Cum să găsiți cea mai mică valoare a unei funcții folosind derivata acesteia. Cea mai mare și cea mai mică valoare a unei funcții pe un segment

Acasă Lasă funcțiay =f(X) este continuă pe intervalul [ a, b ]. După cum se știe, o astfel de funcție își atinge valorile maxime și minime pe acest segment. Funcția poate lua aceste valori fie în punctul intern al segmentului [ a, b

], sau la limita segmentului. este continuă pe intervalul [ Pentru a găsi cele mai mari și cele mai mici valori ale unei funcții pe segment [

] necesar: ]. După cum se știe, o astfel de funcție își atinge valorile maxime și minime pe acest segment. Funcția poate lua aceste valori fie în punctul intern al segmentului [);

1) găsiți punctele critice ale funcției în intervalul (

2) calculați valorile funcției la punctele critice găsite; 3) calculați valorile funcției la capetele segmentului, adică când=x O și x =;

b

4) dintre toate valorile calculate ale funcției, selectați cea mai mare și cea mai mică. Exemplu.

Găsiți cele mai mari și cele mai mici valori ale unei funcții

pe segment.

Găsirea punctelor critice: Aceste puncte se află în interiorul segmentului;(1) = ‒ 3; Aceste puncte se află în interiorul segmentului;(2) = ‒ 4; Aceste puncte se află în interiorul segmentului;(0) = ‒ 8; Aceste puncte se află în interiorul segmentului;(3) = 1;

y 3) calculați valorile funcției la capetele segmentului, adică când la punct 3) calculați valorile funcției la capetele segmentului, adică când= 0.

= 3 și la punct

Studiul unei funcții pentru convexitate și punct de inflexiune. Aceste puncte se află în interiorul segmentului; = y = (3) calculați valorile funcției la capetele segmentului, adică când) Funcţie numit convexă (între ele, o) b , dacă graficul său se află sub tangenta desenată în orice punct al acestui interval și este numit convex în jos (concav)

, dacă graficul său se află deasupra tangentei. Se numește punctul prin care convexitatea este înlocuită cu concavitate sau invers.

punct de inflexiune

Algoritm pentru examinarea convexității și a punctului de inflexiune:

1. Găsiți puncte critice de al doilea fel, adică puncte la care derivata a doua este egală cu zero sau nu există.

2. Trasează punctele critice pe dreapta numerică, împărțind-o în intervale. Aflați semnul derivatei a doua pe fiecare interval; dacă , atunci funcția este convexă în sus, dacă, atunci funcția este convexă în jos.

3. Dacă, la trecerea printr-un punct critic de al doilea fel, semnul se schimbă și în acest punct derivata a doua este egală cu zero, atunci acest punct este abscisa punctului de inflexiune. Găsiți-i ordonata.

Asimptotele graficului unei funcții. Studiul unei funcții pentru asimptote. Definiţie. Asimptota graficului unei funcții se numește Drept

, care are proprietatea că distanța de la orice punct de pe grafic la această linie tinde spre zero pe măsură ce punctul de pe grafic se mișcă nelimitat de la origine. Există trei tipuri de asimptote:

Asimptotele graficului unei funcții. Studiul unei funcții pentru asimptote. vertical, orizontal și înclinat. Linia dreaptă se numește asimptotă verticală grafica functionala y = f(x)

unde este punctul de discontinuitate al funcției, adică nu aparține domeniului definiției.

4) dintre toate valorile calculate ale funcției, selectați cea mai mare și cea mai mică.

D ( Aceste puncte se află în interiorul segmentului;) = (‒ ∞; 2) (2; + ∞)

3) calculați valorile funcției la capetele segmentului, adică când= 2 – punctul de rupere.

Asimptotele graficului unei funcții. Studiul unei funcții pentru asimptote. Drept y =O numit asimptotă orizontală grafica functionala y = f(x) la , dacă

4) dintre toate valorile calculate ale funcției, selectați cea mai mare și cea mai mică.

Asimptotele graficului unei funcții. Studiul unei funcții pentru asimptote. Drept y =kx +o (k≠ 0) se numește asimptotă oblică grafica functionala y = f(x) la , unde

Schema generala de studiere a functiilor si de construire a graficelor.

