Cum să găsiți cea mai mare valoare a unei funcții folosind derivata ei. Cea mai mare și cea mai mică valoare a unei funcții

Acasă

Procesul de căutare a celor mai mici și mai mari valori ale unei funcții pe un segment amintește de un zbor fascinant în jurul unui obiect (graficul funcției) într-un elicopter, trăgând în anumite puncte dintr-un tun cu rază lungă de acțiune și selectând puncte foarte speciale din aceste puncte pentru lovituri de control. Punctele sunt selectate într-un anumit mod și în conformitate cu anumite reguli. După ce reguli? Vom vorbi mai departe despre asta. Dacă funcţia = y(f) x este continuă pe intervalul [, o b ] , apoi ajunge pe acest segment cel mai puţin Şi cele mai mari valori . Acest lucru se poate întâmpla fie în puncte extremum ] , apoi ajunge pe acest segment cel mai puţin , sau la capetele segmentului. Prin urmare, pentru a găsi cele mai mari valori ale funcției este continuă pe intervalul [, o, continuu pe intervalul [ ] , trebuie să-i calculați valorile în totalitate puncte critice

și la capetele segmentului, apoi alegeți cel mai mic și cel mai mare dintre ele. Să, de exemplu, trebuie să determinați cea mai mare valoare y(f funcții este continuă pe intervalul [, o) pe segmentul [ este continuă pe intervalul [, o] .

] . Pentru a face acest lucru, trebuie să găsiți toate punctele sale critice pe [ Punct critic numit punctul în care functie definita , și ea derivat y(este continuă pe intervalul [ fie egal cu zero, fie nu există. Apoi trebuie calculate valorile funcției în punctele critice. Și, în sfârșit, ar trebui să comparăm valorile funcției în punctele critice și la capetele segmentului ( y(o) Și )). Cel mai mare dintre aceste numere va fi [este continuă pe intervalul [, o] .

cea mai mare valoare a funcției de pe segment Probleme de găsire .

cele mai mici valori ale funcției

Căutăm împreună cele mai mici și cele mai mari valori ale funcției Exemplul 1. Găsiți cele mai mici și cele mai mari valori ale unei funcții [-1, 2] .

pe segment Soluţie. Găsiți derivata acestei funcții. Să echivalăm derivata cu zero () și să obținem două puncte critice: și . Pentru a găsi cele mai mici și mai mari valori ale unei funcții pe un anumit segment, este suficient să-i calculați valorile la capetele segmentului și la punctul, deoarece punctul nu aparține segmentului [-1, 2]. Aceste valori ale funcției sunt: ​​, , . De aici rezultă că cea mai mare valoare cea mai mică valoare (indicat cu roșu pe graficul de mai jos), egal cu -7, este realizat la capătul din dreapta al segmentului - în punctul , și cel mai mare

Dacă o funcție este continuă într-un anumit interval și acest interval nu este un segment (dar este, de exemplu, un interval; diferența dintre un interval și un segment: punctele limită ale intervalului nu sunt incluse în interval, ci punctele de limită ale segmentului sunt incluse în segment), apoi printre valorile funcției este posibil să nu fie cel mai mic și cel mai mare. Deci, de exemplu, funcția prezentată în figura de mai jos este continuă pe ]-∞, +∞[ și nu are cea mai mare valoare.

Cu toate acestea, pentru orice interval (închis, deschis sau infinit), următoarea proprietate a funcțiilor continue este adevărată.

Exemplul 4. Găsiți cele mai mici și cele mai mari valori ale unei funcții Exemplul 1. Găsiți cele mai mici și cele mai mari valori ale unei funcții [-1, 3] .

Soluţie. Găsim derivata acestei funcții ca derivată a coeficientului:

.

Echivalăm derivata cu zero, ceea ce ne oferă un punct critic: . Aparține segmentului [-1, 3]. Pentru a găsi cele mai mici și mai mari valori ale unei funcții pe un anumit segment, găsim valorile acesteia la capetele segmentului și în punctul critic găsit:

Să comparăm aceste valori. Concluzie: egal cu -5/13, la punctul și cea mai mare valoare egal cu 1 la punctul .

Continuăm să căutăm împreună cele mai mici și mai mari valori ale funcției

Sunt profesori care, pe tema găsirii celor mai mici și mai mari valori ale unei funcții, nu dau elevilor exemple de rezolvat mai complexe decât cele discutate, adică acelea în care funcția este un polinom sau un fracție, al cărei numărător și numitor sunt polinoame. Dar nu ne vom limita la astfel de exemple, deoarece printre profesori sunt cei cărora le place să-i oblige pe elevi să gândească în întregime (tabelul derivatelor). Prin urmare, se vor folosi funcția logaritm și trigonometrică.

