Cum se găsește lungimea generatoarei unei formule de con. Suprafața totală a conului este

Știm ce este un con, să încercăm să-i găsim suprafața. De ce trebuie să rezolvi o astfel de problemă? De exemplu, trebuie să înțelegeți cât de mult aluat va merge pentru a face un con de vafe? Sau câte cărămizi ar fi nevoie pentru a așeza acoperișul de cărămidă al unui castel?

Nu este ușor să măsurați suprafața laterală a conului. Dar să ne imaginăm același corn înfășurat în pânză. Pentru a găsi zona unei bucăți de țesătură, trebuie să o tăiați și să o întindeți pe masă. Vom obține o figură plană, îi putem găsi aria.

Orez. 1. Secțiunea conului de-a lungul generatoarei

Să facem același lucru cu conul. "Încetează suprafata laterala de-a lungul oricărui generator, de exemplu (vezi Fig. 1).

Acum vom „derula” suprafața laterală pe un plan. Obținem sectorul. Centrul acestui sector este vârful conului, raza sectorului este egală cu generatoarea conului, iar lungimea arcului său coincide cu circumferința bazei conului. Un astfel de sector se numește o măturare a suprafeței laterale a conului (vezi Fig. 2).

Orez. 2. Dezvoltarea suprafeței laterale

Orez. 3. Măsurarea unghiului în radiani

Să încercăm să găsim zona sectorului în funcție de datele disponibile. În primul rând, să introducem notația: lăsați unghiul la vârful sectorului în radiani (a se vedea figura 3).

Adesea trebuie să ne ocupăm de unghiul din partea de sus a măturării în sarcini. Deocamdată, să încercăm să răspundem la întrebarea: acest unghi nu se poate dovedi a fi mai mare de 360 ​​de grade? Adică nu se va dovedi că scanarea se va suprapune asupra sa? Desigur că nu. Să dovedim acest lucru matematic. Lăsați scanarea să se „suprapună”. Aceasta înseamnă că lungimea arcului de măturare este mai mare decât circumferința cercului de rază. Dar, după cum sa menționat deja, lungimea arcului de măturare este lungimea cercului razei. Și raza bazei conului, desigur, este mai mică decât generatoarea, de exemplu, deoarece piciorul triunghi dreptunghic mai puțin hipotenuză

Atunci să ne amintim două formule din cursul planimetriei: lungimea arcului. Zona sectorului :.

În cazul nostru, rolul este jucat de generator , iar lungimea arcului este egală cu circumferința bazei conului, adică. Avem:

În cele din urmă obținem:.

Împreună cu suprafața laterală, se poate găsi și zona întreaga suprafață... Pentru a face acest lucru, adăugați zona de bază la suprafața laterală. Dar baza este un cerc de rază, a cărui suprafață este egală cu.

În cele din urmă, avem: , unde este raza bazei cilindrului, este generatorul.

Să rezolvăm câteva probleme folosind formulele date.

Orez. 4. Unghiul dorit

Exemplul 1... Partea aplatizată a conului este un sector cu unghi de vârf. Găsiți acest unghi dacă înălțimea conului este de 4 cm și raza bazei este de 3 cm (a se vedea Fig. 4).

Orez. 5. Triunghi unghiular formând un con

Prin prima acțiune, conform teoremei lui Pitagora, găsim generatorul: 5 cm (vezi Fig. 5). Mai mult, știm asta .

Exemplul 2... Aria secțiunii axiale a conului este egală, înălțimea este egală cu. Găsiți suprafața totală (a se vedea Fig. 6).

Iată probleme cu conurile, starea este legată de suprafața sa. În special, în unele probleme se pune problema schimbării zonei cu o creștere (scădere) a înălțimii conului sau a razei bazei sale. Teoria rezolvării problemelor în. Luați în considerare următoarele sarcini:

27135. Circumferința bazei conului este 3, generatorul este 2. Aflați aria suprafeței laterale a conului.

Suprafața laterală a conului este:

Înlocuim datele:

75697. De câte ori va crește aria suprafeței laterale a conului dacă generatorul său este mărit de 36 de ori, iar raza bazei rămâne aceeași?

Suprafața laterală a conului:

Generatorul este crescut de 36 de ori. Raza rămâne aceeași, ceea ce înseamnă că circumferința bazei nu s-a schimbat.

Aceasta înseamnă că suprafața laterală a conului modificat va arăta ca:

Astfel, va crește de 36 de ori.

