Cum se găsește tangenta unui unghi tangente. Cum să găsești panta

Acasă

Menținerea confidențialității dvs. este importantă pentru noi. Din acest motiv, am dezvoltat o Politică de confidențialitate care descrie modul în care folosim și stocăm informațiile dumneavoastră. Vă rugăm să examinați practicile noastre de confidențialitate și să ne comunicați dacă aveți întrebări.

Colectarea și utilizarea informațiilor personale

Informațiile personale se referă la date care pot fi folosite pentru a identifica sau contacta o anumită persoană.

Vi se poate cere să furnizați informațiile dumneavoastră personale în orice moment când ne contactați.

Mai jos sunt câteva exemple de tipuri de informații personale pe care le putem colecta și cum putem folosi aceste informații.

• Ce informații personale colectăm: Când trimiteți o cerere pe site, este posibil să colectăm diverse informații, inclusiv numele, numărul de telefon, adresa dvs e-mail

etc.

• Cum folosim informațiile dumneavoastră personale:
• Informațiile personale pe care le colectăm ne permit să vă contactăm cu oferte unice, promoții și alte evenimente și evenimente viitoare.
• Din când în când, putem folosi informațiile dumneavoastră personale pentru a trimite notificări și comunicări importante. De asemenea, putem folosi informații personale în scopuri interne, cum ar fi auditarea, analiza datelor și diverse studii
• pentru a îmbunătăți serviciile pe care le oferim și a vă oferi recomandări cu privire la serviciile noastre.

Dacă participați la o tragere la sorți, la un concurs sau la o promoție similară, este posibil să folosim informațiile pe care le furnizați pentru a administra astfel de programe.

Dezvăluirea informațiilor către terți

Nu dezvăluim informațiile primite de la dumneavoastră către terți.

• Excepții: Dacă este necesar - în conformitate cu legea, procedura judiciară, procedurile judiciare și/sau în baza cererilor sau solicitărilor publice din partea organisme guvernamentale
• În cazul unei reorganizări, fuziuni sau vânzări, este posibil să transferăm informațiile personale pe care le colectăm terței părți succesoare aplicabile.

Protecția informațiilor personale

Luăm măsuri de precauție - inclusiv administrative, tehnice și fizice - pentru a vă proteja informațiile personale împotriva pierderii, furtului și utilizării greșite, precum și împotriva accesului, dezvăluirii, modificării și distrugerii neautorizate.

Respectarea vieții private la nivelul companiei

Pentru a ne asigura că informațiile dumneavoastră personale sunt în siguranță, comunicăm angajaților noștri standarde de confidențialitate și securitate și aplicăm strict practicile de confidențialitate.

Continuarea temei, ecuația unei drepte pe un plan se bazează pe studiul unei drepte din lecțiile de algebră. Acest articol oferă informații generale pe tema ecuației unei linii drepte cu o pantă. Să luăm în considerare definițiile, să obținem ecuația în sine și să identificăm legătura cu alte tipuri de ecuații. Totul va fi discutat folosind exemple de rezolvare a problemelor.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Înainte de a scrie o astfel de ecuație, este necesar să se definească unghiul de înclinare a dreptei față de axa O x cu coeficientul lor unghiular. Să presupunem că este dat un sistem de coordonate carteziene O x pe plan.

Definiția 1

Unghiul de înclinare al dreptei față de axa O x, situat în sistemul de coordonate carteziene O x y pe plan, acesta este unghiul care se măsoară de la direcția pozitivă O x la dreapta în sens invers acelor de ceasornic.

Când linia este paralelă cu O x sau coincide în ea, unghiul de înclinare este 0. Apoi unghiul de înclinare al dreptei date α este definit pe intervalul [ 0 , π) .

Definiția 2

Pantă directă este tangenta unghiului de înclinare a unei drepte date.

Denumirea standard este k. Din definiție aflăm că k = t g α . Când o linie este paralelă cu Oh, ei spun asta pantă nu există, deoarece se îndreaptă spre infinit.