Algoritmul de cercetare a funcțieiy = f(x) :

1. Găsiți domeniul funcției D (Aceste puncte se află în interiorul segmentului;).

2. Găsiți (dacă este posibil) punctele de intersecție ale graficului cu axele de coordonate (dacă 3) calculați valorile funcției la capetele segmentului, adică când= 0 și la Aceste puncte se află în interiorul segmentului; = 0).

3. Examinați uniformitatea și ciudățenia funcției ( Aceste puncte se află în interiorul segmentului; (‒ 3) calculați valorile funcției la capetele segmentului, adică când) = Aceste puncte se află în interiorul segmentului; (3) calculați valorile funcției la capetele segmentului, adică când) ‒ paritate; Aceste puncte se află în interiorul segmentului;(‒ 3) calculați valorile funcției la capetele segmentului, adică când) = ‒ Aceste puncte se află în interiorul segmentului; (3) calculați valorile funcției la capetele segmentului, adică când) ‒ ciudat).

4. Găsiți asimptotele graficului funcției.

5. Aflați intervalele de monotonitate ale funcției.

6. Aflați extremele funcției.

7. Aflați intervalele de convexitate (concavitate) și punctele de inflexiune ale graficului funcției.

8. Pe baza cercetărilor efectuate, construiți un grafic al funcției.

4) dintre toate valorile calculate ale funcției, selectați cea mai mare și cea mai mică. Explorează funcția și construiește graficul acesteia.

1) D (Aceste puncte se află în interiorul segmentului;) =

3) calculați valorile funcției la capetele segmentului, adică când= 4 – punct de rupere.

2) Când 3) calculați valorile funcției la capetele segmentului, adică când = 0,

(0; ‒ 5) – punct de intersecție cu Oh.

La Aceste puncte se află în interiorul segmentului; = 0,

3) Aceste puncte se află în interiorul segmentului;(‒ 3) calculați valorile funcției la capetele segmentului, adică când)= funcţie vedere generală(nici par, nici impar).

4) Examinăm pentru asimptote.

a) verticală

b) orizontală

c) găsiți asimptotele oblice unde

‒ecuația de asimptotă oblică

5) B ecuația dată nu este nevoie să găsim intervale de monotonitate ale funcției.

6)

Aceste puncte critice împart întregul domeniu de definire al funcției în intervalul (˗∞; ˗2), (˗2; 4), (4; 10) și (10; +∞). Este convenabil să prezentați rezultatele obținute sub forma următorului tabel.

Uneori, în problemele B14 există funcții „proaste” pentru care este dificil să găsești o derivată. Anterior, acest lucru se întâmpla doar în timpul probelor de teste, dar acum aceste sarcini sunt atât de comune încât nu mai pot fi ignorate atunci când se pregătesc pentru examenul de stat unificat real. În acest caz, funcționează alte tehnici, dintre care una este monotonia. Definiție Se spune că o funcție f (x) este în creștere monotonă pe segment dacă pentru orice puncte x 1 și x 2 ale acestui segment este valabil următoarele: x 1

Definiţie. Se spune că o funcție f (x) este monoton descrescătoare pe segment dacă pentru oricare dintre punctele x 1 și x 2 ale acestui segment se întâmplă următoarele: x 1 f (x 2). Cu alte cuvinte, pentru o funcție crescătoare, cu cât x este mai mare, cu atât f(x) este mai mare. Pentru o funcție descrescătoare este adevărat opusul: cu cât x este mai mare, cu atât f(x) este mai mic.

Exemple. Logaritmul crește monoton dacă baza a > 1 și scade monoton dacă 0 0. f (x) = log a x (a > 0; a 1; x > 0) 1 și scade monoton dacă 0 0. f (x) = log a x (a > 0; a 1; x > 0)"> 1 și scade monoton dacă 0 0. f (x) = log a x (a > 0 ; a 1; x > 0)"> 1, și scade monoton dacă 0 0. f (x) = log a x (a > 0; a 1; x > 0)" title="Examples . Logaritmul crește monoton dacă baza a > 1 și scade monoton dacă 0 0. f (x) = log a x (a > 0; a 1; x > 0)"> title="Exemple. Logaritmul crește monoton dacă baza a > 1 și scade monoton dacă 0 0. f (x) = log a x (a > 0; a 1; x > 0)"> !}

Exemple. Funcția exponențială se comportă similar cu logaritmul: crește pentru a > 1 și scade pentru 0 0: 1 și scade la 0 0:"> 1 și scade la 0 0:"> 1 și scade la 0 0:" title="Exemple. Funcția exponențială se comportă similar cu logaritmul: crește pentru a > 1 și scade pentru 0 0:"> title="Exemple. Funcția exponențială se comportă similar cu logaritmul: crește pentru a > 1 și scade pentru 0 0:"> !}

