Cum să găsiți lungimea unui segment pe planul de coordonate

Acasă

Instrucţiuni Dacă coordonatele puncte extreme segment sunt date în coordonate bidimensionale, apoi trasând linii perpendiculare pe axele de coordonate prin aceste puncte, obțineți triunghi dreptunghic puncte extreme. Ipotenuza sa va fi segmentul original, iar catetele formează segmente a căror lungime este egală cu ipotenuza de pe fiecare dintre axele de coordonate. Din teorema lui Pitagora, care determină lungimea ipotenuzei ca sumă a pătratelor lungimilor catetelor, se poate concluziona că pentru a afla lungimea originalului

este suficient să găsim lungimile celor două proiecții ale sale pe axele de coordonate. puncte extreme Aflați lungimile (X și Y) ale proiecțiilor originalului

pe fiecare axă a sistemului de coordonate. Într-un sistem bidimensional, punctele extreme sunt reprezentate de o pereche de valori numerice (X1;Y1 și X2;Y2). Lungimile proiecțiilor se calculează prin găsirea diferenței de coordonate a acestor puncte de-a lungul fiecărei axe: X = X2-X1, Y = Y2-Y1. Este posibil ca una sau ambele valori rezultate să fie , dar în acest caz nu contează. Calcula lungime puncte extreme original (A), după ce a găsit rădăcină pătrată din pătratele lungimilor de proiecție calculate la pasul anterior pe axele de coordonate: A = √(X²+Y²) = √ ((X2-X1)²+(Y2-Y1)²). De exemplu, dacă un segment este desenat între puncte

cu coordonatele 2;4 și 4;1, atunci lungimea sa va fi egală cu √((4-2)²+(1-4)²) = √13 ≈ 3,61. puncte extreme Dacă coordonatele punctelor care limitează segmentul sunt date într-un sistem de coordonate tridimensional (X1;Y1;Z1 și X2;Y2;Z2), atunci lungimile (A) ale acestui din pătratele lungimilor de proiecție calculate la pasul anterior pe axele de coordonate: A = √(X²+Y²) = √ ((X2-X1)²+(Y2-Y1)²). De exemplu, dacă un segment este desenat între va fi similar cu cel obtinut in pasul anterior. În acest caz, trebuie să găsim rădăcina pătrată a sumei pătratelor proiecțiilor pe trei axe de coordonate: A = √((X2-X1)²+(Y2-Y1)²+(Z2-Z1)²) . De exemplu, dacă un segment este desenat între

, cu coordonatele 2;4;1 și 4;1;3, atunci lungimea sa va fi egală cu √((4-2)²+(1-4)²+(3-1)²) = √17 ≈ 4,12 .

• Surse:

formula lungimii segmentului

Acasă

Fie un segment definit de două puncte în planul de coordonate, apoi lungimea acestuia poate fi găsită folosind teorema lui Pitagora.

După ce am prezentat această schemă pentru găsirea lungimii unui segment în cazul general, este ușor să calculați segmentul fără a construi segmentul. Să calculăm lungimea segmentului, coordonatele capetelor (1;3) și (2;5). Atunci |AB|² = (2 - 1)² + (5 - 3)² = 1 + 4 = 5, deci lungimea segmentului necesar este 5^1/2.

, cu coordonatele 2;4;1 și 4;1;3, atunci lungimea sa va fi egală cu √((4-2)²+(1-4)²+(3-1)²) = √17 ≈ 4,12 .

• Video pe tema
• Lungimea secțiunii

care este lungimea unui segment Uneori, în activitățile de zi cu zi, poate fi necesar să găsiți segment de linie dreaptă. De exemplu, dacă trebuie să faceți un model, o schiță a unui produs sau pur și simplu tăiați un bloc de lemn în două părți egale. Geometria și puțină ingeniozitate lumească vin în ajutor.

vei avea nevoie

• Busolă, riglă; ac, creion, ață

Acasă

Folosiți unelte de lungime obișnuită. Acesta este cel mai ușor mod de a găsi Uneori, în activitățile de zi cu zi, poate fi necesar să găsiți segment. Măsurați lungimea segmentului cu o riglă, împărțiți rezultatul la jumătate și măsurați rezultatul obținut de la unul dintre capetele segmentului. Veți obține un punct corespunzător mijlocului segmentului.