Panta este pozitivă atunci când graficul funcției crește și invers. Figura prezintă diferite variații de locație unghi drept raportat la sistemul de coordonate cu valoarea coeficientului.

Pentru a găsi acest unghi, este necesar să se aplice definiția coeficientului unghiular și să se calculeze tangentei unghiului de înclinare în plan.

Soluţie

Din condiția avem că α = 120°. Prin definiție, panta trebuie calculată. Să o găsim din formula k = t g α = 120 = - 3.

Răspuns: k = - 3 .

Dacă se cunoaște coeficientul unghiular și este necesar să se găsească unghiul de înclinare față de axa absciselor, atunci trebuie luată în considerare valoarea coeficientului unghiular. Dacă k > 0, atunci unghiul drept este ascuțit și se găsește prin formula α = a r c t g k. Dacă k< 0 , тогда угол тупой, что дает право определить его по формуле α = π - a r c t g k .

Exemplul 2

Determinați unghiul de înclinare al dreptei date față de O x cu un coeficient unghiular de 3.

Soluţie

Din condiția avem că coeficientul unghiular este pozitiv, ceea ce înseamnă că unghiul de înclinare față de O x este mai mic de 90 de grade. Calculele se fac folosind formula α = a r c t g k = a r c t g 3.

Răspuns: α = a r c t g 3 .

Exemplul 3

Aflați unghiul de înclinare al dreptei față de axa O x dacă panta = - 1 3.

Soluţie

Dacă luăm litera k drept desemnare a coeficientului unghiular, atunci α este unghiul de înclinare față de o dreaptă dată în direcția pozitivă O x. Prin urmare k = - 1 3< 0 , тогда необходимо применить формулу α = π - a r c t g k При подстановке получим выражение:

α = π - a r c t g - 1 3 = π - a r c t g 1 3 = π - π 6 = 5 π 6.

Răspuns: 5 π 6 .

O ecuație de forma y = k x + b, unde k este panta și b este ceva număr real, se numește ecuația unei drepte cu un coeficient de unghi. Ecuația este tipică pentru orice linie dreaptă care nu este paralelă cu axa O y.

Dacă luăm în considerare în detaliu o dreaptă pe un plan într-un sistem de coordonate fix, care este specificată printr-o ecuație cu un coeficient unghiular care are forma y = k x + b. În acest caz, înseamnă că ecuația corespunde coordonatelor oricărui punct de pe linie. Dacă înlocuim coordonatele punctului M, M 1 (x 1, y 1) în ecuația y = k x + b, atunci în acest caz linia va trece prin acest punct, altfel punctul nu aparține dreptei.

Exemplul 4

Este dată o dreaptă cu panta y = 1 3 x - 1. Calculați dacă punctele M 1 (3, 0) și M 2 (2, - 2) aparțin dreptei date.

Soluţie

Este necesar să înlocuim coordonatele punctului M 1 (3, 0) în ecuația dată, atunci obținem 0 = 1 3 · 3 - 1 ⇔ 0 = 0. Egalitatea este adevărată, ceea ce înseamnă că punctul aparține dreptei.

Dacă înlocuim coordonatele punctului M 2 (2, - 2), atunci obținem o egalitate incorectă de forma - 2 = 1 3 · 2 - 1 ⇔ - 2 = - 1 3. Putem concluziona că punctul M 2 nu aparține dreptei.

Răspuns: M 1 aparține dreptei, dar M 2 nu.

Se știe că linia este definită prin ecuația y = k · x + b, care trece prin M 1 (0, b), la înlocuire am obținut o egalitate de forma b = k · 0 + b ⇔ b = b. Din aceasta putem concluziona că ecuația unei drepte cu un coeficient unghiular y = k x + b pe plan definește o dreaptă care trece prin punctul 0, b. Formează un unghi α cu direcția pozitivă a axei O x, unde k = t g α.

