Cum să găsiți cea mai mică valoare a unei funcții folosind derivata acesteia. Folosind derivata pentru a găsi cele mai mari și cele mai mici valori ale unei funcții continue pe un interval

Acasă

În practică, este destul de comun să folosiți derivata pentru a calcula valoarea cea mai mare și cea mai mică a unei funcții. Efectuăm această acțiune atunci când ne dăm seama cum să minimizăm costurile, să creștem profiturile, să calculăm sarcina optimă a producției etc., adică în cazurile în care trebuie să determinăm valoarea optimă a unui parametru. Pentru a rezolva corect astfel de probleme, trebuie să înțelegeți bine care sunt cele mai mari și cele mai mici valori ale unei funcții.

Yandex.RTB R-A-339285-1

De obicei definim aceste valori într-un anumit interval x, care, la rândul său, poate corespunde întregului domeniu al funcției sau unei părți a acesteia. Poate fi ca un segment [a; b ] , și interval deschis (a ; b), (a ; b ], [ a ; b), interval infinit (a ; b), (a ; b ], [ a ; b) sau interval infinit - ∞ ; a , (- ∞ ; a ] , [ a ; + ∞) , (- ∞ ; + ∞) . În acest articol vă vom spune cum să calculați în mod explicit valoarea cea mai mare și cea mai mică funcţie dată

cu o variabilă y=f(x) y = f (x) .

Definiții de bază

Să începem, ca întotdeauna, cu formularea definițiilor de bază.

Definiția 1

Cea mai mare valoare a funcției y = f (x) pe un anumit interval x este valoarea m a x y = f (x 0) x ∈ X, care pentru orice valoare x x ∈ X, x ≠ x 0 face inegalitatea f (x) ≤ f (x) valabil 0) .

Definiția 2

Cea mai mică valoare a funcției y = f (x) pe un anumit interval x este valoarea m i n x ∈ X y = f (x 0), care pentru orice valoare x ∈ X, x ≠ x 0 face inegalitatea f(X f (x) ≥ f (x 0). Aceste definiții sunt destul de evidente. Și mai simplu, putem spune asta: cea mai mare valoare a unei funcții este cea mai mare mare valoare

pe un interval cunoscut la abscisă x 0, iar cea mai mică este cea mai mică valoare acceptată pe același interval la x 0.

Definiția 3

De ce trebuie să știm ce sunt punctele staționare? Pentru a răspunde la această întrebare, trebuie să ne amintim teorema lui Fermat. Din aceasta rezultă că un punct staționar este punctul în care se află extremul funcției diferențiabile (adică, minimul sau maximul său local). În consecință, funcția va lua cea mai mică sau cea mai mare valoare pe un anumit interval exact în unul dintre punctele staționare.

O funcție poate lua, de asemenea, cea mai mare sau cea mai mică valoare în acele puncte în care funcția în sine este definită și derivata sa prima nu există.

Prima întrebare care apare atunci când studiem acest subiect: în toate cazurile putem determina valoarea cea mai mare sau cea mai mică a unei funcții pe un interval dat? Nu, nu putem face acest lucru atunci când granițele unui interval dat coincid cu limitele domeniului de definiție sau dacă avem de-a face cu un interval infinit. De asemenea, se întâmplă ca o funcție dintr-un segment dat sau la infinit să ia infinit de mică sau infinit valori mari. În aceste cazuri, nu este posibil să se determine valoarea cea mai mare și/sau cea mai mică.

Aceste puncte vor deveni mai clare după ce vor fi reprezentate pe grafice:

Prima figură ne arată o funcție care ia cele mai mari și cele mai mici valori (m a x y și m i n y) în punctele staționare situate pe segmentul [ - 6 ; 6].

Să examinăm în detaliu cazul indicat în al doilea grafic. Să schimbăm valoarea segmentului în [ 1 ; 6 ] și constatăm că valoarea maximă a funcției va fi atinsă în punctul cu abscisa la limita dreaptă a intervalului, iar cea minimă în punctul staționar.

În figura a treia, abscisele punctelor reprezintă punctele de limită ale segmentului [ - 3 ; 2]. Ele corespund celei mai mari și mai mici valori a unei anumite funcții.

Acum să ne uităm la a patra imagine. În ea, funcția ia m a x y (cea mai mare valoare) și m i n y (cea mai mică valoare) în punctele staționare din intervalul deschis (- 6; 6).

Dacă luăm intervalul [ 1 ; 6), atunci putem spune că cea mai mică valoare a funcției de pe ea va fi atinsă într-un punct staționar. Cea mai mare valoare ne va fi necunoscută. Funcția ar putea lua valoarea maximă la x egală cu 6 dacă x = 6 aparține intervalului. Acesta este exact cazul prezentat în graficul 5.

În graficul 6, această funcție capătă cea mai mică valoare la limita dreaptă a intervalului (- 3; 2 ] și nu putem trage concluzii definitive despre cea mai mare valoare.