Setați distanța dintre picioarele busolei astfel încât să fie egal cu lungimea segment sau mai mult de jumătate din segment. Apoi puneți acul busolei la un capăt al segmentului și trageți-l astfel încât să intersecteze segmentul. Mutați acul la celălalt capăt al segmentului și, fără a schimba anvergura picioarelor busolei, desenați al doilea semicerc exact în același mod.

Dacă nu aveți o busolă la îndemână sau lungimea segmentului depășește semnificativ lungimea permisă a picioarelor sale, puteți utiliza un dispozitiv simplu din jur. O poți face dintr-un ac obișnuit, ață și creion. Leagă capetele firului de un ac și un creion, cu lungimea firului depășind puțin lungimea piesei. Cu un astfel de înlocuitor improvizat pentru o busolă, tot ce rămâne este să urmezi pașii descriși mai sus.

După ce am prezentat această schemă pentru găsirea lungimii unui segment în cazul general, este ușor să calculați segmentul fără a construi segmentul. Să calculăm lungimea segmentului, coordonatele capetelor (1;3) și (2;5). Atunci |AB|² = (2 - 1)² + (5 - 3)² = 1 + 4 = 5, deci lungimea segmentului necesar este 5^1/2.

Sfaturi utile

Puteți găsi cu precizie mijlocul unei plăci sau bloc folosind un fir obișnuit sau un șnur. Pentru a face acest lucru, tăiați firul astfel încât să se potrivească cu lungimea plăcii sau a barei. Tot ce rămâne este să îndoiți firul exact în jumătate și să îl tăiați în două părți egale. Aplicați un capăt al măsurătorii rezultate la capătul obiectului măsurat, iar celălalt capăt va corespunde mijlocului acestuia.

Există trei sisteme principale de coordonate utilizate în geometrie, mecanică teoretică și alte ramuri ale fizicii: carteziană, polară și sferică. În aceste sisteme de coordonate, fiecare punct are trei coordonate. Cunoscând coordonatele a două puncte, puteți determina distanța dintre aceste două puncte.

vei avea nevoie

• Coordonatele carteziene, polare și sferice ale capetelor unui segment

Acasă

Luați în considerare mai întâi un sistem de coordonate carteziene dreptunghiulare. Poziția unui punct în spațiu la această coordonată este determinată coordonate x,y și z. Se trasează o rază de la origine până la punct. Proiecțiile acestui vector rază pe axele de coordonate vor fi coordonate acest punct.
Să presupunem că acum aveți două puncte cu coordonate x1,y1,z1 și x2,y2 și respectiv z2. Notați cu r1 și, respectiv, r2, vectorii cu rază ai primului și ai punctului. În mod evident, distanța dintre aceste puncte va fi mărimea vectorului r = r1-r2, unde (r1-r2) este diferența de vector.
Coordonatele vectorului r vor fi evident: x1-x2, y1-y2, z1-z2. Atunci vectorul r sau distanța dintre două puncte va fi egală cu: r = sqrt(((x1-x2)^2)+((y1-y2)^2)+((z1-z2)^2)).