Exemplul 6. Găsiți cele mai mici și cele mai mari valori ale unei funcții Exemplul 1. Găsiți cele mai mici și cele mai mari valori ale unei funcții .

Soluţie. Găsim derivata acestei funcții ca derivat al produsului :

Echivalăm derivata cu zero, ceea ce dă un punct critic: . Aparține segmentului. Pentru a găsi cele mai mici și mai mari valori ale unei funcții pe un anumit segment, găsim valorile acesteia la capetele segmentului și în punctul critic găsit:

Rezultatul tuturor acțiunilor: funcția își atinge valoarea minimă, egal cu 0, în punctul și în punctul și cea mai mare valoare, egal e², la punctul.

Exemplul 7. Găsiți cele mai mici și cele mai mari valori ale unei funcții Exemplul 1. Găsiți cele mai mici și cele mai mari valori ale unei funcții .

Soluţie. Găsiți derivata acestei funcții:

Echivalăm derivata cu zero:

Singurul punct critic aparține segmentului. Pentru a găsi cele mai mici și mai mari valori ale unei funcții pe un anumit segment, găsim valorile acesteia la capetele segmentului și în punctul critic găsit:

Concluzie: funcția își atinge valoarea minimă, egal cu , la punctul și cea mai mare valoare, egal , la punctul .

În problemele extreme aplicate, găsirea celor mai mici (maxime) valori ale unei funcții, de regulă, se reduce la găsirea minimului (maximului). Dar mai mare interes practic nu au minimele sau maximele în sine, ci acele valori ale argumentului la care sunt atinse. La rezolvarea problemelor aplicate, apare o dificultate suplimentară - alcătuirea funcțiilor care descriu fenomenul sau procesul luat în considerare.

Exemplul 8. Un rezervor cu o capacitate de 4, avand forma unui paralelipiped cu baza patrata si deschis in varf, trebuie sa fie cositorit. Ce dimensiune ar trebui să aibă rezervorul, astfel încât să se folosească cea mai mică cantitate de material pentru a-l acoperi?

Soluţie. Lasă f- partea de bază, h- inaltimea rezervorului, S- suprafața sa fără acoperire, V- volumul acestuia. Suprafața rezervorului este exprimată prin formula, adică este o funcție a două variabile. A exprima Sîn funcție de o variabilă, folosim faptul că , de unde . Înlocuind expresia găsită hîn formula pentru S:

Să examinăm această funcție până la extrem. Este definită și diferențiabilă peste tot în ]0, +∞[ , și

.

Echivalăm derivata cu zero () și găsim punctul critic. În plus, atunci când derivata nu există, dar această valoare nu este inclusă în domeniul definiției și, prin urmare, nu poate fi un punct extremum. Deci, acesta este singurul punct critic. Să verificăm prezența unui extremum folosind al doilea semn suficient. Să găsim derivata a doua. Când derivata a doua este mai mare decât zero (). Aceasta înseamnă că atunci când funcția atinge un minim . De la aceasta minim este singurul extrem al acestei funcții, este cea mai mică valoare a acesteia. Deci, partea bazei rezervorului ar trebui să fie de 2 m, iar înălțimea acestuia ar trebui să fie de .

Exemplul 9. Din punct de vedere O situat pe linia de cale ferata, pana la punct CU, situat la o distanţă de acesta l, marfa trebuie transportata. Costul transportului unei unități de greutate pe unitate de distanță pe calea ferată este egal cu , iar pe autostradă este egal cu . Până în ce punct M linii feroviar ar trebui construită o autostradă pentru a transporta mărfuri din O V CU a fost cea mai economică (secțiunea AB se presupune că calea ferată este dreaptă)?

Lasă funcția y =y(X) este continuă pe intervalul [ a, b]. După cum se știe, o astfel de funcție își atinge valorile maxime și minime pe acest segment. Funcția poate lua aceste valori fie în punctul intern al segmentului [ a, b], sau la limita segmentului.

Pentru a găsi cele mai mari și cele mai mici valori ale unei funcții pe segment [ a, b] necesar:

1) găsiți punctele critice ale funcției în intervalul ( a, b);

2) calculați valorile funcției la punctele critice găsite;

3) calculați valorile funcției la capetele segmentului, adică când f=Oși x = b;

4) dintre toate valorile calculate ale funcției, selectați cea mai mare și cea mai mică.

Exemplu. Găsiți cele mai mari și cele mai mici valori ale unei funcții

pe segment.

