Cum să găsiți un unghi înscris susținut. Cerc. Unghi central și înscris

Acasă

În acest articol vă voi spune cum să rezolvați problemele care folosesc .

1.Mai întâi, ca de obicei, să ne amintim definițiile și teoremele pe care trebuie să le cunoașteți pentru a rezolva cu succes probleme în . Unghiul înscris

2.este un unghi al cărui vârf se află pe un cerc și ale cărui laturi intersectează cercul: Unghiul central

este unghiul al cărui vârf coincide cu centrul cercului: Valoarea gradului unui arc de cerc

măsurată prin mărimea unghiului central care se sprijină pe el.

În acest caz, valoarea gradului arcului AC este egală cu valoarea unghiului AOS. 3. Dacă este introdus și unghiul central odihnește-te pe un arc, atunci:

4. unghiul înscris este jumătate din dimensiunea unghiului central

5. Toate unghiurile înscrise care se sprijină pe un arc sunt egale între ele:

Unghiul înscris subtinut de diametru este de 90°:

Să rezolvăm mai multe probleme.

1. Sarcina B7 (nr. 27887)

Să găsim valoarea unghiului central care se sprijină pe același arc:

Evident, unghiul AOC este de 90°, prin urmare unghiul ABC este de 45°

Răspuns: 45°

2. Sarcina B7 (Nr. 27888)

Aflați dimensiunea unghiului ABC. Dați răspunsul în grade.

Evident, unghiul AOC este de 270°, apoi unghiul ABC este de 135°.

Răspuns: 135°

3. Sarcina B7 (nr. 27890)

Aflați valoarea gradului a arcului AC al cercului subîntins de unghiul ABC. Dați răspunsul în grade.

Să găsim valoarea unghiului central care se sprijină pe arcul AC:

Mărimea unghiului AOS este de 45°, prin urmare, măsura gradului de arc AC este de 45°.

Răspuns: 45°.

4. Sarcina B7 (nr. 27885)

Aflați unghiul ACB dacă unghiurile înscrise ADB și DAE se sprijină pe arce circulare ale căror valori ale gradelor sunt egale cu și respectiv. Dați răspunsul în grade.

Unghiul ADB se sprijină pe arcul AB, prin urmare, valoarea unghiului central AOB este egală cu 118°, prin urmare, unghiul BDA este egal cu 59°, iar unghiul adiacent ADC este egal cu 180°-59° = 121°

În mod similar, unghiul DOE este de 38° și unghiul înscris corespunzător DAE este de 19°.

Luați în considerare triunghiul ADC:

Suma unghiurilor unui triunghi este 180°.

Unghiul ACB este egal cu 180°- (121°+19°)=40°

Răspuns: 40°

5. Sarcina B7 (nr. 27872)

Unghiul B se sprijină pe arcul ADC, a cărui valoare este egală cu suma valorilor arcelor AD și CD, adică 71°+145°=216°

Unghiul înscris B este egal cu jumătate din mărimea arcului ADC, adică 108°

Răspuns: 108°

6. Sarcina B7 (nr. 27873)

Punctele A, B, C, D, situate pe un cerc, împart acest cerc în patru arce AB, BC, CD și AD, ale căror valori sunt în raportul respectiv 4:2:3:6. Aflați unghiul A al patrulaterului ABCD. Dați răspunsul în grade.

(vezi desenul sarcinii anterioare)

Deoarece am dat raportul mărimilor arcelor, introducem elementul unitar x. Apoi mărimea fiecărui arc va fi exprimată prin următorul raport:

AB=4x, BC=2x, CD=3x, AD=6x. Toate arcurile formează un cerc, adică suma lor este 360°.

4x+2x+3x+6x=360°, deci x=24°.

Unghiul A este susținut de arce BC și CD, care împreună au o valoare de 5x=120°.

Prin urmare, unghiul A este de 60°

Răspuns: 60°

7. Sarcina B7 (nr. 27874)

Patrulater ABCDînscris într-un cerc. Colţ ABC egal cu , unghi CAD

Unghiul ABC este un unghi înscris. Se sprijină pe arcul AC, închis între laturile sale (Fig. 330).

