Luați rădăcina pătrată a numerelor mari. Matematica îmi place

Acasă Atunci când rezolvă diverse probleme dintr-un curs de matematică și fizică, elevii și studenții se confruntă adesea cu nevoia de a extrage rădăcini de gradul doi, trei sau al n-lea. Desigur, în sec tehnologia de informație

Nu va fi dificil să rezolvi această problemă folosind un calculator. Cu toate acestea, apar situații când este imposibil să utilizați asistentul electronic.

De exemplu, multe examene nu vă permit să aduceți electronice. În plus, este posibil să nu aveți un calculator la îndemână. În astfel de cazuri, este util să cunoașteți cel puțin câteva metode de calculare manuală a radicalilor. Una dintre cele mai simple moduri de a calcula rădăcinile este să folosind o masă specială

. Ce este și cum să-l folosești corect?

Folosind tabelul, puteți găsi pătratul oricărui număr de la 10 la 99. Rândurile tabelului conțin valorile zecilor, iar coloanele conțin valorile unităților. Celula de la intersecția unui rând și a unei coloane conține pătratul unui număr de două cifre. Pentru a calcula pătratul lui 63, trebuie să găsiți un rând cu valoarea 6 și o coloană cu valoarea 3. La intersecție vom găsi o celulă cu numărul 3969. Deoarece extragerea rădăcinii este operația inversă de pătrat, pentru a efectua această acțiune trebuie să faceți invers: mai întâi găsiți celula cu numărul al cărui radical doriți să îl calculați, apoi utilizați valorile coloanei și rândului pentru a determina răspunsul . Ca exemplu, luați în considerare calculul 169.

rădăcină pătrată

Găsim o celulă cu acest număr în tabel, pe orizontală determinăm zeci - 1, pe verticală găsim unități - 3. Răspuns: √169 = 13.

În mod similar, puteți calcula rădăcinile cubice și a n-a folosind tabelele corespunzătoare. Avantajul metodei este simplitatea ei și absența calculelor suplimentare. Dezavantajele sunt evidente: metoda poate fi folosită doar pentru un interval limitat de numere (numărul pentru care se găsește rădăcina trebuie să fie în intervalul de la 100 la 9801). Mai mult, nu va funcționa dacă număr dat

nu în tabel.

Factorizarea primelor Dacă tabelul de pătrate nu este la îndemână sau s-a dovedit a fi imposibil să găsiți rădăcina cu ajutorul său, puteți încerca. Factorii primi sunt cei care pot fi complet (fără rest) divizibili numai prin ei înșiși sau cu unul. Exemplele ar putea fi 2, 3, 5, 7, 11, 13 etc.

Să luăm în considerare calcularea rădăcinii folosind exemplul lui √576. Să o împărțim în factori primi. Obținem următorul rezultat: √576 = √(2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ​​​​∙ 3) = √(2 ∙ 2 ∙ 2)² ∙ √3². Folosind proprietatea de bază a rădăcinilor √a² = a, vom scăpa de rădăcini și pătrate, apoi vom calcula răspunsul: 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ​​​​= 24.

Ce să faci dacă vreunul dintre multiplicatori nu are propria sa pereche? De exemplu, luați în considerare calculul lui √54. După factorizare obținem rezultatul în urmatoarea forma: √54 = √(2 ∙ 3 ​​​​∙ 3 ∙ 3) = √3² ∙ √(2 ∙ 3) = 3√6. Partea nedemontabilă poate fi lăsată sub rădăcină. Pentru majoritatea problemelor de geometrie și algebră, acesta va conta drept răspunsul final. Dar dacă este nevoie să calculați valori aproximative, puteți utiliza metode care vor fi discutate mai jos.

metoda lui Heron

Ce să faci când trebuie să știi cel puțin aproximativ cu ce este egală rădăcina extrasă (dacă este imposibil să obții o valoare întreagă)? Prin metoda lui Heron se obține un rezultat rapid și destul de precis. Esența sa este de a folosi o formulă aproximativă:

√R = √a + (R - a) / 2√a,

unde R este numărul a cărui rădăcină trebuie calculată, a este cel mai apropiat număr a cărui valoare rădăcină este cunoscută.

Să ne uităm la modul în care funcționează metoda în practică și să evaluăm cât de precisă este. Să calculăm cu ce este egal √111. Numărul cel mai apropiat de 111, a cărui rădăcină este cunoscută, este 121. Astfel, R = 111, a = 121. Înlocuiți valorile în formula:

√111 = √121 + (111 - 121) / 2 ∙ √121 = 11 - 10 / 22 ≈ 10,55.

Acum să verificăm acuratețea metodei:

10,55² = 111,3025.

Eroarea metodei a fost de aproximativ 0,3. Dacă trebuie îmbunătățită acuratețea metodei, puteți repeta pașii descriși anterior:

√111 = √111,3025 + (111 - 111,3025) / 2 ∙ √111,3025 = 10,55 - 0,3025 / 21,1 ≈ 10,536.

Să verificăm exactitatea calculului:

10,536² = 111,0073.

După reaplicarea formulei, eroarea a devenit complet nesemnificativă.

Calcularea rădăcinii prin diviziune lungă

Această metodă de a găsi valoarea rădăcinii pătrate este puțin mai complexă decât cele anterioare. Cu toate acestea, este cea mai precisă dintre alte metode de calcul fără calculator.

Să presupunem că trebuie să găsiți rădăcina pătrată cu precizie cu 4 zecimale. Să analizăm algoritmul de calcul folosind exemplul unui număr arbitrar 1308.1912.