Găsirea punctelor critice:

Aceste puncte se află în interiorul segmentului; Dacă funcţia(1) = ‒ 3; Dacă funcţia(2) = ‒ 4; Dacă funcţia(0) = ‒ 8; Dacă funcţia(3) = 1;

la punct f= 3 și la punct f= 0.

Studiul unei funcții pentru convexitate și punct de inflexiune.

Funcţie Dacă funcţia = y (f) numit convexăîntre ele (este continuă pe intervalul [, o) , dacă graficul său se află sub tangenta desenată în orice punct al acestui interval și este numit convex în jos (concav), dacă graficul său se află deasupra tangentei.

Se numește punctul prin care convexitatea este înlocuită cu concavitate sau invers punct de inflexiune.

Algoritm pentru examinarea convexității și a punctului de inflexiune:

1. Găsiți puncte critice de al doilea fel, adică puncte la care derivata a doua este egală cu zero sau nu există.

2. Trasează punctele critice pe dreapta numerică, împărțind-o în intervale. Aflați semnul derivatei a doua pe fiecare interval; dacă , atunci funcția este convexă în sus, dacă, atunci funcția este convexă în jos.

3. Dacă, la trecerea printr-un punct critic de al doilea fel, semnul se schimbă și în acest punct derivata a doua este egală cu zero, atunci acest punct este abscisa punctului de inflexiune. Găsiți-i ordonata.

Asimptotele graficului unei funcții. Studiul unei funcții pentru asimptote.

Definiţie. Asimptota graficului unei funcții se numește Drept, care are proprietatea că distanța de la orice punct de pe grafic la această linie tinde spre zero pe măsură ce punctul de pe grafic se mișcă nelimitat de la origine.

Există trei tipuri de asimptote: vertical, orizontal și înclinat.

Definiţie. Linia dreaptă se numește asimptotă verticală grafica functionala y = f(x), dacă cel puțin una dintre limitele unilaterale ale funcției în acest punct este egală cu infinit, adică

unde este punctul de discontinuitate al funcției, adică nu aparține domeniului definiției.

Exemplu.

D ( Dacă funcţia) = (‒ ∞; 2) (2; + ∞)

f= 2 – punctul de rupere.

Definiţie. Drept y =O numit asimptotă orizontală grafica functionala y = f(x) la , dacă

Exemplu.

Definiţie. Drept y =kx +o (k≠ 0) se numește asimptotă oblică grafica functionala y = f(x) la , unde

Schema generala de studiere a functiilor si de construire a graficelor.

Algoritmul de cercetare a funcțieiy = f(x) :

1. Găsiți domeniul funcției D (Dacă funcţia).

2. Găsiți (dacă este posibil) punctele de intersecție ale graficului cu axele de coordonate (dacă f= 0 și la Dacă funcţia = 0).

3. Examinați uniformitatea și ciudatenia funcției ( Dacă funcţia (‒ f) = Dacă funcţia (f) ‒ paritate; Dacă funcţia(‒ f) = ‒ Dacă funcţia (f) ‒ ciudat).

4. Găsiți asimptotele graficului funcției.

5. Aflați intervalele de monotonitate ale funcției.

6. Aflați extremele funcției.

7. Aflați intervalele de convexitate (concavitate) și punctele de inflexiune ale graficului funcției.

8. Pe baza cercetărilor efectuate, construiți un grafic al funcției.

Exemplu. Explorează funcția și construiește graficul acesteia.

1) D (Dacă funcţia) =

f= 4 – punct de rupere.

2) Când f = 0,

(0; ‒ 5) – punct de intersecție cu Oh.

La Dacă funcţia = 0,

3) Dacă funcţia(‒ f)= funcţie vedere generală(nici par, nici impar).

4) Examinăm pentru asimptote.

a) verticală

b) orizontală

c) găsiți asimptotele oblice unde

‒ecuația de asimptotă oblică

5) B ecuația dată nu este nevoie să găsim intervale de monotonitate ale funcției.

6)

Aceste puncte critice împart întregul domeniu de definire al funcției în intervalul (˗∞; ˗2), (˗2; 4), (4; 10) și (10; +∞). Este convenabil să prezentați rezultatele obținute sub forma următorului tabel.

Ce este un extremum al unei funcții și care este condiția necesară pentru un extremum?

Extremul unei funcții este maximul și minimul funcției.

Condiție prealabilă Maximul și minimul (extremul) unei funcții sunt după cum urmează: dacă funcția f(x) are un extrem în punctul x = a, atunci în acest punct derivata este fie zero, fie infinită, fie nu există.