0) sau în jos (a 0) sau în jos (a 9 Coordonatele vârfului parabolei Cel mai adesea, argumentul funcției este înlocuit cu un trinom pătrat de forma Graficul său este o parabolă standard, în care ne interesează ramurile: Ramurile parabolei pot urca (pentru a > 0) sau în jos (a 0) sau cel mai mare (a 0) sau în jos (a 0) sau în jos (a 0) sau cel mai mare (a 0) sau în jos (a 0) sau în jos (a title="(! LANG:Coordonatele vârfului unei parabole Cel mai adesea, argumentul funcției este înlocuit cu un trinom pătratic de forma Graficul său este o parabolă standard, în care ne interesează ramurile: Ramurile unei parabole pot urca (pentru a > 0) sau în jos (a

Nu există niciun segment în declarația problemei. Prin urmare, nu este nevoie să se calculeze f(a) și f(b). Rămâne să luăm în considerare doar punctele extremum; Dar există un singur astfel de punct - vârful parabolei x 0, ale cărui coordonate sunt calculate literalmente oral și fără derivate.

Astfel, rezolvarea problemei este mult simplificată și se reduce la doar doi pași: Scrieți ecuația parabolei și găsiți vârful acesteia folosind formula: Aflați valoarea funcției inițiale în acest punct: f (x 0). Daca nu conditii suplimentare nu, acesta va fi raspunsul.

0. Vârful unei parabole: x 0 = b/(2a) = 6/(2 1) = 6/2 = 3" title="Find cea mai mică valoare funcții: Soluție: Sub rădăcină se află funcţie pătratică Graficul acestei funcții de parabolă are ramuri în sus, deoarece coeficientul a = 1 > 0. Vârful parabolei: x 0 = b/(2a) = 6/(2 1) = 6/2 = 3" class=" link_thumb"> 18 Aflați cea mai mică valoare a funcției: Rezolvare: Sub rădăcină există o funcție pătratică Graficul acestei funcții este o parabolă cu ramuri în sus, deoarece coeficientul a = 1 > 0. Vârful parabolei: x 0 = b/. (2a) = 6/(2 1) = 6/2 = 3 0. Vârful parabolei: x 0 = b/(2a) = 6/(2 1) = 6/2 = 3"> 0. Vârful parabolei: x 0 = b/(2a) = 6/(2) 1) = 6/2 = 3"> 0. Vârful parabolei: x 0 = b/(2a) = 6/(2 1) = 6/2 = 3" title="Găsiți cea mai mică valoare a funcției: Rezolvare: Sub rădăcină se află o funcție pătratică Graficul acestei funcții este o parabolă cu ramuri în sus, deoarece coeficientul a = 1 > 0. Vârful parabolei: x 0 = b/(2a) = 6/(2 1) = 6/2 = 3"> title="Aflați cea mai mică valoare a funcției: Rezolvare: Sub rădăcină există o funcție pătratică Graficul acestei funcții este o parabolă cu ramuri în sus, deoarece coeficientul a = 1 > 0. Vârful parabolei: x 0 = b/. (2a) = 6/(2 1) = 6/2 = 3"> !}

Găsiți cea mai mică valoare a funcției: Soluție Sub logaritm, funcția pătratică este din nou Graficul parabolei are ramuri în sus, deoarece a = 1 > 0. Vârful parabolei: x 0 = b/(2a) = 2/(2 1) = 2/2 = 1 0. Vârful parabolei: x 0 = b/(2a) = 2/(2 1) = 2/2 = 1"> 0. Vârful parabolei: x 0 = b/(2a) = 2/(2) 1) = 2/2 = 1"> 0. Vârful parabolei: x 0 = b/(2a) = 2/(2 1) = 2/2 = 1" title="Găsiți cea mai mică valoare a funcției: Rezolvare Sub logaritm este din nou o funcție pătratică Graficul parabolei are ramuri în sus, deoarece a = 1 > 0. Vârful parabolei: x 0 = b/(2a) = 2/(2 1) = 2/2 = 1"> title="Găsiți cea mai mică valoare a funcției: Soluție Sub logaritm, funcția pătratică este din nou Graficul parabolei are ramuri în sus, deoarece a = 1 > 0. Vârful parabolei: x 0 = b/(2a) = 2/(2 1) = 2/2 = 1"> !}