Să considerăm, ca exemplu, o dreaptă definită folosind un coeficient unghiular specificat sub forma y = 3 · x - 1. Obtinem ca dreapta va trece prin punctul cu coordonata 0, - 1 cu panta de α = a r c t g 3 = π 3 radiani in directia pozitiva a axei O x. Aceasta arată că coeficientul este 3.

Ecuația unei drepte cu o pantă care trece printr-un punct dat

Este necesar să se rezolve o problemă în care este necesar să se obțină ecuația unei drepte cu o pantă dată care trece prin punctul M 1 (x 1, y 1).

Egalitatea y 1 = k · x + b poate fi considerată validă, întrucât dreapta trece prin punctul M 1 (x 1, y 1). Pentru a elimina numărul b, trebuie să scădeți ecuația cu panta din stânga și din dreapta. De aici rezultă că y - y 1 = k · (x - x 1) . Această egalitate se numește ecuația unei drepte cu o pantă k dată, care trece prin coordonatele punctului M 1 (x 1, y 1).

Exemplul 5

Scrieți o ecuație pentru o dreaptă care trece prin punctul M 1 cu coordonatele (4, - 1), cu un coeficient unghiular egal cu - 2.

Soluţie

Prin condiție avem că x 1 = 4, y 1 = - 1, k = - 2. De aici ecuația dreptei se va scrie astfel: y - y 1 = k · (x - x 1) ⇔ y - (- 1) = - 2 · (x - 4) ⇔ y = - 2 x + 7 .

Răspuns: y = - 2 x + 7 .

Exemplul 6

Scrieți ecuația unei drepte cu coeficient unghiular care trece prin punctul M 1 cu coordonatele (3, 5), paralelă cu dreapta y = 2 x - 2.

Soluţie

Prin condiție, avem că liniile paralele au unghiuri de înclinare identice, ceea ce înseamnă că coeficienții unghiulari sunt egali. Pentru a găsi panta de la ecuația dată, trebuie să vă amintiți formula sa de bază y = 2 x - 2, rezultă că k = 2. Creăm o ecuație cu coeficientul de pantă și obținem:

y - y 1 = k (x - x 1) ⇔ y - 5 = 2 (x - 3) ⇔ y = 2 x - 1

Răspuns: y = 2 x - 1 .

Trecerea de la o ecuație de linie dreaptă cu o pantă la alte tipuri de ecuații de linie dreaptă și înapoi

Această ecuație nu este întotdeauna aplicabilă pentru rezolvarea problemelor, deoarece nu este scrisă foarte convenabil. Pentru a face acest lucru, trebuie să îl prezentați într-o formă diferită. De exemplu, o ecuație de forma y = k x + b nu ne permite să notăm coordonatele vectorului de direcție al unei linii drepte sau coordonatele unui vector normal. Pentru a face acest lucru, trebuie să învățați să reprezentați cu ecuații de alt tip.

Putem obține ecuația canonică a unei drepte pe un plan folosind ecuația unei drepte cu un coeficient de unghi. Se obține x - x 1 a x = y - y 1 a y . Este necesar să mutați termenul b în partea stângă și să împărțiți la expresia inegalității rezultate. Atunci obținem o ecuație de forma y = k · x + b ⇔ y - b = k · x ⇔ k · x k = y - b k ⇔ x 1 = y - b k.

Ecuația unei drepte cu o pantă a devenit ecuația canonică a acestei drepte.

Exemplul 7

Aduceți ecuația unei drepte cu un coeficient unghiular y = - 3 x + 12 la forma canonică.

Soluţie

Să o calculăm și să o prezentăm sub forma unei ecuații canonice a unei drepte. Obtinem o ecuatie de forma:

y = - 3 x + 12 ⇔ - 3 x = y - 12 ⇔ - 3 x - 3 = y - 12 - 3 ⇔ x 1 = y - 12 - 3

Răspuns: x 1 = y - 12 - 3.

