Cum să găsiți unghiul central. Unghiul înscris, teorie și probleme

Acasă

Unghiul ABC este un unghi înscris. Se sprijină pe arcul AC, închis între laturile sale (Fig. 330). Teorema.

Un unghi înscris se măsoară cu jumătatea arcului pe care se întinde.

Acest lucru trebuie înțeles astfel: un unghi înscris conține tot atâtea grade unghiulare, minute și secunde câte grade de arc, minute și secunde sunt conținute în jumătatea arcului pe care se sprijină.

La demonstrarea acestei teoreme trebuie luate în considerare trei cazuri. Primul caz.

Centrul cercului se află pe partea unghiului înscris (Fig. 331).

Fie ∠ABC un unghi înscris și centrul cercului O se află pe latura BC. Este necesar să se demonstreze că se măsoară cu jumătate de arc AC.

Conectați punctul A la centrul cercului. Obținem un \(\Delta\)AOB isoscel, în care AO = OB, ca razele aceluiași cerc. Prin urmare, ∠A = ∠B.

∠AOC este extern triunghiului AOB, deci ∠AOC = ∠A + ∠B, iar din moment ce unghiurile A și B sunt egale, atunci ∠B este 1/2 ∠AOC.

Dar ∠AOC este măsurat cu arcul AC, prin urmare ∠B este măsurat cu jumătate din arcul AC.

De exemplu, dacă \(\breve(AC)\) conține 60°18', atunci ∠B conține 30°9'. Al doilea caz.

Centrul cercului se află între laturile unghiului înscris (Fig. 332).

Fie ∠ABD un unghi înscris. Centrul cercului O se află între laturile sale. Trebuie să demonstrăm că ∠ABD se măsoară cu jumătate din arcul AD.

Pentru a demonstra acest lucru, să desenăm diametrul BC. Unghiul ABD este împărțit în două unghiuri: ∠1 și ∠2.

∠1 este măsurat cu o jumătate de arc AC și ∠2 este măsurat cu o jumătate de arc CD, prin urmare, întregul ∠ABD este măsurat cu 1 / 2 \(\breve(AC)\) + 1 / 2 \(\breve (CD)\), adică jumătate de arc AD.

De exemplu, dacă \(\breve(AD)\) conține 124°, atunci ∠B conține 62°. Al treilea caz.

Centrul cercului se află în afara unghiului înscris (Fig. 333).

Fie ∠MAD un unghi înscris. Centrul cercului O este în afara colțului. Trebuie să demonstrăm că ∠MAD se măsoară cu jumătate din arcul MD.

Pentru a demonstra acest lucru, să desenăm diametrul AB. ∠MAD = ∠MAB - ∠DAB. Dar ∠MAB măsoară 1 / 2 \(\breve(MB)\), iar ∠DAB măsoară 1 / 2 \(\breve(DB)\).

Prin urmare, ∠MAD măsoară 1 / 2 (\(\breve(MB) - \breve(DB))\), adică 1 / 2 \(\breve(MD)\).

De exemplu, dacă \(\breve(MD)\) conține 48° 38", atunci ∠MAD conține 24° 19' 8".
1. Consecințele Toate unghiurile înscrise care subtind același arc sunt egale între ele, deoarece sunt măsurate cu jumătate din același arc

2. Un unghi înscris sub întinderea unui diametru este un unghi drept, deoarece întinde o jumătate de cerc. O jumătate de cerc conține 180 de grade de arc, ceea ce înseamnă că unghiul bazat pe diametru conține 90 de grade de arc (Fig. 334, b).

Instrucţiuni

Dacă se cunosc raza (R) a cercului și lungimea arcului (L) corespunzătoare unghiului central dorit (θ), aceasta poate fi calculată atât în ​​grade, cât și în radiani. Totalul este determinat de formula 2*π*R și corespunde unui unghi central de 360° sau două numere Pi, dacă se folosesc radiani în loc de grade. Prin urmare, pornește de la proporția 2*π*R/L = 360°/θ = 2*π/θ. Exprimă din ea unghiul centralîn radiani θ = 2*π/(2*π*R/L) = L/R sau grade θ = 360°/(2*π*R/L) = 180*L/(π*R) și se calculează după formula rezultată.