Aflați cea mai mare valoare a funcției: Rezolvare: Exponentul conține o funcție pătratică Să o rescriem în formă normală: Evident, graficul acestei funcții este o parabolă, ramificate în jos (a = 1

Corolare din domeniul funcției Uneori pentru a rezolva problema B14 nu este suficient să găsim pur și simplu vârful parabolei. Valoarea dorită se poate afla la sfârșitul segmentului și deloc în punctul extremum. Dacă problema nu specifică deloc un segment, ne uităm la intervalul de valori permise ale funcției originale. Anume:

0 2. Aritmetică rădăcină pătrată există numai din numere nenegative: 3. Numitorul fracției nu trebuie să fie zero:" title="1. Argumentul logaritmului trebuie să fie pozitiv: y = log a f (x) f (x) > 0 2. Rădăcina pătrată aritmetică există numai din numere nenegative: 3. Numitorul fracției nu trebuie să fie egal cu zero:" class="link_thumb"> 26 !} 1. Argumentul logaritmului trebuie să fie pozitiv: y = log a f (x) f (x) > 0 2. Rădăcina pătrată aritmetică există numai din numere nenegative: 3. Numitorul fracției nu trebuie să fie zero: 0 2. Rădăcina pătrată aritmetică există numai din numere nenegative: 3. Numitorul unei fracții nu trebuie să fie egal cu zero: „> 0 2. Rădăcina pătrată aritmetică există numai din numere nenegative: 3. Numitorul a unei fracții nu trebuie să fie egal cu zero: "> 0 2. Aritmetică rădăcina pătrată există numai a numerelor nenegative: 3. Numitorul fracției nu trebuie să fie zero:" title="1. The argumentul logaritmului trebuie să fie pozitiv: y = log a f (x) f (x) > 0 2. Pătrat aritmetic rădăcina există numai din numere nenegative: 3. Numitorul fracției nu trebuie să fie egal cu zero:"> title="1. Argumentul logaritmului trebuie să fie pozitiv: y = log a f (x) f (x) > 0 2. Rădăcina pătrată aritmetică există numai din numere nenegative: 3. Numitorul fracției nu trebuie să fie zero:"> !}

Soluție Sub rădăcină este din nou o funcție pătratică. Graficul său este parabolic, dar ramurile sunt îndreptate în jos, deoarece a = 1
Acum să găsim vârful parabolei: x 0 = b/(2a) = (2)/(2 · (1)) = 2/(2) = 1 Punctul x 0 = 1 aparține segmentului ODZ și acesta este bun. Acum calculăm valoarea funcției în punctul x 0, precum și la capetele ODZ: y(3) = y(1) = 0 Deci, am obținut numerele 2 și 0. Ni se cere să găsim cel mai mare număr 2. Răspuns: 2

Vă rugăm să rețineți: inegalitatea este strictă, astfel încât capetele nu aparțin ODZ. Acest lucru diferă logaritmul de rădăcină, unde capetele segmentului ni se potrivesc destul de bine. Căutăm vârful parabolei: x 0 = b/(2a) = 6/(2 · (1)) = 6/(2) = 3 Vârful parabolei se potrivește cu ODZ: x 0 = 3 ( 1; 5). Dar din moment ce nu ne interesează capetele segmentului, calculăm valoarea funcției doar în punctul x 0:

Y min = y(3) = log 0,5 (6 ) = = log 0,5 (18 9 5) = log 0,5 4 = 2 Răspuns: -2

Cum să găsiți cele mai mari și cele mai mici valori ale unei funcții pe un segment?

Pentru aceasta urmam un algoritm binecunoscut:

1 . Găsim funcțiile ODZ.

2 . Găsirea derivatei funcției

3 . Echivalarea derivatei cu zero

4 . Găsim intervalele peste care derivata își păstrează semnul, iar din ele determinăm intervalele de creștere și scădere a funcției:

Dacă pe intervalul I derivata funcției este 0" title="f^(prim)(x)>0">, то функция !} crește în acest interval.

Dacă pe intervalul I derivata funcției , atunci funcția scade în acest interval.

5 . Găsim punctele maxime și minime ale funcției.

ÎN în punctul maxim al funcției, derivata își schimbă semnul de la „+” la „-”.

ÎN punctul minim al funcțieiderivata își schimbă semnul din „-” în „+”.