Teorema. Un unghi înscris se măsoară cu jumătatea arcului pe care se întinde.

Acest lucru trebuie înțeles astfel: un unghi înscris conține tot atâtea grade unghiulare, minute și secunde câte grade de arc, minute și secunde sunt conținute în jumătatea arcului pe care se sprijină.

La demonstrarea acestei teoreme trebuie luate în considerare trei cazuri.

Primul caz. Centrul cercului se află pe partea unghiului înscris (Fig. 331).

Fie ∠ABC un unghi înscris și centrul cercului O se află pe latura BC. Este necesar să se demonstreze că se măsoară cu jumătate de arc AC.

Să conectăm punctul A de centrul cercului. Obținem un \(\Delta\)AOB isoscel, în care AO = OB, ca razele aceluiași cerc. Prin urmare, ∠A = ∠B.

∠AOC este extern triunghiului AOB, deci ∠AOC = ∠A + ∠B, iar din moment ce unghiurile A și B sunt egale, atunci ∠B este 1/2 ∠AOC.

Dar ∠AOC este măsurat cu arcul AC, prin urmare ∠B este măsurat cu jumătate din arcul AC.

De exemplu, dacă \(\breve(AC)\) conține 60°18', atunci ∠B conține 30°9'.

Al doilea caz. Centrul cercului se află între laturile unghiului înscris (Fig. 332).

Fie ∠ABD un unghi înscris. Centrul cercului O se află între laturile sale. Trebuie să demonstrăm că ∠ABD se măsoară cu jumătate din arcul AD.

Pentru a demonstra acest lucru, să desenăm diametrul BC. Unghiul ABD este împărțit în două unghiuri: ∠1 și ∠2.

∠1 este măsurat cu o jumătate de arc AC și ∠2 este măsurat cu o jumătate de arc CD, prin urmare, întregul ∠ABD este măsurat cu 1 / 2 \(\breve(AC)\) + 1 / 2 \(\breve (CD)\), adică jumătate de arc AD.

De exemplu, dacă \(\breve(AD)\) conține 124°, atunci ∠B conține 62°.

Al treilea caz. Centrul cercului se află în afara unghiului înscris (Fig. 333).

Fie ∠MAD un unghi înscris. Centrul cercului O este în afara colțului. Trebuie să demonstrăm că ∠MAD se măsoară cu jumătate din arcul MD.

Pentru a demonstra acest lucru, să desenăm diametrul AB. ∠MAD = ∠MAB - ∠DAB. Dar ∠MAB măsoară 1 / 2 \(\breve(MB)\), iar ∠DAB măsoară 1 / 2 \(\breve(DB)\).

Prin urmare, ∠MAD măsoară 1 / 2 (\(\breve(MB) - \breve(DB))\), adică 1 / 2 \(\breve(MD)\).

De exemplu, dacă \(\breve(MD)\) conține 48° 38", atunci ∠MAD conține 24° 19' 8".

Consecințele
1. Toate unghiurile înscrise care subtind același arc sunt egale între ele, deoarece sunt măsurate cu jumătate din același arc (Fig. 334, a).

2. Un unghi înscris sub întinderea unui diametru este un unghi drept, deoarece întinde o jumătate de cerc. O jumătate de cerc conține 180 de grade de arc, ceea ce înseamnă că unghiul bazat pe diametru conține 90 de grade de arc (Fig. 334, b).

Instrucţiuni

Dacă se cunosc raza (R) a cercului și lungimea arcului (L) corespunzătoare unghiului central dorit (θ), aceasta poate fi calculată atât în ​​grade, cât și în radiani. Totalul este determinat de formula 2*π*R și corespunde unui unghi central de 360° sau două numere Pi, dacă se folosesc radiani în loc de grade. Prin urmare, pornește de la proporția 2*π*R/L = 360°/θ = 2*π/θ. Exprimați din acesta unghiul central în radiani θ = 2*π/(2*π*R/L) = L/R sau grade θ = 360°/(2*π*R/L) = 180*L/(π * R) și calculați folosind formula rezultată.