Să considerăm acum un sistem de coordonate polare în care coordonata unui punct va fi dată de coordonata radială r (vector rază XY), coordonată unghiulară? (unghiul dintre vectorul r și axa X) și coordonatele z, similare coordonatei z din sistemul cartezian Coordonatele polare ale unui punct pot fi convertite în coordonate carteziene după cum urmează: x = r*cos?, y =. r*sin?, z = z. Apoi distanța dintre două puncte cu coordonate r1, ?1 ,z1 și r2, ?2, z2 vor fi egale cu R = sqrt(((r1*cos?1-r2*cos?2)^2)+((r1*sin?1-r2*sin ?2 )^2)+((z1-z2)^2)) = sqrt((r1^2)+(r2^2)-2r1*r2(cos?1*cos?2+sin?1*sin? 2) +((z1-z2)^2))

Acum luați în considerare un sistem de coordonate sferice. În ea, poziția punctului este specificată de trei coordonate r, ? Şi?. r - distanta de la origine, ? Şi? - azimut și, respectiv, unghi zenit. Colţ? similar cu un unghi cu aceeași denumire în sistemul de coordonate polare, nu? - unghiul dintre vectorul rază r și axa Z, cu 0<= ? <= pi.Переведем сферические координаты в декартовы: x = r*sin?*cos?, y = r*sin?*sin?*sin?, z = r*cos?. Расстояние между точками с coordonate r1, ?1, ?1 și r2, ?2 și ?2 vor fi egale cu R = sqrt(((r1*sin?1*cos?1-r2*sin?2*cos?2)^2)+( (r1 *sin?1*sin?1-r2*sin?2*sin?2)^2)+((r1*cos?1-r2*cos?2)^2)) = (((r1*sin? ?1 )^2)+((r2*sin?2)^2)-2r1*r2*sin?1*sin?2*(cos?1*cos?2+sin?1*sin?2)+( (r1 *cos?1-r2*cos?2)^2))

După ce am prezentat această schemă pentru găsirea lungimii unui segment în cazul general, este ușor să calculați segmentul fără a construi segmentul. Să calculăm lungimea segmentului, coordonatele capetelor (1;3) și (2;5). Atunci |AB|² = (2 - 1)² + (5 - 3)² = 1 + 4 = 5, deci lungimea segmentului necesar este 5^1/2.

Un segment de linie dreaptă este definit de două puncte extreme și constă dintr-un set de puncte situate pe o linie dreaptă care trece prin punctele extreme. Dacă un segment este plasat în orice sistem de coordonate, atunci găsind punctele medii ale proiecțiilor sale pe fiecare dintre axe, puteți afla coordonate mijloc puncte extreme. În esență, operația se reduce la găsirea mediei aritmetice a perechilor de numere pentru fiecare dintre axele de coordonate.

Acasă

Împărțiți în jumătate suma coordonatelor de început și de sfârșit ale punctelor extreme puncte extreme de-a lungul fiecărei axe până la punctul de mijloc de-a lungul acelei axe. De exemplu, lăsați un segment să fie plasat într-un sistem de coordonate XYZ tridimensional și coordonate punctele sale extreme sunt A(Xa,Ya,Za) și C(Xc,Yc,Zc). Apoi coordonate punctul său de mijloc E(Xe,Ye,Ze) poate fi obținut folosind formulele Xe=(Xa+Xc)/2, Ye=(Ya+Yc)/2, Ze=(Za+Zc)/2.

Utilizați oricare dintre calculatoare pentru a calcula valorile medii ale coordonatelor punctelor extreme puncte extremeîn minte nu este posibil. Dacă nu aveți un astfel de gadget la îndemână, atunci utilizați software-ul inclus în sistemul de operare Windows. Poate fi lansat făcând clic pe butonul „Start” pentru a deschide meniul de sistem. În meniu trebuie să mergeți la secțiunea „Standard”, apoi la subsecțiunea „Serviciu”, apoi în secțiunea „Toate” selectați elementul „Calculator”. Puteți ocoli meniul principal apăsând WIN + R, tastând calc, apoi apăsând Enter.

Însumați perechile de început și de sfârșit coordonate puncte extreme puncte extreme de-a lungul fiecărei axe și împărțiți rezultatul la două. Interfața calculatorului software imită un calculator obișnuit și puteți introduce valori numerice și simboluri ale operațiilor matematice fie făcând clic pe butoanele cu cursorul mouse-ului de pe ecran, fie apăsând tastele de pe tastatură. Nu vor fi dificultăți cu aceste calcule.