În figura 7 vedem că funcția va avea m a x y într-un punct staționar având o abscisă egală cu 1. Funcția își va atinge valoarea minimă la limita intervalului c partea dreaptă. La minus infinit, valorile funcției se vor apropia asimptotic de y = 3.

Dacă luăm intervalul x ∈ 2 ; + ∞ , atunci vom vedea că funcția dată nu va lua nici cea mai mică, nici cea mai mare valoare pe ea. Dacă x tinde spre 2, atunci valorile funcției vor tinde spre minus infinit, deoarece linia dreaptă x = 2 este o asimptotă verticală. Dacă abscisa tinde spre plus infinit, atunci valorile funcției se vor apropia asimptotic de y = 3. Acesta este exact cazul prezentat în Figura 8.

În acest paragraf vom prezenta succesiunea de acțiuni care trebuie efectuate pentru a găsi cea mai mare sau cea mai mică valoare a unei funcții pe un anumit segment.

1. Mai întâi, să găsim domeniul de definire al funcției. Să verificăm dacă segmentul specificat în condiție este inclus în el.
2. Acum să calculăm punctele conținute în acest segment la care derivata întâi nu există. Cel mai adesea ele pot fi găsite în funcții al căror argument este scris sub semnul modulului sau în funcții de putere, al cărui exponent este un număr fracțional rațional.
3. În continuare, vom afla care puncte staționare vor cădea în segmentul dat. Pentru a face acest lucru, trebuie să calculați derivata funcției, apoi să o echivalați cu 0 și să rezolvați ecuația rezultată, apoi să selectați rădăcinile adecvate. Dacă nu obținem un singur punct staționar sau nu se încadrează în segmentul dat, atunci trecem la pasul următor.
4. Determinăm ce valori va lua funcția în anumite puncte staționare (dacă există) sau în acele puncte în care derivata întâi nu există (dacă există), sau calculăm valorile pentru x = a și x = b.
5. 5. Avem un număr de valori ale funcției, din care acum trebuie să selectăm cea mai mare și cea mai mică. Acestea vor fi cele mai mari și cele mai mici valori ale funcției pe care trebuie să le găsim.

Să vedem cum să aplicăm corect acest algoritm atunci când rezolvăm probleme.

Exemplul 1

Stare: este dată funcția y = x 3 + 4 x 2. Determinați valorile sale cele mai mari și cele mai mici pe segmente [ 1 ; 4 ] şi [ - 4 ; - 1 ] .

Soluţie:

Să începem prin a găsi domeniul de definiție al unei funcții date. În acest caz, ea va avea mult din toată lumea numere reale, cu excepția 0 . Cu alte cuvinte, D (y) : x ∈ (- ∞ ; 0) ∪ 0 ; + ∞ . Ambele segmente specificate în condiție vor fi în interiorul zonei de definire.

Acum calculăm derivata funcției conform regulii de diferențiere a fracțiilor:

y " = x 3 + 4 x 2 " = x 3 + 4 " x 2 - x 3 + 4 x 2 " x 4 = = 3 x 2 x 2 - (x 3 - 4) 2 x x 4 = x 3 - 8 x 3

Am învățat că derivata unei funcții va exista în toate punctele segmentelor [ 1 ; 4 ] şi [ - 4 ; - 1 ] .

Acum trebuie să determinăm punctele staționare ale funcției. Să facem asta folosind ecuația x 3 - 8 x 3 = 0. Are o singură rădăcină reală, care este 2. Va fi un punct staționar al funcției și va cădea în primul segment [1; 4].

Să calculăm valorile funcției la capetele primului segment și în acest punct, adică. pentru x = 1, x = 2 și x = 4:

y (1) = 1 3 + 4 1 2 = 5 y (2) = 2 3 + 4 2 2 = 3 y (4) = 4 3 + 4 4 2 = 4 1 4

Am constatat că cea mai mare valoare a funcției m a x y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 se va realiza la x = 1, iar cel mai mic m i n y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 – la x = 2.

Al doilea segment nu include un singur punct staționar, așa că trebuie să calculăm valorile funcției numai la sfârșitul segmentului dat:

y (- 1) = (- 1) 3 + 4 (- 1) 2 = 3

Aceasta înseamnă m a x y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 1) = 3 , m i n y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 4) = - 3 3 4 .

Răspuns: Pentru segmentul [ 1 ; 4 ] - m a x y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 , m i n y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 , pentru segmentul [ - 4 ; - 1 ] - m a x y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 1) = 3 , m i n y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 4) = - 3 3 4 .

Vezi poza:

Înainte de a studia această metodă, vă sfătuim să revizuiți cum să calculați corect limita unilaterală și limita la infinit, precum și să învățați metodele de bază pentru a le găsi. Pentru a găsi cea mai mare și/sau cea mai mică valoare a unei funcții pe un interval deschis sau infinit, parcurgeți următorii pași secvențial.