1. Împărțiți foaia de hârtie în 2 părți cu o linie verticală, apoi trageți o altă linie din ea spre dreapta, puțin sub marginea de sus. Să scriem numărul în partea stângă, împărțindu-l în grupuri de 2 cifre, deplasându-ne la dreapta și la stânga punctului zecimal. Prima cifră din stânga poate fi fără o pereche. Dacă semnul lipsește în partea dreaptă a numărului, atunci ar trebui să adăugați 0. În cazul nostru, rezultatul va fi 13 08.19 12.
2. Să alegem pe cel mai bun număr mare, al cărui pătrat va fi mai mic sau egal cu primul grup de cifre. În cazul nostru este 3. Să-l scriem în dreapta sus; 3 este prima cifră a rezultatului. În dreapta jos indicăm 3×3 = 9; acest lucru va fi necesar pentru calculele ulterioare. Din 13 din coloană scădem 9, obținem un rest de 4.
3. Să atribuim următoarea pereche de numere restului 4; obținem 408.
4. Înmulțiți numărul din dreapta sus cu 2 și scrieți-l în dreapta jos, adăugând _ x _ = la el. Obținem 6_ x _ =.
5. În loc de liniuțe, trebuie să înlocuiți același număr, mai mic sau egal cu 408. Obținem 66 × 6 = 396. Scriem 6 din dreapta sus, deoarece aceasta este a doua cifră a rezultatului. Scădeți 396 din 408, obținem 12.
6. Să repetăm ​​pașii 3-6. Deoarece cifrele mutate în jos sunt în partea fracționară a numărului, este necesar să plasați o virgulă zecimală în dreapta sus după 6. Să notăm rezultatul dublu cu liniuțe: 72_ x _ =. Un număr potrivit ar fi 1: 721×1 = 721. Să-l notăm ca răspuns. Să scădem 1219 - 721 = 498.
7. Să executăm secvența de acțiuni prezentată în paragraful anterior de încă trei ori pentru a obține numărul necesar de zecimale. Dacă nu există suficiente caractere pentru calcule suplimentare, trebuie să adăugați două zerouri la numărul curent din stânga.

Ca rezultat, obținem răspunsul: √1308,1912 ≈ 36,1689. Dacă verificați acțiunea folosind un calculator, vă puteți asigura că toate semnele au fost identificate corect.

Calcul rădăcină pătrată pe biți

Metoda este foarte precisă. În plus, este destul de înțeles și nu necesită memorarea formulelor sau un algoritm complex de acțiuni, deoarece esența metodei este selectarea rezultat corect.

Să extragem rădăcina numărului 781. Să ne uităm la succesiunea acțiunilor în detaliu.

1. Să aflăm care cifră a valorii rădăcinii pătrate va fi cea mai semnificativă. Pentru a face acest lucru, să pătratăm 0, 10, 100, 1000 etc. și să aflăm între care dintre ele se află numărul radical. Primim acel 10²< 781 < 100², т. е. старшим разрядом будут десятки.
2. Să alegem valoarea zecilor. Pentru a face acest lucru, vom ridica pe rând puterea lui 10, 20, ..., 90 până când obținem un număr mai mare decât 781. Pentru cazul nostru, obținem 10² = 100, 20² = 400, 30² = 900. valoarea rezultatului n va fi în intervalul 20< n <30.
3. Similar cu pasul anterior, este selectată valoarea cifrei unităților. Să pătratăm 21,22, ..., 29 unul câte unul: 21² = 441, 22² = 484, 23² = 529, 24² = 576, 25² = 625, 26² = 676, 27² = 729, 28² = 729, 28² = 784.< n < 28.
4. Fiecare cifră ulterioară (zecimi, sutimi etc.) este calculată în același mod ca cel prezentat mai sus. Calculele sunt efectuate până când se obține precizia necesară.

Este timpul să o rezolvi metode de extragere a rădăcinilor. Ele se bazează pe proprietățile rădăcinilor, în special, pe egalitate, ceea ce este valabil pentru orice număr nenegativ b.

Mai jos ne vom uita la principalele metode de extragere a rădăcinilor una câte una.

Să începem cu cel mai simplu caz - extragerea rădăcinilor din numere naturale folosind un tabel de pătrate, un tabel de cuburi etc.

Dacă tabele de pătrate, cuburi etc. Dacă nu îl aveți la îndemână, este logic să folosiți metoda de extragere a rădăcinii, care implică descompunerea numărului radical în factori primi.

Merită menționat în mod special ceea ce este posibil pentru rădăcinile cu exponenți impari.

În cele din urmă, să luăm în considerare o metodă care ne permite să găsim secvenţial cifrele valorii rădăcină.

Să începem.

Folosind un tabel de pătrate, un tabel de cuburi etc.

În cele mai simple cazuri, tabelele de pătrate, cuburi etc vă permit să extrageți rădăcini. Ce sunt aceste tabele?

Tabelul de pătrate de numere întregi de la 0 la 99 inclusiv (prezentat mai jos) este format din două zone. Prima zonă a tabelului este situată pe un fundal gri, selectând un anumit rând și o anumită coloană, vă permite să compuneți un număr de la 0 la 99. De exemplu, să selectăm un rând de 8 zeci și o coloană de 3 unități, cu aceasta am fixat numărul 83. A doua zonă ocupă restul tabelului. Fiecare celulă este situată la intersecția unui anumit rând și a unei anumite coloane și conține pătratul numărului corespunzător de la 0 la 99. La intersecția dintre rândul nostru de 8 zeci și coloana 3 de unități alese există o celulă cu numărul 6.889, care este pătratul numărului 83.

Tabelele de cuburi, tabelele de puteri a patra ale numerelor de la 0 la 99 și așa mai departe sunt similare cu tabelul de pătrate, doar că conțin cuburi, puteri a patra etc. în zona a doua. numerele corespunzătoare.

Tabele de pătrate, cuburi, puteri a patra etc. vă permit să extrageți rădăcini pătrate, rădăcini cubice, rădăcini a patra etc. în consecință din numerele din aceste tabele. Să explicăm principiul utilizării lor la extragerea rădăcinilor.

Să presupunem că trebuie să extragem rădăcina a n-a a numărului a, în timp ce numărul a este conținut în tabelul puterilor a n-a. Folosind acest tabel găsim numărul b astfel încât a=b n. Apoi , prin urmare, numărul b va fi rădăcina dorită a gradului al n-lea.

Ca exemplu, să arătăm cum să folosiți un tabel cub pentru a extrage rădăcina cubului lui 19.683. Găsim numărul 19.683 în tabelul cuburilor, din acesta aflăm că acest număr este cubul numărului 27, prin urmare, .

Este clar că tabelele cu puterile a n-a sunt foarte convenabile pentru extragerea rădăcinilor. Cu toate acestea, adesea nu sunt la îndemână, iar compilarea lor necesită ceva timp. Mai mult decât atât, este adesea necesar să se extragă rădăcini din numere care nu sunt conținute în tabelele corespunzătoare. În aceste cazuri, trebuie să recurgeți la alte metode de extracție a rădăcinilor.