Pe baza lungimii coardei (m) care leagă punctele care determină unghiul central (θ), valoarea acesteia poate fi calculată și dacă se cunoaște raza (R) a cercului. Pentru a face acest lucru, luați în considerare un triunghi format din două raze și . Acesta este un triunghi isoscel, toată lumea este cunoscută, dar trebuie să găsiți unghiul opus bazei. Sinusul jumătății sale este egal cu raportul dintre lungimea bazei - coarda - și de două ori lungimea laturii - raza. Prin urmare, utilizați funcția sinus invers pentru calcule - arcsinus: θ = 2*arcsin(½*m/R).

Unghiul central poate fi specificat în fracțiuni de rotație sau dintr-un unghi rotit. De exemplu, dacă trebuie să găsiți unghiul central corespunzător unui sfert de rotație completă, împărțiți 360° la patru: θ = 360°/4 = 90°. Aceeași valoare în radiani ar trebui să fie 2*π/4 ≈ 3,14/2 ≈ 1,57. Unghiul desfășurat este egal cu jumătate de rotație completă, prin urmare, de exemplu, unghiul central corespunzător unui sfert din acesta va fi jumătate din valorile calculate mai sus atât în ​​grade, cât și în radiani.

Inversa sinusului se numește funcție trigonometrică arcsinus. Poate lua valori în jumătate din Pi, atât pozitive, cât și negative atunci când sunt măsurate în radiani. Când sunt măsurate în grade, aceste valori vor fi, respectiv, în intervalul de la -90° la +90°.

Instrucţiuni

Unele valori „rotunde” nu trebuie calculate, sunt mai ușor de reținut. De exemplu: - dacă argumentul funcției este zero, atunci arcsinusul acestuia este și zero - de 1/2 este egal cu 30° sau 1/6 Pi, dacă este măsurat - arcsinus de -1/2 este -30°; sau -1/ 6 din numărul Pi in - arcsinusul lui 1 este egal cu 90° sau 1/2 din numărul Pi în radiani - arcsinusul lui -1 este egal cu -90° sau -1/2; numărul Pi în radiani;

Pentru a măsura valorile acestei funcții din alte argumente, cel mai simplu mod este să utilizați un calculator standard Windows, dacă aveți unul la îndemână. Pentru a începe, deschideți meniul principal pe butonul „Start” (sau apăsând tasta WIN), accesați secțiunea „Toate programele”, apoi la subsecțiunea „Accesorii” și faceți clic pe „Calculator”.

Comutați interfața calculatorului în modul de operare care vă permite să calculați funcții trigonometrice. Pentru a face acest lucru, deschideți secțiunea „Vizualizare” din meniul acesteia și selectați „Inginerie” sau „Științific” (în funcție de tipul de sistem de operare).

Introduceți valoarea argumentului din care ar trebui calculată arctangente. Acest lucru se poate face făcând clic pe butoanele de pe interfața calculatorului cu mouse-ul, sau prin apăsarea tastelor de pe , sau prin copierea valorii (CTRL + C) și apoi lipirea acesteia (CTRL + V) în câmpul de introducere al calculatorului.

Selectați unitățile de măsură în care trebuie să obțineți rezultatul calculului funcției. Sub câmpul de introducere există trei opțiuni, dintre care trebuie să selectați (făcând clic pe el cu mouse-ul) una - , radiani sau rads.

Bifați caseta de selectare care inversează funcțiile indicate pe butoanele interfeței calculatorului. Alături se află o scurtă inscripție Inv.

Faceți clic pe butonul păcat. Calculatorul va inversa funcția asociată acestuia, va efectua calculul și vă va prezenta rezultatul în unitățile specificate.

Video pe tema

Una dintre problemele geometrice comune este calcularea ariei unui segment circular - partea cercului delimitată de o coardă și coarda corespunzătoare de un arc de cerc.

Aria unui segment circular este egală cu diferența dintre aria corespondentei sector circularși aria triunghiului formată din razele sectorului corespunzătoare segmentului și coardei care limitează segmentul.