1. În primul rând, trebuie să verificați dacă intervalul dat va fi un subset al domeniului funcției date.
2. Să determinăm toate punctele care sunt cuprinse în intervalul necesar și la care derivata întâi nu există. Ele apar de obicei în funcțiile în care argumentul este inclus în semnul modulului și în funcțiile de putere cu fracțional. indicator rațional. Dacă aceste puncte lipsesc, atunci puteți trece la pasul următor.
3. Acum să determinăm care puncte staționare se vor încadra în intervalul dat. Mai întâi, echivalăm derivata cu 0, rezolvăm ecuația și selectăm rădăcinile potrivite. Dacă nu avem un singur punct staționar sau nu se încadrează în intervalul dat, atunci trecem imediat la acțiuni ulterioare. Ele sunt determinate de tipul de interval.

• Dacă intervalul este de forma [ a ; b) , atunci trebuie să calculăm valoarea funcției în punctul x = a și limita unilaterală lim x → b - 0 f (x) .
• Dacă intervalul are forma (a; b ], atunci trebuie să calculăm valoarea funcției în punctul x = b și limita unilaterală lim x → a + 0 f (x).
• Dacă intervalul are forma (a; b), atunci trebuie să calculăm limitele unilaterale lim x → b - 0 f (x), lim x → a + 0 f (x).
• Dacă intervalul este de forma [ a ; + ∞), atunci trebuie să calculăm valoarea în punctul x = a și limita la plus infinit lim x → + ∞ f (x).
• Dacă intervalul arată ca (- ∞ ; b ] , se calculează valoarea în punctul x = b și limita la minus infinit lim x → - ∞ f (x) .
• Dacă - ∞ ; b , atunci considerăm limita unilaterală lim x → b - 0 f (x) și limita la minus infinit lim x → - ∞ f (x)
• Dacă - ∞; + ∞ , atunci considerăm limitele pe minus și plus infinit lim x → + ∞ f (x) , lim x → - ∞ f (x).

1. La sfârșit, trebuie să trageți o concluzie pe baza valorilor și limitelor funcției obținute. Există multe opțiuni disponibile aici. Deci, dacă limita unilaterală este egală cu minus infinit sau plus infinit, atunci este imediat clar că nu se poate spune nimic despre cele mai mici și mai mari valori ale funcției. Mai jos vom analiza un exemplu tipic. Descrieri detaliate te va ajuta să înțelegi ce este. Dacă este necesar, puteți reveni la figurile 4 - 8 din prima parte a materialului.

Condiție: funcție dată y = 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 . Calculați valoarea sa cea mai mare și cea mai mică în intervalele - ∞ ; - 4, - ∞; - 3 , (- 3 ; 1 ] , (- 3 ; 2 ) , [ 1 ; 2 ) , 2 ; + ∞ , [ 4 ; + ∞).

Soluţie

În primul rând, găsim domeniul de definire al funcției. Numitorul fracției conține un trinom pătratic, care nu trebuie să se transforme la 0:

x 2 + x - 6 = 0 D = 1 2 - 4 1 (- 6) = 25 x 1 = - 1 - 5 2 = - 3 x 2 = - 1 + 5 2 = 2 ⇒ D (y) : x ∈ (- ∞ ; - 3) ∪ (- 3 ; 2) ∪ (2 ; + ∞)

Am obținut domeniul de definire al funcției căreia îi aparțin toate intervalele specificate în condiție.

Acum să diferențiem funcția și să obținem:

y" = 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 " = 3 e 1 x 2 + x - 6 " = 3 e 1 x 2 + x - 6 1 x 2 + x - 6 " = = 3 · e 1 x 2 + x - 6 · 1 " · x 2 + x - 6 - 1 · x 2 + x - 6 " (x 2 + x - 6) 2 = - 3 · (2 ​​​​x + 1) · e 1 x 2 + x - 6 x 2 + x - 6 2

În consecință, derivatele unei funcții există în întregul său domeniu de definire.

Să trecem la găsirea punctelor staționare. Derivata functiei devine 0 la x = - 1 2 . Acesta este un punct staționar care se află în intervalele (- 3 ; 1 ] și (- 3 ; 2) .

Să calculăm valoarea funcției la x = - 4 pentru intervalul (- ∞ ; - 4 ], precum și limita la minus infinit:

y (- 4) = 3 e 1 (- 4) 2 + (- 4) - 6 - 4 = 3 e 1 6 - 4 ≈ - 0 . 456 lim x → - ∞ 3 e 1 x 2 + x - 6 = 3 e 0 - 4 = - 1

Deoarece 3 e 1 6 - 4 > - 1, înseamnă că m a x y x ∈ (- ∞ ; - 4 ] = y (- 4) = 3 e 1 6 - 4. Acest lucru nu ne permite să determinăm în mod unic cea mai mică valoare a Putem doar concluziona că există o constrângere sub - 1, deoarece funcția se apropie asimptotic de această valoare la minus infinit.

