Proiect de cercetare „Formula Cardano: Istorie și Aplicație”. Rezolvarea ecuațiilor cubice Ferrari și formulele cardano

Acasă

Conţinut Vezi și:

Formula trigonometrică a lui Vieta

Reducerea ecuației cubice la formă redusă
(1) ,
Luați în considerare ecuația cubică:
(2) ,
Unde . Să-l împărțim în:
Unde , , .

În plus, presupunem că , și - sunt numere reale.
.
;
;
.
Să reducem ecuația (2) la o formă mai simplă. Pentru a face acest lucru, să facem o înlocuire
:
;
;
.
Să echivalăm coeficientul cu zero. Pentru a face asta, să punem
(3) ,
Obținem următoarea ecuație:
(4) ; .

Unde

Derivarea formulei lui Cardano
(5) :
;
;
;
.
Rezolvăm ecuația (3). Efectuarea unei înlocuiri
(6) ;
(7) .

Pentru ca această ecuație să fie satisfăcută, să punem
.
Din (7) avem:
;
.

Să înlocuim în (6):
(8) .
Rezolvarea unei ecuații pătratice.
,
Să luăm semnul „+” de sus:
.
unde am introdus notația
.

Din (6) avem:
(5) ;
(9) ;
(10) ;
(7) ;
(11) .
Deci, am găsit o soluție la ecuația de mai sus sub următoarea formă: Această soluție se numește.

formula lui Cardano

Dacă la alegerea semnului rădăcinii pătrate din (8), luăm semnul inferior, atunci ne vom schimba locurile și nu vom obține nimic nou. Cantitățile și sunt egale cu rădăcinile cubice, deci au trei valori. Din toate perechile posibile, trebuie să le alegeți pe cele care satisfac ecuația (7).
(3)
Deci, algoritmul pentru rezolvarea ecuației cubice reduse
Următorul.
1) Mai întâi determinăm orice valoare a rădăcinii pătrate.
2) Calculați trei valori ale rădăcinii cubice.
.
3) Folosind formula (7), pentru fiecare valoare, calculăm valoarea:
Ca rezultat, obținem trei perechi de mărimi și .
4) Pentru fiecare pereche de mărimi și , folosind formula (5) găsim valorile rădăcinilor ecuației date (3).
.
5) Calculăm valorile rădăcinilor ecuației inițiale (1) folosind formula

În acest fel obținem valorile celor trei rădăcini ale ecuației originale. Când două sau trei rădăcini sunt multipli (egale).
(7) .

La pasul 3) al acestui algoritm, o puteți face diferit. Putem calcula trei valori ale cantității folosind formula (10). Și apoi faceți trei perechi de rădăcini și astfel încât pentru fiecare pereche relația să fie satisfăcută

Cazul Q ≥ 0

Să luăm în considerare cazul.
; ,
Mai mult, sunt numere reale. Să introducem o notație. Fiți și notăm valorile reale ale rădăcinilor cubice.
Să găsim valorile rămase ale rădăcinilor și .
Să o scriem în următoarea formă:
.
unde - este un număr întreg;
, ;
, ;
, .
- unitate imaginară, .
;
;
.

Apoi
(7) .
De atunci
.
Să o scriem în următoarea formă:
.
De aici obținem prima pereche: .
În continuare observăm că
.
De aceea
; .
Apoi mai sunt două perechi.

Acum obținem trei rădăcini ale ecuației de mai sus:
;
;
.
Ele pot fi scrise și sub următoarea formă:
(12) ; .
Aceste formule se numesc formula lui Cardano.

La , . Cele două rădăcini sunt multiple:
; .
Când toate cele trei rădăcini sunt multiple:
.

Cazul Q< 0

Dacă urmărim derivarea formulei (12), vom vedea că întreaga concluzie rămâne valabilă pentru o valoare negativă.
.

Adică pot fi complexe. Apoi, pentru și puteți alege orice valoare a rădăcinilor cubice între care se află relația:

Formula Cardano pentru rezolvarea ecuației cubice
Deci, am stabilit că rădăcinile ecuației cubice reduse

sunt mai convenabile.
Literatura folosita:

N.M. Gunter, R.O. Kuzmin, Culegere de probleme de matematică superioară, „Lan”, 2003.