Pe baza lungimii coardei (m) care leagă punctele care determină unghiul central (θ), valoarea acesteia poate fi calculată și dacă se cunoaște raza (R) a cercului. Pentru a face acest lucru, luați în considerare un triunghi format din două raze și . Acesta este un triunghi isoscel, toată lumea este cunoscută, dar trebuie să găsiți unghiul opus bazei. Sinusul jumătății sale este egal cu raportul dintre lungimea bazei - coarda - și de două ori lungimea laturii - raza. Prin urmare, utilizați funcția sinus invers pentru calcule - arcsinus: θ = 2*arcsin(½*m/R).

Unghiul central poate fi specificat în fracțiuni de rotație sau dintr-un unghi rotit. De exemplu, dacă trebuie să găsiți unghiul central corespunzător unui sfert de rotație completă, împărțiți 360° la patru: θ = 360°/4 = 90°. Aceeași valoare în radiani ar trebui să fie 2*π/4 ≈ 3,14/2 ≈ 1,57. Unghiul desfășurat este egal cu jumătate de rotație completă, prin urmare, de exemplu, unghiul central corespunzător unui sfert din acesta va fi jumătate din valorile calculate mai sus atât în ​​grade, cât și în radiani.

Inversa sinusului se numește funcție trigonometrică arcsinus. Poate lua valori în jumătate din Pi, atât pozitive, cât și negative atunci când sunt măsurate în radiani. Când sunt măsurate în grade, aceste valori vor fi, respectiv, în intervalul de la -90° la +90°.

Instrucţiuni

Unele valori „rotunde” nu trebuie calculate, sunt mai ușor de reținut. De exemplu: - dacă argumentul funcției este zero, atunci arcsinusul acestuia este și zero - de 1/2 este egal cu 30° sau 1/6 Pi, dacă este măsurat - arcsinus de -1/2 este -30°; sau -1/ 6 din numărul Pi in - arcsinusul lui 1 este egal cu 90° sau 1/2 din numărul Pi în radiani - arcsinusul lui -1 este egal cu -90° sau -1/2; numărul Pi în radiani;

Pentru a măsura valorile acestei funcții din alte argumente, cel mai simplu mod este să utilizați un calculator standard Windows, dacă aveți unul la îndemână. Pentru a începe, deschideți meniul principal pe butonul „Start” (sau apăsând tasta WIN), accesați secțiunea „Toate programele”, apoi la subsecțiunea „Accesorii” și faceți clic pe „Calculator”.

Comutați interfața calculatorului în modul de operare care vă permite să calculați funcții trigonometrice. Pentru a face acest lucru, deschideți secțiunea „Vizualizare” din meniul acesteia și selectați „Inginerie” sau „Științific” (în funcție de tipul de sistem de operare).

Introduceți valoarea argumentului din care ar trebui calculată arctangente. Acest lucru se poate face făcând clic pe butoanele interfeței calculatorului cu mouse-ul sau prin apăsarea tastelor de pe , sau prin copierea valorii (CTRL + C) și apoi lipirea acesteia (CTRL + V) în câmpul de introducere a calculatorului.

Selectați unitățile de măsură în care trebuie să obțineți rezultatul calculului funcției. Sub câmpul de introducere există trei opțiuni, dintre care trebuie să selectați (făcând clic pe el cu mouse-ul) una - , radiani sau rads.

Bifați caseta de selectare care inversează funcțiile indicate pe butoanele interfeței calculatorului. Alături se află o scurtă inscripție Inv.

Faceți clic pe butonul păcat. Calculatorul va inversa funcția asociată acestuia, va efectua calculul și vă va prezenta rezultatul în unitățile specificate.

Video pe tema

Una dintre problemele geometrice comune este calcularea ariei unui segment circular - partea cercului delimitată de o coardă și coarda corespunzătoare de un arc de cerc.

Aria unui segment circular este egală cu diferența dintre aria corespondentei sector circularși aria triunghiului formată din razele sectorului corespunzătoare segmentului și coardei care limitează segmentul.

Exemplul 1

Lungimea coardei care subtinde cercul este egală cu valoarea a. Gradul de măsurare a arcului corespunzător coardei este de 60°. Găsiți aria segmentului circular.