Particularitatea celui de-al doilea interval este că nu există un singur punct staționar și nici o singură limită strictă în el. În consecință, nu vom putea calcula nici cea mai mare, nici cea mai mică valoare a funcției. După ce am definit limita la minus infinit și deoarece argumentul tinde spre - 3 în partea stângă, obținem doar un interval de valori:

lim x → - 3 - 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 - 0 3 e 1 (x + 3) (x - 3) - 4 = 3 e 1 (- 3 - 0 + 3) (- 3 - 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 (+ 0) - 4 = 3 e + ∞ - 4 = + ∞ lim x → - ∞ 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = 3 e 0 - 4 = - 1

Aceasta înseamnă că valorile funcției vor fi localizate în intervalul - 1; +∞

Pentru a găsi cea mai mare valoare a funcției în al treilea interval, determinăm valoarea acesteia în punctul staționar x = - 1 2 dacă x = 1. De asemenea, va trebui să cunoaștem limita unilaterală pentru cazul în care argumentul tinde spre - 3 pe partea dreaptă:

y - 1 2 = 3 e 1 - 1 2 2 + - 1 2 - 6 - 4 = 3 e 4 25 - 4 ≈ - 1 . 444 y (1) = 3 e 1 1 2 + 1 - 6 - 4 ≈ - 1 . 644 lim x → - 3 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 - 3 + 0 + 3 (- 3 + 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 (- 0) - 4 = 3 e - ∞ - 4 = 3 0 - 4 = - 4

S-a dovedit că funcția va lua cea mai mare valoare într-un punct staționar m a x y x ∈ (3; 1 ] = y - 1 2 = 3 e - 4 25 - 4. În ceea ce privește cea mai mică valoare, nu o putem determina. Tot ce știm , este prezenţa unei limite inferioare la - 4 .

Pentru intervalul (- 3 ; 2), luați rezultatele calculului anterior și calculați din nou cu ce este egală limita unilaterală când tindeți spre 2 pe partea stângă:

y - 1 2 = 3 e 1 - 1 2 2 + - 1 2 - 6 - 4 = 3 e - 4 25 - 4 ≈ - 1 . 444 lim x → - 3 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = - 4 lim x → 2 - 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 (2 - 0 + 3) (2 - 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 - 0 - 4 = 3 e - ∞ - 4 = 3 · 0 - 4 = - 4

Aceasta înseamnă că m a x y x ∈ (- 3 ; 2) = y - 1 2 = 3 e - 4 25 - 4, iar cea mai mică valoare nu poate fi determinată, iar valorile funcției sunt limitate de jos de numărul - 4 .

Pe baza a ceea ce am obținut în cele două calcule anterioare, putem spune că pe intervalul [ 1 ; 2) funcția va lua cea mai mare valoare la x = 1, dar este imposibil să găsiți cea mai mică.

Pe intervalul (2 ; + ∞) funcția nu va atinge nici cea mai mare, nici cea mai mică valoare, adică. va lua valori din intervalul - 1; + ∞ .

lim x → 2 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 (2 + 0 + 3 ) (2 + 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 (+ 0) - 4 = 3 e + ∞ - 4 = + ∞ lim x → + ∞ 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = 3 e 0 - 4 = - 1

După ce am calculat cu ce valoarea funcției va fi egală la x = 4, aflăm că m a x y x ∈ [ 4 ; + ∞) = y (4) = 3 e 1 14 - 4 , iar funcția dată la plus infinit se va apropia asimptotic de dreapta y = - 1 .

Să comparăm ceea ce am obținut în fiecare calcul cu graficul funcției date. În figură, asimptotele sunt afișate prin linii punctate.

Asta este tot ce am vrut să vă spunem despre găsirea valorilor mai mari și cele mai mici ale unei funcții. Secvențele de acțiuni pe care le-am dat vă vor ajuta să faceți calculele necesare cât mai rapid și simplu posibil. Dar amintiți-vă că este adesea util să aflați mai întâi la ce intervale funcția va scădea și la care va crește, după care puteți trage concluzii suplimentare. Astfel, puteți determina cu mai multă acuratețe cele mai mari și mai mici valori ale funcției și puteți justifica rezultatele obținute.

Dacă observați o eroare în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter

Din punct de vedere practic, cel mai mare interes este folosirea derivatei pentru a găsi cele mai mari și mai mici valori ale unei funcții. Cu ce ​​este legat asta? Maximizarea profiturilor, minimizarea costurilor, determinarea încărcăturii optime a echipamentelor... Cu alte cuvinte, în multe domenii ale vieții trebuie să rezolvăm probleme de optimizare a unor parametri. Și acestea sunt sarcinile de a găsi cele mai mari și cele mai mici valori ale unei funcții.

Trebuie remarcat faptul că cele mai mari și cele mai mici valori ale unei funcții sunt de obicei căutate pe un anumit interval X, care este fie întregul domeniu al funcției, fie o parte a domeniului de definiție. Intervalul X însuși poate fi un segment, un interval deschis , un interval infinit.

În acest articol vom vorbi despre găsirea celor mai mari și mai mici valori ale unei funcții definite în mod explicit a unei variabile y=f(x) .

