ridica doi la puterea a șaptea sau trei la puterea a cincea. Nu în mintea mea, dar cel puțin într-o schiță. Dar în ecuațiile exponențiale, mult mai des nu este necesar să ridici la o putere, ci, dimpotrivă, să aflăm ce număr și la ce putere se ascunde în spatele numărului, să zicem, 128 sau 243. Și acest lucru este mai complicat. decât o simplă creștere, vei fi de acord. Simțiți diferența, așa cum se spune!

Deoarece capacitatea de a recunoaște diplomele în persoană va fi utilă nu numai la acest nivel, ci și la următoarele, iată o mică sarcină pentru tine:

Stabiliți ce puteri și ce numere sunt numerele:

4; 8; 16; 27; 32; 36; 49; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729; 1024.

Răspunsuri (aleatoriu, desigur):

27 2 ; 2 10 ; 3 6 ; 7 2 ; 2 6 ; 9 2 ; 3 4 ; 4 3 ; 10 2 ; 2 5 ; 3 5 ; 7 3 ; 16 2 ; 2 7 ; 5 3 ; 2 8 ; 6 2 ; 3 3 ; 2 9 ; 2 4 ; 2 2 ; 4 5 ; 25 2 ; 4 4 ; 6 3 ; 8 2 ; 9 3 .

Da, da! Nu fi surprins că există mai multe răspunsuri decât sarcini. De exemplu, 2 8, 4 4 și 16 2 sunt toate 256.

Nivelul 2. Ecuații exponențiale simple. Să recunoaștem gradele! Indicatori negativi și fracționari.

La acest nivel ne folosim deja la maximum cunoștințele despre grade. Și anume, implicăm indicatori negativi și fracționali în acest proces fascinant! Da, da! Trebuie să ne creștem puterea, nu?

De exemplu, această ecuație teribilă:

Din nou, prima privire este asupra fundațiilor. Motivele sunt diferite! Și de data asta nici pe departe prieten asemanator pe un prieten! 5 și 0,04... Și pentru a elimina bazele, sunt necesare aceleași... Ce să faci?

E bine! De fapt, totul este la fel, doar că legătura dintre cele cinci și 0,04 este puțin vizibilă vizual. Cum putem ieși? Să trecem la numărul 0,04 la fracție comună! Și apoi, vezi tu, totul se va rezolva.)

0,04 = 4/100 = 1/25

Wow! Se pare că 0,04 este 1/25! Ei bine, cine ar fi crezut!)

Deci cum? Acum este mai ușor să vezi legătura dintre numerele 5 și 1/25? Asta este...

Și acum după regulile de acțiuni cu grade cu indicator negativ Puteți scrie cu o mână fermă:

Grozav. Așa că am ajuns la aceeași bază - cinci. Acum înlocuim numărul incomod 0,04 din ecuație cu 5 -2 și obținem:

Din nou, conform regulilor de operații cu grade, acum putem scrie:

(5 -2) x -1 = 5 -2(x -1)

Pentru orice eventualitate, vă reamintesc (în cazul în care cineva nu știe) că regulile de bază pentru tratarea diplomelor sunt valabile pentru orice indicatori! Inclusiv pentru cele negative.) Deci, nu ezitați să luați și să înmulțiți indicatorii (-2) și (x-1) conform regulii corespunzătoare. Ecuația noastră devine din ce în ce mai bună:

Toate! În afară de cei cinci singuri, nu există nimic altceva în puterile din stânga și din dreapta. Ecuația este redusă la formă canonică. Și apoi - de-a lungul pistei moletate. Înlăturăm cincisele și echivalăm indicatorii:

x 2 –6 x+5=-2(x-1)

Exemplul este aproape rezolvat. Tot ce a mai rămas este matematica de gimnaziu - deschideți (corect!) parantezele și colectați tot ce este din stânga:

x 2 –6 x+5 = -2 x+2

x 2 –4 x+3 = 0

Rezolvăm asta și obținem două rădăcini:

x 1 = 1; x 2 = 3

Asta e tot.)

Acum să ne gândim din nou. În acest exemplu, a trebuit din nou să recunoaștem același număr în grade diferite! Și anume, pentru a vedea un cinci criptat în numărul 0.04. Și de data asta - în grad negativ! Cum am făcut asta? Imediat, în niciun caz. Dar după trecerea de la zecimal 0,04 la fracția comună 1/25 și atât! Și apoi întreaga decizie a mers ca un ceas.)