Factorizarea unui număr radical în factori primi

O modalitate destul de convenabilă de a extrage rădăcina unui număr natural (dacă, desigur, rădăcina este extrasă) este de a descompune numărul radical în factori primi. Lui ideea este aceasta: după aceea este destul de ușor să o reprezinte ca o putere cu exponentul dorit, ceea ce vă permite să obțineți valoarea rădăcinii. Să clarificăm acest punct.

Fie luată a n-a rădăcină a unui număr natural a și valoarea sa egală cu b. În acest caz, egalitatea a=b n este adevărată. Numărul b, ca orice număr natural, poate fi reprezentat ca produsul tuturor factorilor săi primi p 1 , p 2 , …, p m sub forma p 1 ·p 2 ·…·p m , iar numărul radical a în acest caz este reprezentat ca (p 1 ·p 2 ·…·p m) n . Deoarece descompunerea unui număr în factori primi este unică, descompunerea radicalului a în factori primi va avea forma (p 1 ·p 2 ·…·p m) n, ceea ce face posibilă calcularea valorii rădăcinii ca.

Rețineți că dacă descompunerea în factori primi a unui număr radical a nu poate fi reprezentată sub forma (p 1 ·p 2 ·…·p m) n, atunci rădăcina a n-a a unui astfel de număr a nu este complet extrasă.

Să ne dăm seama de asta când rezolvăm exemple.

Exemplu.

Luați rădăcina pătrată a lui 144.

Soluţie.

Dacă te uiți la tabelul de pătrate din paragraful anterior, poți vedea clar că 144 = 12 2, din care este clar că rădăcina pătrată a lui 144 este 12.

Dar în lumina acestui punct, ne interesează modul în care este extrasă rădăcina prin descompunerea numărului radical 144 în factori primi. Să ne uităm la această soluție.

Să ne descompunem 144 la factori primi:

Adică 144=2·2·2·2·3·3. Pe baza descompunerii rezultate, pot fi efectuate următoarele transformări: 144=2·2·2·2·3·3=(2·2) 2·3 2 =(2·2·3) 2 =12 2. Prin urmare, .

Folosind proprietățile gradului și proprietățile rădăcinilor, soluția ar putea fi formulată puțin diferit: .

Răspuns:

Pentru a consolida materialul, luați în considerare soluțiile pentru încă două exemple.

Exemplu.

Calculați valoarea rădăcinii.

Soluţie.

Descompunerea în factori primi a radicalului 243 are forma 243=3 5 . Astfel, .

Răspuns:

Exemplu.

Este valoarea rădăcină un număr întreg?

Soluţie.

Pentru a răspunde la această întrebare, să factorăm numărul radical în factori primi și să vedem dacă acesta poate fi reprezentat ca un cub al unui număr întreg.

Avem 285 768=2 3 ·3 6 ·7 2. Expansiunea rezultată nu poate fi reprezentată ca un cub al unui număr întreg, deoarece puterea factorului prim 7 nu este un multiplu de trei. Prin urmare, rădăcina cubă a lui 285.768 nu poate fi extrasă complet.

Răspuns:

Nu.

Extragerea rădăcinilor din numere fracționale

Este timpul să vă dați seama cum să extrageți rădăcina unui număr fracționar. Să se scrie numărul radical fracționar ca p/q. Conform proprietății rădăcinii unui coeficient, următoarea egalitate este adevărată. Din această egalitate rezultă regula pentru extragerea rădăcinii unei fracții: Rădăcina unei fracții este egală cu câtul rădăcinii numărătorului împărțit la rădăcina numitorului.

Să ne uităm la un exemplu de extragere a unei rădăcini dintr-o fracție.

Exemplu.

Care este rădăcina pătrată a fracției comune 25/169?

Soluţie.

Folosind tabelul de pătrate, aflăm că rădăcina pătrată a numărătorului fracției inițiale este egală cu 5, iar rădăcina pătrată a numitorului este egală cu 13. Apoi . Aceasta completează extragerea rădăcinii fracției comune 25/169.

Răspuns:

Rădăcina unei fracții zecimale sau a unui număr mixt se extrage după înlocuirea numerelor radicale cu fracții obișnuite.

Exemplu.

Luați rădăcina cubă a fracției zecimale 474,552.

Soluţie.

Să ne imaginăm fracția zecimală inițială ca o fracție obișnuită: 474,552=474552/1000. Apoi . Rămâne să extragem rădăcinile cubice care se află la numărătorul și numitorul fracției rezultate. Deoarece 474 552=2·2·2·3·3·3·13·13·13=(2 3 13) 3 =78 3 și 1 000 = 10 3, atunci Şi . Mai rămâne doar să finalizați calculele .

Răspuns:

.

Luarea rădăcinii unui număr negativ

Merită să ne oprim asupra extragerii rădăcinilor din numerele negative. Când studiem rădăcinile, am spus că atunci când exponentul rădăcinii este un număr impar, atunci poate exista un număr negativ sub semnul rădăcinii. Am dat acestor intrări următoarea semnificație: pentru un număr negativ −a și un exponent impar al rădăcinii 2 n−1, . Această egalitate dă regula pentru extragerea rădăcinilor impare din numerele negative: pentru a extrage rădăcina unui număr negativ, trebuie să luați rădăcina numărului pozitiv opus și să puneți semnul minus în fața rezultatului.

Să ne uităm la soluția exemplu.

Exemplu.

Găsiți valoarea rădăcinii.

Soluţie.

Să transformăm expresia originală astfel încât să existe un număr pozitiv sub semnul rădăcinii: . Acum înlocuiți numărul mixt cu o fracție obișnuită: . Aplicăm regula pentru extragerea rădăcinii unei fracții obișnuite: . Rămâne de calculat rădăcinile în numărătorul și numitorul fracției rezultate: .

Iată un scurt rezumat al soluției: .

Răspuns:

.