Vezi și: Ecuația cubică

• numită ecuație a formei (1)
• ax 3 + bx 2 + cx +d = 0,

unde a, b, c, d sunt coeficienți constanți, iar x este o variabilă.

Vom lua în considerare cazul când coeficienții sunt numere reale.

Rădăcinile ecuației cubice. Aflarea rădăcinilor (soluției) unei ecuații cubice. Se numește numărul x rădăcina ecuației cubice

(1), dacă la înlocuirea acesteia, ecuația (1) se transformă într-o egalitate adevărată. O ecuație cubică are cel mult trei rădăcini(peste un câmp complex există întotdeauna trei rădăcini, ținând cont de multiplicitate) . Și are întotdeauna cel puțin 1(real) rădăcină. Toate cazurile posibile de compoziție a rădăcinilor pot fi ușor determinate folosind semnul discriminant al ecuației cubice

, adică: Δ= -4 3 b + Δ= -4 2 d 2 - 4c 3 + 18ac - 27abcd 2 b 2 o

(Da, acesta este discriminantul ecuației cubice)

• Deci, sunt posibile doar următoarele 3 cazuri: Δ > 0 - atunci ecuația are 3 rădăcini diferite.
• Δ < 0 - уравнение имеет лишь 1 корень. (Pentru cei avansati - trei rădăcini reale diferite)
• (1 rădăcină reală și o pereche de rădăcini conjugate complexe) Δ = 0 - cel puțin 2 rădăcini ale ecuației coincid. Aceste. avem de-a face fie cu o ecuație cu 2 rădăcini coincidente și încă una diferită de acestea, fie cu o ecuație cu 3 rădăcini coincidente.

(În orice caz, toate rădăcinile sunt reale. Și o ecuație are 3 rădăcini care se potrivesc dacă și numai dacă derivata sa și a doua ei sunt egale cu zero)

Formula Cardano pentru rezolvarea ecuațiilor cubice (găsirea rădăcinilor). Aceasta este o formulă pentru găsirea rădăcinilor formei canonice a unei ecuații cubice..

(Deasupra câmpului numerelor complexe) Forma canonică

ecuația cubică este o ecuație de formă 3 + y + py = 0 (2)

q

Deci, să începem să calculăm rădăcinile. Să găsim următoarele cantități:

Discriminantul ecuației (2) în acest caz este egal cu

Discriminantul ecuației inițiale (1) va avea același semn ca și discriminantul de mai sus. Rădăcinile ecuației (2) sunt exprimate după cum urmează:

În consecință, dacă Q>0, atunci ecuațiile (2) și (1) vor avea doar 1 . Și are întotdeauna cel puțin 1 rădăcină, y 1 . Să o substituim în (3) și să găsim x pentru ecuația (1). (dacă sunteți interesat și de rădăcinile imaginare, atunci pur și simplu calculați y 2 , y 3 și înlocuiți-le în (3).

Dacă Q<0, то уравнение (2), как и уравнение (1) имеет три различных вещественных корня, но для их вычисления нужно уметь извлекать квадратный корень из отрицательного числа. Если вы это умеете, то проделайте расчеты, получите три корня y 1 , y 2 , y 3 и подставьте их в (3).

Dacă Q =0, atunci toate rădăcinile ecuațiilor (1) și (2) sunt reale și cel puțin 2 rădăcini ale fiecărei ecuații coincid. În acest caz avem

• α = β și
• y 1 =2α,
• y 2 = y 3 = - α.

În mod similar, înlocuim în (3) și obținem răspunsul.

Formula trigonometrică a lui Vieta pentru rezolvarea ecuațiilor cubice (găsirea rădăcinilor).

Această formulă găsește soluții ecuație cubică redusă, adică ecuații de formă

x 3 + ax 2 + bx +c = 0 (4)

Evident, orice ecuație de tip (1) poate fi redusă la forma (4) pur și simplu împărțind-o la coeficientul a.