Prin urmare, un alt sfat practic verde.

Dacă o ecuație exponențială conține fracții zecimale, atunci trecem de la fracții zecimale la fracții obișnuite. ÎN fracții obișnuite Este mult mai ușor să recunoști puterile multor numere populare! După recunoaștere, trecem de la fracții la puteri cu exponenți negativi.

Rețineți că acest truc apare foarte, foarte des în ecuațiile exponențiale! Dar persoana nu este în subiect. Se uită, de exemplu, la numerele 32 și 0,125 și se supără. Fără să știe el, acesta este unul și același doi, doar în grade diferite... Dar ești deja în știință!)

Rezolvați ecuația:

În! Pare o groază liniștită... Cu toate acestea, aparențele sunt înșelătoare. Aceasta este cea mai simplă ecuație exponențială, în ciuda aspectului său intimidant. Și acum ți-o voi arăta.)

Mai întâi, să ne uităm la toate numerele din baze și coeficienți. Sunt, desigur, diferiți, da. Dar totuși ne vom asuma un risc și vom încerca să le facem identic! Să încercăm să ajungem la același număr în puteri diferite. Mai mult decât atât, de preferință, cifrele sunt cât mai mici. Deci, să începem decodarea!

Ei bine, cu cele patru totul este imediat clar - este 2 2. Bine, asta e deja ceva.)

Cu o fracțiune de 0,25 - încă nu este clar. Trebuie verificat. Să folosim sfaturi practice - treceți de la o fracție zecimală la o fracție obișnuită:

0,25 = 25/100 = 1/4

Deja mult mai bine. Pentru că acum este clar că 1/4 este 2 -2. Grozav, iar numărul 0,25 este, de asemenea, asemănător cu doi.)

Până acum, bine. Dar cel mai rău număr dintre toate rămâne - rădăcină pătrată a doi! Ce să faci cu acest ardei? Poate fi reprezentată și ca o putere a doi? Si cine stie...

Ei bine, să ne aruncăm din nou în tezaurul nostru de cunoștințe despre diplome! De data aceasta, ne conectăm în plus cunoștințele despre rădăcini. De la cursul de clasa a IX-a, tu și cu mine ar fi trebuit să învățăm că orice rădăcină, dacă se dorește, poate fi întotdeauna transformată într-un grad cu un indicator fracţional.

Ca aceasta:

In cazul nostru:

Wow! Se pare că rădăcina pătrată a lui doi este 2 1/2. Asta este!

Grozav! Toate numerele noastre incomode s-au dovedit de fapt a fi două criptate.) Nu mă cert, undeva criptate foarte sofisticat. Dar ne îmbunătățim și profesionalismul în rezolvarea unor astfel de cifruri! Și atunci totul este deja evident. În ecuația noastră înlocuim numerele 4, 0,25 și rădăcina lui doi cu puteri a lui doi:

Toate! Bazele tuturor gradelor din exemplu au devenit aceleași - două. Și acum sunt folosite acțiuni standard cu grade:

a mun n = a m + n

a m:a n = a m-n

(a m) n = a mn

Pentru partea stângă obțineți:

2 -2 ·(2 2) 5 x -16 = 2 -2+2(5 x -16)

Pentru partea dreaptă va fi:

Și acum ecuația noastră rea arată astfel:

Pentru cei care nu și-au dat seama exact cum a apărut această ecuație, atunci întrebarea de aici nu este despre ecuațiile exponențiale. Întrebarea este despre acțiuni cu grade. V-am rugat sa o repetati urgent celor care au probleme!

Iată linia de sosire! Primit vedere canonică ecuație exponențială! Deci cum? Te-am convins că nu totul este atât de înfricoșător? ;) Îndepărtăm cei doi și echivalăm indicatorii:

Tot ce rămâne este să rezolvi această ecuație liniară. Cum? Cu ajutorul transformărilor identice, desigur.) Decideți ce se întâmplă! Înmulțiți ambele părți cu două (pentru a elimina fracția 3/2), mutați termenii cu X la stânga, fără X la dreapta, aduceți-i pe alții asemănători, numărați - și veți fi fericit!