Exemplul 1

Lungimea coardei care subtinde cercul este egală cu valoarea a. Gradul de măsurare a arcului corespunzător coardei este de 60°. Găsiți aria segmentului circular.

Soluţie

Un triunghi format din două raze și o coardă este isoscel, deci altitudinea trasă de la vârful unghiului central spre latura triunghiului format de coardă va fi și bisectoarea unghiului central, împărțindu-l la jumătate, iar mediană, împărțind coarda în jumătate. Știind că sinusul unghiului este egal cu raportul catetului opus față de ipotenuză, putem calcula raza:

Sin 30°= a/2:R = 1/2;

Sc = πR²/360°*60° = πa²/6

Aria triunghiului corespunzătoare sectorului se calculează după cum urmează:

S▲=1/2*ah, unde h este înălțimea trasă de la vârful unghiului central la coardă. Conform teoremei lui Pitagora h=√(R²-a²/4)= √3*a/2.

În consecință, S▲=√3/4*a².

Aria segmentului, calculată ca Sreg = Sc - S▲, este egală cu:

Sreg = πa²/6 - √3/4*a²

Prin înlocuirea unei valori numerice cu valoarea lui a, puteți calcula cu ușurință valoarea numerică a zonei segmentului.

Exemplul 2

Raza cercului este egală cu a. Gradul de măsurare a arcului corespunzător segmentului este de 60°. Găsiți aria segmentului circular.

Soluţie:

Suprafața sectorului corespunzătoare unghi dat poate fi calculat folosind următoarea formulă:

Nivel intermediar

Cercul și unghiul înscris. Ghid vizual (2019)

Termeni de bază.

Cât de bine îți amintești toate numele asociate cercului? Pentru orice eventualitate, permiteți-ne să vă reamintim - uitați-vă la imagini - reîmprospătați-vă cunoștințele.

Ei bine, în primul rând - Centrul unui cerc este un punct de la care distanțele față de toate punctele cercului sunt aceleași.

În al doilea rând - rază - un segment de dreaptă care leagă centrul și un punct de pe cerc.

Sunt foarte multe raze (atâte câte puncte sunt pe cerc), dar Toate razele au aceeași lungime.

Uneori pe scurt rază ei o numesc exact lungimea segmentului„centrul este un punct pe cerc”, și nu segmentul în sine.

Și iată ce se întâmplă dacă legați două puncte pe un cerc? De asemenea, un segment?

Deci, acest segment se numește "coardă".

La fel ca și în cazul razei, diametrul este adesea lungimea unui segment care leagă două puncte dintr-un cerc și care trece prin centru. Apropo, cum sunt legate diametrul și raza? Privește cu atenție. Desigur raza este egală cu jumătate din diametru.

Pe lângă acorduri, există și secante.

Îți amintești cel mai simplu lucru?

Unghiul central este unghiul dintre două raze.

Și acum - unghiul înscris

Unghiul înscris - unghiul dintre două coarde care se intersectează într-un punct al unui cerc.

În acest caz, ei spun că unghiul înscris se sprijină pe un arc (sau pe o coardă).

Uită-te la poză:

Măsurătorile arcurilor și unghiurilor.

Circumferinţă. Arcurile și unghiurile sunt măsurate în grade și radiani. În primul rând, despre grade. Nu există probleme pentru unghiuri - trebuie să învățați cum să măsurați arcul în grade.

Măsura gradului (dimensiunea arcului) este valoarea (în grade) a unghiului central corespunzător

Ce înseamnă aici cuvântul „potrivit”? Să ne uităm cu atenție:

Vedeți două arce și două unghiuri centrale? Ei bine, un arc mai mare corespunde unui unghi mai mare (și este în regulă că este mai mare), iar un arc mai mic corespunde unui unghi mai mic.

Deci, am fost de acord: arcul conține același număr de grade ca și unghiul central corespunzător.

Și acum despre chestia înfricoșătoare - despre radiani!

Ce fel de fiară este acest „radian”?

Imagina: Radianii sunt o modalitate de a măsura unghiurile... în raze!

Un unghi de radiani este un unghi central a cărui lungime a arcului este egală cu raza cercului.