6 . Găsim valoarea funcției la capetele segmentului,

• apoi comparăm valoarea funcției la capetele segmentului și la punctele maxime și alegeți cea mai mare dintre ele dacă trebuie să găsiți cea mai mare valoare a funcției
• sau comparați valoarea funcției la capetele segmentului și la punctele minime și alegeți cel mai mic dintre ele dacă trebuie să găsiți cea mai mică valoare a funcției

Totuși, în funcție de modul în care funcția se comportă pe segment, acest algoritm poate fi redus semnificativ.

Luați în considerare funcția . Graficul acestei funcții arată astfel:

Să ne uităm la câteva exemple de rezolvare a problemelor din Deschide Banca sarcini pentru

1. Sarcina B15 (nr. 26695)

Pe segment.

1. Funcția este definită pentru toate valorile reale ale lui x

Evident, această ecuație nu are soluții, iar derivata este pozitivă pentru toate valorile lui x. În consecință, funcția crește și ia cea mai mare valoare la capătul drept al intervalului, adică la x=0.

Raspuns: 5.

2 . Sarcina B15 (nr. 26702)

Găsiți cea mai mare valoare a funcției pe segment.

1. Funcții ODZ title="x(pi)/2+(pi)k, k(in)(bbZ)">!}

Derivata este egală cu zero la , cu toate acestea, în aceste puncte nu își schimbă semnul:

Prin urmare, title="3/(cos^2(x))>=3">, значит, title="3/(cos^2(x))-3>=0">, то есть производная при всех допустимых значених х неотрицательна, следовательно, функция !} crește și ia cea mai mare valoare la capătul drept al intervalului, la .

Pentru a face evident de ce derivata nu își schimbă semnul, transformăm expresia pentru derivată după cum urmează:

Title="y^(prim)=3/(cos^2(x))-3=(3-3cos^2(x))/(cos^2(x))=(3sin^2 (x))/(cos^2(x))=3tg^2(x)>=0">!}

Raspuns: 5.

3. Sarcina B15 (nr. 26708)

Găsiți cea mai mică valoare a funcției de pe segment.

1. Funcții ODZ: title="x(pi)/2+(pi)k, k(in)(bbZ)">!}

Să plasăm rădăcinile acestei ecuații pe cercul trigonometric.

Intervalul conține două numere: și

Să punem semne. Pentru a face acest lucru, determinăm semnul derivatei în punctul x=0: . La trecerea prin puncte și, derivata își schimbă semnul.

Să descriem schimbarea semnelor derivatei unei funcții pe linia de coordonate:

Evident, punctul este un punct minim (la care derivata își schimbă semnul de la „-” la „+”), iar pentru a găsi cea mai mică valoare a funcției pe segment, trebuie să comparați valorile funcției la punctul minim și la capătul din stânga segmentului, .

Lecția cu tema „Folosirea derivatei pentru a găsi cele mai mari și cele mai mici valori ale unei funcții continue pe un interval” va examina probleme relativ simple de găsire a celor mai mari și mai mici valori ale unei funcții pe un interval dat folosind derivata .

Subiect: derivat

Lecție: Utilizarea derivatei pentru a găsi cele mai mari și cele mai mici valori ale unei funcții continue pe un interval

În această lecție ne vom uita la mai multe sarcină simplă, și anume, se va da un interval, se va da o funcție continuă pe acest interval. Trebuie să aflăm cea mai mare și cea mai mică valoare a unui dat funcții pe un dat între.

Nr. 32.1 (b). Având în vedere: , . Să desenăm un grafic al funcției (vezi Fig. 1).

Orez. 1. Graficul unei funcții.

Se știe că această funcție crește pe interval, ceea ce înseamnă că crește și pe interval. Aceasta înseamnă că, dacă găsiți valoarea unei funcții în puncte și , atunci limitele de modificare ale acestei funcții, vor fi cunoscute valorile sale cele mai mari și cele mai mici.

Când argumentul crește de la la 8, funcția crește de la la .

Răspuns: ; .

Nr. 32.2 (a) dat: Găsiți cele mai mari și cele mai mici valori ale funcției pe un interval dat.

Să reprezentăm grafic această funcție (vezi Fig. 2).

Dacă argumentul se schimbă în interval, atunci funcția crește de la -2 la 2. Dacă argumentul crește de la, atunci funcția scade de la 2 la 0.

Orez. 2. Graficul funcției.