Deci, algoritmul pentru aplicarea acestei formule:

1. Calculați

2. Calculați

3. a) Dacă S>0, atunci calculați

φ=(arccos(R/Q 3/2))/3

Și ecuația noastră are 3 rădăcini (real):

b) Dacă S<0, то заменим тригонометрические функции гиперболическими.

Noi calculăm

φ=(Arch(|R|/|Q| 3/2)/3

Apoi singura rădăcină . Și are întotdeauna cel puțin 1: x 1 = -2sgn(R)*|Q| 1/2 *ch(φ) - a/3

Pentru cei care sunt, de asemenea, interesați de rădăcinile imaginare:

• x 2 = sgn(R)*|Q| 1/2 *ch(φ) - a/3 +(3|Q|) 1/2 sh(φ)i
• x 3 = sgn(R)*|Q| 1/2 *ch(φ) - a/3 -(3|Q|) 1/2 sh(φ)i

UNDE:

• ch(x)=(e x +e -x)/2
• Arch(x) = ln(x + (x 2 -1) 1/2)
• sh(x)=(e x -e -x)/2
• sgn(x) - semnul lui x

c) Dacă S=0, atunci ecuația are mai puțin de trei soluții diferite:

Orice ecuație cubică cu coeficienți reali are cel puțin o rădăcină reală, celelalte două fie sunt de asemenea reale, fie sunt o pereche conjugată complexă.

Să începem revizuirea cu cele mai simple cazuri - binomŞi returnabil ecuații. Apoi trecem la găsirea rădăcinilor raționale (dacă există). Să încheiem cu un exemplu de găsire a rădăcinilor unei ecuații cubice folosind formula lui Cardano pentru cazul general.

Navigare în pagină.

Rezolvarea unei ecuații cubice cu doi termeni.

Ecuația binomială cubică are forma .

Această ecuație se reduce la forma prin împărțirea la un coeficient A care este diferit de zero. Apoi, aplicați formula pentru suma abreviată a înmulțirii cuburilor:

Din prima paranteză găsim , și trinomul pătrat are doar rădăcini complexe.

Exemplu.

Găsiți rădăcinile reale ale ecuației cubice.

Soluţie.

Aplicăm formula pentru înmulțirea prescurtată a diferenței de cuburi:

Din prima paranteză aflăm că trinomul pătrat din a doua paranteză nu are rădăcini reale, deoarece discriminantul său este negativ.

Răspuns:

Rezolvarea ecuației cubice reciproce.

Ecuația cubică reciprocă are forma , unde A și B sunt coeficienți.

Să grupăm:

Evident, x = -1 este rădăcina unei astfel de ecuații și rădăcinile trinomului pătratic rezultat sunt ușor de găsit prin discriminant.

Exemplu.

Rezolvați ecuația cubică .

Soluţie.

Aceasta este o ecuație reciprocă. Să grupăm:

Evident x = -1 este rădăcina ecuației.

Găsirea rădăcinilor unui trinom pătratic:

Răspuns:

Rezolvarea ecuațiilor cubice cu rădăcini raționale.

Să începem cu cel mai simplu caz, când x=0 este rădăcina ecuației cubice.

În acest caz, termenul liber D este egal cu zero, adică ecuația are forma .

Dacă scoateți x din paranteze, atunci va rămâne între paranteze un trinom pătrat, ale cărui rădăcini pot fi găsite cu ușurință fie prin discriminant, fie prin teorema lui Vieta. .

Exemplu.

Găsiți rădăcinile reale ale ecuației .

Soluţie.

x=0 este rădăcina ecuației. Să găsim rădăcinile trinomului pătratic.

Deoarece discriminantul său este mai mic decât zero, trinomul nu are rădăcini reale.

Răspuns:

x=0.

Dacă coeficienții unei ecuații cubice sunt numere întregi, atunci ecuația poate avea rădăcini raționale.

