Arcul este egal cu unghiul central. Unghiul înscris, teorie și probleme

Acasă

Unghiul ABC este un unghi înscris. Se sprijină pe arcul AC, închis între laturile sale (Fig. 330). Teorema.

Un unghi înscris se măsoară cu jumătatea arcului pe care se întinde.

Acest lucru trebuie înțeles astfel: un unghi înscris conține tot atâtea grade unghiulare, minute și secunde câte grade de arc, minute și secunde sunt conținute în jumătatea arcului pe care se sprijină.

La demonstrarea acestei teoreme trebuie luate în considerare trei cazuri. Primul caz.

Centrul cercului se află pe partea unghiului înscris (Fig. 331).

Fie ∠ABC un unghi înscris și centrul cercului O se află pe latura BC. Este necesar să se demonstreze că se măsoară cu jumătate de arc AC.

Conectați punctul A la centrul cercului. Obținem un \(\Delta\)AOB isoscel, în care AO = OB, ca razele aceluiași cerc. Prin urmare, ∠A = ∠B.

∠AOC este extern triunghiului AOB, deci ∠AOC = ∠A + ∠B, iar din moment ce unghiurile A și B sunt egale, atunci ∠B este 1/2 ∠AOC.

Dar ∠AOC este măsurat cu arcul AC, prin urmare ∠B este măsurat cu jumătate din arcul AC.

De exemplu, dacă \(\breve(AC)\) conține 60°18', atunci ∠B conține 30°9'. Al doilea caz.

Centrul cercului se află între laturile unghiului înscris (Fig. 332).

Fie ∠ABD un unghi înscris. Centrul cercului O se află între laturile sale. Trebuie să demonstrăm că ∠ABD se măsoară cu jumătate din arcul AD.

Pentru a demonstra acest lucru, să desenăm diametrul BC. Unghiul ABD este împărțit în două unghiuri: ∠1 și ∠2.

∠1 este măsurat cu o jumătate de arc AC și ∠2 este măsurat cu o jumătate de arc CD, prin urmare, întregul ∠ABD este măsurat cu 1 / 2 \(\breve(AC)\) + 1 / 2 \(\breve (CD)\), adică jumătate de arc AD.

De exemplu, dacă \(\breve(AD)\) conține 124°, atunci ∠B conține 62°. Al treilea caz.

Centrul cercului se află în afara unghiului înscris (Fig. 333).

Fie ∠MAD un unghi înscris. Centrul cercului O este în afara colțului. Trebuie să demonstrăm că ∠MAD se măsoară cu jumătate din arcul MD.

Pentru a demonstra acest lucru, să desenăm diametrul AB. ∠MAD = ∠MAB - ∠DAB. Dar ∠MAB măsoară 1 / 2 \(\breve(MB)\), iar ∠DAB măsoară 1 / 2 \(\breve(DB)\).

Prin urmare, ∠MAD măsoară 1 / 2 (\(\breve(MB) - \breve(DB))\), adică 1 / 2 \(\breve(MD)\).

De exemplu, dacă \(\breve(MD)\) conține 48° 38", atunci ∠MAD conține 24° 19' 8".
1. Consecințele Toate unghiurile înscrise care subtind același arc sunt egale între ele, deoarece sunt măsurate cu jumătate din același arc

2. Un unghi înscris sub întinderea unui diametru este un unghi drept, deoarece întinde o jumătate de cerc. O jumătate de cerc conține 180 de grade de arc, ceea ce înseamnă că unghiul bazat pe diametru conține 90 de grade de arc (Fig. 334, b).

Conceptul de unghi înscris și central

Să introducem mai întâi conceptul de unghi central.

Nota 1

Rețineți că gradul de măsurare a unui unghi central este egal cu gradul de măsurare a arcului pe care se sprijină.

Să introducem acum conceptul de unghi înscris.

Definiția 2

Un unghi al cărui vârf se află pe un cerc și ale cărui laturi intersectează același cerc se numește unghi înscris (Fig. 2).

Figura 2. Unghiul înscris

Teorema unghiului înscris

Teorema 1

Gradul de măsurare a unui unghi înscris este egal cu jumătate din gradul de măsurare a arcului pe care se sprijină.

Dovada.

Să ni se dă un cerc cu centrul în punctul $O$. Să notăm unghiul înscris $ACB$ (Fig. 2). Următoarele trei cazuri sunt posibile:

• Raza $CO$ coincide cu orice parte a unghiului. Fie aceasta latura $CB$ (Fig. 3).

Figura 3.

În acest caz, arcul $AB$ este mai mic decât $(180)^(()^\circ )$, prin urmare unghiul central $AOB$ este egal cu arcul $AB$. Deoarece $AO=OC=r$, atunci triunghiul $AOC$ este isoscel. Aceasta înseamnă că unghiurile de bază $CAO$ și $ACO$ sunt egale între ele. Conform teoremei unghiului exterior al unui triunghi, avem:

• Raza $CO$ împarte un unghi interior în două unghiuri. Lăsați-l să intersecteze cercul în punctul $D$ (Fig. 4).

Figura 4.

Primim

• Raza $CO$ nu împarte unghiul interior în două unghiuri și nu coincide cu niciuna dintre laturile sale (Fig. 5).

Figura 5.

Să luăm în considerare unghiurile $ACD$ și $DCB$ separat. Conform celor dovedite la punctul 1, obținem

Primim

Teorema a fost demonstrată.

Să dăm consecinte din această teoremă.

Corolarul 1: Unghiurile înscrise care se sprijină pe același arc sunt egale între ele.

Corolarul 2: Un unghi înscris care subtinde un diametru este un unghi drept.