Navigare în pagină.

Cea mai mare și cea mai mică valoare a unei funcții - definiții, ilustrații.

Să ne uităm pe scurt la principalele definiții.

Cea mai mare valoare a funcției asta pentru oricine inegalitatea este adevărată.

Cea mai mică valoare a funcției y=f(x) pe intervalul X se numește o astfel de valoare asta pentru oricine inegalitatea este adevărată.

Aceste definiții sunt intuitive: cea mai mare (cea mai mică) valoare a unei funcții este cea mai mare (cea mai mică) valoare acceptată pe intervalul luat în considerare la abscisă.

Puncte staționare– acestea sunt valorile argumentului la care derivata funcției devine zero.

De ce avem nevoie de puncte staționare când găsim cele mai mari și cele mai mici valori? Răspunsul la această întrebare este dat de teorema lui Fermat. Din această teoremă rezultă că dacă o funcție diferențiabilă are un extremum (minimum local sau maxim local) la un moment dat, atunci acest punct este staționar. Astfel, funcția își ia adesea cea mai mare (cea mai mică) valoare pe intervalul X la unul dintre punctele staționare din acest interval.

De asemenea, o funcție poate lua adesea valorile sale cele mai mari și cele mai mici în punctele în care prima derivată a acestei funcții nu există, iar funcția în sine este definită.

Să răspundem imediat la una dintre cele mai frecvente întrebări pe această temă: „Este întotdeauna posibil să se determine cea mai mare (cea mai mică) valoare a unei funcții”? Nu, nu întotdeauna. Uneori, limitele intervalului X coincid cu limitele domeniului de definire a funcției, sau intervalul X este infinit. Iar unele funcții la infinit și la limitele domeniului de definiție pot lua atât valori infinit de mari, cât și infinit de mici. În aceste cazuri, nu se poate spune nimic despre valoarea cea mai mare și cea mai mică a funcției.

Pentru claritate, vom oferi o ilustrare grafică. Priviți imaginile și multe vor deveni mai clare.

Pe segment

În prima figură, funcția ia cele mai mari (max y) și cele mai mici (min y) valori în punctele staționare situate în interiorul segmentului [-6;6].

Luați în considerare cazul prezentat în a doua figură. Să schimbăm segmentul în . În acest exemplu, cea mai mică valoare a funcției este obținută într-un punct staționar, iar cea mai mare în punctul cu abscisa corespunzătoare limitei drepte a intervalului.

În figura 3, punctele limită ale segmentului [-3;2] sunt abscisele punctelor corespunzătoare celei mai mari și mai mici valori a funcției.

Într-un interval deschis

În a patra figură, funcția ia cele mai mari (max y) și cele mai mici (min y) valori în punctele staționare situate în interiorul intervalului deschis (-6;6).

Pe intervalul , nu se pot trage concluzii despre cea mai mare valoare.

La infinit

În exemplul prezentat în figura a șaptea, funcția ia cea mai mare valoare (max y) într-un punct staționar cu abscisă x=1, iar cea mai mică valoare (min y) se realizează pe limita dreaptă a intervalului. La minus infinit, valorile funcției se apropie asimptotic de y=3.

Pe parcursul intervalului, funcția nu atinge nici cea mai mică, nici cea mai mare valoare. Pe măsură ce x=2 se apropie de la dreapta, valorile funcției tind spre minus infinit (linia x=2 este o asimptotă verticală), iar pe măsură ce abscisa tinde spre plus infinit, valorile funcției se apropie asimptotic de y=3. O ilustrare grafică a acestui exemplu este prezentată în Figura 8.

Algoritm pentru găsirea celor mai mari și mai mici valori ale unei funcții continue pe un segment.

Să scriem un algoritm care ne permite să găsim cele mai mari și cele mai mici valori ale unei funcții pe un segment.

1. Găsim domeniul de definire al funcției și verificăm dacă acesta conține întregul segment.
2. Găsim toate punctele în care derivata întâi nu există și care sunt cuprinse în segment (de obicei astfel de puncte se găsesc în funcțiile cu argument sub semnul modulului și în funcțiile de putere cu exponent fracțional-rațional). Dacă nu există astfel de puncte, treceți la următorul punct.
3. Determinăm toate punctele staționare care se încadrează în segment. Pentru a face acest lucru, îl echivalăm cu zero, rezolvăm ecuația rezultată și selectăm rădăcinile potrivite. Dacă nu există puncte staționare sau niciunul dintre ele nu intră în segment, atunci treceți la următorul punct.
4. Calculăm valorile funcției în punctele staționare selectate (dacă există), în punctele în care prima derivată nu există (dacă există), precum și la x=a și x=b.
5. Din valorile obținute ale funcției, selectăm cele mai mari și cele mai mici - acestea vor fi valorile mai mari și, respectiv, cele mai mici necesare ale funcției.

Să analizăm algoritmul pentru rezolvarea unui exemplu pentru a găsi cele mai mari și cele mai mici valori ale unei funcții pe un segment.

