Definiția generală a funcției. Funcții pare și impare

Acasă

chiar dacă pentru toate \(x\) din domeniul său de definiție este adevărat: \(f(-x)=f(x)\) .

Graficul unei funcții pare este simetric față de axa \(y\):

Exemplu: funcția \(f(x)=x^2+\cos x\) este pară, deoarece \(f(-x)=(-x)^2+\cos((-x))=x^2+\cos x=f(x)\) .

\(\blacktriangleright\) Funcția \(f(x)\) se numește impară dacă pentru toate \(x\) din domeniul său de definiție este adevărat: \(f(-x)=-f(x) \) .

Graficul unei funcții impare este simetric față de origine:

Exemplu: funcția \(f(x)=x^3+x\) este impară deoarece \(f(-x)=(-x)^3+(-x)=-x^3-x=-(x^3+x)=-f(x)\) . \(\blacktriangleright\) Funcțiile care nu sunt nici pare, nici impare se numesc funcții vedere generală

. O astfel de funcție poate fi întotdeauna reprezentată în mod unic ca suma unei funcții par și impare.

De exemplu, funcția \(f(x)=x^2-x\) este suma funcției pare \(f_1=x^2\) și a imparei \(f_2=-x\) . \(\blacktriangleright\)

Unele proprietăți: 1) Produsul și câtul a două funcții cu aceeași paritate -.

chiar funcția 2) Produsul și câtul a două funcții de parități diferite -.

funcţie ciudată

3) Suma și diferența funcțiilor pare este o funcție pare.

4) Suma și diferența de funcții impare - funcție impară.

5) Dacă \(f(x)\) este o funcție pară, atunci ecuația \(f(x)=c \ (c\in \mathbb(R)\) ) are o rădăcină unică dacă și numai când \( x =0\) .

6) Dacă \(f(x)\) este o funcție pară sau impară, iar ecuația \(f(x)=0\) are rădăcina \(x=b\), atunci această ecuație va avea cu siguranță o secundă rădăcină \(x =-b\) .

\(\blacktriangleright\) O funcție \(f(x)\) se numește periodică pe \(X\) dacă pentru un număr \(T\ne 0\) este valabilă următoarele: \(f(x)=f( x+T) \) , unde \(x, x+T\in X\) . Cea mai mică \(T\) pentru care această egalitate este satisfăcută se numește perioada principală (principală) a funcției.

O funcție periodică are orice număr de forma \(nT\) , unde \(n\in \mathbb(Z)\) va fi, de asemenea, o perioadă. Exemplu: oricare functie trigonometrica
este periodică;

Pentru a construi un grafic al unei funcții periodice, puteți reprezenta graficul acesteia pe orice segment de lungime \(T\) (perioada principală); apoi graficul întregii funcții este completat prin deplasarea părții construite cu un număr întreg de perioade la dreapta și la stânga:

\(\blacktriangleright\) Domeniul \(D(f)\) al funcției \(f(x)\) este o mulțime formată din toate valorile argumentului \(x\) pentru care funcția are sens (este definit).

Exemplu: funcția \(f(x)=\sqrt x+1\) are un domeniu de definiție: \(x\in

Sarcina 1 #6364

Nivel de activitate: Egal cu examenul de stat unificat

La ce valori ale parametrului \(a\) are ecuația

are o singura solutie?

Rețineți că, deoarece \(x^2\) și \(\cos x\) sunt funcții pare, dacă ecuația are o rădăcină \(x_0\) , va avea și o rădăcină \(-x_0\) .
Într-adevăr, fie \(x_0\) o rădăcină, adică egalitatea \(2x_0^2+a\mathrm(tg)\,(\cos x_0)+a^2=0\) este adevărată. Înlocuiește \(-x_0\) : \(2 (-x_0)^2+a\mathrm(tg)\,(\cos(-x_0))+a^2=2x_0^2+a\mathrm(tg)\ ,(\cos x_0)+a^2=0\) .

Astfel, dacă \(x_0\ne 0\) , atunci ecuația va avea deja cel puțin două rădăcini. Prin urmare, \(x_0=0\) . Apoi:

Am primit două valori pentru parametrul \(a\) . Rețineți că am folosit faptul că \(x=0\) este exact rădăcina ecuației originale. Dar nu am folosit niciodată faptul că el este singurul. Prin urmare, trebuie să înlocuiți valorile rezultate ale parametrului \(a\) în ecuația originală și să verificați pentru ce anume \(a\) rădăcina \(x=0\) va fi cu adevărat unică.

1) Dacă \(a=0\) , atunci ecuația va lua forma \(2x^2=0\) . Evident, această ecuație are o singură rădăcină \(x=0\) . Prin urmare, valoarea \(a=0\) ni se potrivește.

2) Dacă \(a=-\mathrm(tg)\,1\) , atunci ecuația va lua forma \ Rescriem ecuația sub forma \ Deoarece \(-1\leqslant \cos x\leqslant 1\) , apoi \(- \mathrm(tg)\,1\leqslant \mathrm(tg)\,(\cos x)\leqslant \mathrm(tg)\,1\) . În consecință, valorile părții drepte a ecuației (*) aparțin segmentului \([-\mathrm(tg)^2\,1; \mathrm(tg)^2\,1]\) .