Soluţie

Un triunghi format din două raze și o coardă este isoscel, deci altitudinea trasă de la vârful unghiului central spre latura triunghiului format de coardă va fi și bisectoarea unghiului central, împărțindu-l la jumătate, iar mediană, împărțind coarda în jumătate. Știind că sinusul unghiului este egal cu raportul catetului opus față de ipotenuză, putem calcula raza:

Sin 30°= a/2:R = 1/2;

Sc = πR²/360°*60° = πa²/6

S▲=1/2*ah, unde h este înălțimea trasă de la vârful unghiului central la coardă. Conform teoremei lui Pitagora h=√(R²-a²/4)= √3*a/2.

În consecință, S▲=√3/4*a².

Aria segmentului, calculată ca Sreg = Sc - S▲, este egală cu:

Sreg = πa²/6 - √3/4*a²

Prin înlocuirea unei valori numerice cu valoarea lui a, puteți calcula cu ușurință valoarea numerică a zonei segmentului.

Exemplul 2

Raza cercului este egală cu a. Gradul de măsurare a arcului corespunzător segmentului este de 60°. Găsiți aria segmentului circular.

Soluţie:

Suprafața sectorului corespunzătoare unghi dat poate fi calculat folosind următoarea formulă:

Sc = πа²/360°*60° = πa²/6,

Aria triunghiului corespunzătoare sectorului se calculează după cum urmează:

S▲=1/2*ah, unde h este înălțimea trasă de la vârful unghiului central la coardă. Prin teorema lui Pitagora h=√(a²-a²/4)= √3*a/2.

În consecință, S▲=√3/4*a².

Și, în cele din urmă, aria segmentului, calculată ca Sreg = Sc - S▲, este egală cu:

Sreg = πa²/6 - √3/4*a².

Soluțiile în ambele cazuri sunt aproape identice. Astfel, putem concluziona că pentru a calcula aria unui segment în cel mai simplu caz, este suficient să cunoaștem valoarea unghiului corespunzător arcului segmentului și unul dintre cei doi parametri - fie raza cercului, fie lungimea coardei care subtind arcul de cerc care formează segmentul.

Surse:

• Segment - geometrie

Conceptul de unghi înscris și central

Să introducem mai întâi conceptul de unghi central.

Nota 1

Rețineți că gradul de măsurare a unui unghi central este egal cu gradul de măsurare a arcului pe care se sprijină.

Să introducem acum conceptul de unghi înscris.

Definiția 2

Un unghi al cărui vârf se află pe un cerc și ale cărui laturi intersectează același cerc se numește unghi înscris (Fig. 2).

Figura 2. Unghiul înscris

Teorema unghiului înscris

Teorema 1

Gradul de măsurare a unui unghi înscris este egal cu jumătate din gradul de măsurare a arcului pe care se sprijină.

Dovada.

Să ni se dă un cerc cu centrul în punctul $O$. Să notăm unghiul înscris $ACB$ (Fig. 2). Următoarele trei cazuri sunt posibile:

• Raza $CO$ coincide cu orice parte a unghiului. Fie aceasta latura $CB$ (Fig. 3).

Figura 3.

În acest caz, arcul $AB$ este mai mic decât $(180)^(()^\circ )$, prin urmare unghiul central $AOB$ este egal cu arcul $AB$. Deoarece $AO=OC=r$, atunci triunghiul $AOC$ este isoscel. Aceasta înseamnă că unghiurile de bază $CAO$ și $ACO$ sunt egale între ele. Conform teoremei unghiului exterior al unui triunghi, avem:

• Raza $CO$ împarte un unghi interior în două unghiuri. Lăsați-l să intersecteze cercul în punctul $D$ (Fig. 4).

Figura 4.

Primim

• Raza $CO$ nu împarte unghiul interior în două unghiuri și nu coincide cu niciuna dintre laturile sale (Fig. 5).

Figura 5.

Să luăm în considerare unghiurile $ACD$ și $DCB$ separat. Conform celor dovedite la punctul 1, obținem

Primim

Teorema a fost demonstrată.

Să dăm consecinte din această teoremă.

Corolarul 1: Unghiurile înscrise care se sprijină pe același arc sunt egale între ele.

Corolarul 2: Un unghi înscris care subtinde un diametru este un unghi drept.

Astăzi ne vom uita la un alt tip de probleme 6 - de data aceasta cu un cerc. Mulți studenți nu le plac și le sunt dificile. Și complet în zadar, deoarece astfel de probleme sunt rezolvate elementar, dacă știi niște teoreme. Sau nu îndrăznesc deloc dacă nu-i cunoști.