Ecuația generală a unei drepte este cel mai ușor de obținut din y = k · x + b, dar pentru aceasta este necesar să se facă transformări: y = k · x + b ⇔ k · x - y + b = 0. Se face o tranziție din ecuație generală linie dreaptă la ecuații de alt tip.

Exemplul 8

Având în vedere o ecuație dreaptă de forma y = 1 7 x - 2 . Aflați dacă vectorul cu coordonatele a → = (- 1, 7) este un vector drept normal?

Soluţie

Pentru a rezolva este necesar să trecem la o altă formă a acestei ecuații, pentru aceasta scriem:

y = 1 7 x - 2 ⇔ 1 7 x - y - 2 = 0

Coeficienții din fața variabilelor sunt coordonatele vectorului normal al dreptei. Să scriem astfel: n → = 1 7, - 1, deci 1 7 x - y - 2 = 0. Este clar că vectorul a → = (- 1, 7) este coliniar cu vectorul n → = 1 7, - 1, deoarece avem relația justă a → = - 7 · n →. Rezultă că vectorul original a → = - 1, 7 este un vector normal al dreptei 1 7 x - y - 2 = 0, ceea ce înseamnă că este considerat un vector normal pentru linia y = 1 7 x - 2.

Răspuns: este

Să rezolvăm problema inversă a acesteia.

Trebuie să te muți de la vedere generală ecuațiile A x + B y + C = 0, unde B ≠ 0, la o ecuație cu pantă. Pentru a face acest lucru, rezolvăm ecuația pentru y. Se obține A x + B y + C = 0 ⇔ - A B · x - C B .

Rezultatul este o ecuație cu o pantă egală cu - A B .

Exemplul 9

Este dată o ecuație în linie dreaptă de forma 2 3 x - 4 y + 1 = 0. Obține ecuația unei drepte date cu un coeficient unghiular.

Soluţie

Pe baza condiției, este necesar să rezolvăm pentru y, apoi obținem o ecuație de forma:

2 3 x - 4 y + 1 = 0 ⇔ 4 y = 2 3 x + 1 ⇔ y = 1 4 2 3 x + 1 ⇔ y = 1 6 x + 1 4 .

Răspuns: y = 1 6 x + 1 4 .

O ecuație de forma x a + y b = 1 se rezolvă într-un mod similar, care se numește ecuația unei drepte în segmente, sau tip canonic x - x 1 a x = y - y 1 a y . Trebuie să o rezolvăm pentru y, numai atunci obținem o ecuație cu panta:

x a + y b = 1 ⇔ y b = 1 - x a ⇔ y = - b a · x + b.

Ecuația canonică poate fi redusă la o formă cu un coeficient unghiular. Pentru a face acest lucru:

x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ a y · (x - x 1) = a x · (y - y 1) ⇔ ⇔ a x · y = a y · x - a y · x 1 + a x · y 1 ⇔ y = a y a x · x - a y a x · x 1 + y 1

Exemplul 10

Există o linie dreaptă dat de ecuaţie x 2 + y - 3 = 1. Reduceți la forma unei ecuații cu un coeficient unghiular.

Soluţie.

Pe baza condiției este necesară transformarea, apoi obținem o ecuație de forma _formula_. Ambele părți ale ecuației trebuie înmulțite cu - 3 pentru a obține ecuația de pantă necesară. Transformând, obținem:

y - 3 = 1 - x 2 ⇔ - 3 · y - 3 = - 3 · 1 - x 2 ⇔ y = 3 2 x - 3 .

Răspuns: y = 3 2 x - 3 .

Exemplul 11

Reduceți ecuația de linie dreaptă a formei x - 2 2 = y + 1 5 la o formă cu un coeficient unghiular.

Soluţie

Este necesar să se calculeze expresia x - 2 2 = y + 1 5 ca proporție. Obținem că 5 · (x - 2) = 2 · (y + 1) . Acum trebuie să-l activați complet, pentru a face acest lucru:

5 (x - 2) = 2 (y + 1) ⇔ 5 x - 10 = 2 y + 2 ⇔ 2 y = 5 x - 12 ⇔ y = 5 2 x

Răspuns: y = 5 2 x - 6 .