Când , înmulțiți ambele părți ale ecuației cu și modificați variabilele y = Ax:

Am ajuns la ecuația cubică dată. Poate avea rădăcini întregi, care sunt divizori ai termenului liber. Deci notăm toți divizorii și începem să-i substituim în ecuația rezultată până când obținem o egalitate identică. Divizorul pentru care se obține identitatea este rădăcina ecuației. Prin urmare, rădăcina ecuației inițiale este .

Exemplu.

Aflați rădăcinile ecuației cubice.

Soluţie.

Să transformăm ecuația în cele de mai sus: înmulțim cu ambele părți și schimbăm variabila y = 2x.

Termenul liber este 36. Să notăm toți divizorii săi: .

Le substituim unul câte unul în egalitate până la obținerea identității:

Deci y = -1 este rădăcina. Ea corespunde cu .

Să împărțim pornit, folosind:

Primim

Tot ce rămâne este să găsim rădăcinile trinomului pătratic.

Este evident că , adică rădăcina sa multiplă este x=3.

Răspuns:

.

Comentariu.

Acest algoritm poate fi folosit pentru a rezolva ecuații reciproce. Deoarece -1 este rădăcina oricărei ecuații cubice reciproce, putem împărți partea stângă a ecuației originale la x+1 și găsim rădăcinile trinomului pătratic rezultat.

În cazul în care ecuația cubică nu are rădăcini raționale, se folosesc alte metode de rezolvare, de exemplu, metode specifice.

Rezolvarea ecuațiilor cubice folosind formula Cardano.

În general, rădăcinile unei ecuații cubice se găsesc folosind formula Cardano.

Pentru ecuația cubică se găsesc valorile . În continuare găsim Şi .

Înlocuim p și q rezultate în formula Cardano:

O ecuație cubică care conține coeficienți cu rădăcină reală, celelalte două sunt considerate o pereche conjugată complexă. Se vor lua în considerare ecuațiile cu binoame și reflexive, precum și căutarea rădăcinilor raționale. Toate informațiile vor fi susținute de exemple.

Rezolvarea unei ecuații cubice cu doi termeni de forma A x 3 + B = 0

O ecuație cubică care conține un binom este A x 3 + B = 0. Acesta trebuie redus la x 3 + B A = 0 prin împărțirea la A, altul decât zero. După care puteți aplica formula pentru înmulțirea prescurtată a sumei cuburilor. Înțelegem asta

x 3 + B A = 0 x + B A 3 x 2 - B A 3 x + B A 2 3 = 0

Rezultatul primei paranteze va lua forma x = - B A 3, iar trinomul pătrat - x 2 - B A 3 x + B A 2 3, și numai cu rădăcini complexe.

Exemplul 1

Aflați rădăcinile ecuației cubice 2 x 3 - 3 = 0.

Soluţie

Trebuie să găsiți x din ecuație. Hai sa scriem:

2 x 3 - 3 = 0 x 3 - 3 2 = 0

Este necesar să se aplice formula de înmulțire prescurtată. Atunci obținem asta

x 3 - 3 2 = 0 x - 3 3 2 6 x 2 + 3 3 2 6 x + 9 2 3 = 0

Să deschidem prima paranteză și să obținem x = 3 3 2 6. A doua paranteză nu are rădăcini reale deoarece discriminantul este mai mic decât zero.

Răspuns: x = 3 3 2 6 .

Rezolvarea unei ecuații cubice reciproce de forma A x 3 + B x 2 + B x + A = 0

Forma ecuației pătratice este A x 3 + B x 2 + B x + A = 0, unde valorile lui A și B sunt coeficienți. Gruparea este necesară. Înțelegem asta

A x 3 + B x 2 + B x + A = A x 3 + 1 + B x 2 + x = = A x + 1 x 2 - x + 1 + B x x + 1 = x + 1 A x 2 + x B - A + A

Rădăcina ecuației este x = - 1, apoi pentru a obține rădăcinile trinomului pătratic A x 2 + x B - A + A este necesar să o folosim prin găsirea discriminantului.

Exemplul 2

Rezolvați o ecuație de forma 5 x 3 - 8 x 2 - 8 x + 5 = 0.