Determinarea pe biți a valorii rădăcinii

În cazul general, sub rădăcină există un număr care, folosind tehnicile discutate mai sus, nu poate fi reprezentat ca puterea a n-a a vreunui număr. Dar în acest caz este nevoie de a cunoaște semnificația unei rădăcini date, cel puțin până la un anumit semn. În acest caz, pentru a extrage rădăcina, puteți utiliza un algoritm care vă permite să obțineți succesiv un număr suficient de valori de cifre ale numărului dorit.

Primul pas al acestui algoritm este de a afla care este bitul cel mai semnificativ al valorii rădăcină. Pentru a face acest lucru, numerele 0, 10, 100, ... sunt ridicate succesiv la puterea n până în momentul în care se obține un număr care depășește numărul radical. Apoi, numărul pe care l-am ridicat la puterea n în etapa anterioară va indica cifra corespunzătoare cea mai semnificativă.

De exemplu, luați în considerare acest pas al algoritmului atunci când extrageți rădăcina pătrată a lui cinci. Luăm numerele 0, 10, 100, ... și le pătram până obținem un număr mai mare de 5. Avem 0 2 =0<5 , 10 2 =100>5, ceea ce înseamnă că cea mai semnificativă cifră va fi cifra celor. Valoarea acestui bit, precum și a celor inferioare, vor fi găsite în următorii pași ai algoritmului de extracție a rădăcinii.

Toți pașii următori ai algoritmului au ca scop clarificarea succesivă a valorii rădăcinii prin găsirea valorilor următorilor biți ai valorii dorite a rădăcinii, începând cu cel mai mare și trecând la cei mai mici. De exemplu, valoarea rădăcinii la primul pas se dovedește a fi 2, la al doilea – 2,2, la al treilea – 2,23 și așa mai departe 2,236067977…. Să descriem cum sunt găsite valorile cifrelor.

Cifrele sunt găsite prin căutarea prin valorile lor posibile 0, 1, 2, ..., 9. În acest caz, puterile a n-a ale numerelor corespunzătoare sunt calculate în paralel și sunt comparate cu numărul radical. Dacă la un moment dat valoarea gradului depășește numărul radical, atunci valoarea cifrei corespunzătoare valorii anterioare este considerată găsită, iar trecerea se face la următorul pas al algoritmului de extracție a rădăcinii, dacă acest lucru nu se întâmplă; atunci valoarea acestei cifre este egală cu 9.

Să explicăm aceste puncte folosind același exemplu de extragere a rădăcinii pătrate a lui cinci.

Mai întâi găsim valoarea cifrei unităților. Vom parcurge valorile 0, 1, 2, ..., 9, calculând 0 2, 1 2, ..., respectiv 9 2, până când obținem o valoare mai mare decât numărul radical 5. Este convenabil să prezentați toate aceste calcule sub forma unui tabel:

Deci valoarea cifrei unităților este 2 (din moment ce 2 2<5 , а 2 3 >5). Să trecem la găsirea valorii locului zecimii. În acest caz, vom pătrat numerele 2.0, 2.1, 2.2, ..., 2.9, comparând valorile rezultate cu numărul radical 5:

Din 2.2 2<5 , а 2,3 2 >5, atunci valoarea locului zecimii este 2. Puteți trece la găsirea valorii locului sutimilor:

Așa a fost găsită următoarea valoare a rădăcinii lui cinci, este egală cu 2,23. Și astfel puteți continua să găsiți valori: 2,236, 2,2360, 2,23606, 2,236067, … .

Pentru a consolida materialul, vom analiza extragerea rădăcinii cu o precizie de sutimi folosind algoritmul considerat.

Mai întâi determinăm cea mai semnificativă cifră. Pentru a face acest lucru, cubăm numerele 0, 10, 100 etc. până când obținem un număr mai mare de 2.151.186. Avem 0 3 =0<2 151,186 , 10 3 =1 000<2151,186 , 100 3 =1 000 000>2 151.186, deci cea mai semnificativă cifră este cifra zecilor.

Să-i determinăm valoarea.

Din 10 3<2 151,186 , а 20 3 >2 151.186, atunci valoarea locului zecilor este 1. Să trecem la unități.

Astfel, valoarea cifrei celor este 2. Să trecem la zecimi.

Deoarece chiar și 12,9 3 este mai mic decât numărul radical 2 151,186, atunci valoarea locului zecimilor este 9. Rămâne de efectuat ultimul pas al algoritmului, ne va da valoarea rădăcinii cu precizia necesară.

În această etapă, valoarea rădăcinii este găsită cu o precizie de sutimi: .

În încheierea acestui articol, aș dori să spun că există multe alte modalități de a extrage rădăcini. Dar pentru majoritatea sarcinilor, cele studiate mai sus sunt suficiente.

Referințe.

• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebră: manual pentru clasa a VIII-a. institutii de invatamant.
• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. şi altele Algebra şi începuturile analizei: Manual pentru clasele 10 - 11 ale instituţiilor de învăţământ general.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematică (un manual pentru cei care intră în școlile tehnice).

Există mai multe metode pentru a calcula rădăcina pătrată fără un calculator.

Cum să găsești rădăcina unui număr - 1 cale

• O metodă este factorizarea numărului sub rădăcină. Aceste componente, atunci când sunt înmulțite, formează o valoare radicală. Precizia rezultatului depinde de numărul de sub rădăcină.
• De exemplu, dacă luați numărul 1.600 și începeți să îl factorizați, raționamentul va fi structurat astfel: acest număr este un multiplu al 100, ceea ce înseamnă că poate fi împărțit la 25; deoarece este luată rădăcina numărului 25, numărul este pătrat și potrivit pentru calcule ulterioare; la împărțire, obținem un alt număr - 64. Acest număr este și el pătrat, deci rădăcina poate fi extrasă bine; După aceste calcule, sub rădăcină, puteți scrie numărul 1600 ca produs al lui 25 și 64.