* Dependența este simplă, astfel încât această problemă poate fi ușor rezolvată oral.

27137. De câte ori va scădea suprafața laterală a conului dacă raza bazei sale este redusă de 1,5 ori?

Suprafața laterală a conului este:

Raza este redusă de 1,5 ori, adică:

Am constatat că suprafața laterală a scăzut de 1,5 ori.

27159. Înălțimea conului este 6, generatorul este 10. Aflați aria suprafeței sale totale împărțită la Pi.

Suprafața conului complet:

Găsiți raza:

Înălțimea și generatorul sunt cunoscute, conform teoremei lui Pitagora, calculăm raza:

Prin urmare:

Împarte rezultatul obținut de Pi și notează răspunsul.

76299. Suprafața totală a conului este 108. O secțiune este trasată paralel cu baza conului, împărțind înălțimea în jumătate. Găsiți suprafața totală a conului tăiat.

Secțiunea trece prin mijlocul înălțimii paralel cu baza. Aceasta înseamnă că raza bazei și generatoarea conului tăiat vor fi de 2 ori mai mici decât raza și generatoarea conului original. Să notăm care este suprafața conului tăiat:

Am făcut-o să fie de 4 ori mai puțină suprafață suprafața originalului, adică 108: 4 = 27.

* Deoarece originalul și conul tăiat sunt corpuri similare, a fost posibilă și utilizarea proprietății de similaritate:

27167. Raza bazei conului este 3, înălțimea este 4. Găsiți suprafața totală a conului împărțită la Pi.

Formula pentru întreaga suprafață a conului este:

Raza este cunoscută, este necesar să se găsească generatorul.

Prin teorema lui Pitagora:

Prin urmare:

Împarte rezultatul la Pi și notează răspunsul.

Sarcină. Aria suprafeței laterale a conului este de patru ori suprafața bazei. Găsiți care este cosinusul unghiului dintre generatoarea conului și planul bazei.

Zona de bază a conului este:

Inapoi inainte

Atenţie! Previzualizările de diapozitive au doar scop informativ și pot să nu reprezinte toate opțiunile de prezentare. Dacă sunteți interesat de această lucrare, vă rugăm să descărcați versiunea completă.

Tipul lecției: o lecție despre studierea materialului nou folosind elemente ale unei metode de predare care dezvoltă probleme.

Obiectivele lecției:

• cognitiv:
  • cunoașterea unui nou concept matematic;
  • formarea unui nou ZUN;
  • formarea deprinderilor practice în rezolvarea problemelor.
• în curs de dezvoltare:
  • dezvoltarea gândirii independente a elevilor;
  • dezvoltarea abilităților de vorbire corectă a școlarilor.
• educational:
  • dezvoltarea abilităților de lucru în echipă.

Echipament pentru lecție: placa magnetica, computer, ecran, proiector multimedia, model con, prezentare lectie, fise.

Obiectivele lecției (pentru studenți):

• faceți cunoștință cu un nou concept geometric - un con;
• derivă o formulă pentru calcularea suprafeței unui con;
• învățați să aplicați cunoștințele acumulate în rezolvarea problemelor practice.

În timpul orelor

Etapa I. Organizațional.

Predarea caietelor de exerciții cu casa munca de verificare pe tema tratată.

Elevii sunt invitați să afle subiectul lecției viitoare rezolvând rebusul (diapozitivul 1):

Imaginea 1.

Anunțarea subiectului și a obiectivelor lecției către elevi (diapozitivul 2).

Etapa II. Explicația noului material.

1) Prelegere de către profesor.

Există o masă cu un con pe tablă. Material nou este explicat însoțit de materialul programului „Stereometrie”. Pe ecran apare o imagine tridimensională a unui con. Profesorul definește conul, vorbește despre elementele sale. (diapozitivul 3)... Se spune că un con este un corp format prin rotația unui triunghi unghiular în raport cu piciorul. (diapozitive 4, 5). Apare o imagine a măturării suprafeței laterale a conului. (diapozitivul 6)

2) Lucrări practice.