Deoarece \(x^2\geqslant 0\) , atunci partea stângă a ecuației (*) este mai mare sau egală cu \(0+ \mathrm(tg)^2\,1\) .

Astfel, egalitatea (*) poate fi satisfăcută numai atunci când ambele părți ale ecuației sunt egale cu \(\mathrm(tg)^2\,1\) . Aceasta înseamnă că \[\begin(cases) 2x^2+\mathrm(tg)^2\,1=\mathrm(tg)^2\,1 \\ \mathrm(tg)\,1\cdot \ mathrm( tg)\,(\cos x)=\mathrm(tg)^2\,1 \end(cases) \quad\Leftrightarrow\quad \begin(cases) x=0\\ \mathrm(tg)\, (\ cos x)=\mathrm(tg)\,1 \end(cases)\quad\Leftrightarrow\quad x=0\] Prin urmare, valoarea \(a=-\mathrm(tg)\,1\) ni se potrivește .

Răspuns:

\(a\in \(-\mathrm(tg)\,1;0\)\)

Sarcina 2 #3923

Nivel de activitate: Egal cu examenul de stat unificat

Găsiți toate valorile parametrului \(a\) , pentru fiecare dintre acestea graficul funcției \

simetric fata de origine.

Dacă graficul unei funcții este simetric față de origine, atunci o astfel de funcție este impară, adică \(f(-x)=-f(x)\) este valabilă pentru orice \(x\) din domeniul definiției a functiei. Astfel, este necesar să se găsească acele valori ale parametrilor pentru care \(f(-x)=-f(x).\)

\[\begin(aligned) &3\mathrm(tg)\,\left(-\dfrac(ax)5\right)+2\sin \dfrac(8\pi a+3x)4= -\left(3\ mathrm(tg)\,\left(\dfrac(ax)5\right)+2\sin \dfrac(8\pi a-3x)4\right)\quad \Rightarrow\quad -3\mathrm(tg)\ ,\dfrac(ax)5+2\sin \dfrac(8\pi a+3x)4= -\left(3\mathrm(tg)\,\left(\dfrac(ax)5\right)+2\ sin \dfrac(8\pi a-3x)4\right) \quad \Rightarrow\\ \Rightarrow\quad &\sin \dfrac(8\pi a+3x)4+\sin \dfrac(8\pi a- 3x)4=0 \quad \Rightarrow \quad2\sin \dfrac12\left(\dfrac(8\pi a+3x)4+\dfrac(8\pi a-3x)4\right)\cdot \cos \dfrac12 \left(\dfrac(8\pi a+3x)4-\dfrac(8\pi a-3x)4\right)=0 \quad \Rightarrow\quad \sin (2\pi a)\cdot \cos \ frac34 x=0 \end(aliniat)\]

Ultima ecuație trebuie satisfăcută pentru toate \(x\) din domeniul definiției \(f(x)\) , prin urmare, \(\sin(2\pi a)=0 \Rightarrow a=\dfrac n2, n \in\ mathbb(Z)\) .

Răspuns:

\(\dfrac n2, n\in\mathbb(Z)\)

Sarcina 3 #3069

Nivel de activitate: Egal cu examenul de stat unificat

Găsiți toate valorile parametrului \(a\) , pentru fiecare dintre ele ecuația \ are 4 soluții, unde \(f\) este o funcție periodică pară cu perioadă \(T=\dfrac(16)3\) definit pe întreaga linie numerică și \(f(x)=ax^2\) pentru \(0\leqslant x\leqslant \dfrac83.\)

(sarcină de la abonați)

Deoarece \(f(x)\) este o funcție pară, graficul său este simetric față de axa ordonatelor, prin urmare, pentru \(-\dfrac83\leqslant x\leqslant 0\) \(f(x)=ax^ 2\) . Astfel, pentru \(-\dfrac83\leqslant x\leqslant \dfrac83\) și acesta este un segment de lungime \(\dfrac(16)3\), funcția este \(f(x)=ax^2\ ).

1) Fie \(a>0\) . Apoi graficul funcției \(f(x)\) va arăta astfel:


Atunci, pentru ca ecuația să aibă 4 soluții, este necesar ca graficul \(g(x)=|a+2|\cdot \sqrtx\) să treacă prin punctul \(A\) :


Prin urmare, \[\dfrac(64)9a=|a+2|\cdot \sqrt8 \quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin(gathered)\begin(aligned) &9(a+2)=32a\\ &9 (a+2)=-32a\end(aliniat)\end(adunat)\dreapta. \quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin(gathered)\begin(aligned) &a=\dfrac(18)(23)\\ &a=-\dfrac(18)(41) \end(aligned) \end( adunat)\right.\] Deoarece \(a>0\) , atunci \(a=\dfrac(18)(23)\) este potrivit.

2) Fie \(a0\) ). Dacă produsul a două rădăcini este pozitiv și suma lor este pozitivă, atunci rădăcinile în sine vor fi pozitive. Prin urmare, aveți nevoie de: \[\begin(cases) 12-a>0\\-(a-10)>0\end(cases)\quad\Leftrightarrow\quad a