• Una dintre regulile pentru extragerea unei rădăcini spune că rădăcina produsului de factori este egală cu numărul care se obține prin înmulțirea rădăcinilor fiecărui factor. Aceasta înseamnă că: √(25*64) = √25 * √64. Dacă luăm rădăcinile de la 25 și 64, obținem următoarea expresie: 5 * 8 = 40. Adică rădăcina pătrată a numărului 1600 este 40.
• Dar se întâmplă ca numărul de sub rădăcină să nu poată fi descompus în doi factori, din care se extrage întreaga rădăcină. De obicei, acest lucru se poate face numai pentru unul dintre multiplicatori. Prin urmare, cel mai adesea nu este posibil să găsiți un răspuns absolut exact într-o astfel de ecuație.
• În acest caz, poate fi calculată doar o valoare aproximativă. Prin urmare, trebuie să luați rădăcina multiplicatorului, care este un număr pătrat. Această valoare este apoi înmulțită cu rădăcina celui de-al doilea număr care nu este termenul pătrat al ecuației.
• Arată așa, de exemplu, să luăm numărul 320. Acesta poate fi descompus în 64 și 5. Puteți extrage întreaga rădăcină din 64, dar nu din 5. Prin urmare, expresia va arăta astfel: √320 = √(64*5) = √64*√5 = 8√5.
• Dacă este necesar, puteți găsi valoarea aproximativă a acestui rezultat prin calcul
  √5 ≈ 2,236, prin urmare √320 = 8 * 2,236 = 17,88 ≈ 18.
• De asemenea, numărul de sub rădăcină poate fi descompus în mai mulți factori primi, iar aceiași pot fi scoși de sub el. Exemplu: √75 = √(5*5*3) ​​​​= 5√3 ≈ 8,66 ≈ 9.

Cum să găsești rădăcina unui număr - a doua metodă

• O altă modalitate este de a face împărțirea lungă. Împărțirea are loc într-un mod similar, dar trebuie doar să căutați numere pătrate, din care puteți extrage apoi rădăcina.
• În acest caz, scriem numărul pătrat deasupra și îl scadem în partea stângă, iar rădăcina extrasă de dedesubt.
• Acum a doua valoare trebuie dublată și scrisă din dreapta jos sub forma: număr_x_=. Golurile trebuie completate cu un număr care este mai mic sau egal cu valoarea necesară din stânga - la fel ca în diviziunea normală.
• Dacă este necesar, acest rezultat este din nou scăzut din stânga. Astfel de calcule continuă până când se obține rezultatul. De asemenea, puteți adăuga zerouri până când ajungeți la numărul dorit de zecimale.

Înainte de calculatoare, elevii și profesorii calculau manual rădăcinile pătrate. Există mai multe moduri de a calcula manual rădăcina pătrată a unui număr. Unele dintre ele oferă doar o soluție aproximativă, altele oferă un răspuns exact.

Pași

nu în tabel.

Factorizați numărul radical în factori care sunt numere pătrate.În funcție de numărul radical, veți obține un răspuns aproximativ sau exact. Numerele pătrate sunt numere din care poate fi luată întreaga rădăcină pătrată. Factorii sunt numere care, atunci când sunt înmulțite, dau numărul inițial. De exemplu, factorii numărului 8 sunt 2 și 4, deoarece 2 x 4 = 8, numerele 25, 36, 49 sunt numere pătrate, deoarece √25 = 5, √36 = 6, √49 = 7. Factori pătrați sunt factori, care sunt numere pătrate. În primul rând, încercați să factorizați numărul radical în factori pătrați.

• De exemplu, calculați rădăcina pătrată a lui 400 (de mână). Mai întâi încercați să factorizați 400 în factori pătrați. 400 este un multiplu al lui 100, adică divizibil cu 25 - acesta este un număr pătrat. Împărțiți 400 la 25 pentru a obține 16. 16 este, de asemenea, un număr pătrat. Astfel, 400 poate fi factorizat în factorii pătrați de 25 și 16, adică 25 x 16 = 400.
• Aceasta poate fi scrisă după cum urmează: √400 = √(25 x 16).

1. Rădăcina pătrată a produsului unor termeni este egală cu produsul rădăcinilor pătrate ale fiecărui termen, adică √(a x b) = √a x √b.

   • Utilizați această regulă pentru a lua rădăcina pătrată a fiecărui factor pătrat și înmulțiți rezultatele pentru a găsi răspunsul.
     • În exemplul nostru, luați rădăcina lui 25 și 16.
     • √(25 x 16)
     • √25 x √16

2. Dacă numărul radical nu se împarte în doi factori pătrați (și acest lucru se întâmplă în majoritatea cazurilor), nu veți putea găsi răspunsul exact sub forma unui număr întreg.

   • Dar puteți simplifica problema prin descompunerea numărului radical într-un factor pătrat și un factor obișnuit (un număr din care nu poate fi luată întreaga rădăcină pătrată). Apoi veți lua rădăcina pătrată a factorului pătrat și veți lua rădăcina factorului comun.
     • De exemplu, calculați rădăcina pătrată a numărului 147. Numărul 147 nu poate fi factorizat în doi factori pătrați, dar poate fi factorizat în următorii factori: 49 și 3. Rezolvați problema după cum urmează:
     • = √(49 x 3)
     • = 7√3

3. = √49 x √3 Dacă este necesar, estimați valoarea rădăcinii.

   • Acum puteți estima valoarea rădăcinii (găsiți o valoare aproximativă) comparând-o cu valorile rădăcinilor numerelor pătrate care sunt cel mai apropiate (pe ambele părți ale dreptei numerice) de numărul radical. Veți primi valoarea rădăcinii ca o fracție zecimală, care trebuie înmulțită cu numărul din spatele semnului rădăcinii.
     • Să revenim la exemplul nostru. Numărul radical este 3. Numerele pătrate cele mai apropiate de acesta vor fi numerele 1 (√1 = 1) și 4 (√4 = 2). Astfel, valoarea lui √3 este situată între 1 și 2. Deoarece valoarea lui √3 este probabil mai aproape de 2 decât de 1, estimarea noastră este: √3 = 1,7. Înmulțim această valoare cu numărul de la semnul rădăcinii: 7 x 1,7 = 11,9. Dacă faci calculul pe un calculator, vei obține 12,13, care este destul de aproape de răspunsul nostru.

4. Această metodă funcționează și cu numere mari. De exemplu, luați în considerare √35. Numărul radical este 35. Cele mai apropiate numere pătrate de acesta vor fi numerele 25 (√25 = 5) și 36 (√36 = 6). Astfel, valoarea lui √35 este situată între 5 și 6. Deoarece valoarea lui √35 este mult mai aproape de 6 decât de 5 (pentru că 35 este doar cu 1 mai mic decât 36), putem spune că √35 este puțin mai mic decât 6 Verificați pe calculator ne dă răspunsul 5.92 - am avut dreptate. O altă modalitate este factorizarea numărului radical în factori primi.