Soluţie

Ecuația este reciprocă. Gruparea este necesară. Înțelegem asta

5 x 3 - 8 x 2 - 8 x + 5 = 5 x 3 + 1 - 8 x 2 + x = = 5 x + 1 x 2 - x + 1 - 8 x x + 1 = x + 1 5 x 2 - 5 x + 5 - 8 x = = x + 1 5 x 2 - 13 x + 5 = 0

Dacă x = - 1 este rădăcina ecuației, atunci trebuie să găsiți rădăcinile trinomului dat 5 x 2 - 13 x + 5:

5 x 2 - 13 x + 5 = 0 D = (- 13) 2 - 4 5 5 = 69 x 1 = 13 + 69 2 5 = 13 10 + 69 10 x 2 = 13 - 69 2 5 = 13 10 - 69 10

Răspuns:

x 1 = 13 10 + 69 10 x 2 = 13 10 - 69 10 x 3 = - 1

Rezolvarea ecuațiilor cubice cu rădăcini raționale

Dacă x = 0, atunci este rădăcina unei ecuații de forma A x 3 + B x 2 + C x + D = 0. Cu termenul liber D = 0, ecuația devine A x 3 + B x 2 + C x = 0. Când scoatem x din paranteze, constatăm că ecuația se schimbă. Când se rezolvă prin discriminant sau Vieta, va lua forma x A x 2 + B x + C = 0.

Exemplul 3

Aflați rădăcinile ecuației date 3 x 3 + 4 x 2 + 2 x = 0.

Soluţie

Să simplificăm expresia.

3 x 3 + 4 x 2 + 2 x = 0 x 3 x 2 + 4 x + 2 = 0

X = 0 este rădăcina ecuației. Trebuie să găsiți rădăcinile unui trinom pătratic de forma 3 x 2 + 4 x + 2. Pentru a face acest lucru, este necesar să egalați cu zero și să continuați soluția folosind un discriminant. Înțelegem asta

D = 4 2 - 4 3 2 = - 8. Deoarece valoarea sa este negativă, nu există rădăcini ale trinomului.

Răspuns: x = 0.

Când coeficienții ecuației A x 3 + B x 2 + C x + D = 0 sunt numere întregi, atunci se pot obține rădăcini iraționale în răspuns. Dacă A ≠ 1, atunci când înmulțim cu A 2 ambele părți ale ecuației, variabilele sunt modificate, adică y = A x:

A x 3 + B x 2 + C x + D = 0 A 3 x 3 + B A 2 x 2 + C A A A x + D A 2 = 0 y = A x ⇒ y 3 + B · y 2 + C · A · y + D · A 2

Ajungem la forma unei ecuații cubice. Rădăcinile pot fi întregi sau raționale. Pentru a obține o egalitate identică, este necesar să înlocuiți divizori în ecuația rezultată. Apoi y 1 rezultat va fi rădăcina. Aceasta înseamnă că rădăcina ecuației inițiale este x 1 = y 1 A. Este necesar să se împartă polinomul A x 3 + B x 2 + C x + D la x - x 1 . Apoi putem găsi rădăcinile trinomului pătratic.

Exemplul 4

Soluţie

Este necesar să se efectueze transformarea prin înmulțirea ambelor părți cu 2 2 și înlocuirea unei variabile precum y = 2 x. Înțelegem asta

2 x 3 - 11 x 2 + 12 x + 9 = 0 2 3 x 3 - 11 2 2 x 2 + 24 2 x + 36 = 0 y = 2 x ⇒ y 3 - 11 y 2 + 24 y + 36 = 0

Termenul liber este egal cu 36, atunci este necesar să se stabilească toți divizorii săi:

±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±9, ±12, ±36

Este necesar să înlocuiți y 3 - 11 y 2 + 24 y + 36 = 0 pentru a obține o identitate de formă

1 3 - 11 1 2 + 24 1 + 36 = 50 ≠ 0 (- 1) 3 - 11 (- 1) 2 + 24 (- 1) + 36 = 0

De aici vedem că y = - 1 este o rădăcină. Aceasta înseamnă x = y 2 = - 1 2 .