Să găsim derivata.

, . Dacă , atunci această valoare aparține și segmentului dat. Dacă, atunci. Este ușor de verificat dacă ia alte valori și punctele staționare corespunzătoare se încadrează în afara segmentului dat. Să comparăm valorile funcției la capetele segmentului și în punctele selectate la care derivata este egală cu zero. Vom găsi

;

Răspuns: ;.

Deci, răspunsul a fost primit. În acest caz, puteți folosi derivata, nu o puteți folosi, puteți aplica proprietățile funcției care au fost studiate mai devreme. Acest lucru nu se întâmplă întotdeauna, uneori, utilizarea unui derivat este singura metodă care vă permite să rezolvați astfel de probleme.

Având în vedere: , . Găsiți cele mai mari și cele mai mici valori ale funcției pe un anumit segment.

Dacă în cazul precedent a fost posibil să se facă fără derivată - știam cum se comportă funcția, atunci în acest caz funcția este destul de complexă. Prin urmare, metodologia pe care am menționat-o în sarcina anterioară este pe deplin aplicabilă.

1. Să găsim derivata. Să găsim puncte critice, deci - puncte critice. Dintre acestea le selectăm pe cele care aparțin acestui segment: . Să comparăm valoarea funcției în punctele , , . Pentru asta vom găsi

Să ilustrăm rezultatul în figură (vezi Fig. 3).

Orez. 3. Limite pentru modificarea valorilor funcției

Vedem că dacă argumentul se schimbă de la 0 la 2, funcția se modifică în intervalul de la -3 la 4. Funcția nu se schimbă monoton: fie crește, fie scade.

Răspuns: ;.

Deci, folosind trei exemple, a fost demonstrată tehnica generală de găsire a valorilor mai mari și cele mai mici ale unei funcții pe un interval, în acest caz pe un segment.

Algoritm pentru rezolvarea problemei de a găsi cele mai mari și cele mai mici valori ale unei funcții:

1. Aflați derivata funcției.

2. Găsiți punctele critice ale funcției și selectați acele puncte care se află pe un segment dat.

3. Găsiți valorile funcției la capetele segmentului și în punctele selectate.

4. Comparați aceste valori și alegeți cel mai mare și cel mai mic.

Să ne uităm la un alt exemplu.

Găsiți cea mai mare și cea mai mică valoare a funcției , .

Graficul acestei funcții a fost considerat anterior (vezi Fig. 4).

Orez. 4. Graficul funcției.

Pe interval, intervalul de valori ale acestei funcții . Punct - punct maxim. Când - funcția crește, când - funcția scade. Din desen este clar că , - nu există.

Deci, în lecție ne-am uitat la problema celor mai mari și mai mici valori ale unei funcții atunci când intervalul dat este un segment; a formulat un algoritm pentru rezolvarea unor astfel de probleme.

1. Algebră și început de analiză, nota 10 (în două părți). Tutorial pentru institutii de invatamant (nivel de profil) ed. A. G. Mordkovici. -M.: Mnemosyne, 2009.

2. Algebră și început de analiză, nota 10 (în două părți). Cartea de probleme pentru instituțiile de învățământ (nivel de profil), ed. A. G. Mordkovici. -M.: Mnemosyne, 2007.

3. Vilenkin N.Ya., Ivashev-Musatov O.S., Shvartsburd S.I. Algebră și calcul pentru clasa a 10-a ( manual de instruire pentru elevii școlilor și claselor cu studiu aprofundat matematică).-M.: Educaţie, 1996.

4. Galitsky M.L., Moshkovich M.M., Shvartburd S.I. Studiu aprofundat al algebrei și analizei matematice.-M.: Educație, 1997.

5. Culegere de probleme de matematică pentru solicitanţii la instituţiile de învăţământ superior (editate M.I. Skanavi - M.: Şcoala superioară, 1992).

6. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Simulator algebric.-K.: A.S.K., 1997.

7. Zvavich L.I., Shlyapochnik L.Ya., Chinkina Algebra și începuturile analizei. Clasele 8-11: Un manual pentru școli și clase cu studiu aprofundat al matematicii (materiale didactice - M.: Bustard, 2002).

8. Sahakyan S.M., Goldman A.M., Denisov D.V. Probleme de algebră și principii de analiză (manual pentru elevii din clasele 10-11 din instituțiile de învățământ general - M.: Prosveshchenie, 2003).