Exemplu.

Găsiți cea mai mare și cea mai mică valoare a unei funcții

• pe segment;
• pe segmentul [-4;-1] .

Soluţie.

Domeniul de definire al unei funcții este întregul set de numere reale, cu excepția zero, adică. Ambele segmente se încadrează în domeniul definiției.

Aflați derivata funcției în raport cu:

În mod evident, derivata funcției există în toate punctele segmentelor și [-4;-1].

Determinăm puncte staționare din ecuație. Singura rădăcină reală este x=2. Acest punct staționar se încadrează în primul segment.

Pentru primul caz, calculăm valorile funcției la capetele segmentului și în punctul staționar, adică pentru x=1, x=2 și x=4:

Prin urmare, cea mai mare valoare a funcției se realizează la x=1, iar cea mai mică valoare – la x=2.

Pentru al doilea caz, calculăm valorile funcției numai la capetele segmentului [-4;-1] (deoarece nu conține un singur punct staționar):

Lasă funcția y =f(X) este continuă pe intervalul [ a, b]. După cum se știe, o astfel de funcție își atinge valorile maxime și minime pe acest segment. Funcția poate lua aceste valori fie în punctul intern al segmentului [ a, b], sau la limita segmentului.

Pentru a găsi cele mai mari și cele mai mici valori ale unei funcții pe segment [ a, b] necesar:

1) găsiți punctele critice ale funcției în intervalul ( a, b);

2) calculați valorile funcției la punctele critice găsite;

3) calculați valorile funcției la capetele segmentului, adică când x=Oși x = b;

4) dintre toate valorile calculate ale funcției, selectați cea mai mare și cea mai mică.

Exemplu. Găsiți cele mai mari și cele mai mici valori ale unei funcții

pe segment.

Găsirea punctelor critice:

Aceste puncte se află în interiorul segmentului; y(1) = ‒ 3; y(2) = ‒ 4; y(0) = ‒ 8; y(3) = 1;

la punct x= 3 și la punct x= 0.

Studiul unei funcții pentru convexitate și punct de inflexiune.

Funcţie y = f (x) numit convexăîntre ele (o, b) , dacă graficul său se află sub tangenta desenată în orice punct al acestui interval și este numit convex în jos (concav), dacă graficul său se află deasupra tangentei.

Se numește punctul prin care convexitatea este înlocuită cu concavitate sau invers punct de inflexiune.

Algoritm pentru examinarea convexității și a punctului de inflexiune:

1. Găsiți puncte critice de al doilea fel, adică puncte la care derivata a doua este egală cu zero sau nu există.

2. Trasează punctele critice pe dreapta numerică, împărțind-o în intervale. Aflați semnul derivatei a doua pe fiecare interval; dacă , atunci funcția este convexă în sus, dacă, atunci funcția este convexă în jos.

3. Dacă, la trecerea printr-un punct critic de al doilea fel, semnul se schimbă și în acest punct derivata a doua este egală cu zero, atunci acest punct este abscisa punctului de inflexiune. Găsiți-i ordonata.

Asimptotele graficului unei funcții. Studiul unei funcții pentru asimptote.

Definiţie. Asimptota graficului unei funcții se numește Drept, care are proprietatea că distanța de la orice punct de pe grafic la această linie tinde spre zero pe măsură ce punctul de pe grafic se mișcă nelimitat de la origine.

Există trei tipuri de asimptote: vertical, orizontal și înclinat.

Definiţie. Linia dreaptă se numește asimptotă verticală grafica functionala y = f(x), dacă cel puțin una dintre limitele unilaterale ale funcției în acest punct este egală cu infinit, adică

unde este punctul de discontinuitate al funcției, adică nu aparține domeniului definiției.

Exemplu.

D ( y) = (‒ ∞; 2) (2; + ∞)

x= 2 – punctul de rupere.

Definiţie. Drept y =O numit asimptotă orizontală grafica functionala y = f(x) la , dacă

Exemplu.

Definiţie. Drept y =kx +b (k≠ 0) se numește asimptotă oblică grafica functionala y = f(x) la , unde

Schema generala de studiere a functiilor si de construire a graficelor.

Algoritmul de cercetare a funcțieiy = f(x) :

1. Găsiți domeniul funcției D (y).

2. Găsiți (dacă este posibil) punctele de intersecție ale graficului cu axele de coordonate (dacă x= 0 și la y = 0).

3. Examinați uniformitatea și ciudatenia funcției ( y (‒ x) = y (x) ‒ paritate; y(‒ x) = ‒ y (x) ‒ ciudat).

4. Găsiți asimptotele graficului funcției.

5. Aflați intervalele de monotonitate ale funcției.

6. Aflați extremele funcției.

7. Aflați intervalele de convexitate (concavitate) și punctele de inflexiune ale graficului funcției.

8. Pe baza cercetărilor efectuate, construiți un grafic al funcției.

Exemplu. Explorează funcția și construiește graficul acesteia.

1) D (y) =

x= 4 – punct de rupere.