Se actualizează cunostinte de baza: Repetați formule pentru calcularea ariei unui cerc, a zonei unui sector, a circumferinței, a lungimii unui arc de cerc. (diapozitive 7-10)

Clasa este împărțită în grupuri. Fiecare grup primește o măturare a suprafeței laterale a conului decupat din hârtie (sectorul cercului cu numărul atribuit). Elevii iau măsurătorile necesare și calculează aria sectorului rezultat. Instrucțiuni de lucru, întrebări - declarații de problemă - apar pe ecran (diapozitive 11-14)... Reprezentantul fiecărui grup notează rezultatele calculelor într-un tabel pregătit pe tablă. Membrii fiecărui grup lipesc modelul conului din măturarea lor existentă. (diapozitivul 15)

3) Afirmarea și soluționarea problemei.

Cum se calculează aria suprafeței laterale a unui con dacă sunt cunoscute doar raza bazei și lungimea generatoarei conului? (diapozitivul 16)

Fiecare grup efectuează măsurătorile necesare și încearcă să obțină o formulă pentru calcularea zonei dorite folosind datele disponibile. La efectuarea acestei lucrări, elevii ar trebui să observe că circumferința bazei conului este egală cu lungimea arcului sectorului - măturarea suprafeței laterale a acestui con. (diapozitive 17-21) Folosind formulele necesare, se derivă formula necesară. Raționamentul studenților ar trebui să arate cam așa:

Raza sectorului - măturarea este egală cu eu, gradul de măsurare al arcului este φ. Aria sectorului este calculată prin formula lungimea arcului care limitează acest sector este egală cu Raza bazei conului R. Lungimea cercului care se află la baza conului este egală cu C = 2πR. Rețineți că, deoarece suprafața laterală a conului este egală cu aria de măturare a suprafeței sale laterale, atunci

Deci, aria suprafeței laterale a conului este calculată prin formulă S BOD = πRl.

După calcularea suprafeței laterale a modelului conului conform formulei derivate independent, reprezentantul fiecărui grup scrie rezultatul calculelor într-un tabel de pe tablă în conformitate cu numerele modelului. Rezultatele calculului în fiecare rând trebuie să fie egale. Pe această bază, profesorul determină corectitudinea concluziilor fiecărui grup. Tabelul de rezultate ar trebui să arate astfel:

Parametrii modelului:

1. l = 12 cm, φ = 120°
2. l = 10 cm, φ = 150°
3. l = 15 cm, φ = 120°
4. l = 10 cm, φ = 170°
5. l = 14 cm, φ = 110°

Aproximarea calculelor este asociată cu erori de măsurare.

După verificarea rezultatelor, ieșirea formulelor pentru suprafețele laterale și complete ale conului apare pe ecran (diapozitive 22-26), elevii țin evidențe în caiete.

Etapa a III-a. Consolidarea materialului studiat.

1) Studenții sunt oferiți sarcini pentru soluție orală pe desene gata făcute.

Găsiți suprafețele suprafețelor complete ale conurilor prezentate în figuri (diapozitive 27-32).

2) Întrebare: Sunt ariile suprafețelor conurilor formate prin rotația unui triunghi unghiular în raport cu picioarele diferite sunt egale? Elevii formulează o ipoteză și o testează. Testarea ipotezei se realizează prin rezolvarea problemelor și este scrisă de student pe tablă.

Dat:Δ ABC, ∠C = 90 °, AB = c, AC = b, BC = a;

BAA ", ABB" - corpuri de revoluție.

Găsi: S PPK 1, S PPK 2.

Figura 5. (diapozitivul 33)

Soluţie:

1) R = BC = a; S PPK 1 = S BOD 1 + S principal 1 = π a c + π a 2 = π a (a + c).

2) R = AC = b; S PPK 2 = S BOD 2 + S principal 2 = π b c + π b 2 = π b (b + c).

Dacă S PPK 1 = S PPK 2, atunci a 2 + ac = b 2 + bc, a 2 - b 2 + ac - bc = 0, (a-b) (a + b + c) = 0. pentru că a, b, c - numere pozitive (lungimile laturilor triunghiului), atunci egalitatea este adevărată numai dacă a =b.

Ieșire: Suprafețele celor două conuri sunt egale numai dacă picioarele triunghiului sunt egale. (diapozitivul 34)

3) Soluționarea problemei din manual: nr. 565.

Etapa IV. Rezumând lecția.

Teme pentru acasă: p. 55, 56; Nr. 548, Nr. 561. (diapozitivul 35)

Anunțarea notelor date.

Concluzii în cursul lecției, repetarea informațiilor de bază obținute în lecție.

Literatură (diapozitivul 36)

1. Geometrie 10-11 grade - Atanasyan, V.F.Butuzov, S. B. Kadomtsev și colab., M., "Educație", 2008.
2. „Puzzle-uri matematice și șarade” - N.V. Udaltsova, biblioteca „1 septembrie”, seria „MATEMATICĂ”, numărul 35, M., Chistye Prudy, 2010.