Totul ar trebui să iasă frumos:

X=4

Acum să ne gândim din nou la soluție. În acest exemplu, am fost ajutați de trecerea de la rădăcină pătrată La grad cu exponent 1/2. Mai mult decât atât, doar o astfel de vicleană transformare ne-a ajutat să ajungem la aceeași bază (două) peste tot, ceea ce a salvat situația! Și, dacă nu ar fi, atunci am avea toate șansele să înghețăm pentru totdeauna și să nu ne descurcăm niciodată cu acest exemplu, da...

Prin urmare, nu neglijăm următorul sfat practic:

Dacă o ecuație exponențială conține rădăcini, atunci trecem de la rădăcini la puteri cu exponenți fracționari. De foarte multe ori, doar o astfel de transformare clarifică situația ulterioară.

Desigur, puterile negative și fracționale sunt deja mult mai complexe decât puterile naturale. Cel puțin din punct de vedere al percepției vizuale și, mai ales, al recunoașterii de la dreapta la stânga!

Este clar că ridicarea directă, de exemplu, a doi la puterea -3 sau a patru la puterea -3/2 nu este așa. mare problema. Pentru cei care cunosc.)

Dar du-te, de exemplu, realizează imediat asta

0,125 = 2 -3

Sau

Aici, doar practica și experiența bogată domnesc, da. Și, desigur, o idee clară, Ce este un grad negativ și fracționar?Și de asemenea - sfaturi practice! Da, da, aceleași verde.) Sper că vă vor ajuta în continuare să navigați mai bine în întreaga varietate de grade și să vă sporească semnificativ șansele de succes! Deci să nu le neglijăm. nu sunt degeaba verde scriu uneori.)

Dar dacă ajungeți să vă cunoașteți chiar și cu puteri atât de exotice precum cele negative și fracționale, atunci capacitățile voastre de a rezolva ecuații exponențiale se vor extinde enorm și veți putea gestiona aproape orice tip de ecuații exponențiale. Ei bine, dacă nu oricare, atunci 80 la sută din toate ecuațiile exponențiale - cu siguranță! Da, da, nu glumesc!

Deci, prima noastră parte a introducerii noastre în ecuațiile exponențiale a ajuns la concluzia sa logică. Și, ca antrenament intermediar, sugerez în mod tradițional să faceți puțină auto-reflecție.)

Sarcina 1.

Pentru ca cuvintele mele despre descifrarea puterilor negative și fracționale să nu fie în zadar, îmi propun să joc un mic joc!

Exprimă numere ca puteri a doi:

Răspunsuri (în dezordine):

A funcționat? Mare! Apoi facem o misiune de luptă - rezolvă cele mai simple și mai simple ecuații exponențiale!

Sarcina 2.

Rezolvați ecuațiile (toate răspunsurile sunt o mizerie!):

5 2x-8 = 25

2 5x-4 – 16 x+3 = 0

Raspunsuri:

x = 16

x 1 = -1; x 2 = 2

x = 5

A funcționat? Într-adevăr, este mult mai simplu!

Apoi rezolvăm următorul joc:

(2 x +4) x -3 = 0,5 x 4 x -4

35 1-x = 0,2 - x ·7 x

Raspunsuri:

x 1 = -2; x 2 = 2

x = 0,5

x 1 = 3; x 2 = 5

Și aceste exemple au rămas unul? Mare! Crești! Apoi, iată câteva exemple pe care să le gustați:

Raspunsuri:

x = 6

x = 13/31

x = -0,75

x 1 = 1; x 2 = 8/3

Și asta se hotărăște? Ei bine, respect! îmi scot pălăria.) Deci, lecția nu a fost în zadar și nivel de intrare rezolvarea ecuațiilor exponențiale poate fi considerată stăpânită cu succes. inainte - nivelurile următoare si mai mult ecuații complexe! Și noi tehnici și abordări. Și exemple non-standard. Și noi surprize.) Toate acestea sunt în lecția următoare!

A mers ceva prost? Aceasta înseamnă că cel mai probabil problemele sunt în . Sau în . Sau ambele deodată. Sunt neputincios aici. pot intra încă o dată Pot doar să sugerez un singur lucru - nu fi leneș și urmărește linkurile.)

De continuat.)

Accesați canalul de youtube al site-ului nostru pentru a fi la curent cu toate noile lecții video.

În primul rând, să ne amintim formulele de bază ale puterilor și proprietățile lor.