Această condiție este necesară, dar nu suficientă. Derivata în punctul x = a poate merge la zero, la infinit sau nu poate exista fără ca funcția să aibă un extrem în acest punct.

Care este o condiție suficientă pentru extremul unei funcții (maxim sau minim)?

Prima condiție:

Dacă, în apropiere suficientă de punctul x = a, derivata f?(x) este pozitivă la stânga lui a și negativă la dreapta lui a, atunci în punctul x = a funcția f(x) are maxim

Dacă, în apropiere suficientă de punctul x = a, derivata f?(x) este negativă la stânga lui a și pozitivă la dreapta lui a, atunci în punctul x = a funcția f(x) are minim cu condiția ca funcția f(x) aici să fie continuă.

În schimb, puteți folosi a doua condiție suficientă pentru extremul unei funcții:

Fie în punctul x = a prima derivată f?(x) să dispară; dacă derivata a doua f??(a) este negativă, atunci funcția f(x) are un maxim în punctul x = a, dacă este pozitivă, atunci are un minim.

Care este punctul critic al unei funcții și cum se găsește?

Aceasta este valoarea argumentului funcției la care funcția are un extrem (adică maxim sau minim). Pentru a-l găsi ai nevoie găsiți derivata funcția f?(x) și, echivalând-o cu zero, rezolva ecuația f?(x) = 0. Rădăcinile acestei ecuații, precum și acele puncte în care derivata acestei funcții nu există, sunt puncte critice, adică valori ale argumentului la care poate exista un extrem. Ele pot fi identificate cu ușurință privind grafic derivat: ne interesează acele valori ale argumentului la care graficul funcției intersectează axa absciselor (axa Ox) și cele la care graficul suferă discontinuități.

De exemplu, să găsim extremul unei parabole.

Funcția y(x) = 3x2 + 2x - 50.

Derivată a funcției: y?(x) = 6x + 2

Rezolvați ecuația: y?(x) = 0

6x + 2 = 0, 6x = -2, x = -2/6 = -1/3

În acest caz, punctul critic este x0=-1/3. Funcția are această valoare a argumentului extremum. Pentru el găsi, înlocuiți numărul găsit în expresie pentru funcție în loc de „x”:

y0 = 3*(-1/3)2 + 2*(-1/3) - 50 = 3*1/9 - 2/3 - 50 = 1/3 - 2/3 - 50 = -1/3 - 50 = -50,333.

Cum se determină maximul și minimul unei funcții, de ex. valorile sale cele mai mari și cele mai mici?

Dacă semnul derivatei la trecerea prin punctul critic x0 se schimbă de la „plus” la „minus”, atunci x0 este punct maxim; dacă semnul derivatei se schimbă de la minus la plus, atunci x0 este punct minim; dacă semnul nu se schimbă, atunci în punctul x0 nu există nici maxim, nici minim.

Pentru exemplul considerat:

Luăm o valoare arbitrară a argumentului din stânga punctului critic: x = -1

La x = -1, valoarea derivatei va fi y?(-1) = 6*(-1) + 2 = -6 + 2 = -4 (adică semnul este „minus”).

Acum luăm o valoare arbitrară a argumentului din dreapta punctului critic: x = 1

La x = 1, valoarea derivatei va fi y(1) = 6*1 + 2 = 6 + 2 = 8 (adică semnul este „plus”).

După cum puteți vedea, derivata și-a schimbat semnul de la minus la plus la trecerea prin punctul critic. Aceasta înseamnă că la valoarea critică x0 avem un punct minim.

Cea mai mare și cea mai mică valoare a unei funcții pe interval(pe un segment) se găsesc folosind aceeași procedură, ținând cont doar de faptul că, poate, nu toate punctele critice se vor afla în intervalul specificat. Acele puncte critice care se află în afara intervalului trebuie excluse din considerare. Dacă există un singur punct critic în interiorul intervalului, acesta va avea fie un maxim, fie un minim. În acest caz, pentru a determina cele mai mari și cele mai mici valori ale funcției, luăm în considerare și valorile funcției de la sfârșitul intervalului.

De exemplu, să găsim cele mai mari și cele mai mici valori ale funcției

y(x) = 3sin(x) - 0,5x

la intervale:

Deci, derivata funcției este

y?(x) = 3cos(x) - 0,5

Rezolvăm ecuația 3cos(x) - 0,5 = 0

cos(x) = 0,5/3 = 0,16667

x = ±arccos(0,16667) + 2πk.