Înainte de a vorbi despre principalele proprietăți, permiteți-mi să vă reamintesc definiția:

Un unghi înscris este unul al cărui vârf se află pe cerc însuși și ale cărui laturi decupează o coardă pe acest cerc.

Un unghi central este orice unghi cu vârful său în centrul cercului. Laturile sale intersectează, de asemenea, acest cerc și sculptează o coardă pe el.

Deci, conceptele de unghiuri înscrise și centrale sunt indisolubil legate de cercul și acordurile din interiorul acestuia. Și acum afirmația principală:

Teorema. Unghiul central este întotdeauna de două ori unghiul înscris, bazat pe același arc.

În ciuda simplității afirmației, există o întreagă clasă de probleme 6 care pot fi rezolvate folosindu-l - și nimic altceva.

Sarcină. Găsiți un unghi ascuțit înscris subîntins de o coardă egală cu raza cercului.

Fie AB coarda luată în considerare, O centrul cercului. Construcție suplimentară: OA și OB sunt razele cercului. Primim:

Luați în considerare triunghiul ABO. În ea AB = OA = OB - toate laturile sunt egale cu raza cercului. Prin urmare, triunghiul ABO este echilateral și toate unghiurile din el sunt de 60°.

Fie M vârful unghiului înscris. Deoarece unghiurile O și M se sprijină pe același arc AB, unghiul înscris M este de 2 ori mai mic decât unghiul central O. Avem:

M = O: 2 = 60: 2 = 30

Sarcină. Unghiul central este cu 36° mai mare decât unghiul înscris subtins de același arc de cerc. Găsiți unghiul înscris.

Să introducem următoarea notație:

1. AB este coarda cercului;
2. Punctul O este centrul cercului, deci unghiul AOB este unghiul central;
3. Punctul C este vârful unghiului înscris ACB.

Deoarece căutăm unghiul înscris ACB, să-l notăm ACB = x. Atunci unghiul central AOB este x + 36. Pe de altă parte, unghiul central este de 2 ori unghiul înscris. Avem:

AOB = 2 · ACB ;
x + 36 = 2 x ;
x = 36.

Deci am găsit unghiul înscris AOB - este egal cu 36°.

Un cerc este un unghi de 360°

După ce au citit subtitrarea, probabil că cititorii cunoscători vor spune acum: „Uf!” Într-adevăr, compararea unui cerc cu un unghi nu este în întregime corectă. Pentru a înțelege despre ce vorbim, aruncați o privire la cercul trigonometric clasic:

Pentru ce este această poză? Și în plus, o rotație completă este un unghi de 360 ​​de grade. Și dacă îl împărțiți la, să zicem, 20 părţi egale, atunci dimensiunea fiecăruia dintre ele va fi 360: 20 = 18 grade. Acesta este exact ceea ce este necesar pentru a rezolva problema B8.

Punctele A, B și C se află pe cerc și îl împart în trei arce, ale căror măsurători sunt în raportul 1: 3: 5. Aflați unghiul mai mare al triunghiului ABC.

Mai întâi, să găsim măsura gradului fiecărui arc. Fie cel mai mic x. În figură, acest arc este desemnat AB. Atunci arcele rămase - BC și AC - pot fi exprimate în termeni de AB: arc BC = 3x; AC = 5x. În total, aceste arcuri dau 360 de grade:

AB + BC + AC = 360;
x + 3x + 5x = 360;
9x = 360;
x = 40.

Acum luați în considerare un arc mare AC care nu conține punctul B. Acest arc, ca și unghiul central corespunzător AOC, este 5x = 5 40 = 200 de grade.

Unghiul ABC este cel mai mare dintre toate unghiurile dintr-un triunghi. Este un unghi înscris subtins de același arc ca unghiul central AOC. Aceasta înseamnă că unghiul ABC este de 2 ori mai mic decât AOC. Avem:

ABC = AOC: 2 = 200: 2 = 100

Aceasta va fi măsura în grad a unghiului mai mare din triunghiul ABC.

Cerc circumscris în jurul unui triunghi dreptunghic

Mulți oameni uită această teoremă. Dar degeaba, pentru că unele probleme B8 nu se pot rezolva deloc fără el. Mai exact, sunt rezolvate, dar cu un asemenea volum de calcule încât ai prefera să adormi decât să ajungi la răspuns.