Geometria este ramura matematicii care studiază structurile în spațiu și relația dintre ele. La rândul său, este format și din secțiuni, iar una dintre ele este stereometria. Acesta prevede studiul proprietăților figurilor volumetrice în spațiu: un cub, piramidă, bilă, con, cilindru etc.

Un con este un corp din spațiul euclidian, care limitează suprafața conică și planul pe care se află capetele generatoarelor sale. Formarea sa are loc în procesul de rotație a unui triunghi unghiular în jurul oricăruia dintre picioare, de aceea se referă la corpuri de revoluție.

Componentele conului

Distinge următoarele tipuri conuri: oblic (sau oblic) și drept. Oblic este cel a cărui axă nu se intersectează cu centrul bazei sale în unghi drept. Din acest motiv, înălțimea unui astfel de con nu coincide cu axa, deoarece este un segment care este coborât din partea superioară a corpului până la planul bazei sale la un unghi de 90 °.

Conul a cărui axă este perpendiculară pe baza sa se numește drept. Axa și înălțimea într-un astfel de corp geometric coincid datorită faptului că vârful din acesta este situat deasupra centrului diametrului de bază.

Conul este format din următoarele elemente:

1. Cercul care este baza sa.
2. Suprafața laterală.
3. Un punct care nu se află în planul de bază, numit vârful conului.
4. Segmente care leagă punctele cercului bazei corpului geometric și vârful acestuia.

Toate aceste segmente sunt generatoare de con. Ele sunt înclinate spre baza corpului geometric și, în cazul unui con drept, proiecțiile lor sunt egale, deoarece vârful este echidistant de punctele cercului de bază. Astfel, putem concluziona că într-un con regulat (drept) generatoarele sunt egale, adică au aceeași lungime și formează aceleași unghiuri cu axa (sau înălțimea) și baza.

Deoarece într-un corp oblic (sau oblic) de revoluție, vârful este deplasat în raport cu centrul planului de bază, generatoarele dintr-un astfel de corp au lungimi și proiecții diferite, deoarece fiecare dintre ele este situat pe distanțe diferite din oricare două puncte ale cercului de bază. În plus, unghiurile dintre ele și înălțimea conului vor diferi, de asemenea.

Lungimea generatoarelor într-un con drept

Așa cum am scris mai devreme, înălțimea într-un corp geometric drept de revoluție este perpendiculară pe planul bazei. Astfel, generatorul, înălțimea și raza bazei creează un triunghi unghiular în con.

Adică, cunoscând raza bazei și înălțimea, folosind formula din teorema lui Pitagora, puteți calcula lungimea generatoarei, care va fi egală cu suma pătratelor razei bazei și înălțimea:

l 2 = r 2 + h 2 sau l = √r 2 + h 2

unde l este generatorul;

r este raza;

h - înălțime.

Generator într-un con înclinat

Pe baza faptului că într-un con oblic sau înclinat, generatoarele nu au aceeași lungime, nu va funcționa pentru a le calcula fără construcții și calcule suplimentare.

În primul rând, trebuie să cunoașteți înălțimea, lungimea axei și raza bazei.

r 1 = √k 2 - h 2

unde r 1 este partea razei dintre axă și înălțime;

k este lungimea axei;

h - înălțime.

Ca urmare a adăugării razei (r) și a părții sale situate între axă și înălțime (r 1), este posibil să aflăm generatoarea completă a conului, înălțimea acestuia și o parte a diametrului:

unde R este piciorul triunghiului format de înălțime, generatoare și o parte a diametrului bazei;

r este raza bazei;

r 1 - parte a razei dintre axă și înălțime.

Folosind aceeași formulă din teorema lui Pitagora, puteți găsi lungimea generatorului conului:

l = √h 2 + R 2

sau, fără a face un calcul separat al lui R, combinați cele două formule într-una singură:

l = √h 2 + (r + r 1) 2.

Indiferent dacă este un con drept sau oblic și ce date de intrare, toate metodele de a găsi lungimea unei generatoare se reduc întotdeauna la un singur rezultat - utilizarea teoremei lui Pitagora.