2) Când x = 0,

(0; ‒ 5) – punct de intersecție cu Oh.

La y = 0,

3) y(‒ x)= funcţie vedere generală(nici par, nici impar).

4) Examinăm pentru asimptote.

a) verticală

b) orizontală

c) găsiți asimptotele oblice unde

‒ecuația de asimptotă oblică

5) B ecuația dată nu este nevoie să găsim intervale de monotonitate ale funcției.

6)

Aceste puncte critice împart întregul domeniu de definire al funcției în intervalul (˗∞; ˗2), (˗2; 4), (4; 10) și (10; +∞). Este convenabil să prezentați rezultatele obținute sub forma următorului tabel.

Buna ziua! Acest articol se va concentra asupra problemelor care pot fi rezolvate fără a găsi derivata. În această secțiune am analizat deja câteva exemple.Semnificația sarcinilor este aceeași - trebuie să găsiți fie punctul maxim (minim) al funcției, fie să determinați valoarea maximă (minimă) a funcției.

Care este esența și care este algoritmul de soluție „standard” - puteți vedea în. Dar utilizarea acestui algoritm nu va fi rațională pentru toate sarcinile. Dacă îl urmați în exemplele de mai jos, procesul de soluție va fi „supraîncărcat” cu calcule. Nu trebuie să pierzi timpul la examen.Deci la ce sarcini ne referim?

Condiția oferă o funcție irațională, logaritmică sau exponențială:

unde sub rădăcină, sub semnul logaritmului sau în exponent există o funcție pătratică de forma:

Să luăm în considerare abordarea fără a găsi derivata. Veți vedea că astfel de probleme pot fi rezolvate oral.

Ce trebuie să știi?Proprietatea unei parabole, să o reamintim:

Dacă a > 0, atunci ramurile sale sunt îndreptate în sus.

Dacă a< 0, то её ветви направлены вниз.

Adică acesta este punctul extremum funcţie pătratică– în ea funcția își schimbă comportamentul de la creștere la descreștere sau invers.

Următorul fapt important(cheie pentru aceste sarcini):

Dacă funcția inițială este monotonă (în creștere sau scădere continuă), pentru aceasta punctul specificat „x” va fi, de asemenea, un punct extrem.

De ce? Să ne uităm la funcții separat, mai detaliat.

Funcția pătratică în exponent (cu n>1):

Uite!

Rezultă că valoarea lui z se modifică după cum urmează.

Opțiune când a>0 (ramurile parabolei sunt îndreptate în sus) – la x de la minus infinit la –b/2a z scade, în punctul –b/2a valoarea va fi minimă, apoi la x din –b/2a la infinit z crește.

Aceasta înseamnă că funcția y=n f (x) în sine va avea o valoare minimă în punctul x=–b/2a, deoarece un minim în indicator va avea ca rezultat un minim în rezultat.

Opțiune când a<0 (ветви параболы направлены вниз) – при х от минус бесконечности до –b/2a z увеличивается, в точке –b/2a значение будет максимальным, далее при х от –b/2a до бесконечности z уменьшается.

Aceasta înseamnă că funcția y=n f (x) în sine va avea o valoare maximă în punctul x=–b/2a, deoarece cu un maxim în indicator va fi un maxim în rezultat.

Funcția pătratică sub semnul logaritmului (cu n>1):

Să ne imaginăm că ax 2 +bx+c=z. Putem scrie:

Se pare că valoarea lui z se modifică după cum urmează:

Opțiune când a>0 (ramurile parabolei sunt îndreptate în sus) – la x de la minus infinit la –b/2a z scade, în punctul –b/2a valoarea va fi minimă, apoi la x din –b/2a la infinit z crește.

Aceasta înseamnă că funcția log n z în sine va avea o valoare minimă în punctul x=–b/2a. Deoarece funcția logaritmică scade pe măsură ce argumentul scade (se poate vedea din grafic).

Opțiune când a<0 (ветви параболы направлены вниз) – при х от минус бесконечности до –b/2a z увеличивается, в точке –b/2a значение будет максимальным, далее при х от –b/2a до бесконечности z уменьшается.

Aceasta înseamnă că funcția log n z în sine va avea valoarea maximă în punctul x=–b/2a. Deoarece funcția logaritmică crește pe măsură ce argumentul crește (se poate vedea din grafic).

Funcția pătratică sub semnul rădăcinii:

Să ne imaginăm că ax 2 +bx+c=z. Putem scrie:

Rezultă că:

Pentru a>0, valoarea lui z este minimă în punctul x=–b/2a, ceea ce înseamnă că funcția în sine va avea o valoare minimă. *Rădăcina celei mai mici valori va avea ca rezultat cel mai mic număr.

Când a<0 значение z максимально в точке х=–b/2a, а значит и сама функция будет иметь максимальное значение.