Atunci apare întrebarea - câți radiani sunt într-un unghi drept?

Cu alte cuvinte: câte raze „se potrivesc” într-o jumătate de cerc? Sau într-un alt mod: de câte ori este lungimea unei jumătate de cerc mai mare decât raza?

Oamenii de știință au pus această întrebare în Grecia Antică.

Și așa, după o lungă căutare, au descoperit că raportul dintre circumferință și rază nu vrea să fie exprimat în numere „umane”, cum ar fi etc.

Și nici măcar nu este posibil să exprime această atitudine prin rădăcini. Adică, se dovedește că este imposibil să spui că o jumătate de cerc este de ori sau de ori mai mare decât raza! Vă puteți imagina cât de uimitor a fost pentru oameni să descopere asta pentru prima dată?! Pentru raportul dintre lungimea unei jumătăți de cerc și rază, numerele „normale” nu au fost suficiente. A trebuit să introduc o scrisoare.

Deci, - acesta este un număr care exprimă raportul dintre lungimea semicercului și raza.

Acum putem răspunde la întrebarea: câți radiani sunt într-un unghi drept? Conține radiani. Tocmai pentru că jumătate de cerc este de ori mai mare decât raza.

Oameni străvechi (și nu atât de vechi) de-a lungul secolelor (!) a încercat să calculeze mai precis acest număr misterios, pentru a-l exprima mai bine (cel puțin aproximativ) prin numere „obișnuite”. Și acum suntem incredibil de leneși - două semne după o zi plină ne sunt suficiente, suntem obișnuiți să

Gândiți-vă, asta înseamnă, de exemplu, că lungimea unui cerc cu o rază de unu este aproximativ egală, dar această lungime exactă este pur și simplu imposibil de scris cu un număr „uman” - aveți nevoie de o literă. Și atunci această circumferință va fi egală. Și, desigur, circumferința razei este egală.

Să revenim la radiani.

Am aflat deja că un unghi drept conține radiani.

Ce avem:

Asta înseamnă că mă bucur, adică mă bucur. În același mod, se obține o placă cu cele mai populare unghiuri.

Relația dintre valorile unghiurilor înscrise și centrale.

Există un fapt uimitor:

Unghiul înscris este jumătate din dimensiunea unghiului central corespunzător.

Uite cum arată această afirmație în imagine. Un unghi central „corespondent” este unul ale cărui capete coincid cu capetele unghiului înscris, iar vârful este în centru. Și, în același timp, unghiul central „corespunzător” trebuie „să se uite” la aceeași coardă () cu unghiul înscris.

De ce este așa? Să ne uităm mai întâi la un caz simplu. Lasă unul dintre acorduri să treacă prin centru. Se întâmplă uneori așa, nu?

Ce se întâmplă aici? Să luăm în considerare. Este isoscel - la urma urmei și - raze. Deci, (le-a etichetat).

Acum să ne uităm la. Acesta este colțul exterior pentru! Amintiți-vă că colțul exterior egal cu sumele două interne, care nu sunt adiacente, și scrieți:

Asta este! Efect neașteptat. Dar există și un unghi central pentru cel înscris.

Aceasta înseamnă că pentru acest caz au demonstrat că unghiul central este de două ori unghiul înscris. Dar este un caz dureros de special: nu este adevărat că acordul nu trece întotdeauna direct prin centru? Dar este în regulă, acum acest caz particular ne va ajuta foarte mult. Uite: al doilea caz: lasă centrul să se afle înăuntru.

Să facem asta: desenați diametrul. Și apoi... vedem două poze care au fost deja analizate în primul caz. Prin urmare, avem deja asta

Aceasta înseamnă (în desen, a)

Ei bine, asta rămâne ultimul caz: centrul este în afara colțului.

Facem același lucru: trageți diametrul prin punct. Totul este la fel, dar în loc de sumă există o diferență.

Asta este!

Să formăm acum două consecințe principale și foarte importante din afirmația că unghiul înscris este jumătate din unghiul central.

Corolarul 1

Toate unghiurile înscrise pe baza unui arc sunt egale între ele.