Găsim puncte critice pe intervalul [-9; 9]:

x = arccos(0,16667) - 2π*2 = -11,163 (nu sunt incluse în interval)

x = -arccos(0,16667) – 2π*1 = -7,687

x = arccos(0,16667) - 2π*1 = -4,88

x = -arccos(0,16667) + 2π*0 = -1,403

x = arccos(0,16667) + 2π*0 = 1,403

x = -arccos(0,16667) + 2π*1 = 4,88

x = arccos(0,16667) + 2π*1 = 7,687

x = -arccos(0,16667) + 2π*2 = 11,163 (nu sunt incluse în interval)

Găsim valorile funcției la valorile critice ale argumentului:

y(-7,687) = 3cos(-7,687) - 0,5 = 0,885

y(-4,88) = 3cos(-4,88) - 0,5 = 5,398

y(-1,403) = 3cos(-1,403) - 0,5 = -2,256

y(1,403) = 3cos(1,403) - 0,5 = 2,256

y(4,88) = 3cos(4,88) - 0,5 = -5,398

y(7,687) = 3cos(7,687) - 0,5 = -0,885

Se poate observa că pe intervalul [-9; 9] funcția are cea mai mare valoare la x = -4,88:

x = -4,88, y = 5,398,

iar cel mai mic - la x = 4,88:

x = 4,88, y = -5,398.

Pe intervalul [-6; -3] avem un singur punct critic: x = -4,88. Valoarea funcției la x = -4,88 este egală cu y = 5,398.

Aflați valoarea funcției la sfârșitul intervalului:

y(-6) = 3cos(-6) - 0,5 = 3,838

y(-3) = 3cos(-3) - 0,5 = 1,077

Pe intervalul [-6; -3] avem cea mai mare valoare a funcției

y = 5,398 la x = -4,88

cea mai mica valoare -

y = 1,077 la x = -3

Cum să găsiți punctele de inflexiune ale unui grafic al funcției și să determinați laturile convexe și concave?

Pentru a găsi toate punctele de inflexiune ale dreptei y = f(x), trebuie să găsiți derivata a doua, să o echivalați cu zero (rezolvați ecuația) și să testați toate acele valori ale lui x pentru care derivata a doua este zero, infinit sau nu există. Dacă, la trecerea prin una dintre aceste valori, derivata a doua își schimbă semnul, atunci graficul funcției are o inflexiune în acest punct. Dacă nu se schimbă, atunci nu există nicio îndoire.

Rădăcinile ecuației f? (x) = 0, precum și posibilele puncte de discontinuitate ale funcției și derivata a doua, împart domeniul de definire a funcției într-un număr de intervale. Convexitatea pe fiecare dintre intervalele lor este determinată de semnul derivatei a doua. Dacă derivata a doua într-un punct al intervalului studiat este pozitivă, atunci linia y = f(x) este concavă în sus, iar dacă este negativă, atunci în jos.

Cum se află extremele unei funcții a două variabile?

Pentru a găsi extremele funcției f(x,y), diferențiabile în domeniul specificației sale, aveți nevoie de:

1) găsiți punctele critice și pentru aceasta - rezolvați sistemul de ecuații

fх? (x,y) = 0, fу? (x,y) = 0

2) pentru fiecare punct critic P0(a;b) investigați dacă semnul diferenței rămâne neschimbat

pentru toate punctele (x;y) suficient de apropiate de P0. Dacă diferența rămâne pozitivă, atunci în punctul P0 avem un minim, dacă negativ, atunci avem un maxim. Dacă diferența nu își păstrează semnul, atunci nu există un extremum în punctul P0.

Extremele funcției sunt determinate în mod similar pentru Mai mult argumente.

Micuță și drăguță sarcină simplă din categoria celor care servesc drept salvator pentru un elev plutitor. Este mijlocul lunii iulie în natură, așa că este timpul să vă acomodați cu laptopul pe plajă. Dis-de-dimineață, a început să se joace raza de soare a teoriei, pentru a se concentra în curând pe practică, care, în ciuda ușurinței declarate, conține cioburi de sticlă în nisip. În acest sens, vă recomand să luați în considerare cu conștiință cele câteva exemple din această pagină. Pentru a rezolva probleme practice trebuie să fii capabil găsiți derivateși înțelegeți materialul articolului Intervale de monotonitate și extreme ale funcției.

În primul rând, pe scurt despre principalul lucru. În lecția despre continuitatea functiei Am dat definiția continuității la un punct și a continuității la un interval. Comportamentul exemplar al unei funcții pe un segment este formulat într-un mod similar. O funcție este continuă pe un interval dacă:

1) este continuu pe intervalul ;
2) continuă într-un punct corect iar la punct stânga.