Unghiul central este un unghi al cărui vârf se află în centrul cercului.
Unghiul înscris- un unghi al cărui vârf se află pe un cerc și ale cărui laturi îl intersectează.

Figura prezintă unghiurile centrale și înscrise, precum și cele mai importante proprietăți ale acestora.

Aşa, mărimea unghiului central este egală cu mărimea unghiulară a arcului pe care se sprijină. Aceasta înseamnă că un unghi central de 90 de grade se va sprijini pe un arc egal cu 90°, adică un cerc. Unghiul central, egal cu 60°, se sprijină pe un arc de 60 de grade, adică pe a șasea parte a cercului.

Mărimea unghiului înscris este de două ori mai mică decât unghiul central bazat pe același arc.

De asemenea, pentru a rezolva probleme vom avea nevoie de conceptul de „cord”.

Unghiurile centrale egale subtind acorduri egale.

1. Care este unghiul înscris subtins de diametrul cercului? Dați răspunsul în grade.

Un unghi înscris subtins de un diametru este un unghi drept.

2. Unghiul central este cu 36° mai mare decât unghiul ascuțit înscris subtins de același arc de cerc. Găsiți unghiul înscris. Dați răspunsul în grade.

Fie unghiul central egal cu x, iar unghiul înscris sub întinderea aceluiași arc să fie egal cu y.

Știm că x = 2y.
Prin urmare, 2y = 36 + y,
y = 36.

3. Raza cercului este egală cu 1. Aflați valoarea unghiului obtuz înscris subîntins de coardă, egală cu . Dați răspunsul în grade.

Fie coarda AB egală cu . Unghiul înscris obtuz subîntins de această coardă va fi notat cu α.
În triunghiul AOB, laturile AO și OB sunt egale cu 1, latura AB este egală cu . Am întâlnit deja astfel de triunghiuri. Evident, triunghiul AOB este dreptunghiular și isoscel, adică unghiul AOB este de 90°.
Atunci arcul ACB este egal cu 90°, iar arcul AKB este egal cu 360° - 90° = 270°.
Unghiul înscris α se sprijină pe arcul AKB și este egal cu jumătate din valoarea unghiulară a acestui arc, adică 135°.

Raspuns: 135.

4. Coarda AB împarte cercul în două părți, ale căror valori sunt în raport de 5:7. În ce unghi este vizibilă această coardă din punctul C, care aparține arcului mai mic al cercului? Dați răspunsul în grade.

Principalul lucru în această sarcină este desenarea și înțelegerea corectă a condițiilor. Cum înțelegeți întrebarea: „În ce unghi este coarda vizibilă din punctul C?”
Imaginează-ți că stai în punctul C și trebuie să vezi tot ce se întâmplă pe acordul AB. E ca și cum acordul AB ar fi un ecran într-un cinema :-)
Evident, trebuie să găsiți unghiul ACB.
Suma celor două arce în care coarda AB împarte cercul este egală cu 360°, adică
5x + 7x = 360°
Prin urmare, x = 30° și apoi unghiul înscris ACB se sprijină pe un arc egal cu 210°.
Mărimea unghiului înscris este egală cu jumătate din mărimea unghiulară a arcului pe care se sprijină, ceea ce înseamnă că unghiul ACB este egal cu 105°.

Cel mai adesea, procesul de pregătire pentru examenul de stat unificat la matematică începe cu o repetare a definițiilor, formulelor și teoremelor de bază, inclusiv pe tema „Unghiuri centrale și înscrise într-un cerc”. De regulă, această secțiune de planimetrie este studiată în liceu. Nu este surprinzător faptul că mulți studenți se confruntă cu nevoia de a revizui concepte și teoreme de bază pe tema „Unghiul central al unui cerc”. După ce au înțeles algoritmul pentru rezolvarea unor astfel de probleme, școlarii pot conta pe primirea de punctaje competitive pe baza rezultatelor promovării examenului unificat de stat.

Cum să vă pregătiți ușor și eficient pentru trecerea testului de certificare?

Învață înainte de a promova single-ul examen de stat, mulți elevi de liceu se confruntă cu problema găsirii informatiile necesare pe tema „Unghiuri centrale și înscrise într-un cerc”. Nu întotdeauna manual școlar disponibil la îndemână. Iar căutarea de formule pe Internet durează uneori mult timp.

Echipa noastră vă va ajuta să vă „îmbunătățiți” abilitățile și să vă îmbunătățiți cunoștințele într-o secțiune atât de dificilă a geometriei precum planimetria portal educațional. „Șkolkovo” oferă elevilor de liceu și profesorilor lor o nouă modalitate de a construi procesul de pregătire pentru examenul de stat unificat. Toate materialele de bază sunt prezentate de specialiștii noștri în cea mai accesibilă formă. După citirea informațiilor din secțiunea „Teoretică”, elevii vor afla ce proprietăți are unghiul central al unui cerc, cum să-i găsească valoarea etc.

Apoi, pentru consolidarea cunoștințelor dobândite și a abilităților de exersare, recomandăm efectuarea unor exerciții adecvate. O selecție largă de sarcini pentru găsirea dimensiunii unui unghi înscris într-un cerc și alți parametri este prezentată în secțiunea „Catalog”. Pentru fiecare exercițiu, experții noștri au scris o soluție detaliată și au indicat răspunsul corect. Lista sarcinilor de pe site este completată și actualizată în mod constant.

Elevii de liceu se pot pregăti pentru Examenul Unificat de Stat exersând exerciții, de exemplu, găsirea mărimii unui unghi central și a lungimii unui arc de cerc, online, din orice regiune rusă.

Dacă este necesar, sarcina finalizată poate fi salvată în secțiunea „Preferate” pentru a reveni la ea mai târziu și a analiza din nou principiul soluției sale.