   • Factorii primi sunt numere care sunt divizibile doar cu 1 și cu ele însele. Scrieți factorii primi într-o serie și găsiți perechi de factori identici. Astfel de factori pot fi scoși din semnul rădăcinii.
   • De exemplu, calculați rădăcina pătrată a lui 45. Factorăm numărul radical în factori primi: 45 = 9 x 5 și 9 = 3 x 3. Astfel, √45 = √(3 x 3 x 5). 3 poate fi scos ca semn rădăcină: √45 = 3√5. Acum putem estima √5.
     • Să ne uităm la un alt exemplu: √88.
     • = √(2 x 44)
     • = √ (2 x 4 x 11)
     • = 2√(2 x 11) = 2√2 x √11. Acum puteți evalua √2 și √11 și puteți găsi un răspuns aproximativ.

   Calcularea manuală a rădăcinii pătrate

   Folosind diviziunea lungă

   1. Această metodă implică un proces similar cu diviziunea lungă și oferă un răspuns precis. Mai întâi, trageți o linie verticală care împarte foaia în două jumătăți, apoi la dreapta și puțin sub marginea superioară a foii, trageți o linie orizontală la linia verticală. Acum împărțiți numărul radical în perechi de numere, începând cu partea fracțională după virgulă zecimală. Deci, numărul 79520789182.47897 este scris „7 95 20 78 91 82, 47 89 70”.

      • De exemplu, să calculăm rădăcina pătrată a numărului 780,14. Desenați două linii (cum se arată în imagine) și scrieți numărul dat sub forma „7 80, 14” în stânga sus. Este normal ca prima cifră din stânga să fie o cifră nepereche. Veți scrie răspunsul (rădăcina acestui număr) în dreapta sus.

   2. Pentru prima pereche de numere (sau un singur număr) din stânga, găsiți cel mai mare număr întreg n al cărui pătrat este mai mic sau egal cu perechea de numere (sau un singur număr) în cauză.

      • Cu alte cuvinte, găsiți numărul pătrat care este cel mai apropiat, dar mai mic decât, prima pereche de numere (sau un singur număr) din stânga și luați rădăcina pătrată a acelui număr pătrat; veți obține numărul n. Scrieți n-ul pe care l-ați găsit în dreapta sus și scrieți pătratul lui n în dreapta jos.< 7, то есть 2 2 < 7 и n = 2. Напишите 2 сверху справа - это первая цифра в искомом квадратном корне. Напишите 2×2=4 справа снизу; вам понадобится это число для последующих вычислений.

   3. În cazul nostru, primul număr din stânga va fi 7. În continuare, 4 Scădeți pătratul numărului n pe care tocmai l-ați găsit din prima pereche de numere (sau un singur număr) din stânga.

      • Scrieți rezultatul calculului sub subtraendă (pătratul numărului n).

   4. În exemplul nostru, scădeți 4 din 7 și obțineți 3. Luați a doua pereche de numere și scrieți-o lângă valoarea obținută la pasul anterior.

      • Apoi dublați numărul din dreapta sus și scrieți rezultatul în dreapta jos cu adăugarea lui „_×_=".

   5. În exemplul nostru, a doua pereche de numere este „80”. Scrieți „80” după 3. Apoi, de două ori numărul din dreapta sus dă 4. Scrieți „4_×_=" în dreapta jos.

      • Completați spațiile libere din dreapta.

   6. În cazul nostru, dacă punem numărul 8 în loc de liniuțe, atunci 48 x 8 = 384, care este mai mult de 380. Prin urmare, 8 este un număr prea mare, dar 7 va fi suficient. Scrieți 7 în loc de liniuțe și obțineți: 47 x 7 = 329. Scrieți 7 în dreapta sus - aceasta este a doua cifră din rădăcina pătrată dorită a numărului 780,14. Scădeți numărul rezultat din numărul curent din stânga.

      • Scrieți rezultatul de la pasul anterior sub numărul curent din stânga, găsiți diferența și scrieți-o sub subtraend.

   7. În exemplul nostru, scădeți 329 din 380, care este egal cu 51. Dacă perechea de numere care se transferă este partea fracțională a numărului original, atunci puneți un separator (virgulă) între părțile întregi și fracționale în rădăcina pătrată necesară în dreapta sus. În stânga, aduceți în jos următoarea pereche de numere. Dublați numărul din dreapta sus și scrieți rezultatul în dreapta jos cu adăugarea lui „_×_=".

      • În exemplul nostru, următoarea pereche de numere care va fi eliminată va fi partea fracțională a numărului 780,14, așa că plasați separatorul întregului și al părților fracționale în rădăcina pătrată dorită în dreapta sus. Luați 14 și scrieți-l în stânga jos. Numărul dublu din dreapta sus (27) este 54, așa că scrieți „54_×_=" în dreapta jos.

   8. Repetați pașii 5 și 6. Găsiți cel mai mare număr în locul liniuțelor din dreapta (în loc de liniuțe trebuie să înlocuiți același număr), astfel încât rezultatul înmulțirii să fie mai mic sau egal cu numărul curent din stânga.

      • În exemplul nostru, 549 x 9 = 4941, care este mai mic decât numărul curent din stânga (5114). Scrieți 9 în dreapta sus și scădeți rezultatul înmulțirii din numărul curent din stânga: 5114 - 4941 = 173.

   9. Dacă trebuie să găsiți mai multe zecimale pentru rădăcina pătrată, scrieți câteva zerouri în stânga numărului curent și repetați pașii 4, 5 și 6. Repetați pașii până când obțineți precizia răspunsului (numărul de zecimale) nevoie.

   Înțelegerea procesului

   Pentru a stăpâni această metodă, imaginați-vă numărul a cărui rădăcină pătrată trebuie să o găsiți ca aria pătratului S. În acest caz, veți căuta lungimea laturii L a unui astfel de pătrat. Calculăm valoarea lui L astfel încât L² = S.

   Dați câte o literă pentru fiecare număr din răspuns. Să notăm cu A prima cifră din valoarea lui L (rădăcina pătrată dorită). B va fi a doua cifră, C a treia și așa mai departe.