Ilustram:

Există nenumărate unghiuri înscrise bazate pe același arc (avem acest arc), ele pot arăta complet diferit, dar toate au același unghi central (), ceea ce înseamnă că toate aceste unghiuri înscrise sunt egale între ele.

Corolarul 2

Unghiul subtins de diametru este un unghi drept.

Uite: la ce unghi este central?

Cu siguranță, . Dar el este egal! Ei bine, prin urmare (precum și multe unghiuri înscrise care se sprijină pe) și este egală.

Unghiul dintre două acorduri și secante

Dar dacă unghiul care ne interesează NU este înscris și NU central, ci, de exemplu, așa:

sau asa?

Se poate exprima cumva prin niște unghiuri centrale? Se dovedește că este posibil. Uite: ne interesează.

a) (ca colț exterior pentru). Dar - înscris, se sprijină pe arc -. - înscris, se sprijină pe arc - .

Pentru frumusete se spune:

Unghiul dintre coarde este egal cu jumătate din suma valorilor unghiulare ale arcelor incluse în acest unghi.

Ei scriu acest lucru pentru concizie, dar, desigur, atunci când utilizați această formulă trebuie să aveți în vedere unghiurile centrale

b) Și acum - „afară”! Cum poate fi asta? Da, aproape la fel! Abia acum (aplicam din nou proprietatea unghiului extern pentru). Asta este acum.

Și asta înseamnă... Să aducem frumusețe și concizie notelor și formulării:

Unghiul dintre secante este egal cu jumătate din diferența dintre valorile unghiulare ale arcelor incluse în acest unghi.

Ei bine, acum sunteți înarmat cu toate cunoștințele de bază despre unghiurile legate de un cerc. Haideți, acceptați provocările!

CERCUL ŞI UNGHIUL INSINAT. NIVEL MEDIU

Chiar și un copil de cinci ani știe ce este un cerc, nu? Matematicienii, ca întotdeauna, au o definiție abstrusă în această chestiune, dar nu o vom da (vezi), ci mai degrabă să ne amintim cum se numesc punctele, liniile și unghiurile asociate unui cerc.

Termeni importanți

Ei bine, în primul rând:

În al doilea rând:

Există o altă expresie acceptată: „coarda contractă arcul”. Aici, în figură, de exemplu, acordul subtinde arcul. Și dacă o coardă trece brusc prin centru, atunci a făcut-o nume special: „diametru”.

Apropo, cum sunt legate diametrul și raza? Privește cu atenție. Desigur

Și acum - numele pentru colțuri.

Natural, nu-i așa? Laturile unghiului se extind din centru - ceea ce înseamnă că unghiul este central.

Aici apar uneori dificultăți. Fiţi atenți - NU este înscris niciun unghi în interiorul unui cerc, ci doar unul al cărui vârf „se așează” pe cerc însuși.

Să vedem diferența în imagini:

Alt mod ei spun:

Există un punct dificil aici. Care este unghiul central „corespondent” sau „propriu”? Doar un unghi cu vârful în centrul cercului și capetele la capetele arcului? Nu chiar. Uită-te la desen.

Unul dintre ei, totuși, nici nu arată ca un colț - este mai mare. Dar un triunghi nu poate avea mai multe unghiuri, dar un cerc s-ar putea bine! Deci: arcul mai mic AB corespunde unui unghi mai mic (portocaliu), iar arcul mai mare corespunde unui unghi mai mare. Doar așa, nu-i așa?

Relația dintre mărimile unghiurilor înscrise și centrale

Amintiți-vă această afirmație foarte importantă:

În manuale, le place să scrie același fapt astfel:

Nu este adevărat că formularea este mai simplă cu un unghi central?

Dar totuși, să găsim o corespondență între cele două formulări și, în același timp, să învățăm să găsim în desene unghiul central „corespondent” și arcul pe care „se sprijină” unghiul înscris.

Uite: aici este un cerc și un unghi înscris:

Unde este unghiul său central „corespondent”?

Să ne uităm din nou:

Care este regula?