Avem asta

2 x 3 - 11 x 2 + 12 x + 9 = x + 1 2 2 x 2 - 12 x + 18 = = 2 x + 1 2 x 2 - 6 x + 9

Apoi trebuie să găsiți rădăcinile unei ecuații pătratice de forma x 2 - 6 x + 9. Avem că ecuația trebuie redusă la forma x 2 - 6 x + 9 = x - 3 2, unde x = 3 va fi rădăcina ei.

Răspuns: x 1 = - 1 2 , x 2 , 3 = 3 .

Comentariu

Algoritmul poate fi utilizat pentru ecuații reciproce. Se poate observa că - 1 este rădăcina sa, ceea ce înseamnă că partea stângă poate fi împărțită la x + 1. Numai atunci va fi posibil să găsim rădăcinile trinomului pătratic. În absența rădăcinilor raționale, se folosesc alte metode de soluție pentru factorizarea polinomului.

Rezolvarea ecuațiilor cubice folosind formula lui Cardano

Găsirea rădăcinilor cubice este posibilă folosind formula Cardano. Când A 0 x 3 + A 1 x 2 + A 2 x + A 3 = 0, este necesar să se găsească B 1 = A 1 A 0, B 2 = A 2 A 0, B 3 = A 3 A 0.

După care p = - B 1 2 3 + B 2 și q = 2 B 1 3 27 - B 1 B 2 3 + B 3.

P și q rezultate în formula Cardano. Înțelegem asta

y = - q 2 + q 2 4 + p 3 27 3 + - q 2 - q 2 4 + p 3 27 3

Selectarea rădăcinilor cubice trebuie să satisfacă valoarea de ieşire - p 3 . Atunci rădăcinile ecuației inițiale x = y - B 1 3 . Să ne uităm la soluția exemplului anterior folosind formula lui Cardano.

Exemplul 5

Aflați rădăcinile ecuației date 2 x 3 - 11 x 2 + 12 x + 9 = 0.

Soluţie

Se poate observa că A 0 = 2, A 1 = - 11, A 2 = 12, A 3 = 9.

Este necesar să găsim B 1 = A 1 A 0 = - 11 2, B 2 = A 2 A 0 = 12 2 = 6, B 3 = A 3 A 0 = 9 2.

Rezultă că

p = - B 1 2 3 + B 2 = - - 11 2 2 3 + 6 = - 121 12 + 6 = - 49 12 q = 2 B 1 3 27 - B 1 B 2 3 + B 3 = 2 - 11 2 3 27 - - 11 2 6 3 + 9 2 = 343 108

Inlocuim formula Cordano si obtinem

y = - q 2 + q 2 4 + p 3 27 3 + - q 2 - - q 2 4 + p 3 27 3 = = - 343 216 + 343 2 4 108 2 - 49 3 27 12 3 3 + - 343 216 - 343 2 4 108 2 - 49 3 27 12 3 3 = = - 343 216 3 + - 343 216 3

343 216 3 are trei sensuri. Să le privim mai jos.

343 216 3 = 7 6 cos π + 2 π k 3 + i sin π + 2 π k 3, k = 0, 1, 2

Dacă k = 0, atunci - 343 216 3 = 7 6 cos π 3 + i · sin π 3 = 7 6 1 2 + i · 3 2

Dacă k = 1, atunci - 343 216 3 = 7 6 cosπ + i · sinπ = - 7 6

Dacă k = 2, atunci - 343 216 3 = 7 6 cos 5 π 3 + i · sin 5 π 3 = 7 6 1 2 - i · 3 2

Este necesar să împărțim în perechi, apoi obținem - p 3 = 49 36.

Apoi obținem perechile: 7 6 1 2 + i · 3 2 și 7 6 1 2 - i · 3 2, - 7 6 și - 7 6, 7 6 1 2 - i · 3 2 și 7 6 1 2 + i · 3 2.