Pentru a rezolva astfel de probleme, ecuațiile parametrice ale dreptei de forma x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ ar trebui reduse la ecuația canonică a dreptei, numai după aceasta se poate trece la ecuația cu coeficientul de pantă.

Exemplul 12

Aflați panta dreptei dacă este dată de ecuațiile parametrice x = λ y = - 1 + 2 · λ.

Soluţie

Este necesară trecerea de la vederea parametrică la panta. Pentru a face acest lucru, găsim ecuația canonică din cea parametrică dată:

x = λ y = - 1 + 2 · λ ⇔ λ = x λ = y + 1 2 ⇔ x 1 = y + 1 2 .

Acum este necesar să rezolvăm această egalitate față de y pentru a obține ecuația unei drepte cu coeficient unghiular. Pentru a face acest lucru, să scriem astfel:

x 1 = y + 1 2 ⇔ 2 x = 1 (y + 1) ⇔ y = 2 x - 1

Rezultă că panta dreptei este 2. Aceasta se scrie ca k = 2.

Răspuns: k = 2.

Dacă observați o eroare în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter

Subiectul „Coeficientul unghiular al unei tangente ca tangentă a unghiului de înclinare” din examenul de certificare are mai multe sarcini simultan. În funcție de starea lor, absolventului i se poate cere să ofere fie un răspuns complet, fie un răspuns scurt. În pregătire pentru promovarea examenului de stat unificat La matematică, elevul ar trebui să repete cu siguranță probleme în care este necesar să se calculeze coeficientul unghiular al unei tangente.

Te va ajuta să faci asta portal educațional„Șkolkovo”. Specialiștii noștri au pregătit și prezentat material teoretic și practic în cel mai accesibil mod posibil. Familiarizându-se cu acesta, absolvenții cu orice nivel de pregătire vor putea rezolva cu succes probleme legate de derivate în care este necesară găsirea tangentei unghiului tangentei.

Repere

Pentru a găsi soluția corectă și rațională la astfel de sarcini în cadrul examenului de stat unificat, este necesar să ne amintim definiția de bază: derivata reprezintă rata de schimbare a unei funcții; este egală cu tangentei unghiului tangentei trasat la graficul funcției într-un anumit punct. Este la fel de important să finalizați desenul. Vă va permite să găsiți decizia corectă Probleme la examenul de stat unificat pe derivată, în care este necesar să se calculeze tangentei unghiului tangentei. Pentru claritate, cel mai bine este să reprezentați graficul pe planul OXY.

Dacă v-ați familiarizat deja cu materialul de bază pe tema derivatelor și sunteți gata să începeți să rezolvați probleme privind calcularea tangentei unghiului tangentei, cum ar fi Teme de examen de stat unificat, puteți face acest lucru online. Pentru fiecare sarcină, de exemplu, probleme pe tema „Relația unei derivate cu viteza și accelerația unui corp”, am notat răspunsul corect și algoritmul de rezolvare. În același timp, elevii pot exersa îndeplinirea sarcinilor de diferite niveluri de complexitate. Dacă este necesar, exercițiul poate fi salvat în secțiunea „Favorite”, astfel încât să puteți discuta mai târziu cu profesorul soluția.

În capitolul anterior s-a arătat că, prin alegerea unui anumit sistem de coordonate pe plan, putem exprima proprietățile geometrice care caracterizează punctele dreptei luate în considerare analitic printr-o ecuație între coordonatele curente. Astfel obținem ecuația dreptei. Acest capitol va analiza ecuațiile în linie dreaptă.

Pentru a crea o ecuație pentru o linie dreaptă în coordonate carteziene, trebuie să stabiliți cumva condițiile care determină poziția acesteia față de axele de coordonate.

În primul rând, vom introduce conceptul de coeficient unghiular al unei linii, care este una dintre mărimile care caracterizează poziția unei linii pe un plan.