9. Karp A.P. Culegere de probleme de algebră și principii de analiză: manual. indemnizatie pentru 10-11 clase. cu profunzime studiat Matematică.-M.: Educaţie, 2006.

10. Glazer G.I. Istoria matematicii la scoala. Clasele 9-10 (manual pentru profesori).-M.: Educaţie, 1983

Resurse web suplimentare

2. Portal Științe ale naturii ().

Fă-o acasă

Nr. 46.16, 46.17 (c) (Algebră și începuturi de analiză, nota 10 (în două părți). Cartea de probleme pentru instituțiile de învățământ general (nivel de profil) editată de A. G. Mordkovich. - M.: Mnemozina, 2007.)

Procesul de căutare a celor mai mici și mai mari valori ale unei funcții pe un segment amintește de un zbor fascinant în jurul unui obiect (graficul funcției) într-un elicopter, trăgând în anumite puncte dintr-un tun cu rază lungă de acțiune și selectând puncte foarte speciale din aceste puncte pentru lovituri de control. Punctele sunt selectate într-un anumit mod și în conformitate cu anumite reguli. După ce reguli? Vom vorbi mai departe despre asta.

Dacă funcţia Aceste puncte se află în interiorul segmentului; = y =(3) calculați valorile funcției la capetele segmentului, adică când) este continuă pe intervalul [ între ele, o] , apoi ajunge pe acest segment cel mai puţin Şi cele mai mari valori . Acest lucru se poate întâmpla fie în puncte extremum, sau la capetele segmentului. Prin urmare, pentru a găsi cel mai puţin Şi cele mai mari valori ale funcției , continuu pe intervalul [ între ele, o] , trebuie să-i calculați valorile în totalitate puncte criticeși la capetele segmentului, apoi alegeți cel mai mic și cel mai mare dintre ele.

De exemplu, doriți să determinați cea mai mare valoare a funcției y =(3) calculați valorile funcției la capetele segmentului, adică când) pe segmentul [ între ele, o] . Pentru a face acest lucru, trebuie să găsiți toate punctele sale critice pe [ între ele, o] .

Punct critic numit punctul în care functie definita, și ea derivat fie egal cu zero, fie nu există. Apoi ar trebui să calculați valorile funcției în punctele critice. Și, în sfârșit, ar trebui să comparăm valorile funcției în punctele critice și la capetele segmentului ( y =(între ele) Și y =(o)). Cel mai mare dintre aceste numere va fi cea mai mare valoare a funcției de pe segment [între ele, o] .

Probleme de găsire cele mai mici valori ale funcției .

Căutăm împreună cele mai mici și cele mai mari valori ale funcției

Exemplul 1. Găsiți cele mai mici și cele mai mari valori ale unei funcții pe segment [-1, 2] .

Soluţie. Găsiți derivata acestei funcții. Să echivalăm derivata cu zero () și să obținem două puncte critice: și . Pentru a găsi cele mai mici și mai mari valori ale unei funcții pe un anumit segment, este suficient să-i calculați valorile la capetele segmentului și la punctul, deoarece punctul nu aparține segmentului [-1, 2]. Aceste valori ale funcției sunt: ​​, , . De aici rezultă că cea mai mică valoare a funcției(indicat cu roșu pe graficul de mai jos), egal cu -7, este realizat la capătul din dreapta al segmentului - în punctul , și cel mai mare(de asemenea roșu pe grafic), este egal cu 9, - în punctul critic.

Dacă o funcție este continuă într-un anumit interval și acest interval nu este un segment (dar este, de exemplu, un interval; diferența dintre un interval și un segment: punctele limită ale intervalului nu sunt incluse în interval, ci punctele de limită ale segmentului sunt incluse în segment), apoi printre valorile funcției este posibil să nu fie cel mai mic și cel mai mare. Deci, de exemplu, funcția prezentată în figura de mai jos este continuă pe ]-∞, +∞[ și nu are cea mai mare valoare.

Cu toate acestea, pentru orice interval (închis, deschis sau infinit), următoarea proprietate a funcțiilor continue este adevărată.

Exemplul 4. Găsiți cele mai mici și cele mai mari valori ale unei funcții pe segment [-1, 3] .

Soluţie. Găsim derivata acestei funcții ca derivată a coeficientului:

.