Dar! În acest caz, este important ca unghiurile înscrise și centrale „să privească” arcul dintr-o parte. Aici, de exemplu:

Destul de ciudat, albastru! Pentru că arcul este lung, mai lung decât jumătate de cerc! Așa că nu vă confundați niciodată!

Ce consecință poate fi dedusă din „jumătatea” unghiului înscris?

Dar, de exemplu:

Unghi subtins de diametru

Ați observat deja că matematicienilor le place să vorbească despre același lucru în cuvinte diferite? De ce au nevoie de asta? Vedeți, limbajul matematicii, deși formal, este viu și, prin urmare, ca în limbajul obișnuit, de fiecare dată când doriți să o spuneți într-un mod mai convenabil. Ei bine, am văzut deja ce înseamnă „un unghi se sprijină pe un arc”. Și imaginați-vă că aceeași imagine se numește „un unghi se sprijină pe o coardă”. Care? Da, desigur, celui care strânge acest arc!

Când este mai convenabil să te bazezi pe un acord decât pe un arc?

Ei bine, în special, când această coardă este un diametru.

Există o declarație surprinzător de simplă, frumoasă și utilă pentru o astfel de situație!

Uite: iată cercul, diametrul și unghiul care se sprijină pe el.

CERCUL ȘI UNGHIUL INSINAT. SCURT DESPRE LUCRURILE PRINCIPALE

1. Concepte de bază.

3. Măsurătorile arcurilor și unghiurilor.

Un unghi de radiani este un unghi central a cărui lungime a arcului este egală cu raza cercului.

Acesta este un număr care exprimă raportul dintre lungimea unui semicerc și raza acestuia.

Circumferința razei este egală cu.

4. Relația dintre valorile unghiurilor înscrise și centrale.

Astăzi ne vom uita la un alt tip de probleme 6 - de data aceasta cu un cerc. Mulți studenți nu le plac și le sunt dificile. Și complet în zadar, deoarece astfel de probleme sunt rezolvate elementar, dacă știi niște teoreme. Sau nu îndrăznesc deloc dacă nu-i cunoști.

Înainte de a vorbi despre principalele proprietăți, permiteți-mi să vă reamintesc definiția:

Un unghi înscris este unul al cărui vârf se află pe cerc însuși și ale cărui laturi decupează o coardă pe acest cerc.

Un unghi central este orice unghi cu vârful său în centrul cercului. Laturile sale intersectează, de asemenea, acest cerc și sculptează o coardă pe el.

Deci, conceptele de unghiuri înscrise și centrale sunt indisolubil legate de cercul și acordurile din interiorul acestuia. Și acum afirmația principală:

Teorema. Unghiul central este întotdeauna de două ori unghiul înscris, bazat pe același arc.

În ciuda simplității afirmației, există o întreagă clasă de probleme 6 care pot fi rezolvate folosindu-l - și nimic altceva.

Sarcină. Găsiți un unghi ascuțit înscris subîntins de o coardă egală cu raza cercului.

Fie AB coarda luată în considerare, O centrul cercului. Construcție suplimentară: OA și OB sunt razele cercului. Primim:

Luați în considerare triunghiul ABO. În ea AB = OA = OB - toate laturile sunt egale cu raza cercului. Prin urmare, triunghiul ABO este echilateral și toate unghiurile din el sunt de 60°.

Fie M vârful unghiului înscris. Deoarece unghiurile O și M se sprijină pe același arc AB, unghiul înscris M este de 2 ori mai mic decât unghiul central O. Avem:

M = O: 2 = 60: 2 = 30

Sarcină. Unghiul central este cu 36° mai mare decât unghiul înscris subtins de același arc de cerc. Găsiți unghiul înscris.

Să introducem următoarea notație:

1. AB este coarda cercului;
2. Punctul O este centrul cercului, deci unghiul AOB este unghiul central;
3. Punctul C este vârful unghiului înscris ACB.

Deoarece căutăm unghiul înscris ACB, să-l notăm ACB = x. Atunci unghiul central AOB este x + 36. Pe de altă parte, unghiul central este de 2 ori unghiul înscris. Avem:

AOB = 2 · ACB ;
x + 36 = 2 x ;
x = 36.