Să transformăm folosind formula lui Cordano:

y 1 = - 343 216 3 + - 343 216 3 = = 7 6 1 2 + i 3 2 + 7 6 1 2 - i 3 2 = 7 6 1 4 + 3 4 = 7 6 y 2 = - 343 216 3 + - 343 216 3 = - 7 6 + - 7 6 = - 14 6 y 3 = - 343 216 3 + - 343 216 3 = = 7 6 1 2 - i 3 2 + 7 6 1 2 + i 3 2 = 7 6 1 4 + 3 4 = 7 6

x 1 = y 1 - B 1 3 = 7 6 + 11 6 = 3 x 2 = y 2 - B 1 3 = - 14 6 + 11 6 = - 1 2 x 3 = y 3 - B 1 3 = 7 6 + 11 6 = 3

Răspuns: x 1 = - 1 2 , x 2 , 3 = 3

Când rezolvați ecuații cubice, puteți găsi o reducere la rezolvarea ecuațiilor de gradul 4 folosind metoda Ferrari.

Dacă observați o eroare în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter

Explică cum se rezolvă ecuații cubice. Se ia în considerare cazul când o rădăcină este cunoscută. Metode de găsire a rădăcinilor întregi și raționale. Aplicarea formulelor Cardano și Vieta pentru a rezolva orice ecuație cubică.

Conţinut

Aici luăm în considerare rezolvarea ecuațiilor cubice de formă
(1) .
În continuare, presupunem că acestea sunt numere reale.

(2) ,
apoi împărțind-o la , obținem o ecuație de forma (1) cu coeficienți
.

Ecuația (1) are trei rădăcini: , și .

Una dintre rădăcini este întotdeauna reală. Notăm rădăcina reală ca .

Rădăcinile și pot fi conjugate reale sau complexe. Rădăcinile reale pot fi multiple. De exemplu, dacă , atunci și sunt rădăcini duble (sau rădăcini ale multiplelor 2), și este o rădăcină simplă.

Dacă o rădăcină este cunoscută
.
Să cunoaștem o rădăcină a ecuației cubice (1). Să notăm rădăcina cunoscută ca .

Apoi împărțind ecuația (1) la , obținem o ecuație pătratică. Rezolvând ecuația pătratică, găsim încă două rădăcini și .
Pentru a demonstra acest lucru, folosim faptul că un polinom cubic poate fi reprezentat ca:
Apoi, împărțind (1) la , obținem o ecuație pătratică.
Pe pagină sunt prezentate exemple de împărțire a polinoamelor

„Împărțirea și înmulțirea unui polinom cu un polinom cu un colț și o coloană.”

Rezolvarea ecuațiilor pătratice este discutată pe pagină
(2) ,
„Rădăcinile unei ecuații pătratice.”

Dacă una dintre rădăcini este întreagă
Dacă ecuația inițială este:

iar coeficienții săi , , , sunt numere întregi, atunci puteți încerca să găsiți rădăcina întregului. Dacă această ecuație are o rădăcină întreagă, atunci este un divizor al coeficientului.

Metoda de a găsi rădăcini întregi este că găsim toți divizorii numărului și verificăm dacă ecuația (2) este îndeplinită pentru aceștia. Dacă ecuația (2) este satisfăcută, atunci i-am găsit rădăcina. Să-l notăm ca .

În continuare, împărțim ecuația (2) la .
;
(3) .
Obținem o ecuație pătratică. Rezolvând-o, găsim încă două rădăcini.

Dacă am găsit rădăcina întreagă a ecuației (3), atunci, revenind la variabilă, obținem rădăcina rațională a ecuației (2):
.

Formule Cardano și Vieta pentru rezolvarea ecuației cubice

Dacă nu cunoaștem o singură rădăcină și nu există rădăcini întregi, atunci putem găsi rădăcinile ecuației cubice folosind formulele Cardano.

Reducerea ecuației cubice la formă redusă
(1) .
Să facem o înlocuire:
.
După aceasta, ecuația este redusă la o formă incompletă sau redusă:
(4) ,
Obținem următoarea ecuație:
(5) ; .

sunt mai convenabile.
ÎN. Bronstein, K.A. Semendyaev, Manual de matematică pentru ingineri și studenți, „Lan”, 2009.
G. Korn, Manual de matematică pentru oameni de știință și ingineri, 2012.