Secțiunea con

Axial este un plan care trece de-a lungul axei sau înălțimii sale. Într-un con drept, o astfel de secțiune este triunghi isoscel, în care înălțimea triunghiului este înălțimea corpului, laturile sale sunt generatoare, iar baza este diametrul bazei. Într-un corp geometric echilateral, secțiunea axială este un triunghi echilateral, deoarece în acest con diametrul bazei și generatoarele sunt egale.

Planul secțiunii axiale într-un con drept este planul simetriei sale. Motivul pentru aceasta este că vârful său este situat deasupra centrului bazei sale, adică planul secțiunii axiale împarte conul în două părți egale.

Deoarece înălțimea și axa nu coincid într-un solid oblic, planul secțiunii axiale poate să nu includă înălțimea. Dacă se poate construi un set de secțiuni axiale într-un astfel de con, deoarece trebuie respectată o singură condiție pentru aceasta - trebuie să treacă numai prin axă, atunci secțiunea axială a planului la care va aparține înălțimea acestui con desenate doar una, deoarece numărul condițiilor crește și, după cum știți, două linii drepte (împreună) pot aparține unui singur plan.

Arie a secțiunii transversale

Secțiunea axială menționată anterior a conului este un triunghi. Pe baza acestui lucru, aria sa poate fi calculată folosind formula pentru aria unui triunghi:

S = 1/2 * d * h sau S = 1/2 * 2r * h

unde S este aria secțiunii transversale;

d - diametrul bazei;

r este raza;

h - înălțime.

Într-un con oblic sau înclinat, secțiunea de-a lungul axei este, de asemenea, un triunghi, prin urmare, aria secțiunii din acesta este calculată în același mod.

Volum

Deoarece un con este o figură volumetrică în spațiul tridimensional, volumul său poate fi calculat. Volumul unui con este un număr care caracterizează acest corp într-o unitate de volum, adică în m 3. Calculul nu depinde dacă este drept sau oblic (oblic), deoarece formulele pentru aceste două tipuri de corpuri nu diferă.

După cum sa indicat mai devreme, formarea unui con drept are loc datorită rotației unui triunghi unghiular de-a lungul uneia dintre picioarele sale. Un con oblic sau oblic este format diferit, deoarece înălțimea sa este deplasată departe de centrul planului bazei corpului. Cu toate acestea, astfel de diferențe de structură nu afectează metoda de calcul al volumului acesteia.

Calculul volumului

Orice con arată astfel:

V = 1/3 * π * h * r 2

unde V este volumul conului;

h - înălțime;

r este raza;

π este o constantă egală cu 3,14.

Pentru a calcula înălțimea corpului, este necesar să se cunoască raza bazei și lungimea generatoarei sale. Deoarece raza, înălțimea și generatorul sunt combinate într-un triunghi unghiular, înălțimea poate fi calculată folosind formula din teorema lui Pitagora (a 2 + b 2 = c 2 sau în cazul nostru h 2 + r 2 = l 2, unde l este generatorul). Înălțimea va fi calculată prin extragerea rădăcinii pătrate din diferența dintre pătratele hipotenuzei și celălalt picior:

a = √c 2 - b 2

Adică înălțimea conului va fi egală cu valoarea obținută după extragerea rădăcinii pătrate din diferența dintre pătratul lungimii generatoarei și pătratul razei de bază:

h = √l 2 - r 2

După calcularea înălțimii prin această metodă și cunoașterea razei bazei sale, puteți calcula volumul conului. În acest caz, generatorul se joacă rol important, deoarece servește ca element auxiliar în calcule.

În mod similar, dacă cunoașteți înălțimea corpului și lungimea generatoarei sale, puteți afla raza bazei sale extragând Rădăcină pătrată din diferența dintre pătratul generatoarei și pătratul înălțimii:

r = √l 2 - h 2

Apoi, folosind aceeași formulă indicată mai sus, calculați volumul conului.

Volumul conului înclinat

Deoarece formula pentru volumul unui con este aceeași pentru toate tipurile de corp de revoluție, diferența în calculul său este căutarea înălțimii.

Pentru a afla înălțimea unui con înclinat, datele de intrare trebuie să includă lungimea generatoarei, raza bazei și distanța dintre centrul bazei și punctul de intersecție a înălțimii corpului cu planul bazei sale. Știind acest lucru, puteți calcula cu ușurință acea parte a diametrului bazei care va fi baza unui triunghi unghiular (format din înălțime, generatoare și planul bazei). Apoi, folosind din nou teorema lui Pitagora, calculați înălțimea conului și, ulterior, volumul acestuia.