Produsul unui număr o apare pe sine de n ori, putem scrie această expresie ca a a … a=a n

1. a 0 = 1 (a ≠ 0)

3. a n a m = a n + m

4. (a n) m = a nm

5. a n b n = (ab) n

7. a n / a m = a n - m

Putere sau ecuații exponențiale– sunt ecuații în care variabilele sunt în puteri (sau exponenți), iar baza este un număr.

Exemple de ecuații exponențiale:

În acest exemplu, numărul 6 este baza este întotdeauna în partea de jos, iar variabila x grad sau indicator.

Să dăm mai multe exemple de ecuații exponențiale.
2 x *5=10
16 x - 4 x - 6=0

Acum să vedem cum se rezolvă ecuațiile exponențiale?

Să luăm o ecuație simplă:

2 x = 2 3

Acest exemplu poate fi rezolvat chiar și în capul tău. Se poate observa că x=3. La urma urmei, pentru ca părțile din stânga și din dreapta să fie egale, trebuie să puneți numărul 3 în loc de x.
Acum să vedem cum să oficializăm această decizie:

2 x = 2 3
x = 3

Pentru a rezolva o astfel de ecuație, am eliminat temeiuri identice(adică doi) și a notat ce a mai rămas, acestea sunt grade. Am primit răspunsul pe care îl căutam.

Acum să rezumam decizia noastră.

Algoritm pentru rezolvarea ecuației exponențiale:
1. Trebuie verificat identic dacă ecuația are baze la dreapta și la stânga. Dacă motivele nu sunt aceleași, căutăm opțiuni pentru a rezolva acest exemplu.
2. După ce bazele devin aceleași, echivala grade și rezolvați noua ecuație rezultată.

Acum să ne uităm la câteva exemple:

Să începem cu ceva simplu.

Bazele din stânga și din dreapta sunt egale cu numărul 2, ceea ce înseamnă că putem să renunțăm la baza și să le echivalăm puterile.

x+2=4 Se obţine cea mai simplă ecuaţie.
x=4 – 2
x=2
Răspuns: x=2

În exemplul următor puteți vedea că bazele sunt diferite: 3 și 9.

3 3x - 9 x+8 = 0

Mai întâi, mutați cele nouă în partea dreaptă, obținem:

Acum trebuie să faci aceleași baze. Știm că 9=3 2. Să folosim formula puterii (a n) m = a nm.

3 3x = (3 2) x+8

Se obține 9 x+8 =(3 2) x+8 =3 2x+16

3 3x = 3 2x+16 acum puteți vedea că în stânga și partea dreaptă bazele sunt aceleași și egale cu trei, ceea ce înseamnă că le putem elimina și echivala gradele.

3x=2x+16 obținem cea mai simplă ecuație
3x - 2x=16
x=16
Răspuns: x=16.

Să ne uităm la următorul exemplu:

2 2x+4 - 10 4 x = 2 4

În primul rând, ne uităm la bazele, bazele două și patru. Și avem nevoie să fie la fel. Transformăm cele patru folosind formula (a n) m = a nm.

4 x = (2 2) x = 2 2x

Și folosim, de asemenea, o formulă a n a m = a n + m:

2 2x+4 = 2 2x 2 4

Adăugați la ecuație:

2 2x 2 4 - 10 2 2x = 24

Am dat un exemplu din aceleași motive. Dar alte numere 10 și 24 ne deranjează Ce să facem cu ele? Dacă te uiți cu atenție, poți vedea că în partea stângă avem 2 2x repetate, iată răspunsul - putem pune 2 2x din paranteze:

2 2x (2 4 - 10) = 24

Să calculăm expresia dintre paranteze:

2 4 — 10 = 16 — 10 = 6

Împărțim întreaga ecuație la 6:

Să ne imaginăm 4=2 2:

2 2x = 2 2 baze sunt aceleași, le aruncăm și echivalăm gradele.
2x = 2 este cea mai simplă ecuație. Împărțiți-l la 2 și obținem
x = 1
Răspuns: x = 1.

Să rezolvăm ecuația:

9 x – 12*3 x +27= 0

Să convertim:
9 x = (3 2) x = 3 2x

Obținem ecuația:
3 2x - 12 3 x +27 = 0

Bazele noastre sunt aceleași, egale cu trei În acest exemplu, puteți vedea că primele trei au un grad de două ori (2x) decât al doilea (doar x). În acest caz, puteți rezolva metoda de înlocuire. Înlocuim numărul cu cel mai mic grad:

Atunci 3 2x = (3 x) 2 = t 2

Înlocuim toate puterile x din ecuație cu t:

t 2 - 12t+27 = 0
Obținem o ecuație pătratică. Rezolvând prin discriminant, obținem:
D=144-108=36
t 1 = 9
t2 = 3

Revenind la variabilă x.