   Specificați o literă pentru fiecare pereche de primele cifre. Să notăm cu S a prima pereche de cifre din valoarea lui S, cu S b a doua pereche de cifre și așa mai departe.

   Înțelegeți legătura dintre această metodă și împărțirea lungă. La fel ca în operația de împărțire, unde ne interesează doar următoarea cifră a numărului pe care îl împărțim de fiecare dată, atunci când calculăm o rădăcină pătrată, lucrăm secvențial cu o pereche de cifre (pentru a obține următoarea cifră din pătrat valoarea rădăcină).

   1. Luați în considerare prima pereche de cifre Sa a numărului S (Sa = 7 în exemplul nostru) și găsiți-i rădăcina pătrată.În acest caz, prima cifră A a valorii dorite a rădăcinii pătrate va fi o cifră al cărei pătrat este mai mic sau egal cu S a (adică căutăm un A astfel încât inegalitatea A² ≤ Sa< (A+1)²). В нашем примере, S1 = 7, и 2² ≤ 7 < 3²; таким образом A = 2.

      • Să presupunem că trebuie să împărțim 88962 la 7; aici primul pas va fi similar: luăm în considerare prima cifră a numărului divizibil 88962 (8) și selectăm cel mai mare număr care, înmulțit cu 7, dă o valoare mai mică sau egală cu 8. Adică căutăm un număr d pentru care inegalitatea este adevărată: 7 × d ≤ 8< 7×(d+1). В этом случае d будет равно 1.

   2. Imaginează-ți mental un pătrat a cărui zonă trebuie să o calculezi. Cauți L, adică lungimea laturii unui pătrat a cărui arie este egală cu S. A, B, C sunt numerele din numărul L. Îl poți scrie altfel: 10A + B = L (pentru un număr din două cifre) sau 100A + 10B + C = L (pentru un număr din trei cifre) și așa mai departe.

      • Lasă (10A+B)² = L² = S = 100A² + 2×10A×B + B². Amintiți-vă că 10A+B este un număr în care cifra B reprezintă unități, iar cifra A reprezintă zeci. De exemplu, dacă A=1 și B=2, atunci 10A+B este egal cu numărul 12. (10A+B)² este aria întregului pătrat, 100A²- zona pătratului interior mare, B²- zona pătratului interior mic, 10A×B- aria fiecăruia dintre cele două dreptunghiuri. Adunând zonele figurilor descrise, veți găsi aria pătratului original.

Ce este o rădăcină pătrată?

Atenţie!
Există suplimentare
materiale în secțiunea specială 555.
Pentru cei care sunt foarte „nu foarte...”
Și pentru cei care „foarte mult...”)

Acest concept este foarte simplu. Natural, as spune. Matematicienii încearcă să găsească o reacție pentru fiecare acțiune. Există adunare - există și scădere. Există înmulțire - există și împărțire. Există pătrare... Așa că există și luând rădăcina pătrată! Asta este. Această acțiune ( rădăcină pătrată) la matematică este indicată de această pictogramă:

Icoana în sine este numită un cuvânt frumos " radical".

Cum se extrage rădăcina? E mai bine să te uiți exemple.

Care este rădăcina pătrată a lui 9? Ce număr pătrat ne va da 9? 3 pătrat ne dă 9! Aceste:

Dar care este rădăcina pătrată a lui zero? Nicio întrebare! Ce număr la pătrat face zero? Da, dă zero! Mijloace:

Am înţeles, ce este radacina patrata? Atunci luăm în considerare exemple:

Răspunsuri (în dezordine): 6; 1; 4; 9; 5.

Hotărât? Într-adevăr, cât de ușor este asta?!

Dar... Ce face o persoană când vede o sarcină cu rădăcini?

O persoană începe să se simtă tristă... Nu crede în simplitatea și lejeritatea rădăcinilor sale. Deși pare să știe ce este rădăcina pătrată...

Acest lucru se datorează faptului că persoana a ignorat câteva puncte importante atunci când a studiat rădăcinile. Atunci aceste mofturi se răzbune crunt pe teste și examene...

Punctul unu. Trebuie să recunoști rădăcinile din vedere!

Care este rădăcina pătrată a lui 49? Șapte? Corect! De unde ai știut că era șapte? A pătrat șapte și a primit 49? Corect! Vă rugăm să rețineți că extrage rădăcina din 49 trebuia sa facem operatiunea inversa - careul 7! Și asigură-te că nu ratam. Sau ar fi putut rata...

Aceasta este dificultatea extragerea rădăcinilor. Pătrat Puteți folosi orice număr fără probleme. Înmulțiți un număr cu el însuși cu o coloană - asta-i tot. Dar pentru extragerea rădăcinilor Nu există o astfel de tehnologie simplă și sigură. Trebuie să ne ridica răspundeți și verificați dacă este corect, punându-l la pătrat.

Acest proces creativ complex - alegerea unui răspuns - este mult simplificat dacă dvs amintește-ți pătratele numerelor populare. Ca o masă de înmulțire. Dacă, să zicem, trebuie să înmulțiți 4 cu 6, nu adunați de patru de 6 ori, nu-i așa? Răspunsul 24 apare imediat Deși, nu toată lumea îl înțelege, da...

Pentru a lucra liber și cu succes cu rădăcinile, este suficient să cunoașteți pătratele numerelor de la 1 la 20. Mai mult AcoloŞi spate. Aceste. ar trebui să puteți recita cu ușurință atât, de exemplu, 11 pătrat, cât și rădăcina pătrată a lui 121. Pentru a realiza această memorare, există două moduri. Primul este să înveți tabelul pătratelor. Acesta va fi de mare ajutor în rezolvarea exemplelor. Al doilea este de a rezolva mai multe exemple. Acest lucru vă va ajuta foarte mult să vă amintiți tabelul cu pătrate.

Și fără calculatoare! Numai în scopuri de testare. Altfel, vei încetini fără milă în timpul examenului...

Aşa, ce este rădăcina pătrată si cum extrage rădăcinile- Cred că e clar. Acum haideți să aflăm DIN CE le putem extrage.

Punctul doi. Root, nu te cunosc!