Deci am găsit unghiul înscris AOB - este egal cu 36°.

Un cerc este un unghi de 360°

După ce au citit subtitrarea, probabil că cititorii cunoscători vor spune acum: „Uf!” Într-adevăr, compararea unui cerc cu un unghi nu este în întregime corectă. Pentru a înțelege despre ce vorbim, aruncați o privire la cercul trigonometric clasic:

Pentru ce este această poză? Și în plus, o rotație completă este un unghi de 360 ​​de grade. Și dacă îl împărțiți la, să zicem, 20 părţi egale, atunci dimensiunea fiecăruia dintre ele va fi 360: 20 = 18 grade. Acesta este exact ceea ce este necesar pentru a rezolva problema B8.

Punctele A, B și C se află pe cerc și îl împart în trei arce, ale căror măsurători sunt în raportul 1: 3: 5. Aflați unghiul mai mare al triunghiului ABC.

Mai întâi, să găsim măsura gradului fiecărui arc. Fie cel mai mic x. În figură, acest arc este desemnat AB. Atunci arcele rămase - BC și AC - pot fi exprimate în termeni de AB: arc BC = 3x; AC = 5x. În total, aceste arcuri dau 360 de grade:

AB + BC + AC = 360;
x + 3x + 5x = 360;
9x = 360;
x = 40.

Acum luați în considerare un arc mare AC care nu conține punctul B. Acest arc, ca și unghiul central corespunzător AOC, este 5x = 5 40 = 200 de grade.

Unghiul ABC este cel mai mare dintre toate unghiurile unui triunghi. Este un unghi înscris subtins de același arc ca unghiul central AOC. Aceasta înseamnă că unghiul ABC este de 2 ori mai mic decât AOC. Avem:

ABC = AOC: 2 = 200: 2 = 100

Aceasta va fi măsura în grad a unghiului mai mare din triunghiul ABC.

Cerc circumscris unui triunghi dreptunghic

Mulți oameni uită această teoremă. Dar degeaba, pentru că unele probleme B8 nu se pot rezolva deloc fără el. Mai exact, sunt rezolvate, dar cu un asemenea volum de calcule încât ai prefera să adormi decât să ajungi la răspuns.

Teorema. Centrul cercului circumscris triunghi dreptunghic, se află în mijlocul ipotenuzei.

Ce rezultă din această teoremă?

1. Punctul de mijloc al ipotenuzei este echidistant de toate vârfurile triunghiului. Aceasta este o consecință directă a teoremei;
2. Mediana trasată la ipotenuză împarte triunghiul inițial în două triunghiuri isoscele. Acesta este exact ceea ce este necesar pentru a rezolva problema B8.

În triunghiul ABC desenăm mediana CD. Unghiul C este de 90° și unghiul B este de 60°. Găsiți unghiul ACD.

Deoarece unghiul C este de 90°, triunghiul ABC este un triunghi dreptunghic. Se dovedește că CD este mediana atrasă de ipotenuză. Aceasta înseamnă că triunghiurile ADC și BDC sunt isoscele.

În special, luați în considerare triunghiul ADC. În el AD = CD. Dar într-un triunghi isoscel, unghiurile de la bază sunt egale - vezi „Problema B8: Segmente de linie și unghiuri în triunghiuri”. Prin urmare, unghiul dorit ACD = A.

Deci, rămâne de aflat de ce egal cu unghiul O. Pentru a face acest lucru, să ne întoarcem din nou la triunghiul original ABC. Să notăm unghiul A = x. Deoarece suma unghiurilor din orice triunghi este 180°, avem:

A + B + BCA = 180;
x + 60 + 90 = 180;
x = 30.

Desigur, ultima problemă poate fi rezolvată diferit. De exemplu, este ușor de demonstrat că triunghiul BCD nu este doar isoscel, ci echilateral. Deci unghiul BCD este de 60 de grade. Prin urmare, unghiul ACD este 90 − 60 = 30 de grade. După cum puteți vedea, puteți utiliza diferite triunghiuri isoscele, dar răspunsul va fi întotdeauna același.