Astfel, să formulăm regula cheie:

ATENŢIE! Desigur, dacă intrați mai adânc în subiect, atunci opțiunile sunt posibile atunci când o funcție complexă are semn negativ, când logaritmul este în numitorul fracției, când baza logaritmului sau baza puterii este în variază de la 0 la 1. Desigur, este important să înțelegem cum se comportă funcția dată în condiție (crește sau scade). Dar pentru a rezolva sarcinile tipice de examen, concluzia indicată vă va fi suficientă.

Și, desigur, nu pierdeți din vedere gama de valori acceptabile ale unei anumite funcții:

— o expresie sub semnul rădăcinii, mai mare sau egală cu zero (un număr nenegativ).

- expresia de sub semnul logaritmului este un număr pozitiv.

- expresia din numitorul fractiei nu este egala cu zero.

În probleme similare de găsire a celor mai mari și mai mici valori ale unei funcții, aș sfătui găsirea domeniului de definiție în orice caz (chiar dacă în exemplele prezentate mai jos acest lucru nu ne oferă nimic important și nu afectează răspunsul).

Să ne uităm la exemple:

*Conținutul (mai mult de șase sarcini rezolvate) este disponibil numai pentru utilizatorii înregistrați! Fila de înregistrare (login) se află în MENIU PRINCIPAL al site-ului. După înregistrare, conectați-vă la site și reîmprospătați această pagină.

Salutări, Alexandru

P.S: V-as fi recunoscator daca mi-ati spune despre site pe retelele de socializare.

Cum să găsiți cele mai mari și cele mai mici valori ale unei funcții pe un segment?

Pentru aceasta urmam un algoritm binecunoscut:

1 . Găsim funcțiile ODZ.

2 . Găsirea derivatei funcției

3 . Echivalarea derivatei cu zero

4 . Găsim intervalele peste care derivata își păstrează semnul, iar din ele determinăm intervalele de creștere și scădere a funcției:

Dacă pe intervalul I derivata funcției este 0" title="f^(prim)(x)>0">, то функция !} crește în acest interval.

Dacă pe intervalul I derivata funcției , atunci funcția scade în acest interval.

5 . Găsim punctele maxime și minime ale funcției.

ÎN în punctul maxim al funcției, derivata își schimbă semnul de la „+” la „-”.

ÎN punctul minim al funcțieiderivata își schimbă semnul din „-” în „+”.

6 . Găsim valoarea funcției la capetele segmentului,

• apoi comparăm valoarea funcției la capetele segmentului și la punctele maxime și alegeți cea mai mare dintre ele dacă trebuie să găsiți cea mai mare valoare a funcției
• sau comparați valoarea funcției la capetele segmentului și la punctele minime și alegeți cel mai mic dintre ele dacă trebuie să găsiți cea mai mică valoare a funcției

Totuși, în funcție de modul în care funcția se comportă pe segment, acest algoritm poate fi redus semnificativ.

Luați în considerare funcția . Graficul acestei funcții arată astfel:

Să ne uităm la câteva exemple de rezolvare a problemelor din Deschide Banca sarcini pentru

1. Sarcina B15 (nr. 26695)

Pe segment.

1. Funcția este definită pentru toate valorile reale ale lui x

Evident, această ecuație nu are soluții, iar derivata este pozitivă pentru toate valorile lui x. În consecință, funcția crește și ia cea mai mare valoare la capătul drept al intervalului, adică la x=0.

Raspuns: 5.

2 . Sarcina B15 (nr. 26702)

Găsiți cea mai mare valoare a funcției pe segment.

1. Funcții ODZ title="x(pi)/2+(pi)k, k(in)(bbZ)">!}

Derivata este egală cu zero la , cu toate acestea, în aceste puncte nu își schimbă semnul:

Prin urmare, title="3/(cos^2(x))>=3">, значит, title="3/(cos^2(x))-3>=0">, то есть производная при всех допустимых значених х неотрицательна, следовательно, функция !} crește și ia cea mai mare valoare la capătul drept al intervalului, la .

Pentru a face evident de ce derivata nu își schimbă semnul, transformăm expresia pentru derivată după cum urmează:

Title="y^(prim)=3/(cos^2(x))-3=(3-3cos^2(x))/(cos^2(x))=(3sin^2 (x))/(cos^2(x))=3tg^2(x)>=0">!}

Raspuns: 5.

3. Sarcina B15 (nr. 26708)

Găsiți cea mai mică valoare a funcției de pe segment.

1. Funcții ODZ: title="x(pi)/2+(pi)k, k(in)(bbZ)">!}

Să plasăm rădăcinile acestei ecuații pe cercul trigonometric.

Intervalul conține două numere: și

Să punem semne. Pentru a face acest lucru, determinăm semnul derivatei în punctul x=0: . La trecerea prin puncte și, derivata își schimbă semnul.

Să descriem schimbarea semnelor derivatei unei funcții pe linia de coordonate:

Evident, punctul este un punct minim (la care derivata își schimbă semnul de la „-” la „+”), iar pentru a găsi cea mai mică valoare a funcției pe segment, trebuie să comparați valorile funcției la punctul minim și la capătul din stânga segmentului, .