În al doilea paragraf am vorbit despre așa-numitul continuitate unilaterală funcţionează la un punct. Există mai multe abordări pentru a-l defini, dar voi rămâne la linia pe care am început-o mai devreme:

Funcția este continuă în punct corect, dacă este definită într-un punct dat și limita sa din dreapta coincide cu valoarea funcției într-un punct dat: . Este continuu la punct stânga, dacă este definită într-un punct dat și limita sa din stânga este egală cu valoarea din acest punct:

Imaginează-ți că punctele verzi sunt unghii cu o bandă elastică magică atașată de ele:

Luați mental linia roșie în mâini. Evident, indiferent cât de mult am întinde graficul în sus și în jos (de-a lungul axei), funcția va rămâne în continuare limitat– un gard în sus, un gard în jos, iar produsul nostru pășește în padoc. Astfel, o funcție continuă pe un interval este mărginită pe ea. În cursul analizei matematice, acest fapt aparent simplu este afirmat și dovedit cu strictețe. Prima teoremă a lui Weierstrass....Mulți oameni sunt enervați că afirmațiile elementare sunt fundamentate plictisitor în matematică, dar acest lucru are o semnificație importantă. Să presupunem că un anumit locuitor al Evului Mediu Terry a tras un grafic în cer dincolo de limitele vizibilității, acesta a fost inserat. Înainte de inventarea telescopului, funcția limitată în spațiu nu era deloc evidentă! Într-adevăr, de unde știi ce ne așteaptă la orizont? La urma urmei, Pământul era odată considerat plat, așa că astăzi chiar și teleportarea obișnuită necesită dovezi =)

Conform A doua teoremă a lui Weierstrass, continuu pe un segmentfuncția își atinge limita superioară exactăși a ta marginea de jos exactă .

Numărul este de asemenea numit valoarea maximă a funcției pe segmentși sunt notate cu , iar numărul este valoarea minimă a funcției pe segment marcat .

In cazul nostru:

Nota : în teorie, înregistrările sunt comune .

În linii mari, cea mai mare valoare este acolo unde se află cel mai înalt punct de pe grafic, iar cea mai mică valoare este acolo unde este punctul cel mai jos.

Important! După cum s-a subliniat deja în articolul despre extreme ale funcției, cea mai mare valoare a funcției cel mai puţin cea mai mică valoare a funcției – NU ACEȘI, Ce functia maxima cel mai puţin functie minima. Deci, în exemplul luat în considerare, numărul este minimul funcției, dar nu valoarea minimă.

Apropo, ce se întâmplă în afara segmentului? Da, chiar și o inundație, în contextul problemei luate în considerare, acest lucru nu ne interesează deloc. Sarcina implică doar găsirea a două numere si asta e!

Mai mult, soluția este pur analitică, așadar nu este nevoie să faci un desen!

Algoritmul se află la suprafață și se sugerează din figura de mai sus:

1) Găsiți valorile funcției în ] , trebuie să-i calculați valorile în totalitate, care aparţin acestui segment.

Prindeți un alt bonus: aici nu este nevoie să verificați condiția suficientă pentru un extremum, deoarece, așa cum tocmai am arătat, prezența unui minim sau maxim nu garanteaza inca, care este valoarea minimă sau maximă. Funcția demonstrativă atinge un maxim și, prin voința sorții, același număr este cea mai mare valoare a funcției de pe segment. Dar, desigur, o astfel de coincidență nu are loc întotdeauna.

Deci, în primul pas, este mai rapid și mai ușor să calculați valorile funcției în punctele critice, aparţinând segmentului, fără să ne deranjezi dacă există sau nu extreme în ele.

2) Calculăm valorile funcției la capetele segmentului.

3) Dintre valorile funcției găsite în paragrafele 1 și 2, selectați cea mai mică și cea mai mare număr mare, notează răspunsul.

Ne așezăm pe mal mare albastrăși lovim apa puțin adâncă cu călcâiele:

Exemplul 1

Găsiți cele mai mari și cele mai mici valori ale unei funcții pe un segment

Soluţie:
1) Să calculăm valorile funcției în punctele critice aparținând acestui segment:

Să calculăm valoarea funcției în al doilea punct critic:

2) Să calculăm valorile funcției la capetele segmentului:

3) Rezultate „îndrăznețe” au fost obținute cu exponenți și logaritmi, ceea ce complică semnificativ compararea acestora. Din acest motiv, să ne înarmam cu un calculator sau Excel și să calculăm valori aproximative, fără a uita că:

Acum totul este clar.