Din ce numere poți lua rădăcini pătrate? Da, aproape oricare dintre ele. Este mai ușor de înțeles de la ce este este interzis extrage-le.

Să încercăm să calculăm această rădăcină:

Pentru a face acest lucru, trebuie să alegem un număr care pătratul ne va da -4. Selectăm.

Ce, nu se potrivește? 2 2 dă +4. (-2) 2 dă din nou +4! Gata... Nu există numere care, la pătrat, să ne dea un număr negativ! Deși știu aceste numere. Dar nu vă spun). Du-te la facultate și vei afla singur.

Aceeași poveste se va întâmpla cu orice număr negativ. De aici concluzia:

O expresie în care există un număr negativ sub semnul rădăcinii pătrate - nu are sens! Aceasta este o operațiune interzisă. Este la fel de interzis ca împărțirea la zero. Amintiți-vă cu fermitate acest fapt! Sau cu alte cuvinte:

Nu poți extrage rădăcini pătrate din numere negative!

Dar dintre toate celelalte, este posibil. De exemplu, este foarte posibil să se calculeze

La prima vedere, acest lucru este foarte dificil. Selectarea fracțiilor și pătrarea lor... Nu vă faceți griji. Când înțelegem proprietățile rădăcinilor, astfel de exemple vor fi reduse la același tabel de pătrate. Viața va deveni mai ușoară!

Bine, fracții. Dar încă întâlnim expresii precum:

E bine. Totul este la fel. Rădăcina pătrată a lui doi este numărul care, la pătrat, ne dă doi. Doar acest număr este complet neuniform... Iată-l:

Ceea ce este interesant este că această fracție nu se termină niciodată... Astfel de numere sunt numite iraționale. În rădăcini pătrate, acesta este cel mai comun lucru. Apropo, de aceea se numesc expresiile cu rădăcini iraţional. Este clar că a scrie o astfel de fracție infinită tot timpul este incomod. Prin urmare, în loc de o fracție infinită, o lasă așa:

Dacă, atunci când rezolvați un exemplu, ajungeți cu ceva care nu poate fi extras, cum ar fi:

apoi o lasam asa. Acesta va fi răspunsul.

Trebuie să înțelegeți clar ce înseamnă pictogramele

Desigur, dacă se ia rădăcina numărului netezi, trebuie să faci asta. Răspunsul la sarcină este sub formă, de exemplu

Un răspuns destul de complet.

Și, desigur, trebuie să cunoașteți valorile aproximative din memorie:

Aceste cunoștințe ajută foarte mult la evaluarea situației în sarcini complexe.

Punctul trei. Cel mai viclean.

Principala confuzie în lucrul cu rădăcini este cauzată de acest punct. El este cel care dă încredere în propriile abilități... Să ne ocupăm de acest punct cum trebuie!

Mai întâi, să luăm din nou rădăcina pătrată a patru dintre ele. V-am deranjat deja cu această rădăcină?) Nu contează, acum va fi interesant!

Ce număr înseamnă 4 pătrat? Ei bine, doi, doi - aud răspunsuri nemulțumite...

Corect. Două. Dar de asemenea minus doi va da 4 pătrat... Între timp, răspunsul

corect si raspunsul

greseala grosolana. Ca aceasta.

Deci care e problema?

Într-adevăr, (-2) 2 = 4. Și sub definiția rădăcinii pătrate a lui patru minus doi destul de potrivit... Aceasta este și rădăcina pătrată a lui patru.

Dar! În cursul școlii de matematică, se obișnuiește să se ia în considerare rădăcinile pătrate doar numere nenegative! Adică zero și toate pozitive. Chiar și un termen special a fost inventat: din mijloc O- Asta nenegativ număr al cărui pătrat este O. Rezultatele negative la extragerea unei rădăcini pătrate aritmetice sunt pur și simplu aruncate. La școală, totul este rădăcină pătrată - aritmetică. Deși acest lucru nu este menționat în mod deosebit.

Bine, e de înțeles. Este și mai bine să nu te deranjezi cu rezultate negative... Aceasta nu este încă o confuzie.

Confuzia începe la rezolvarea ecuațiilor pătratice. De exemplu, trebuie să rezolvați următoarea ecuație.

Ecuația este simplă, scriem răspunsul (cum este predat):

Acest răspuns (absolut corect, de altfel) este doar o versiune prescurtată două raspunsuri:

Oprește-te, oprește-te! Chiar mai sus am scris că rădăcina pătrată este un număr Întotdeauna nenegativ! Și iată unul dintre răspunsuri - negativ! Tulburare. Aceasta este prima (dar nu ultima) problemă care provoacă neîncredere în rădăcini... Să rezolvăm această problemă. Să notăm răspunsurile (doar pentru înțelegere!) astfel:

Parantezele nu schimbă esența răspunsului. Am separat-o doar cu paranteze semne din rădăcină. Acum puteți vedea clar că rădăcina în sine (în paranteze) este încă un număr nenegativ! Și semnele sunt rezultatul rezolvării ecuației. La urma urmei, atunci când rezolvăm orice ecuație trebuie să scriem Toate X care, atunci când sunt înlocuite în ecuația originală, vor da rezultatul corect. Rădăcina lui cinci (pozitivă!) cu atât un plus, cât și un minus se încadrează în ecuația noastră.

Ca aceasta. Dacă tu luați doar rădăcina pătrată din orice, tu Întotdeauna primesti unul nenegativ rezultat. De exemplu:

Pentru că este - rădăcină pătrată aritmetică.

Dar dacă rezolvați o ecuație pătratică, cum ar fi:

Că Întotdeauna se dovedește două raspuns (cu plus si minus):

Pentru că aceasta este soluția ecuației.

Speranţă, ce este rădăcina pătrată Ai punctele clare. Acum rămâne să aflăm ce se poate face cu rădăcinile, care sunt proprietățile lor. Și care sunt punctele și capcanele... scuze, pietre!)

Toate acestea sunt în următoarele lecții.

Daca va place acest site...

Apropo, mai am câteva site-uri interesante pentru tine.)

Puteți exersa rezolvarea exemplelor și puteți afla nivelul dvs. Testare cu verificare instantanee. Să învățăm - cu interes!)

Vă puteți familiariza cu funcțiile și derivatele.