Să numim unghiul de înclinare al dreptei față de axa Ox unghiul cu care axa Ox trebuie rotită astfel încât să coincidă cu linia dată (sau să se dovedească a fi paralelă cu aceasta). Ca de obicei, vom lua în considerare unghiul ținând cont de semn (semnul este determinat de sensul de rotație: în sens invers acelor de ceasornic sau în sensul acelor de ceasornic). Deoarece o rotație suplimentară a axei Ox printr-un unghi de 180° o va alinia din nou cu linia dreaptă, unghiul de înclinare a liniei drepte față de axă nu poate fi ales fără ambiguitate (în cadrul unui termen, un multiplu de ).

Tangenta acestui unghi este determinată în mod unic (deoarece schimbarea unghiului nu schimbă tangenta acestuia).

Tangenta unghiului de înclinare a dreptei la axa Ox se numește coeficient unghiular al dreptei.

Coeficientul unghiular caracterizează direcția dreptei (nu distingem aici între două direcții reciproc opuse ale dreptei). Dacă panta unei drepte este zero, atunci linia este paralelă cu axa x. Cu un coeficient unghiular pozitiv, unghiul de înclinare al dreptei față de axa Ox va fi acut (aici se consideră cel mai mic valoare pozitivă unghi de înclinare) (Fig. 39); Mai mult, cu cât coeficientul unghiular este mai mare, cu atât este mai mare unghiul de înclinare a acestuia față de axa Ox. Dacă coeficientul unghiular este negativ, atunci unghiul de înclinare al dreptei față de axa Ox va fi obtuz (Fig. 40). Rețineți că o dreaptă perpendiculară pe axa Ox nu are un coeficient unghiular (tangenta unghiului nu există).

Derivata unei funcții este unul dintre subiectele dificile în programa școlară. Nu fiecare absolvent va răspunde la întrebarea ce este un derivat.

Acest articol explică într-un mod simplu și clar ce este un derivat și de ce este necesar.. Nu ne vom strădui acum pentru rigoare matematică în prezentare. Cel mai important lucru este să înțelegeți sensul.

Să ne amintim definiția:

Derivata este rata de schimbare a unei functii.

Figura prezintă grafice a trei funcții. Care crezi că crește mai repede?

Răspunsul este evident - al treilea. Are cea mai mare rată de schimbare, adică cea mai mare derivată.

Iată un alt exemplu.

Kostya, Grisha și Matvey au primit locuri de muncă în același timp. Să vedem cum s-au schimbat veniturile lor în cursul anului:

Graficul arată totul deodată, nu-i așa? Venitul lui Kostya s-a dublat în șase luni. Și venitul lui Grisha a crescut, dar doar puțin. Și venitul lui Matvey a scăzut la zero. Condițiile de pornire sunt aceleași, dar rata de schimbare a funcției, adică derivat, - diferit. În ceea ce privește Matvey, derivatul său de venit este în general negativ.

Intuitiv, estimăm cu ușurință rata de schimbare a unei funcții. Dar cum facem asta?

Ceea ce ne uităm cu adevărat este cât de abrupt urcă (sau jos) graficul unei funcții. Cu alte cuvinte, cât de repede se schimbă y pe măsură ce x se schimbă? Evident, aceeași funcție poate avea în puncte diferite sens diferit derivat - adică se poate schimba mai repede sau mai lent.

Derivata unei functii se noteaza .

Vă vom arăta cum să-l găsiți folosind un grafic.

A fost desenat un grafic al unei anumite funcții. Să luăm un punct cu o abscisă pe el. Să desenăm o tangentă la graficul funcției în acest punct. Vrem să estimăm cât de abrupt crește graficul unei funcții. O valoare convenabilă pentru aceasta este tangenta unghiului tangentei.

Derivata unei functii intr-un punct este egala cu tangentei unghiului tangentei desenat la graficul functiei in acest punct.

Vă rugăm să rețineți că ca unghi de înclinare al tangentei luăm unghiul dintre tangentă și direcția pozitivă a axei.