Echivalăm derivata cu zero, ceea ce ne oferă un punct critic: . Aparține segmentului [-1, 3] . Pentru a găsi cele mai mici și mai mari valori ale unei funcții pe un anumit segment, găsim valorile acesteia la capetele segmentului și în punctul critic găsit:

Să comparăm aceste valori. Concluzie: egal cu -5/13, la punctul și cea mai mare valoare egal cu 1 la punctul .

Continuăm să căutăm împreună cele mai mici și mai mari valori ale funcției

Sunt profesori care, pe tema găsirii celor mai mici și mai mari valori ale unei funcții, nu dau elevilor exemple de rezolvat mai complexe decât cele discutate, adică acelea în care funcția este un polinom sau un fracție, al cărei numărător și numitor sunt polinoame. Dar nu ne vom limita la astfel de exemple, deoarece printre profesori sunt cei cărora le place să-i oblige pe elevi să gândească în întregime (tabelul derivatelor). Prin urmare, se vor folosi funcția logaritm și trigonometrică.

Exemplul 6. Găsiți cele mai mici și cele mai mari valori ale unei funcții pe segment .

Soluţie. Găsim derivata acestei funcții ca derivat al produsului :

Echivalăm derivata cu zero, ceea ce dă un punct critic: . Aparține segmentului. Pentru a găsi cele mai mici și mai mari valori ale unei funcții pe un anumit segment, găsim valorile acesteia la capetele segmentului și în punctul critic găsit:

Rezultatul tuturor acțiunilor: funcția își atinge valoarea minimă, egal cu 0, în punctul și în punctul și cea mai mare valoare, egal e², la punctul.

Exemplul 7. Găsiți cele mai mici și cele mai mari valori ale unei funcții pe segment .

Soluţie. Găsiți derivata acestei funcții:

Echivalăm derivata cu zero:

Singurul punct critic aparține segmentului. Pentru a găsi cele mai mici și mai mari valori ale unei funcții pe un anumit segment, găsim valorile acesteia la capetele segmentului și în punctul critic găsit:

Concluzie: funcția își atinge valoarea minimă, egal cu , la punctul și cea mai mare valoare, egal , la punctul .

În problemele extreme aplicate, găsirea celor mai mici (maxime) valori ale unei funcții, de regulă, se reduce la găsirea minimului (maximului). Dar mai mare interes practic nu au minimele sau maximele în sine, ci acele valori ale argumentului la care sunt atinse. La rezolvarea problemelor aplicate, apare o dificultate suplimentară - alcătuirea funcțiilor care descriu fenomenul sau procesul luat în considerare.

Exemplul 8. Un rezervor cu o capacitate de 4, avand forma unui paralelipiped cu baza patrata si deschis in varf, trebuie sa fie cositorit. Ce dimensiune ar trebui să aibă rezervorul, astfel încât să se folosească cea mai mică cantitate de material pentru a-l acoperi?

Soluţie. Lasă 3) calculați valorile funcției la capetele segmentului, adică când- partea de bază, h- inaltimea rezervorului, S- suprafața sa fără acoperire, V- volumul acestuia. Suprafața rezervorului este exprimată prin formula, adică este o funcție a două variabile. A exprima Sîn funcție de o variabilă, folosim faptul că , de unde . Înlocuind expresia găsită hîn formula pentru S:

Să examinăm această funcție până la extrem. Este definită și diferențiabilă peste tot în ]0, +∞[ , și

.

Echivalăm derivata cu zero () și găsim punctul critic. În plus, atunci când derivata nu există, dar această valoare nu este inclusă în domeniul definiției și, prin urmare, nu poate fi un punct extremum. Deci, acesta este singurul punct critic. Să verificăm prezența unui extremum folosind al doilea semn suficient. Să găsim derivata a doua. Când derivata a doua este mai mare decât zero (). Aceasta înseamnă că atunci când funcția atinge un minim . De la aceasta minim este singurul extrem al acestei funcții, este cea mai mică valoare a acesteia. Deci, partea bazei rezervorului ar trebui să fie de 2 m, iar înălțimea acestuia ar trebui să fie de .

Exemplul 9. Din punct de vedere O situat pe linia de cale ferata, pana la punct CU, situat la o distanţă de acesta l, marfa trebuie transportata. Costul transportului unei unități de greutate pe unitate de distanță pe calea ferată este egal cu , iar pe autostradă este egal cu . Până în ce punct M linii feroviar ar trebui construită o autostradă pentru a transporta mărfuri din O V CU a fost cea mai economică (secțiunea AB se presupune că calea ferată este dreaptă)?