Răspuns:

Exemplu rațional fracționar pentru decizie independentă:

Exemplul 6

Găsiți valorile maxime și minime ale unei funcții pe un segment

Uneori, în problemele B15 există funcții „proaste” pentru care este dificil să găsești o derivată. Anterior, acest lucru se întâmpla doar în timpul probelor de teste, dar acum aceste sarcini sunt atât de comune încât nu mai pot fi ignorate atunci când se pregătesc pentru examenul de stat unificat real.

În acest caz, funcționează alte tehnici, dintre care una este monoton.

Se spune că o funcție f (x) este în creștere monotonă pe segment dacă pentru orice puncte x 1 și x 2 ale acestui segment este valabil următoarele:

x 1< x 2 ⇒ f (x 1) < f (x 2).

Se spune că o funcție f (x) este monoton descrescătoare pe segment dacă pentru orice puncte x 1 și x 2 ale acestui segment este valabil următoarele:

x 1< x 2 ⇒ f (x 1) > f ( x 2).

Cu alte cuvinte, pentru o funcție crescătoare, cu cât x este mai mare, cu atât f(x) este mai mare. Pentru o funcție descrescătoare este adevărat opusul: cu cât x mai mare, the Mai puțin f(x).

De exemplu, logaritmul crește monoton dacă baza a > 1 și scade monoton dacă 0< a < 1. Не забывайте про область допустимых значений логарифма: x > 0.

f (x) = log a x (a > 0; a ≠ 1; x > 0)

Rădăcina pătrată aritmetică (și nu numai pătrată) crește monoton pe întregul domeniu de definiție:

Funcția exponențială se comportă similar cu logaritmul: crește pentru a > 1 și scade pentru 0< a < 1. Но в отличие от логарифма, показательная функция определена для всех чисел, а не только для x > 0:

f (x) = a x (a > 0)

În cele din urmă, grade cu exponent negativ. Le puteți scrie ca fracție. Au un punct de rupere în care monotonia este întreruptă.

Toate aceste funcții nu se găsesc niciodată în formă pură. Ei adaugă polinoame, fracții și alte prostii, ceea ce face dificilă calcularea derivatei. Să ne uităm la ce se întâmplă în acest caz.

Coordonatele vârfurilor parabolei

Cel mai adesea argumentul funcției este înlocuit cu trinom pătratic de forma y = ax 2 + bx + c. Graficul său este o parabolă standard care ne interesează:

1. Ramurile unei parabole pot merge în sus (pentru a > 0) sau în jos (a< 0). Задают направление, в котором функция может принимать бесконечные значения;
2. Vârful unei parabole este punctul extrem al unei funcții pătratice la care această funcție își ia minimul (pentru a > 0) sau maximul (a< 0) значение.

De cel mai mare interes este vârful parabolei, a cărei abscisă se calculează cu formula:

Deci, am găsit punctul extremum al funcției pătratice. Dar dacă funcția originală este monotonă, pentru ea punctul x 0 va fi și un punct extremum. Astfel, să formulăm regula cheie:

Punctele extreme ale unui trinom pătratic și functie complexa, în care este inclusă, coincid. Prin urmare, puteți căuta x 0 pentru un trinom pătratic și uitați de funcție.

Din raționamentul de mai sus, rămâne neclar ce punct obținem: maxim sau minim. Cu toate acestea, sarcinile sunt concepute special, astfel încât acest lucru să nu conteze. Judecă singur:

1. Nu există niciun segment în declarația problemei. Prin urmare, nu este nevoie să se calculeze f(a) și f(b). Rămâne să luăm în considerare doar punctele extremum;
2. Dar există un singur astfel de punct - acesta este vârful parabolei x 0, ale cărui coordonate sunt calculate literalmente oral și fără derivate.

Astfel, rezolvarea problemei este mult simplificată și se reduce la doar doi pași:

1. Scrieți ecuația parabolei y = ax 2 + bx + c și găsiți vârful acesteia folosind formula: x 0 = −b /2a ;
2. Găsiți valoarea funcției inițiale în acest punct: f (x 0). Daca nu conditii suplimentare nu, acesta va fi raspunsul.

La prima vedere, acest algoritm și raționamentul său pot părea complexe. Nu postez în mod deliberat o diagramă de soluție „goală”, deoarece aplicarea necugetă a unor astfel de reguli este plină de erori.

Să ne uităm la problemele reale din examen de stat unificat de probă la matematică - aici se găsește cel mai des această tehnică. În același timp, ne vom asigura că în acest fel multe probleme de B15 devin aproape orale.

Sub rădăcină stă funcţie pătratică y = x 2 + 6x + 13. Graficul acestei funcții este o parabolă cu ramuri în sus, deoarece coeficientul a = 1 > 0.