Uneori, elevii întreabă ce este o tangentă la graficul unei funcții. Aceasta este o linie dreaptă care are un singur punct comun cu graficul într-o secțiune dată și așa cum se arată în figura noastră. Arată ca o tangentă la un cerc.

Să-l găsim. Ne amintim că tangentei unui unghi ascuțit în triunghi dreptunghic egal cu raportul dintre latura opusă și latura adiacentă. Din triunghi:

Am găsit derivata folosind un grafic fără să știm măcar formula funcției. Astfel de probleme se găsesc adesea în examenul de stat unificat la matematică sub numărul.

Există o altă relație importantă. Amintiți-vă că linia dreaptă este dată de ecuație

Mărimea din această ecuație se numește panta unei drepte. Este egală cu tangenta unghiului de înclinare a dreptei la axă.

.

Înțelegem asta

Să ne amintim această formulă. Ea exprimă sens geometric derivat.

Derivata unei functii intr-un punct este egala cu panta tangentei trasate la graficul functiei in acel punct.

Cu alte cuvinte, derivata este egală cu tangentei unghiului tangentei.

Am spus deja că aceeași funcție poate avea derivate diferite în puncte diferite. Să vedem cum este legată derivata de comportamentul funcției.

Să desenăm un grafic al unei funcții. Lăsați această funcție să crească în unele zone și să scadă în altele și în ritmuri diferite. Și lasă această funcție să aibă puncte maxime și minime.

La un moment dat funcția crește. Se formează tangenta la graficul desenat în punct unghi ascuțit; cu direcția pozitivă a axei. Aceasta înseamnă că derivata din punct este pozitivă.

În momentul în care funcția noastră scade. Tangenta în acest punct formează un unghi obtuz; cu direcția pozitivă a axei. Deoarece tangenta unui unghi obtuz este negativă, derivata din punct este negativă.

Iată ce se întâmplă:

Dacă o funcție este în creștere, derivata ei este pozitivă.

Dacă scade, derivata sa este negativă.

Ce se va întâmpla la punctele maxime și minime? Vedem ca in punctele (punctul maxim) si (punctul minim) tangenta este orizontala. Prin urmare, tangentei tangentei în aceste puncte este zero, iar derivata este, de asemenea, zero.

Punct - punct maxim. În acest moment, creșterea funcției este înlocuită cu o scădere. În consecință, semnul derivatei se schimbă în punctul „plus” în „minus”.

În punctul - punctul minim - derivata este, de asemenea, zero, dar semnul său se schimbă de la „minus” la „plus”.

Concluzie: folosind derivata, putem afla tot ce ne intereseaza despre comportamentul unei functii.

Dacă derivata este pozitivă, atunci funcția crește.

Dacă derivata este negativă, atunci funcția scade.

În punctul maxim, derivata este zero și își schimbă semnul din „plus” în „minus”.

La punctul minim, derivata este, de asemenea, zero și își schimbă semnul din minus în plus.

Să scriem aceste concluzii sub forma unui tabel:

Să facem două mici precizări. Veți avea nevoie de unul dintre ele când rezolvați problema. Un altul - în primul an, cu un studiu mai serios al funcțiilor și derivatelor.

Este posibil ca derivata unei funcții la un moment dat să fie egală cu zero, dar funcția nu are nici un maxim, nici un minim în acest punct. Acesta este așa-numitul :

Într-un punct, tangenta la grafic este orizontală, iar derivata este zero. Cu toate acestea, înainte de punct funcția a crescut - și după punct continuă să crească. Semnul derivatului nu se schimbă - rămâne pozitiv așa cum a fost.

De asemenea, se întâmplă ca în punctul de maxim sau minim derivata să nu existe. Pe grafic, aceasta corespunde unei ruperi ascuțite, când este imposibil să desenați o tangentă într-un punct dat.

Cum să găsiți derivata dacă funcția este dată nu de un grafic, ci de o formulă? În acest caz se aplică