Luați t 1:
t 1 = 9 = 3 x

Prin urmare,

3 x = 9
3 x = 3 2
x 1 = 2

S-a găsit o rădăcină. Îl căutăm pe al doilea din t 2:
t 2 = 3 = 3 x
3 x = 3 1
x 2 = 1
Răspuns: x 1 = 2; x 2 = 1.

Pe site poti adresa orice intrebari ai putea avea in sectiunea AJUTA LA DECIZI, cu siguranta iti vom raspunde.

Alăturați-vă grupului

Ecuații exponențiale. După cum știți, examenul de stat unificat include ecuații simple. Am luat în considerare deja unele - acestea sunt logaritmice, trigonometrice, raționale. Iată ecuațiile exponențiale.

Într-un articol recent am lucrat cu expresii exponențiale, va fi util. Ecuațiile în sine sunt rezolvate simplu și rapid. Trebuie doar să știi proprietățile exponenților și... Despre astamai departe.

Să enumerăm proprietățile exponenților:

Puterea zero a oricărui număr este egală cu unu.

Un corolar al acestei proprietăți:

Mai multă teorie.

O ecuație exponențială este o ecuație care conține o variabilă în exponent, adică este o ecuație de forma:

f(x) expresie care conține o variabilă

Metode de rezolvare a ecuațiilor exponențiale

1. Ca rezultat al transformărilor, ecuația poate fi redusă la forma:

Apoi aplicăm proprietatea:

2. La obţinerea unei ecuaţii de formă a f (x) = b folosind definiția logaritmului, obținem:

3. Ca rezultat al transformărilor, puteți obține o ecuație de forma:

Logaritmul aplicat:

Exprimați și găsiți x.

În sarcini Opțiuni pentru examenul de stat unificat Va fi suficient să folosiți prima metodă.

Adică, este necesar să reprezentăm părțile stânga și dreaptă sub formă de puteri cu aceeași bază, apoi egalăm exponenții și rezolvăm ecuația liniară obișnuită.

Luați în considerare ecuațiile:

Aflați rădăcina ecuației 4 1–2x = 64.

Este necesar să vă asigurați că părțile din stânga și din dreapta conțin expresii exponențiale cu aceeași bază. Putem reprezenta 64 ca 4 la puterea lui 3. Obținem:

4 1–2x = 4 3

1 – 2x = 3

– 2x = 2

x = – 1

Examinare:

4 1–2 (–1) = 64

4 1 + 2 = 64

4 3 = 64

64 = 64

Răspuns: -1

Găsiți rădăcina ecuației 3 x–18 = 1/9.

Se stie ca

Deci 3 x-18 = 3 -2

Bazele sunt egale, putem echivala indicatorii:

x – 18 = – 2

x = 16

Examinare:

3 16–18 = 1/9

3 –2 = 1/9

1/9 = 1/9

Raspuns: 16

Găsiți rădăcina ecuației:

Să reprezentăm fracția 1/64 ca un sfert la a treia putere:

2x – 19 = 3

2x = 22

x = 11

Examinare:

Raspuns: 11

Găsiți rădăcina ecuației:

Să ne imaginăm 1/3 ca 3 –1 și 9 ca 3 la pătrat, obținem:

(3 –1) 8–2x = 3 2

3 –1∙(8–2x) = 3 2

3 –8+2x = 3 2

Acum putem echivala indicatorii:

– 8+2x = 2

2x = 10

x = 5

Examinare:

Raspuns: 5

26654. Aflați rădăcina ecuației:

Soluţie:

Răspuns: 8,75

Într-adevăr, indiferent la ce putere ridicăm un număr pozitiv a, nu putem obține un număr negativ.

Orice ecuație exponențială după transformări adecvate se reduce la rezolvarea uneia sau mai multor ecuații simple.În această secțiune ne vom uita și la rezolvarea unor ecuații, nu o ratați!Asta e tot. Mult succes pentru tine!

Cu stimă, Alexander Krutitskikh.

P.S: V-as fi recunoscator daca mi-ati spune despre site pe retelele de socializare.