Vârful parabolei:

x 0 = −b /(2a ) = −6/(2 1) = −6/2 = −3

Deoarece ramurile parabolei sunt îndreptate în sus, în punctul x 0 = −3 funcția y = x 2 + 6x + 13 își ia valoarea minimă.

Rădăcina crește monoton, ceea ce înseamnă că x 0 este punctul minim al întregii funcții. Avem:

Sarcină. Găsiți cea mai mică valoare a funcției:

y = log 2 (x 2 + 2x + 9)

Sub logaritm există din nou o funcție pătratică: y = x 2 + 2x + 9. Graficul este o parabolă cu ramuri în sus, deoarece a = 1 > 0.

Vârful parabolei:

x 0 = −b /(2a ) = −2/(2 1) = −2/2 = −1

Deci, în punctul x 0 = −1 funcția pătratică își ia valoarea minimă. Dar funcția y = log 2 x este monotonă, deci:

y min = y (−1) = log 2 ((−1) 2 + 2 · (−1) + 9) = ... = log 2 8 = 3

Exponentul conține funcția pătratică y = 1 − 4x − x 2 . Să o rescriem în formă normală: y = −x 2 − 4x + 1.

În mod evident, graficul acestei funcții este o parabolă, ramificate în jos (a = −1< 0). Поэтому вершина будет точкой максимума:

x 0 = −b /(2a ) = −(−4)/(2 · (−1)) = 4/(−2) = −2

Funcția originală este exponențială, este monotonă, deci cea mai mare valoare va fi în punctul găsit x 0 = −2:

Un cititor atent va observa probabil că nu am scris intervalul de valori permise ale rădăcinii și logaritmului. Dar acest lucru nu a fost necesar: în interior există funcții ale căror valori sunt întotdeauna pozitive.

Corolare din domeniul unei funcții

Uneori, simpla găsire a vârfului parabolei nu este suficientă pentru a rezolva problema B15. Valoarea pe care o cauți poate fi la sfârșitul segmentului, și deloc în punctul extremum. Dacă problema nu indică deloc un segment, uită-te la intervalul de valori acceptabile functia originala. Anume:

Vă rugăm să rețineți din nou: zero poate fi sub rădăcină, dar niciodată în logaritmul sau numitorul unei fracții. Să vedem cum funcționează acest lucru cu exemple specifice:

Sarcină. Găsiți cea mai mare valoare a funcției:

Sub rădăcină se află din nou o funcție pătratică: y = 3 − 2x − x 2 . Graficul său este o parabolă, dar se ramifică în jos pentru că a = −1< 0. Значит, парабола уходит на минус бесконечность, что недопустимо, поскольку арифметический rădăcină pătrată a unui număr negativ nu există.

Scriem intervalul de valori admisibile (APV):

3 − 2x − x 2 ≥ 0 ⇒ x 2 + 2x − 3 ≤ 0 ⇒ (x + 3)(x − 1) ≤ 0 ⇒ x ∈ [−3; 1]

Acum să găsim vârful parabolei:

x 0 = −b /(2a ) = −(−2)/(2 · (−1)) = 2/(−2) = −1

Punctul x 0 = −1 aparține segmentului ODZ - și acest lucru este bun. Acum calculăm valoarea funcției în punctul x 0, precum și la capetele ODZ:

y(−3) = y(1) = 0

Deci, am primit numerele 2 și 0. Ni se cere să găsim cel mai mare - acesta este numărul 2.

Sarcină. Găsiți cea mai mică valoare a funcției:

y = log 0,5 (6x − x 2 − 5)

În interiorul logaritmului există o funcție pătratică y = 6x − x 2 − 5. Aceasta este o parabolă cu ramuri în jos, dar nu pot exista numere negative în logaritm, așa că scriem ODZ:

6x − x 2 − 5 > 0 ⇒ x 2 − 6x + 5< 0 ⇒ (x − 1)(x − 5) < 0 ⇒ x ∈ (1; 5)

Vă rugăm să rețineți: inegalitatea este strictă, astfel încât capetele nu aparțin ODZ. Acest lucru diferă logaritmul de rădăcină, unde capetele segmentului ni se potrivesc destul de bine.

Căutăm vârful parabolei:

x 0 = −b /(2a ) = −6/(2 · (−1)) = −6/(−2) = 3

Vârful parabolei se potrivește conform ODZ: x 0 = 3 ∈ (1; 5). Dar din moment ce nu ne interesează capetele segmentului, calculăm valoarea funcției doar în punctul x 0:

y min = y (3) = log 0,5 (6 3 − 3 2 − 5) = log 0,5 (18 − 9 − 5) = log 0,5 4 = −2