Notați operațiunile matematice sub formă de text și introduceți-le în câmpul de căutare de pe pagina principală a site-ului Google dacă nu puteți utiliza un calculator, dar aveți acces la Internet. Acest motor de căutare are un calculator multifuncțional încorporat, care este mult mai ușor de utilizat decât oricare altul. Nu există interfață cu butoane - toate datele trebuie introduse sub formă de text într-un singur câmp. De exemplu, dacă se știe coordonate puncte extreme puncte extremeîntr-un sistem de coordonate tridimensional A(51,34 17,2 13,02) și A(-11,82 7,46 33,5), atunci coordonate punct de mijloc puncte extreme C((51,34-11,82)/2 (17,2+7,46)/2 (13,02+33,5)/2). Introducând (51.34-11.82)/2 în câmpul de căutare, apoi (17.2+7.46)/2 și (13.02+33.5)/2, puteți folosi Google pentru a obține coordonate C(19,76 12,33 23,26).

Lungimea unui segment poate fi determinată în diferite moduri. Pentru a afla cum să găsiți lungimea unui segment, este suficient să aveți o riglă sau să cunoașteți formule speciale de calcul.

Lungimea unui segment folosind o riglă

Pentru a face acest lucru, aplicăm o riglă cu diviziuni milimetrice pe segmentul construit pe plan, iar punctul de plecare trebuie să fie aliniat cu zeroul scării riglei. Apoi ar trebui să marcați pe această scară locația punctului final al acestui segment. Numărul rezultat de diviziuni întregi la scară va fi lungimea segmentului, exprimată în cm și mm.

Metoda coordonatelor plane

Dacă coordonatele segmentului (x1-y1) și (x2-y2) sunt cunoscute, atunci lungimea acestuia trebuie calculată după cum urmează. Coordonatele primului punct ar trebui să fie scăzute din coordonatele de pe planul celui de-al doilea punct. Rezultatul ar trebui să fie două numere. Fiecare dintre aceste numere trebuie să fie pătrat și apoi trebuie găsită suma acestor pătrate. Din numărul rezultat ar trebui să extrageți rădăcina pătrată, care va fi distanța dintre puncte. Deoarece aceste puncte sunt capetele segmentului, această valoare va fi lungimea acestuia.

Să ne uităm la un exemplu despre cum să găsiți lungimea unui segment folosind coordonatele. Există coordonatele a două puncte (-1-2) și (4-7). La aflarea diferenței dintre coordonatele punctelor, obținem următoarele valori: x = 5, y = 5. Numerele rezultate vor fi coordonatele segmentului. Apoi pătratăm fiecare număr și aflăm suma rezultatelor, este egală cu 50. Luăm rădăcina pătrată a acestui număr. Rezultatul este: 5 rădăcini din 2. Aceasta este lungimea segmentului.

Metoda coordonatelor în spațiu

Pentru a face acest lucru, trebuie să luați în considerare cum să găsiți lungimea unui vector. Acesta este cel care va fi un segment în spațiul euclidian. Se găsește aproape în același mod ca lungimea unui segment dintr-un plan. Vectorul este construit în planuri diferite. Cum se află lungimea unui vector?

1. Găsiți coordonatele vectorului, pentru a face acest lucru, trebuie să scădeți coordonatele punctului său de plecare din coordonatele punctului său final.
2. După aceasta, trebuie să pătrați fiecare coordonată vectorială.
3. Apoi adunăm pătratele coordonatelor.
4. Pentru a găsi lungimea unui vector, trebuie să luați rădăcina pătrată a sumei pătratelor coordonatelor.

Să ne uităm la algoritmul de calcul folosind un exemplu. Este necesar să se găsească coordonatele vectorului AB. Punctele A și B au următoarele coordonate: A (1-6-3) și B (3--1-7). Începutul vectorului se află în punctul A, sfârșitul este situat în punctul B. Astfel, pentru a-i găsi coordonatele, este necesar să se scadă coordonatele punctului A din coordonatele punctului B: (3 - 1- -1 - 6-7 - 3) = (2-- 7-4).