Teorema. Centrul cercului circumscris triunghi dreptunghic, se află în mijlocul ipotenuzei.

Ce rezultă din această teoremă?

1. Punctul de mijloc al ipotenuzei este echidistant de toate vârfurile triunghiului. Aceasta este o consecință directă a teoremei;
2. Mediana trasată la ipotenuză împarte triunghiul inițial în două triunghiuri isoscele. Acesta este exact ceea ce este necesar pentru a rezolva problema B8.

În triunghiul ABC desenăm mediana CD. Unghiul C este de 90° și unghiul B este de 60°. Găsiți unghiul ACD.

Deoarece unghiul C este de 90°, triunghiul ABC este un triunghi dreptunghic. Se dovedește că CD este mediana atrasă de ipotenuză. Aceasta înseamnă că triunghiurile ADC și BDC sunt isoscele.

În special, luați în considerare triunghiul ADC. În el AD = CD. Dar într-un triunghi isoscel, unghiurile de la bază sunt egale - vezi „Problema B8: Segmente de linie și unghiuri în triunghiuri”. Prin urmare, unghiul dorit ACD = A.

Deci, rămâne de aflat de ce unghiul este egal O. Pentru a face acest lucru, să ne întoarcem din nou la triunghiul original ABC. Să notăm unghiul A = x. Deoarece suma unghiurilor din orice triunghi este 180°, avem:

A + B + BCA = 180;
x + 60 + 90 = 180;
x = 30.

Desigur, ultima problemă poate fi rezolvată diferit. De exemplu, este ușor de demonstrat că triunghiul BCD nu este doar isoscel, ci echilateral. Deci unghiul BCD este de 60 de grade. Prin urmare, unghiul ACD este 90 − 60 = 30 de grade. După cum puteți vedea, puteți utiliza diferite triunghiuri isoscele, dar răspunsul va fi întotdeauna același.

Cel mai adesea, procesul de pregătire pentru examenul de stat unificat la matematică începe cu o repetare a definițiilor, formulelor și teoremelor de bază, inclusiv pe tema „Unghiuri centrale și înscrise într-un cerc”. De regulă, această secțiune de planimetrie este studiată în liceu. Nu este surprinzător faptul că mulți studenți se confruntă cu nevoia de a revizui concepte și teoreme de bază pe tema „Unghiul central al unui cerc”. După ce au înțeles algoritmul pentru rezolvarea unor astfel de probleme, școlarii pot conta pe primirea de punctaje competitive pe baza rezultatelor promovării examenului unificat de stat.

Cum să vă pregătiți ușor și eficient pentru trecerea testului de certificare?

Învață înainte de a promova single-ul examen de stat, mulți elevi de liceu se confruntă cu problema găsirii informatiile necesare pe tema „Unghiuri centrale și înscrise într-un cerc”. Nu întotdeauna manual școlar disponibil la îndemână. Iar căutarea de formule pe Internet durează uneori mult timp.

Echipa noastră vă va ajuta să vă „îmbunătățiți” abilitățile și să vă îmbunătățiți cunoștințele într-o secțiune atât de dificilă a geometriei precum planimetria portal educațional. „Șkolkovo” oferă elevilor de liceu și profesorilor lor o nouă modalitate de a construi procesul de pregătire pentru examenul de stat unificat. Toate materialele de bază sunt prezentate de specialiștii noștri în cea mai accesibilă formă. După citirea informațiilor din secțiunea „Teoretică”, elevii vor afla ce proprietăți are unghiul central al unui cerc, cum să-i găsească valoarea etc.

Apoi, pentru consolidarea cunoștințelor dobândite și a abilităților de exersare, recomandăm efectuarea unor exerciții adecvate. O selecție largă de sarcini pentru găsirea dimensiunii unui unghi înscris într-un cerc și alți parametri este prezentată în secțiunea „Catalog”. Pentru fiecare exercițiu, experții noștri au scris o soluție detaliată și au indicat răspunsul corect. Lista sarcinilor de pe site este completată și actualizată în mod constant.

Elevii de liceu se pot pregăti pentru Examenul Unificat de Stat exersând exerciții, de exemplu, găsirea mărimii unui unghi central și a lungimii unui arc de cerc, online, din orice regiune rusă.

Dacă este necesar, sarcina finalizată poate fi salvată în secțiunea „Preferate” pentru a reveni la ea mai târziu și a analiza din nou principiul soluției sale.