Acum pătratăm fiecare coordonată și le adunăm: 4+49+16=69. În cele din urmă, ia rădăcina pătrată a numărului dat. Este dificil de extras, așa că scriem rezultatul astfel: lungimea vectorului este egală cu rădăcina lui 69.

Dacă nu este important să calculați singur lungimea segmentelor și a vectorilor, dar aveți nevoie doar de rezultat, atunci puteți utiliza un calculator online, de exemplu, acesta.

Acum, după ce ați studiat aceste metode și ați luat în considerare exemplele prezentate, puteți găsi cu ușurință lungimea unui segment în orice problemă.

Pe segmente numiți o parte a unei linii drepte formată din toate punctele acestei linii care sunt situate între aceste două puncte - se numesc capetele segmentului.

Să ne uităm la primul exemplu. Fie ca un anumit segment să fie definit de două puncte în planul de coordonate. În acest caz, putem găsi lungimea sa folosind teorema lui Pitagora.

Deci, în sistemul de coordonate desenăm un segment cu coordonatele date ale capetelor sale(x1; y1) Şi (x2; y2) . Pe axa X Şi Y Desenați perpendiculare de la capetele segmentului. Să marchem cu roșu segmentele care sunt proiecții față de segmentul original pe axa de coordonate. După aceasta, transferăm segmentele de proiecție paralele cu capetele segmentelor. Obținem un triunghi (dreptunghiular). Ipotenuza acestui triunghi va fi însuși segmentul AB, iar catetele sale sunt proiecțiile transferate.

Să calculăm lungimea acestor proiecții. Deci, pe axă Y lungimea proiecției este y2-y1 , și pe axă X lungimea proiecției este x2-x1 . Să aplicăm teorema lui Pitagora: |AB|² = (y2 - y1)² + (x2 - x1)² . În acest caz |AB| este lungimea segmentului.

Dacă utilizați această diagramă pentru a calcula lungimea unui segment, atunci nici măcar nu trebuie să construiți segmentul. Acum să calculăm lungimea segmentului cu coordonatele (1;3) Şi (2;5) . Aplicând teorema lui Pitagora, obținem: |AB|² = (2 - 1)² + (5 - 3)² = 1 + 4 = 5 . Aceasta înseamnă că lungimea segmentului nostru este egală cu 5:1/2 .

Luați în considerare următoarea metodă pentru a afla lungimea unui segment. Pentru a face acest lucru, trebuie să cunoaștem coordonatele a două puncte dintr-un sistem. Să luăm în considerare această opțiune folosind un sistem de coordonate carteziene bidimensional.

Deci, într-un sistem de coordonate bidimensional, sunt date coordonatele punctelor extreme ale segmentului. Dacă tragem linii drepte prin aceste puncte, acestea trebuie să fie perpendiculare pe axa de coordonate, atunci obținem un triunghi dreptunghic. Segmentul inițial va fi ipotenuza triunghiului rezultat. Lamele unui triunghi formează segmente, lungimea lor este egală cu proiecția ipotenuzei pe axele de coordonate. Pe baza teoremei lui Pitagora, concluzionăm: pentru a găsi lungimea unui segment dat, trebuie să găsim lungimile proiecțiilor pe două axe de coordonate.

Să găsim lungimile proiecției (X și Y) segmentul original pe axele de coordonate. Le calculăm găsind diferența în coordonatele punctelor de-a lungul unei axe separate: X = X2-X1, Y = Y2-Y1 .

Calculați lungimea segmentului O , pentru aceasta găsim rădăcina pătrată:

A = √(X²+Y²) = √ ((X2-X1)²+(Y2-Y1)²) .

Dacă segmentul nostru este situat între puncte ale căror coordonate 2;4 Şi 4;1 , atunci lungimea sa este egală în mod corespunzător cu √((4-2)²+(1-4)²) = √13 ≈ 3,61 .